有理函数和可化为有理函数的教案

《数学分析Ⅰ》教学大纲课程编号：122206A课程类型：□√通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□专业选修课□学科基础课总学时：96 讲课学时：96 实验（上机）学时：0 学分：6适用对象：经济统计学专业先修课程：无毕业要求：1.应用专业知识，解决数据分析问题2.可以建立统计模型，获得有效结论3.掌握统计软件及常用数据库工具的使用4.关注国际统计应用的新进展5.基于数据结论，提出决策咨询建议6.具有不断学习的意识一、课程的教学目标《数学分析》是大学数学专业与统计学专业最重要的一门基础课程，是几乎所有后继课程的必备基础，对培养学生的数学素养至关重要。

通过本课程的教学，引导学生领会极限的思想和方法，掌握数学分析的基本理论和论证方法，培养学生严瑾的逻辑思维能力和推理论证能力、演算技能和应用能力等数学素质，为学习后继课程打下扎实的基础。

《数学分析I》是其第一部分。

二、教学基本要求（一）教学内容及要求《数学分析I》主要教学内容包括实数集与函数、数列极限、函数极限、函数的连续性、导数与微分、微分中值定理及其应用、实数的完备性、不定积分、定积分及其应用、反常积分等。

在教学过程中要细讲极限理论，为本课程学习打下扎实的理论基础；精讲极限、导数、微分、不定积分和定积分等基本概念、基本性质及相关理论，使学生建立基本的知识框架；对于难点，如极限理论、微分中值定理和实数完备理论，需要讲透理论，并且结合实例加深理解。

（二）教学方法和教学手段在课堂教学中，以启发式教学为主进行课堂讲授，板书教学和多媒体教学结合。

课堂上加强与学生的互动，引导学生探索讨论，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习主动性，提高课堂学习效率。

