山东省青岛二中2015届高三上学期10月段考数学试卷(文科)

青岛二中2015-2016学年第一学段高三期初考试数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设2a >，则12a a +-的最小值是 A ．2B ．4C ．6D ．82．设全集R I =，集合2{|log ,2},{|A y y x x B x y ==>==，则 A ．A B ⊆ B ．AB A =C ．A B =∅D ． ()I A C B ≠∅3．在“魅力青岛中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打 出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所 剩数据的平均数和方差分别为A ．5和1.6B ．85和1.6C ．85和0.4D ．5和4．“*12N ,2n n n n a a a ++∀∈=+”是“数列{}n a 为等差数列”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是 A ．2 B ．92 C ．32D ．36．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线:250l x y ++=，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为A ．221205x y -=B ．221520x y -=C ．2233125100x y -=D ．2233110025x y -=第5题图正视图 侧视图x7．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则αβ⊥D ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 8．函数4cos xy x e =-(e 为自然对数的底数)的图象可能是A B C D 9．已知ABC ∆的三边分别为4,5,6，则ABC ∆的面积为 ABCD10．已知点G 是ABC ∆的外心，,,GA GB GC 是三个单位向量，且20GA AB AC ++=，如图所示，ABC ∆的顶点,B C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，则G 点的轨迹为A ．一条线段B ．一段圆弧C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 11．已知函数()tan sin 2015f x x x =++，若()2f m =， 则()f m -= ；12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ； 13.在长为12厘米的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形,邻边长分别等于线段,AC CB 的长,则该矩形面积大于20平方厘米的概率为 ；14. 设z x y =+，其中实数,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最大值为6，则z 的最小值为 ；15. 设函数()[],f x x x =-其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.1]2,[] 3.π-=-=若直线(0)y kx k k =+>与函数()f x 的图像恰好有3个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）某市甲、乙两社区联合举行迎“五一”文艺汇演，甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目，其中甲社区表演队中表演跳舞的有1人，表演笛子演奏的有2人，表演唱歌的有3人.（Ⅰ）若从甲、乙社区各选一个表演项目，求选出的两个表演项目相同的概率； （Ⅱ）若从甲社区表演队中选2人表演节目，求至少有一位表演笛子演奏的概率. 17．（本小题满分12分） 已知函数()4cos sin()6f x x x a πωω=⋅++(0)ω>图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π． （Ⅰ）求a 和ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间.18．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ,90BAD ∠=︒, 1BC =，AB =13AD AA ==,1E 为11 A B 中点. （Ⅰ）证明：1//B D 平面11AD E ；（Ⅱ）证明：平面1ACD ⊥平面11BDD B .19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，且1028a =，892S =；数列{}n b 对任意N n *∈，总有123131n n b b b b b n -⋅⋅⋅=+成立.（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记2n nn na b c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T . A 1AB1BC1C D1D1E20．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上顶点为A ，右顶点为B，离心率e =O 为坐标原点，圆222:3O x y +=与直线AB 相切.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）直线:(2)0)l y k x k =-≠（与椭圆C 相交于E 、F 两不同点，若椭圆C 上一点P 满足//OP l .求EPF ∆面积的最大值及此时的2k .21．（本小题满分14分）已知函数2()(2)x f x ax x a e =+-，1()(ln )2g x f x =，其中R a ∈， 2.71828e =为自然对数的底数.（Ⅰ）若函数()y f x =的图象在点(2,(2))M f 处的切线过坐标原点，求实数a 的值； （Ⅱ）若()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，求实数a 的取值范围.（Ⅲ）当0a =时，对于满足120x x <<的两个实数12,x x ，若存在00x >，使得12012()()()g x g x g x x x -'=-成立，试比较0x 与1x 的大小．参考答案一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． B A B C D A C A B B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 4028 12. 132 13. 23 14．3- 15．111(1,][,)243--⋃三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）记甲、乙两社区的表演项目：跳舞、笛子演奏、唱歌分别为111,,A B C ;222,,A B C 则从甲、乙社区各选一个表演项目的基本事件有121212(,),(,),(,),A A A B A C 12(,),B A12(,),B B 12(,),B C 121212(,),(,),(,)C A C B C C 共9种 ……………………………4分其中选出的两个表演项目相同的事件3种，所以3193P == ………………………6分 （Ⅱ）记甲社区表演队中表演跳舞的、表演笛子演奏、表演唱歌的分别为112123,,,,,a b b c c c 则从甲社区表演队中选2人的基本事件有1112111213(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a c a c a c1211(,),(,),b b b c 1213212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)b c b c b c b c b c c c c c c c 共15种…………………………10分 其中至少有一位表演笛子演奏的事件有9种，所以93155P == ………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）1()4cos sin()4cos cos )62f x x x a x x x a πωωωωω=⋅++=⋅++2cos 2cos 112cos 21x x x a x x a ωωωωω=+-++=+++2sin(2)1.6x a πω=+++ …………………………………………………………… 4分当sin(2)16x πω+=时，()f x 取得最大值213a a ++=+又()f x 最高点的纵坐标为2， 32a ∴+=，即 1.a =- ………………………………6分 又()f x 图象上相邻两个最高点的距离为π,∴()f x 的最小正周期为T π=所以222Tπω==, 1ω= …………………………………………………………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得()2sin(2)6f x x π=+由3222,Z.262k x k k πππππ+≤+≤+∈ 得2,Z.63k x k k ππππ+≤≤+∈ ……………………………………………………10分 令0k =，得：263x ππ≤≤. 所以函数()f x 在[,]ππ-上的单调递减区间为2[,]63ππ………………………………12分18．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连结1A D 交1AD 于G ， 因为1111ABCD A B C D -为四棱柱， 所以四边形11ADD A 为平行四边形， 所以G 为1A D 的中点，又1E 为11A B 中点，所以1E G 为11A B D ∆的中位线， 所以11//B D E G ……………………………………………………………………………4分 又因为1B D ⊄平面11AD E ，1E G ⊂平面11AD E ，所以1//B D 平面11AD E ． …………………………………………………………………6分 （Ⅱ）设ACBD H =，因为//AD BC ，所以BHC DHA ∆∆又 1BC =，3AD =，所以3AH DH ADCH BH BC === //AD BC ,090BAD ∠=,所以090ABC ∠=∴2AC ==，BD ==从而12CH =，2BH =,所以222CH BH BC +=，CH BH ⊥,即AC BD ⊥ ……………………………………9分 因为1111ABCD A B C D -为四棱柱，1AA ⊥底面ABCD H A1AB1BC1CD1D1E G所以侧棱1BB ⊥底面ABCD ，又AC ⊂底面ABCD ,所以1BB AC ⊥ ………………10分 因为1BB BD B =，所以AC ⊥平面11BDD B …………………………………………11分因为AC ⊂平面1ACD ，所以平面1ACD ⊥平面11BDD B ．……………………………12分 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则101928,a a d =+=81878922S a d ⨯=+⨯= 解得11,3a d ==，所以13(1)32n a n n =+-=-…………………………………………4分又因为123131n n b b b b b n -⋅⋅⋅=+，所以123132(2)n b b b b n n -⋅⋅=-≥ 两式相除得31(2)32n n b n n +=≥-因为当1n =时14b =适合上式，所以31(N )32n n b n n *+=∈-………………………………8分 （Ⅱ）由已知3122n n n n n a b n c ⋅+==， 则234710312222n nn T +=++++ 2311473231 22222n n n n n T +-+=++++ 所以2311333312 +()22222n n n n T ++=+++- ……………………………………………10分从而1111[1()]131422 +312212n n n n T -+-+=⨯--，即3772n n n T +=-…………………………12分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，直线AB 的方程为：1xya b+=，即为0bx ay ab +-= 因为圆O 与直线AB =222223a b b a =+…… ①……………2分 设椭圆的半焦距为c ，因为222b c a += ，2c e a ==， 所以22212a b a -= …… ② …………………………………………………………………3分 由①②得：222,1a b ==所以椭圆C 的标准方程为：2212x y +=……………………………………………………5分（Ⅱ）由2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得：2222(12)8820k x k x k +-+-=设11(,)E x y ，22(,)F x y则2122812k x x k +=+，21228212k x x k -=+………………………………………………………7分所以12EF x =-==又点O 到直线EF的距离d =//OP l ，∴12EPF EOF S S EF d ∆∆===分 又因为22181602k k ∆=->⇒<，又0k ≠，2102k ∴<<令212(1,2)t k =+∈，则222222(12)113131()12)22416k k k t t t -=--+=--++（， 所以当241,36t k ==时, 2222(12)12)k k k -+（最大值为116所以当216k =时,EPF ∆的面积的最大值为2 ………………………………………13分21．（本小题满分14分） 解: （Ⅰ）2()(2)x f x ax x a e =+-，2()[2(1)2]x f x ax a x a e '∴=+++-则2(2)(76)f a e '=+，2(2)(34)f a e =+∴函数()y f x =的图象在点(2,(2))M f 处的切线为：2(2)(76)(2)y f a e x -=+-切线过坐标原点，20(2)(76)(02)f a e -=+-，即22(34)2(76)a e a e +=+811a ∴=-………………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）2()[2(1)2]xf x ax a x a e '=+++-要使()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，只要22(1)20ax a x a +++-≥令2()2(1)2x ax a x a Γ=+++-①当0a =时，()22x x Γ=+，在[1,1]-内()(1)0x Γ≥Γ-=，∴()0f x '≥函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数………………………………………………………4分②当0a >时，2()2(1)2x ax a x a Γ=+++-是开口向上的二次函数，其对称轴为1(1)1x a=-+<-，∴()x Γ在[1,1]-上递增，为使()f x 在[1,1]-上单调递增，必须min ()(1)20x a Γ=Γ-=-≥0a ⇒≤ 而此时0a >，产生矛盾∴此种情况不符合题意 ………………………………………………………6分③当0a <时，2()2(1)2x ax a x a Γ=+++-是开口向下的二次函数，为使()f x 在[1,1]-上单调递增，必须()0f x '≥，即()0x Γ≥在[1,1]-上恒成立，∴(1)0(1)0Γ≥⎧⎨Γ-≥⎩ ⇒24020a a +≥⎧⎨-≥⎩又0a <，20a ∴-≤<综合①②③得实数a 的取值范围为[2,0]- ………………………………………………8分（Ⅲ）1()(ln )ln 2g x f x x x ==，()ln 1g x x '=+．因为对满足120x x <<的实数12,x x ,存在00x >，使得12012()()()g x g x g x x x -'=-成立，所以12012()()ln 1g x g x x x x -+=-，即1122012ln ln ln 1x x x x x x x -+=-，从而112201112ln ln ln ln 1ln x x x x x x x x x --=---21222112ln ln x x x x x x x x -+-=-112212ln11x x x x x x +-=-．…………………………………………11分设()ln 1t t t ϕ=+-，其中01t <<，则1()10t tϕ'=->，因而()t ϕ在区间(0,1)上单调递增，()(1)0t ϕϕ<=，120x x <<，1201x x ∴<<，从而111222()ln 10x x x x x x ϕ=+-<,又1210xx -<所以01ln ln 0x x ->，即01x x >………………………………………………………。

