2020年山东省青岛二中高一(下)期中数学试卷

山东青岛高一下数学期中试卷选择题1. 在复平面内，复数2+i i对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 如图所示，a →+b →=（ ）A.−4e 1→+e 2→B.−e 1→−3e 2→C.−3e 1→−e 2→D.−e 1→+3e 2→3. 2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军．中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌．颁奖仪式上，国歌奏响！五星红旗升起！团结一心！中国加油！花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该对选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A.中位数 B.平均数C.方差D.极差4. 如图1为某省2019年1至4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1至4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ）A.2019年1至4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B.2019年1至4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C.从两图来看2019年1至4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D.从1至4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长5. 已知向量a →=(3,3)，b →=(1,4)，c →=(λ,1)，且(2a −3b )⊥c ，则实数λ的值为（ ） A.4 B.3 C.2 D.16. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，异面直线AC 与C 1D 所成角的余弦值为（ ） A.12 B.√22C.√32D.√527. 设在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C +c cos B =a sin A ，则△ABC 的形状为（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定8. 已知α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，给出下列说法：①若l ⊥α，α⊥β，则l // β；②若l//α，α // β，则l // β；③若l ⊥α，α // β，则l ⊥β；④若l // α，α⊥β，则l ⊥β．其中说法错误的是( ) A.①③④ B.③ C.①②④ D.②③9. 有五条线段，长度分别为2，4，6，8，10，从这三条线段中任取三条，则所取三条线段不能构成一个三角形的概率为（ ） A.710 B.25C.310D.4510. 已知P ，M ，N 在△ABC 所在平面内，且|PA →|=|PB →|=|PC →|，MA →⋅MB →=MB →⋅MC →=MC →⋅MA →，且NA →+NB →+NC →=0→，则点P ，M ，N 依次是△ABC 的（ ） A.重心 垂心 内心 B.外心 垂心 重心 C.重心 外心 内心 D.外心 重心 内心11. 如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为棱CC 1上的动点（点P 不与点C ，C 1重合），过点P 作平面α分别与棱BC ，CD 交于M ，N 两点，若CP =CM =CN,则下列说法正确的是( )A.A1C⊥平面αB.存在点P，使得AC1//平面αC.存在点P，使得点A1到平面α的距离为53D.用过P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形解答题若复数z=(m+1)+(m−1)i的共轭复数是纯虚数，则m=________．11，12，13，14，15，16，17，18，19，20的上四分位数是________.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30∘的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶D在西偏北75∘的方向上，仰角为30∘，则此山的高度CD=________m．已知腰长为3，底边长2为的等腰三角形ABC，D为底边BC的中点，以AD为折痕，将三角形ABD翻折，使BD⊥CD，则经过A，B，C，D的球的表面积为________.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2−b2=bc，sin C=2sin B (1)若b=2，求c；(2)求∠A的大小．做好疫情防控工作是学校复学后的重要安全工作．教育局安全办要了解疫情防控知识在学校的普及情况，命制了一份试题通过网络做问卷调查．试卷由10个题目组成，答对一个得1分，满分10分．某中学A，B两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A 班5名学生得分为：5，8，9，9，9：B班5名学生得分为：6，7，8，9，10．(1)请你估计A，B两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些；(2)如果把B班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率．已知平面上三个向量 a →，b →，c →的模均为 1，它们相互之间的夹角均为2π3(1)求证：(a →−b →)⊥c →(2)若|ka →+b →+c →|>1，求实数k 的取值范围．如图，已知三棱锥A −BPC 中，AP ⊥PC,AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM//平面APC ；(2)求证：平面ABC ⊥平面APC ．移动公司对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次是否愿意使用5G 网络的社会调查，若愿意使用的称为“5G 族”，否则称为“非5G 族”，得如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）请补全频率分布直方图并求n，a的值；（2）从年龄段在[40,50)的“5G族”中采用分层抽样法抽取6人参加5G网络体验活动，求年龄段分别在[40,45)、[45,50)中抽取的人数；（3）在（2）中抽取的6人中再随机抽取2人获奖，求在年龄段[40,45)和[45,50)中各有1人的概率．如图，三棱柱ABC−A1B1C1，侧面ABB1A1⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AB=AA1= 2，∠AA1B1=60∘，E、F分别为棱A1B1−BC的中点．(1)求证：AC⊥AE(2)求三棱锥F−A1B1C1的体积；参考答案与试题解析2019-2020学年山东青岛高一下数学期中试卷选择题 1.【解答】 解：复数2+i i=(2+i)i i⋅i=−1+2i −1=1−2i ，∴ 复数2+i i在复平面内对应的点为(1, −2)，故复数2+i i对应的点位于第四象限．故选D . 2.【解答】 此题暂无解答 3.【解答】解：根据题意，从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，其中位数是不变的． 故选A ． 4. 【解答】解：选项A ，由图可知，3月最高，2月最低，差值为4397−2411=1986≈2000，所以A 正确；选项B ，由图可知，同比增长率分别为55%,53%,62%,58%， 都超过50%，所以B 正确；对于选项C ，2月份业务量同比增长率为53%， 而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的； 对于选项D ，1,2,3,4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误. 故选D . 5. 【解答】解：∵ (2a →−2b →)⊥c →， ∴ (2a →−3b →)⋅c →=0 ∴ (3,−6)⋅(λ,1)=0 ∴ 3λ−6=0 ∴ λ=2. 故选C ． 6.【解答】 此题暂无解答7.【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵b cos C+c cos B=a sin A，则由正弦定理可得：sin B cos C+sin C cos B=sin A sin A，即sin(B+C)=sin A sin A，可得sin A=1，故A=π2，故三角形为直角三角形.故选B.8.【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l是一条直线，知：在①中，若l⊥α，α⊥β，则l // β或l⊂β，故①错误；在②中，若l//α，α // β，则l//β或l⊂β，故②错误；在③中，若l⊥α，α // β，则l⊥β，故③正确；在④中，若l // α，α⊥β，则l与β相交、平行或l⊂β，故④错误．故选C.9.【解答】此题暂无解答10.【解答】此题暂无解答11.【解答】解：连接AD1，D1P，AM，DB，易得AD1//PM，C1D//PN，DB//MN，对于选项A，可得正方体中A1C⊥面DBC1，即可得A1C⊥平面α，故A正确．对于选项B，连接AC交MN于O，连接OP，若AC1//平面α且AC1⊂平面AC1C,平面AC1C∩平面α=OP，则AC1//OP，那么CPCC1=COCA，不妨设CP=x(0<x<1)，则CN=CM=x，MN=√2x，OC=√22x，而CPCC1=x,所以CPCC1≠COCA，所以不存在点P，使得AC1//平面α，故B错误.对于选项C，A1C⊥平面α，且A1C=√3>53，所以存在点P，使得点A1到平面α的距离为53，故C正确．对于D，用过P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面是四边形PMAD1，PM≠AD 1，四边形PMAD 1一定是梯形，故D 正确.故选ACD . 解答题 【解答】解：复数z 的共轭复数z ¯=(m +1)−(m −1)i ，∵ z 的共轭复数是纯虚数， ∴ m +1=0，−(m −1)≠0， ∴ m =−1. 故答案为：−1． 【解答】 此题暂无解答 【解答】解：在△ABC 中，∠BAC =30∘，∠ABC =105∘，所以∠ACB =45∘， 因为AB =600，由正弦定理得600sin 45∘=BC sin 30∘，即BC =300√2m ，在Rt △BCD 中，因为∠CBD =30∘,BC =300√2， 所以tan 30∘=CD BC=300√2，所以CD =100√6m ．故答案为：100√6m ． 【解答】解：由题意可得：DB ，DC ，DA 两两相互垂直． AD 2=32−12=8．设经过A ，B ，C ，D 的球的半径为R ． 则4R 2=12+12+8=10． ∴ 球的表面积=10π． 故答案为：10π． 【解答】 此题暂无解答 【解答】 解：（1）∵ A 班的5名学生的平均得分为(5+8+9+9+9)÷5=8，方差S 12=15[(5−8)2+(8−8)2+(9−8)2+(9−8)2+(9−8)2]=2.4；B 班的5名学生的平均得分为(6+7+8+9+10)÷5=8，方差S 22=15[(6−8)2+(7−8)2+(8−8)2+(9−8)2+(10−8)2]=2． ∴ S 12>S 22，∴ B 班的预防知识的问卷得分要稳定一些．（2）从B 班5名同学中任选2名同学的方法共有10种，其中样本6和7，6和8，8和10，9和10的平均数满足条件，故所求概率为410=25．【解答】（1）证明∵ (a →−b →)⋅c →=a →⋅c →−b →⋅c →=|a →|⋅|c →|⋅cos 2π3−|b →|⋅|c →|⋅cos2π3=0，∴ (a →−b →)⊥c →．（2）解：|ka →+b →+c →|>1⇔(ka →+b →+c →)2>1， 即k 2a →2+b →2+c →2+2ka →⋅b →+2ka →⋅c →+2b →⋅c →>1．∵ |a →|=|b →|=|c →|=1，且a →，b →，c →相互之间的夹角均为120∘， ∴ a →2=b →2=c →2=1，a →⋅b →=b →⋅c →=a →⋅c →=−12，∴ k 2+1−2k >1，即k 2−2k >0， ∴ k >2或k <0．【解答】 证明：（1）已知三棱锥A −BPC 中 ∵ M 为AB 中点，D 为PB 中点∴ DM // APAP ⊂平面APC ，DM ⊄平面APC ∴ DM // 平面APC ．（2）∵ △PMB 为正三角形，D 为PB 的中点 ∴ MD ⊥PB ， ∴ AP ⊥PB又∵ AP ⊥PC ，PB ∩PC =P ∴ AP ⊥面PBC ∵ BC ⊂面PBC ∴ AP ⊥BC又∵ BC ⊥AC ，AC ∩AP =A ∴ BC ⊥面APC ， ∵ BC ⊂面ABC∴ 平面ABC ⊥平面APC .【解答】 此题暂无解答 【解答】(1)证明：三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∵ 侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，且侧面ABB 1A 1∩底面ABC =AB ， 又AC ⊥AB ，AC ⊂平面ABC ，∴ AC ⊥平面ABB 1A 1， 又∵ AE ⊂平面ABB 1A 1，∴ AC ⊥AE ；(2)解：连接AB 1，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，A 1B 1＝AB ，∵ AB ＝AA 1＝2，∴ A 1B 1＝AA 1＝2，又∵ ∠AA 1B ＝60∘，且AE =√3，∴ △AA 1B 1 是边长为2的等边三角形， ∵ E 是棱A 1B 1 的中点，∴ AE ⊥A 1B 1，又∵ AE ⊥AC ，A 1C 1 // AC ，∴ AE ⊥A 1C 1，∵ A 1C 1∩A 1B 1＝A 1，∴ AE ⊥底面A 1B 1C 1．∴ 三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积V =S △A 1B 1C 1⋅AE =12×2×2×√3=2√3．。

