《二次函数的图象与性质(1)》导学案1

6.2 二次函数的图象和性质 (1)学习目标：1.通过本节课的学习，掌握二次函数y=ax2的图象的画法，初步了解二次函数y=ax2图象的特征。

2.通过本节课的学习，经历画二次函数y=ax2图象的过程、经历初步探索二次函数y=ax2图象的特征的过程，进一步掌握研究函数图象与特征的方法——类比、数形结合。

3.通过本课的学习，感受抛物线的数学美，培养学生细心、严谨的学习态度。

学习重点：1. 二次函数y=ax2的图象的画法；2. 初步探索二次函数y=ax2图象的特征。

学习难点：1.比较准确的画出二次函数y=ax2的图象；2.二次函数y=ax2图象特征的初步探索。

学习过程：一、知识回顾1. 研究函数的一般步骤是什么？2. 什么是二次函数？最简单的二次函数是什么？3. 画出反比例函数6yx=的图象。

解：(1)列表(2)描点、连线二、探索活动。

1. (1) 用描点法画出二次函数y=x 2的图象。

解：①列表 ②描点、连线问题观察二次函数y=x 2的图象的特征？2. 画出二次函数y=-x 2的图象。

解：(1)列表 (2)描点、连线问题1：二次函数y=-x 2的图象像什么图形？问题2：二次函数y=x 2与y=-x 2的图象有什么共同特征？问题3：什么是抛物线的顶点？三、巩固练习1. 在直角坐标系中，分别画出下列函数的图象。

(1)212y x =(2) 22y x =- 解：列表解：列表(2)描点、连线 (2)描点、连线2. 根据第1题回答下列问题： (1)二次函数212y x =的图象是 ，对称轴是 ，有 (填“最高点”或“最低点”)，坐标是 ；对称轴左边的部分，从左向右看，是 的。

(填“上升”或“下降”) (2)二次函数22y x =-的图象开口向 (填“上”或“下”)，向下 (填“无限延伸”或“不延伸”)，顶点坐标是 ；对称轴左边的部分，从左向右看，是 的。

(填“上升”或“下降”)(3)若点(m,n)在二次函数22y x =-的图象上，则点( ,n)也在它的图象上。

22.1.4二次函数y = ax2+ bx+ c的图象与性质第一课时一、教学目标（一）学习目标1. 会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象.2. 会用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性及最大或最小值.3•经历探索二次函数y = ax2+ bx + c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y= ax2+ bx+ c的性质.4.能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想.（二）学习重点用描点法画出二次函数y= ax2+ bx+ c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标及其性质。

