第二章 第三讲 函数的值域与最值

多变量函数的值域与最值问题函数的值域与最值是高中数学中的主干知识，也是历年高考重点考查的必考知识要点。

对函数的值域与最值的考查有直接的、有间接的、有显性的、也有隐性的，形式多式多样。

这类题主要是考查学生对主干知识的理解与掌握和数学思想方法的运用，知识的综合性较大具有一定的难度，在高考中一般属中难题或难题。

特别是多变量函数因其变量多而让学生有望而生畏束手无策之感，这类题往往以选填题的形式出现。

虽然该知识点的考查变化多样，但若我们认真分析总结，这类题其实依然有律可寻，有法可依。

解决多变量最值与值域问题我们必须明确多个变量间的关系，一般常见的变量间关系分“独立性”与“相亲性”两种。

一、变量间的“独立性”是指多个变量间在目标函数中取值时相互独立互不牵连。

二、变量间的“相亲性”是指多个变量间在目标函数中取值时相互牵制、互相制约。

在牵制与制约过程中通常又有两种形式存在。

一种是一个变量的取值直接可以确定另一个变量的取值，我们称这种关系为“稳定”制约关系，多个变量间的“稳定”制约关系一般通过等式的方式来呈现。

处理这种问题时我们一般可以采用统一变量的思想来消减变量，化多变量函数为单变量函数，然后采用单变量函数求值域与最值的方法来处理。

若统一变量时计算量较大，有时也可以用一些特别的方法来处理。

如：基本不等式法、柯西不等式法等。

另一种是一个变量的取值并不能完全能确定另一个变量的取值，但它对另一个变量的取值范围有限定和制约，我们称这种关系为“相关”制约关系，多个变量间的“相关”制约关系通常通过不等式的方式来呈现。

