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二阶常微分方程解的存在问题分析摘要本文首先介绍了二阶常系数齐次线性微分方程的一般解法——特征方程法及二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，然后又介绍了一些可降阶的微分方程类型。
接着，讨论了二阶变系数微分方程的幂级数解法并论述了如何利用变量代换法将某些变系数方程化为常系数方程。
另外，本文还介绍了求解初值问题的另一种方法——拉普拉斯变换法。
最后，给出了二阶微分方程的存在唯一性定理的证明以及它在科学研究、工程技术以及数学建模中解决实际问题的一些应用。
1.引言1.1常微分方程的发展过程与研究途径二阶线性微分方程是常微分方程中一类很重要的方程。
这不仅是因为其一般理论已经研究地比较清楚，而且还因为它是研究非线性微分方程的基础，在工程技术和自然科学中有着广泛的应用。
在科学研究、工程技术中，常常需要将某些实际问题转化为二阶常微分方程问题。
因此，研究不同类型的二阶常微分方程的求解方法及探讨其解的存在唯一性问题是十分重要的。
常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。
牛顿最早采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微分方程。
他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。
用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。
17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。
20世纪30年代直至现在，是常微分方程各个领城迅速发展、形成各自相对独立的而又紧密联在一起的分支学科的时期。
1927－1945年间定性理论的研究主要是跟无线电技术联系在一起的。
第二次世界大战期间由于通讯等方面的要求越来越高，大大地激发了对无线电技术的研究，特别是非线性振动理论的研究得到了迅速的发展。
40年代后数学家们的注意力主要集中在抽象动力系统的拓扑特征, 如闭轨是否存在、结构是否稳定等, 对于二维系统已证明可以通过奇点及一些特殊的闭轨和集合来判断结构稳定性与否；而对于一般系统这个问题尚未解决。
Robin 边值问题三个正解的存在性
唐旭莹
【期刊名称】《应用数学进展》
【年(卷),期】2024(13)4
【摘要】本文运用 Leggett-Williams 不动点定理讨论了具有平均曲率算子Robin 边值问题三个正解的存在性, 其中, Z 表示整数集,[1, T ]Z := {1, 2, ..., T − 1, T}, T ≥ 2 是正整数,, s ∈ (−1, 1),非线性项f : [1, T ]Z × [0, ∞) → [0, ∞) 连续,∆ 是前项差分算子。
【总页数】8页(P1663-1670)
【作者】唐旭莹
【作者单位】西北师范大学数学与统计学院兰州
【正文语种】中文
【中图分类】O17
【相关文献】
1.一类分数阶微分方程耦合系统Robin边值问题正解的存在性
2.一类偶数阶Robin型积分边值问题三重正解的存在性
3.半空间上Robin边值问题正解的存在性
4.Robin型无穷多点边值问题正解的存在性
5.有序Banach空间非线性Robin 边值问题正解的存在性
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收稿日期:２０２２Ｇ０６Ｇ０５.基金项目:国家自然科学基金资助项目(１１９６１０６９);新疆优秀青年科技人才培训计划项目(２０１９Q ０２２);新疆维吾尔自治区自然科学基金(２０１９D ０１A ７１);新疆维吾尔自治区高校科研计划(X J E D U ２０１８Y ０３３);新疆师范大学青年拔尖人才计划项目.作者简介:马玉花(１９９７ ),女,硕士生.㊀∗通信作者:顾海波(１９８２ ),男,教授,硕士生导师.E Ｇm a i l :h b gu _m a t h ＠１６３．c o m .马玉花,顾海波,李㊀宁．非线性C a pu t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性[J ]．南昌大学学报(理科版),２０２３,４７(２):１１８Ｇ１２５．MA Y H ,G U HB ,L IN．E x i s t e n c e o f P o s i t i v e S o l u t i o n s f o rN o n l i n e a r C a pu t o ＧH a d a m a r dF r a c t i o n a l D i f f e r e n t i a l I n c l u s i o n sw i t h I n t e g r a l B o u n d a r y V a l u eC o n d i t i o n s [J ]．