（三）学习难点理解二次函数y = ax2+ bx + c（a^0）的图象和性质，会利用二次函数的图象性质解决简单的实际问题.二、教学设计（一）课前设计11•预习任务(1) 二次函数y=a(x-h)1 2+k 的顶点坐标是(hk)，对称轴 是x=h ,当a>0时，开口 向上，此时二次函数有最小值，当 x >h 时，y 随X 的增大而增大，当x <h 时， y 随x 的增大而减小；当a<0时，开口向下，此时二次函数有最大值，当 x <h时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小.(2) 用配方法将y=ax 2+bx+c 化成y=a(x-h)2+k 的形式为 2值，当a>0时，函数y 有最小值，当a<0时，函数y 有最大值. 2.预习自测(1)抛物线y = 2x 2 — 2x -1的开口 __________ ，对称轴是 _________ 【知识点】二次函数的性质.【解题过程】解：抛物线y = 2x 2 — 2x — 1，v 2>0,二开口向上，对称轴为:b -21 — — — ・2a 2 22【思路点拨】掌握二次函数的性质，正确记忆抛物线对称轴公式是解题关键. 【答案】向上，x =丄2(2)抛物线y = x 2 — 2x + 2的顶点坐标是 _________. 【知识点】二次函数的性质.【解题过程】解：将y = x 2— 2x + 2配方得y=(x-1)2，1，顶点坐标是(1，1) 【思路点拨】将抛物线的一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特” 2 2b j 4ac —b 2 y = a lxV 2a 丿 4a4ac * .则二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标是(-—, 2a4a 2a则h=-A，k=4ac_b )，对称轴是x=-—，当x=-A时，二次函数y=ax2+bx+c有最大(最小) 4a 2a2a点，直接写出顶点坐标.【答案】（1,1）（3）________________________________ 二次函数y = -x2+ 2x+ 1的最是.2【知识点】二次函数的最值.【解题过程】解：将y =丄x2+ 2x+ 1配方得y J（x，2）2_1 , v ->0,.••其最2 2 2小值是-1.【思路点拨】把二次函数的解析式整理成顶点式形式，然后确定出最大值.【答案】小，-1（4）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①4ac v b2;②a+c>b;③2a+b> 0.其中正确的有（）A.①② B .①③ C.②③ D .①②③【知识点】二次函数图象与系数的关系.【思路点拨】根据抛物线与x轴有两个交点即可判断①正确，根据x=- 1,y v0, 即可判断②错误，根据对称轴x> 1,即可判断③正确，由此可以作出判断.【解题过程】解：v抛物线与x轴有两个交点，•••△ > 0,b2- 4ac> 0,••• 4ac v b2，故①正确，v x= - 1 时，y v 0,••• a- b+c v0,• a+c v b,故②错误,•••对称轴x> 1, a v 0,• - b v 2a,• 2a+b> 0,故③正确.故选B.【答案】B(二) 课堂设计i. 知识回顾(1)二次函数y = a(x -h)2• k(a严0)的图象性质:(h)左加右减，(k)上加下减2•问题探究探究一从旧知识过渡到新知识•活动①复习配方2 2 2 2填空.(1)x +4x+9=(x+ ) + .(2)X 一5x + 8 = (x- ) +生答：(1) 2, 5; (2)-,-2 4总结规律：当二次项的系数为1时，常数项须配一次项系数一半的平方.【设计意图】复习配方，为新课作准备•活动②以旧引新1. 二次函数y = a(x—h)2+ k的图象，可以由函数y= ax2的图象先向 ________ 平移 ________单位，再向___________ 移__________ 单位得到.生答：左或右，|h，上或下，|k2. 二次函数y = a(x—h)2+ k的图象的开口方向 _______ ，对称轴是，顶点坐标是 ________ .生答：a>0，向上；a<0，向下x=h (h，k)3. 二次函数y= 2x2—6x + 21,你能很容易地说出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？1 2点拨:先将y= 2x —6x+ 21配方，再得出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象，由此引出新课【设计意图】整合旧知，引出新课探究二用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴★ ▲ •活动①合作探究1 2例1：画函数y=?x -6x 21的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.2分析：首先要用配方法将函数写成y=a(x-h) k的形式；然后，确定函数图象的开口方向、对称轴与顶点坐标；接下来，利用函数的对称性列表、描点、连线.1 2解：y=2x —6x+ 21=1(x2—12x+ 42)=1(x2—12x+ 36—36+ 42)=1(x2—12x+ 36+ 6)=1(x2—12x+ 36) + 3=*(x —6)2+ 3.画图略，所以它的开口向上，对称轴是x=6，顶点坐标是(6，3)归纳:一般式化为顶点式的思路：(1)二次项系数化为1; (2)加、减一次项系数一半的平方；(3)写成平方的形式.【设计意图】引导学生利用配方法，求抛物线的对称轴和顶点坐标，并由此作抛物线。

《二次函数的图象与性质（第一课时）》教学内容：二次函数的图象与性质（第一课时）授课教师：管城外国语学校孙祺臻一、教材分析本节课内容是在学生已经学习过的一次函数、反比例函数的图象与性质，以及二次函数的有关概念的基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，又是对前面所学一次函数、反比例函数图象与性质的一次升华，还是今后学习的基础，在教材中起着非常重要的作用。

二、教学目标1、能做出二次函数y=ax2的图象，理解抛物线有关的概念；2、使学生经历，探索二次函数图象性质的过程，掌握该函数的性质，并获得利用图象研究函数性质的经验，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维；3、通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，进一步发展学生演绎推理能力和发散思维。

三、教学过程环节一、复习回顾今天我们来学习二次函数的图象与性质，首先复习二次函数的概念（1）二次函数的概念：一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x 的二次函数。

（2）画函数图象的一般步骤为：列表、描点、连线今天我们就来研究二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质环节二、探究新知--------------二次函数y=x2的图象与性质在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化的规律是什么？我们想直观地了解它的性质，那么，首先我们要先尝试画出二次函数y=x2的图象。

请同学们自己独立动手操作，画出图象，研究性质1、二次函数y=x2的图象与性质函数图象的画法：（1）列表（2）描点（3）连线（1）形状（你能描述图象的形状吗？）（开口向上）（2）对称轴（通过图象你能直观地得到函数的哪些性质呢？）（3）增减性（4）顶点坐标（5）函数的最值（板书制作表格，以便学生填空）（独立完成，认真分析，标记好自己的疑难问题，以便讨论探究，5min 时间后小组进行讨论交流，并提问）注意：学生回答不完善时提醒补充2、二次函数y=-x2的图象是什么？在同一直角坐标系中画出它的图象.对比两个函数y=x2与y=-x2的表达式和图象性质，有什么相同和不同？若把函数y=x2与y=-x2的图象画在同一平面直角坐标系中，则两图象既关于x轴对称成轴对称，又关于原点成中心对称.总结：关系式中a的正负号，改变了图象的开口方向，从而导致了增减性和最值的变化即a的正负决定了开口方向。