一、选择题：(本题包括1小题，每小题3分，共5分。

每小题只有一个选项符合题意) 1．设NA代表阿伏加德罗常数，下列叙述正确的是( ) A．标准状况下，11.2L的O2和NO的混合物含有的分子数约为0.5×6.02×1023 B．1mol的羟基与1 mol的氢氧根离子所含电子数均为9 NA C．常温常压下42g 乙烯和丁烯混合气体中，极性键数为6NA D．1 mol Fe与足量的稀HNO3反应，转移2NA个电子 2．下列分类或归类正确的是( ) ①液氯、氨水、干冰、碘化银均为纯净物②CaCl2、NaOH、HCl、IBr均为化合物 ③明矾、水银、烧碱、硫酸均为强电解质④碘酒、淀粉、水雾、纳米材料均为胶体 ⑤C60、C70、金刚石、石墨均为碳的同素异形体 A．②⑤ B．②③ C．①③⑤ D．②③④⑤ 3．下列关于胶体的叙述不正确的是( ) A．胶体区别于其他分散系的本质特征是分散质的微粒直径在10－9 m～10－7 m之间 B．光线透过胶体时，胶体中可发生丁达尔效应 C．用聚光手电筒照射NaCl溶液和Fe(OH)3胶体时，产生的现象相同 D．Fe(OH)3胶体能够吸附水中悬浮的固体颗粒并沉降，达到净水目的] 4．常温下，下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是( )①无色溶液中：K＋、Na＋、CO、ClO－ ②pH＝2的溶液中：Fe2＋、Na＋、Mg2＋、NO ③加入Al能放出H2的溶液中：Cl－、HCO、SO、NH ④由水电离出的c(OH－)＝1.0×10－13 mol·L－1的溶液中：Na＋、Ba2＋、Cl－、Br－ ⑤含有较多Fe3＋的溶液中：Na＋、NH、SCN－、HCO A．①② B．①④ C．③④ D．④⑤ 5．能正确表示下列反应的离子方程式是 （ ） A．Fe3O4溶于足量稀HNO3：Fe3O4＋8H＋=Fe2＋＋2Fe3＋＋4H2O B．等物质的量的MgCl2、Ba(OH)2 和 HC1 溶液混合：Mg2＋＋2OH－=Mg(OH)2↓ C．将过量的SO2通入Ca(ClO)2溶液中： SO2+ClO－+H2O=HClO+ HSO3－D．将0.2 mol·L－1的NH4Al(SO4)2溶液与0.3 mol·L－1的Ba(OH)2溶液等体积混合：2Al3＋＋3SO＋3Ba2＋＋6OH－=2Al(OH)3↓＋3BaSO4↓6．将CO2气体缓缓地通入到含KOH、Ba(OH)2和K的混合溶液中直至过量，生成沉淀的物质的量与所通CO2的体积关系如图所示。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作青岛市2015届高三第二次模拟考试数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知11abi i=-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -= A ．3 B ．2 C ．5 D ．5 【答案】D【解析】由11abi i=-+，整理得(1)(1)a b b i =++-，所以1,01,a b b =+⎧⎨=-⎩即2,1.a b =⎧⎨=⎩所以|||2|5a b i i -=-=．2015.5【考点】复数的运算．2.已知集合2{|20}M x x x =->，22{|1}N x x y =+=，则M N =A ．[1,2)-B ．(0,1)C ．(0,1]D ．∅ 【答案】C【解析】由题意可知{}|02M x x =<<，{}|11N x x =-≤≤， 所以{}(]|010,1MN x x =<≤=．【考点】集合的交集运算．3.某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为A ．84B ．78C ．81D ．96 【答案】B【解析】设该校高三学生共有n 人，则480(30)1290n n +++=，解得390n =．又因为本调查采取分层抽样，故设样本中高三学生人数为x ，则96480390x=，解得78x =． 【考点】分层抽样．4.函数11()2xy =-的值域为A ．[0,)+∞B ．(0,1)C ．[0,1)D ．[0,1] 【答案】C【解析】由题意可知101()12x≤-<，所以该函数的值域为[)0,1．【考点】函数的值域；指数函数的性质． 5.已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为(,)MOD n m ，其结果为n 除以m 的余数，例如(8,3)2MOD =. 右面是一个算法的程序框图，当输入的值为25时，则输出的结果为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】B【解析】当25n =时，5i =时才保证余数为0． 【考点】程序框图．6.已知圆22:440C x y x y +--=与x 轴相交于,A B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为 A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 【答案】C【解析】圆C 方程可整理为22(2)(2)8x y -+-=，当0y =时，0x =或4，所以在△ABC 中，22CA CB ==，4AB =，∴222AB CA CB =+，即2C π=，所以弦AB 所对的圆心角大小为2π． 【考点】直线与圆的位置关系．7.“01m ≤≤”是“函数()sin 1f x x m =+-有零点”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】函数()sin 1f x x m =+-有零点，即sin 10x m +-=有解，即两函数()sin g x x =，()1h x m =-的图象有公共点，故111m -≤-≤，解得02m ≤≤．所以“01m ≤≤”是“函数()sin 1f x x m =+-有零点”的充分不必要条件．【考点】函数的零点；充分必要条件． 8.已知函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象过点(0,3)，则()f x 的图象的一个对称中心是 A ．(,0)3π-B ．(,0)6π-C ．(,0)6πD ．(,0)4π【答案】B【解析】根据题意函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象过点(0,3)，可知2sin 3ϕ=，即3sin 2ϕ=，因为||2πϕ<，所以3πϕ=，故()2s i n (2)3f x x π=+．由23x k ππ+=（k Z ∈），解得26k x ππ=-（k Z ∈），故()f x 的图象的对称中心为(,0)26k ππ-（k Z ∈），当0k =时，对称中心为(,0)6π-．【考点】正弦型函数的图象与性质．9.设,x y 满足约束条件2311x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥+⎩，则下列不等式恒成立的是A ．3x ≥B ．4y ≥C ．280x y +-≥D ．210x y -+≥【答案】C【解析】作出可行域如图所示，依次作出四个选项中的直线，可以看出满足题意的只有C ． 【考点】线性规划．10.如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()y f x =是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”，若函数213()22f x x x =-+是区间I 上的“缓增函数”，则其“缓增区间”I 为A ．[1)+∞，B ．[0,3]C ．[0]1，D ．[1,3] 【答案】D【解析】函数213()22f x x x =-+的增区间为[)1,+∞．设()()f x g x x=，则()13()122f x g x x x x ==-+，则222133'()222x g x x x -=-=，由'()g x ≤，可得x ∈)3,0⎡-⎣(0,3⎤⎦．故缓增区间为1,3⎡⎤⎣⎦．【考点】二次函数的性质，利用导数求函数的单调区间．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知不共线的平面向量a ，b 满足(2,2)a =-，()()a b a b +⊥-，那么||b = ． 【答案】22【解析】因为()()a b a b +⊥-，所以()()0a b a b +⋅-=，即220a b -=，所以||||22b a ==． 【考点】向量的数量积；向量的模．12.已知函数22,0,()|log |,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则((1))f f -= ．【答案】1【解析】根据函数解析式可得112((1))(2)|log 2|1f f f ---===．【考点】分段函数求值．13.已知实数,x y 满足221xy+=，则x y +的最大值是 ．【答案】2-【解析】由221x y +=，可得12222x y x y+=+≥，整理得2x y +≤-，即x y +的最大值为2-．【考点】均值不等式．14.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是 ． 【答案】32【解析】作出直观图，如图所示，可知平面ABD ⊥平面BCD ，故该三棱锥的体积为118643232V =⨯⨯⨯⨯=． 【考点】三视图．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，过F 作斜率为1-的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若OFP ∆的面积为228a b +，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】103【解析】过点F 且斜率为1-的直线方程为()y x c =--，由,(),b y x ay x c ⎧=⎪⎨⎪=--⎩解得bc y a b =+，所以22128ABCbc a b S c a b ∆+=⋅⋅=+，整理得13b a =，故该双曲线的离心率为110193e =+=．【考点】双曲线的离心率．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）某区工商局、消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第4组的概率；（Ⅱ）已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队，求至少有两名女性的概率.【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）45【解析】（Ⅰ）设第2组[30,40)的频率为2f ，21(0.0050.010.020.03)100.35f =-+++⨯=； ………………………………………3分第4组的频率为0.02100.2⨯=所以被采访人恰好在第2组或第4组的概率为1P =0.350.20.55+= ……………………………………………………………………6分（Ⅱ）设第1组[30,40)的频数1n ，则11200.005106n =⨯⨯= ……………………7分 记第1组中的男性为12,,x x ，女性为1234,,,y y y y ，随机抽取3名群众的基本事件是：121(,,)x x y ，122(,,)x x y ，123(,,)x x y ，124(,,)x x y121(,,)x y y ，132(,,)x y y ，113(,,)x y y ，141(,,)x y y ，124(,,)x y y ，134(,,)x y y ， 221(,,)x y y ，232(,,)x y y ，213(,,)x y y ，241(,,)x y y ，224(,,)x y y ，234(,,)x y y ， 123(,,)y y y ，124(,,)y y y ，234(,,)y y y ，134(,,)y y y 共20种 ……………………10分其中至少有两名女性的基本事件是：121(,,)x y y ，132(,,)x y y ，113(,,)x y y ，141(,,)x y y ，124(,,)x y y ，134(,,)x y y ，221(,,)x y y ，232(,,)x y y ，213(,,)x y y ，241(,,)x y y ，224(,,)x y y ，234(,,)x y y ，123(,,)y y y ，124(,,)y y y ，234(,,)y y y ，134(,,)y y y 共16种所以至少有两名女性的概率为2164205P ==………………………………………………12分 【考点】古典概型的概率求解． 17．（本小题满分12分）已知向量2(s i n,c o s )33xx a k =,(cos ,)3x b k =-,实数k 为大于零的常数，函数()f x a b =⋅,R x ∈,且函数()f x 的最大值为212-. （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，若2A ππ<<，()0f A =,且22b =,210a =,求AB AC ⋅的值.