处理这种问题时，我们不可轻易的将多个变量一一单独分离后，再用分离出的范围来简单拼凑目标函数所需的最值，这样往往会破坏多变量间的相关性导致误解。

处理这类问题时我们需采用整体法的思想、线性规划的思想、数形结合的思想来确保变量间的相关性从而达到求值域与最值的目标。

第二章 第三讲时间：60分钟 满分：100分一、选择题(8×5＝40分)1．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是 ( )A ．y ＝512－xB ．y ＝(13)1－xC ．y ＝(12x )－1 D ．y ＝1－2x 答案：B解析：y ＝512－x 中，12－x≠0，故y ≠1，值域为(0,1)∪(1，＋∞)，y ＝(13)1－x 的值域为(0，＋∞)，故选B.总结评述：对于不复杂的函数，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域．2．函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值为 ( ) A.45 B.54 C.34 D.43答案：D解析：1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝(x －12)＋34≥34.因此，有0＜11－x (1－x )≤43.所以f (x )的最大值为43. 总结评述：二次函数或转化为形如F (x )＝af 2(x )＋bf (x )＋c 类的函数的值域问题，均可用配方法，而后面的函数要注意f (x )的范围．3．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12C ．2D ．4 答案：B解析：a ＞1时，f (x )在[0,1]上为增函数，最小值f (0)，最大值f (1)；0＜a ＜1时，f (x )在[0,1]上为减函数，最小值f (1)、最大值f (0)，据题设有：f (0)＋f (1)＝a ，即1＋a ＋log a 2＝a ，∴a ＝12. 4．(2009·湖北部分重点中学第二次联考)函数y ＝x x 2＋x ＋1(x >0)的值域是 ( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，13) C ．(0，13] D ．[13，＋∞) 答案：C解析：由y ＝x x 2＋x ＋1(x >0)得0<y ＝x x 2＋x ＋1＝1x ＋1x ＋1≤12x ·1x＋1＝13，因此该函数的值域是(0，13]，故选C. 5．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是 ( ) A ．(－∞，0)∪(12，2]B ．(－∞，2]C ．(－∞，12)∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞)答案：A解析：∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)，则x －1∈(－∞，0)∪[1,4)，∴2x －1∈(－∞，0)∪(12，2]，故应选A.6．(2009·重庆市高三联合诊断性考试(第一次))已知函数y ＝x 2－3x ＋3(x >0)的值域是[1,7]，则x 的取值范围是 ( )A ．(0,4]B ．[1,4]C ．[1,2]D ．(0,1]∪[2,4]答案：D解析：依题意得y ＝(x －32)2＋34(x >0)的值域是[1,7]，由x 2－3x ＋3＝1解得x ＝1或x ＝2；由x 2－3x ＋3＝7得x ＝－1(舍)或x ＝4.结合该函数的图象分析可知，x 的取值范围是(0,1]∪[2,4]，选D.7．函数f (x )＝2－4x －x 2(0≤x ≤4)的值域是 ( )A ．[－2,2]B ．[1,2]C ．[0,2]D ．{－2，2}答案：C 解析：用三角换元法，可令x －2＝2sin θ，θ∈[－π2，π2]． ∵y ＝2－4x －x 2＝2－4－(x －2)2∴y ＝2－2cos θ∈[0,2]，故选C.8．(2009·宁夏、海南，12)用min{a ，b ，c }表示a 、b 、c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案：C解析：f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4.当x ＝4时，f (x )取最大值，f (4)＝6.二、填空题(4×5＝20分)9．(2009·湖北八校第一次联考)函数y ＝13－e x的值域为________． 答案：(－∞，0)∪(13，＋∞) 解析：由e x ＝3y －1y >0⇒y <0或y >13. 10．函数y ＝log 3(9－x 2)的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝________.答案：{x |－3<x ≤2}解析：由9－x 2>0得－3<x <3，∴A ＝{x |－3<x <3}．∵0<9－x 2≤9，∴log 3(9－x 2)≤2.∴B ＝(－∞，2]故A ∩B ＝{x |－3<x ≤2}．11．设x 、y ≥0,2x ＋y ＝6，则Z ＝4x 3＋3xy ＋y 2－6x －3y 的最大值是__________，最小值是__________．答案：18 272分析：转化为一元函数最值，转化时注意挖掘出变元的取值范围(隐含条件)．解答：由y ＝6－2x ≥0及x ≥0得0≤x ≤3，将y ＝6－2x 代入Z 中得Z ＝2x 2－6x ＋18(0≤x ≤3)，从而解得：Z max ＝18，Z min ＝272. 12．(2011·原创题)在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下： 当a ≥b 时，a b ＝a ；当a ＜b 时，a b ＝b 2.