2016-2017学年第一学期龙岩初级中学九年级数学公开课教案课题：22.1.2二次函数2axy=的图象和性质授课时间：2016.9.27授课班级：九年级五班授课老师：龙岩初级中学陈盛教学目标：知识与技能：1.了解抛物线的概念。

2.经历探索研究，能够说出二次函数2axy=的图象特征和性质。

3.运用其性质解决简单的实际问题。

过程与方法：通过观察图像，类比一次函数图象性质的探索过程，推测出二次函数2axy=图象特征和性质，运用数形结合的思想解决简单实际问题。

情感态度与价值观：培养学生独立思考的探究精神，让学生体会数学与生活的联系，了解数学的价值。

教学重难点：二次函数2axy=的性质，能够根据a的大小关系得出图象性质，能够根据图象性质得出a的大小关系。

教学过程：一、创设情境，引出新知【题目】：将下列二次函数适当的分为两类，并说出分类理由。

2222222;;21;2;;21xyxyxyxyxyxy-=-=-====【画图展示】：随机选取学生作业，投影展示，引出抛物线概念。

二、探索研究，归纳新知【题目】：2222;;21xyxyxy===这三个函数有什么共同点和不同点？【师生活动】：学生交流自己的观点，并让其他学生进行必要补充。

【教师板书归纳】：a的大小：a>0.图象开口方向：向上顶点坐标：（0，0）对称轴：y轴增减性：对称轴左侧，y随x的增大而减小；对称轴右侧，y随x的增大而增大最值：当x=0时，y=0最小值【题目】：2222;;21xyxyxy-=-=-=这三个函数有什么共同点和不同点？【师生活动】：学生交流自己的观点，并让其他学生进行必要补充。

【教师板书学生归纳】：a的大小：图象开口方向：顶点坐标：对称轴：增减性：最值：【题目】：对比抛物线，2xy=和2xy-=它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线2axy=和2axy-=呢？【师生总结】：在同一坐标系内,抛物线2axy=与抛物线2axy-=是关于x轴对称的.三、巩固训练1、函数y=4x 2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ;2、函数y=－3x 2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ___3、函数y= x 2的图象的开口 ,对称轴是 ,顶点是 ;4、函数y= －0.2x 2的图象的开口 ,对称轴是___,顶点是 ;5、(1)抛物线y=2x 2的顶点坐标是 ,对称轴是 ，在侧，y 随着x 的增大而增大；在 侧，y 随着x 的增大而减小， 当x= 时，函数y 的值最小，最小值是 ,抛物线y=2x 2在x 轴的 方（除顶点外)（2）抛物线 232x y -=在x 轴的 方（除顶点外），当 x 〈 0 时，y 随着x的 ；当 x 〉0 时，y 随着x 的 ，当 x = 0 时，函数y 的 值最大，最大值是 ，当 x 0 时，y<0.6、若抛物线26x y -=上点P 的坐标为(2，a)，则抛物线上与P 点对称的点P’的坐标为 。

5.4 二次函数的图象和性质（1）教学目标1．能用描点法画函数y＝x2图象．2．能画y＝－x2图象，并说出它与y＝x2图象的共同特征．教学重点1．能用描点法画函数y＝x2图象．2．能作出函数y＝－x2图象，并说出它与y＝x2图象的共同特征．教学难点用描点法画函数y＝x2图象，理解它与y＝－x2图象的共同特征．教学过程（教师）学生活动设计思路创设情境说一说1．画函数图象步骤：列表、描点、连线．2．研究函数性质方法：数形结合．3．猜想二次函数图象是怎样的？学生回顾画函数图象步骤，研究函数性质方法，并猜想二次函数图象形状．通过回顾已学知识，为二次函数图象与性质的学习打下基础．探索活动活动1．想一想．根据二次函数y＝x²表达式，你能描述它的图象有什么特征吗？学生根据函数y＝x²表达式描述它的图象有什么特征．通过列表、描点、连线画y＝x2图象，让学生经历作图、观察、交流、思考这一过程，感受图象是一个叫“抛物线”的图象．活动2．画一画．在平面直角坐标系中，用描点法画出二次函数y＝x²的图象．思考：列表选取哪些点？为什么？画一画．类似地，在平面直角坐标系中，画出二次函数y＝－x²的图象．议一议．函数y＝x²的图象与函数y＝－x²的图象有什么共同特征？（小组交流）抛物线：二次函数y＝x²、y＝－x²的图象都关于y 轴对称的曲线，称为抛物线．顶点：抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．1．学生通过列表、描点、连线画y＝x2的图象．2．学生通过列表、描点、连线画y＝－x2的图象．3．学生交流函数y＝x²的图象与函数y＝－x²的图象有什么共同特征．x ．．．-3 -2 -1 0 1 2 3 ．．．y＝x²．．．9 4 1 014 9．．．x ．．．-3 -2 -1 0 1 2 3 ．．．y＝-x²．．．-9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ．．．通过画函数y＝－x2图象以及总结其特征再次让学生经历二次函数图象的形成过程．。