山东省青岛市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）函数在其定义域上是（）A . 奇函数B . 偶函数C . 增函数D . 减函数2. （2分）使函数为奇函数，且在上是减函数的的一个值是（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高一下·浙江期中) 在△ABC中，AC ，BC＝2，B＝60°，则角A的值为（）A . 75°B . 45°C . 45°或135°D . 135°4. （2分） (2020高一下·浙江期中) 已知函数，下列结论错误的是（）A . 函数f（x）最小正周期为2πB . 函数f（x）在区间（0，π）上是减函数C . 函数f（x）的图象关于（kπ，0）（k∈Z）对称D . 函数f（x）是偶函数5. （2分） (2020高一下·浙江期中) 等比数列中，，，则的值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高一下·浙江期中) 对于实数a，b，c，有下列命题：①若，则；②若，且，则；③若，且，则，；④若，则 .其中真命题的是（）A . ①③B . ②③C . ②④D . ③④7. （2分） (2020高一下·浙江期中) 已知，是方程的两根，且，则的值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高一下·浙江期中) 在公差不为零的等差数列中，，则的最小值为（）A .B .C .D . 19. （2分） (2020高一下·浙江期中) 已知向量，满足 |，，且对任意的实数x，不等式恒成立，设，的夹角为，则的值为（）A . ﹣2B . 2C .D .10. （2分） (2020高一下·浙江期中) 数列{an}为递增的等差数列，数列{bn}满足bn＝anan+1an+2（n∈N*），设Sn为数列{bn}的前n项和，若a2 ，则当Sn取得最小值时n的值为（）A . 14B . 13C . 12D . 11二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分）已知命题p：|x2﹣x|≠6，q：x∈N，且“p且q”与“﹁q”都是假命题，则x的值为________．12. （1分）(2020·浙江) 已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为________．13. （1分） (2020高一下·浙江期中) 在△ABC中，三边长分别为a﹣2，a，a+2，最大角的余弦值为，则a＝________，S△ABC＝________.14. （1分）(2020高一下·浙江期中) 已知，则＝________，________.三、填空题 (共3题；共3分)15. （1分）若数列，满足，，若对任意的，都有，，设，则无穷数列的所有项的和为________．16. （1分）(2019·黄浦模拟) 若函数的反函数为，则 ________17. （1分） (2017高二下·徐州期末) 已知复数z= ，其中i是虚数单位，则z的模是________．四、解答题 (共5题；共50分)18. （10分）(2017·番禺模拟) 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知A=60°，b=5，c=4．（1）求a；（2）求sinBsinC的值．19. （10分）设向量=（sinx，sinx），=（sinx，cosx），x∈[0，]．（Ⅰ）若||=||，求x的值；（Ⅱ）设函数f（x）=，将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的最大值及此时相应的x值．20. （10分）已知函数f（x）=2sin（ωx﹣），（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求函数f（x）的单调减区间；（2）若h（x）=f（x）﹣b，在x∈[0， ]上含有2个零点，求b的取值范围．21. （10分）(2019高一上·金华期末) 设函数，其中，，．Ⅰ 求的最小正周期和对称轴；Ⅱ 求函数，的值城．22. （10分） (2020高一下·浙江期中) 已知数列{an}满足a1＝3，a2 ，且2an+1＝3an﹣an-1. （1）求证：数列{an+1﹣an}是等比数列，并求数列{an}通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和为Tn ，若对任意的正整数n恒成立，求k的取值范围.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、双空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、填空题 (共3题；共3分)15-1、16-1、17-1、四、解答题 (共5题；共50分)18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。

高一下学期阶段质量检测二高一数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数数列{}n a 的通项公式n a n 23-=，则它的公差为（ ）.A -2 .B 3 C 2 D 3- 2．若0tan >α，则A ．0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α 3．数列{}n a 满足111,3()n n a a a n N ++==-∈，则5a 等于 A ．27B ．-81C ．81 D-27．4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，486=S ，则{}n a 的公差为 A ．1B ．2C ．4D ．85．设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =- 6．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知，，，则b=（A ）3（B ）（C ）2（D ）7．将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移41个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y =2sin(2x +4π)（B ）y =2sin(2x +3π)（C ）y =2sin(2x –3π)（D ）y =2sin(2x –4π)8．已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ） ()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -79．设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=10．已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ）()A 15[,]24 ()B 13[,]24 ()C 1(0,]2()D (0,2]11．数列{a n }满足a n+2a n =2a n+1(n ∈N *),且a 1=1,a 2=2,则数列{a n }的前2018项的乘积为()(A)22016 (B)22017 (C)22014 (D)2201512．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2019积数列”，且a 1＞1，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为（） A ．1010B ．1009C ．1009或1010D ．1008或1009第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在数列{a n }中， a 1=2,a n+1=2a n , S n 为{a n }的前n 项和。

山东省青岛市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020高二上·广州期末) 若为实数，则下列命题正确的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，，则D . 若，，则2. （2分）数列的通项公式为，当该数列的前n项和达到最小时，n等于（）A . 24B . 25C . 26D . 273. （2分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A .B .C .D .4. （2分） (2020高一下·元氏期中) 函数的最小值是（）A . 2B . 4C . 6D . 85. （2分） (2016高一下·赣州期中) 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A= ，则的值为（）A .B .C . 1D .6. （2分）已知△ABC满足=.+.+.，则△ABC是（）A . 等边三角形B . 锐角三角形C . 直角三角形D . 钝角三角形7. （2分） (2017高一上·舒兰期末) 棱长为的正方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A . 4πB . 6πC . 8πD . 10π8. （2分） (2020高一下·南宁期末) 在数列中，，（，），则（）A .B . 1C . -1D . 29. （2分） (2020高一下·佳木斯期中) 在中，已知 cm， cm，，如果利用正弦定理解三角形有两解，则的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二上·中山月考) 在等比数列中，若，则的最小值为（）A . 1B .C . 8D . 16二、多选题 (共2题；共6分)11. （3分） (2020高二下·长沙期末) 已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述不正确的是（）A .B .C .D .12. （3分） (2020高一下·济南月考) 下列说法正确的有（）A . 在中，B . 在中，若，则C . 在中，若，则，若，则都成立D . 在中，三、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二上·济宁期末) 在等差数列{an}中，已知a1=2，S9=54，若数列{ }的前n项和为，则n=________．14. （1分） (2019高一上·宁波期中) 已知函数，则的值域为________．15. （1分） (2019高二上·会宁期中) 在中,角所对的边分别为若则边 ________；16. （1分） (2016高一下·大同期末) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=1，an+1= Sn（n=1，2，3，…）．则数列{an}的通项公式为________．四、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高一下·承德期末) 已知△ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足asinB= bcosA．（1）求A的大小；（2）若a=7，b=5，求△ABC的面积．18. （10分） (2019高三上·富平月考) 已知数列为等差数列，，前项和为，数列为等比数列，，公比为2，且， .（1）求数列与的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和 .19. （10分）(2017·晋中模拟) 如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．（1）证明：平面ACF⊥平面BEFD（2）若二面角A﹣EF﹣C是二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值．20. （10分） (2019高一下·包头期中) 中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．（1）求；（2）若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．21. （10分） (2019高一下·扶余期末) 已知数列的前项和为，， .（1）求数列的通项公式；（2）在数列中，，其前项和为，求的取值范围.22. （10分） (2019高二上·永济月考) 已知双曲线 .（1）求该双曲线的焦点坐标、离心率；（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、多选题 (共2题；共6分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：三、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：四、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

高一数学试题本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，请将答题卡上交。

一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，则的虚部是2(1i)z =+z A ．B ．C ．D ．22-2i -2i 2．已知向量，，若与垂直，则实数的值为(12)a = ，(2)b t =，a a b - t A ． B ． C ． D ．01-32-323．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的A B C ABC '''-A BC 'A ABC '-部分是A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．三棱台4．在中，内角的对边分别为，，，，则ABC A A B C A A a b c AA 2a =b =60B =︒c =A ．B C ．D ．或13135．已知，，复数，，在复平面内对应的点为0a >0b >112i z =-2i z a =-3z b =-123Z Z Z ，，，若三点共线，则的最小值为 123Z Z Z ，，12a b+ A ．B ．C ．D ． 98646．在矩形中，，N 分别为，的中点，若，则ABCD M BC CD AC AM BN λμ=+λμ+= A ． B ． C ． D ．25165857．在中，为角的平分线，若，，则等于ABC A CD C 2B A =34AD BD =cos AA ．B ．C ．D ． 01223348．在中，内角的对边分别为，，则的取值范围ABC A A B C A A a b c AA 2=2BC AC AB ⋅ bc为A ．B ．(2)-+∞(2)++∞C ．D ．(02+A (22+二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．若复数满足，则 z (12i)10z ⋅-= A ．24i z =-B ．是纯虚数 2z +C ．||||z z == D ．若是关于的实系数方程的一个复数根，则 z x 240x x b +=-20b =10．下列说法正确的是A ．向量，能作为平面内所有向量的一组基底1(23)e =- A 213(24e =- B ．已知中，点为边的中点，则必有OAB A P AB 1()2OP OA OB =+C ．若，则是的垂心PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅P ABC A D ．若是的重心，则点满足条件 G ABC A G 0GA GB CG ++=11．在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是 ABC A A B C A A a b c AA A ．若，则为等腰三角形sin 2sin 2A B =ABC A B ．若，则为等腰或直角三角形 cos cos a bA B=ABC A C ．若为锐角三角形，则 ABC A sin cos A B > D ．若，，，则有两解30A =︒4b =3a =ABC A 12．已知函数在上单调，且的图象关于点2π()cos()(0)3f x x ωω=+>π[π]2-A ()y f x =对称，则 (π03)-A A ．的周期为 ()f x 2π B ．若，则12|())|2(f x f x -=12min ||2πx x -= C ．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为奇函数 ()f x π3D ．函数上有个零点 ()y f x =+[0π]A 1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图所示，等腰直角三角形是水平放置的一个平面图O A B '''形的直观图，其中，则原图形的周长为．2O B ''=14．已知向量满足，，的夹角为． a b ，||4a = ||1b = |2|a b += a b，15．．sin 40(tan10︒︒=16．某公园有一个人工湖，若要测量如图所示的人工湖的口径两点间的距离，现在人工,A B 湖岸边取两点，测得，，，,C D 40m CD =135ADB ∠=︒15BDC DCA ∠=∠=︒，则．120ACB ∠=︒=AB m四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知都是锐角，． αβA sin α=3cos()5αβ+=（1）求和的值； cos 2απtan(24α+（2）求的值． sin β 18．（12分）已知半圆圆心为，直径，为半圆弧上靠近点的三等分点，若为半径O 4AB =C A P 上的动点，以点为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所OC O AB x 示．