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二阶微分方程的常见求解方法和应用二阶微分方程是一类重要的数学模型，在物理和工程学科中得到广泛应用。
本文将介绍几种常见的二阶微分方程求解方法，并探讨其在科学研究和工程实践中的应用。
一、常系数齐次二阶微分方程常系数齐次二阶微分方程形式为：$$ y''+ay'+by=0 $$其中，a和b是常数。
该方程的通解可以用特征方程求解。
特征方程为：$$ r^2+ar+b=0 $$如果特征方程有两个不同的实根$r_1$和$r_2$，通解为：$$ y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x} $$如果特征方程有一个重根$r_1$，通解为：$$ y=(c_1+c_2x)e^{r_1x} $$如果特征方程有两个共轭复根$\alpha\pm\beta i$，通解为：$$ y=e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x+c_2\sin\beta x) $$二、非齐次二阶线性微分方程非齐次二阶线性微分方程形式为：$$ y''+ay'+by=f(x) $$其中，f(x)是已知的函数。
我们可以通过猜测特解的形式，利用常数变易法求解。
通常，特解的形式取决于f(x)的形式。
常见的特解形式包括：1. f(x)是常数：特解形式为$y=k$，其中k是常数。
2. f(x)是mx+n型函数：特解形式为$y=mx+n$，其中m和n是常数。
3. f(x)是$e^{ax}$型函数：特解形式为$y=Ae^{ax}$，其中A是常数。
4. f(x)是三角函数型函数：特解形式为$y=A\cos bx+B\sin bx$，其中A和B是常数。
5. f(x)是多项式型函数：特解形式为$y=P_n(x)$，其中P_n(x)是n次多项式。
特解计算出来后，将通解与特解相加即可得到非齐次线性微分方程的通解。
三、应用二阶微分方程在科学研究和工程实践中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 振动问题：二阶微分方程可以用来描述物体的振动状态。
二阶常微分方程通解引言常微分方程是数学分析领域中的一个重要分支，研究随时间变化的物理量与其导数之间的关系。
其中二阶常微分方程是常见的一类微分方程，具有广泛的应用。
本文将深入探讨二阶常微分方程的通解方法和应用。
二阶常微分方程介绍二阶常微分方程是指形式为f″(x)+p(x)f′(x)+q(x)f(x)=0的微分方程，其中p(x)和q(x)是给定的函数。
二阶常微分方程的求解通常分为两步：首先找到其特解，然后利用特解求得齐次方程的通解。
齐次方程的通解齐次方程是指形式为f″(x)+p(x)f′(x)+q(x)f(x)=0，其中p(x)和q(x)都为零的方程。
对于齐次方程，我们可以通过猜解法或特殊变量法来求解其通解。
猜解法猜解法适用于具有特定形式的方程，如f(x)=e rx。
我们先假设通解的形式，然后带入原方程，通过确定待定系数的值来求解。
例如，对于f″(x)−f(x)=0这一方程，我们可以猜解f(x)=e rx，然后带入方程得到r2e rx−e rx=0，进而确定r=1或r=−1。
因此，通解为f(x)=C1e x+C2e−x，其中C1和C2为常数。
特殊变量法特殊变量法适用于具有一些特殊形式的齐次方程。
常见的特殊变量包括x m、x m e nx和e nx sin(ax+b)等。
通过将方程中的函数进行特定变量代换，可以将原方程转化为一个常系数线性齐次方程或其他简单形式的方程，然后再进行求解。
非齐次方程的特解非齐次方程是指形式为f″(x)+p(x)f′(x)+q(x)f(x)=g(x)的方程，其中g(x)是给定的函数。
我们需要先找到非齐次方程的一个特解，然后利用该特解和齐次方程的通解求得非齐次方程的通解。
常数变易法常数变易法是求解非齐次方程特解的常用方法。
假设非齐次方程的特解形式为f(x)=C，将其代入非齐次方程得到p(x)C′+q(x)C=g(x)，然后求解常数C，即可得到特解。
叠加原理对于非齐次方程，其特解是由齐次方程通解和非齐次方程特解的和构成的。
毕业论文开题报告数学与应用数学二阶微分方程的解法及应用一、选题的背景、意义两千多年以前的古希腊时代，地中海沿岸的奴隶们在繁重的生产劳动中，早就认识到搬运重东西时利用滚动要比滑动省力因而在运输中广泛应用装有圆轮和圆轴的车子。
为了精密地制造这些工具，就需要对圆形有精确的认识，在深入地研究圆形的过程中，出现了“无限细分，无限求和”的微积分思想的萌芽。
到了16世纪前后，社会生产实践活动进入了一个新的时期。
在这段时间中，笛卡尔引进了变数的概念，有了变数，微分和积分也就立刻产生了！17世纪上半叶，随着函数观念的建立和对机械运动规律的探求，许多实际问题摆到了数学家的面前，几乎所有的科学大师都把自己的注意力集中到寻求解决这些难题的新的数学工具上来，他们在解决问题的过程中，逐步形成了微积分学的一些基本方法。