（三）实践教学环节本课程的实践教学环节以习题评析、实例讨论和应用研究为主，使学生能够理论联系实际，学以致用，从而逐步提高学生的知识运用能力和应用创新能力。

（四）学习要求学生需要做好课前预习、课堂学习、课后复习、做作业等学习环节，以掌握本课程所学内容。

第八章不定积分教学要求：1.积分法是微分法的逆运算.要求学生：深刻理解不定积分的概念,掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法那么,熟练掌握不定积分的根本积分公式.2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位.要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数〔或凑微分〕的原那么,并能恰当地选取替换函数〔或凑微分〕,熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式,知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式,并能恰当地将被积表达式分成两局部的乘积, 熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题, 从而逐步达到快而准的求出不定积分.3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的根底.要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分,知道有理函数的不定积分〔原函数〕还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法, 从理论上熟悉到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来.教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；教学时数：18学时1 / 19教学要求：积分法是微分法的逆运算.要求学生：深刻理解不定积分的概念, 掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法那么, 熟练掌握不定积分的根本积分公式.教学重点：深刻理解不定积分的概念.、新课引入：微分问题的反问题,运算的反运算、讲授新课：〔一〕不定积分的定义:1.原函数:例1 填空：〔；〔〕' = -2cosx ;上；'］；•；；；；---' - Al .；；.；' -：二二；ax ax一二.二二.定义. 注意是/⑺的一个原函数.原函数问题的根本内容：存在性,个数,求法原函数的个数：Th假设尸〔工〕是了⑺在区间I上的一个原函数,那么对Vt ,尸㈤+ r都是了〔1〕在区间I上的原函数；假设G⑶也是了⑶ 在区间I上的原函数,那么必有G⑺=户⑺+ c.〔证〕2 / 19可见,假设/⑶有原函数f〔i〕,那么了⑺的全体原函数所成集合为｛产.〕+ “ CFR〕.原函数的存在性：连续函数必有原函数.〔下章给出证实〕.可见,初等函数在其定义域内有原函数；假设/⑴在区间I上有原函数, 那么/⑴在区间I上有介值性.例2. F⑺为/〔工〕=2］的一个原函数,F〔2〕=5 .求网X〕.2.不定积分一一原函数族：定义；不定积分的记法；几何意义.例3 I- ' ,「,•'•一；•,•;J1 + / -〔二〕不定积分的根本性质：以下设了㈤和改力有原函数.〔先积分后求导,形式不变应记牢! 〕.⑵［八］油二网+匕,〔先求导后积分,多个常数需留神！〕⑶时,」^〔二〕后="/〔工心,〔被积函数乘系数,积分运算往外挪！〕〔4〕二+ 一厂【"一厂丁厂由⑶、⑷可见,不定积分是线性运算,即对YaJeR,有4〔x〕+施〔疝必=aJ/ONx +蚱⑺dx〔当& = /二.时,上式右端应理解为任意常数.〕jy 〔2x-i 〕血=耳/+广二.求/⑴.〔/⑴二2〕..不定积分根本公式： 根本积分表.[1]P180 一 公式1 — 14. 5 12 ..利用初等化简计算不定积分：§ 2换元积分法与分部积分法 〔1 0学时〕4 / 19例4〔三〕例 〔四〕 例6例7例8例9例10例11教学要求：换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数〔或凑微分〕的原那么,并能恰当地选取替换函数〔或凑微分〕,熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式,知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式, 并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积,熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题, 从而逐步到达快而准的求出不定积分.教学重点：熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；一、新课引入：由直接积分的局限性引入二、讲授新课：〔一〕. 第一类换元法 --------凑微分法：由」「. 一•［二：■ ■：■.：-- - :二. . ■,■1：■：■. T 一：- T. ■Jl0sin12KCC>S2Td二=5J sin4 23(sin 22di =5pin42Kdsin 2AL* 5, ,心........ .—5JV欣-u +c二仙2x + c.