（1）求在上投影向量的坐标；OA OC（2）若，当取得最小值时，求点的坐标及的最小值．y PA PO =⋅y P y19．（12分）在复平面内，是原点，向量对应的复数．O OA21(4)i,R =+-∈z m m m （1）若点位于第四象限，求的取值范围；A m （2）若点关于实轴的对称点为点，求向量对应的复数； AB AB（3）若22cos (4sin )i z θλθ=++，且12z z =，求λ的取值范围．20．（12分）在“①；②； tan tan tan tan A B A B ++=2222(42)cos a ab C b a c -+=+③”这三个条件中任选一个，补充在下面的问题()(sin sin sin )sin c a b C A B a B +--+=中，并进行解答．问题：在中，内角的对边分别为，且_______． ABC A A B C A A a b c AA （1）求角；C（2）若的内切圆半径，求的外接圆半径． ABC A r =4b =ABC A R 21．（12分）已知向量，，记函数．(2sin a x = π(2cos()1)3x b =+ A ()a x b f =⋅ （1）将化为形式，并求最小正周期；()f x πsin()(00||2y A x B A ωϕωϕ=++>><A A T （2）求函数在区间上的值域；()f x ππ12[]2-A （3）将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的()f x π6倍得到函数的图象，若在区间上至少有个最(01)a a <<()y g x =()y g x =[11]-A 100大值，求的取值范围．a 22．（12分）对于函数，若存在非零常数，使得对任意的，都有()()f x x I ∈M x I ∈成立，我们称函数为“函数”；对于函数，若存在非()()f x M f x +≤()f x M ()()f x x I ∈零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“严格M x I ∈()()f x M f x +<()f x 函数”． M （1）求证：，是“函数”；()cos (R)=∈f x x x M （2）若函数，是“函数”，求的取值范围；2()cos (R)=+∈f x kx x x π2k （3）对于定义域为的函数对任意的正实数，均是“严格函数”，若R ()f x M ()f x M，求实数的最小值． 322[()(1)-≥+t t f f a t a2022—2023学年度第二学期期中学业水平检测高一数学答案一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分． 1-8：AD B CBDCD二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分． 9．ACD ；10．BC ；11．CD ；12．BCD .三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．；14．；15．；16．8+2π31-四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）解：（1）由题意知， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 24cos 212sin 5αα=-=因为是锐角， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分αsin α=cos α=所以，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分3sin 22sin cos 5ααα==sin 23tan 2cos 24ααα==所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分π3tan 2tan 1π44tan(2)7π341tan 2tan 1144ααα+++===-⋅-⨯（2）因为都是锐角，所以αβA (0π)αβ+∈A 因为，所以. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分3cos()5αβ+=4sin()5αβ+=故sin sin()sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分4355=⨯-⨯=18. （12分）解：（1）由题意得，，， 2OC OA ==π3AOC ∠=则2π2π(2cos,2sin 33C ，即 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 (C -设，所以||e OC OC =1(2e =- 所以在上的投影向量为，OA OC ||cos e e AOC OA ⋅∠=所以在上的投影向量的坐标为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分OA OC 1(2-（2）设，由（1）知，，1)0(OP tOC t =≤≤(()OP t t =-=-故， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分(,)PO t =(2,)PA t =-+所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分22211(2)3424(44PA PO t t t t y t t ⋅=-++=-=--= 又因为，所以当时，有最小值为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分01t ≤≤14t =y PA PO =⋅ 14-此时点的坐标为∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分P 1(4- 19．（12分）解：（1）由题意得，，因为点位于第四象限，2(,4)A m m -A 所以所以. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 2,40m m >⎧⎨-<⎩2m >（2）由题意得，，所以向量，所以向量对应的复数为2(,4)B m m -2(0,28)AB m =- AB ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分2(28)i m -（3）因为，所以，所以， 12z z =22cos 44sin θλθ=⎧⎨-=+⎩m m 24cos 4sin 4λθθ=--+ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分22214(1sin )4sin 44sin 4sin 4(sin 12θθθθθ=---+=-=--因为，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分1sin 1θ-≤≤[1,8]λ∈- 20．（12分）解：（1）选择①：由已知得，，tan tan tan 1)A B AB +=-所以tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B+=-+=-=-在中，，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分ABC A (0,π)C ∈π3C =选择②：由，得，2222(42)cos a ab C b a c -+=+222(2)cos 2a c b a b C a+--=则由余弦定理得：，(2)cos cos a b C c B -=由正弦定理得：，(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=则，2sin cos sin cos sin cos sin()sin A C B C C B B C A =+=+=因为，则，所以．(0,π)A ∈sin 0A ≠1cos 2C =又因为，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分(0,π)C ∈π3C =选择③：由已知及正弦定理得，()()c a b c a b ab +--+=所以，所以， 222a b c ab +-=2221cos 22a b c C ab +-==因为，所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 (0,π)C ∈π3C =（2）由余弦定理得，①2222164c a b ab a a =+-=+-由面积相等得．即，11()sin 22ab c r ab C ++=11()422a b c a ++=⨯整理得，②34a c =+联立①②，解得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分57,22a c ==所以 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分2sin c R C ===R =21．（12分）解：（1）由题意得，π1()4sin cos(4sin (cos )32a b f xx x x x x =⋅=++=+，1cos 21πsin 22(sin 22)2sin(2223x x x x x -=-+==+所以最小正周期为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分 2ππ2T ==（2）当时，，，ππ,122[x -∈ππ64π2[3,]3x +∈πsin(2[3x +∈所以∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分 ()[2]f x ∈（3）将函数的图象向右平移个单位，可得的图象； ()f x π62sin 2y x =再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，(01)a a <<得到的图象．2()2sin xy g x a==如果在区间上至少有个最大值，()y g x =[]1,1-100则在区间上至少有个最大值，在上至少有个最大值，()y g x =[0,1]50[]1,0-50故区间上至少有个周期长度，在上至少有个周期长度 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分[0,1]1974[]1,0-1994即，所以，即，所以，12π(491432π(49)14ωω⎧+⋅≤⎪⎪⎨⎪-+⋅≥-⎪⎩199π2ω≥2199π2a ≥40199πa <≤故实数的范围为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 a 4(0,]199π22. （12分）解：（1）证明：取非零常数，对任意的，则2πT =R x ∈，(2π)cos(2π)cos ()f x x x f x +=+=≤所以，是“函数” ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分()cos f x x =R I =M （2）因为函数是“函数”，，2()cos f x kx x =+π2R I =所以，即，π()()2f x f x +≤22ππ()cos (cos 22k x x kx x +++≤+整理得，πcos 22k x ≤因为，所以，即，故 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7分cos 2[1,1]x ∈-π12k ≤-2πk ≤-2(,πk ∈-∞-（3）因为，对任意的正实数，都有，R x ∈M ()()f x M f x +<所以在上为减函数 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分()f x R 所以，即 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 322[()(1)-≥+t t f f a t 322(1)-≤+t t a t 设，则， sin cos θθ=t 3222221(1)11--=⋅+++t t t t t t t222sin sin 1()cos cos sin sin 1()1()cos cos θθθθθθθθ-=⋅++ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11分sin 2cos 2sin 41244θθθ⋅==≤所以实数的最小值为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分a 14。

2022-2023学年山东省青岛二中高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若i （1﹣z ）＝﹣1，则z +z =（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．2D ．12．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β⇒α∥β B ．n ∥m ，n ⊥α⇒m ⊥α C ．m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥αD ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n3．给出下列命题中，正确的命题是（ ）A ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱B ．侧棱都相等的棱锥是正棱锥C ．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱D ．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥4．若向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=2√3，且a →⋅b →=3，则向量b →与b →−a →夹角的余弦值为（ ） A ．√32B ．2√59C ．7√216D ．3√30205．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）cm ．A ．12B ．16C ．4(1+√3)D ．4(1+√2)6．已知α∈（0，π2），cos2α+2sin2α＝1，则sin α＝（ ） A ．15B ．√55C ．45D ．2√557．十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，在费马问题中所求的点被称为费马点，对于每个给定的三角形都存在唯一的费马点，当△ABC 的三个内角均小于120°时，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°的点P 为△ABC 的费马点．已知点E 为等边△MNQ 的费马点，且|MN →|=6，则EM →⋅EN →+EM →⋅EQ →+→→A ．﹣12B ．﹣36C ．−12√3D ．﹣188．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在三棱锥C 1﹣BCD 的侧面C 1CB 表面上运动，且A 1P =√153，则点P 轨迹的长度是（ ） A ．√36π B ．√69π C ．√63π D ．√33π 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述不正确的是（ ）A ．CC 1与B 1E 是异面直线B ．AC ⊥平面ABB 1A 1C ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E10．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+b （A ＞0，0＜φ＜π，b ∈R ）的部分图像如图，则（ ）A ．ωφb ＝5πB ．f(π3)=2C ．将曲线y ＝f （x ）向右平移π9个单位长度得到曲线y ＝﹣4cos3x +2D ．点(−11π18，2)为曲线y ＝f （x ）的一个对称中心 11．