J o u r n a l o fN a n c h a n g U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e ),２０２３,４７(２):１１８Ｇ１２５．非线性C a pu t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性马玉花,顾海波∗,李㊀宁(新疆师范大学数学科学学院,新疆乌鲁木齐㊀８３００１７)㊀㊀摘要:通过多值映射的不动点定理,证明了如下一类带有积分边值条件的C a pu t o ＧH a d a m a r d 分数阶微分包含问题多个正解的存在性:C HD αx (t )ɪF (t ,x (t )),１＜t ɤe x (１)＝λʏe １x (s )d s ＋d {,其中C H D α代表C a p u t o ＧH a d a m a r d 分数阶导数,１２＜αɤ１,０ɤλ＜１e －１,d ＞０,F :[１,e ]ˑR ңp (R )的多值映射,p (R )表示R 上所有非空子集.关键词:C a pu t o ＧH a d a m a r d 分数阶微分包含;边值条件;正解;不动点定理中图分类号:O ７１５．１４㊀㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００６Ｇ０４６４(２０２３)０２Ｇ０１１８Ｇ０７E x i s t e n c e o f p o s i t i v e s o l u t i o n s f o r n o n l i n e a r c a pu t o Ｇh a d a m a r d f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n sw i t h i n t e g r a l b o u n d a r y va l u e c o n d i t i o n s MA Y u h u a ,G U H a ib o ∗,L IN i n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c sS c i e n c e s ,X i n j i a n g N o r m a lU n i v e r s i t y ,U r u m qi ８３００１７,C h i n a )A b s t r a c t :B y t h e f i x e d p o i n t t h e o r e mo fm u l t i Ｇv a l u e dm a p p i n gs ,w e o b t a i n t h e e x i s t e n c e t h e o r e mo f a t l e a s t t w o p o s i t i v e s o Ｇl u t i o n s f o r t h e f o l l o w i n gp r o b l e mo fC a p u t o ＧH a d a m a r d f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o nw i t h i n t e g r a l b o u n d a r y va l u e c o n d i t i o n :C HD αx (t )ɪF (t ,x (t )),１＜t ɤe x (１)＝λʏe １x (s )d s ＋d {,其中C H D α,w h e r e C H D αd e n o t e s t h eC a p u t o ＧH a d a m a r d f r a c t i o n a l d e r i v a t i v e ,１２＜αɤ１,０ɤλ＜１e －１,d ＞０,F :[１,e ]ˑRңp (R )i s am u l t i v a l u e d m a p ,p (R )i s t h ef a m i l y o f a l l s u b s e t s o f R ．K e y Wo r d s :C a p u t o ＧH a d a m a r d f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n ;b o u n d a r y v a l u e c o n d i t i o n ;p o s i t i v e s o l u t i o n s ;f i x e d p o i n t t h e Ｇo r e m㊀㊀分数阶微积分是应用数学中最重要的领域之一,它将现有的整数阶的微分算子推广到任意阶的微分算子.近年来,关于分数阶微分方程问题引起了人们广泛的关注.分数阶微分方程应用于反常扩散㊁流体力学㊁生物医学㊁最优控制等领域.相比起整数阶的微分算子,分数阶微分算子具有全局性,从而可以准确描述客观世界的发展规律.伴随着自然科学及社会科学发展㊁复杂工程应用需求的增加,分数阶微分方程已不能满足人类探索发展规律的需求,而微分包含可以看作是分数阶微分方程的推广,它可以对复杂的现象进行更加准确的刻画.对于微分包含解的存在性一直是人们研究的热点问题,同时人们已经不再满足去寻找微分包含的一般解,而是想找到更具有现实意义的正解.