引出凑微公式.Thi假设’⑶连续可导,那么该定理即为：假设函数g〔f〕能分解为就有,⑷或"］7［频〕/©应=］7［施〕口的〕5 / 19J 加 + b)牌dx,(3^0.Jcos3xcos 2Kd -J(cos x + CO 65T )H 工=・••常见微分凑法:/Q 工 + S)dx = -f[ax +8)dQ 工+ 3) = -f(u)du|sin 3 xd1= g J(1 — cos x)dx =…=:5聊 2x) +c由例4—7可见,常可用初等化简把被积函数化为 /就+b 〕型,然后用凑法1.「 P xd 工 例8 (1)i ——:Jl + V凑法dxJ2 + & + 1)显 x+l…=-arctg —j=r +c港+2z-3(x+3)(x-l) 4,半4 k+3+c, ⑵]4 + X 10凑法2 户了(#)］以= "(/ 例9 Jisin x2a 同. rSin4x , 例10 ——d^J 七dx 例111J业一)例12 fif 5 n -'『-2F +c. ?(/岫」)d W)」血.特别地,有k k)W(x‘)= —f^}du和『(')七=2/(瓜卜瓜.2 Ji伙.•= 2 f—j=£^= = 2 arc sin 正 + e .「芯欣1 . d(7) 5 1 J1 1 V = —_7---------- = - -———====- - ----------------------- auW+D 2k1. u= -In -- +c =2廿+1凑法3 / (sin x) cos xdx = /(sm 1)d sin/ (cos x) sin xdx = -/(cos x)d cos x =J厕sec xdx =拉琬dtgx = f(u)c例13⑴『in'gf疝,⑵ Jsi (彳+1) 2 J 口以+1」b /-In —+ c .2 / +11=/("加-/1)也iu.n * xdx.J-/伽 x)— = /(In /din x = 血.工:cun五)七=/(arcsx x)d arcsin x = f(ii)du;/(arctgx) >“「 上『、,.1+/2 ^arctgtdarctgt = (arctgf)2 + 匕=(平坦金丫 +c其他凑法举例:例20In 彳 + 1 , rdfx =(xln 万一 小 , ^sec x(sec z + igx) , .sec x + sec xfgx , 例 22 sec 彳改= ----= f- —J J £ECX+侬 J sec x + £gx8 / 19例15Jsec 6 xtix例16 仲'皿晨"I —九皿sec" x -1) sec sec x凑法4「二二〞、二‘'士’二.：■：■, .例17 例19十工〕「arctgG 厂『而严恭日 21丁打钎1寸小凑法5例18「 dxJ x(l J 21n x) 凑法6pd(xln x)例21必也"国力 , I.------------------ -- In | sec x + Eg 工 | +c . J seer + tgx小八八 ji cosx + sin z , 例23 _二.J Vsin x-cosx— ,cosx +5sm x s 例24.J sin z + cos x门工 -5, 例26.J? + 2x + 2从积分 心.广£山出发,从两个方向用凑微法计算,即, ------ xiu । -------------- |\/1 - x 2 dx=-== rVl _ sin；j(l + CGS 2)或=：£ Z + G引出拆微原理.Th2设了=0①是单调的可微函数,并且80H.；又 力砒叫d ©具有原 函数.那么有换元公式JV ⑶立=【「【碗4y ⑶(证)9 / 19三、小结〔二〕第二类换元法拆微法:id sin t常用代换有所谓无理代换,三角代换,双曲代换,倒代换,万能代换,Euler代换等.我们着重介绍三角代换和无理代换1. 三角代换：⑴ 正弦代换：正弦代换简称为“弦换〞.是针对型如庐7 〔a〉0〕的根式施行的,目的是去掉根号. 方法是：令了 = 似〉0〕,那么-x2- a cos t f dx = a cos tdt v t =3r osm - a 例271.一」解法一直接积分；解法二用弦换.例28dx时1.psinicosi . . #、、「====2 [ ------------ dt = 2i + c =2arcsin Jx + 匕.例29卜,2 +2x- x2dx = M3 - (A-1)'办====="3-/必=====3jcos2udu 3 3 . _ 3 . x-1 x-1 c - --- 2-..：i ■… ----------- ----------------- .. ■ . 1:,■1.⑵ 正切代换：正切代换简称为“切换〞.是针对型如J/ + / 〔a〉Q〕的根式施行的,目的是去掉根号.方法是：利用三角公式6比.-建〞=1,即1+研=Wf, 令一二. 一二.....出.此时有+ / = aseci,f = wag- 变量复原时,常用所谓辅助三角形法. a例3010 / 19解令x=瓢馆%有dx = 成.利用例22的结果,并用辅助三角形,有= n .: ,, ' . ' . J：：Z?Y例31 |---⑶正割代换：正割代换简称为“割换〞.是针对型如&T 〔a〉Q〕的根式施行的,目的是去掉根号.方法是：利用三角公式$式.7=出"令工二窘ecL有'工」=atgl f dx = xseci ,馆tdt,变量还愿时,常用辅助三角形法.例32〔.＞.〕斛J a a一『dx例33 f—； --------- .J-6-1解法一〔用割换〕J sec2/ /gi 解法二〔凑微〕sccttgtdt P , . 工=——=fsec^Z = In secZ +tgi +r atgt Jx +J- - a2 +c, c =c'-h \a Jcos^z = sin i +c = -1 +u11 / 192,无理代换:假设被积函数是娠,娠,… 倍数,作代换£ =也,有例34 j宁■心.