给出下列命题，其中正确的选项有（ ） A ．非零向量a →，b →，满足|a →|＞|b →|且a →与b →同向，则a →＞b →B ．若单位向量 e 1→，e 2 的夹角为 60°，则当 |2e 1→−te 2→|(t ∈R) 取最小值时，t ＝1C ．在△ABC 中，若 {AB→|AB →|+AC→|AC →|}•BC →=0，则△ABC 为等腰三角形D ．已知与a →=（1，2），b →=（1，1）且a →与a →+λb →的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53，+∞) 12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的有（ ） A ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BB ．若A ＝30°，b ＝4，a ＝3，则△ABC 有一解C ．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB =√3，AC =√2，M 为BC 上一点，且有 BM →=2MC →，AM →⋅AO →=67D ．若三角形ABC 为斜三角形，则tan A +tan B +tan C ＝tan A tan B tan C 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若z =−1+√3i ，则z zz−1的虚部是 ．14．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]，若a 2sin C ＝2sin A ，（a +c ）2＝6+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为 ．15．如图所示，要在两山顶M 、N 间建一索道，需测量两山顶M 、N 间的距离．现选择与山脚B 、C 在同一平面的点A 为观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAC ＝60°，N 点的仰角∠NAB ＝30°以及∠MAN ＝45°，若AC ＝100米，AB =50√6米，则MN 等于 米．16．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →=λBC →，AD →•AB →=−32，则实数λ的值为 ，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →•DN →的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知|a →|＝4，|b →|＝8，a →与b →的夹角为2π3．（1）求|a →−b →|；（2）当k 为何值时，(a →+2b →)⊥(ka →−b →)．18．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的长，tanB =43，且AB →⋅BC →=−21． （1）求△ABC 的面积； （2）若c ＝5，求角C ．19．（12分）如图甲，在四边形PBCD 中，PD ∥BC ，BC ＝P A ＝AD ，现将△ABP 沿AB 折起得图乙，点M 是PD 的中点，点N 是BC 的中点． （1）求证：MN ∥面P AB ；（2）在图乙中，过直线MN 作一平面，与平面P AB 平行，且分别交PC 、AD 于点E 、F ，注明E 、F 的位置，并证明．20．（12分）（1）已知函数 f(x)=sin 4x 2+2sin x 2cos x 2−cos 4x 2，若f(α)=15，求sin2α； （2）已知 α∈(0，π2)，β∈(0，π)，sinα=√55，cosβ=√1010，求α﹣β的值．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD =√7，PA =√3，∠ABC ＝120°，G 为线段PC 上的点． （1）证明：BD ⊥面APC ； （2）若G 满足PC ⊥面BGD ，求PG GC的值．22．（12分）在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直（满足∠BAD ＝90°），灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且∠ABC ＝120°，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD ＝60°，路宽AD＝12m．设灯柱高AB＝h（m），∠ACB＝θ（30°≤θ≤45°）．（1）当θ＝30°时，求四边形ABCD的面积；（2）求灯柱的高h（用θ表示）；（3）若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．2022-2023学年山东省青岛二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若i（1﹣z）＝﹣1，则z+z=（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1解：i（1﹣z）＝﹣1，则1﹣z=−1i=i，即z＝1﹣i，z=1+i，故z+z=1−i+1+i=2．故选：C．2．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．n∥m，n⊥α⇒m⊥αC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n解：m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于A，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α与β相交或平行，故A错误；对于B，n∥m，由线面垂直的判定定理得到：n⊥α⇒m⊥α，故B正确；对于C，m⊥α，m⊥n⇒n∥α或n⊂α，故C错误；对于D，α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n平行或异面，故D错误．故选：B．3．给出下列命题中，正确的命题是（）A．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱B．侧棱都相等的棱锥是正棱锥C ．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱D ．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥解：因为正四棱柱是指：底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱，对于A ，因为底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，所以可得底面是正方形，侧棱与底面垂直，故正确；对于C ，因为底面是正方形，有两个侧面是矩形，不能保证侧棱与底面垂直，故错误； 又因为正棱锥是指底面是正多边形，顶点在底面内的射影是底面的中心的棱锥，对于B ，侧棱都相等则可得侧棱在底面内的射影相等，只能说明顶点在底面内的射影是底面多边形的外接圆的圆心，不能保证底面是正多边形，故错误；对于D ，侧面都是等腰三角形的棱锥不能保证底面是正多边形，顶点在底面内的射影是底面的中心，故错误． 故选：A ．4．若向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=2√3，且a →⋅b →=3，则向量b →与b →−a →夹角的余弦值为（ ） A ．√32B ．2√59C ．7√216D ．3√3020解：根据题意，设向量b →与b →−a →夹角为θ，则（b →−a →）2=b →2﹣2a →•b →+a →2＝12﹣6+4＝10，则|b →−a →|=√10， 而b →•（b →−a →）=b →2−a →•b →=12﹣3＝9，故cos θ=b →⋅(b →−a →)|b →||b →−a →|=92√3×√10=3√3020；故选：D ．5．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）cm ．A ．12B ．16C ．4(1+√3)D ．4(1+√2)解：由直观图可得原图如图所示，且OA ＝2，OB =2O ′B ′=4√2，所以AB ＝6，所以周长为16， 故选：B ．6．已知α∈（0，π2），cos2α+2sin2α＝1，则sin α＝（ ）A ．15B ．√55C ．45D ．2√55解：∵α∈（0，π2），∴cos α＞0，sin α＞0， ∵cos2α+2sin2α＝cos 2α﹣sin 2α+4sin αcos α＝1①， 又sin 2α+cos 2α＝1②， 由①②得sin α=2√55． 故选：D ．7．十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，在费马问题中所求的点被称为费马点，对于每个给定的三角形都存在唯一的费马点，当△ABC 的三个内角均小于120°时，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°的点P 为△ABC 的费马点．已知点E 为等边△MNQ 的费马点，且|MN →|=6，则EM →⋅EN →+EM →⋅EQ →+EN →⋅EQ →=（ ） A ．﹣12B ．﹣36C ．−12√3D ．﹣18解：设∠EMN ＝α，则∠ENM ＝60°﹣α，∵△MNQ 为等边三角形， ∴∠ENQ ＝α，∠EQN ＝60°﹣α，同理：∠EQM ＝α，∠EMQ ＝60°﹣α， 又MN ＝NQ ＝MQ ，∴△EMN ≅△ENQ ≅△EQM ，则EM ＝EN ＝EQ ， ∴点E 为△MNQ 的中心，∵MN ＝NQ ＝MQ ＝6，∴EM =EN =EQ =2√3， 又∠MEN ＝∠NEQ ＝∠QEM ＝120°，∴EM →⋅EN →+EM →⋅EQ →+EN →⋅EQ →=2√3×2√3×cos120°×3=−18． 故选：D ．8．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在三棱锥C 1﹣BCD 的侧面C 1CB 表面上运动，且A 1P =√153，则点P 轨迹的长度是（ ） A ．√36π B ．√69π C ．√63π D ．√33π 解：因为A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ，且A 1P =√153，所以，点P 的轨迹是以B 1为圆心，半径为r =√A 1P 2−A 1B 12=√53−1=√63的圆在△BCC 1内的交线， 取B 1C 1的中点E ，则B 1E ⊥BC 1，且B 1E =12BC 1=√22，设圆弧交BC 1于M 、N 两点，如下图所示：sin ∠B 1ME =B 1E B 1M =√22×3√6=√32，所以∠B 1ME =π3， 又因为B 1M ＝B 1N ，则△B 1MN 为等边三角形， 故点P 轨迹的长度是π3r =π3×√63=√69π． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述不正确的是（ ）A ．CC 1与B 1E 是异面直线 B ．AC ⊥平面ABB 1A 1C ．AE ，B 1C 1为异面直线，且AE ⊥B 1C 1D ．A 1C 1∥平面AB 1E 解：A 不正确，因为CC 1与B 1E 在同一个侧面中，故不是异面直线；B 不正确，由题意知，上底面ABC 是一个正三角形，故不可能存在AC ⊥平面ABB 1A 1； C 正确，因为AE ，B 1C 1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D 不正确，因为A 1C 1所在的平面与平面AB 1E 相交，且A 1C 1与交线有公共点， 故A 1C 1∥平面AB 1E 不正确． 故选：ABD ．10．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+b （A ＞0，0＜φ＜π，b ∈R ）的部分图像如图，则（ ）A ．ωφb ＝5πB ．f(π3)=2C ．将曲线y ＝f （x ）向右平移π9个单位长度得到曲线y ＝﹣4cos3x +2D ．点(−11π18，2)为曲线y ＝f （x ）的一个对称中心 解：由题图可知，{A +b =6−A +b =−2，解得{A =4b =2，因为函数y ＝f （x ）过点（0，4），所以4sin φ+2＝4，所以sinφ=12，由图像可知，点（0，4）在y ＝f （x ）图像的下降部分上，且0＜φ＜π，所以φ=5π6， 又因为函数y ＝f （x ）过点(2π9，−2)，所以2π9×ω+5π6=3π2，解得ω＝3， 对于选项A ，则ωφb =3×5π6×2=5π，故选项A 正确； 对于选项B ，由A ，得f(x)=4sin(3x +5π6)+2，所以f(π3)=4sin(3×π3+5π6)+2=4sin(π+5π6)+2=−4sin 5π6+2=0，故选项B 错误；对于选项C ，将曲线y ＝f （x ）向右平移π9个单位长度得到曲线y =4sin[3(x −π9)+5π6]+2=4sin(3x +π对于选项D ，令3x +5π6=kπ，k ∈Z ，解得x =kπ3−5π18，k ∈Z ， 取k ＝﹣1，则x =−π3−5π18=−11π18， 所以点(−11π18，2)为曲线y ＝f （x ）的一个对称中心，故选项D 正确． 故选：AD ．11．给出下列命题，其中正确的选项有（ ） A ．非零向量a →，b →，满足|a →|＞|b →|且a →与b →同向，则a →＞b →B ．若单位向量 e 1→，e 2 的夹角为 60°，则当 |2e 1→−te 2→|(t ∈R) 取最小值时，t ＝1 C ．在△ABC 中，若 {AB→|AB →|+AC→|AC →|}•BC →=0，则△ABC 为等腰三角形D ．已知与a →=（1，2），b →=（1，1）且a →与a →+λb →的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−53，+∞) 解：对选项A ，∵向量不能比较大小，∴A 选项错误； 对选项B ，∵|2e 1→−te 2→|=√4+t 2−2t =√(t −1)2+3， ∴当t ＝1时，|2e 1→−te 2→|取最小值，∴B 选项正确；对选项C ，∵AB→|AB →|+AC→|AC →|表示与∠A 的角平分线平行的向量，又(AB →|AB →|+AC→|AC →|)⋅BC →=0，∴∠A 的角平分线与边BC 所在直线垂直， ∴△ABC 为等腰三角形，∴C 选项正确；对选项D ，∵当λ＝0时，a →与a →+λb →的夹角为0，∴D 选项错误． 故选：BC ．12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的有（ ） A ．若A ＞B ，则sin A ＞sin BB ．若A ＝30°，b ＝4，a ＝3，则△ABC 有一解C ．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB =√3，AC =√2，M 为BC 上一点，且有 BM →=2MC →，AM →⋅AO →=67D ．若三角形ABC 为斜三角形，则tan A +tan B +tan C ＝tan A tan B tan C解：对于A ，若A ＞B 则a ＞b ，由正弦定理得2R sin A ＞2R sin B ，整理得sin A ＞sin B ，故A 正确； 对于B ，因为A ＝30°，b ＝4，a ＝3，由正弦定理得3sin30°=4sinB，即sinB =23，又因为b ＞a ，所以B 有两解，故B 错误；对于C ，因为O 是△ABC 的外心，所以AB →⋅AO →=|AB →||AO →|cos∠BAO =12|AB →|2=32，同理可得AC →⋅AO →=12|AC →|2=1， 又因为AM →=AB →+BM →=AB →+23BC →=AB →+23(AC →−AB →)=13AB →+23AC →，所以AM →⋅AD →=13AB →⋅AD →+23AC →⋅AD →=76，故C 错误；对于D ，由A +B +C ＝π，得A +B ＝π﹣C ，且三角形ABC 为斜三角形，则tan A +tan B ＝tan （A +B ）（1﹣tan A tan B ）＝tan （π﹣C ）（1﹣tan A tan B ）＝﹣tan C （1﹣tan A tan B ）＝﹣tan C +tan A tan B tan C ，所以tan A +tan B +tan C ＝tan A tan B tan C ，故D 正确； 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若z =−1+√3i ，则zzz−1的虚部是√33． 