27.2.1《二次函数y=ax 2的图象与性质》导学案学习目标：1、会用描点法画出二次函数y=ax 2 的图象；2、根据对特殊函数图象的观察，归纳得出二次函数y=ax 2的性质；3、进一步理解二次函数和抛物线的有关知识，并能解决一些简单的应用问题；4、领悟数形结合的数学思想方法，培养观察能力、分析能力和归纳能力； 学习重点：根据特殊二次函数图象，观察、分析、归纳出二次函数的性质； 学习难点：用数形结合的方法归纳二次函数的性质。

学习过程：一、尝试题一：（学生尝试自主完成以下题目：）1. 请回忆正比例函数、一次函数和反比例函数的图象，它们分别是什么形状？（ 、 ）我们是用怎样的方法得出这些图象的？用描点法画图象有哪些步骤？（ 、 、 ）2.下面是一次函数2y x =-的图象，根据图象，你能看出函数的哪些性质？3.我们已经知道了二次函数的一般形式 是 ，接下来我们仿照前面研究函数图象的方法来研究二次函数的图象。

请仿照前面画函数图象的方法画出函数22122y x y x ==与的图象.①自变量x 的取值范围是什么？②要画这个图，你认为x 取整数还是取其他数较好？ ③若选7个点画图，你准备怎样选？(1)212y x =(2)22y x =4(问题详见课本)5.总结y ＝ax 2﹙a ＞0﹚的图像及性质：二、尝试题二：1..画出函数2y x =-的图象 列表：2.从函数图象入手，再次总结二次函数y ＝ax 2﹙a ＜0﹚的性质 2填空题:1.抛物线y =2x 2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,y 随着x 的增大而增大；在 侧,y 随着x 的增大而减小,当x = 时,函数y 的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x 2在x 轴的 方(除顶点外).2.抛物线223y x =-位置在x 轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y 随着x 的 ；在对称轴的右侧,y 随着x 的 ,当x=0时,函数y 的值最大,最大值是 ,当x 0时,y<0. 3.已知二次函数①y=-x 2; ②y=15x 2;③y=-4x 2;④y=- x 2;⑤y=4x 2. (1)其中开口向上的有_______(填题号)；(2)其中开口向下且开口最大的是________(填题号)；(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后渐变小的有________ 五、学后反思:1.通过本节课学习，我的收获是： ;2.我感到疑惑的是： ; 作业：P 7练习第1，2题。

mm xm y -+=2)1(二次函数——导学案一、学习目标：1、理解并掌握二次函数的概念；2、会用描点法和平移法画出二次函数2ax y =的图象；3、结合图像归纳并记住二次函数2ax y =性质；二、学前准备 （一）梳理知识点1、概念：二次函数：我们把形如 (其中a,b,c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数。

其中：ax 2叫做 ，a ，bx 叫做 ;b 为 ;c 为2、思考：（1）“一元二次方程”和“二次函数”在形式上有什么异同？ （2）二次函数y=ax²+bx+c(其中a,b,c 是常数，a ≠0)中，为什么要规定a ≠0，b 和c 是否可以为零？（3）二次函数y=ax²+bx+c(其中a,b,c 是常数，a ≠0) 当a,b,c 满足什么条件时(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ 3、下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3x 3+2x 2; (2)y=2x 2-2x+1; (3)y=x 2-x(1+x); (4)y=x -2+x. (5)y ＝(x ＋2)(2-x) (6) 652++=x x y (7)12312++=x x y 4、说出下列二次函数的二次项系数a ，一次项系数b 和常数项c ． (1)y=x 2中a= ,b= ,c= ; (2)y=5x 2+2x 中a= ,b= ,c= ; (3)y=(2x-1)2中a= ,b= ,c= ;例1: 关于x 的函数是二次函数求m 的值.（一） 自主探究：利用描点法画二次函数2x y =、221x y =和22x y =的图像。

注意：列表时自变量取值要均匀和对称。

练习：画二次函数2x y -=、221x y -=和22x y -=的图像。

… -2 -1 0 1 2 …2x y -=22x y -=221x y -=… -2 -1 0 1 2 … 2x y =22x y =221x y =结合所画图像填空： 1、二次函数图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做 ；这些抛物线都关于 轴对称， 轴是它的对称轴；对称轴与抛物线的交点叫做 。