则函数f (x )＝(1x )·x －(2x )(x ∈[－2,2])的最大值等于________(“·”和“－”仍为通常的乘法和减法)．答案：6解析：当x ∈[－2,1]时，f (x )＝1·x －2＝x －2，f (x )max ＝－1；当x ∈(1,2]时，f (x )＝x 2·x －2＝x 3－2，f (x )max ＝6，故填6.三、解答题(4×10＝40分)13．求下列函数的值域：(1)y ＝x 2x ＋1；(2)y ＝x 2－x x 2－x ＋1； (3)y ＝x －1－2x ；(4)y ＝log 3x ＋log x 3－1.分析：解析：(1)解法一：(反函数法)因为函数y ＝x 2x ＋1的反函数为y ＝11－2x，后者其定义域为{x |x ≠12，x ∈R }， 故函数的值域为{y |y ≠12，x ∈R }． 解法二：(分离常数法)y ＝x 2x ＋1＝x ＋12－122(x ＋12)＝12－122x ＋1. ∵12(2x ＋1)≠0，∴函数的值域为{y |y ≠12，y ∈R }． (2)解法一：(配方法)∵y ＝1－1x 2－x ＋1，而x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34， ∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y <1. 解法二：(判别式法)由y ＝x 2－x x 2－x ＋1，得(y －1)x 2＋(1－y )x ＋y ＝0， ∵y ＝1时，x ∈∅，∴y ≠1，又∵x ∈R ，∴必须△＝(1－y )2－4y (y －1)≥0.∴－13≤y ≤1. ∵y ≠1，∴函数的值域为[－13，1)． (3)解法一：(单调性法)定义域为{x |x ≤12}，函数y ＝x ，y ＝－1－2x ，均在(－∞，12]上递增，则y ＝x －1－2x 在(－∞，12]上递增，故y ≤12－1－2×12＝12. 解法二：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0，且x ＝1－t 22.∴y ＝－12(t ＋1)2＋1≤12(t ≥0)， ∴y ∈(－∞，12]．(4)当x >1时，log 3x >0，故有y ≥2log 3x ·1log 3x－1＝1. 当且仅当log 3x ＝1log 3x，即log 3x ＝1，即x ＝3时等号成立． 当0<x <1时，log 3x <0，－log 3x >0∴y ＝log 3x ＋1log 3x －1＝－(－log 3x －1log 3x )－1≤－2(－log 3x )·(－1log 3x)－1＝－3. 当且仅当log 3x ＝1log 3x ，即x ＝13时等号成立， 综上可知，函数的值域为{y |y ≤－3或y ≥1}．14．(1)若函数y ＝lg(x 2－ax ＋9)的定义域为R ，求a 的范围及函数值域；(2)若函数y ＝lg(x 2－ax ＋9)的值域为R ，求a 的取值范围及定义域．解析：(1)函数的定义域为R .即x 2－ax ＋9>0恒成立，则△＝a 2－36<0恒成立，所以－6<a <6. 此时，x 2－ax ＋9＝(x －a 2)2＋9－a 24≥9－a 24， ∴a 的范围是(－6,6)，值域为[lg(9－a 24)，＋∞)． (2)函数的值域为R ，即真数x 2－ax ＋9必能取遍所有正数，二次函数g (x )＝x 2－ax ＋9的图象不可能全在x 轴上方，△＝a 2－36≥0，所以a ≥6或a ≤－6.由x 2－ax ＋9>0得x >a ＋a 2－362或x <a －a 2－362. 所以此函数的定义域为 (－∞，a －a 2－362)∪(a ＋a 2－362，＋∞)． 15．在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x (x ＞0)台的收入函数为R (x )＝3000x －20x 2(单位：元)，其成本函数为C (x )＝500x ＋4000(单位：元)，利润是收入与成本之差．(1)求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；(2)利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )是否具有相同的最大值？解析：(1)P (x )＝R (x )－C (x )＝(3000x －20x 2)－(500x ＋4000)＝－20x 2＋2500x －4000(x ∈[1,100]且x ∈N )．MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－20(x ＋1)2＋2500(x ＋1)－4000－(－20x 2＋2500x －4000)＝2480－40x (x ∈[1,100]且x ∈N )．(2)P (x )＝－20(x －1252)2＋74125， 当x ＝62或63时，P (x )max ＝74120(元)．因为MP (x )＝2480－40x 是减函数，所以当x ＝1时，MP (x )max ＝2440(元)．因此，利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )不具有相同的最大值．16．(2009·江苏南通中学模拟)设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|.(1)求函数f (x )的值域；(2)若关于x 的不等式f (x )≥a 2－3a －7在[0,5]上恒成立，试求a 的取值范围．解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －5，x <－123x －3，－12≤x ≤4x ＋5，x >4，作出其图象(如下图)，所以，函数f (x )的值域是[－92，＋∞)． (2)由图象可知，函数f (x )在[0,5]上的最小值为f (0)＝－3，由题意可知，f (0)≥a 2－3a －7，因此－1≤a ≤4.。