有关分数阶微分包含的理论研究有很多[１－１３].在现有的成果当中,有关分数阶微分包含正解的存在性定理的结果并不是很多[８－９],因此,对于微分包含具有多个正解的存在性研究是第４７卷第２期２０２３年４月㊀㊀㊀㊀㊀㊀南昌大学学报(理科版)J o u r n a l o fN a n c h a n g U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e )V o l ．４７N o ．２A pr ．２０２３㊀必要的.文[６]中,作者结合变分方法和临界点理论,给出了下面一类带奇异项的非局部问题正解的唯一性.－[a ＋b (ʏa |Ñu |２d x )m ]Δu ＝f (x )u －γ－λu p －１,x ɪΩu ＞０,x ɪΩu ＝０,x ɪ∂Ωìîíïïïï其中Ω是R N (N ȡ３)是一个有界开区域且具有光滑边界阶∂Ω,a ,b ȡ０且a ＋b ＞０,m ＞０,λȡ０,１＜p ɤ２,０＜γ＜１.系数函数f 为非零非负函数.文[７]中,作者利用不动点定理,给出了下面一类非线性加权问题正解的存在性.cD η,ψ,ω０＋z (t )＝f (t ,u (t )),０＜t ɤ１z (０)＝z ０＞０{其中c D η,ψ,ω０＋是加权广义η阶的C a p u t o 分数阶导数,０＜η＜１,连续函数f :[０,１]ˑR ＋ңR ＋,严格增函数ψ:[０,１]ңR ＋,加权函数ω(t )ʂ０且满足ω－１(t )＝１ω(t).文[８]中,作者通过多值映射的压缩不动点定理,给出了下面非线性分数阶微分包含正解的存在性定理.C H D α０＋u (t )ɪF (t ,u (t )),t ɪ(０,１)u (０)＝u ㊆(０),u (１)＝λʏ１０u (s )d s ìîíïïïï其中C H D α０＋是α阶的Ca p u t o 分数阶导数,２＜α＜３,０＜λ＜２,F :[０,１]ˑR ңp (R )是具有紧值的多值映射,p (R )是R 的非空子集.受以上结果的启发,本文将研究如下带有积分边值的分数阶微分包含多个正解的存在性问题C HD αx (t )ɪF (t ,x (t )),１＜t ɤex (１)＝λʏe１x (s )d s ＋d {(１)其中C H D α代表C a pu t o ＧH a d a m a r d 分数阶导数,１２＜αɤ１,０ɤλ＜１e －１,d ＞０,F :[１,e ]ˑR ңp (R )的多值映射,p (R )表示R 上所有非空子集.本文将利用[１０]中G u o －K r a s n o s e l s k i i s 不动点定理,给出带积分边界值条件的分数阶微分包含方程(１)的正解存在的充分条件.本文具体安排如下:在第１节中,我们给出了相关预备知识,包括问题描述㊁基本定义和相关引理,以及本文所需的条件假设;在第２节中,我们利用不动点定理给出了(１)存在多个正解的充分条件;在第３节中,举出一个例子说明主要结果的有效性;在第４节中,对文章进行了总结.１㊀预备知识㊀㊀这部分我们将介绍一些相关的基础概念及定义,并介绍了一些对后续正解的存在性定理非常重要的引理.首先,我们将介绍一些关C a pu t o ＧH a d a m a r d 分数阶微积分相关的内容,定义１．１[１４]㊀连续函数x :１,＋ɕ[)ңR 的α＞０阶的H a d a m a r d 分数阶积分为H I αx (t )＝１Γ(α)ʏt１l o g t s æèçöø÷(n －α－１)x (s )d ss,n －１＜αɤn㊀㊀定义１．２[１４]㊀连续函数x :１,＋ɕ[]ңR 的α＞０阶的C a pu t o ＧH a d a m a r d 分数导数为C H D αx (t )＝１Γn －α()ʏt１l o g t s æèçöø÷(n －α－１),δn(s )d s s,n －１＜αɤn其中δn ＝t d d t æèçöø÷n ,n ɪN .下面我们将介绍一些关于多值映射的基本概念.令(X , )是一个赋范线性空间,一个多值映射F :９１１ 第２期㊀㊀㊀㊀㊀马玉花等:非线性C a pu t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性X ңp (X )满足:(１)若对于任意的x ɪX ,F (X )是闭的(凸的),则称多值映射F 是闭的(凸的).(２)若对于X 上所有的有界子集B ,有F (B )＝ɣx ɪBF (x )是有界的,则多值映射F 在有界集上是有界的.(３)若对于X 上所有的有界子集B ,F (B )是相对紧的,则多值映射F 是全连续的.定义１．３[１５]㊀(X , )是一个赋范线性空间,多值映射Θ:X ңp (X ).若对每一个x ０ɪX ,集合Θ(x ０)是X 的一个非空闭子集,对于X 中的每个包含Θ(x ０)开子集B ,存在x ０的一个开邻域V ,使得Θ(V )⊆B ,则称Θ在X 上是上半连续的.定义１．４㊀若对于每个x ɪC ([１,e ],R ),称S F ,x 是F 的选择集合,定义为:S F ,x ＝f ɪL １([１,e ],R ):f ɪF (t ,x (t )),对于几乎处处的t ɪ[１,e ]{}㊀㊀定义１．