人教版九年级数学上册22.1.3-二次函数的图
像和性质(第1课时)
一等奖优秀教学设计-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册
22.1.3. 二次函数的图像和性质教学设计
一、教材分析 1、地位作用：
二次函数y=ax 2+k 的图像和性质是人教版九年级数学上册第二十一章第三节第一课时的内容，是在学生学习了二次函数的基本概念及y=ax 2的图像和性质之后引入的新内容。

本节课的教学内容既是对y=ax 2的图像和性质的引申，也是后面研究y=a(x-h)2+k 和一般形式的二次函数图像性质的基础。

所以，学习本节内容我们既要对前段的内容进行升华，又要对后段内容进行启发。

2、教学目标：
（1）能够准确绘制y=ax 2+k 二次函数图像；通过图像发现和研究二次函数y=ax 2+k 的性质。

（2）会应用二次函数的性质解决问题.
（3）经历观察，推理和交流等过程，获得研究问题与合作交流的方法和经验；体验数学活动中的探索性和创造性。

3、教学重、难点
教学重点：用描点法画二次函数的图像；探索二次函数y=ax 2+k 的图像特点和性质。

教学难点：二次函数y=ax 2+k 的性质的应用。

突破难点的方法：类比一次函数的平移和二次函数2ax y 的性质学习，构建一个知识体系。

二、教学准备：多媒体课件，几何画板.。

22。

1。

3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(1）预习案一、预习目标及范围：1.会画二次函数y=ax2+k的图象.2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用。

3.比较函数y=ax2与y=ax2+k的联系.二、预习要点1。

上下平移规律：平方项，常数项上下 .2。

把抛物线y=2x2向平移1个单位长度，就得到抛物线 ;把抛物线y=2x2向平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x2—1.三、预习检测1。

说出下列二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标(1） y=2（x+3)2（2) y=-3（x-1)2(3） y=5（x+2）2（4) y=—(x-6)2(5） y=7(x-8)22.抛物线y=—3(x+2)2开口向，对称轴为，顶点坐标为________.3.抛物线y=3x2+0。

5可以看成由抛物线向平移个单位得到的。

4。

写出一个开口向上,对称轴为x=-2,并且与y轴交于点（0，8)的抛物线解析式____________。

探究案一、合作探究活动内容1：活动1:小组合作情景问题：二次函数y=ax2的图象是什么形状呢？什么确定y=ax2的性质？通常怎样画一个函数的图象？在同一直角坐标系中,画出二函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象．解：先列表：(1)抛物线y=2x2+1，y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？y =2 x2＋1y = 2x2－1（2) 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2有什么关系？可以发现，把抛物线y=2x2向平移1个单位长度，就得到抛物线；把抛物线y=2x2向平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x2—1。

归纳：二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到:当k〉 0 时,向上平移k个单位长度得到.当k〈 0 时，向下平移—k个单位长度得到.活动2：探究归纳上下平移规律：平方项不变,常数项上加下减。

活动内容2:典例精析例题：：把抛物线y = 2x2向上平移5个单位,会得到哪条抛物线？向下平移2个单位呢?归纳：1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？第一种方法：平移法,两步即第一步画y=ax2的图象,再向上（或向下）平移︱k︱单位.第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.2。

26.1 二次函数的图象与性质（5）课时5 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质学习目标1．同学们理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。

2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3．同学们经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k 的性质。

温故而知新1．函数y＝－12x2+1的图象与函数y＝－12x2的图象有什么关系?2．函数y=－12(x＋1)2的图象与函数y＝－12x2的图象有什么关系?自学引导（一）认真阅读课本P9内容并回答下列问题．问题1：填表问题2：从上表中，你能分别找到函数y=－12(x＋1)2－1与函数y=－12(x＋1)2、y＝－12x2图象的关系吗?问题3：还有其他平移方法吗？问题4：你能发现函数y=－12(x＋1)2－1的哪些性质?（二）自学检测：1、不画图象，写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标（1）y =2( x+3)2+5; （2）y =－3(x－1)2－2;（3）y = 4(x－3)2+7; （4）y =－5(x+2)2－6.2、把抛物线y＝3x2向____平移____个单位，再向____平移____个单位，就得到抛物线y = 3(x+1)2－4．研学指导1、从平移的角度说说二次函数y＝ax2、y＝ax2＋k、y＝a (x-h)2 、y＝a (x－h)2＋k的图象有什么联系？2、议一议：二次函数y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标为什么是（h，k）？3、填表：归纳：二次函数y＝a(x－h)2＋k的增减性与哪些因素有关？函数y＝－12x2向左平移1个单位向下平移1个单位开口方向对称轴顶点函数开口方向对称轴顶点坐标草图增减性y=－2 (x＋1)2 -3当x 时，函数y随x的增大而增大；当x 时，函数y随x的增大而减小．y＝3 (x-2)2 +1当x 时，函数y随x的增大而增大；当x 时，函数y随x的增大而减小．y = ax 2y = ax 2+ k y = a (x -h )2y = a ( x -h )2 + k上下平移左右平移上下平移左右平移结论: 抛物线y = a (x -h )2+k 与y = ax 2形状相同，位置不同。