17世纪，当牛顿和莱布尼茨创立了微积分以后，数学家们便开始谋求用微积分这一有力的工具去解决越来越多的物理问题，但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题，这类问题不能通过简单的积分解决，要解决这类问题需要专门的技术，这样，微分方程这门学科就应运而生了。
它和天文学、力学、物理学等许多学科有广泛的联系，在数学领域，它和其它一些分支学科相互渗透，关系密切，为理工科院校数学专业重要的基础课程，理工科其它专业的高等数学课程也将会有越来越多的常微分方程内容。
17世纪到18世纪是常微分方程发展的经典理论阶段，以求通解为主要研究内容；从18世纪下半叶到19世纪，此阶段为常微分方程发展的适定性理论阶段，人们从求通解的热潮转向研究常微分方程问题的适定性理论；19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段，这一阶段的主要成果是微分方程的解析理论，运用幂级数和广义幂级数解法，求出一些重要的二阶线性方程的幂级数解，并得到极其重要的一些特殊函数；19世纪至20世纪是常微分方程的定性理论阶段，以定性与稳定性理论为研究内容。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题研究的基本内容：本文着重讨论求解各种二阶微分方程的方法。
二阶常微分方程的解法二阶常微分方程是微积分中的一个重要概念，涉及到求解具有两个未知函数的微分方程。
本文将介绍二阶常微分方程的一些解法方法。
一、可分离变量法对于形如f''(x) = g(x)的二阶常微分方程，可以通过分离变量的方法求解。
首先将方程进行变形，得到f''(x)-g(x) = 0。
然后令y=f'(x)，将方程转化为一阶方程y'-g(x)=0，再次进行变形得到dy/dx=g(x)。
接下来，对方程两边进行积分，得到y的表达式，再次积分即可得到f(x)的解。
二、特征方程法对于形如f''(x) + a1f'(x) + a0f(x) = 0的二阶常微分方程，可以通过特征方程法求解。
首先假设f(x)的解为f(x) = e^(rx)，其中r为待求解的常数。
代入原方程，得到特征方程r^2 + a1r + a0 = 0。
解特征方程，可以得到两个根r1和r2，然后f(x)的解可以表示为f(x) = C1e^(r1x) +C2e^(r2x)，其中C1和C2为待定常数。
三、常系数齐次线性微分方程法对于形如f''(x) + af'(x) + bf(x) = 0的二阶常微分方程，可以通过常系数齐次线性微分方程法求解。
首先假设f(x)的解为f(x) = e^(rx)，代入原方程，得到特征方程r^2 + ar + b = 0。
解特征方程，可以得到两个根r1和r2。
根据根的不同情况，可以得到不同的解形式。
1）当r1和r2是不相等的实根时，f(x)的解可以表示为f(x) =C1e^(r1x) + C2e^(r2x)，其中C1和C2为待定常数。
2）当r1和r2是相等的实根时，f(x)的解可以表示为f(x) = (C1x +C2)e^(r1x)，其中C1和C2为待定常数。
3）当r1和r2是共轭复数根时，f(x)的解可以表示为f(x) =e^(ax)[C1cos(bx) + C2sin(bx)]，其中C1和C2为待定常数。
二阶常微分方程的求解方法和应用二阶常微分方程是指包含了二阶导数或者二次项的一类微分方程。
解决这类微分方程是理应掌握的技能，因为它们在许多自然科学和工程学科中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将讨论二阶常微分方程的求解方法以及它们的常见应用。
一、二阶常微分方程的基本形式二阶微分方程的一般形式是：$f''(x)+p(x)f'(x)+q(x)f(x)=g(x)$其中，函数f是要求解的未知函数，x是自变量，p(x)和q(x)是已知函数，g(x)是已知的函数或常数。
通常，二阶微分方程左侧的三项可以看作是二阶导数f''(x)、一阶导数f'(x)和f(x)对自变量x的线性组合。
这个线性组合中的系数p(x)和q(x)通常是自变量x的函数。
二、二阶微分方程的解法1.特解法特解法适用于在右侧有特殊类型函数的情况下，比如方程右侧是常数、指数函数、三角函数等。
因为这种情况下函数在取微分后与自身的形式变化不大，因此我们可以借助类似的解来猜测：如果右侧的g(x)是Acos(ax)+Bsin(ax)，那么我们可以尝试将函数f(x)猜测为Ccos(ax)+Dsin(ax)的形式，其中C和D是待求解的常数。
特解法的主要优点是简单易懂，特别是对于初学者而言。
但是，它有一个缺点：并不能解决更复杂的情况，比如右侧是分段函数的情况，因此需要用到其他解法。
2.变量分离法变量分离法是二阶微分方程求解的一种另类方法，它将原方程转换成一个含有单个未知函数但双变量的方程。
比如：$y''+y=0$方程左边的两项y''和y可以看作是函数y和y'的函数。
