高中数学高考重点难点讲解三个“二次”及关系

x y o 1<>三个二次的关系问题◎复习目标：（1）掌握二次函数的对称性、增减性及其图像与性质的关系 （2）理解二次函数与二次方程、二次不等式之间的内在联系 ◎知识梳理：（1）二次函数的解析式的三种形式：一般式：2(0)y ax bx c a =++≠ 顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠，其中(,)h k 为二次函数的图像的顶点坐标。

两根式：12()()(0)y a x x x x a =--≠，其中12(,0),(,0)x x 为二次函数的图像与x 轴交点的坐标。

（2）二次函数的图像是一条抛物线，当0a >时，图像开口朝上；当0a <时，图像开口朝下。

图像的对称轴为2b x a=-。

当判别式240b ac ∆=->时，二次函数的图像与x 轴有两个交点，当0∆=时，二次函数的图像与x 轴有且仅有一个交点，当0∆<时，二次函数的图像与x 轴没有交点。

（3）二次函数与一元二次方程、一元二次不等式三者之间有紧密的关联。

一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>的解集就是二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图像中在x 轴上方的点的横坐标x的集合，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标。

◎例题精讲：例1、设0abc >,二次函数2()f x ax bx c =++的图像可能是（ ）D变式训练：设0b >，二次函数221y ax bx a =++-的图象如下图所示之一，则a 的值为（ ）BC 15-- D 、A 、1B15-+例2、二次函数2()25f x x bx =++，若p q ≠，使()()f p f q =，则()f p q += 5变式训练：已知函数22()2,()962f x x x a f bx x x =++=-+，其中,,x R a b ∈为常数，则方程()0f ax b +=的解集为 ∅x y o x y o xy o例3、设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A ．),3()1,3(+∞⋃- B.),2()1,3(+∞⋃- C ． ),3()1,1(+∞⋃- D. )3,1()3,(⋃--∞变式训练1：已知函数2,0()2,0x x f x x x +⎧=⎨-+>≤⎩，则不等式2()f x x ≥的解集是（ ）AA 、[1,1]-B 、[2,2]-C 、[2,1]-D 、[1,2]-变式训练2：函数244,1()43,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩的图像和函数2()log g x x =的图像的交点个数是 个。

芯衣州星海市涌泉学校难点4三个“二次〞及关系三个“二次〞即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和亲密的联络，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次〞问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联络，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.●难点磁场对于x 的所有实数值，二次函数f(x)=x2－4ax+2a+12(a∈R)的值都是非负的，求关于x 的方程2+a x=|a －1|+2的根的取值范围.●案例探究［例1］二次函数f(x)=ax2+bx+c 和一次函数g(x)=－bx ，其中a 、b 、c 满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R). (1)求证：两函数的图象交于不同的两点A 、B ； (2)求线段AB 在x 轴上的射影A1B1的长的取值范围.命题意图：此题主要考察考生对函数中函数与方程思想的运用才能.属于★★★★★题目. 知识依托：解答此题的闪光点是纯熟应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合.错解分析：由于此题外表上重在“形〞，因此此题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形〞上找解问题的打破口，而忽略了“数〞技巧与方法：利用方程思想巧妙转化(1) 证明：由⎩⎨⎧-=++=bxy cbx ax y 2消去y 得ax2+2bx+c=0Δ=4b2－4ac=4(－a －c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+43)22+c c2］ ∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0 ∴43c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点.(2) 解：设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,那么x1+x2=－a b 2,x1x2=ac . |A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2 ∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0∴a>－a －c>c,解得a c ∈(－2,－21) ∵]1)[(4)(2++=a c a c a c f 的对称轴方程是21-=a c .a c ∈(－2,－21)时，为减函数 ∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈(32,3).［例2］关于x 的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)假设方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围.(2)假设方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.命题意图：此题重点考察方程的根的分布问题，属★★★★级题目.知识依托：解答此题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义. 错解分析：用二次函数的性质对方程的根进展限制时，条件不严谨是解答此题的难点.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得∴2165-<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f(这里0<－m<1是因为对称轴x=－m 应在区间(0，1)内通过)●锦囊妙计1.二次函数的根本性质 (1)二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c;y=a(x －x1)(x －x2);y=a(x －x0)2+n.(3) 当a>0,f(x)在区间［p,q ］上的最大值M ，最小值m,令x0=21(p+q). 假设－ab2<p,那么f(p)=m,f(q)=M; 假设p≤－a b 2<x0,那么f(－a b2)=m,f(q)=M;假设x0≤－a b 2<q,那么f(p)=M,f(－a b2)=m;假设－ab 2≥q,那么f(p)=M,f(q)=m.2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件.(1)方程f(x)=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a·f(r)<0;(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r a bac b (3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根⇔f(p)·f(q)<0,或者者f(p)=0(检验)或者者f(q)=0(检验)检验另一根假设在(p,q)内成立.(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(p<q)⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅0)(0)(q f a p f a . 3.二次不等式转化策略(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是：(－∞,α])∪［β,+∞)⇔a<0且f(α)=f(β)=0;(2)当a>0时，f(α)<f(β)⇔|α+a b 2|<|β+a b 2|,当a<0时，f(α)<f(β)⇔|α+ab 2|> |β+ab2|; (3)当a>0时，二次不等式f(x)>0在［p,q ］恒成立⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔,0)(,2p f p a b 或者者⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤;0)(;2,0)2(,2q f p ab a b f q ab p 或(4)f(x)>0恒成立⎩⎨⎧<==⎩⎨⎧<∆<⇔<⎩⎨⎧>==⎩⎨⎧<∆>⇔.00,0,00)(;0,0,0,0c b a a x f c b a a 或恒成立或●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)假设不等式(a －2)x2+2(a －2)x －4<0对一切x∈R 恒成立，那么a 的取值范围是() A.(－∞,2]B.[－2,2]C.(－2,2]D.(－∞,－2)2.(★★★★)设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),假设f(m)<0,那么f(m －1)的值是() A.正数B.负数C.非负数D.正数、负数和零都有可能二、填空题3.(★★★★★)二次函数f(x)=4x2－2(p －2)x －2p2－p+1,假设在区间［－1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)>0,那么实数p 的取值范围是_________.4.(★★★★★)二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f(2+x)=f(2－x),假设f(1－2x2)<f(1+2x －x2),那么x 的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★★)实数t 满足关系式33log log aya t a a =(a>0且a≠1) (1)令t=ax,求y=f(x)的表达式；(2)假设x∈(0,2]时，y 有最小值8，求a 和x 的值.6.(★★★★)假设二次函数y=mx2+(m －3)x+1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.7.(★★★★★)二次函数f(x)=px2+qx+r 中实数p 、q 、r 满足mrm q m p ++++12=0,其中m>0,求证： (1)pf(1+m m)<0; (2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解.8.(★★★★)一个小服装厂消费某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160－2x,消费x 件的本钱R=500+30x 元.(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？ (2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？参考答案难点磁场解：由条件知Δ≤0,即(－4a 〕2－4(2a+12)≤0,∴－23≤a≤2 (1)当－23≤a＜1时，原方程化为：x=－a2+a+6,∵－a2+a+6=－(a －21)2+425. ∴a=－23时，xmin=49,a=21时，xmax=425.∴49≤x≤425. (2)当1≤a≤2时，x=a2+3a+2=(a+23)2－41∴当a=1时，xmin=6,当a=2时，xmax=12,∴6≤x≤12. 综上所述,49≤x≤12. 歼灭难点训练一、1.解析：当a －2=0即a=2时,不等式为－4＜0,恒成立.∴a=2,当a －2≠0时，那么a 满足⎩⎨⎧<∆<-002a ,解得－2＜a ＜2,所以a 的范围是－2＜a≤2.答案：C2.解析：∵f(x)=x2－x+a 的对称轴为x=21,且f(1)>0,那么f(0)>0,而f(m)＜0,∴m∈(0,1), ∴m－1＜0,∴f(m－1)>0. 答案：A二、3.解析：只需f(1)=－2p2－3p+9>0或者者f(－1)=－2p2+p+1>0即－3＜p ＜23或者者－21＜p ＜1.∴p∈(－3,23). 答案：(－3，23〕4.解析：由f(2+x)=f(2－x)知x=2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小， ∴|1－2x2－2|＜|1+2x －x2－2|,∴－2＜x ＜0. 答案：－2＜x ＜0三、5.解：(1〕由loga 33log ay a t t =得logat －3=logty －3logta 由t=ax 知x=logat ，代入上式得x －3=xx y a 3log -,∴logay=x2－3x+3，即y=a 332+-x x (x≠0).(2)令u=x2－3x+3=(x －23)2+43(x≠0),那么y=au ①假设0＜a ＜1,要使y=au 有最小值8，那么u=(x －23)2+43在(0，2]上应有最大值，但u 在(0，2]上不存在最大值. ②假设a>1,要使y=au 有最小值8，那么u=(x －23)2+43,x∈(0,2]应有最小值∴当x=23时，umin=43,ymin=43a由43a =8得a=16.∴所求a=16,x=23. 6.解：∵f(0)=1>0(1)当m ＜0时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意.(2〕当m>0时，那么⎪⎩⎪⎨⎧>-≥∆030mm 解得0＜m≤1综上所述，m 的取值范围是{m|m≤1且m≠0}. 7.证明：(1)])1()1([)1(2r m m q m m p p m m pf ++++=+ )2()1(122++-=m m pm ,由于f(x)是二次函数，故p≠0,又m>0,所以，pf(1+m m )＜0.(2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r①当p ＜0时，由(1〕知f(1+m m)＜0 假设r>0,那么f(0)>0,又f(1+m m )＜0,所以f(x)=0在(0，1+m m)内有解;假设r≤0,那么f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－m r m p -+2)+r=mrm p -+2>0,又f(1+m m )＜0,所以f(x)=0在(1+m m ,1)内有解.②当p ＜0时同理可证.8.解：(1〕设该厂的月获利为y,依题意得 y=(160－2x)x －(500+30x)=－2x2+130x －500 由y≥1300知－2x2+130x －500≥1300∴x2－65x+900≤0，∴(x－20)(x －45)≤0，解得20≤x≤45 ∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元. (2〕由(1〕知y=－2x2+130x －500=－2(x －265)2+161 ∵x 为正整数，∴x=32或者者33时，y 获得最大值为1612元， ∴当月产量为32件或者者33件时，可获得最大利润1612元.。