解：∵z =−1+√3i ，∴zz =(−1+√3i)(−1−√3i)=4， ∴z zz−1=−1+√3i3=−13+√33i ，其虚部为√33． 故答案为：√33． 14．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]，若a 2sin C ＝2sin A ，（a +c ）2＝6+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为 √32． 解：∵a 2sin C ＝2sin A ， ∴a 2c ＝2a ，∴ac ＝2， ∵（a +c ）2＝6+b 2，∴a 2+c 2+2ac ＝6+b 2，∴a 2+c 2﹣b 2＝2， ∴△ABC 的面积为 √14[22−(22)2]=√32．故答案为：√32． 15．如图所示，要在两山顶M 、N 间建一索道，需测量两山顶M 、N 间的距离．现选择与山脚B 、C 在同一平面的点A 为观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAC ＝60°，N 点的仰角∠NAB ＝30°以及∠MAN ＝45°，若AC ＝100米，AB =50√6米，则MN 等于 100√2 米．解：在Rt △ACM 中，∠MAC ＝60°，AC ＝100，所以AM =ACcos60°=10012=200，在Rt △ABN 中，∠NAB ＝30°，AB =50√6，所以AN =AB cos30°=√6√32=100√2，在△AMN 中，∠MAN ＝45°，AM ＝200，AN =100√2，由余弦定理得：MN 2=AM 2+AN 2−2AN ⋅AMcos45°=2002+1002×2−2×200×100√2×√22=1002×4+1002×2﹣1002×4＝1002×2，所以MN =100√2（米）． 故答案为：100√2．16．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →=λBC →，AD →•AB →=−32，则实数λ的值为16，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →•DN →的最小值为132．解：以B 为原点，以BC 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B ＝60°，AB ＝3，∴A （32，3√32），∵BC ＝6，∴C （6，0），∵AD →=λBC →，∴AD ∥BC ，设D （x 0，3√32），∴AD →=（x 0−32，0），AB →=（−32，−3√32）， ∴AD →•AB →=−32（x 0−32）+0=−32，解得x 0=52，∴D （52，3√32）， ∴AD →=（1，0），BC →=（6，0），∴AD →=16BC →，∴λ=16，∵|MN →|＝1，设M （x ，0），则N （x +1，0），其中0≤x ≤5，∴DM →=（x −52，−3√32），DN →=（x −32，−3√32），∴DM →•DN →=（x −52）（x −32）+274=x 2﹣4x +212=（x ﹣2）2+132，当x ＝2时取得最小值，最小值为132，故答案为：16，132．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知|a →|＝4，|b →|＝8，a →与b →的夹角为2π3．（1）求|a →−b →|；（2）当k 为何值时，(a →+2b →)⊥(ka →−b →)． 解：（1）∵|a →|＝4，|b →|＝8，a →与b →的夹角为2π3，∴a →⋅b →=|a →||b →|cos 2π3=4×8×(−12)=−16，∴|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√16+32+64=4√7； （2）∵(a →+2b →)⊥(ka →−b →)，∴(a →+2b →)⋅(ka →−b →)=ka →2−2b →2+(2k −1)a →⋅b →=16k ﹣128﹣16（2k ﹣1）＝0，解得k ＝﹣7．18．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的长，tanB =43，且AB →⋅BC →=−21．（1）求△ABC 的面积； （2）若c ＝5，求角C ．解：（1）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的长， 因为tanB =43，所以sinB =45，cosB =35， 又AB →⋅BC →=−21，则ac cos B ＝21，则ac ＝35， 则S △ABC =12acsinB =12×35×45=14； （2）因为c ＝5，所以a ＝7，所以b=√a2+c2−2accosB=4√2，所以cosC=a2+b2−c22ab=49+32−252×7×42=√22，又C∈（0，π），则C=π4．19．（12分）如图甲，在四边形PBCD中，PD∥BC，BC＝P A＝AD，现将△ABP沿AB折起得图乙，点M 是PD的中点，点N是BC的中点．（1）求证：MN∥面P AB；（2）在图乙中，过直线MN作一平面，与平面P AB平行，且分别交PC、AD于点E、F，注明E、F的位置，并证明．解：（1）证明：在四边形PBCD中，PD∥BC，BC＝P A＝AD，将△ABP沿AB折起得图乙，点M是PD的中点，点N是BC的中点，取AD中点F，连接FM，FN，MN，如图，则FN∥AB，FM∥P A，FM∩FN＝F，AB∩P A＝A，∴平面P AB∥平面MNF，∵MN⊂平面MNF，∴MN∥平面P AB．（2）取PC中点E，AD中点F，连接ME，MF，NF，则MF∥P A，ME∥NF∥AB，MF∩ME＝M，AB∩P A＝A，∴平面MENF∥平面P AB，∴平面MENF就是过直线MN的平面，且平面MENF∥平面P AB．20．（12分）（1）已知函数f(x)=sin4x2+2sinx2cosx2−cos4x2，若f(α)=15，求sin2α；（2）已知α∈(0，π2)，β∈(0，π)，sinα=√55，cosβ=√1010，求α﹣β的值．解：（1）f （x ）＝（sin 2x 2+cos 2x 2）（sin 2x 2−cos 2x2）+sin x ＝sin x ﹣cos x ，由已知有f （α）＝sin α﹣cos α=15， 两边平方，得1﹣sin2α=125，∴sin2α=2425； （2）∵α∈(0，π2)，β∈(0，π)，sinα=√55，cosβ=√1010＞0， ∴β∈（0，π2），∴cos α=√1−sin 2α=2√55，sin β=√1−cos 2β=3√1010，∴sin β＞sin α，∴β＞α，∴sin （α﹣β）＝sin αcos β﹣cos αsin β=√55×√1010−2√55×3√1010=−√22， ∵β＞α，且α，β∈（0，π2），∴α﹣β=−π4．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD =√7，PA =√3，∠ABC ＝120°，G 为线段PC 上的点． （1）证明：BD ⊥面APC ； （2）若G 满足PC ⊥面BGD ，求PG GC的值．解：（1）证明：底面ABCD 中，AB ＝BC ，AD ＝CD ， 则BD 是AC 的垂直平分线，故BD ⊥AC ，又由P A ⊥面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，可得P A ⊥BD ， 又P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥面P AC ； （2）设AC 与BD 交于点O ，连接OG ， 若PC ⊥面BGD ，则PC ⊥OG ， 由于P A ⊥面ABCD ，则P A ⊥AC ，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°， 由余弦定理可得AC ＝2√3，在Rt △P AC 中，PC =√3+12=√15， 又由△OGC ∽△P AC ，可得OC CG=PC AC，则GC =AC⋅OC PC =2√155，则PG =3√155， 故PG GC=3√1552√155=32．22．（12分）在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直（满足∠BAD ＝90°），灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且∠ABC ＝120°，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD ＝60°，路宽AD ＝12m ．设灯柱高AB ＝h （m ），∠ACB ＝θ（30°≤θ≤45°）． （1）当θ＝30°时，求四边形ABCD 的面积； （2）求灯柱的高h （用θ表示）；（3）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．解：（1）当θ＝30°时，∠BAC ＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴AB ＝BC ，又∠CAD ＝90°﹣∠BAC ＝60°， ∴△ACD 是等边三角形，∴AC ＝AD ＝12， ∴在△ABC 中，AB sin∠ACB=BC sin∠BAC=AC sin∠ABC，即AB =BC =4√3，∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =12×4√3×4√3×sin120°+12×12×12×sin60°=48√3；（2）∠BAC ＝180°﹣120°﹣θ＝60°﹣θ，∠CAD ＝90°﹣∠BAC ＝θ+30°，∠ADC ＝180°﹣60°﹣（θ+30°）＝90°﹣θ， 在△ACD 中，由正弦定理得AD sin∠ACD=AC sin∠ADC，∴12sin60°=ACsin(90°−θ)，∴AC =8√3cosθ， 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin∠ABC=AB sin∠ACB，∴AC sin120°=ℎsinθ，∴AC =√3ℎ2sinθ=8√3cosθ，∴h ＝8sin2θ（30°≤θ≤45°）；（3）在△ABC 中，由正弦定理得AC sin∠ABC=BC sin∠BAC，∴8√3cosθsin120°=BC sin(60°−θ)，∴BC =16cosθsin(60°−θ)=16cosθ[sin60°cosθ−cos60°sinθ]=8√3cos 2θ−8sinθcosθ =8√3⋅1+cos2θ2−4sin2θ=4√3+4√3cos2θ−4sin2θ， ∴S =AB +BC =8sin2θ+(4√3+4√3cos2θ−4sin2θ)=4√3+4√3cos2θ+4sin2θ =4√3+8(12sin2θ+√32cos2θ)=8sin(2θ+60°)+4√3， ∵30°≤θ≤45°，∴120°≤2θ+60°≤150°，∴当2θ+60°＝150°，即θ＝45°时，S 取最小值4+4√3，故S 关于θ的函数表达式为S =8sin(2θ+60°)+4√3(30°≤θ≤45°)， S 最小值为4+4√3m 2．。

一、单选题 1．复数，则的共轭复数为（ ） 11z i=-z A ． B ．C ．D ．1i -1i +1122i +1122i -【答案】D【解析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果. 【详解】因为， ()()11111111222i i z i i i i ++====+--+所以其共轭复数为.1122i -故选：D.2．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是平行四边形，且，OABC O A B C ''''2O C ''=，，则平面图形的面积为（ ）1O A ''=45A O C '''∠=︒OABCA ．2B ．4C ．8D ．10【答案】B【分析】根据斜二测画法得到平面图形，即可得解；【详解】根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形，如下图所示，且长，宽.4OC =1OA =故平面图形的面积为. OABC 4OA OC ⋅=故选：B3．已知角，，则（ ）3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4cos 5α=cos 4απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．BC ．D 【答案】D【分析】根据范围得到，再利用和差公式计算得到答案.3sin 5α=-【详解】，则，3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3sin 5α==-则. cos 4αααπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭故选：D.4．在△中，为边上的中线，为的中点，则ABC AD BC E AD EB =A ．B ．3144AB AC -1344AB AC -C ．D ． 3144+AB AC 1344+AB AC 【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后1122BE BA BD =+应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到BC BA AC =+，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.3144BE BA AC =+3144EB AB AC =- 【详解】根据向量的运算法则，可得，()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+所以，故选A. 3144EB AB AC =- 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5．已知向量，满足，且与的夹角为（ ）a b 1a = 12b = a - a b A ． B ． C ． D ．π6π4π3π2【答案】C【分析】把. ||a b -【详解】因为 ||a b -=所以， 22324a b a b →→→→+-⋅=即，113121cos ,424a b →→+-⨯⨯⨯〈〉=所以， 1cos ,2a b →→〈〉=因为，所以. ,[0,π]a b →→〈〉∈π,3a b →→〈〉=故选：C6．在中，若，则是（ ） ABC A cos cos a A b B =ABC A A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰或直角三角形 D ．钝角三角形【答案】C【分析】利用正弦定理化简已知条件，得到，由此得到或，进而()sin sin cos 0A B B -=A B =π2B =判断出正确选项.【详解】由正弦定理得，即， sin cos sin cos A B B B =()sin sin cos 0A B B -=所以或，sin sin 0A B -=cos 0B =①若，又,所以, sin sin 0A B -=πA B +<A B =②若，则， cos 0B =π2B =故三角形为等腰或直角三角形，故选C.7．若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（ ）A ．BC ．D ．2:11:【答案】A【分析】根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再利用底面积和侧面积公式求解.【详解】根据题意作圆锥的轴截面，如图，设圆锥的底面圆半径为，高为 ，母线长为 .r h l若圆锥的轴截面为等腰直角三角形， 则有，所以.2cos 45r l ︒=l =该圆锥的底面积与侧面积比值为2ππr rl ==故选：A.8．