【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）8-【解析】（Ⅰ）由已知2()(sin ,cos )(cos ,)333x x xf x a b k k =⋅=⋅- 221cos12223sin cos cos sin (sin cos )3332322332x x x x x k x x k k k k k +=-=-=-- 2222222(sin cos )sin()2232322342k x x k k x k π=--=-- ………………………5分因为R x ∈，所以()f x 的最大值为(21)2122k --=，则1k = …………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，221()sin()2342x f x π=--，所以221()sin()02342A f A π=--= 化简得22sin()342A π-= 因为2A ππ<<，所以25123412A πππ<-<则2344A ππ-=，解得34A π=……………………………………………………………8分 所以22222840cos 22222b c a c A bc c +-+-=-==⨯ 化简得24320c c +-=，则4c =…………………………………………………………10分所以32cos 422()842AB AC AB AC π⋅==⨯⨯-=-……………………………12分 【考点】三角函数的最值；向量的数量积． 18．（本小题满分12分）如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，11A B a =，2AB a =，12AA a =，E 、F 分别是AD 、AB 的中点.（Ⅰ）求证：平面11EFB D ∥平面1BDC ；（Ⅱ）求证：1AC ⊥平面1BDC . 注：底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心，这样的四棱锥叫做正四棱锥.用一个平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，底面与截面之间的部分叫做正四棱台.【答案】（Ⅰ）（略）；（Ⅱ）（略）【解析】证明：（Ⅰ）连接11A C ，AC ，分别交11,,B D EF BD 于,,M N P ，连接1,MN C P ，由题意，BD ∥11B D ，因为BD ⊄平面11EFB D ，11B D ⊂平面11EFB D ，所以BD ∥平面11EFB D …………3分 又因为11,2A B a AB a ==，所以1111222MC A C a ==， 又因为E 、F 分别是AD 、AB 的中点，所以1242NP AC a ==，所以1MC NP =，又因为AC ∥11A C ，所以1MC ∥NP ， 所以四边形1MC PN 为平行四边形， 所以1PC ∥MN ，因为1PC ⊄平面11EFB D ，MN ⊂平面11EFB D ，所以1PC ∥平面11EFB D ．因为1PC BD P =I ，所以平面11EFB D ∥平面1BDC ． …………………………………6分（Ⅱ）连接1A P ，因为11A C ∥PC ，11A C =2PC a =，所以四边形11AC CP 为平行四边形．因为112CC AA PC a ===，所以四边形11AC CP 为菱形 所以11A C PC ⊥．………………………………………………………………………9分 因为MP ⊥平面ABCD ,MP ⊂平面11A C CA ， 所以平面11AC CA ⊥平面ABCD ，因为BD AC ⊥，所以BD ⊥平面11A C CA ，因为1AC ⊂平面11A C CA ，所以1BD A C ⊥， 因为1PC BD P =I ，所以1AC ⊥平面1BDC . ………………………………………12分 【考点】面面平行的证明；线面垂直的证明．19．（本小题满分12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正整数的等比数列，且111a b ==，13250a b =，82345a b a a +=++，*N n ∈．（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n d 满足218log 11()2n b n n d d +-++=（*N n ∈），且116d =，试求{}n d 的通项公式及其前2n 项和2n S ．【答案】（Ⅰ）21n a n =-，12n n b -=；（Ⅱ）14848()2n -⋅【解析】解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >，且(112)50,(17)(12)(13)5,d q d q d d +=⎧⎨++=++++⎩即(112)50,26,d q d q +=⎧⎨+=⎩解得：22d q =⎧⎨=⎩，或1112256d q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由于{}n b 是各项都为正整数的等比数列，所以2,2.d q =⎧⎨=⎩……………………………………3分从而1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==． ……………………………………5分（Ⅱ）12n n b -=，∴21log n b n +=，∴811()2nn n d d -++=，7121()2nn n d d -+++=，两式相除：212n n d d +=， 由116d =，81121()1282d d -+==可得：28d =， 135,,,d d d ∴是以116d =为首项，以12为公比的等比数列；246,,,d d d 是以28d =为首项，以12为公比的等比数列， …………………………………………………………7分 ∴当n 为偶数时，12128()16()22n n n d -=⨯=； 当n 为奇数时，1121216()162()22nn n d +-=⨯=． 综上,216(),22162(),2n n n d ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩…………………………………………………………9分∴21321242()()n n n S d d d d d d -=+++++++1116[1()]8[1()]1112232[1()]16[1()]4848()112221122n n n n n ⨯-⨯-=+=-+-=---………………12分 【考点】等差数列、等比数列的通项公式；数列的前n 项和．20．（本小题满分13分）已知抛物线1:C 22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上存在一点G 到焦点的距离为3，且点G 在圆:C 229x y +=上．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程； （Ⅱ）已知椭圆2:C 2222 1 (0)x y m n m n+=>>的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合，且离心率为12．直线:4l y kx =-交椭圆2C 于A 、B 两个不同的点，若原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）28y x =；（Ⅱ）23132k -<<-或12323k << n 为偶数 n 为奇数【解析】（Ⅰ）设点G 的坐标为00(,)x y ，由题意可知022002003,29,2,p x x y y px ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩………………………2分 解得：001,22,4,x y p ==±=所以抛物线1C 的方程为：28y x = ………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线1C 的焦点(2,0)F ，椭圆2C 的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合，∴椭圆2C 半焦距2222, 4c m n c =-==， 椭圆2C 的离心率为12，2142m m ∴=⇒=，23n = ∴椭圆2C 的方程为：2211612x y +=．…………………………………………………………6分 设11(,)A x y 、22(,)B x y ， 由224,1,1612y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(43)32160k x kx +-+=， 由韦达定理得：1223243k x x k +=+，1221643x x k =+， ………………………………8分 由0∆>22(32)416(43)0k k ⇒--⨯+> 整理得12k >或12k <- ………………①……………………………………………………10分 ∵原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，则0OA OB ⋅>，∴11221212(,)(,)OA OB x y x y y y x x ⋅=⋅=+212121212(4)(4)(1)4()16kx kx x x k x x k x x =-⋅-+=+-++2221632(1)4164343k k k k k =+⨯-⨯+++2216(43)043k k -=>+ 整理得232333k -<<………………② 由①、②得实数k 的范围是23132k -<<-或12323k << ………………………13分 【考点】抛物线方程的求解；直线与椭圆的位置关系．21．（本小题满分14分） 已知函数()1ln a f x x x=--（R a ∈）． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的图象在点11(,())22f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≥时，记函数21()(12)1()2a x ax a x f x x Γ=+-+-+，试求()x Γ的单调递减区间； （Ⅲ）设函数2()32h a a a λ=-（其中λ为常数），若函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，求()h a 的最大值．【答案】（Ⅰ）2ln 220x y -+-=；（Ⅱ）2max 98, 0834()0, 034868, 33h a λλλλλλ≥⎧≤⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩或 【解析】（Ⅰ）当1a =时，1()1ln f x x x=--， 211()f x x x '=-， 则1()4222f '=-=，1()12ln 2ln 212f =-+=-∴函数()f x 的图象在点11(,())22f 的切线方程为：1(ln 21)2()2y x --=-， 即2ln 220x y -+-= …………………………………………………………………4分 （Ⅱ）()1ln a f x x x =--，21()(12)ln 2x ax a x x ∴Γ=+--(0)x >， 21(21)1()(12)ax a x x ax a x x---'Γ=+--= ①当0a =时，1()x x x-'Γ= 由1()0x x x-'Γ=≤及0x >可得：01x <≤，()x ∴Γ的单调递减区间为(0,1]………6分 ②当0a >时，2(21)1()ax a x x x---'Γ= 由2(21)10ax a x ---=可得：22(21)4410a a a ∆=-+=+>设其两根为12,x x ，因为1210x x a =-<，所以12,x x 一正一负设其正根为2x ，则2221412a a x a-++= 由2(21)1()0ax a x x x---'Γ=≤及0x >可得：2214102a a x a -++<≤ ()x ∴Γ的单调递减区间为22141(0,]2a a a-++…………………………………………8分 （Ⅲ）221()a a x f x x x x-'=-=，由()0f x '=x a ⇒= 由于函数()f x 在区间(0,2)上不存在极值，所以0≤a 或2≥a ………………………10分对于2()32h a a a λ=-，对称轴34a λ= 当304λ≤或324λ≥，即0λ≤或83λ≥时，2max 39()()48h a h λλ==； 当3014λ<≤，即403λ<≤时，max ()(0)0h a h ==； 当3124λ<<，即4833λ<<时，max ()(2)68h a h λ==-； 综上可知：2max 98, 0834()0, 034868, 33h a λλλλλλ≥⎧≤⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪-<<⎪⎩或 ……………………………………………14分 【考点】导数的几何意义；利用导数求函数的单调区间；函数最值的求解．。