湖南省新田一中高一数学强化班专题讲解三：三个“二次”的关系1．一元一次不等式一元一次不等式经过变形，可以化成ax >b (a ≠0)的形式．(1)若a >0，解集为 ；(2)若a <0，解集为 .2．一元二次不等式一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：(1)ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)；(2)ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)3．一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示：一元二次不等式解法基础例1：解下列不等式：（1）02322>--x x ；（2）2632>+-x x ；（3）01442>+-x x ；（4）0322>-+-x x （5）073<+-x x ； （6）0412≥+-x x一元二次不等式解法理解例2：不等式02<++n mx x 的解集是()3,1-，求m ，n 的值.在区间(+∞∞-,)内不等式恒成立的问题例3：若0)1(3)1()1(2<-+--+m x m x m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是.在区间[a,b]内不等式恒成立的问题例4：已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围；(2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．含参数的不等式的解法例5：解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．动轴定区间的问题例6:已知f (x )＝x 2－2ax ＋2 (a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．定轴动区间的问题例7.已知函数2()2x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的值。

一、选择题1．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－23≤x ≤12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32 2．函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是( )A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞)B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞)D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞)3．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)4．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(－2,2]C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2)5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解是( ) A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)6.对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <1或x >27.已知集合M ＝{x |x 2－2 008x －2 009>0}，N ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2 009，2 010]，则( )A ．a ＝2 009，b ＝－2 010B ．a ＝－2 009，b ＝2 010C ．a ＝2 009，b ＝2 010D ．a ＝－2 009，b ＝－2 0108．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是______________．9．设),](1,[,44)(2R t t t x x x x f ∈+∈--=求函数)(x f 的最小值)(t g 的解析式。

谈“三个二次”关系及其综合运用济钢高级中学 杨同才 2011年7月17日 12:29隋宇为于11-7-17 16:02推荐杨老师的文章从最基本的问题入手，通过数形结合的方法将“三个二次”的问题说的很清楚很全面，很有参考价值。

邵丽云于11-7-19 14:28推荐杨老师的“三个二次”关系及其综合运用这篇文章，以二次函数为主线充分论述三个二次间的关系，并对相关问题进行了总结归纳，可见杨老师平时教学的用心，值得学习。

一、”三个二次”的关系”三个二次”指一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和广泛的应用，在研究二次曲线与直线的位置关系、运用导数解决复杂函数性质等问题时，常常转化成二次方程、二次函数、二次不等式的问题。

”三个二次”将等与不等、数与形紧密的结合在一起，对数形结合思想、函数方程思想、等价转化思想有较高的要求。

因而在高考试题中将近占一半的试题与“三个二次”问题有关，作为教师进一步澄清三者的内在联系对提高学生数学思维水平有很大帮助！“三个二次”中，一元二次函数最为重要，在初中学生就专题学习了二次函数，研究了二次函数的定义、图像、性质和实际问题中的最值，往往作为中考试题的最后一个压轴题。

初中也学习了一元二次方程及其规范解法，如公式法、配方法、因式分解法等。

只有一元二次不等式及解法在初中仅是初步了解。

初中阶段对函数、方程、不等式的学习都是彼此独立的，对于“三个二次”的横向联系缺乏认识。

升入高中才真正揭开三者的内在联系，逐步形成用函数、方程、不等式“三位一体”的思考方式审视问题、解决问题。

在“三个二次”中一元二次函数2y=a +b +c x x 是重点，从它的配方形式22b 4ac-b y=a ++ 2a 4x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭中充分反映了函数值y 随自变量x 的变化而变化的规律，可以容易的观察出何时取最值，也能考查出自变量x 取关于2b a-对称值时函数值的取值特点。