例35 f―竺= === = =假设被积函数中只有一种根式t二产十］.从中解出［来.Vci + e例36 f—r==.例37 J-例38 户〞(例39 Jx\M-ldx = ：P / 4 2 \ j P〔=(t + i )dt = — + — + c =-J 5 3f ,娠的有理式时,设W为々(1.＜上)的最小公、公二履"出,可化被积函数为1的有理函数.6J-——=-6J(1 +£)祖+ 6J-- = ■■■=1十In 1-我+c.j北球+ &或J巴,,可试作代换t = Max+h或Kz + e给出两种解法)■ /~A - 畤=1 1 *了五W/(/)—为/十1)广2位-5 1 3-(?-l)a+-(?-l)a+c.i 3此题还可用割换计算,但较繁.3.双曲代换：利用双曲函数恒等」去掉型如痴7P的根式.(=achtdl. 如：.11ch t - -{ch2t+1), sh t = 一(e力2l - D,2 2s/x = h(x + $£ +1).r—L --- n-nskl 例40 +工&工呼热23■.我h2tT)d£= 2t +=勺口口+ / + —ln(A + 2 2此题可用切换计算,但归结为积分产题课例3.例41 f-j=S=.才■内触飞应(7小£解/ ---------- 成-『出―"=ln(x + J方『dx例42 ^-===.解/==== f ---- dt = fdt =t+c = ]nJ jsAi J : 品-幽九=1,令x 二a就,可化简时常用到双曲函数的一些恒等式域％ = Ishtcht., achtdl = a \ch tdt =—t +c =2+ /) + c .京曲,该积分计算较繁.参阅后面习r X 卜.；tk ir a +2)+c, r m企.=In | x + 柠 | +u c =c -}n\a\4.倒代换：当分母次数高于分子次数,且分子分母均为“因式〞时,可试用倒代换.,二 114 / 195.万能代换：万能代换常用于三角函数有理式的积分就有sin x = 2sin -cos-= 坂一八22t——-=——彳2 1 1 + ? ?1 Tcosx = --1+z例44,2激ax =-------------x = 2arctgt.1 + COS J解法 用万能代换21+Z解法用初等化简cos 2- (参[1]P261).令-Jsec 2-1解法三〔用初等化简,并凑微〕,,1-cosx , ? a , 户 dfinx I = ------------ T —dx = esc xdx- ——7—J 1 T CQ j 工 J J 向'工+ c = CSCZ -ctgx + c =Zg — + c2=ln |ig- + l|+c .2代换法是一种很灵活的方法 三、小结〔三〕.分部积分法：导出分部积分公式.介绍使用分部积分公式的一股原 那么.1.幕X X 型函数的积分： 分部积分追求的目标之一是：对被积函数两因子之一争取求导,以使该因子有较大简化,特别是能降幕或变成代数函数. 代价是另一因子用其原函数代替〔一般会变繁〕,但总体上应使积分简化或能 直接积出.对“幕型的积分,使用分部积分法可使“幕〞降次,或对“ X 求导以使其成为代数函数.例46 1加如〔幕对搭配,取对为u 〕例47 jxcddx 〔幕三搭配,取幕为u 〕例48 产七〔幕指搭配,取幕为u 〕 例49 卜%〞改〔幕指搭配,取幕为u 〕15 / 191=Fgx + ------------ sin 工 例 45" _______ _ _________J1 + sin cosfi 1例51 1皿或gxd工〔幕反搭配,取反为u〕例52 1二…一.•」.•..2 建立所求积分的方程求积分：分部积分追求的另一个目标是：对被积函数两因子之一求导,进行分部积分假设干次后,使原积分重新出现,且积分前的符号不为1,于是得到关于原积分的一个7例53 僻sin zdx 1例54 求人=卜"附；历威和sin bxdx f〔白工0〕二0sx1解." Q 解得sin bx ~ —I v1i a a例55 J J笳+/d工 0 >0〕解1 =+? - |Y j K dx=J二1Jk + - - 二匚或+ f=Ma2+ x2- Z +/ ln〔工+ J J解得I = -^a2 + A2 + —ln〔A + + 犬2 2,程,从该方程中解出原积分来i sin + acozbx脚—7+L … asm bx -bcosbx " jdx =后+ /d〕+s,〔参阅例41〕〕+ c三、小结§ 3 有理函数和可化为有理函数的积分〔2学时〕教学要求：有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的 根底.要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式 的不定积分,知道有理函数的不定积分〔原函数〕还是初等函数；学会求某些有 理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分 的方法,从理论上熟悉到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来.教学重点：使学生掌握化有理函数为分项分式的方法；求四种有理最简真分式的不定积分,学会求某些有理函数的不定积分的技巧； 求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法,从理论上熟悉到这些函数的不定积分都能用初 等函数表示出来17 / 19解得 例 56 「 J ； |L：；・・•・・・：・•..