函数的值域与最值1. 值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.，反比例函数()0k y kx=≠的值域为{}0y R y ∈≠.指数函数()01xy aa a =>≠且的值域为{}0yy >.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R.2. 函数的最值对于函数()f x ，假定其定义域为A ，则2.1若存在0x A ∈，使得对于任意x A ∈，恒有()()0f x f x ≥成立，则称()0f x 是函数()f x 的最小值；2.2若存在0x A ∈，使得对于任意的x A ∈，恒有()()0f x f x ≤成立，则称()0f x 是函数()f x 的最大值.对于函数的最值应抓住如下两点：①是“任意的”，即对于定义域内的任意的x ，相应的不等式都成立；②是“存在性”，即在定义域中存在0x 似的等式成立.3.求函数值域（最值）的常用方法 3.1.基本函数法对于基本函数的值域可通过它的图像性质直接求解. 3.2配方法对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例：求函数的值域：y =解：设()2650x x μμ=---≥，则原函数可化为：y =.又因为()2265344x x x μ=---=-++≤，所以04μ≤≤，[]0,2，所以，y =的值域为[]0,2. 3.3换元法利用代数或三角换元，将所给函数转换成易求值域的函数，形如()1y fx =的函数，令()f x t =；形如,,,,0)y ax b a b c d ac =+±≠均为常数的函数，t =的结构的函数，可利用三角代换，令[]cos ,0,x a θθπ=∈，或令sin ,,22x a ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦.例：求函数的值域：y x =+解：设0,t =≥则21x t =-.所以原函数可化为()()2214250y t t t t =-+=--+≥，所以5y ≤.所以原函数的值域为(],5-∞.3.4不等式法利用基本不等式a b +≥，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用a b +≥0,0a b >>;②()a b ab +或为定值；③取等号成立的条件a b =.三个条件缺一不可. 例：求函数的值域：2211212x x y x x -+⎛⎫=>⎪-⎝⎭. 解：()212112111121212121222x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----11,022x x >∴->112122x x ∴-+≥=-当且仅当112122xx-=-时，即12x+=时等号成立，12y∴≥，所以元函数的值域为12⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭.3.5函数的单调性法确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性求出函数的值域，例如，()()0,0bf x ax a bx=+>>.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题. 3.6数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，如由1221y yx x--可联想到两点()11,x y与()22,x y连线的斜率.例：求函数的值域：14y x x=-++解：()()()23414541231x xy x x xx x--≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩5y∴≥∴函数的值域为：[)5,+∞.3.7函数的有界性法形如sin1sinxyx=+，可用y表示出sin x，再根据1sin1x-<≤，解关于y的不等式，可求y的取值范围.3.8导数法设()y f x=的导数为()f x'，由()0f x'=可求得极值点坐标，若函数定义域为[],a b，则最值必定为极值点或区间端点中函数值的最大值和最小值.3.9判别式法例：求函数的值域22221x xyx x-+=++解：210x x++>恒成立，∴函数的定义域为R.由22221x xyx x-+=++得()()22120y x y x y-+++-=。