难点4 三个“二次”及关系三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.●难点磁场已知对于x 的所有实数值，二次函数f(x)=x2－4ax+2a+12(a ∈R)的值都是非负的，求关于x 的方程2+a x=|a －1|+2的根的取值范围.●案例探究［例1］已知二次函数f(x)=ax2+bx+c 和一次函数g(x)=－bx ，其中a 、b 、c 满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c ∈R).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A 、B ；(2)求线段AB 在x 轴上的射影A1B1的长的取值范围.命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于★★★★★题目. 知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合. 错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”.技巧与方法：利用方程思想巧妙转化.(1)证明：由⎩⎨⎧-=++=bx y c bx ax y 2消去y 得ax2+2bx+c=0Δ=4b2－4ac=4(－a －c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+43)22+c c2］ ∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0 ∴43c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点.(2)解：设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－a b 2,x1x2=a c.|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2]43)21[(4]1)[(44)(4444)2(2222222++=++=---=-=--=a c a c a c a ac c a a ac b a c a b∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0∴a>－a －c>c,解得a c ∈(－2,－21)∵]1)[(4)(2++=a c a c a c f 的对称轴方程是21-=ac . a c ∈(－2,－21)时，为减函数∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈(32,3).［例2］已知关于x 的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题，属★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.错解分析：用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或(这里0<－m<1是因为对称轴x=－m 应在区间(0，1)内通过)●锦囊妙计1.二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c;y=a(x －x1)(x －x2);y=a(x －x0)2+n.(2)当a>0,f(x)在区间［p,q ］上的最大值M ，最小值m,令x0=21(p+q). 若－a b2<p,则f(p)=m,f(q)=M;若p ≤－a b 2<x0,则f(－a b2)=m,f(q)=M;若x0≤－a b 2<q,则f(p)=M,f(－a b2)=m; 若－a b2≥q,则f(p)=M,f(q)=m.2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件.(1)方程f(x)=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f(r)<0;(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r a b ac b(3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q a b p ac b(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根⇔f(p)·f(q)<0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立.(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(p<q)⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅0)(0)(q f a p f a . 3.二次不等式转化策略(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c ≤0的解集是：(－∞,α])∪［β,+∞)⇔a<0且f(α)=f(β)=0;(2)当a>0时，f(α)<f(β)⇔ |α+a b 2|<|β+a b 2|,当a<0时，f(α)<f(β)⇔|α+a b2|>|β+a b2|;(3)当a>0时，二次不等式f(x)>0在［p,q ］恒成立⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔,0)(,2p f p a b 或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤;0)(;2,0)2(,2q f p a b a b f q a b p 或(4)f(x)>0恒成立⎩⎨⎧<==⎩⎨⎧<∆<⇔<⎩⎨⎧>==⎩⎨⎧<∆>⇔.00,0,00)(;0,0,0,0c b a a x f c b a a 或恒成立或●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)若不等式(a －2)x2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A.(－∞,2]B.[－2,2]C.(－2,2]D.(－∞,－2)2.(★★★★)设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m －1)的值为( )A.正数B.负数C.非负数D.正数、负数和零都有可能二、填空题3.(★★★★★)已知二次函数f(x)=4x2－2(p －2)x －2p2－p+1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)>0,则实数p 的取值范围是_________.4.(★★★★★)二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f(2+x)=f(2－x),若f(1－2x2)<f(1+2x －x2),则x 的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★★)已知实数t 满足关系式33log log a y a t a a = (a>0且a ≠1)(1)令t=ax,求y=f(x)的表达式； (2)若x ∈(0,2]时，y 有最小值8，求a 和x 的值.6.(★★★★)如果二次函数y=mx2+(m －3)x+1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.7.(★★★★★)二次函数f(x)=px2+qx+r 中实数p 、q 、r 满足m r m q m p ++++12=0,其中m>0,求证： (1)pf(1+m m)<0;(2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解.8.(★★★★)一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160－2x,生产x 件的成本R=500+30x 元.(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？参考答案难点磁场解：由条件知Δ≤0,即(－4a ）2－4(2a+12)≤0,∴－23≤a ≤2(1)当－23≤a ＜1时，原方程化为：x=－a2+a+6,∵－a2+a+6=－(a －21)2+425.∴a=－23时，xmin=49,a=21时，xmax=425. ∴49≤x ≤425.(2)当1≤a ≤2时，x=a2+3a+2=(a+23)2－41∴当a=1时，xmin=6,当a=2时，xmax=12,∴6≤x ≤12.综上所述,49≤x ≤12.歼灭难点训练一、1.解析：当a －2=0即a=2时,不等式为－4＜0,恒成立.∴a=2,当a －2≠0时，则a 满足⎩⎨⎧<∆<-002a ,解得－2＜a ＜2,所以a 的范围是－2＜a ≤2.答案：C2.解析：∵f(x)=x2－x+a 的对称轴为x=21,且f(1)>0,则f(0)>0,而f(m)＜0,∴m ∈(0,1),∴m －1＜0,∴f(m －1)>0.答案：A二、3.解析：只需f(1)=－2p2－3p+9>0或f(－1)=－2p2+p+1>0即－3＜p ＜23或－21＜p ＜1.∴p∈(－3, 23).答案：(－3，23）4.解析：由f(2+x)=f(2－x)知x=2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小， ∴|1－2x2－2|＜|1+2x －x2－2|,∴－2＜x ＜0.答案：－2＜x ＜0三、5.解：(1）由loga 33log a y at t =得logat －3=logty －3logta 由t=ax 知x=logat ，代入上式得x －3=x x y a 3log -, ∴logay=x2－3x+3，即y=a 332+-x x (x ≠0). (2)令u=x2－3x+3=(x －23)2+43(x ≠0),则y=au①若0＜a ＜1,要使y=au 有最小值8，则u=(x －23)2+43在(0，2]上应有最大值，但u 在(0，2]上不存在最大值.②若a>1,要使y=au 有最小值8，则u=(x －23)2+43,x ∈(0,2]应有最小值∴当x=23时，umin=43,ymin=43a由43a =8得a=16.∴所求a=16,x=23.6.解：∵f(0)=1>0(1)当m ＜0时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意.(2）当m>0时，则⎪⎩⎪⎨⎧>-≥∆030m m 解得0＜m ≤1综上所述，m 的取值范围是{m|m ≤1且m ≠0}.7.证明：(1)])1()1([)1(2r m m q m m p p m m pf ++++=+])2()1()1()2([]2)1([]1)1([22222+++-+=+-+=++++=m m m m m m p m p m pm pm m r m q m pm pm)2()1(122++-=m m pm ,由于f(x)是二次函数，故p ≠0,又m>0,所以，pf(1+m m )＜0.(2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r①当p ＜0时，由(1）知f(1+m m )＜0 若r>0,则f(0)>0,又f(1+m m )＜0,所以f(x)=0在(0，1+m m)内有解;若r ≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－m r m p -+2)+r=m r m p -+2>0,又f(1+m m )＜0,所以f(x)=0在(1+m m,1)内有解.②当p ＜0时同理可证.8.解：(1）设该厂的月获利为y,依题意得y=(160－2x)x －(500+30x)=－2x2+130x －500由y ≥1300知－2x2+130x －500≥1300∴x2－65x+900≤0，∴(x －20)(x －45)≤0，解得20≤x ≤45 ∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元.(2）由(1）知y=－2x2+130x －500=－2(x －265)2+1612.5 ∵x 为正整数，∴x=32或33时，y 取得最大值为1612元， ∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.。