湘教版数学九年级二次函数的图象与性质（1）教学设计课题二次函数的图象与性质(一) 单元第一单元学科数学年级九年级学习目标1.学生会用描点法画出的图象，理解抛物线的有关概念.2.使学生经历、探索二次函数图象性质的过程.3.培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.重点使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数的图象.难点用描点法画出二次函数的图象以及探索二次函数性质教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图复习导入师：同学们，回忆一下1、二次函数的一般形式是怎样的？2、一次函数图象是什么样的？它的图像画法步骤，你还记得吗，请列出来。

3、二次函数图象是什么形状呢？是否可以借鉴一次函数的图像画法呢？学生回顾．通过回顾所学知识为本节课的学习做好铺垫．讲授新课一、探究二次函数y=ax2(a>0）的图象和性质1.探究：画二次函数的图象.（1）列表：在列表时对自变量x取这些值的理由是什么？观察表格中的数据，你有什么发现？（2）描点：描点时应以哪些数值作为点的坐标？在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点．（3）连线：光滑的曲线顺次连接学生填表．在教师的引导启发学生观察表达式的特点．通过学生思考和点A与点A′，点B与点B′，…，它们有什么关系？由此你能作出什么猜想?从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时，纵坐标怎样变化？y=x2的图象在y轴右边所有点都具有这样的性质吗？图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”．当x＜0 (在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小．简称为“左降”．当x＞0 (在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大．简称为“右升”．抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外)，顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展；当x=0时，函数y的值最小，最小值是0．我们已经正确画出了y=x2的图象，因此，现在可以从图象看出的其他一些性质（除了上面已知的关于y轴对称和“右升”外），还有哪些性质？对称轴与图象的交点是___________；图象的开口向_________；图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_________，简称“左降；当x=_______时，函数值最_____．一般地，当a>0时，y=ax2的图象都具有上述性质．于是我们画y=ax2（a>0）的图象时，可以下观察图像，引导学生自主探究，让学生讨论、交流，达成共识．交流对函数性质的认识，并积累从图象的角度研究函数性质的经验．先画出图象在y 轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y 轴左边的部分．在画右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤．例 1 画二次函数212y x =的图象． 二、探究二次函数y =ax 2(a ＜0）的图象和性质探究：我们已经会画212y x =的图象， 能不能从它得出二次函数212y x =-的图象呢？ 分析：把212y x =的图象沿着x 轴翻折并将图象 “复制”出来， 就可以得到212y x =-的图象.画二次函数212y x =-的图象． 在212y x =的图象上任取一点21(,)2P a a ，它关于x 轴的对称点Q 的坐标是21(,)2P a a -．如图所示，从点Q 的坐标看出，点Q 在212y x =-的图象上．由此可知，212y x =-的图象与 212y x =的图象关于x 轴对称．因此只要把212y x = 的图象沿着x 轴翻折并将图象“复制”出来，就可得到212y x =-的图象．如图的绿色曲线．观察图象，归纳与总结：一般地，抛物线y =ax 2的对称轴是_____，顶点是________．当a >0时，抛物线的开口向______，顶点是抛物线的最_____点，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_____，在对称轴的右学生动手画图象．对比画图．归纳二次函数y =ax 2(a ＜0）的图象和性培养学生画图能力．体会二次函数y =ax 2(a ＜0）的图象和性质．掌握y =ax 2(a ＜0）的图象和性质．侧，y 随x 的增大而_____．当a <0时，抛物线的开口向___，顶点是抛物线的最_____点，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而________． 例2 画二次函数214y x =-的图象．观察函数2y x =和212y x =图象的开口大小，你能得出什么结论？观察函数2y x =-和212y x =-图象的开口大小，你又能得出什么结论？三、抛物线的概念在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与二次函数y =x 2的图象相像吗？以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x 轴的正方向水平向右，y 轴的正方向竖直向上，则可以看出棒球在空中经过的路线是形如y =ax 2（a <0）的图象的一段．由此受到启发，我们把二次函数y =ax 2的图象这样的曲线叫作抛物线，简称为抛物线y =ax 2．一般地，二次函数y =ax 2的图象关于y 轴对称，抛物线与它的对称轴的交点（0，0）叫作抛物线y =ax 2的顶点．质．通过实际问题理解抛物线的概念．帮助学生理解二次函数是具有广泛应用价值的，重要的数学模型．巩固练习 1、直接运用性质填空： (1)图象的对称轴是 ， 顶点是 ,图象的开口向 ； (2)图象的对称轴是 ， 顶点是 ,图象的开口向 . 2、如图所示，已知二次函数y =ax 2的图象经过点A ． （1）求a 的值；（2）试判断点（-4，12）是否在此函数的图象上．3、已知函数221m m y mx --=的图象是开口向下的抛物线．（1）求m 的值；（2）当x =3时，函数值是多少？当y =-6时，求x 的值；（3）试说明当x <3时，函数值的变化情况，并求当x 为何值时，函数有最小值，最小值是多少？ 4、底面是边长为x （cm ）的正方形，高为0.5 cm 的长方体的体积为y （cm 3）．（1）求y 关于x 的函数关系式，并画出函数图象； （2）根据图象求出y =8 cm 3时，底面边长x 的值； （3）根据图象，求出x 为何值时，y ≥4.5 cm 3．学生独立完成并展示．巩固学习，让学生用自己的方法展示出来，并且让学生得到进一步的锻炼．让学生建立自己对本节内容的认知．课堂小结学生自主交流、归纳、总结．培养学生的归纳、总结能力．板书1.2 二次函数的图象与性质（1）1.探究：画二次函数的图象. （1）列表：（2）描点：（3）连线：。