2023-2024学年山东省青岛市青岛第二中学高一上学期10月月考数学试题✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，则下列结论错误的是( )A. B. C. D.2.已知集合，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A的个数为( )A. 11B. 12C. 13D. 143.设集合，其中N为自然数集，，，则下列结论正确的是( )A. B.C. D.4.设，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若“”是假命题，则a的取值范围为( )A. B. C. D.6.近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤、b元/斤，学校甲食堂和乙食堂购买牛肉的方式不同，甲食堂每周购买6000元钱的牛肉，乙食堂每周购买80斤牛肉，甲食堂、乙食堂两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是( )A. B.C. D. ，的大小无法确定7.已知，，，则的最小值为( )A. B. C. D.8.对于集合A，B，我们把集合叫做集合A与B的差集，记作若集合，集合，且，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知全集，，，，，，则下列选项正确的为( )A. B. A的不同子集的个数为8C. D.10.下列说法中，错误的是( )A. 若，，则B. 若，，则C. “对，恒成立”是“”的必要不充分条件D. 设，则的最小值为211.若关于x的不等式的解集为，则的值可以是( )A. B. C. D. 112.已知正实数a，b满足，则下列选项正确的是( )A. 的最大值为2B. 的最小值为C. 的最大值为3D. 的最小值为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省青岛市2015届高三上学期期末考试数学（文）试题第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合{}()23,,U M y y x x R N x y M C N ⎧⎪==-∈==⋂=⎨⎪⎩，则，A. ()0-∞，B. [)03，C. (]03，D. ∅2.若复数12a ii++是纯虚数，则实数a 的值为 A. 2B. 12- C. 2-D. 1-3.圆()2211x y -+=和圆222440x y x y +++-=的位置关系为A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能4.已知函数()ln xf x e =，则函数()1y f x =+的大致图象为5.下列命题：①4k >是方程2224380x y kx y k +++++=表示圆的充要条件；②把sin y x =的图象向右平移3π单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象； ③函数()sin 2036f x x ππ⎛⎫⎡⎤=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在，上为增函数；④椭圆2214x y m +=的焦距为2，则实数m 的值等于5.其中正确命题的序号为A.①③④B.②③④C.②④D.②6.一个几何体的的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 A. 2 B.13 C.23D. 437.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是 A. 2016 B. 2 C.12D. 1-8.函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在的大致区间是 A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,eD. ()3,49.已知2280,02y x x y m m x y>>+>+，若恒成立，则实数m 的取值范围是 A. 42m m ≥≤-或B. 24m m ≥≤-或C. 24m -<<D. 42m -<<10.已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设()()1,2,32a f b f c f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为 A. b a c << B. c b a <<C. b c a <<D. a b c <<第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.设非负实数,x y 满足10330x y x y -+≥+-≤且，则4z x y =+的最大值为_______. 12.观察式子2222221311511171,1,1 (222332344)+<++<+++<则可归纳出关于正整数(),2n n N n *∈≥的式子为__________________.13.椭圆22162x y +=与双曲线22213x y b-=有公共的焦点12F F ，，则双曲线的渐近线方程为________.14.若平面向量()()222log ,1,log ,2log a x b x x =-=+r r ，则0a b <r rg 的实数x 的集合为___.15. ()()22113f x ax x x =-++-∞+∞在，上恒为单调递增函数，则实数a 的取值范围________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分） 已知直线两直线121:cos 10:sin ,26l x y l y x ABC παα⎛⎫+-==+∆ ⎪⎝⎭；中，内角A ，B ，C对边分别为,,4=a b c a c A α==，，且当时，两直线恰好相互垂直； （I ）求A 值；（II ）求b 和ABC ∆的面积 17. （本小题满分12分）右图为某校语言类专业N 名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80~90分数段的学员数为21人（I ）求该专业毕业总人数N 和90~95分数段内的人数n ；（II ）现欲将90~95分数段内的n 名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若n 人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率； 18. （本小题满分12分）如图，ABCD 为梯形，PD ⊥平面ABCD ，AB//CD ，=ADC=90BAD ∠∠o22,,DC AB a DA PD ===，E 为BC 中点（I ）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；（II ）线段PC 上是否存在一点F ，使PA//平面BDF ？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由. 19. （本小题满分12分）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，数列{}n b 是等比数列，151,12b a =-恰为421S b 与的等比中项，圆()(222:22C x n y n -+=，直线:l x y n +=，对任意n N *∈，直线l 都与圆C 相切.（I ）求数列{}{}n n a b ，的通项公式；（II ）若对任意{},,n n n n n N c a b c *∈=求的前n 项和n T 的值.20. （本小题满分13分）已知()()()221,ln 1,1g x bx cx f x x ax x g x x =++=+-+=在处的切线为2y x = （I ）求,b c 的值；（II ）若()1a f x =-，求的极值； （III ）设()()()h x f x g x =-，是否存在实数(],0,,a x e ∈当（ 2.718e ≈，为自然常数）时，函数()h x 的最小值为3. 21. （本小题满分14分）已知抛物线21:2C y px =上一点()03M y ，到其焦点F 的距离为4；椭圆()2222210y x C a b a b +=>>：的离心率2e =，且过抛物线的焦点F .（I ）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（II ）过点F 的直线1l 交抛物线1C 于A 、B 两不同点，交y 轴于点N ，已知NA AF NB BF λμ==u u r u u u r u u u r u u u r ，，求证：λμ+为定值.（III ）直线2l 交椭圆2C 于P ，Q 两不同点，P ，Q 在x 轴的射影分别为P '，Q '，10OP OQ OP OQ ''++=u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，若点S 满足：O S O P O Q =+u u r u u u r u u u r ，。