第03课时 三个“二次”及关系【考点点悟】传道解惑，高屋建瓴三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本课时主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.1.二次函数的三种表示法：y =ax 2+bx +c ; y =a (x －x 1)(x －x 2); y =a (x －x 0)2+n .2.当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=21(p +q ). 若－ab2<p ,则f (p )=m , f (q )=M ; 若p ≤－a b 2<x 0, 则f (－a b2)=m , f (q )=M ;若x 0≤－a b 2<q ,则f (p )=M , f (－a b2)=m ;若－ab 2≥q ,则f (p )=M ,f (q )=m .3.二次函数2()f x ax bx c =++,由(0)f c =,(1)f a b c =++,(1)f a b c -=-+可得,11(1)(1)(0)22a f f f =+--、11(1)(1)22b f f =--、(0)c f = .从而有21111()[(1)(1)(0)][(1)(1)](0)2222f x f f f x f f x f =+--+--+ .4.二次不等式转化策略(1)二次不等式f (x )=ax 2+bx +c ≤0的解集是：(－∞,α])∪［β,+∞)⇔a <0且f (α)=f (β)=0;(2)当a >0时，f (α)<f (β)⇔ |α+a b 2|<|β+ab 2|,当a <0时，f (α)<f (β) ⇔|α+a b 2|>|β+ab2|; (3)当a >0时，二次不等式f (x )>0在［p ,q ］恒成立⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔,0)(,2p f p a b或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤;0)(;2,0)2(,2q f p ab a b f q a b p 或 (4)f (x )>0恒成立⎩⎨⎧<==⎩⎨⎧<∆<⇔<⎩⎨⎧>==⎩⎨⎧<∆>⇔.00,0,00)(;0,0,0,0c b a a x f c b a a 或恒成立或 【小题热身】明确考点，自省反思1. 已知二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________.2.已知32()f x x ax bx c =+++，过曲线()y f x =上一点(1,(1))P f 的切线方程是31y x =+，如()y f x =在[]2,1-上为增函数，则实数b 的取值范围为 .3.二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)<f (1+2x －x 2),则x 的取值范围是_________.4.若函数32321y x x =+-在区间(,0)m 上是减函数，则 m 的取值范围是 .【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1. 已知32()f x x ax b =-++，若曲线()y f x =在[]0,1x ∈这一段上任一点处切线的斜率都在区间[]0,1上.求实数a 的取值范围.思路透析: 曲线()y f x =在点(,())x f x 处的切线斜率为2()32f x x ax '=-+，由题意可知，20321x ax ≤-+≤在区间[]0,1上恒成立.（1）0x =时，a 可取一切实数.（2）(]0,1x ∈时，由2320x ax -+≥恒成立，32a x ∴≥在(]0,1上恒成立. 而32x 在(]0,1上最大值为32 32a ∴≥. 由2321x ax -+≤在(]0,1上恒成立，11(3)2a x x∴≤+在(]0,1上恒成立.由11(3)2x x +≥x =时取“=”）(]0,1x ∴∈时11(3)2x x +的最小值a ∴≤综上所述，所求实数a 的取值范围为32a ≤≤. 点评: 三次函数的导数是二次函数，这样就出现了以三次函数的导数为载体考查二次函数、一元二次方程、及一元二次不等式的所谓“三个二次”问题 ,这些问题，灵活性大，综合性强.例 2.已知函数2()2,()1f x x a g x x =-=+，()()()H x f x g x =⋅． 设方程2310x ax -+=的两实根为,()αβαβ<，且函数()H x 在区间[,]αβ上的最大值比最小值大8，求a 的值．思路透析:由232()(2)(1)22H x x a x x ax x a=-+=-+-得2()2(31)H x x ax '=-+，即 ,αβ是方程()H x '0=的两实根，故当(,)x αβ∈时，有()0H x '<，从而()H x 在[,]αβ上是减函数， 故maxmin()(),()()H x H H x H αβ==，由题意，()()8H H αβ-=，由韦达定理得，1,33a αβαβ+==， 而()()H H αβ-=2()[2()2()2]a αβαβαβαβ-+--++2232[2()2]333a a =--+==8，解得a =±点评：本题的关键是利用二次方程的根与二次不等式的关系，得出函数()H x 为减函数，再利用韦达定理，从而使问题求解．例 3. 已知函数()32,[1,g x a x b x =+∈-单调递增，有最大值2，函数32()f x ax bx cx d =+++（[1,1]x ∈-）图象的任一切线都不会与双曲线221y x -=的两支都相交，且()f x ． （1）求证|()|2g x ≤； （2）求()f x ．思路透析: （1）函数()32,[1,1]g x ax b x =+∈-单调递增，有最大值2，故322(0)a b a +=> 又32()f x ax bx cx d =+++的任一切线都不会与双曲线221y x -=的两支都相交，|()|1f x '≤，|(1)||32|1,|(0)|||1f a b c f c ''-=-+≤=≤．故|(1)||32||32|g a b a b c c -=-+=-+-|32|||2a b c c ≤-++≤，故|()|2g x ≤．（2）|(1)||32||2|1f a b c c '=++=+≤，31c -≤≤-，又11c -≤≤，故1c =-，而()f x '为二次函数，故()f x '的最小值为1-，得0b =，从而23a =，由2()210f x x '=-=得，2x =-时取最大值3，即(03f -=，解得0d =，因此32()3f x x x =-． 点评:熟练利用二次函数、方程的有关知识来解决三次问题应是理所当然之事．例4. 若2()f x ax bx c =++,a 、b 、c 为实数,在区间[0,1]上恒有|()|f x ≤1 .(1)对所有这样的()f x ,求||||||a b c ++的最大值;(2)试给出一个这样的()f x ,使||||||a b c ++确实取到上述最大值.思路透析: (1)由题意得|(1)|||f a b c =++≤1,1|()|||242a bf c =++≤1, |(0)|||f c =≤1 .于是 |||(1)(0)|a b f f +=-≤|(1)||(0)|f f +≤2 ,1|||3()58()||3(1)5(0)8()|422a b a b a b c c c f f f -=+++-++=+-≤3+5+8=16 .∴当ab ≥0时, ||||||||||a b c a b c ++=++≤2+1=3 ; 当ab <0时,∴max (||||||)17a b c ++= .(2)当8,8,1a b c ==-=时, 221()8818()12f x x x x =-+=-- ,当[0,1]x ∈时,有221|()||881||8()1|2f x x x x =-+=--≤1成立 ,此时有|||||a b c ++=17 .点评:解决此类问题的关键是抓住(0)f 、(1)f 、(1)f -、1()2f 等这些特殊的函数值,找出它们与二次函数系数的关系,代入后并进行转化,最后利用不等式的放缩法求解.例 5.已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R ).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A 、B ； (2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围.思路透析: (1)证明：由⎩⎨⎧-=++=bxy cbx ax y 2消去y 得ax 2+2bx +c =0Δ=4b 2－4ac =4(－a －c )2－4ac =4(a 2+ac +c 2)=4［(a +43)22+c c 2］ ∵a +b +c =0,a >b >c ,∴a >0,c <0 ∴43c 2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点. (2)设方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1和x 2,则x 1+x 2=－a b 2,x 1x 2=ac . |A 1B 1|2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2]43)21[(4]1)[(44)(4444)2(2222222++=++=---=-=--=a c a c a c a acc a a ac b a c a b∵a >b >c ,a +b +c =0,a >0,c <0∴a >－a －c >c ,解得ac ∈(－2,－21)∵]1)[(4)(2++=a c a c a c f 的对称轴方程是21-=a c .ac ∈(－2,－21)时，为减函数∴|A 1B 1|2∈(3,12),故|A 1B 1|∈(32,3).点评:本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力,熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合.例6.已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围. 思路透析: (1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或 (这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1)内通过)点评:用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点. 本题重点考查方程的根的分布问题,解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.【即时测评】学以致用，小试牛刀 1.函数321()2f x x x bx =-+的图象有与x 轴平行的切线，则实数b 的取值范围为( ) A.112b ≥ B. 112b < C.112b ≤ D. 112b >2. 若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞,2] B.[－2,2] C.(－2,2] D.(－∞,－2)3. 设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值为()A.正数B.负数C.非负数D.正数、负数和零都有可能4.已知函数()f x 32(6)1x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 A ．12a -<< B ．36a -<< C ．3a <-或6a > D ．1a <-或2a >5.已知对于x 的所有实数值，二次函数f (x )=x 2－4ax +2a +12(a ∈R )的值都是非负的，则关于x 的方程2+a x=|a －1|+2的根的取值范围为( ) A. 49≤x ≤425 B. 6≤x ≤12 C. 49≤x ≤6 D. 49≤x ≤12.【课后作业】学练结合，融会贯通一、填空题:1.设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<．则实数a 的取值范围为 .2.函数32()(6)2f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围为 .3.已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，则a 的取值范围 .4.已知三次函数()(1)()f x x x x a b =-++，若()f x 在(1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围为 .5.如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则m 的取值范围为 .6.已知a ∈R ，二次函数.22)(2a x ax x f --=设不等式()f x >0的解集为A ，又知集合B={x |1<x <3}.若A B ⋂≠∅,则a 的取值范围为 .7.设函数()f x =-cos 2x -4tsin 2x cos 2x +4t 3+t 2-3t+4,x ∈R,将()f x 的最小值记为g(t).则g(t)= .二、解答题: 8. 已知函数3211()(1)(,32f x x b x cx b c =+-+是常数). （1）()f x 在12(,),(,)x x -∞+∞内为增函数，在12(,)x x 内为减函数, 又211x x ->，求证：224b b c >+.（2）在（1）的条件下，如1t x <，比较2t bt c ++与1x 的大小.9.已知函数2()f x ax bx c =++,对任何[1,1x ∈-,都有|()|f x ≤1.设432222()|()()g x acx b a c x a b c x =+++++()|b a c x ac +++,[1,1]x ∈-,求函数()g x 的最大值.10.二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足mrm q m p ++++12=0,其中m >0,求证： (1)pf (1+m m)<0; (2)方程f (x )=0在(0，1)内恒有解.第03课时 三个“二次”及关系参考答案【小题热身】1. (－3,23) 2. 0b ≥ 3. (－2,0) 4. 4[,0)9-【即时测评】1. C2. C3. A4. C5.D【课后作业】一、填空题:1.(03-， 2. 36a a <->或 3. 2731--≤≥a a 或 4. 1a ≥- 5. {m |m ≤1且m ≠0} 6. .276-<>a a 或 7. ⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈+-+-∈+---∞∈+-+=),1(,454]1,1[,334)1,(,44)(23323t t t t t t t t t t t t g二、解答题:8. 解析:（1）证明：2()(1)f x x b x c '=+-+ 由题意知，12,x x 为()0f x '=的两个不相等的实根，12121,x x b x x c ∴+=-⋅= 224b b c ∴--()()21212121214x x x x x x =-+--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦221()1x x =-- 211x x ->221()1x x ∴-> 224b b c ∴-->0 ∴224b b c >+。