课题函数教学目标函数的定义域、值域、最值以及解析式的求法重点、难点函数的最值以及解析式的求法考点及考试要求函数的最值以及解析式的求法教学内容（一）函数值域的概念：函数的值域就是我们通常说的y的范围，它是一个集合{y︱y=2x+1} 值域一定要与函数的定义域联系起来。

（二）函数的值域与最值的联系：注意：（三）常见函数的值域：考题8例1给出下列两个条件：（1）f (x +1)=x +2x ;(2)f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试分别求出f (x )的解析式. 解 （1）令t =x +1,∴t ≥1，x =（t -1）2.则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,即f (x )=x 2-1,x ∈［1，+∞).（2）设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),∴f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c ,则f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2.∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ，∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f (0)=3⇒c =3,∴f (x )=x 2-x +3. 例2（1）求函数f (x )=229)2(1x x x g --的定义域；（2）已知函数f (2x ）的定义域是［-1，1］，求f (log 2x )的定义域. 解 （1）要使函数有意义，则只需要：,3302,090222⎩⎨⎧<<-<>⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x x 或即解得-3＜x ＜0或2＜x ＜3.故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3).(2)∵y =f (2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21≤2x≤2. ∴函数y =f (log 2x )中21≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤4.故函数f (log 2x )的定义域为［2，4］1.（1）已知f （12+x）=lg x ，求f （x ）；（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）-2f （x -1）=2x +17，求f （x ）； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.解 (1)令x 2+1=t ，则x =12-t ， ∴f （t ）=lg 12-t ，∴f （x ）=lg 12-x ,x ∈(1,+∞). （2）设f （x ）=ax +b ，则3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17， ∴a =2，b =7，故f （x ）=2x +7. （3）2f （x ）+f （x1）=3x ，①把①中的x 换成x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x3②①×2-②得3f （x ）=6x -x 3，∴f （x ）=2x -x1. 2. 求下列函数的定义域： （1）y =2)3(log 2+-x x +(2x -3)0;(2)y =log (2x +1)(32-4x ).解 （1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠->+>-.3log 2,303202032x ，x x x x x ，得∴定义域为（-2，log 23）∪(log 23,3).(2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-><⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+>+>-021,25,1120120432x ，x x x x x 得∴定义域为（-21,0）∪（0,25）.例1给出下列两个条件：（1）f (x +1)=x +2x ;(2)f (x )为二次函数且f (0)=3,f (x +2)-f (x )=4x +2.试分别求出f (x )的解析式. 解 （1）令t =x +1,∴t ≥1，x =（t -1）2.则f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-1,即f (x )=x 2-1,x ∈［+∞). （2）设f (x )=ax 2+bx +c(a ≠0),∴f (x +2)=a (x +2)2+b (x +2)+c ,f (x +2)-f (x )=4ax +4a +2b =4x +2.∴⎩⎨⎧=+=22444b a a ，∴⎩⎨⎧-==11b a ，又f (0)=3⇒c =3,∴f (x )=x 2-x +3. 例2（1）求函数f (x )=229)2(1xx xg --的定义域；（2）已知函数f (2x ）的定义域是［-1，1］，求f (log 2x )的定义域. 解 （1）要使函数有意义，则只需要：,3302,090222⎩⎨⎧<<-<>⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x x 或即解得-3＜x ＜0或2＜x ＜3.故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3).(2)∵y =f (2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21≤2x≤2. ∴函数y =f (log 2x )中21≤log 2x ≤2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤4.故函数f (log 2x )的定义域为［2，4］例4 已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,1,0,2x xx x x（1）画出函数的图象；（2）求f (1),f (-1),f ［f (-1)］的值. 解 （1）分别作出f (x )在x ＞0,x =0, x ＜0段上 的图象，如图所示，作法略. （2）f (1)=12=1,f (-1)=-11- =1,f ［f （-1）］=f （1）=1.1.（1）已知f （12+x）=lg x ，求f （x ）；（2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）-2f （x -1）=2x +17，求f （x ）； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x1）=3x ，求f （x ）.解 (1)令x 2+1=t ，则x =12-t ， ∴f （t ）=lg 12-t ，∴f （x ）=lg 12-x ,x ∈(1,+∞). （2）设f （x ）=ax +b ，则3f （x +1）-2f （x -1）=3ax +3a +3b -2ax +2a -2b =ax +b +5a =2x +17， ∴a =2，b =7，故f （x ）=2x +7. （3）2f （x ）+f （x1）=3x①把①中的x 换成x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x3②①×2-②得3f （x ）=6x -x 3，∴f （x ）=2x -x1. 2. 求下列函数的定义域：（1）y =2)3(log 2+-x x +(2x -3)0;(2)y =log (2x +1)(32-4x ).解 （1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-><⎪⎩⎪⎨⎧≠->+>-.3log 2,303202032x ，x x x x x ，得∴定义域为（-2，log 23）∪(log 23,3).(2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-><⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+>+>-021,25,1120120432x ，x x x x x 得∴定义域为（-21,0）∪（0,25）. 一、填空题1.设函数f 1(x )=x 21,f 2(x )=x -1,f 3(x )=x 2,则[]))0072((123f f f = .答案 007212.（2008·安徽文，13）函数f (x )=)1(log 1|21|2---x 的定义域为 .答案 []+∞,3 3.若f (x )=⎩⎨⎧≥<+)6(log )6()3(2x xx x f ,则f (-1)的值为 .答案 3 4.已知f (2211)11xx x x +-=+-，则f(x )的解析式为 . 答案 f (x )=212x x +5.函数f (x )=xx -132 +lg(3x +1)的定义域是 .答案 （-31，1） 6.(2008·陕西理，11)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy (x ,y ∈R ),f (1)=则f (-3)= . 答案 68.已知函数ϕ (x )=f (x )+g (x ),其中f (x )是x 的正比例函数,g (x )是x 的反比例函数，且ϕ（=16, ϕ (1)=8,则ϕ(x )= .答案 3x +x 5二、解答题9.求函数f (x )=21)|lg(|x x x --的定义域.解 由,11010||2⎩⎨⎧<<-<⎪⎩⎪⎨⎧>->-x x x x x ，得 ∴-1＜x ＜0. ∴函数f (x )=21)|lg(|xx x --的定义域为（-1,0）.10．（1）设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足f (0)=1,且对任意实数a 、,f (a -b )=f (a )-b (2a -b +1),求f (x );（2）函数f (x ) (x ∈(-1,1))满足2f (x )-f (-x )=lg(x +1),求f (x ). 解 （1）依题意令a =b =x ,则 f (x -x )=f (x )-x (2x -x +1), 即f (0)=f (x )-x 2-x , 而f (0)=1,∴f (x )=x 2+x +1. （2）以-x 代x ,依题意有 ①2f (-x )-f (x )=lg(1-x ) ②2f (x )-f (-x )=lg(1+x )两式联立消去f (-x )得 3f (x )=lg(1-x )+2lg(1+x ),∴f (x )=31lg(1+x -x 2-x 3)(-1＜x ＜1).。

玩转函数第三招第3招：函数的值域和最值一、确定函数的值域的原则1、当数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合。

2、当函数y=f(x)图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合。

3、当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。

常见函数的值域：4、当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

二、求函数值域的方法11种：1、直接观察法，一般要用到210000xx x≥≥≥≠【例1】求函数1y x=【例2】求函数3y =的值域【例3】（陕西文）函数f(x)=11+x 2(x ∈R)的值域是( )A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]2、配方法（形如y=ax 2+bx+c(a≠0)的函数常用配方法求函数的值域，要注意x 的取值范围。