山东省青岛第二中学2015届高三上学期10月阶段性测试数学（文）试题满分：150分 时间：120分钟第I 卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集R U =，集合}31|{≤<=x x A ，}2|{>=x x B ，则B C A U 等于（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|12}x x ≤< C ．{|12}x x ≤≤ D ．{|13}x x ≤≤ 2．下列命题中，真命题是（ ）A ．R x ∈∃，使得2cos sin =+x xB ．),0(π∈∀x ，有x x cos sin >C ．R x ∈∃，使得22-=+x x D ．),0(+∞∈∀x ，有x e x+>13．设三个数21log 31=a ，32log 31=b ，34log 3=c ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．a c b << 4．已知41)4sin(=-x π，则x 2sin 的值为（ ）A ．87B ．169C ．1615D ．1615±5．若函数xxa ka x f --=)()10(≠>a a 且在),(+∞-∞上既是奇函数又是增函数，则函数)(log )(k x x g a +=的图象是（ ）6．要得到函数)32cos()(π+=x x f 的图象，只需将函数)32sin()(π+=x x g 的图象（ ）A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度7．设函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)(x f '，且函数)()1(x f x y '-=的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．函数)(x f 有极大值)2(f 和极小值)1(fB ．函数)(x f 有极大值)2(-f 和极小值)1(fC ．函数)(x f 有极大值)2(f 和极小值)2(-fD ．函数)(x f 有极大值)2(-f 和极小值)2(f 8．若),4(ππα∈，且)4sin(42cos 3απα-=，则α2sin 的值为（ ） A ．79 B ．19- C ．79- D ．199．函数x x x f 21log 2sin3)(-=π的零点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．定义在R 上的奇函数)(x f 和定义在}0|{≠x x 上的偶函数)(x g 分别满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-=)1(1)10(12)(x x x x f x ，)0(log )(2>=x x x g ，若存在实数a ，使得)()(b g a f =成立，则实数b 的取值范围是（ ）A ．[]2,2-B ．]21,0()0,21[ - C ．]2,21[]21,2[ -- D ．),2[]2,(+∞--∞第II 卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）11．函数)1ln(4)(2--=x x x f 的定义域是 ．12．已知31)3sin(=+πα，且α为三角形一内角，则)6cos(πα+的值等于 ．13．已知角ϕ的终边经过点)2,1(-P ，函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 图象的相邻两条对称轴之间的距离为3π，则)12(πf ＝__________．14．若不等式)0(1|ln |3>≥-m x mx ，对]1,0(∈∀x 恒成立，则实数m 的取值范围是 ．15．给出下列命题：① 函数)23sin(x y +=π是偶函数； ②函数)42cos(π+=x y 图象的一条对称轴方程为8π=x ；③对于任意实数x ，有)()(x f x f -=-，)()(x g x g =-，且0>x 时，0)(>'x f ，0)(>'x g 则0<x 时，)()(x g x f '>'；④若对R x ∈∀，函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，则4是该函数的一个周期．其中真命题的序号为_______________．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知0>a ，且1≠a ，设p ：函数x a y =在R 上递减；q ：函数12)(2--=ax x x f 在),21(+∞上为增函数，若“p 且q”为假，“p 或q”为真，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分12分） 已知())2,0(,54sin πααπ∈=-． （I ）求2cos 2sin 2αα-的值；（II ）求函数x x x f 2cos 212sin cos 65)(-=α的单调递减区间．18．（本小题满分12分） 已知函数1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f ．（I ）求)(x f 的最小正周期； （II ）求)(x f 在区间]4,6[ππ-上的最大值与最小值．19．（本小题满分12分） 已知函数x ax x x f 221ln )(2--=（0<a ）． （I ）若函数)(x f 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围；（II ）若21-=a ，且关于x 的方程b x x f +-=21)(在]4,1[上恰有两个不等的实根，求实数b 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，xx g a-=11log )(，记)()(2)(x g x f x F +=．（I ）求函数)(x F 的定义域D 及其零点；（II ）若关于x 的方程0)(=-m x F 在区间)1,0[内有解，求实数m 的取值范围． 21．（本小题满分14分） 已知函数1)(2++=x bax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x ． （I ）求函数)(x f 的解析式；（II ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立； （III ）已知b a <<0，求证：222ln ln b a aa b a b +>--．参考答案：一、1-5ADBAC 6-10CDBDC 二、11.}21|{<<x x ;12.6621-;13.1010-;14.231e m ≥;15.①③④三、解答题16、解：若p 为真，则10<<a ；若q 为真，则二次函数的对称轴a x =在区间),21(+∞的左侧，即21≤a 因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，所以“p 真q 假”或“p 假q 真”，2.当“p 假q 真”时，a 无解．17、18、解：（Ⅰ）因为1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x 1cos 22sin 32-+=x x x x 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x所以)(x f 的最小正周期为π（Ⅱ）因为.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以于是，当6,262πππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2；当)(,6,662x f x x 时即πππ-=-=+取得最小值—1．19、解：（Ⅰ）函数的定义域为()+∞,0，)0(12)(2>-+-='x xx ax x f ，依题意0)(≥'x f 在0>x 时恒成立，则1)11(2122--=-≤x x x a 在0>x 时恒成立，即[])0(1)11(min 2>--≤x xa ， 当1=x 时，1)11(2--x 取最小值-1，所以a 的取值范围是(]1,-∞-（Ⅱ）21-=a ，由b x x f +-=21)(得0ln 23412=-+-b x x x 在[]4,1上有两个不同的实根，设[]4,1,ln 2341)(2∈+-=x x x x x gxx x x g 2)1)(2()(--='，[)2,1∈x 时，0)(<'x g ，(]4,2∈x 时，0)(>'x g22ln )2()(min -==g x g ，22ln 2)4(,45)1(-=-=g g ，0)4ln 43(412ln 243)4()1(<-=-=-g g ，得)4()1(g g <则⎥⎦⎤ ⎝⎛--∈45,22ln b21、解：（Ⅰ）将1-=x 代入切线方程得2-=y ， ∴211)1(-=+-=-ab f ， 化简得4-=-a b . 222)1(2)()1()(x xb ax x a x f +⋅+-+='， 12424)(22)1(-===-+=-'bb a b a f ，解得：2,2-==b a .∴122)(2+-=x x x f .（Ⅱ）由已知得122ln 2+-≥x x x 在),1[+∞上恒成立，化简22ln )1(2-≥+x x x ，即022ln ln 2≥+-+x x x x 在),1[+∞上恒成立设22ln ln )(2+-+=x x x x x h ，21ln 2)(-++='xx x x x h ， ∵1≥x ∴21,0ln 2≥+≥xx x x ，即0)(≥'x h ， ∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h ，∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立（Ⅲ）∵b a <<0， ∴1ba>，由（Ⅱ）知有222ln ()1b b a b a a->+，整理得222ln ln b a a a b a b +>--，∴当b a <<0时，222ln ln ba aa b a b +>--.。

山东省青岛二中2015届高三上学期期末考试文综试卷本试卷分第I卷和第II卷两部分。

满300分，考试用时150分钟。

答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、班级等填写在答题卡规定的位置。

考试结束后，将答题卡交回。

第I卷（必做，共140分）注意事项：1.第I卷共35小题，每小题4分，共140分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不涂在答题卡上，只答在试卷上不得分。

读某区域图，完成1--2题。

1．图中海岸线发生变化的主要原因是A．地壳的下降运动 B．海水的侵蚀C．全球气候变暖 D．河流泥沙沉积2．图示区域水资源严重短缺，下列解决措施最有可能导致海岸线退缩的是A．大量修建水库B．大规模淡化海水C．大量开采地下水D．大规模人工降雨北京时间2013年12月2日凌晨2点17分，“嫦娥三号”月球探测器成功进入太空。