函数中的三个“二次”及关系作者：杨爽来源：《中学生数理化·教研版》2008年第07期三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系.一、例题分析例1 已知二次函数f（x）=ax ２+bx+c和一次函数g（x）=－bx，其中a、b、c满足a>b>c，a+b+c=0（a，b，c∈R）.求证：两函数的图象交于不同的两点A、B.证明：由y=ax２+bx+c，y=-bx，消去y得ax２+2bx+c=0.Δ=4b２－4ac=4（－a－c）２－4ac=4（a２+ac+c２）=4［（a+ ）２+ c２］.∵a+b+c=0，a>b>c，∴ a>0，c∴ c２>0. ∴ Δ>0，即两函数的图象交于不同的两点.二、分析总结1．二次函数的基本性质（１）二次函数的三种表示法：y=ax２+bx+c；y=a（x－x1）（x－x２）；y=a（x－x０）２+n.（２）当a>0，f（x）在区间［p，q］上的最大值M，最小值m，令x０= （p+q）.若－ 2．二次方程f（x）=ax２+bx+c=0的实根分布及条件（１）方程f（x）=0的两根中一根比r大，另一根比r小?圳a•f（r）（２）二次方程f（x）=0的两根都大于r ?圳Δ=b２-4ac>0，- >r，a•f（r）>0．（３）二次方程f（x）=0在区间（p，q）内有两根?圳Δ=b２-4ac>0，p0，a•f（p）>0．（４）二次方程f（x）=0的两根在区间（p，q）内只有一个?圳f（p）•f（q）≤0.（５）方程f（x）=0两根的一根大于p，另一根小于q（p3．二次不等式转化策略（1）二次不等式f（x）=ax２+bx+c≤0的解集是：（－∞，α］∪［β，+∞）?圳a（2）当a>0时，f（α）|β+ |．（3）当a>0时，二次不等式f（x）>0在［p，q］恒成立或?圳- 0或p≤- 0或- ≥p，f（q）≥0．（4）f（x）>0恒成立?圳a>0，Δ0．f（x）注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

例析三个“二次”的关系055350 河北隆尧一中 焦景会一元二次方程，一元二次函数，一元二次不等式，是中学数学的重要内容，它们常被称为三个“二次”，高考中出现的三个“二次”的相关联问题，以及运用三个“二次”的相关性解决其它问题，较为复杂，有一定难度，为此举例分析如下：基础知识点：1、二次函数的三种表示形式（1）一般式：f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)；（2）顶点式：若二次函数顶点坐标为(k, h)，则f(x)=a(x －k)2+h(a ≠0)；（3）双根式：若二次函数图象与x 轴交点坐标为(x 1, 0), (x 2, 0)，则f(x)=a(x －x 1)( x －x 2) (a ≠0)。

2、二次函数的性质设f(x)=ax 2+bx+c(a ＞0)，则定义式为R ，值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，对称轴为2b x a =-，在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 是减函数，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭是增函数，当b=0时，f(x)是偶函数，当b ≠0时，f(x)是非奇非偶函数，特别的，当a ＞0时，f(x)在[p, q]上有最大值M ，最小值m ，设x 0=(p+q)，则（1）若a b 2＜p ，则f(p)=m, f(q)=M ；（2）若－ab 2≥q ，则f(q)=m, f(p)=M ； （3）若p ≤－a b 2＜x 0，则f(－a b 2)=m ，f(q)=M ；（4）若x 0≤a b 2＜q ，则f(－a b 2)=m ，f(p)=M 。

3、二次方程f(x)=0的实根分布一般情况下，需从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴x=－ab 2与区间端点的关系。

设x 1、x 2是实系数二次方程ax 2+bx+c=0(a ＞0)两实根，则x 1、x 2的分布范围与二次方程系数之间的关系如下：（1）120()02x x k f k b k a ⎧⎪∆>⎪<<⇔>⎨⎪⎪-<⎩ ； (2) 120()02k x x f k b k a⎧⎪∆>⎪<<⇔>⎨⎪⎪->⎩；(3) 12()0x k x f k <<⇔< (4) 112122120()0,(,)()02f k x x k k f k b k k a ∆≥⎧⎪>⎪⎪∈⇔>⎨⎪⎪<-<⎪⎩； (5) 12,x x 有且仅有一个在12(,)k k 内12()()0f k f k ⇔⋅<或1211()0,22k k b f k k a +=<-<或1222()0,22k k b f k k a+=<-<。