）二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域；（2）当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a axx f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___；（3）已知()3(24)x bf x x -=≤≤的图象过点（2,1），则1212()[()]()F x f x fx --=-的值域为______3、判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：①2b y k x=+型，可直接用不等式性质，如求232y x=+的值域②2bx y x m x n=++型，先化简，再用均值不等式，如（1）求21x y x=+的值域（2）求函数3y x =+（3）设2()()1ax b f x x R x +=∈+的值域为[-1，4]，求a,b 的值③22x m x n y x mx n''++=++型，通常用判别式法； 如已知函数2328log 1mx x ny x ++=+的定义域为R ，值域为[0，2]，求常数,m n 的值如求函数2231x x y x x -+=-+的值域④2x m x n y mx n ''++=+型，可用判别式法或均值不等式法，如求211x x y x ++=+的值域说明：利用判别式法求函数的值域，一是方程二次项系数为0的情形要特别讨论；二是要看函数的定义域是否满足x ∈R 。

第2讲函数之三：函数的值域（最⼤值与最⼩值）第2讲函数之三：函数的值域(函数的最⼤值或最⼩值)1．⼆次函数配⽅法：例1．求函数]3,0[,232∈-+=x x x y 时的最⼤值和最⼩值。

解：4)1(3222+--=++-=x x x y∴]1,(-∞∈x 时为增函数,],1(+∞∈x 时为减函数 ]3,0[∈x ， f （3）当4,1max ==y x 时例2．求函数98212+-=x x y 的最⼤值解：令1)2(298222+-=+-=x x x u∴u ≥1 ∴01≤1 ∴0例3．设]1,1[-∈x ，求函数)(32R a ax x y ∈+-=的最⼤值和最⼩值解：43)2(3222a a x ax x y -+-=+-=1）2a>1 ，即a >2当a y x +=-=4,1max 时; 当a y x -==4,1min 时2）2a<-1 ，即a <-2当a y x -==4,1max 时; 当a y x +=-=4,1min 时3）-1≤2a≤0 ，即-2≤a ≤0当=x 2a 时，432min a y -=;当a y x -==4,1max 时4）0<当=x 2a 时，432min a y -=;当a y x +=-=4,1min 时例4．某商店如将进货单价为8元的商品，按每件10元出售，每天可销售50件，现采⽤提⾼该商品售价，减少货量的办法，增加利润。

已知该商品每提⾼1元，其销售量减少5件，问每件价格多少，才能使每天销售所得利润最⼤？并求最⼤值。

解：设利润为y ，每件价格为x 元)8)](10(550[---=x x y )8)(1005(-+-=x x180)19628(52++--=x 180)14(52+--=x∴当x =14时，最⼤利润为180元。

2．利⽤函数单调性例1．求函数x x y --=13的值域解：定义域1-x ≥0 ，x ≤1在(]1,∞-∈x 时，是增函数∴y ≤3∴值域为(]3,∞-(注：本题还可以⽤换元法。

函数的值域与最值●知识点归纳一、相关概念 1、值域：函数A x x f y ∈=，)(，我们把函数值的集合{|(),}y y f x x A =∈称为这个函数的值域。

2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。

事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。

因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。

最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。

记作()max 0y f x =最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。

那么，称M 是函数y =f (x )的最小值。

记作()min 0y f x = 注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ；② 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。

二、基本函数的值域一次函数）（0≠+=a b kx y 的定义域为R ，值域为R ； 二次函数）（02≠++=a c bx ax y 的定义域为R ，；当]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时反比例函数)0(≠=k xk y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为}0/{≠y y ；数函数)10(≠>=a a a y x且的值域为}0/{>y y ； 对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ； 正、余弦:函数的值域][1,1-；正、余切函数 2k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。

第三讲函数的单调性与最值知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一函数的单调性1．单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1〈x2时，都有__f（x1）〈f(x2）__，那么就说函数f(x）在区间D上是增函数当x1〈x2时,都有__f(x1）>f(x2）__，那么就说函数f（x）在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是__上升的__自左向右看图象是__下降的__2。

单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是__增函数或减函数__,那么就说函数y＝f（x)在这一区间具有(严格的)单调性，__区间D__叫做函数y＝f（x)的单调区间．知识点二函数的最值1．复合函数的单调性函数y＝f（u)，u＝φ(x)，在函数y＝f[φ(x)］的定义域上，如果y＝f(u），u＝φ（x）的单调性相同，则y＝f[φ（x）］单调递增；如果y＝f(u），u＝φ（x)的单调性相反，则y＝f[φ(x）]单调递减．2．单调性定义的等价形式设任意x1，x2∈[a，b］，x1≠x2。