已知，函数在上单调递减，则实数的取值范围是 0ω>())sin cos f x x x ωω=+,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭ωA ．B ．C ．D ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦(]0,2【答案】A【分析】先由两角和的正弦公式可得，再利用函数在上单调递减，列不()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭等式组求解即可.24234202ωπππππωπω⎧+≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪<≤⎪⎪⎩【详解】解：因为，所以，())sin cos f x x x ωω=+()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为，函数在上单调递减，所以，得.0ω>()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭222T ωππ⎛⎫=≥π- ⎪⎝⎭02ω<≤当时，，所以，解得，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2444x ωωωππππ+<+<π+24234202ωπππππωπω⎧+≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪<≤⎪⎪⎩1524ω≤≤故选:.A 【点睛】本题考查了两角和的正弦公式及利用函数的增减性求参数的范围，重点考查了运算能力，属中档题.二、多选题9．的内角，，的对边分别为，，，，，则（ ） ABC A A B C a b c a =2b =π3A =A ． 3c =B ． sin B =C ．外接圆的面积为ABC A 53πD ．ABC A 【答案】ABD【分析】设的外接圆的半径为, 利用正弦定理求出ABC A R sin B R ==和正弦定理求出以及即得解. c ABC S A 【详解】解：设的外接圆的半径为,ABC A R 因为， 2sin sin sin a b c R A B C===22sin sin c RB C===所以外接圆的面积为. sin B R ==ABC A 273R ππ=因为，所以22222cos 422cos73a b c bc A c c π=+-=+-⨯=3,c =所以, 所以ABD 正确，C 错误. 11sin 622ABC S bc A ==⨯=△故选：ABD10．函数的部分图像如图所示，则下列关于函数的()()πsin 0,0,2fx A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭()f x 说法正确的是（ ）A ． 2ω=B ． π3ϕ=C ．函数图像的一个对称中心为()f x 5π,012⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数的图像可由图像向右平移个单位得到()f x πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6【答案】AC【分析】由函数的图像的顶点坐标求出A ，由周期求出，由特殊点求出的值，可得函数的解析ωϕ式，再利用正弦函数的图像和性质，得出结论．【详解】由函数的图像可知，最小正周期，则，，A 选项正1A =2ππ2π36T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2ππω=2ω=确；，函数的图像过点，则有，，，B()()sin 2f x x ϕ=+π,16⎛⎫⎪⎝⎭ππsin 2166f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2ϕ<π6ϕ=选项错误；，，函数图像的一个对称中心为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5π5ππsin 2sin π012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ，C 选项正确； 5π,012⎛⎫⎪⎝⎭函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，D 选πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6ππsin 2sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦项错误. 故选：AC11．下列说法正确的是（ ）A ．若，，则a b ∥b c∥a c∥B ．两个非零向量和，若，则与垂直a b a b ab -=+a b C ．若，则与垂直的单位向量的坐标为或 ()2,1a = a⎛ ⎝D ．已知，，若在（为与同向的单位向量），则 ()1,2a =-r (),1b t = b a e a2t =【答案】BC【分析】取，可判断A 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断B 选项；设与垂直的0b = a单位向量为，根据已知条件求出的坐标，可判断C 选项；利用投影向量的定义可判断(),m x y = mD 选项.【详解】对于A 选项，取，则，，则、不一定共线，A 错；0b = //a b r r //b c a c对于B 选项，两个非零向量和，若，则，a ba b a b -=+ 22a b a b -=+ 整理可得，故与垂直，B 对；0a b ⋅= a b对于C选项，设与垂直的单位向量为，a(),m x y = 由题意可得，解得，201a m x ym ⋅=+=⎧⎪⎨==⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，与垂直的单位向量的坐标或，C 对； a ⎛ ⎝对于D 选项，已知向量，，()1,2a =-r (),1b t =则在上的投影向量为，b acos ,b a b e ⋅=，解得，D 错.,a b a b a b b a b a ⋅⋅=⋅==⋅7t =故选：BC.12．如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对111ABC A B C -12AA =1AB BC ==90ABC ∠=︒11AAC C 角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ ）O E 1BBA ．直三棱柱的体积是1B ．直三棱柱的外接球表面积是6πC ．三棱锥的体积与点的位置有关 1E AA O -ED ．的最小值为1AE EC +【答案】ABD【分析】由柱体体积公式计算直三棱柱的体积验证选项A ；由直三棱柱的结构特征求外接球半径和表面积验证选项B ；判断三棱锥的底面积和高的特征验证选项C ；把侧面和侧面1E AA O -11AAC C 展开在一个平面上求的最小值验证选项D.11CC B B 1AE EC +【详解】直三棱柱中，，，，如图所示，111ABC A B C -12AA =1AB BC ==90ABC ∠=︒直三棱柱的体积为，故A 选项正确；1111212ABC V S AA =⋅=⨯⨯⨯=△直三棱柱是长宽高分别为的长方体的一半，外接球的半径为111ABC A B C-1,1,2，故B 选项正确； R =24π6πR =O 是与的交点，则的面积为定值，由平面，到平面的距离为定1AC 1AC 1AAO A 1//BB 11AAC C E 1AA O 值，三棱锥的体积为定值，与点的位置无关，故C 选项错误；1E AA O -E 把侧面和侧面展开在一个平面上，当为的中点时，的最小值等于11AAC C 11CC B B E 1AC 1AE EC +D 正确. 1AC ==故选：ACD三、填空题13．若复数，则___________. i(1i)z =-||z =【分析】根据复数乘法整理成复数一般形式，再由复数模的定义即可求得【详解】，所以2i(1i)=i i 1i z =--=+||z =14．函数的最大值为__________.()πcos 222f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【分析】利用诱导公式和辅助角公式化简函数为，可得最大值.())f x x ϕ+【详解】，()πcos 22cos 22)2f x x x x x x ϕ⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭其中tan φ()f x15．如图，在离地面高400的热气球上，观测到山顶C 处的仰角为15°，山脚A 处的俯角为m 45°，已知，求山的高度___________.60BAC ∠=︒BC =m .【答案】600m 【分析】先根据已知条件求解出的大小，然后在中利用正弦定理求解出，,AM ACM ∠ACM △AC再根据的关系求解出.,AC BC BC 【详解】因为，所以，所以=45,60MAD CAB ∠︒∠=︒180456075MAC ∠=︒-︒-︒=︒，180756045MCA ∠=︒-︒-︒=︒又因为，所以， cos 45400m MA MD ︒==MA =又因为，所以，sin 60sin 45AC AM=︒︒AC =所以， sin 60600m BC AC =︒==故答案为：.600m 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将中的角和边先求解出来，然后利用正弦定理求ACM △解出的值，再借助直角三角形中边的关系达到求解高度的目的.AC BC四、双空题16．已知中，，，点是的中点.若为的中点，则为ABC A 5AB AC ==8BC =D AC M BC MC MD ⋅__________，若为上的动点，则的最小值为__________.M BC MC MD ⋅【答案】8-1【分析】建立适当的直角坐标系，把数量积转化为坐标运算，从而转化为函数的最值问题. 【详解】以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，BC x BC y，，则，得，5AB AC ==8BC =3AO =()()30,3,4,04,0,2,()2A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭-,为的中点时，有，，，；M BC ()0,0M ()4,0MC = 32,2MD ⎛⎫= ⎪⎝⎭8MC MD ⋅=为上的动点时，设，，，M BC ()(),044M x x -≤≤()4,0MC x =- 32,2MD x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()()()22246831MC MD x x x x x ⋅=--=-+=-- 由，∴当时，取得最小值-1.44x -≤≤3x =MC MD ⋅故答案为：8；-1五、解答题17．若复数，为虚数单位，为实数.()()2256815i z m m m m =-++-+i m(1)若为纯虚数，求的值；z m (2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 8i z -m 【答案】(1)2 (2) ()2,3【分析】（1）根据纯虚数的概念可得出关于的等式与不等式，进而可求得实数的值； m m （2）将复数表示为一般形式，结合条件得出该复数的实部为负数、虚部为负数，可得出关于8i z -实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.m m 【详解】（1）由为纯虚数得，解得；z 225608150m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩2m =（2）复数，()()228i 5687i z m m m m -=-++-+因为复数位于第三象限，所以，8i z -22560870m m m m ⎧-+<⎨-+<⎩即，解得．2317m m <<⎧⎨<<⎩23m <<故的取值范围为.m ()2,318．已知向量，.()1,2a =r()3,b k =- （1）若，求的值；//a b r rb （2）若，求实数的值.()2a a b⊥+k【答案】（1）；（2）. 14【分析】（1）利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值，利用平面向量的模长公式可求得k 的值；b（2）求出向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可求得实数的值.2a b +k【详解】（1），则，所以，//a b r rQ ()236k =⨯-=-()3,6b =-- =；（2），()()()21,223,5,22a b k k +=+-=-+因为，则，因此，. ()2a a b ⊥+()()()215222410a a b k k ⋅+=⨯-++=-= 14k =19．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径为8cm ，圆柱筒高为3cm.(1)求这种“浮球”的体积；(2)要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？【答案】(1) 3400πcm 3(2)26400克π【分析】（1）由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可；（2）由球的表面积公式和圆柱的侧面积公式求解出一个的表面积，然后乘以3000得总面积，按照规定再乘以0.1即可解决问题.【详解】（1）由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和，由球体的体积为：， 313344256ππ4πcm 333V R ===⨯圆柱体积为：，2232ππ4348πcm V R h =⋅=⨯⨯=所以浮球的体积为：. 312256400π48ππcm 33V V V =+=+=（2）上下半球的表面积：，22214π4π464πcm S R ===⨯圆柱侧面积：，222π2π4324πcm S Rh ==⨯⨯=所以，1个浮球的表面积为，264π24π88πcm S =+=3000个浮球的表面积为：，2300088π=264000πcm ⨯因此每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶克.264000π0.1=26400π⨯20．在①，②，③这三个条件中任选一222c a b ab =+-sin cos c A C =2cos cos cos c C a B b A =+个，补充在下面的问题中，并解决该问题.在中，，，分别为内角，，的对边，且__________.ABC A a b c A B C (1)求；C ∠(2)若，的面积.3b a =c =ABC A （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）【答案】(1) π3【分析】（1）根据正弦定理或余弦定理对已知条件进行转化，结合三角公式和特殊角三角函数值，求得角的大小；C （2）根据题中条件，结合余弦定理，列出等式，求得，，利用三角形的面积公式求得结1a =3b =果.【详解】（1）选条件①，即 222c a b ab =+-222a b c ab +-=由余弦定理，， 2221cos 22a b c C ab +-==，0πC << ∴. π3C =选条件②，sin cos c A C =由正弦定理及得，，sin sin sin a b c A B C ==sin cos c A C =sin sin cos C A A C =∵，∴sin 0A ≠tan C =∵，∴. 0πC <<π3C =选条件③，2cos cos cos c C a B b A =+由结合正弦定理， 2cos cos cos c C a B b A =+sin sin sin a b c A B C ==得，2sin cos sin cos sin cos C C A B B A =+∴，2sin cos sin()C C A B =+又，∴.