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定积分一、定积分的定义：设函数f (x )定义在区间［a,b ］上在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 把区间 [a ，b ]分为n 个小区间，其长度依次为i i i x x x -=∆+1，1,...,2,1,0-=n i 。
记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点i ξ，作和式xi f I n i i n ∆=-=∑1)(ξ 。
当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式n I 的极限叫作函数f (x )在区间],[b a 上的定积分,记作⎰badx x f )(,即xi f dx x f n i i ba∆=-=→∑⎰10)(lim )(ξλ.其中)(x f 叫做被积函数,a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间],[b a 叫做积分区间，x 叫做积分变量，dx x f )(叫做被积式.基本的积分公式：⎰dx 0＝C ；⎰dx x m＝111++m x m ＋C （m ∈Q ， m ≠－1）；⎰x 1dx ＝ln x ＋C ；⎰dxe x＝xe ＋C ；⎰dx a x＝aa xln ＋C ；⎰xdx cos ＝sin x ＋C ；⎰xdx sin ＝－cos x ＋C （表中C 均为常数）。
二、定积分的几何意义①当函数)(x f 在区间],[b a 上恒为正时，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由直线a x =，b x =(a ≠b),x 轴和曲线)(x f y =所围成的曲边梯形的面积（左图中阴影部分）。
其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下文的面积等于该区间上积分值的相反数。
即在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号.如图①所示，0)(≥x f ，∴S=()baf x dx ⎰； 如图②所示, 0)(≤x f , ∴S= —()baf x dx ⎰.如图③所示，由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设0)()(21≥≥x f x f ）及直线x ＝a ，x ＝b （b a <）围成的平面图形的面积S ＝S 曲边梯形AMNB －S 曲边梯形DMNC ＝⎰⎰-babadx x f dx x f )()(21。
定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。
也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。
2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。
（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。
（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。
（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。
二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。
2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。
三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。
一、定积分的概念及性质定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。
要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。
被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。
定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。
二、定积分的计算定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。
在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。
定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。
尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。
例如用换元法来计算定积分⎰22cos sin πxdx x ，如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即⎰202cos sin πxdx x x u sin =313110312==⎰u du u 。
可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。
但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即=⎰202cos sin πxdx x 31sin 31sin sin 203202==⎰ππx x xd 。
在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。
后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。
大一高数知识点框架定积分定积分是大一高数中的重要概念，用于计算曲线下面积、物理量累积和平均值等。
在本文中，我们将介绍大一高数中定积分的基本概念和应用。
一、定积分的定义定积分是将曲线下区域的面积划分为无穷多个无穷小的矩形，然后将这些矩形的面积相加得到的极限值。
定积分的表示符号为∫，上下限分别为a和b，函数f(x)表示被积函数，dx表示差小量。
定积分的公式为：∫[a,b]f(x)dx二、定积分的性质1. 线性性质：∫[a,b](f(x)+g(x))dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx2. 区间可加性：∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx3. 常数倍性：∫[a,b]kf(x)dx = k∫[a,b]f(x)dx三、定积分的求法1. 几何意义法：根据被积函数图像和积分区间，将曲线下的区域进行适当分割，然后对每个小矩形的面积进行求和。