难点4 三个“二次”及关系三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.●难点磁场已知对于x 的所有实数值，二次函数f (x )=x 2－4ax +2a +12(a ∈R )的值都是非负的，求关于x 的方程2+a x=|a －1|+2的根的取值范围. ●案例探究［例1］已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 和一次函数g (x )=－bx ，其中a 、b 、c 满足a >b >c ,a +b +c =0,(a ,b ,c ∈R ).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A 、B ； (2)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围.命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于★★★★★题目.知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合. 错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”.技巧与方法：利用方程思想巧妙转化.(1)证明：由⎩⎨⎧-=++=bxy cbx ax y 2消去y 得ax 2+2bx +c =0Δ=4b 2－4ac =4(－a －c )2－4ac =4(a 2+ac +c 2)=4［(a +43)22+c c 2］ ∵a +b +c =0,a >b >c ,∴a >0,c <0 ∴43c 2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点. (2)解：设方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1和x 2,则x 1+x 2=－a b 2,x 1x 2=ac . |A 1B 1|2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2]43)21[(4]1)[(44)(4444)2(2222222++=++=---=-=--=a c a c a c a acc a a ac b a c a b∵a >b >c ,a +b +c =0,a >0,c <0∴a >－a －c >c ,解得ac ∈(－2,－21)∵]1)[(4)(2++=a c a c a c f 的对称轴方程是21-=a c .ac ∈(－2,－21)时，为减函数∴|A 1B 1|2∈(3,12),故|A 1B 1|∈(32,3).［例2］已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题，属★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义. 错解分析：用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.解：(1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或 (这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1)内通过) ●锦囊妙计1.二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法：y =ax 2+bx +c ;y =a (x －x 1)(x －x 2);y =a (x －x 0)2+n .(2)当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=21(p +q ). 若－ab2<p ,则f (p )=m ,f (q )=M ; 若p ≤－a b 2<x 0,则f (－ab2)=m ,f (q )=M;若x 0≤－a b 2<q ,则f (p )=M ,f (－ab 2)=m ; 若－ab2≥q ,则f (p )=M ,f (q )=m . 2.二次方程f (x )=ax 2+bx +c =0的实根分布及条件.(1)方程f (x )=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f (r )<0;(2)二次方程f (x )=0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r a bac b (3)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b (4)二次方程f (x )=0在区间(p ,q )内只有一根⇔f (p )·f (q )<0,或f (p )=0(检验)或f (q )=0(检验)检验另一根若在(p ,q )内成立.(5)方程f (x )=0两根的一根大于p ,另一根小于q (p <q )⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅0)(0)(q f a p f a .3.二次不等式转化策略(1)二次不等式f (x )=ax 2+bx +c ≤0的解集是：(－∞,α])∪［β,+∞)⇔a <0且f (α)=f (β)=0;(2)当a >0时，f (α)<f (β)⇔ |α+a b 2|<|β+a b 2|,当a <0时，f (α)<f (β)⇔|α+ab 2|> |β+ab2|; (3)当a >0时，二次不等式f (x )>0在［p ,q ］恒成立⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔,0)(,2p f p a b或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤;0)(;2,0)2(,2q f p a b a b f q ab p 或 (4)f (x )>0恒成立⎩⎨⎧<==⎩⎨⎧<∆<⇔<⎩⎨⎧>==⎩⎨⎧<∆>⇔.00,0,00)(;0,0,0,0c b a a x f c b a a 或恒成立或 ●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A.(－∞,2]B.[－2,2]C.(－2,2]D.(－∞,－2)2.(★★★★)设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值为( ) A.正数 B.负数 C.非负数 D.正数、负数和零都有可能 二、填空题3.(★★★★★)已知二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________.4.(★★★★★)二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)<f (1+2x －x 2),则x 的取值范围是_________.三、解答题5.(★★★★★)已知实数t 满足关系式33log log aya t a a = (a >0且a ≠1)(1)令t=a x ,求y =f (x )的表达式；(2)若x ∈(0,2]时，y 有最小值8，求a 和x 的值. 6.(★★★★)如果二次函数y =mx 2+(m －3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m 的取值范围.7.(★★★★★)二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足mrm q m p ++++12=0,其中m >0,求证：(1)pf (1+m m)<0; (2)方程f (x )=0在(0，1)内恒有解.8.(★★★★)一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P =160－2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元.(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？参考答案难点磁场解：由条件知Δ≤0,即(－4a ）2－4(2a +12)≤0,∴－23≤a ≤2 (1)当－23≤a ＜1时，原方程化为：x =－a 2+a +6,∵－a 2+a +6=－(a －21)2+425. ∴a =－23时，x mi n =49,a =21时，x max =425.∴49≤x ≤425. (2)当1≤a ≤2时，x =a 2+3a +2=(a +23)2－41∴当a =1时，x mi n =6,当a =2时，x max =12,∴6≤x ≤12. 综上所述,49≤x ≤12. 歼灭难点训练一、1.解析：当a －2=0即a =2时,不等式为－4＜0,恒成立.∴a =2,当a －2≠0时，则a满足⎩⎨⎧<∆<-002a ,解得－2＜a ＜2,所以a 的范围是－2＜a ≤2.答案：C2.解析：∵f (x )=x 2－x +a 的对称轴为x =21,且f (1)>0,则f (0)>0,而f (m )＜0,∴m ∈(0,1), ∴m －1＜0,∴f (m －1)>0. 答案：A二、3.解析：只需f (1)=－2p 2－3p +9>0或f (－1)=－2p 2+p +1>0即－3＜p ＜23或－21＜p ＜1.∴p ∈(－3,23). 答案：(－3，23）4.解析：由f (2+x )=f (2－x )知x =2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小， ∴|1－2x 2－2|＜|1+2x －x 2－2|,∴－2＜x ＜0. 答案：－2＜x ＜0三、5.解：(1）由log a 33log aya t t =得log a t －3=log t y －3log t a 由t =a x 知x =log a t ，代入上式得x －3=xx y a 3log -,∴log a y =x 2－3x +3，即y =a 332+-x x (x ≠0).(2)令u =x 2－3x +3=(x －23)2+43(x ≠0),则y =a u ①若0＜a ＜1,要使y =a u 有最小值8，则u =(x －23)2+43在(0，2]上应有最大值，但u 在(0，2]上不存在最大值. ②若a >1,要使y =a u 有最小值8，则u =(x －23)2+43,x ∈(0,2]应有最小值∴当x =23时，u mi n =43,y mi n =43a由43a =8得a =16.∴所求a =16,x =23. 6.解：∵f (0)=1>0(1)当m ＜0时，二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧，符合题意.(2）当m >0时，则⎪⎩⎪⎨⎧>-≥∆030mm 解得0＜m ≤1综上所述，m 的取值范围是{m |m ≤1且m ≠0}.7.证明：(1)])1()1([)1(2r m m q m m p p m m pf ++++=+ ])2()1()1()2([]2)1([]1)1([22222+++-+=+-+=++++=m m m m m m p m p m pm pm m r m q m pm pm)2()1(122++-=m m pm ,由于f (x )是二次函数，故p ≠0,又m >0,所以，pf (1+m m)＜0.(2)由题意，得f (0)=r ,f (1)=p +q +r ①当p ＜0时，由(1）知f (1+m m)＜0 若r >0,则f (0)>0,又f (1+m m )＜0,所以f (x )=0在(0，1+m m)内有解; 若r ≤0,则f (1)=p +q +r =p +(m +1)=(－m r m p -+2)+r =mrm p -+2>0,又f (1+m m )＜0,所以f (x )=0在(1+m m ,1)内有解.②当p ＜0时同理可证.8.解：(1）设该厂的月获利为y ,依题意得 y =(160－2x )x －(500+30x )=－2x 2+130x －500 由y ≥1300知－2x 2+130x －500≥1300∴x 2－65x +900≤0，∴(x －20)(x －45)≤0，解得20≤x ≤45 ∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元. (2）由(1）知y =－2x 2+130x －500=－2(x －265)2+1612.5 ∵x 为正整数，∴x =32或33时，y 取得最大值为1612元， ∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.。

学好“三个二次〞“三个二次〞是指一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式，它是以一元二次函数为中心，运用一元二次函数的图象、性质把其余两个联系起来，构成知识系统的网络结构．要学好“三个二次〞，我们可以从以下两方面入手加强学习．一、 弄清关系1． 三个“二次〞中，最重要的是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠．方程 20(0)ax bx c a ++=≠和不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<〔0a >〕是函数 2(0)y ax bx c a =++≠的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当0y =时，函数2(0)y ax bx c a =++≠就转化成为方程，当0y >或0y <时，就转化为一元二次不等式．可见，一元二次函数是一元二次方程和一元二次不等式的综合．2． 从图象上来说，二次方程的解结应于二次函数图象与此同时x 轴的交点，二次不等式的解对应于二次函数图象在x 轴上方，〔下方〕，或在x 轴上的点．由此，得出由一元二次函数图象的开口方向及与x 轴的交点情况确定的一元二次不等式的图象解法，这样就形成了二次函数与二次方程相结合的解一元二次不等式的方法．例如，二次函数2()(0)f x x x a a =++>满足()0f m <，由此就可以判断出(1)0f m +>．这是因为，当注意到二次函数2()f x x x a =++的图象开口向上，〔如图〕，又由于()0f m <，从而有01001404a a a >⎧∆>⇒⇒<<⎨->⎩． 于是有12141x x a -=-<，由m 在两根之内，那么1m +显然在两根之外，所以(1)0f m +>．3． 由二次函数图象与一元二次不等式的关系分析，可以得到常用的两个结论：（1） 不等式20ax bx c ++>对任意实数x 恒成立00.a b c ==⎧⇔⎨>⎩，或00.a >⎧⎨∆<⎩，（2） 不等式20ax bx c ++<对任意实数x 恒成立00.a b c ==⎧⇔⎨<⎩，或00.a <⎧⎨∆<⎩，二、 解题须知1． 解一元二次不等式时，应当考虑相应的一元二次方程，其中二次项系数a 的正、负 影响着不等式解的形式，判别式∆关系到不等式对应的方程是否有解．2． 一元二次不等式的解集有两种特殊情况，即解集为∅或R ，要分清和理解各种不 同情况下所对应的方程或函数图象的含义．3．当二次项系数含有参数时，不能忽略二次项系数为零的特殊情形，解含有参数的不等式时，要合理分类，确保不重不漏．。