５㊀假设０＜αɤ１,λȡ０,d ＞０,x ɪC ([１,e ]),满足x (１)＝λʏe１x (s )d s ＋d 并且存在f ɪS F ,x ,使得x (t )满足积分方程:x (t )＝１Γ(α)ʏt１l o g t s æèçöø÷α－１f (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d ,t ɪ[１,e ]则x 是以下边值问题的唯一解C HD α１x (t )＝f (t ),１＜t ɤe x (１)＝λʏe１x (s )d s ＋d {㊀㊀定义１．６[１５]㊀设X 为B a n a c h 空间,C 是X 的闭凸子集,P c p ,c (C )表示C 中所有非空紧凸子集集合.对于任意有界子集Ω⊂X ,它的非紧测度为γ(Ω)＝i n f {d ＞０:Ω可以被有限多个直径小于等于d 的集合覆盖}定义１．７[１５]㊀多值映射F :[１,e ]ˑR ңP (R ),若满足:(１)对于x ɪ[０,ɕ),t ңF (t ,x )是可测的,且对几乎所有的t ɪ[１,e ],x ңF (t ,x )是上半连续的,则F 是C a r a t h e o d a r y 的.(２)如果对每一个δ＞０,存在φδɪL １([１,e ],R ＋),使得对几乎所有的 x ɤδ和t ɪ[１,e ],都有 F (t ,x ) ＝s u p {|w |:w ɪF (t ,x )}ɤφδ(t ),则F 是L １－C a r a t h e o d a r y .定义１．８[１５]㊀设X 为B a n a c h 空间,若对于映射T :E ⊂X ңX ,T 连续且满足条件:对每个有界子集Ω⊂E ,均有γ(T Ω))ɤk (Ω),则称T 为k －集压缩映射(k ȡ０).对于k ＜１的k －集压缩映射称为严格k －集压缩映射.特别地,全连续映射是０－集压缩映射,因此是严格k －集压缩映射.引理１．２[１６]㊀设X 为B a n a c h 空间,令F 是一个多值映射,满足F :[１,e ]ˑR ңP c p ,c (C )是L １－C a r a t h e od a r y 令Θ:L １([１,e ],R )ңC ([１,e ],R )是一个连续线性算子,则Θ S F :C ([１,e ],R )ңP c p ,c (C ([１,e ],R )),x ң(Θ S F )(x )＝Θ(S F ,x )是C ([１,e ],R )ˑC ([１,e ],R )中的一个闭图算子.其中C ([１,e ],R )表示[１,e ]ңR 上的连续函数.引理１．３[１６]㊀若Θ是上半连续当且仅当Θ存在一个闭图象,即x n ңx ∗,y n ңy ∗,y n ɪA (x n ),有y ∗ɪA (x ∗).引理１．４[１０]㊀令E 是一个B a n a c h 空间,C ⊂E 是一个锥,且 在C 上是增的.若存在常数L ,r ,Q ,k ,(０＜L ＜r ＜Q ,０ɤk ＜１)和上半连续的k －集压缩映射F :Ωk －ɘC ңP c p ,c (C ),使得以下条件成立,则F 至少有两个不动点,x ０和x １,其中x ０ɪC ɘ(Ωr ΩL )和x １ɪC ɘ(ΩQ －\Ωr －).(１)对∀x ɪ∂E Ωr ɘC ,x ∉F (x );(２)对∀h ɪF (x ),x ɪ∂E ΩL ɘC ,有 h ＞ x ;(３)对∀h ɪF (x ),x ɪ∂E Ωr ɘC ,有 h ɤ x ;(４)对∀h ɪF (x ),x ɪ∂E ΩQ ɘC ,有 h ȡ x .０２１ 南昌大学学报(理科版)２０２３年㊀其中,Ωr ＝{x ɪE : x ＜r },∂E Ωr ＝{x ɪE : x ＜r }.对于∂E ΩL ,ΩQ 同理.为方便下文讨论,给出下列记号:设E ＝(C [１,e ], ),范数定义为 x ＝m a x t ɪ[１,e]|x (t )|,K ＝{x ɪC [１,e ]:x (t )ȡ０}显然K 是E 上的一个锥.定义算子A :K ңP c p ,c (C [１,e ]),A (x )＝h (t )ɪC [１,e ]:h (t )＝１Γ(α)ʏt １(l o g t s )α－１f (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d ,f ɪS F ,x ,t ɪ[１,e ]ìîíïïïüþýïïï下面给出本文假设条件如下:(H １)函数F :[１,e ]ˑ[０,ɕ]ңP c p ,c ([０,ɕ))是L １－C a r a t h e o d a r y ,并且有非空的紧凸值.(H ２)存在一个不减函数φ:[０,ɕ]ң(０,ɕ)和一个函数p ɪL ２([１,e ]ңR ＋),使得 F (t ,x ) p :s u p {|w |:w ɪF (t ,x )}ɤp (t )φ(x )㊀㊀(H ３)存在ηɪC [１,e ],η(t )＞０,有 F (t ,x ) q :i n f {|w |:w ɪF (t ,x )}ȡη(t )φ(x )㊀㊀(H ４)存常数r ＞０,使得(１－λ(e －１))r －p L ２φ(r )Γ(α)(２α－１)１２－(d ＋１)＞０㊀㊀(H ５)存在ξɪ[１,e ],０＜L ＜r ,使得ʏξ１(l o g ξs )α－１η(s )d s s ＞L －d Γ(α)φ(L )㊀㊀(H ６)存在ζɪ[１,e ],０＜r ＜Q ,使得ʏζ１(l o g ζs )α－１η(s )d s s ȡQ －d Γ(α)φ(Q )㊀㊀为了得到微分包含边值问题(１)的正解的存在性定理,先证明下面的引理:引理１．