在月球表面软着陆后，“玉兔号”月球车进行为期约3个月的科学探测。

读图回答3-4题。

3．如图是月球车登陆时地球表面的昼半球侧视图，有关说法正确的是A．a点在北极圈上B．b点是太阳直射点C．C点的地方时为l2时D．aoe为昏线4．从“嫦娥三号”升空到“玉兔号”完成月球表面科学探测期间，以下说法正确的是A．a地正值夏季 B．c地昼短夜长C．d地正午太阳高度变小 D．e地出现极昼现象缅甸是翡翠原石的主要产地，占世界产量的80％以上，是世界上宝石级翡翠的主要供应国。

图为“岩石圈物质循环示意图”，数字序号表示岩石圈中的物质，字母表示各类地质作用。

据此回答5--6题。

5．缅甸翡翠原石是在变质环境中形成的，图中表示翡翠原石及其成因的是A．①一FB．②一GC．③一ID．④—A6．缅甸境内多地震，其形成的主要原因是地处A．印度洋板块与亚欧板块的消亡边界B．印度洋板块与亚欧板块的生长边界C．太平洋板块与亚欧板块的消亡边界D．太平洋板块与亚欧板块的生长边界2013年11月15日南水北调东线工程山东段正式通水。

山东省青岛二中2015届高三上学期10月段考数学试卷（理科）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知m、n∈R，则＞成立的一个充要条件是（）A．m＞0＞n B．n＞m＞0 C．mn（m﹣n）＜0 D．m＜n＜02．（5分）已知集合M={a，b，c，d}，N={﹣2，0，1}，若f是从M到N的映射，且f（a）=0，f（b）=﹣2，则这样的映射f共有（）A．4个B．6个C．9个D．以上都不对3．（5分）设f（x）=，则f（f（））=（）A．e B．1 C．2 D．以上都不对4．（5分）若log m n=﹣1，则3n+m的最小值是（）A．2B．2C．2 D．5．（5分）函数f（x）=sinx在区间上是增函数，且f（a）=﹣1，f（b）=1，则=（）A．0 B．C．﹣1 D．16．（5分）设函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1），若f（x1•x2•x3…x2015）=50，则f（x12）+f （x22）+f（x32）+…+f（x20152）的值等于（）A．10 B．100 C．1000 D．20157．（5分）设函数f（x）=，集合M={x|f（x）＜0}，P={x|f′（x）≥0}，M是P的真子集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1） B．（0，1）C．（1，+∞）D．时，f（x）=x2﹣2x，则当x∈时，f（x）的最小值是（）A．﹣1 B．C．D．9．（5分）函数y=a|x|与y=sinax（a＞0且a≠1）在同一直角坐标系下的图象可能是（）A．B．C．D．10．（5分）对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知cos（x+）=，则sin2x的值为．12．（5分）曲线y=x与y=x2﹣2x围成区域的面积为．13．（5分）已知a，b都是正实数，函数y=2ae x+b的图象过（0，2）点，则+的最小值为．14．（5分）已知偶函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈时，f（x）=x2，则函数y=f（x）与y=log7x的图象的交点个数为．15．（5分）设函数f（x）=，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．已知集合A={y|y=（）x﹣3（）x+1+1，x∈（﹣1，2）}，B={x|x﹣m2|≥}，命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．17．若函数f（x）=lnx，若对所有的x∈上的取值范围．19．已知函数f（x）=，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（x）在（0，1）内有最大值，求a的取值范围．20．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断函数的单调性并证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．21．已知函数f（x）=lnx+，其中a为大于零的常数．（Ⅰ）若函数f（x）在区间上的最小值；（Ⅲ）求证：对于任意的n≥2，n∈N*，都有lnn＞++…+成立．山东省青岛二中2015届高三上学期10月段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知m、n∈R，则＞成立的一个充要条件是（）A．m＞0＞n B．n＞m＞0 C．mn（m﹣n）＜0 D．m＜n＜0考点：不等关系与不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：由题意m、n∈R，则＞，可将其移项、通分进行等价化简，从而求解．解答：解：∵＞∴﹣＞0∴＞0∴m•n（n﹣m）＞0∴m•n（m﹣n）＜0．故选C．点评：此题主要考查不等关系与不等式之间的关系及必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．2．（5分）已知集合M={a，b，c，d}，N={﹣2，0，1}，若f是从M到N的映射，且f（a）=0，f（b）=﹣2，则这样的映射f共有（）A．4个B．6个C．9个D．以上都不对考点：映射．专题：函数的性质及应用．分析：根据映射的定义，结合已知可得当f（a）=0，f（b）=﹣2时，集合M中元素c在集合N中的象有三种情况；集合M中元素d在集合N中的象也有三种情况；进而可得答案．解答：解：若f是从M到N的映射，且f（a）=0，f（b）=﹣2，则集合M中元素c在集合N中的象有三种情况；集合M中元素d在集合N中的象也有三种情况；故这样的映射f共有3×3=9种情况，故选：C点评：本题考查的知识点是映射的概念，正确理解映射的概念特别是A中任意元素在B中都有唯一元素与之对应是解答的关键．3．（5分）设f（x）=，则f（f（））=（）A．e B．1 C．2 D．以上都不对考点：分段函数的应用；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用分段函数以及所求表达式由里及外逐步求解即可．解答：解：f（x）=，则f（）=log3（）=lo g39=2，f（f（））=f（2）=e2﹣1=e．故选：A．点评：本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查指数与对数的运算，基本知识的考查．4．（5分）若log m n=﹣1，则3n+m的最小值是（）A．2B．2C．2 D．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：利用题设等式求得nm的值，进而利用基本不等式求得3n+m的最小值．解答：解：∵log m n=﹣1，∴m＞0，m≠1，n＞0，mn=1．∴3n+m≥2=2即3n+m的最小值为2．故选B．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．解题的过程中一定要把握住“一正，二定，三相等”的原则．5．（5分）函数f（x）=sinx在区间上是增函数，且f（a）=﹣1，f（b）=1，则=（）A．0 B．C．﹣1 D．1考点：正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：根据正弦函数的单调性，且f（a）=﹣1，f（b）=1，可采用特殊值法令a=﹣，b=，代入即可求得答案．解答：解：∵函数f（x）=sinx在区间上单调增，且f（a）=﹣1，f（b）=1∴令a=﹣，b=则=1故选D点评：本题主要考查了正弦函数的单调性．作为选择和填空的题型可采用特殊值法，有时能较快的解决问题．6．（5分）设函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1），若f（x1•x2•x3…x2015）=50，则f（x12）+f （x22）+f（x32）+…+f（x20152）的值等于（）A．10 B．100 C．1000 D．2015考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算法则即可得出．解答：解：∵f（x1•x2•x3…x2015）=50，∴log a（x1x2…x n）=50∵f（x12）+f（x22）+f（x32）+…+f（x20152）==2log a（x1x2…x n）=100．故选：B．点评：本题考查了对数的运算法则，属于基础题．7．（5分）设函数f（x）=，集合M={x|f（x）＜0}，P={x|f′（x）≥0}，M是P的真子集，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1） B．（0，1）C．（1，+∞）D．时，f（x）=x2﹣2x，则当x∈时，f（x）的最小值是（）A．﹣1 B．C．D．考点：函数的最值及其几何意义；函数的周期性．专题：计算题；压轴题；转化思想；配方法．分析：定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），可得出f（x﹣2）=f（x），由此关系求出求出x∈上的解析式，再配方求其最值解答：解：由题意定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），任取x∈，则f（x）=f（x+2）=f（x+4）由于x+4∈，当x∈时，f（x）=x2﹣2x，故f（x）=f（x+2）=f（x+4）===，x∈当x=﹣3时，f（x）的最小值是故选D点评：本题考查函数的最值及其几何意义，解题的关键是正确正解定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），且由此关系求出x∈上的解析式，做题时要善于利用恒等式9．（5分）函数y=a|x|与y=sinax（a＞0且a≠1）在同一直角坐标系下的图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：结合函数图象的对折变换法则和正弦型函数的伸缩变换，分当a＞1时和当0＜a＜1时两种情况，分析两个函数的图象，比照后，可得答案．解答：解：当a＞1时，函数y=a|x|与y=sinax（a＞0且a≠1）在同一直角坐标系下的图象为：当0＜a＜1时，函数y=a|x|与y=sinax（a＞0且a≠1）在同一直角坐标系下的图象为：比照后，发现D满足第一种情况，故选D点评：本题考查的知识点是函数的图象，其中熟练掌握函数图象的对折变换及伸缩变换是解答的关键．10．（5分）对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2）的解析式，并求出f（x）的取值范围，函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．解答：解：∵，∴函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2）=，由图可知，当c∈函数f（x）与y=c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是，故选B．