将方程拆开成两个修正的一阶方程，使用变量分离法来解决，得到：$\frac{dy}{dx}=u$$\frac{du}{dx}=-y$求解上述方程后，我们可以得到原始二阶微分方程的一般解：$y=Acos(x)+Bsin(x)$在实际应用中，变量分离法非常实用，例如在电工电子工程学里，它被用于模拟LC振荡器、无源滤波器等等。
二阶微分方程二阶微分方程作为微积分中的一种常用形式，它的求解方法十分重要。
本文将围绕二阶微分方程的基本定义、求解方法及其应用展开讲述。
一、二阶微分方程的基本定义及形式二阶微分方程指的是形如 $y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$ 的微分方程。
其中$y$ 表示一个未知函数，$P(x)$ 和$Q(x)$ 是已知函数，$f(x)$ 是已知的函数。
二阶微分方程中的 $y''$ 表示未知函数 $y$ 的二阶导数，$y'$ 表示 $y$ 的一阶导数。
$P(x)$ 和 $Q(x)$ 是已知函数，它们可能包含 $x$ 或 $y$，甚至二者的组合。
$f(x)$ 是已知的函数，它是一个关于 $x$ 的函数，通常是我们要寻求的解函数。
二阶微分方程是高阶微分方程的一个特例。
如果方程中只包含 $y''$ 与 $y$，则称为二阶常系数齐次微分方程。
二阶微分方程的一些常见形式：1. $y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)$，这是二阶非齐次线性微分方程的一般形式。
2. $y''+w(x)y=0$，这是二阶齐次线性微分方程的一般形式。
3. $y''-c^2y=0$，这是二阶常系数齐次微分方程的一般形式，其中 $c$ 是常数。
二、二阶微分方程的求解方法1. 变量分离法当二阶微分方程形如 $y''=f(x)$ 时，我们可以用变量分离法求解。
首先将方程两边同时积分得到 $y'=F(x)+C_1$，再次积分得到$y=\\int[F(x)+C_1]dx+C_2$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 分别是积分常数。
2. 特征方程法对于形如 $y''+ay'+by=0$ 的二阶常系数齐次微分方程，我们可以采用特征方程法求解。
首先设 $y=e^{mx}$，代入方程得到 $m^2+am+b=0$，这就是所谓的特征方程。
二阶常微分方程解法二阶常微分方程是数学中常见的方程形式，可以通过不同的方法来求解。
本文将介绍二阶常微分方程的解法，并通过例题来说明具体步骤。
一、齐次二阶常微分方程的解法齐次二阶常微分方程的一般形式为：y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0齐次二阶常微分方程的解法步骤如下：1. 首先，设y=e^(λx)为方程的解，其中λ为待定常数。
2. 求解特征方程λ^2 + P(x)λ + Q(x) = 0的根。
设该方程的根为λ1和λ2。
3. 根据特征根λ1和λ2的值，分别列出对应的解y1=e^(λ1x)和y2=e^(λ2x)。
4. 则原方程的通解为y=C1y1 + C2y2，其中C1和C2为任意常数。
例题1：求解二阶常微分方程y'' - 4y' + 4y = 0。
解题步骤：1. 特征方程为λ^2 - 4λ + 4 = 0，解得λ=2。
2. 因此，对应的特解为y1=e^(2x)。
3. 原方程的通解为y=C1e^(2x) + C2xe^(2x)，其中C1和C2为任意常数。
二、非齐次二阶常微分方程的解法非齐次二阶常微分方程的一般形式为：y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)非齐次二阶常微分方程的解法步骤如下：1. 首先，求解对应的齐次方程y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0的通解，假设为y=C1y1 + C2y2。
2. 再根据待定系数法，设非齐次方程的特解为y*，代入原方程得到特解的形式。
3. 求解特解形式中的待定系数，并将特解形式代入原方程进行验证。
4. 特解形式正确且验证通过后，非齐次方程的通解为y=C1y1 +C2y2 + y*。
例题2：求解二阶常微分方程y'' - 4y' + 4y = x^2 + 3x + 2。
解题步骤：1. 对应的齐次方程的通解为y=C1e^(2x) + C2xe^(2x)，其中C1和C2为任意常数。
微分方程应用二阶常微分方程的解法和物理应用微分方程应用一、引言微分方程是数学中重要的一种方程形式，在各个领域中都有广泛的应用。
其中，二阶常微分方程是微分方程中的常见形式之一，其解法和物理应用具有重要意义。
本文将围绕二阶常微分方程展开讨论，分析其解法和物理应用。
二、二阶常微分方程的解法二阶常微分方程可以写作：$$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)$$其中，$y''(x)$表示函数$y(x)$的二阶导数，$y'(x)$表示函数$y(x)$的一阶导数，$p(x)$、$q(x)$和$f(x)$为已知函数。
在解二阶常微分方程时，常采用以下两种方法。