2. 定积分的性质法：利用定积分的性质，将被积函数进行分解或者转化，以简化运算。
3. 反函数法：当被积函数具有反函数且反函数易积分时，可以通过反函数法求解定积分。
四、定积分的应用1. 几何应用：利用定积分可以计算曲线下的面积，例如计算封闭曲线所围成的区域面积。
2. 物理应用：定积分可用于计算物理量的累积或平均值，例如计算质量的集中度、质心等。
3. 统计应用：利用定积分可以计算概率密度函数下的概率值，例如计算某一区间的概率。
五、定积分的注意事项1. 积分上下限选择：在选择积分上下限时，需根据题目给出的条件进行适当的取值，以保证计算的准确性。
2. 曲线的选择：在求解定积分时，需根据被积函数的特点选择合适的曲线进行积分计算，以简化运算。
六、定积分的求解技巧1. 分段函数的积分：当被积函数为分段函数时，可以根据不同的区间进行分别积分。
2. 常见函数的积分：熟练掌握常见函数的积分公式，例如幂函数、三角函数等。
3. 使用换元法：对于复杂函数，可以通过换元法进行变量替换，以简化积分计算。
定积分大一上知识点总结定积分是微积分中的一个重要概念，是在一定区间上求函数曲线下的面积。
本文将对定积分的概念、性质以及求解方法进行总结和介绍。
一、定积分的概念定积分可以看作是对无穷小的加和，用极限的思想进行定义。
对于函数f(x)在[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b] f(x) dx其中∫表示积分符号，[a, b]表示积分的区间，f(x)表示被积函数，dx表示积分变量。
二、定积分的性质1. 线性性质：定积分具有线性性质，即∫[a, b] (af(x) + bg(x)) dx= a∫[a, b] f(x) dx + b∫[a, b] g(x) dx。
2. 区间可加性：如果函数f(x)在[a, b]和[b, c]上可积，则有∫[a, c] f(x) dx = ∫[a, b] f(x) dx + ∫[b, c] f(x) dx。
3. 零函数积分：对于任意常数c，有∫[a, b] c dx = c(b - a)。
三、定积分的求解方法1. 几何意义法：定积分的几何意义是函数曲线下的面积，可以通过几何方法进行求解。
将区间[a, b]划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，选取小区间上的任意一点ξi，将函数在小区间上的面积近似为矩形的面积，即ΔS = f(ξi)Δx。
然后将这些矩形面积相加，当划分越来越细时，矩形面积的和趋近于定积分∫[a, b] f(x) dx。
2. 定积分的基本性质：定积分具有数学上的基本性质，可以通过这些性质来求解定积分。
例如，可以利用定积分的线性性质、区间可加性和零函数积分性质，将复杂的定积分化简为简单的定积分，并通过已知的积分表达式进行计算。
3. 换元法：对于一些复杂函数，可以通过换元法进行求解。
通过变量代换，将原定积分转化为新变量上的积分，从而简化计算难度。
常用的换元法有代换变量法和三角换元法。
4. 分部积分法：对于一些积分需要进行多次运算的情况，可以通过分部积分法进行求解。
定积分知识点汇总定积分是微积分中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面就来对定积分的相关知识点进行一个全面的汇总。
一、定积分的定义如果函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上连续，用分点＼（a ＝x_0 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜＼cdots ＜ x_n ＝ b\）将区间＼（a,b\）等分成＼（n\）个小区间，在每个小区间＼（x_{i 1}， x_i\）上取一点＼（＼xi_i\）（＼（i ＝ 1, 2, ＼cdots, n\）），作和式＼（＼sum_{i ＝ 1}＾n f(＼xi_i) ＼Delta x\）（其中＼（＼Delta x ＝＼dfrac{b a}｛n}＼））。
当＼（n\）无限趋近于正无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上的定积分，记作＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）。
二、定积分的几何意义1、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上恒为正时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）表示由曲线＼（y ＝ f(x)＼），直线＼（x ＝ a\），＼（x ＝ b\）和＼（x\）轴所围成的曲边梯形的面积。
2、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上恒为负时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）的值为上述曲边梯形面积的相反数。
3、当函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上有正有负时，定积分＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）表示曲线＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x\）轴上方部分与＼（x\）轴所围成的面积减去曲线＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x\）轴下方部分与＼（x\）轴所围成的面积。
三、定积分的性质1、＼（＼int_{a}＾｛a} f(x)dx ＝ 0\）2、＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ＝＼int_{b}＾｛a} f(x)dx\）3、＼（＼int_{a}＾｛b} f(x) ± g(x)dx ＝＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ±＼int_{a}＾｛b} g(x)dx\）4、＼（＼int_{a}＾｛b} kf(x)dx ＝ k ＼int_{a}＾｛b} f(x)dx\）（其中＼（k\）为常数）四、定积分的计算1、牛顿莱布尼茨公式如果函数＼（F(x)＼）是连续函数＼（f(x)＼）在区间＼（a,b\）上的一个原函数，那么＼（＼int_{a}＾｛b} f(x)dx ＝ F(b) F(a)＼）。