５㊀假设条件(H １)和(H ２)成立,则算子A 是一个上半连续的全连续算子.证明㊀第１步,A 将E 的有界集映射成为E 中的有界集.令B r ＝{x ɪE : x ɤr }是K 中的有界集.对于t ɪ[１,e ],x ɪB r 时,f ɪS F ,x ,令h (t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１f (s )d ss＋λ则对t ɪ[１,e ],由条件(H ２)有|h (t )|ɤ１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１|f (s )|d ss＋λʏe１|x (s )|d s ＋d ɤφ( x )Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１p (s )d s s ＋λʏe１|x (s )|d s ＋d ɤ p L ２φ(r )Γ(α)(２α－１)１２＋λ(e －１)r ＋d ＜r 故当t ɪ[１,e ]时有 h (t ) ɤp L ２φ(r )Γ(α)(２α－１)１２＋λ(e －１)r ＋d ＜r 从而A (B r )是一致有界的.第２步,A 是将有界集合映射到等度连续集.令t １,t ２ɪ[１,e ]且t １＜t ２,则由条件(H ２),有１２１ 第２期㊀㊀㊀㊀㊀马玉花等:非线性C a pu t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性|h (t ２)－h (t １)|＝１Γ(α)ʏt ２１(l o g t ２s )α－１f (s )d s s －１Γ(α)ʏt １１(l o g t １s )α－１f(s )d s sɤ１Γ(α)ʏt １１(l o g t １s )α－１－(l o g t ２s )α－１æèçöø÷|f (s )|d s s ＋１Γ(α)ʏt ２t １(l o g t ２s )α－１|f (s )|d s s ɤ p L ２φ( x )Γ(α)ʏt １１(l o g t １s )α－１－(l o g t ２s )α－１æèçöø÷２d s s ２æèçöø÷１２＋p L ２φ( x )l o g t ２t １æèçöø÷α－１２Γ(α)(２α－１)１２利用L e b e s g u e 控制收敛定理知,当t １ңt ２时,有ʏt １１(l o g t １s )α－１－(l o g t ２s )α－１æèçöø÷２d s s ２ң０因此,当t １ңt ２时,|h (t ２)－h (t １)|ң０,即A 是等度连续的.由A s c o l i －A r z e l a d 定理,A 是全连续的.第３步,A 存在一个闭图,令x n ңx ∗,h n ңh ∗,h n ɪA (x n ),要证h ∗ɪA (x ∗).对于h n ɪA (x n ),则存在f n ɪS F ,x n,使得h n (t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１f n (s )d ss＋λʏe１x n (s )d s ＋d 定义线性算子:Θ:L １([１,e ],[０,ɕ))ңC ([１,e ],[０,ɕ))f ң(Θf )(t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１f (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d 又因为h n (t )ɪΘ(S F ,x n),x n ңx ∗,h n ңh ∗.由引理１．２知,Θ是闭图象算子,故h ∗ɪΘ(S F ,x ∗),即存在f ∗ɪS F ,x ∗,满足h ∗(t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１f ∗(s )d ss ＋λʏe１x ∗(s )d s ＋d 再由引理１．３知,A 是上半连续的.综上,A 是一个上半连续的全连续算子.２㊀主要结果㊀㊀定理２．１㊀若假设条件(H １)－(H ６)都成立,则(１)至少存在两个正解.证明㊀由引理１．５知A 是一个上半连续的全连续算子,下面只需要证明A 满足引理１．４的所有条件,即可证明(１)至少存在两个正解.首先证明,A :K ңP c p ,c (K ),任给的x ɪK ,h ɪA (x ),那么存在w ɪS F ,x ,有h (t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１w (s )d ss ＋λʏe１x (s )d s ＋d 又因为F :[１,e ]ˑ[０,ɕ)ңP c p ,c ([０,ɕ)),因此,当t ɪ[１,e ]时h (t )＝１Γ(α)ʏt１l o g t s æèçöø÷α－１w (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d ȡd 故有h ɪK .