22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质一、新课导入1.导入课题：问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们画最简单的二次函数y=a x2的图象.板书课题：二次函数y=a x2（a≠0）的图象.2.学习目标：（1）用描点法画二次函数y=a x2的图象,知道抛物线y=a x2是轴对称图形，知道抛物线y=a x2的开口方向与a的符号有关.（2）能根据图象说出抛物线y=a x2的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.3.学习重、难点：重点：画二次函数y=a x2的图象，理解抛物线的相关概念.难点：画二次函数y=a x2的图象.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第29页到第31页的“思考”.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：数形结合.（4）自学参考提纲：①画出函数y=x2的图象.x…-3 -2 -1 0 1 2 3 …y=x2…9 4 1 0 1 4 9 …②二次函数y=a x2+b x+c的图象是抛物线是轴对称图形，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.③函数y=x2的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0,0），顶点是图象的最低点.④在①中的坐标系中画出函数y=12x2与y=2x2的图象，观察所画三个图象，说明它们有哪些共同点和不同点.⑤由④，说明二次函数y=a x2(a>0)的图象的形状、对称轴、开口方向、顶点.二次函数y=a x2(a>0)的图象是抛物线，对称轴是y轴，开口向上，顶点是（0,0）.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：看学生能否熟练地用描点法画出函数的图象，能否观察图象得到所需的结论.②差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导,对列表取值进行指导.（2）生助生：生生互动交流、研讨.4.强化：(1)交流学习成果：展示画图效果，总结a>0时二次函数y=a x2的图象的相关性质.(2）总结：①二次函数的图象是抛物线，一般地，二次函数y=a x2+b x+c的图象就叫做抛物线y=a x2+b x+c，抛物线是轴对称图形，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.②抛物线y=a x2关于y轴对称，抛物线y=a x2的对称轴是y轴，顶点是原点(0，0).③a>0时，抛物线y=a x2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小.1.自学指导：（1）自学内容：探究y=a x2(a<0)的图象特点.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：画图，从开口方向、对称轴、顶点、开口大小等方面观察图象，寻找它们的共同特点.（4）探究提纲：①完成探究，回答这些抛物线异同点：共同点：开口都向下，对称轴是y轴，顶点是（0,0）.不同点：x2的系数的绝对值越大，抛物线的开口越小.②总结a<0时，抛物线y=a x2的性质.当a＜0时，抛物线a x2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越小，抛物线的开口越小.③观察前面所画的六条抛物线，你能说说抛物线y=a x2与y=-a x2有何关系吗？抛物线y=a x2与y=-a x2关于x轴对称.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生画图和识图的情况.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化:（1）交流：a<0时二次函数y=a x2的图象的性质.（2）强调a的符号对二次函数y=a x2的图象的开口方向的影响，|a|的大小对二次函数y=a x2的图象的开口大小的影响.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些技能？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的主动性，小组交流与回答问题的情况，学习效果等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本课时的设计比较注重让学生动手操作，让学生通过画二次函数的图象初步掌握其性质，画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行对比.本课的目的是让学生在经历动手操作、探究归纳的过程中，逐步获取图象传达的信息，熟悉图象语言，进而形成函数思想.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（15分）抛物线y=2x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0,0）.2.（15分）已知下列二次函数①y=-x2；②y=35x2；③y=15x2；④y=-4x2；⑤y=4x2.(1)其中开口向上的是②③⑤(填序号)；(2)其中开口向下且开口最大的是①(填序号)；(3)有最高点的是①④(填序号).3.（20分）分别写出抛物线y=4x2与y=-14x2的开口方向、对称轴及顶点坐标.解：抛物线y=4x2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标（0,0）.抛物线y=-14x2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标（0,0）.4.（20分）在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：y=13x2；y=-13x2.解：列表：…-3-2-10123…y=13x2 (34)3130 13433…x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …y=-13x2…-3 -43-130 -13-43-3 …作图如图所示.二、综合应用（20分）5.（20分）已知一次函数y=a x+b和二次函数y=a x2，其中a≠0,b<0，则下面选项中，图象可能正确的是（C）三、拓展延伸（10分）6.（10分）m 为何值时，函数－m my mx=2的图象是开口向下的抛物线？解：由题意得，，m m m ⎧-=⎨<⎩220解得m=-1∴当m=-1时，函数－m my mx=2的图象是开口向下的抛物线.。