点评：本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想．属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）已知cos（x+）=，则sin2x的值为．考点：两角和与差的余弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式与二倍角的余弦即可求得sin2x的值．解答：解：∵cos（x+）=，∴﹣sin2x=cos2（x+）=2cos2（x+）﹣1=2×（）2﹣1=﹣，∴sin2x=．故答案为：．点评：本题考查诱导公式与二倍角的余弦，考查转化思想．12．（5分）曲线y=x与y=x2﹣2x围成区域的面积为．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：联立方程组求出积分的上限和下限，结合积分的几何意义即可得到结论．解答：解：由曲线y=x与y=x2﹣2x，得x2﹣3x=0，解得x=0或x=3，则根据积分的几何意义可知所求的几何面积S===（）|=；故答案为：．点评：本题主要考查积分的应用，作出对应的图象，求出积分上限和下限，是解决本题的关键．13．（5分）已知a，b都是正实数，函数y=2ae x+b的图象过（0，2）点，则+的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：函数y=2ae x+b的图象过（0，2）点，可得2=2a+b．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵函数y=2ae x+b的图象过（0，2）点，∴2=2a+b．∵a，b都是正实数，∴+===，当且仅当b=a时取等号．∴+的最小值为．故答案为：．点评：本题考查了指数函数的性质、“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．14．（5分）已知偶函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈时，f（x）=x2，则函数y=f（x）与y=log7x的图象的交点个数为6．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意可得函数y=f（x）（x∈R）是以2为周期的周期函数，然后在同一坐标系中画出函数y=f（x）与y=log7x的图象，利用图象法得到答案．解答：解：∵偶函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），∴f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），∴函数y=f（x）（x∈R）是以2为周期的周期函数，又∵当x∈时，f（x）=x2，故可以在同一坐标系中画出函数y=f（x）与函数y=log7x的图象，如下图所示：结合图象可得函数y=f（x）与y=log7x的图象的交点个数为6故答案为：6点评：本题考查函数的零点，数形结合是解决问题的关键，属中档题．15．（5分）设函数f（x）=，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是k≥1．考点：函数恒成立问题．专题：计算题．分析：当x＞0时，=，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则，可求解答：解：∵当x＞0时，==2e∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e∵∴=当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e∵恒成立且k＞0，∴∴k≥1故答案为k≥1点评：本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，导数在函数的单调性，最值求解中的应用是解答本题的另一重要方法，函数的恒成立问题的转化，本题具有一定的难度三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．已知集合A={y|y=（）x﹣3（）x+1+1，x∈（﹣1，2）}，B={x|x﹣m2|≥}，命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：求出集合A，B，根据充分条件和必要条件的定义和关系即可得到结论．解答：解：y=（）x﹣3（）x+1+1=y=2+（）x+1=2+，∵x∈（﹣1，2）}，∴＜（）x＜2，∴＜y＜8，即A=（，8），由B={x|x﹣m2|≥}，得B={x|x≥m2+或x≤m2﹣}，若命题p是命题q的充分条件，∴A⊊B，即m2+，即m2≤，即≤m≤，或者m2﹣≤8，m2，即，综上≤m≤．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出对应的集合是解决本题的关键．17．若函数f（x）=lnx，若对所有的x∈分析：方法一、由题意得转化为：x∈∴x﹣lnx﹣1≥e﹣lne﹣1=e﹣2＞0，即h′（x）＞0，则h（x）在上的取值范围．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：（Ⅰ）先根据倍角公式和两角和公式，对函数进行化简，再利用T=，进而求得ω（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性进而求得函数f（x）的范围．解答：解：（Ⅰ）==．∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，∴，解得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．∵，∴，∴．∴，即f（x）的取值范围为．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象，三角函数式恒等变形，三角函数的值域．公式的记忆，范围的确定，符号的确定是容易出错的地方．19．已知函数f（x）=，其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若f（x）在（0，1）内有最大值，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）首先求出函数在原点处的切线的斜率，进一步求出切线方程．（Ⅱ）利用分类讨论思想进行具体的操作，分别令①a=0②a≠0，进行讨论，求的单调增区间．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论直接求出函数在（0，1）内有最大值只需满足：即可解得结果．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=，当a=1时，f（x）=则：则：f′（0）=2曲线y=f（x）在原点处的切线方程为：y=2x（Ⅱ）函数f（x）=则：=﹣（1）当a=0时，，解得：x＞0（2）当a≠0时令f′（x）=0，解得：①当a＜0时，函数的增区间为：（﹣∞，）和（﹣a，+∞）②当a＞0时，函数的增区间为：（﹣a，）（Ⅲ）根据（2）的结论函数在（0，1）内有最大值只需满足：即可解得：a＞1故a的范围是：a＞1点评：本题考查的知识要点：利用导数求函数的切线方程，及函数的单调区间，对参数进行讨论是本题的重点．属于中等题型．20．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断函数的单调性并证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（x）为R上的奇函数得f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1），解出方程可得a，b值；（2）由（1）知f（x）==﹣，利用单调性定义可作出判断；（3）由f（x）的奇偶性可得，f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），根据单调性可去掉符号“f”，转化为函数最值解决即可；解答：解：（1）因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）=0，即=0，解得b=1，由f（﹣1）=﹣f（1），得，解得a=2，所以a=2，b=1；（2）f（x）为R上的减函数，证明如下：由（1）知f（x）==﹣，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（﹣）﹣（﹣）=，因为x1＜x2，所以＞0，，+1＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）为减函数；（3）因为f（x）为奇函数，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0可化为f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），又由（2）知f（x）为减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2，即3t2﹣2t＞k恒成立，而3t2﹣2t=3﹣，所以k＜．点评：本题考查函数单调性的判断及其应用，考查函数恒成立问题，考查学生解决问题的能力．21．已知函数f（x）=lnx+，其中a为大于零的常数．（Ⅰ）若函数f（x）在区间上的最小值；（Ⅲ）求证：对于任意的n≥2，n∈N*，都有lnn＞++…+成立．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；证明题；导数的综合应用；不等式．分析：（Ⅰ）求导，将函数f（x）在区间上的单调性，从而确定函数f（x）在区间上的最小值；（Ⅲ）注意到当a=1时，f（x）=lnx+﹣1在区间++…+（ln3﹣ln2）+（ln2﹣ln1）＞++…+，利用放缩法证明对于任意的n≥2，n∈N*，都有lnn＞++…+成立．解答：解：（Ⅰ）由题意，f′（x）=﹣=，∵a为大于零的常数，若使函数f（x）在区间上单调递增，则f min（x）=f（1）=0；②当0时，f′（x）在区间恒不大于0，f（x）在区间上单调递减，则f min（x）=f（2）=ln2﹣；③当＜a＜1时，令f′（x）=0可解得，x=∈（1，2）；易知f（x）在区间单调递减，在上单调递增，则f min（x）=f（）=ln+1﹣；综上所述，①当a≥1时，f min（x）=0；②当＜a＜1时，f min（x）=ln+1﹣；③当0时，f min（x）=ln2﹣；（Ⅲ）证明：易知当a=1时，f（x）=lnx+﹣1在区间++…+（ln3﹣ln2）+（ln2﹣ln1）＞++…+＞++…+．∴对于任意的n≥2，n∈N*，都有lnn＞++…+成立．点评：本题考查了函数的导数的综合应用，同时考查了不等式的证明，利用到了放缩法，同时考查了分类讨论的数学思想，属于难题．。