即A :K ңP c p ,c (K ).下证,对∀x ɪ∂E Ωr ɘK ,x ∉A (x ).用反证法,假设存在x ɪ∂E Ωr ɘK ,t ɪ[１,e ],使得x ɪA (x ), x ＝r ,存在w ɪS F ,x ,利用H öl d e r 不等式,有|x (t )|＝１Γ(α)ʏt １(l o gt s )α－１w (s )d ss＋λʏe１x (s )d s ＋d ɤ１Γ(α)ʏt１(l o gt s )α－１|w (s )|d s s ＋λʏe１|x (s )|d s ＋d ɤ２２１ 南昌大学学报(理科版)２０２３年㊀φ( x )Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１p (s )d s s ＋λʏe１|x (s )|d s ＋d ɤ p L ２φ(r )Γ(α)(２α－１)１２＋λ(e －１)r ＋d ＜r 故与假设(H ４)矛盾.其次证,对∀h ɪA (x ),x ɪ∂E ΩL ɘK ,有 h ＞ x .任意x ɪ∂E ΩL ɘK ,则 x ＝L .任意x ɪK ,存在w ɪS F ,x ,当t ɪ[１,e ],使得h (t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１w (s )d ss ＋λʏe１x (s )d s ＋d 由条件(H ３)和(H ５)可知 h ȡh (ξ)＝１Γ(α)ʏξ１(l o g ξs )α－１w (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d ȡ１Γ(α)ʏξ１(l o g ξs )α－１η(s )φ( x )d s s ＋d ȡφ( x )Γ(α)ʏξ１l o g ξs æèçöø÷α－１η(s )d s s ＋d ＞L ＝ x 再证对∀h ɪA (x ),x ɪ∂E Ωr ɘK ,有 h ɤ x .任意x ɪ∂E Ωr ɘC ,则 x ＝r .任意x ɪK ,存在w ɪS F ,x ,t ɪ[１,e ],使得h (t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１w (s )d ss＋λʏe１x (s )d s ＋d 由条件(H ２)和(H ４)可知|h (ξ)|＝１Γ(α)ʏξ１(l o g ξs )α－１w (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d ɤ１Γ(α)ʏξ１(l o gξs )α－１|w (s )|d s s ＋λʏe１|x (s )|ds ＋d ɤ p L ２φ(r )Γ(α)((２α－１))１２＋λ(e －１)r ＋d ɤr ＝ x 由ξɪ[１,e ]的任意性有 h ɤ x .最后证明,对∀h ɪA (x ),x ɪ∂E ΩQ ɘK ,有 h ȡ x .任意x ɪ∂E ΩQ ɘK ,则 x ＝Q .任意x ɪK ,存在w ɪS F ,x ,t ɪ[１,e ],使得h (t )＝１Γ(α)ʏt１(l o g t s )α－１w (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d 由条件(H ２)和(H ６)知,h (ζ)＝１Γ(α)ʏζ１(l o g ζs )α－１w (s )d s s ＋λʏe１x (s )d s ＋d ȡ１Γ(α)ʏζ１(l o g ζs )α－１η(s )φ( x )d s s ＋d ȡφ( x )Γ(α)ʏζ１l o g ζs æèçöø÷α－１η(s )d s s＋d ȡQ ＝ x 由ζɪ[１,e ]的任意性有 h ȡ x .综上,A 满足引理１．４的所有条件,故A 至少有两个不动点x ０和x １,其中x ０ɪC ɘ(Ωr \ΩL )和x １ɪC ɘ(ΩQ －\Ωr －).即L ɤx ０＜r ＜x １ɤQ 是(１)的两个正解.３㊀例子㊀㊀为了说明我们主要结果的有效性,下面给出一个简单的例子.C HD αx (t )ɪF (t ,x (t )),１＜t ɤe ,x (１)＝λʏe１x (s )d s ＋d {(２)其中α＝０．７,λ＝０,d ＝１.F :[１,e ]ˑR ңP c p ,c (R )的多值映射:３２１ 第２期㊀㊀㊀㊀㊀马玉花等:非线性C a pu t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性x ңF (t ,x )＝e x１０(e x ＋３),１３＋t t －１x ＋１æèçöø÷＋２éëêêùûúú对于f ɪF (t ,x ),有１１０ɤm i n e x １０(e x ＋３),１３＋t t －１x ＋１æèçöø÷＋２æèçöø÷ɤ|f |ɤm a x e x１０(e x ＋３),１３＋t t －１x ＋１æèçöø÷＋２æèçöø÷ɤ１２因此,F (t ,x ) p :s u p {|w |:w ɪF (t ,x )}ɤ１２＝p (t )φ( x ) F (t ,x ) q :i n f {|w |:w ɪF (t ,x )}ȡ１１０＝η(t )φ( x )φ(x )＝(e －１)３２p (t )＝１(e －１)３η(t )＝１１０(e －１)３计算知,当r ＞２．