1. 特征方程法特征方程法是解二阶常微分方程的常用方法之一。
首先，我们将二阶常微分方程转化为特征方程，并求解该特征方程的根。
假设特征方程有两个不同的实根$\lambda_1$和$\lambda_2$，则二阶常微分方程的通解可以表示为：$$y(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$$其中，$C_1$和$C_2$为待定常数。
2. 变量分离法变量分离法也是解二阶常微分方程的常用方法之一。
我们将二阶常微分方程通过一些变换，化为可分离变量的形式。
然后，对方程进行逐步积分，并对变量进行分离，最终求得方程的解。
变量分离法灵活简便，适用于不同形式的二阶常微分方程。
三、二阶常微分方程的物理应用二阶常微分方程在物理学中有着广泛的应用。
下面介绍几个典型的物理应用例子。
1. 自由振动在弹簧振子的运动中，可通过二阶常微分方程描述其自由振动。
方程形式如下：$$m\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0$$其中，$m$表示弹簧振子的质量，$k$表示弹簧的弹性系数。
通过求解该二阶常微分方程，可以得到弹簧振子的运动规律。
2. 热传导热传导现象可用二阶常微分方程进行描述。
热传导方程如下：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$其中，$u$表示温度的变化，$a$为传热系数。
目录1 引言 (1)2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1)2.1 特征方程法 (1)2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2)2.1.2 特征根有重根的情形 (2)2.2 常数变异法 (4)2.3 拉普拉斯变化法 (5)3 常微分方程的简单应用 (6)3.1 特征方程法 (7)3.2 常数变异法 (9)3.3 拉普拉斯变化法 (10)4 总结及意义 (11)参考文献 (12)二阶常微分方程的解法及其应用摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。
应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIALEQUATION AND ITS APPLICATIONAbstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and don't use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect.Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform1 引言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是数学分析里大部分思想和理论的根源。
人所共知，常微分方程从它产生的那天起，就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具。
常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。
常微分方程在很多学科领域有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用。
关于它的解结构己有十分完美的结论，但其求解方法却各有不同，因此.二阶常系数线性微分方程的求解方法成为常微分方程研究的热点问题之一。
而本文正是在这一背景下对于二阶常系数常微分方程的解法和应用做出研究。
2 二阶常系数常微分方程的几种解法通常来说，纵观二阶常系数常微分方程的解法来看，其中比较有代表性的是特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种解法，因为篇幅和个人能力有限，本文则选取这三种具备代表性的解法进行分析。
2.1特征方程法所谓特征方程，实际上就是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，它因数学对象不同而不同，包括数列特征方程，矩阵特征方程，微分方程特征方程，积分方程特征方程等等。
求微分方程的通解.解特征方程的根,(1)若这是两个不等实根,则该方程有两个实值解,故通解为（为任意常数）.(2)若这两个根相等,则该方程有二重根,因此方程的通解具有形状（为任意常数）.(3)若这两个根为共轭复根,则该方程的通解具有形状（为任意常数）.数学的许多公式与定理都需要证明,下面本文给出上面前两个解答的理论依据.2.1.1 特征根是两个实根的情形设是上面特征方程的两个不相等的实根,从而相应的方程有如下两个解, 我们指出这两个解在上线性无关,从而它们能够组成方程的基本解组.事实上,这时 ,而最后一个行列式是著名的德蒙德（Vandermonde ）行列式,它等于.由于假设,故此行列式不等于零,从而,于是 线性无关,这就是所要证明的.而此方程的通解可表示为（其中为任意数）.如果特征方程有复根,则因方程的系数是实常数,复根将成对共轭出现.设是一特征根,则也是特征根,因而与这对共轭复根对应的,方程有两个复值解,.根据定理可知,复值解的实部和虚部也是方程的解.这样一来,对应于特征方程的一对共轭复根,我们可求的方程的两个实值解.2.1.2 特征根有重根的情形 1m y λ⎤++⎥⎦，)n b y e λ++ ,常数变易法是求解微分方程的一种很重要的方法,常应用于一阶线性微分方程的求解。