(1)若有(x1－x2)[f（x1)－f(x2）]〉0或错误!〉0，则f（x）在闭区间［a，b］上是增函数．（2）若有（x1－x2)[f（x1)－f(x2）]<0或错误!〈0，则f(x)在闭区间［a，b]上是减函数．3．函数单调性的常用结论(1)若f(x)，g(x）均为区间A上的增（减)函数，则f(x)＋g（x)也是区间A上的增（减）函数．(2）若k〉0，则kf(x)与f（x)单调性相同,若k<0,则kf（x)与f(x)单调性相反．（3）函数y＝f（x）（f(x）>0)在公共定义域内与y＝－f（x)，y＝错误!的单调性相反．（4）函数y＝f(x)(f（x)≥0）在公共定义域内与y＝错误!的单调性相同．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1）若定义在R上的函数f（x)，有f（－1）〈f(3)，则函数f(x）在R上为增函数．(×）(2)函数y＝f（x）在[1，＋∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3）函数y＝错误!的单调递减区间是(－∞，0）∪(0，＋∞)．(×)（4)对于任意两个函数值f(x1)、f（x2），当f（x1)〉f(x2)时都有x1〉x2，则y＝f(x）为增函数．(×）（5）已知函数y＝f（x)是增函数，则函数y＝f（－x)与y＝错误!都是减函数．(×)[解析]（1）函数的单调性体现了任意性，即对于单调区间上的任意两个自变量值x1，x2，均有f(x1)<f(x2)或f(x1)〉f（x2），而不是区间上的两个特殊值．（2)单调区间是定义域的子区间，如y＝x在[1,＋∞)上是增函数,但它的单调递增区间是R，而不是[1，＋∞)．(3)多个单调区间不能用“∪”符号连接，而应用“，”或“和”连接．（4)设f（x)＝错误!，如图．当f（x1)〉f（x2)时都有x1〉x2，但y＝f(x)不是增函数．（5）当f(x）＝x时，y＝错误!＝错误!，有两个减区间，但y＝错误!并不是减函数,而y＝f(－x）是由y＝f(t）与t＝－x复合而成是减函数．题组二走进教材2．(必修1P32T3改编）设定义在[－1，7]上的函数y＝f(x）的图象如图所示，则函数y＝f(x）的增区间为__[－1,1]和［5，7]__.3．(必修1P44AT9改编）函数y＝（2m－1）x＋b在R上是减函数,则m的取值范围是__m〈12__。

函数的值域与最值知识梳理求函数的值域和求函数的最值实质上是同一问题，只是答题的方式有所差异，因此求函数值域的方法，也是求函数的最值的方法。

求函数值域（最值）的常用方法：(1)配方法：主要适用于可化为二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的范围；(2)判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=的函数()y f x =．由0∆≥且()0a y ≠，求得y 的范围或最值(若求最值在求出y 的值后，要检验这个y 值在定义域内是否有相应的x 的值;若是求值域应判断()0a y =时的x 值是否在函数的定义域内)；(3)不等式法：利用基本不等式求值域（最值）时一定要注意等号成立的条件；(4)换元法：运用代数或三角代换将所给函数转化为容易确定值域（最值）的另一函数，从而求得原来函数的值域。

用换元法时一定要注意新变元的取值范围；(5)数形结合法：对于图形较容易画出的函数的值域（最值）问题可借助图象直观求出； (6)单调性法：利用函数的单调性确定函数值域（最值），特别是闭区间上函数的值域（最值）． (7)利用函数有界性.借助于某些函数(如三角函数、指数函数等)的有界性求另一些函数的值域.1 具体函数值域（最值） 具体函数值域（最值）的求法主要是根据不同类型,采用适当的方法求解.在求值域的过程中应特别注意函数的定义域对函数值域的制约作用。

【例题1】 求下列函数的值域：（1）232y x x =-+； （2）312x y x +=-； （3）y x =+（4）|1||4|y x x =-++； （5）22221x x y x x -+=++；（6）2211()212x x y x x -+=>-. 【分析】根据不同的类型采有不同的方法.【答案】（1）（配方法）2212323323()61212y x x x =-+=-+≥Q ，∴232y x x =-+的值域为23[,)12+∞． （2）（法一）反函数法：312x y x +=-的反函数为213x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠，∴原函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠．（法二）分离变量法：313(2)773222x x y x x x +-+===+---，∵702x ≠-，∴7332x +≠-，∴函数312x y x +=-的值域为{|3}y R y ∈≠．（3）换元法（代数换元法）：设0t =≥，则21x t =-，∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤， ∴原函数值域为(,5]-∞．（4）数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩，∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞．（5）判别式法：∵210x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R ．由22221x x y x x -+=++得：2(2)(1)20y x y x y -+++-= ①①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根， ∴22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥V ，∴15y ≤≤且2y ≠，∴原函数的值域为[1,5]．（6）2121(21)111121212121222x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----，∵12x >，∴102x ->，∴112122x x -+≥=-，当且仅当112122x x -=-时，即12x =时等号成立．∴12y ≥，∴原函数的值域为1,)2+∞．【点评】说明：形如y ax b =++2y ax b =+用代数换元法2 复合函数值域复合函数求值域是一个难点，对于复合函数求值域问题应注意握两点：一、复合函数的定义域；二、复合函数的单调性。