•-「［•,.・・・；==cos xsrn A + x -Jcos 2,j , 工1 •小 .j/ /…一 , 一二」一二. 2 4例57Jsec 5= Jscc A 1sec2xdx= jsecxd£gx = sec A/gx- pgxsec A/gxdx secx/gx'sec 21-l)secxdfx= secxigx- fsec 3xdx+ fstcxdx=工 〞■-；. •.一 飞一.二.、,解得 「I'■'_ 「I 」 '..-' '.22一、新课引入：由积分应用的广泛性引入二、讲授新课：〔一〕有理函数的积分：1.代数知识：[1]P190例1 [1]P190 ,2.局部分式的积分：[1]P192例2 [1]P192例3 [2]P260 E3.〔二〕.三角函数有理式的积分：[1]P194 万能代换. 例4—5 [1]P195 ——〔三〕某些无理函数的积分：[1]P195——198〔四〕一些不能用初等函数有限表达的积分：卜一~工「七必f生, 卜二=等.J Jx Jinx J71 + A4习题课〔2学时〕积分举例：强3* -1以.jy⑴心=句-?+ g求j矿⑴公例5 ,〔工〕=K,求J砒/〕公,例6设/〔彳〕〉0且具有连续导函数.计算积分]7〔力加加/0岫例7 [了⑺威口",求积分产;(“%二. 含有二次三项式的积分：Ec / 二-2 . 1 / 2/1 , 5 P &x例8 ------------------------ '一 ,- ----------- ：；•'「------ J Vx + A +1 2J Vx +x + 1 2JJ/+K+1_ ] "(/+# +1)_5f2 J Jv24- r + 1 2 J」.■一；-・・・:•,,.2 2J(i + -2/5欧=•・-「:.■一.•：(：・一' " =1 士t ____ f__________「二I :.. 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§3 几类可积的初等函数教学目的：会计算有理函数和可化为有理函数的不定积分．教学内容：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．(1) 基本要求：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．(2) 较高要求：利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分．教学建议：(1) 适当布置有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的不定积分的习题．(2) 本节的难点是利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分，可要求较好学生掌握． 教学程序：1.有理函数的积分法称形如（3.1）101()n n n P x a x a x a -=+++ n 的函数为多项式函数.其中，用表示多项式的关于变量,0,1,,k a R k ∈= deg ()P x ()P x x 的次数.设与是任意两个互质的多项式函数，称形如()P x ()Q x ()()P x Q x (（3.2） )()()0Q x ≠x =()()P x Q x ，当R deg ()deg ()P x Q x R ()<时，称的函数为有理函数，记作x 为有理真分式，当时，称deg ()deg ()P x Q x ≥()R x 为有理假分式.显然任何一个有理假分式()x =()()P x Q x ，用多项式函数除以多项式函数，总能将R ()P x ()Q x ()R x 表示成为一个多项式函数与一个有理真分式之和.即()()()()()P x S x P x Q x Q x =+ R ()x =其中与均为多项式函数，且()Px ()S x deg ()deg ()S x Q x <.例如 3221111x x x x x +-=-++ 所以讨论有理函数的积分，由于多项式函数是可积的，故只须讨论有理真分式是否可积.我们首先考虑如下最简分式 ⑴A x a-；⑵,2,3,()n A n x a =- ；⑶2Ax B x px q +++；⑷2,2,3,()n Ax B n x px q +=++ . 的积分方法.其中,,,A B p q 皆为实常数，二次三项式2x px q ++不能分解为实一次多项式之积，即.240p q -<显然⑴ln dx A x a C A x a =-+-⎰ ⑵11()1()n n A A dx C x a n x a -=+---⎰ 而 ⑶222()()22()()24p Ap A x B Ax B dx dx p p x px q x q ++-+=+++++⎰⎰ 设2p u x =+，a =，有 2Ax B dx x px q +=++⎰2222(2udu Ap du A B u a u a +-++⎰⎰= 221ln()(arctan 22A Ap u a B C a a++-+u =2ln()2A x px q C ++ 又2()n Ax B dx x px q +=++⎰222()1(2()2()n A x px q Ap B dx x px q x px q '⎡⎤+++-=⎢⎥''++++⎣⎦⎰ 21221()(212()()24n n A Ap x px q B n p p x q -+++--⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦⎰dx （3.3） 在式（3.3）右端积分中，令2p u x =+，a = 22()()24n dx p p x q =⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦⎰22()n n du I u a =+⎰根据式（2.7），积分n I 有如下递推公式n I =122212122(1)()2(1)n n u n 3I a n u a a n ---+-+-，2,3,n = （3.4） 且1221arctan du u I C u a a a ==+⎰+ 从1I 出发，重复应用n I 的递推公式（3.4），再代回原变量2p u x =+及a =，即可求出类型（4）的最简分式的不定积分.