２０时,满足(１－λ(e －１))r －p L ２φ(r )Γ(α)(２α－１)１２－(d ＋１)＞０若取r ＝２．２１,存在ξɪ[１,e ],当０＜L ＝１．２９＜r 时,有ʏξ１(l o g ξs )α－１η(s )d s s ＞L －d Γ(α)φ(L )存在ζɪ[１,e ],０＜r ＜Q＝２．５１时,有ʏζ１(l o g ζs )α－１η(s )d s s ȡQ －d Γ(α)φ(Q )从而边值问题(２)满足引理２．１的所有条件,故根据定理２．１,(２)至少存在两个正解.４㊀总结㊀㊀本篇文章结合前人有关分数阶微分方程正解的存在性研究,将单值推广到多值,再利用多值映射的压缩或拉伸不动点定理,研究了一类带有积分边值条件的C a p u t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性问题,最后举出一个简单的例子说明结果的有效性.正解相比较一般的解更具有实际意义,而实际生活中问题复杂且受到多种因素的干扰,对于分数阶微分包含模型的建立和正解的存在性研究造成很多困难,因此如何更有效的寻找到分数阶微分包含的正解有待进一步的探究.参考文献:[１]㊀B E L MO RS ,J A R A DF ,A B D E L J AWA DT．O nC a p u t o ＧH a d a m a r d t y p e c o u p l e d s y s t e m s o f n o n c o n v e x f r a c t i o n a l d i f f e r e n Ｇt i a l i n c l u s i o n s [J ]．A d v a n c e s i nD i f f e r e n c eE qu a t i o n s ,２０２１,２０２１(１):１Ｇ１２．[２]L A C HO U R IA ,A B D O MS ,A R D J O U N IA ,e t a l ．H i l f e r f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n sw i t hE r d él y i ＧK o b e r f r a c t i o n a l i n t e Ｇg r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n [J ]．A d v a n c e s i nD i f f e r e n c eE q u a t i o n s ,２０２１,２０２１(１):２４４．[３]Y A N GD ,B A IC ．E x i s t e n c e o f S o l u t i o n s f o rA n t i ＧP e r i o d i cF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a l I n c l u s i o n sw i t h ψＧC a u p t oF r a c t i o n a lD e Ｇr i v a t i v e [J ]．D i s c r e t eD y n a m i c s i nN a t u r e a n dS o c i e t y,２０１９,２０１９:１Ｇ８．[４]P I A Z Z ALD ,MA R R A F F A V ,S A T C OB ．M e a s u r eD i f f e r e n t i a l I n c l u s i o n s :E x i s t e n c eR e s u l t s a n dM i n i m u mP r o b l e m s [J ]．S e t ＧV a l u e da n dV a r i a t i o n a lA n a l y s i s ,２０２０,２９(２０２１):３６１Ｇ３８２．[５]MA R R A F F A ,V．,D IP I A Z Z A ,L ．,S A T C O ,B ．A p p r o x i m a t i n g t h e s o l u t i o n so f d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n sd r i v e nb y me a s u r e s [J ]．A n n a l i d iM a t e m a t i c a ,２０１９,１９８(２０１９):２１２３Ｇ２１４０．４２１ 南昌大学学报(理科版)２０２３年㊀[６]林荣瑞,佘连兵,吴莲发．一类带奇异项的非局部问题正解的唯一性[J ]．南昌大学学报(理学版),２０２１,４５(２):１１１Ｇ１１６．[７]A B D O M S ,A B D E L J AWA DT ,A l i S M ,e t a l ．E x i s t e n c e o f p o s i t i v e s o l u t i o n s f o rw e i g h t e d f r a c t i o n a l o r d e r d i f f e r e n t i a l e Ｇqu a t i o n s [J ]．