山东省青岛二中2015届高三上学期期末考试文科数学试卷第I 卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合}0|{)},1(log |{22>=-==x x B x y x A ，则=B A （ ） A ．)1,0( B ．]1,0( C ．)1,(-∞ D ．)1,0()0,( -∞ 2．已知复数z 满足i z i 34)21(+=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．i -2 B ．i +2 C ．i 21+ D ．i 21- 3．已知实数4,,,,1--z y x 成等比数列，则=xyz （ ） A ．8- B ．8± C ．22- D ．22±4．已知31)4tan(=-πα，则α2sin 等于（ ）A ．32B ．31C ．54D ．525．设n m l ,,表示不同的直线，γβα,,表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数为（ ）①若l m //，且α⊥m ，则α⊥l ； ②若l m //，且α//m ，则α//l ；③若n m l ===αγγββα ,,，则n m l ////； ④若n l m ===αγγββα ,,，且β//n ，则m l //． A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．67．定义域为R 的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，且当]1,0[∈x 时，f )时，)(x f 的最小值为（ ） A ．81-B ．41-C ．0D ．41 8．已知e 是自然对数的底数，函数2)(-+=x e x f x的零点为a ，函数2ln )(-+=x x x g 的零点为b ，则下列不等式成立的是（ ）A ．)()()1(b f a f f <<B ．)1()()(f b f a f <<C ．)()1()(b f f a f <<D ．)()1()(a f f b f <<9．已知不等式xx ay y 22|||4|+≤-+对任意实数y x ,都成立，则常数a 的最小值为（ ） A ． B ．2 C ．3 D ．410．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为π9，则=p （ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8第II 卷 （共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上） 11．如右图，某几何体的三视图均为边长为的正方形，则该几何 体的体积是_________________．12．已知)1,2(=→a ，)3,1(-=→b ，若→→→+=b a c 2，→→→-=b x a d 2， 且→→⊥d c ，则=x ．13．已知点P 的坐标),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+14x x y y x ，过点P 的直线与圆14:22=+y x C 相交于B A ,两点，则||AB 的最小值为__________________． 14．函数ax x x x f -+=2331)(在区间),1(+∞上单调递增，且在区间)2,1(上有零点，则实数a 的取值范围是___________________．15．设21,F F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的两个焦点，P 是曲线C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，21F PF ∆的最小内角为︒30，则曲线C 的离心率为 ．三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．(本小题满分12分)某市有,,M N S 三所高校，其学生会学习部有“干事”人数分别为36,24,12，现采用分层抽样的方法从这些“干事”中抽取6名进行“大学生学习部活动现状”调查． （Ⅰ）求应从,,M N S 这三所高校中分别抽取的“干事”人数；正视图 侧视图俯视图（Ⅱ）若从抽取的6名干事中随机选2名，求选出的2名干事来自同一所高校的概率．17．(本小题满分12分)已知函数2()2sin ()2,,442f x x x x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦．设x α=时()f x 取到最大值． （I ）求()f x 的最大值及α的值；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，12A πα=-，且2sin sin sin B C A =，求b c -的值．18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCD P -中⊥PD 底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的俯视图与侧（左）视图如图所示． （I ）证明：⊥BC 平面PBD ； （II ）证明：//AM 平面PBC ； （III-19．(本小题满分12分)已知数列}{n a 中，t a =1（为非负常数），数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足n n S S 31=+ （I ）当1=t 时，求数列}{n a 的通项公式； （II ）若n n na b =，求数列}{n b 的前n 项和n T ．20．(本小题满分13分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 的离心率为322，且椭圆上一点与两个焦点构成的三角形周长为246+．（I ）求椭圆M 的方程；（II ）设直线与椭圆M 交于A ，B 两点（A ，B 不是顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，证明这样的直线恒过定点，并求出该点坐标．P M A C D4 侧（左）视图21．(本小题满分14分)已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （I ）求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程； （II ）求函数)(x f 单调递增区间；（III ）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．参考答案：-=0.b c19．解析：（1）解法1：由n n S S 31=+，可知数列}{n S 是首项为，公比为3的等比数列，所以综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+．。

a =1,b =1a <7？开始 结束 是否a =a +2 输出b b =b-a第4题图中医附中2015-2016学年度高三年级第一学期统考数学试卷（文史类） 2015.10.6（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1.已知集合{}{}2+20,0A x x x B x x =-<=>,则集合AB 等于A.{}2x x >-B.{}01x x <<C. {}1x x <D.{}21x x -<< 3.“1a >”是“函数3()f x x a =+在R 上为单调递增函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4. 执行如图所示的程序框图，则输出的b 值等于 A. 3- B. 8-C. 15-D. 24-7. 函数33,0,(),0x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩的图象与函数()ln(1)g x x =+的图象的交点个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1B.2C.3D.4正视图 侧视图 俯视图5.若,a b 是两个非零的平面向量，则 “a =b ”是“()()=0⋅a +b a b -”的A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知定义在R 上的函数(1)1,()221,x x x x f x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若直线y a =与函数()f x 的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是A. ()0,2B.[)0,2C.(]0,2D. []1,2 （2）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0+)∞，上为增函数的是 （A ）x y ln = （B ）3y x = （C ）3xy = （D ）x y sin =（11）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为 cm ．2. 曲线321y x x x =-=-在处的切线方程为 A ．20x y ++= B ．20x y +-= C．20x y -+=D ．20x y --=3、下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x = B ．2cos y x x = C ．ln y x = D ．2xy -=5．函数()22x x f x -=-是A ．奇函数且在R 上是减函数B ．奇函数且在R 上是增函数C ．偶函数且在()0,+∞上是减函数D ．偶函数且在()0,+∞上是增函数6. 已知命题p ：x ∀∈R ，20x>；命题q ：在曲线cos y x =上存在斜率为2的切线，则下列判断正确的是A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．()p q ⌝∧是真命题 D ．()p q ⌝∧是真命题正(主)视图俯视图侧(左)视图3443338、某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日 12 350002015年5月15日 4835600注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升5．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7. 设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元（t 为正常数）．公司决定从原有员工中分流x （0100x <<）人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2%x ．若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是A. 15B. 16C. 17D. 18第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（13）设函数2log , 0,()4, 0,x x x f x x >⎧=⎨⎩≤则1(())2f f =________；若函数()()g x f x k =-存在两个零点，则实数k 的取值范围是________．2．设命题p ：2log 0,2xx x ∀>>，则p ⌝为（ ） （A ）2log 0,2xx x ∀>< （B ）2log 0,2xx x ∃>≤ （C ）2log 0,2xx x ∃><（D ）2log 0,2xx x ∃>≥10、32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ． 11．函数43y x x =++(3)x >-的最小值是 ． 13．函数2log (1),01,()2,10x x f x x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩的值域是 ．13. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.14、高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 ．14. 设函数3||, 1,()log , 1.x a x f x x x -⎧=⎨>⎩≤ （1）如果(1)3f =，那么实数a =___；（2）如果函数()2y f x =-有且仅有两个零点，那么实数a 的取值范围是___.11.已知函数()22xxf x a -=+⋅，且对于任意的x ，有()()0f x f x -+=，则实数a 的值为 ．11．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为_____.侧(左)视图 正(主)视图2211110. 已知集合{|2}A x x =∈<R ，B ={x ∈R ∣}1282x ≤<,则A B = . 13. 设函数1e ,0,()sin π1,0 1.x x f x x x +⎧≤=⎨+<≤⎩若()1f m =，则实数m 的值等于 ．（14）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定购物付款总额要求如下：①如果一次性购物不超过200元，则不给予优惠；②如果一次性购物超过200元但不超过500元，则按标价．．给予9折优惠； ③如果一次性购物超过500元，则500元按第②条给予优惠，剩余部分给予7折优惠． 甲单独购买A 商品实际付款100元，乙单独购买B 商品实际付款．．．．450元，若丙一次性购买A ，B 两件商品，则应付款________ 元．14．已知函数()()f x x a x =-⋅的图象与直线1y =有且只有一个交点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （17）（本小题共14分）在三棱锥P ABC -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面PBC ； （Ⅱ）求证：CM 平面BEF ；（Ⅲ）若2PB BC CA ===，求三棱锥E ABC -的体积． 17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ．点E 是线段BD 的中点，点F 是线段PD 上的动点． （Ⅰ）若F 是PD 的中点，求证：EF //平面PBC ； （Ⅱ）求证： CE BF ⊥；（Ⅲ）若2AB =，3PD =，当三棱锥P BCF -的体积等于43时，试判断点F 在边PD 上的位置，并说明理由.18. （本小题满分14分）函数2()243f x ax x a =+--，a ∈R .（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在[]1,1-上的最大值；（Ⅱ）如果函数()f x 在区间[]1,1-上存在零点，求a 的取值范围. 19. （本小题满分14分）设函数()e xf x x a =-，a ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 单调区间；（Ⅱ）若x ∀∈R ,()0f x ≤成立，求a 的取值范围.18．（本小题满分14分）已知函数2()43f x x x a =-++，a ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 在()-∞∞,+上至少有一个零点，求a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 在[,2]a a +上的最大值为3，求a 的值．19. （本小题满分13分）已知函数()e ln xf x a x =-，a ∈R . （I ）若1x =是()f x 的极值点，求a 的值： （Ⅱ）当e a =时，求证：()e f x ≥.DAPCEFB（20）（本小题共14分）已知函数2()ln f x a x bx =-，a ，b ∈R . （Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线12y =-相切，求a ，b 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求()f x 在1[,e]e上的最大值；（Ⅲ）若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立，求a 的取值范围.18. （本小题满分13分）已知函数2()21f x x ax a =--+，a ∈R . （Ⅰ）若2a =，试求函数()f x y x=（0x >）的最小值； （Ⅱ）对于任意的[0,2]x ∈，不等式()f x a ≤成立，试求a 的取值范围.。