πA B C ++=2sin cos sin C C C =∵，∴， sin 0C ≠1cos 2C =∵， 0πC <<∴. π3C =（2）由余弦定理，，，2222cos c a b ab C =+-3b a =c =222793a a a =+-解得，由得.1a =3b a =3b =∴的面积ABC A 11πsin 13sin 223S ab C ==⨯⨯⨯∴ABC A21．已知函数，，，. ()f x a b =⋅ ),cos a x x = ()cos ,cos b x x = x ∈R (1)求函数的最小正周期和单调递增区间；()f x (2)若，，求的值. 324f θ⎛⎫= ⎪⎝⎭θ∈R π3f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1)，（开闭均可）πππ(π,πZ)36k k k -+∈(2)78【分析】(1) 利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为的形式, 结合三角 函sin()y A x ωφ=+数的图象和性质, 求出周期及单调区间；（2）利用，再由角的变换, 诱导公式及二倍角的余弦公式求值即可. 324f θ⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】（1） ()211cos cos 2cos 222f x a b x x x x x =⋅=+=++ ， π1sin(262x =++所以周期， 2ππ2T ==令， πππ2π22π,Z 262k x k k -≤+≤+∈解得， ππππ,Z 36k x k k -≤≤+∈所以函数的单调递增区间为.（开闭均可）ππ(π,π)(Z)36k k k -+∈（2）， 324f θ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，即， π13sin 624θ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭π1sin 64θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. π5πsin 236f θθ⎛⎫⎛⎫∴+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππππsin 2cos 212sin 3236θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2171248⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭22．在中，角、、所对的边分别是、、．且． ABC A A B C a b c 222222sin sin sin 2a A C b c c C a b -+-=+-(1)求角的大小；B (2)求的取值范围；sin sin A C +(3)若，，为中点，为线段上一点，且满足．求的值，并求2C π=2BC =O BC P AO 0BP CP ⋅= AP 此时的面积．BPC △S 【答案】(1) 3B π=(2) sin sin A C ∈+(3)，的面积1AP =-BPC △S 【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理求解即可； （2）根据（1）可得，得到，再根据正弦的和差角公式23A C π+=2sin sin sin sin 3A C A A π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭与辅助角公式，根据角度的范围求解即可；（3）先根据直角三角形中的关系求解得，再设，推导可得，再根1AP =OCP α∠=sin 2S α=据求解即可 sin sin 2AC COA AOα∠==【详解】（1）由正弦定理及，得， 222222sin sin sin 2a A C b c c C a b -+-=+-2222222a c a b c c a c b-+-=+-即，化简得，故． 2222222222222211a a a b c a c a c b a c b -+--==-+-+-222a c b ac +-=2221cos 22a cb B ac +-==又，故．()0,B π∈3B π=（2）由（1）知，， 23A C π+=故 21sin sin sin sin sin sin 32A C A A A A A π⎛⎫+=+-=+ ⎪⎝⎭. 3sin 26A A A π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭又，则， 203A π<<5666A πππ<+<6A π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故． sin sin A C ∈+（3） ∵，∴，∵，为中点，∴， 0BP CP ⋅= PB PC ⊥2BC =O BC 1PO =∵，∴，∴，， 2a =AC =4AB =AO ==1AP =设，则， OCP α∠=2COP πα∠=-∴，， 1sin 2PB PB BC α==1cos 2PC PC BC α==∴， 12sin cos sin 22S PB PC ααα=⨯==在直角中， ACO △()sin sin 2sin 2AC COA AO παα∠=-====∴当时，的面积 1AP =BPC △S。

一、单选题1．已知复数，则的虚部是（ ） ()21i =+z z A ．2 B ． C ． D ．2-2i -2i 【答案】A【分析】根据复数运算求得，根据虚部定义求得结果. z 【详解】 ，∴z 的虚部为：2 ()21i 2i z =+=故选：A2．已知向量，，若与垂直，则实数t 的值为（ ）()1,2a =r ()2,b t = a a b -A ．0B ．C ．D ．1-32-32【答案】D【分析】根据向量垂直的坐标表示，列式求值. 【详解】，且， ()1,2a b t -=--()1,2a =r 由题意可知，，得.()()11220a a b t ⋅-=-⨯+-⨯= 32t =故选：D3．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是A B C ABC '''-A BC 'A ABC '-（ ）A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．三棱台【答案】B【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，剩余的部分是以为顶点，A B C ABC '''-A BC 'A ABC '-A '四边形为底面的四棱锥． BCC B ''A BCC B '''-故选：B ．4．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，，，则（ ） ABC A 2a =b =60B =︒c =A ．1 B C ．3D ．1或3【答案】C【分析】根据余弦定理求解即可.【详解】由余弦定理，，即，，解得. 2222cos b a c ac B =+-2742c c =+-()()310c c -+=3c =故选：C5．已知，，复数，，在复平面内对应的点为，，，若0a >0b >1z 12i =-2z i a =-3z b =-1Z 2Z 3Z ，，三点共线，则的最小值为（ ） 1Z 2Z 3Z 12a b+A ．9 B ．8C ．6D ．4【答案】B【分析】根据复数对应的点共线可得，利用均值不等式求解即可. 21a b +=【详解】由题意，，，， 1(1,2)Z -2(,1)Z a -3(,0)Z b -由三点共线可得，，化简可得，111(2)0(2)a b ---=-----21a b +=又，，0a >0b >， 12124(2)448b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立. 4b aa b =11,42a b ==故选：B6．在矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，N 是CD 的中点，若，则（ ）AC AM BN λμ=+λμ+=A ．B ．1C ．D ．256585【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，设，求出的坐标，利用2,2AB a AD b ==,,AM BN AC可得答案.AC AM BN λμ=+【详解】以为原点，分别以为轴的正半轴建立如图所示的平面直角坐标系， A ,AB AD ,x y 设，2,2AB a AD b ==则， (0,0),(2,0),(2,),(2,2),(,2)A B a M a b C a b N a b 则，(2,),(,2),(2,2)AM a b BN a b AC a b ==-=因为，AC AM BN λμ=+ 可得，(2,)(,2)(2,2)λλμμ+-=a b a b a b 即，解之得，所以.2222λμλμ-=⎧⎨+=⎩62,55λμ==85λμ+=故选：D.7．在中，CD 为角C 的平分线，若，，则等于（ ） ABC A 2B A =34AD BD =cos A A ．0 B ．C ．D ．122334【答案】C【分析】由为角的平分线，，可得，设，，然后在CD C 34AD BD =43AC BC =4AC x =3BC x =中利用正弦定理可得，化简计算可得答案ABC A 432sin cos sin x xA A A=【详解】因为为角的平分线，所以 CD C AD ACBD BC=因为，所以34AD BD =43AC BC =所以不妨设， 4AC x =3BC x =因为在中，， ABC A sin sin AC BCB A=2B A =所以43sin 2sin 2sin cos sin AC BC x xA A A A A=⇒=因为在中，， ABC A sin 0A ≠0x ≠所以43432sin cos sin 2cos x x A A A A=⇒=所以. 2cos 3A =故选：C8．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，则的取值范围为ABC A 22BC AC AB =⋅ bc（ ）A ．B ．()2+∞()2+∞C ．D ．(0,2(22【答案】D【分析】设，中点为，化简，再根据余弦定理结合余弦2BC =BC D 22BC AC AB =⋅函数的范围可得，进而可得的取值范围.(227b c∈-+b c 【详解】不妨设，中点为，则即，故2BC =BC D 22BC AC AB =⋅()()42AD DC AD DB =+⋅+，即.()22AD AD DC DB DC DB +⋅++⋅= 212AD -=故 2222222cos 2cos b AD DC AD DC ADCc AD DB AD DB ADB+-⋅∠=+-⋅∠，因为，故1==()0,πADC ∠∈，故(222ADC +∠∈+(8-+，故的取值范围为. (227b c∈-+b c (22+故选：D二、多选题9．若复数满足，则（ ） z ()12i 10z ⋅-=A ． 24i z =-B ．是纯虚数 2z +C ．z z ==D ．若是关于x 的实系数方程的一个复数根，则 z 240x x b -+=20b =【答案】ACD【分析】对A ，根据复数的除法运算求解，再求共轭复数即可；对B ，求得判断即可；z 24z i =+对C ，根据模长公式求解即可；对D ，根据复数域中二次方程两根共轭与韦达定理求解即可. 【详解】对A ，，则，故，A 正确； ()12i 10z ⋅-=()()()1012i 1024i 12i 12i 12i z +===+--+24i z =-对B ，不为纯虚数，故B 错误；244i z +=+对C ，，C 正确； 24i z =+==24i z =-==对D ，由题意，的复数根分别为与，故240x x b -+=24z i =+24i z =-，故D 正确；()()24i 24i 20b z z =⋅=+-=故选：ACD10．下列说法正确的是（ ）A ．向量，能作为平面内所有向量的一组基底()12,3e =-213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．已知中，点P 为边AB 的中点，则必有OAB A ()12OP OA OB =+ C ．若，则P 是的垂心PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ABC A D ．若G 是的重心，则点G 满足条件ABC A 0GA GB CG ++=【答案】BC【分析】对A ，根据基底向量不共线判断即可；对B ，根据基底向量的运用判断即可；对C ，化简可得，进而根据垂心的性质判断即可；对D ，由重心可得PA PB PB PC ⋅=⋅0CA PB ⋅= ，即可判断GA GB CG +=【详解】对A ，，故共线，不能作为平面内所有向量的一组基底，故A 错误；124e e = 21,e e对B ，根据平面向量基本定理可得中，点P 为边AB 的中点，则必有，故OAB A ()12OP OA OB =+ B 正确；对C ，由可得，即，故，同理，PA PB PB PC ⋅=⋅()0PA PC PB -⋅= 0CA PB ⋅= CA PB ⊥CB PA ⊥，故P 是的垂心，故C 正确；AB PC ⊥ABC A 对D ，若G 是的重心，则点G 满足条件，则，故D 错ABC A GA GB CG += 2GA GB CG CG ++=误； 故选：BC11．已知，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是（ ） ABC A A ．若，则为等腰三角形 sin 2sin 2A B =ABC A B ．若，则为等腰或直角三角形 cos cos a bA B=ABC A C ．若为锐角三角形，若，则 ABC A A B >sin cos A B >D ．若，，，则有两解 30A =︒4b =3a =ABC A 【答案】CD【分析】根据正弦函数的性质可得或判断A ，由正弦定理及正切函数性质判断22A B =22πA B +=B ，根据正弦函数单调性判断C ，由已知两边及一边对角确定三角形个数判断方法判断D. 【详解】， ，或，即或,sin 2sin 2ABC A B = A 2,2(0,2π)A B ∈22A B ∴=22πA B +=A B =，故A 错误； π2A B +=，，即，由知，故为等腰三角cos cos a b A B=sin sin cos cos A BA B ∴=tan tan A B =,(0,π)A B ∈A B =ABC A 形，故B 错误；为锐角三角形，，由正弦函数的单调性知，故C 正确； ABC A π02A B ∴>>>sin cos A B >，，，，故有两解，故D 正确. 30A =︒ 4b =3a =sin 302b a b ∴>>︒=ABC A 故选：CD12．已知函数在上单调，且的图象关于点对()()2πcos 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()y f x =π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭称，则（ ） A ．的周期为()f x 2πB ．若，则 ()()122f x f x -=12min 2πx x -=C ．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为奇函数 ()fx π3D ．函数在上有1个零点 ()y f x =+[]0,π【答案】BCD【分析】对于A ，根据题意确定周期范围，再根据图象关于点对称，结合正弦函数的对称π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭中心求解即可；对于B ，由A ，结合余弦函数的最值与周期性质判断即可；对()12πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭于C ，根据三角函数平移性质判断即可；对于D ，根据余弦函数值直接求解即可.