关于有理真分式的分解，我们有如下定理.【定理3.1】设()=()()P x Q x 是一个有理真分式，且分母多项式函数 R x 1122111()()()()()s t r l r l s t Q x x a x a x p x q x p x q =--++++ t t R其中，，111,,;,,,,s t a a p q p q ∈ 240k k p q -<1,2,,k t = ，则()R x 有下列最简分式分解式()=11111111()()s s s s r r r r s s A A A A x a x a x a x +++++++--- R x a - 111111111221111()l l l B x C B x C x p x q x p x q ++++++++++ 1122()t tt t t t t l l l t t t tB xC B x C x p x q x p x q ++++++++ 其中11111111111111,,;;,,;,,;,;;,,,,s t t s s t t t t r r l l l l 1A A A A B C B C B C B C R ∈ . 定理3.1说明任何有理真分式一定可以分解为若干个最简分式之和，而上面的讨论展示了⑴～⑷种类型的最简分式的可积性.从而可知有理函数一定是可积的.【例3.1】把函数()()()21322xx x x x -+++分解为最简分式之和，并求其不定积分.【解】由定理3.1知，给定函数的最简分式分解式应为()()()21322x x x x x -+++=21322A B Cx D x x x x +++-+++消去分母，有22(3)(22)(1)(22)()(1)(3)x A x x x B x x x Cx D x x =++++-++++-+比较上式两端同次幂系数，有586A A AA ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2B B B ++-23C C C ++-23D D D ++-0010==== 解此代数方程，有131,,,20205A B C D 0===-= 于是 ()()()21322xx x x x -+++=211311*********x x x x x +--+++ 从而()()()21322xdx x x x x =-+++⎰2131201203522dx dx xdx x x x x +--++⎰⎰⎰+=22131(2ln 1ln 320201022d x x x x x x ++-++-+++⎰2) 21(1)5(1)1d x x +++⎰=3221(1)(3)ln 20(22)x x x x -++++ 1arctan(1)5x C ++ 【例3.2】计算()()22211xdx x x++⎰. 【解】设()()()22222211111x A Bx C Dx E x x x x x ++=+++++++消去分母，有()()()()()(2222111x A x Bx C x x Dx E x =++++++++)11x =-24（3.6） 在式（3.6）中令，有A -=，即12A =-；令x i =，有2()(1)i Di E i =++)= ()(D E i E D ++-，于是1D E ==20D E D E +=⎧⎨-+=⎩将1,2A D E =-==10x 代入式（3.6），并令=，有 1101,22C C =-++=- 再令1x =，有1124()44,22B B =-⋅+-⋅+=12于是()()22211xdx x x ++⎰=2222121(1)dx dx x x x 1111dx x x -+=-+++++⎰⎰⎰ 221121ln 12412x d x dx 1x x x -++-+++⎰⎰ 22122(1)x dx x +⎰+22(1)dx x +⎰= 22211111ln arctan 4(1)221x x x x +--+++ 11arctan 212x x C x +++（利用公式3.4）= 222111ln 4(1)2(1)x x C x x +-++++ 从例3.1和例3.2可见，用求有理真分式的最简分式分解式的方法求其积分往往很麻烦，况且有些有理函数的分母多项式根本就无法分解因式，所以，当我们求有理函数的积分时，应尽可能地考虑是否有其它更简便的解法.【例3.3】计算()101dx x x +⎰. 【解】在实数域内，要将分解因式，是相当困难的，故此题不宜用求最简分式分解式的方法来计算，然而101x +()101dx x x +⎰=()91010101010111(1011x dx dx x x x x =-++⎰⎰=10101ln 101x C x ++ 2.三角有理函数的积分法称由函数sin ,cos x x 与常数经过有限次四则运算而成的代数有理式为三角有理函数，记作(sin ,cos )R x x .由于tan ,cot ,sec x x x 与csc x 都是由sin ,cos x x 与常数所构成，所以六个三角函数有理式都可化为(sin ,cos )R x x 的形式.