导学案：二次函数的性质与图象（一）编撰人：李斌 审定：阜阳四中高一数学组学习目的：掌握研究二次函数图像和性质的配方法。

进一步掌握二次函数的图像和性质。

会综合运用二次函数图像和性质解决有关问题。

【预习要点及要求】1.二次函数的一般方法——配方法。

2.二次函数的图像的画法。

3.二次函数的图像的顶点坐标、对称轴方程、单调区间和最值的求法。

4.掌握研究二次函数图像和性质的配方法。

5.进一步掌握二次函数的图像和性质。

6.会综合运用二次函数图像和性质解决有关问题。

【知识再现】1. 二次函数的一般形式)0(2≠++=a c bx axy 2．二次函数的顶点坐标（)44,22a b ac a b--【概念探究】 1、阅读课本57页到例1的上方，完成下列问题1、二次函数的定义及图象的形状是怎样的？2、函数_____________________叫二次函数，它的定义域是_________________.3、当0==c b 时，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 变为___________,它的图像和性质特征为：（1）顶点坐标________,奇偶性为_______,图形关于_______对称；（2）当0>a 时，抛物线的开口______,在_________上是增函数，在_________上是减函数，当x=_____有最小值_______；当0<a 时，抛物线的开口_______,在_________上是增函数，在____________上是减函数，当x=______有最大值_______.(3) 当0>a 时,抛物线在x 轴的______，开口向上并随a 的增大逐渐______；当0<a 时，抛物线在x 轴的______，开口向下并随a 的增大逐渐______；2、阅读课本例1与例2，完成下列问题1．不看课本你能否独立完成两个例题例1、 论述二次函数6421)(2++=x x x f 的性质，并作出它的图象。

二次函数的图像与性质导学案第二节二次函数的图像与性质环节一：回顾旧知，导入新课。

1.一次函数的图像是直线，反比例函数的图像是双曲线。

2.画函数图像的一般步骤是确定定义域和值域，列出函数表达式，选择合适的坐标系，计算出函数对应的点，然后用平滑的曲线将这些点连接起来。

环节二：小组合作，探究新知。

1.试画出二次函数 $y=x^2$ 的图像。

由 1、2、3 组用黑色笔完成以下步骤：1）列出函数表格：x$ | $2y=x$ | $y=2x^2$8$| $-16$ | $128$6$| $-12$ | $72$4$| $-8$。

| $32$2$| $-4$。

| $8$0$ | $0$。

| $0$2$ | $4$。

| $8$4$ | $8$。

| $32$6$ | $12$。

| $72$8$ | $16$。

| $128$2）描点3）连线2.试画出二次函数 $y=-x^2$ 的图像。

由 4、5、6 组用黑色笔完成以下步骤：1）列出函数表格：x$ | $y=-x^2$ | $y=-2x^2$8$| $-64$。

| $-128$6$| $-36$。

| $-72$4$| $-16$。

| $-32$2$| $-4$。

| $-8$0$ | $0$。

| $0$2$ | $-4$。

| $-8$4$ | $-16$。

| $-32$6$ | $-36$。

| $-72$8$ | $-64$。

| $-128$2）描点3）连线3.在第一题中画出二次函数 $y=2x^2$ 的图像。

由 1、2、3 组用红色笔完成。

4.在第二题中画出二次函数 $y=-2x^2$ 的图像。

由 4、5、6 组用红色笔完成。

环节三：归纳总结，提炼升华。

二次函数 $y=ax^2(a>0)$ 和 $y=ax^2(a<0)$ 的性质如下：对称轴：$x=0$。

顶点坐标：$(0,0)$。

位置：$y=ax^2$ 的图像上下平移 $|a|$ 个单位。

开口方向：$y=ax^2$ 的图像开口向上；$y=ax^2$ 的图像开口向下。