数变易法中，将常数C 换成()X U 就可以得到非齐次线性方程的通解。
它是拉格朗日十一年的研究成果，我们所用仅是他的结论，并无过程。
它是连接非齐次线性微分方程与相应的齐次线性微分方程的桥梁。
对于二阶常系数非线性常微分方程的解法,只要先求出其一个特解,再运用特征方程法求得方程的通解.求常微分方程 的通解.解 方程对应齐次方程为,其特征方程为.由于方程的通解等于其对应的齐次线性微分方程的通解与其自身的一个特解之和，而二阶常系数齐次线性微分方程的通解我们已经研究过了,所以此处只需求出其一个特解.若为上面方程的实根,则是方程的解.由常数变易法设的一个解为,代入原方程并化简得,这是关于 的一阶线性微分方程,其一个特解为,从而得上面方程的一个特解为.若为上面方程的复根,我们可以设且，则是方程的解，根据常数变易法可设其一个特解为，与情形1的解法类似得方程的一个特解为由于是特解,则积分常量可以都取零.2.3拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是工程数学中常用的一种积分变换法，又名拉氏转换法。
拉氏变换法是一个线性变换法，可将一个有引数实数)0( t t 的函数转换为一个因数为复数s 的函数。
有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往在计算上容易得多。
拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。
引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。
这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。
常系数线性微分方程可以应用拉普拉斯变换法进行求解，这往往比较简单。
由积分.所定义的确定于复平面（）上的复变数的函数,称为函数的拉普拉斯变换,我们称为原函数,而称为像函数.拉普拉斯变换法主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程转换成复平面的代数方程.通过一些代数运算,一般地再利用拉普拉斯变换表,即可求出微分方程的解.方法十分简单方便,为工程技术工作者所普遍采用.当然,方法本身有一定的局限性,它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数.求解方程 .解先使，将问题化为,再对新方程两边作拉普拉斯变换,得到,因此,查拉普拉斯变换表可得,从而,这就是所要求的解.当然,求解二阶或者更高阶的常微分方程的方法还有很多,这里我们不能一一列出.然而我们利用上面的一些结论就可以解决下面的几个物理问题了。
3 常微分方程的简单应用为直观的了解常微分方程的简单应用，本文特选取在求动力学方程对于常微分方程的简单应用进行分析。
通常来说，对于物理问题进行求解主要应该分为以下三个步骤容：第一步是对问题进行分析从而做到对方程的建立并且对定解条件进行明确；第二步是对解的性质进行讨论或者求出方程以便满足初始条件的特解；第三步是定性分析对解，对原来问题反着进行解释，其中最为关键的因素就是要将方程列出，而列出方程的方法主要有：微元分析法和瞬时变化法。
而在对阻尼振动进行研究的过程当中，对运动方程所进行的求解这一问题显得比较复杂，以下就分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程。
3.1 特征方程法例如在弹簧振子系统当中，测试出物体的阻尼系数，物体质量,该弹簧所具备的劲度系数,在此背景下，假设整个质点从静止状态开始逐步运动，求解弹簧振子的位移方程。
解：按照牛顿的第二运动定律的结果得以得到, （1）或, （2）相对来说振动系统这是之前给定的，其中的常量为，如果可以确定,那么以上的方程式可以转变为：, （3）那么把所得到的数据代入公式（3）就可以得到. （4）通过对以上公式的细致观察和研究则可以得到对其进行求解能够使用特征值法，那么在这里的特征方程可以表述为：,并且在这一特征方程当中包含有两个分别根,这样相对应的则(4)的两个根分别为（5）那么按照公式（5）进行计算可以得到振动子固有角频率数值为，在这时候阻尼系数数值为,也就是说,则方程(5)的解可以表述为（初始条件觉得数值）. （6）在公式（6）当中，所保持的属于一个非振动状态，在如此背景之下，所存在的质点也只是在原先的不平衡位置逐步恢复到平衡状态当中，质点并不具备周期振动的特征。