关于三角有理函数的积分，我们在前面已进行了一些讨论，现总结一下，得到以下规律： （I ）()sin cos R x xd ⎰x =，令；sin u x ()cos sin R x xd ⎰x cos =，令u x ；()2tan sec R x x ⎰dx tan =，令u x .【例3.4】（1）334sin cos5sin cos sin x xdx x xd x ==⎰⎰322357sin (1sin )sin (sin 2sin sin )x x d x x x x dx -=-+⎰⎰=448sin sin sin 438111x x x C -++ （2）()()4222sec sec 1tan 1tan tan xdx x x dx x d x =+=+⎰⎰⎰=3tan tan 31x x C ++ （Ⅱ）(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x =--由于(sin ,cos )(tan cos ,cos )R x x R x x x ==1(tan ,cos )R x x ，且1(tan ,cos )R x x -=(tan (cos ),cos )R x x --x (sin ,cos )=R x x --=(sin ,cos )R x x =1(tan ,cos )R x x知，1R 必为tan x 与2cos x 的有理函数，即可设(sin ,cos )R x x =1(tan ,cos )R x x =22(tan ,cos )R x x于是，令u x ，则tan =arctan x u =，21du dx u =+，从而积分 222(sin ,cos )(,)11R x x dx R u u u =++⎰⎰1du 转化为有理函数的积分，根据上一小节的讨论，它是可积的.【例3.5】计算22cos 2sin x dx x-⎰. 【解】令2222222211tan tan ,cos ,sin 1tan 11tan 1x u u x x x x u x u =====++++，21du dx u =+，于是 ()()222222221cos 12sin 11221x du du u dx u x u u u u +==-+++-=+⎰⎰⎰2211(arctan 12du u C u u -=++⎰=x C + （Ⅲ）对任意的三角有理函数(sin ,cos )R x x ，可作万能代换tan2x u =，将其变为有理函数，事实上令tan 2x u =，2arctan u =，21dx u =2+，而 x 2222sin cos 222sin 1sin cos 22x x u x x x u =22tan 21tan 2x x == +++22222222cos sin 1tan 1222cos 1sin cos 1tan 222x x x u x x x x u ---===+++ 于是2222212(sin ,cos )(,111u u u R x x dx R d u u u-=+++⎰⎰u 【例3.6】⑴12sin dx x +⎰tan2x u ==22121121du u u +++⎰= ()()2222(22412du d u u u u +==+++-⎰⎰)C +=C + ⑵tan 2sin 22sin 2sin (cos 1)xu dx dx x x x x ===++⎰⎰ 22221211()21142(1)11du u du u u u u u u =+-++++⎰⎰= 22111(ln )[ln tan (tan ]424222u x u C ++=++x C3.某些无理函数的积分法一些无理函数的不定积分，通过适当的变量代换，可以化为有理函数的不定积分.（Ⅰ）(R x d ⎰x . 其中,,,,0R αβγδαδβγ∈-≠，.,m n N ∈p 是的最小公倍数，设u ,m n=，则 设1,(p pp x u u x x u αβδβγδγα+-+===+-)R u于是(R x dx ⎰=11[(),,]()m n p p R R u u u R u du '⎰ 由于1()R t 1()，t '均为有理函数，,N m n p p ∈，所以上式右端为有理函数的不定积分. R 【例3.7】（1）114112772131151********u xx xu u dx u du u u x x =++==++⎰⎰ 543211414(1)1u du u u u u du u +=-+-++⎰⎰= 543214()5432u u u u u C -+-++= 21517714141471414523x x x x u -+++C （2）=令u =3311u x u +=-，2326(1)u dx du u -=-，代入原式，有⎰2332331631(1)111u d u du u u u u -u =-=+--+-⎰⎰ 2212121()ln 1112u u du u du u u u u u +=-+-++++⎰⎰1+++21221311ln 212(1)2u du u u C u u u +++=++-⎰+= 31311ln 2(1)u C u -+-=3111ln (1)1)21x C x +--+-=3ln 2C -+ 其中1ln 22C C =+. （Ⅱ）某些最简无理函数的不定积分可直接利用基本积分表求.【例3.8】⑴===C C +=+⑵11()u x d ===-⎰=-=-⎰=11arcsin arcsin 22u x C C x+++-+=-⑶134=-=12212(245)4x x ⋅++=1221(245)1)2x x x ++++C。