【详解】对于A ，因为函数在上单调，所以的最小正周期2π()cos (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x T 满足，即，所以，3π22T ≥π3π2ω≥203ω<≤因为的图象关于点对称，所以，得， ()f x π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭π2πππ,Z 332k k ω-+=+∈13,Z 2k k ω=-∈所以当时，，所以，故A 错误；0k =12ω=2π4π12T ==对于B ，，，()12πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()()122f x f x -=则分别为，则为半周期，即，故B 正确；()()12,f x f x 1,1-12min x x -2π对于C ，将的图象向右平移个单位长度后得的图象，()f x π3()1π2π1cos sin 2332g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数，故C 正确；()g x对于D ，，即 12πcos 023x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭12πcos 23x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭令，当时，，故仅有，故D 正确．12π23t x =+[0,π]x ∈2π7π,36t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3π4t =故选：BCD.三、填空题13．如图所示，等腰直角三角形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原O A B '''2O B ''=图形的周长为__________.【答案】8+8【分析】根据斜二测画法可得原图形三边长，进而可得周长.【详解】由题意，，则，故原图形中，2O B ''=O A ''=OA =2OB =，周长为6AB ==8+故答案为：8+14．已知向量，满足，，，的夹角为__________. a b 4a = 1b = 2a b += a b【答案】/ 23π23π【分析】设与的夹角为，，得到，解得答案.a b θ()22224412a ba ab b +=+⋅+=1cos 2θ=-【详解】设与的夹角为，a bθ2a b += 则，解得，()22224416441cos 412a ba ab b θ+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=1cos 2θ=-，故. []0,πθ∈2π3θ=故答案为：2π315．化简： ________. (4010sin tan ︒︒＝【答案】－1【详解】原式)( sin10sin 40 (cos10＝︒︒︒()sin402sin40sin1 0 0cos10cos10︒︒︒︒︒︒＝＝1sin1 0 0)2︒︒.故答案为2sin40sin80cos 401cos10cos10-︒-︒︒︒︒＝＝1－【点睛】本题的关键点有： 先切化弦，再通分； 利用辅助角公式化简； 同角互化.16．某公园有一个人工湖，若要测量如图所示的人工湖的口径A 、B 两点间的距离，现在人工湖岸边取C 、D 两点，测得m ，，，，则A 、B 两40CD =135ADB ∠=︒15BDC DCA ∠=∠=︒120ACB ∠=︒点的距离为__________m.【答案】【分析】在中根据角度关系易得，再在中，由正弦定理得到BD ，然后ACD A 40AD CD ==BCD △在中，利用余弦定理求解.ABD △【详解】在中，因为，故，， ACD A 15,135BDC DCA ADB ∠=∠=︒∠=︒150ADC ∠=︒15CAD ∠=︒所以，则．ACD CAD ∠=∠40AD CD ==在中，因为， BCD △15,135,30,40BDC BCD CBD CD ∠=︒∠=︒∠=︒=所以由正弦定理，sin 30sin135CD BD=︒︒得sin135sin 30CD BD ︒==︒在中，因为，ABD △135,40,ADB ADC BDC AD BD ∠=∠-∠=︒==所以由余弦定理得， 22222cos 405AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠=⨯故．AB =故答案为：四、解答题17．已知，都是锐角，.αβsin α=()3cos 5αβ+=(1)求和的值； cos 2απtan 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)求的值. sinβ【答案】(1), 457【分析】（1）由同角三角函数的基本关系及二倍角的正余弦公式求解； （2）根据角的变换，利用两角差的正弦公式求解. 【详解】（1）是锐角，， αQsin α=cos α∴===，214cos 212sin 12105αα∴=-=-⨯=，3sin 22sin cos 5ααα==， sin 23tan 2cos 24ααα∴==. π3tan 2tan1π44tan 27π341tan 2tan 144ααα++⎛⎫∴+=== ⎪⎝⎭-⋅-（2），都是锐角，αQ β，0παβ∴<+<又， ()3cos 5αβ+=， 4sin()5αβ∴+===()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦4355=. =18．已知半圆圆心为O ，直径，C 为半圆弧上靠近点A 的三等分点，若P 为半径OC 上的动4AB =点，以O 点为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示.(1)求在上投影向量的坐标；OA OC(2)若，当y 取得最小值时，求点P 的坐标及y 的最小值.PA PO y =⋅【答案】(1)12⎛- ⎝(2)最小值为，此时点的坐标为 14-P 14⎛- ⎝【分析】（1）先求解在上投影向量大小，进而可得投影向量坐标；OA OC（2）设，即可表示出、，再结合平面向量数量积的坐标运算及二次函()01OP tOC t =≤≤ PA PO数的性质计算可得．【详解】（1）因为半圆的直径，所以，，4AB =()2,0A -()2,0B 又，，则，即．2OC =2π3BOC ∠=2π2π2cos ,2sin 33C ⎛⎫⎪⎝⎭(C -故，，在上投影为，故在上投影向量的坐()2,0OA =- (OC =- OA OC212OA OC OC⋅==OA OC标为 112OC OC ⎛=-⎝ （2）设，()01OP tOC t =≤≤由（1）知，，(()OP t t =-=-故，(),PO t = ()2,PA t =-+∴，22211(2)3424(44y PA PO t t t t t t =⋅=-++=-=--又∵，∴当时，有最小值为，01t ≤≤14t =PA PO y =⋅ 14-此时点的坐标为P 14⎛- ⎝19．在复平面内，O 是原点，向量对应的复数，. OA ()21z 4i m m =+-()m ∈R (1)若点A 位于第四象限，求m 的取值范围；(2)若点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量对应的复数； AB(3)若，且，求的取值范围. ()2z 2cos 4sin i θλθ=++12z z =λ【答案】(1)m>2(2)()224i m --(3) []1,8-【分析】（1）根据复数对应点确定实部、虚部的符号，列不等式组求解；（2）根据对称确定点B 对应的复数，再由向量对应复数即为两点对应复数之差得解； AB（3）由复数相等列出方程组，消参数可得的表达式，利用正弦函数值域，配方求值域即可.m λ【详解】（1）由题意对应点A 位于第四象限，()21z 4i m m =+-故，解得， 240m m >⎧⎨-<⎩m>2即m 的取值范围.m>2（2）点A 对应的复数为，则关于实轴的对称点B 对应的复数为()21z 4i m m =+-()2z 4im m '=--，则对应的复数为，AB()()()12224i [4i]24i m m m z m z m ---+'---=-=（3），12z z = ，即， 22cos 44sin m m θλθ=⎧∴⎨-=+⎩2214sin 4sin 4(sin )12λθθθ=-=--由，可知，1sin 1θ-≤≤214(sin 1[1,8]2λθ=--∈-故的取值范围为.λ[]1,8-20．在①；②；③tan tan tan A B A B ++=()222242cos a ab C b a c -+=+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.()()sin sin sin sin c a b C A B a B +--+=问题：在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且__________. ABC A (1)求角C ；(2)若的内切圆半径，求的外接圆半径R . ABC A r =4b =ABC A 【答案】(1) π3C =【分析】（1）选择①根据两角和的正切公式化简可得角，选择②根据余弦定理化简，再根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换求解即可，选择③由正弦定理统一为边，再由余弦定理求解； （2）由余弦定理及三角形面积公式联立求解可得，进而根据正弦定理求解即可. 57,22a c ==【详解】（1）选择①：由已知得， tan tan tan 1)A B A B +=-所以，tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B+=-+=-=-在中，，所以． ABC A (0,π)C ∈π3C =选择②：由题意，故，由正弦定理()222242cos 2cos a ab C a c b ac B -=+-=()2cos cos a b C c B -=，即，又()2sin sin cos sin cos A B C C B -=()2sin cos sin cos sin cos sin A C C B B C B C =+=+，故，因为，故()()sin sin πsin 0B C A A +=-=≠1cos 2C =()0,πC ∈π3C =选择③：由已知及正弦定理得，()()c a b c a b ab +--+=所以，所以，222a b c ab +-=2221cos 22a b c C ab +-==因为，所以．0πC <<π3C =（2）由余弦定理得，①2222164c a b ab a a =+-=+-由等面积公式得．11()sin 22a b c r ab C ++=即． 11()422a b c a ++⨯整理得，②34a c =+联立①②，解得，由正弦定理，即 57,22a c ==2sin cR C=R===21．已如向量，，记函数. (2sin a x = π2cos ,13b x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()f x a b =⋅ (1)将化为形式，并求最小正周期T ；()f x ()πsin 0,0.2y A x B A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭(2)求函数在区间上的值域；()f x ππ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(3)将函数图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍()f x π6()01a a <<得到的图象，若在区间上至少有100个最大值，求a 的取值范围. ()y g x =()y g x =[]1,1-【答案】(1) π(2) [2](3) 40199πa <≤【分析】（1）利用数量积坐标公式及三角恒等变换化简即可得解； （2）根据自变量的范围求出的范围，利用正弦函数求解； π23x +（3）根据三角函数图象变换求出()g x 【详解】（1）()2π2sin 2cos 2sin cos 3f x x a b x x x x =⋅= ⎛⎫⋅+=-⎪⎝⎭ ,πsin 22sin(23x x x =+=+ 2ππ2T ==∴（2）当时，，ππ,122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ4π2,363x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， πsin(213x ≤+≤，π2sin(2)23x ≤+≤即函数在区间上的值域为.()f x ππ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[2]（3）将函数图象向右平移个单位，得到，()f x π6ππ2sin[2()2sin 263y x x =-+=再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象, ()01a a <<()22sin g x x a=其周期，πT a =在区间上至少有100个最大值，则在区间上至少有个周期， ()y g x =[]1,1-[]1,1-99.5因此，，解得， π99.52a ⨯≤4199πa ≤又，. 01a <<40199πa ∴<≤22．对于函数，若存在非零常数M ，使得对任意的，都有成立，()()f x x I ∈x I ∈()()f x M f x +≤我们称函数为“M 函数”；对于函数，若存在非零常数M ，使得对任意的，都()f x ()()f x x I ∈x I ∈有成立，我们称函数为“严格M 函数”. ()()f x M f x +<()f x (1)求证：，是“M 函数”；()()cos R f x x x =∈(2)若函数，是“函数”，求k 的取值范围； ()()2cos R f x kx x x =+∈π2(3)对于定义域为R 的函数对任意的正实数M ，均是“严格M 函数”，若()f x ()f x ，求实数a 的最小值. ()322(1)t t f f a t ⎡⎤-≥⎢⎥+⎣⎦【答案】(1)证明见解析(2)2,π∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦(3) 14【分析】（1）根据“M 函数”的定义，结合余弦函数的周期性，取证明即可；2πM =（2）由题意恒成立，化简可得，进而由余弦函数的最值求解即可；()π2f x f x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭πcos 22k x ≤（3）由题意可得在R 上为减函数，再根据单调性求解不等式可得，换元令()f x 322(1)t t a t -≤+，再根据同角三角函数的公式求解的最大值即可.tan t x =322(1)t t t -+【详解】（1）取，则，此时对任意的，都有2πM =()()cos 2πcos f x M x x +=+=x R ∈成立，故是“函数”.cos cos x x ≤()()cos R f x x x =∈2π（2）因为函数，是“函数”，故恒成()()2cos R f x kx x x =+∈π222ππcos cos 22k x x kx x ⎛⎫⎛⎫+++≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭立，即，即恒成立.22πsin cos 2k x x +≤πcos 22k x ≤又，故，，即k 的取值范围为cos 21x ≥-π12k ≤-2πk ≤-2,π∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦（3）由题意，对任意的，对任意的正实数M ，都有成立，故在R 上x ∈R ()()f x M f x +<()f x 为减函数，又，故，易得，可令， ()322(1)t t f f a t ⎡⎤-≥⎢+⎣⎦322(1)t t a t -≤+R t ∈tan t x =则()()()222432222222241tan 1tan tan 1tan cos (1)(1)(1tan )(1tan )cos t t x x x x x t t t t x x x ---⋅-===++++⋅，()()22222sin cos cos sin 111sin 2cos 2sin 4244cos sin x x x xx x x x x⋅-==⋅=≤+即，故实数a 的最小值为3221(1)4t t t -≤+14。