浅谈三个“二次”及其关系作者：孙国强来源：《中学教学参考·理科版》2011年第10期三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.本文主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法一、案例探究【例1】已知二次函数和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0(a,b,c∈R(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影的长的取值范围命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合技巧与方法：利用方程思想巧妙转化(1)由，-bx消去y得－4ac=4(－a－－［］∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c∴∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点(2)设方程的两根为和则－（3）－－=(----a--＝4［］=4［］.∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c∴a>－a－c>c,解得ca∈(－2,－∵f(ca)=4［］的对称轴方程是ca=-12，ca∈(－2,－12)时，f(ca)为减函数∴∈(3,12),故∈二、锦囊妙计1.二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法：－－－(2)当a>0,f(x)在区间［p,q］上的最大值为M，最小值为m,令若－b2a若p≤－b2a若－b2a若－b2a≥q,则2.二次方程的实根分布及条件(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r-4ac＞-b2a＞＞0;(3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根-4ac＞p＜-b2a＜＞＞0;(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根，(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(p＜＞0.3.二次不等式转化策略(1)二次不等式的解集是：(－∞,α)∪［β,+∞)(2)当a>0时，f(α)f(α)|β+b2a|；(3)当a>0时，二次不等式f(x)>0在［p,q］恒成立-b2a＜＞0；或p≤-b2a＜-b2a)＞0；或-b2a≥p，(4)f(x)>0恒成立＞＜0；或a=b=0＞＜0恒成立＜＜0,或＜0.对于三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者，在解题的过程中要熟练掌握区别及联系，在转化的策略上多用技巧，注重数形的完美结合，并要在根的求解上不重不漏，才能正确解决相关问题(责任编辑金铃）。

高一数学第三讲 三个“二次”及关系三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助同学理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.一、基础知识1.二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法：y =ax 2+bx +c ;y =a (x －x 1)(x －x 2);y =a (x －x 0)2+n .(2)当a >0,f (x )在区间［p ,q ］上的最大值M ，最小值m ,令x 0=21 (p +q ). 若－a b 2<p ,则f (p )=m ,f (q )=M ; 若p ≤－a b 2<x 0,则f (－ab 2)=m ,f (q )=M ; 若x 0≤－a b 2<q ,则f (p )=M ,f (－a b 2)=m ; 若－ab 2≥q ,则f (p )=M ,f (q )=m . (3)⑴方程0)(=x f 的解⇔使函数)(x f y =的值为0的自变量x 的值⇔方程组⎩⎨⎧==0)(y x f y 的解中的x 的值⇔函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标。

⑵推广可得：方程)()(x g x f =的解⇔使函数)(x f y =与)(x g y =的值相等的自变量x 的值⇔方程组⎩⎨⎧==)()(x g y x f y 的解中的x 的值⇔函数)(x f y =的图象与函数)(x g y =的图象的交点的横坐标。

2.一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。

一般侧重于二次方程根的判别式和系数的关系定理（韦达定理），有很大的局限性。

我们将主要结合二次函数图象系统介绍一元二次方程根的分布的充要条件及其应用㈠一元二次方程根的基本分布---零分布设一元二次方程ax 2+bx+c=0 的两个实根为 x 1,x 2 （x 1〈x 2）定理1 x 1>0,x 2 >0⇔ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧〈=>-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b 推论x 1>0,x 2 >0 ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧〉-〉=〉≥-=∆02000042a b c f a ac b ）（ 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧〉-〈=〈≥-=∆02000042ab c f a ac b ）（练习1. 若一元二次方程(m-1)x 2 +2(m+1)x-m=0有两个正根,求m 的 取值范围.定理2. x 1 <0, x 2<0 ⇔ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧〉=〈-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b 推论 x 1〈0,x 2〈0 ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧〈-〈=〉≥-=∆02000042a b c f a ac b ）（或 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧〈-〈=〈≥-=∆02000042ab c f a ac b ）（练习2、k 为何值时一元二次方程kx 2+3kx+k-3=0的两根都是负数。

三个“二次”之间的关系一、知识梳理(1)二次函数的三种解析式： 一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c ；)0(≠a 顶点式：n m x a y +-=2)()0(≠a 两根式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2) )0(≠a(2)当a ＞0，二次函数)(x f 在区间［p ，q ］上的最大值M ，最小值m ， 令x 0＝21(p ＋q ). 若－ab 2＜p ，则)(p f ＝m ，)(q f ＝M ；若p ≤－a b 2＜x 0，则f (－a b2)＝m ，)(q f ＝M ；若x 0≤－a b 2＜q ，则)(p f ＝M ，f (－a b2)＝m ；若－ab 2≥q ，则)(p f ＝M ，)(q f ＝m ．)(x f ＝ax 2＋bx ＋c ＝0的实根分布及条件(1)方程)(x f ＝0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·)(r f ＜0；(2)二次方程)(x f ＝0的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=∆0)(,2,042r f a r a bac b (3)二次方程)(x f ＝0在区间(p ，q )内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b (4)二次方程)(x f ＝0在区间(p ，q )内只有一根⇔)(p f ·)(q f ＜0，或)(p f ＝0(检验)或)(q f ＝0(检验),检验另一根在(p ，q )内成立.提 示提 示(5)方程)(x f ＝0两根的一根大于p 小于q ，另一根小于p (p ＜q )⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅0)(0)(q f a p f a .(1)二次不等式)(x f ＝ax 2＋bx ＋c ≤0的解集是 (－∞，α]∪［β，＋∞)⇔a ＜0且)(αf ＝)(βf ＝0； (2) 当a ＞0时，)(αf ＜)(βf ⇔ |α＋a b 2|＜|β＋a b2|， 当a ＜0时，)(αf ＜)(βf ⇔|α＋a b 2|＞|β＋ab2|；(3)当a ＞0时，二次不等式c bx ax ++2＞0在［p ，q ］恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>≤-⇔,0)(,2p f p a b或⎪⎩⎪⎨⎧>≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤;0)(2,0)2(,2q f q a b a b f q ab p 或(4) 02>++c bx ax 恒成立⇔ ⎩⎨⎧<∆>00a 或 ⎩⎨⎧>==0c b a 02<++c bx ax恒成立 ⇔ ⎩⎨⎧<∆<00a 或 ⎩⎨⎧<==00c b a二、方法归纳1．数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及一元二次方程、一元二次不等式的时候常常结合图形寻找思路．2．含字母系数的二次函数、一元二次方程、一元二次不等式问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的最值与给定闭区间的关系，一元二次不等式解集与一元二次方程的根的关系．3．关于二次函数)(x f y =对称轴的判定方法：(1) 如果二次函数)(x f y =存在两个不相等的数1x 、2x ，有)()(21x f x f =，那么函数)(x f y =图象的对称轴方程为221x x x +=.(2)一般函数)(x f y =对定义域内所有x ，都有)()(x b f x a f -=+成立，那么函 数)(x f y =图象的对称轴方程为2ba x +=． 4． 二次方程的实根分布，也是二次函数的零点分布，是高考的一个热点问题．解决问题的关键在于作出二次函数的图象，运用数形结合的思想从判别式、对称轴的位置、特殊点的函数值这三个角度列出不等式组求解．三、典型例题精讲［例1］已知函数)(x f y =是开口向上的二次函数，)1()1(x f x f +=-，3)0(=f ，且)(x f 的最小值为2，求)(x f y =的解析式．［例2］若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A.(－∞，2]B.[－2，2]C.(－2，2]D.(－∞，－2)变式1：若不等式13642222<++++x x kkx x 对R x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. R B. ()3,1 C. ()1,∞- D. () 1,∞-()+∞,3［例3］二次函数)(x f 的二次项系数为正，且对任意实数x ，恒有)2(x f +＝)2(x f -，若)21(2x f -＜)21(2x x f -+，则x 的取值范围是_________.［例4］函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的范围是（ ）A ．)1(f ≥25B ．)1(f ＝25C ．)1(f ≤25D ．)1(f ＞25变式2：函数()m x mx x f ++=42，若R x ∈时恒有()3>x f ，则m 的取值范围是（ ）A. ()4,∞-B. ()+∞,4C. ()1,-∞-D. ()+∞-,1 ［例5］（1）二次方程0)1(2)12(2=-+-+m mx x m 有一正根和一负根，求实数m 的取值范围． （2）已知方程0)1(22=++-m x m x 有两个不等正实根，求实数m 的取值范围． ［例6］已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值．变式3：求二次函数32)(2+-=x x x f 在区间]2,2[-上的最大值与最小值． ［例7］求函数()122+-=ax x x f 在[]3,1∈x 上的最小值．变式4：求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值． 变式5：求函数243y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值．［例8］二次函数2()(21)1f x ax a x =+-+在区间3[,2]2-上的最大值为3，求实数a 的值．提 示。