C h a o s ,S o l i t o n s&F r a c t a l s ,２０２０,１４１:１１０３４１．[８]HA G H I ,T．,G HA N B A R I ,K．P o s i t i v e s o l u t i o n s o f n o n l i n e a r f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n s [R ]．I nT h e ４６Ｇt hA n n u a l I Ｇr a n i a n M a t h e m a t i c sC o n f e r e n c e ,２０１５:８８２Ｇ８８５．[９]李春红,杨丹丹．带有积分边值的非线性分数阶微分包含多个正解存在性[J ]．沈阳大学学报(自然科学版),２０２０,３２(３):２５８Ｇ２６２．[１０]A G A RWA LRP ,O ＂R E G A N D．A N o t eo n t h eE x i s t e n c eo fM u l t i p l eF i x e dP o i n t s f o rM u l t i v a l u e d M a p sw i t hA p p l i c a Ｇt i o n s [J ]．J o u r n a l o fD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s ,２０００,１６０(２):３８９Ｇ４０３．[１１]G U H ,S N U Y．N o n l o c a l c o n t r o l l a b i l i t y o f f r a c t i o n a lm e a s u r ee v o l u t i o ne q u a t i o n [J ]．J o u r n a l o f I n e q u a l i t i e sa n dA p p l i c a Ｇt i o n s ,２０２０,２０２０(１)．[１２]G O U H ,L IY．E x i s t e n c ea n dA p p r o x i m a t eC o n t r o l l a b i l i t y o fS e m i l i n e a r M e a s u r eD r i v e nS y s t e m sw i t h N o n l o c a lC o n d i Ｇt i o n s [J ]．B u l l e t i no f t h e I r a n i a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y ,２０２１,４８:７６９Ｇ７８９．[１３]Z HO U Y ,P E N GL ．T o p o l o g i c a l p r o p e r t i e s o f s o l u t i o ns e t s f o r p a r t i a l f u n c t i o n a l e v o l u t i o n i n c l u s i o n s [J ]．C o m p t e s r e n d u s M a t h e m a t i qu e ,２０１７,３５５(１):４５Ｇ６４．[１４]G OHA R M ,L IC ,Y I N C ．O nC a p u t o ＧH a d a m a r df r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s [J ]．I n t e r n a t i o n a l J o u r n a lo fC o m p u t e r M a t h e m a t i c s ,２０２０,９７(７):１４５９Ｇ１４８３．[１５]G O R N I E W I C ZL ．A p r o x i m a t i o n M e t h o d s i nF i x e dP o i n tT h e o r y o fM u l t i v a l u e d M a p p i n g s [M ]//T o p o l o g i c a l F i x e dP o i n t T h e o r y o fM u l t i v a l u e d M a p p i n g s ．S p r i n g e r ,D o r d r e c h t ,１９９９:１０５Ｇ１５７．[１６]D E N K OW S K I Z ,S M I G O R S K I ,P A P A G E O R G I O U NS ．S E T ＧV a l u e dA n a l y s i s [M ]．B o s t o n :S p r i n ge r ,２００３．５２１ 第２期㊀㊀㊀㊀㊀马玉花等:非线性C a pu t o ＧH a d a m a r d 型分数阶微分包含正解的存在性。