第一章函数与极限教学目的:1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式.2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4、掌握基本初等函数的性质及其图形。

5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6、掌握极限的性质及四则运算法则。

7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限;5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性;7、区间上连续函数的性质.教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；闭区间上连续函数性质的应用.第二章导数与微分教学目的:1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。

4、会求分段函数的导数。

5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

教学重点:1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则;3、基本初等函数的导数公式;4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。

§8.3有理函数和可化为有理函数...一、有理函数的部分分式二、有理真分式的递推公式三、三角函数有理式的不定§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分有理函数的部有理真分式的递推公式三角函数有理式的不定积分某些无理函数的不定积分101101()()()n n nm m mx x P x R x Q x x x αααβββ--+++==+++ 有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数, 有理函数的部分分式分解m > n 时称为真分式, m ≤ n 时称为假分式.假分式可化为一个多项式和一个真分式之和.00(0,0),αβ≠≠其一般形式为:后退前进目录退出分分式分解§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分有理函数的部有理真分式的递推公式三角函数有理式的不定积分某些无理函数的不定积分1.对分母Q (x )在实数系内作标准分解:1122111()()()()(),sts t t Q x x a x a x p x q x p x q λμλμ=--++++ 240,1,2,,.j j p q j t -<= +11,N , 2,sti j ij i j m λμλμ==∈+=∑∑其中且2.根据分母各个因式分别写出与之相应的部分分其分解步骤称为部分分式分解.具体步骤简述如下:真分式又可化为22)(q px x C x B i i +++()i i A x a -与之和,式.分分式分解.)()(221kka x A a x A a x A -++-+- ,)()(22222211kkk q px x C x B q px x C x B q px x C x B ++++++++++++ 把所有部分分式加起来,使之等于Q (x ), 由此确定对应于kq px x )(2++的部分分式是上述部分分式中的待定系数A i ,B i ,C i .()kx a -的部分分式是对应于3. 确定待定系数的方法把所有分式通分相加, 所得分式的分子与原分子组, 由此解出待定系数.必定相等的原则, 得到待定系数所满足的线性方程P (x ) 应该相等. 根据两个多项式相等时同次项系数101101()()()n n nm m mx x P x R x Q x x x αααβββ--+++==+++=+-++-+-+22201(2)(1)(2)(2)(1)A x x x A x x x x =+--+-5432()5248Q x x x x x x 因为解 +=+++-++-+01222(),22(2)1A A A Bx CR x x x x x x 所以(),Q x 两边乘以得到).1()2)(2(22+-+-=x x x x 43224910x x x x -++-+--+++-+222(2)(1)()(2)(2).A x x x Bx C x x 分式分解.例14325432()5248x x x x R x x x x x x -++-=+--+-对作部分比较同次项系数, 得到线性方程组401301220121201223213342443849442810A A B x A A A B C x A A A B C x A A B C x A A A C ?++=?-+++=-??---+=??+--=?---=-??的系数的系数的系数的系数常数项解得.1,1,1,2,1210=-=-===C B A A A .11)2(12221)(22+-----++-=x x x x x x x R 于是完成了R (x ) 的部分分式分解:§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分有理函数的部分分式分解有理真分式三角函数有理式的不定积分某些无理函数的不定积分任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形d (i);()k x x a -?2 2(ii)d (40).()k Lx M x p q x px q +-<++?有理真分式的递推公式1ln ||,1,d (i)1, 1.()(1)()kk x a C k x C k x a k x a --+=??=?+>-?--?下面解这两类积分.式的不定积分之和：的递推公式2222d d .()()L t N t r t r =+++??1,k =时22d 1arctan .t tC t r r r =++?222d d ()()k k Lx M Lt N x tx px q t r ++=+++??22221d ln(),2t t t r C t r =+++?(ii),2p t x =+令2 2,,42p pLr q N M =-=-则=+?22d ,()k k tI t r 记则+-=+?2222221()d ()k k t r t I t r t r -=-+?2 1222211d ()k kt I t r r t r 2,k 时≥()()??++=+k k r t r t t r t t )(d 21d 222 222()().121122C r t k k ++-=-122221111d 2(1)()k k I t r r k t r --??=+ ?-+?? 112222111.2(1)()k k k tI I r r k t r ---??=+-??-+??12221223,2(1)()2(1)k k k t k I I r k t r r k ---=+-+-解得2,3,.k = 112222111.2(1)()k k k k tI I I r r k t r ---??=+-??-+??.1d )1()2(d 2d 22d 22+-----++-=x x x x x x x x x x 432 543224910d 5248x x x x x x x x x x -++-+--+-?解由例1,-++-+--+-?x x x x I x x x x x x 432543224910d .5248求=例2 其中2(1)d 1x x x x --+?2221d(1)11d 2121x x x x x x x -+=--+-+??21(1)d ln |2|ln |2|.21x xx x x x x -=-+++---+?211221ln |1|arctan .2233x x x C -=-+-?+22211d ln |1|221322x x x x =-+-??-+ ? ?????于是2(1)d 1x x x x --+?2221d(1)11d 2121x x x x x x x -+=--+-+??--+121arctan .33x C =-++++-+-2 11ln |2|ln |2|ln |1|22I x x x x x.d )22(1222x x x x ?+-+求例3解由于2221(22)x x x +-+,)22(12221222+--++-=x x x x x 而()()??+--=+-111d 22d 22x x x x x (),1arctan 1C x +-=22222(21)(22)x x x x x -+++=-+.)1(d 221222?+++--=t t x x 22222d(22)d(1)(22)[(1)1]x x x x x x -+-=+-+-+??2221d (22)x x x x --+?2211arctan(1),2(22)2x x C x x -=+-+-+22d (1)t t +?由递推公式22(22)1d (22)x xx x -+=-+?221d 2(1)21t t t t =+++?1t x =-2222221121d d d (22)22(22)x x x x x x x x x x x +-=+-+-+-+于是3arctan(1).2x C +-+232(22)x x x -=-+()arctan 1x C =-+2d 22xx x -+?2222131d arctan(1)(22)2(22)2x x x x x x x x --=+--+-+?§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分有理函数的部分分式分解有理真分式的递推公式三角函数有理某些无理函数的不定积分sin x , cos x 及常数经过有限次四则运算得到的函三角函数有理式的不定积分tan ,(sin ,cos )d 2x t R x x x =?通过变换可把化为有理函数的不定积分. 把2cos 2sin 2cos 2sin 2sin 22x x x x x +=数R (sin x , cos x ) 称为三角函数有理式.2tan12tan22x x +=,122t t +=式的不定积分2cos 2sin 2sin 2cos cos 2222x x x +-=22d d(2arctan )d 1x t t t ==+2222212(sin ,cos )d ,d .111t t R x x x R t t t t -=+++代入原积分式，得到2tan12tan 122x x +-=,1122t t +-=d .1sin cos x x x 求++?例4tan ,2x t =令则解d 1sin cos x x x ++?22 222d 121111t t t t t t+=-++++??+=t t 1d C t ++=1ln .2 tan 1ln C x++=。