专题12 三个二次之间的关系【考点清单】“三个二次”指一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和广泛的应用，在研究有关于二次曲线的问题时，常常转化成二次方程、二次函数、二次不等式的问题解决。

”三个二次”将等与不等、数与形紧密的结合在一起，对数形结合思想、函数方程思想、等价转化思想有较高的要求。

因而在高考试题函数问题中，非常多的试题与“三个二次”问题有关。

初中阶段对函数、方程、不等式的学习都是彼此独立的，但对于“三个二次”的横向联系缺乏认识。

升入高中才真正揭开三者的内在联系，逐步形成用函数、方程、不等式“三位一体”的思考方式审视问题、解决问题。

1、二次函数①二次函数的三种形式在“三个二次”中一元二次函数是重点，它的一般形式)0(2≠++=a c bx ax y ：它的配方形式： 224()(0)24b ac b y a x a a a-=++≠配方形式中充分反映了函数值y 随自变量x 的变化而变化的规律，可以容易的观察出何时取最值，也能考查出自变量x 取关于对称值时函数值的取值特点。

从而它的对称轴：2b x a=-它的顶点坐标：24(,)24b ac b a a--它的因式分解形式：12()()y a x x x x =--，其中12,x x 是一元二次方程的两根.从二次函数的因式分解形式，运用实数运算的符号法则，很容易看出函数y 值何时等于0、y 何时大于0、y何时小于0等特点。

总之一元二次函数反映y 与x 对应关系的全貌：既包括了方程的根、又包括了不等式等式的解。

②二次函数的最值设()()002>=++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：()()n f x f =（1）若[,]2bm n a-∈， 则max ()max{(),(),()}2b f x f m f f n a =-，min ()min{(),(),()}2bf x f m f f n a=- （2）若[,]2bm n a-∉，则max ()max{(),()}f x f m f n =，min ()min{(),()}f x f m f n = 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越小。

“三个二次”的关系知识点：1．“三个二次”的关系2.(x －a 题型一 一元二次不等式的解法 例1 求下列不等式的解集： （1）－x 2＋8x －3>0；（2）不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．（3）ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13. 又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}． (2)(－12，1](3)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)>0，解得x <1a 或x >1.若a >0，原不等式等价于(x －1a )(x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a )(x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a .综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a <x <1}．练习：1．不等式x －3x －1≤0的解集为( )A ．{x |x <1或x ≥3}B ．{x |1≤x ≤3}C ．{x |1<x ≤3}D ．{x |1<x <3}答案 C题型二、根据条件解不等式1．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶1∶3 C ．3∶1∶2 D ．3∶2∶1 答案 B解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0， ∴－b ＋c a <x <c －b a.∵不等式的解集为{x |－2<x <1}， ∴⎩⎨⎧ －b ＋ca＝－2，c －ba ＝1，∴⎩⎨⎧b ＝a 2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a2＝2∶1∶3.1、若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解为－12<x <13，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集是________．答案： (－2,3)2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( ) A ．(2,3) B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案 A题型二 一元二次不等式的恒成立问题 例2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 练习：1．已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为______________． 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)(1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( A ) A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5](2)已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为(C ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)(3)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解．∵x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立．而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3. ∴实数a 的取值范围是{a |a >－3}． 练习：1．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,2]B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2] 答案 A解析 原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0， ①当m ＝2时，对任意x 不等式都成立； ②当m －2<0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0， ∴－2<m <2，综合①②，得m ∈(－2,2]．2．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( ) A ．{a |0<a <4} B ．{a |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4}答案 D解析 由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.3．若0<a <1，则不等式(a －x )(x －1a )>0的解集是________________．答案 {x |a <x <1a}解析 原不等式即(x －a )(x －1a )<0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a .4．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a 、b 的值． 解 (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0， 即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， ∴⎩⎨⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.5．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A ．(－∞，－32)∪(12，＋∞)B ．(－32，12)C ．(－∞，－12)∪(32，＋∞)D ．(－12，32)答案 A解析 f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a <0， 由f (－2x )<0得－2x >3或－2x <－1， ∴x <－32或x >12.6．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.。

《关于“三个二次”之间关系》教学设计一、教材分析：“三个二次”指一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和广泛的应用，在研究二次曲线与直线的位置关系、运用导数解决复杂函数性质等问题时，常常转化成二次方程、二次函数、二次不等式的问题。

”三个二次”将等与不等、数与形紧密的结合在一起，对数形结合思想、函数方程思想、等价转化思想有较高的要求。

二、学生分析：“三个二次”中，一元二次函数最为重要，在初中学生就学习了二次函数，研究了二次函数的定义、图像、性质和实际问题中的最值，往往作为中考试题的最后一个压轴题。

初中也学习了一元二次方程及其规范解法，如公式法、因式分解法等。

只有一元二次不等式及解法在初中仅是初步了解。

初中阶段对函数、方程、不等式的学习都是彼此独立的，对于“三个二次”的横向联系缺乏认识。

升入高中才真正揭开三者的内在联系，逐步形成用函数、方程、不等式“三位一体”的思考方式审视问题、解决问题。

三、教学目标：1．掌握二次函数的图像和性质，理解二次函数的图像、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系；2．通过绘制二次函数的图像体会一元二次方程的根与函数图像与x 轴的交点的关系与一元二次不等式的解集与二次函数图像上的点的关系；3.培养学生的识图、绘图和用图能力，体会数形结合思想及普遍联系的观点。

四、教学重点、难点教学重点：三个二次之间的关系，及它们之间的相互转化； 教学难点：带参数的不等式恒成立问题。

教学过程： 一、引入：课前问题：(1).本节课我们学了什么？(2).你有什么发现？二|、问题设置问题1：求下列方程的根222(1).x 230(2).x 240(3).x 230x x x --=--=-+=问题2.作出下列函数的图像222(1).y x 23(2).y x 24(3).y x 23x x x =--=--=-+2y x 23113x x =---<<问题3.观察二次函数的图像：）当时，函数值有何特点？2）当x<-1时，函数值有何特点？221230230x x x x --≥--≤变式：解不等式）2）练习.解不等式2222(1).60(2).280(3).10(4).10x x x x x x x x +-<--≥++<--+≤三、例题应用 例1．210,x ax b a b --≥）已知不等式的解集为[-1,3],求的值。