关于函数值域与最值问题的求法摘要：关于函数的值域与最值的求法，是高中数学教学中的一个难点，也是一个重点。

在现行高中教材中没有专门安排有关内容作出介绍，但在高中数学教学中、练习、习题中，乃至高中毕业会考题中、高考题中，却处处可遇到求函数值域与最值的问题。

因此，我们有必要对求函数的值域与最值的方法作出充分的归纳与认识。

本文就高中数学的要求，对常见的一些方法作出下列归纳与介绍。

关键词：函数的值域，函数的最值，方法。

函数的值域与最值是两个不同的概念，一般说来，求出了一个函数的最值，未必能确定该函数的值域，反之，一个函数的值域被确定，这个函数也未必有最大值或最小值。

但是，在许多常见的函数中，函数的值域与最值的求法是相通的、类似的。

关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，但是有许多方法是类似的，归纳起来，常用的方法有：⑴配方法；⑵反函数法；⑶判别式法；⑷换元法（含式代换、三角代换等）；⑸单调性法；⑹不等式法；⑺数形结合法等。

下面就这些方法逐一说明它们的运用。

⒈配方法利用二次函数的有关性质、图象作出分析，特别是求某一给定区间的最值与值域。

此方法一般可解决形如y = a [f(x)]2 + b f(x) + c (a≠0)的函数的值域与最值。

例1、求函数y = x2 - 6x + 2的值域。

解法一：∵y = x2 - 6x + 2＝( x - 3)2－7又∵( x - 3)2≥0∴( x - 3)2－7≥－7∴函数的值域是［－7，＋∞）＃这里用到了配方法求函数的值域。

解法二：二次函数y = x2 - 6x + 2是对称轴为x = 3，开口向上的抛物线，故当x = 3时，函数有最小值f(3)＝－7。

∴函数的值域是［－7，＋∞）＃这里运用了二次函数的图象和性质求值域。

一般地，求一次、二次函数的值域与最值，还要考虑它们的定义域。

例如，在例1中将题目改为：y = sin2x - 6sinx + 2，则函数的值域就不是［－7，＋∞）了。

课题：2.3函数值域与最值（复习教案）一、知识点：（一）确定函数值域的因素：函数的值域是由函数的定义域和对应法则确定的。

注意：求函数的值域不要忽视了函数的定义域，一般，求函数值域先求函数的定义域。

（二）基本初等函数的值域：1、一次函数y=kx+b （k ≠0）的值域为R ；2、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的值域：当a ＞0时，值域为[ab ac 442-，﹢∞）；当a ＜0时，值域为（-∞，ab ac 442-]。

3、反比列函数y=xk（k ≠0，x ≠0）的值域为：{y|y ≠0，y ∈R}4、指数函数y=a x （a ＞0且a ≠1）的值域为：R +5、对数函数y=㏒a x （a ＞0，且a ≠1）的值域R6、正、余弦函数的值域为：[-1，+1]，正、余切函数的值域为R 二、求函数值域的常用方法：1、利用基本初等函数值域求一些简单的复合函数的值域例1、求函数y=log 21（x 2-6x+17）的值域。

解法1：设u= x 2-6x+17，则y=log 21u 由x 2-6x+17＞0得函数y 的定义域为R函数u 的在（-∞，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，当8≥u 时函数y=log 21u 在R 上是关于u 的减函数 所以函数y=log 21（x 2-6x+17），在（-∞，3）上是关于x 的增函数，在（3，+∞）上是关于x 的减函数。

y max =f （3）=log 218=-3 所以函数的值域为（-∞，-3]解法2：设u= x 2-6x+178≥，则y=log 21u （8≥u ） 求复合函数的值域等价于求外层函数的值域，由于y=log 21u （8≥u ）为减函数，因此8=u 时函数取得最大值3m ax -=y ，故函数y=log 21u （8≥u ）的值域为（-∞，-3]，即所求函数的值域为（-∞，-3]2、配方法----常用于二次函数或准二次函数 例2、求函数y=3x 2-6x+5（x ＜-2）的值域。