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学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在【解析】 由定义，知|AB |＝5＋2＝7，因为|AB |min ＝4，所以这样的直线有且仅有两条．【答案】 B2．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A ．213B ．215C ．217D ．219【解析】 设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由直线AB 斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，代入抛物线方程y 2＝8x 得4(x －1)2＝8x ，整理得x 2－4x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，|AB |＝5(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝516－4＝215.故选B.【答案】 B3．(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8 【解析】 由y 2＝x 得2p ＝1，即p ＝12，因此焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为l ：x ＝－14，设A 点到准线的距离为d ，由抛物线的定义可知d＝|AF |，从而x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1，故选A.【答案】 A4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由A ，B 两点在抛物线上，得y 21＝2px 1，①y 22＝2px 2，②由①－②，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)．又线段AB 的中点的纵坐标为2，即y 1＋y 2＝4，直线AB 的斜率为1，故2p ＝4，p ＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－p 2＝－1.【答案】 B5．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若O A →·A F →＝－4，则点A 的坐标为( ) 【导学号：26160061】A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)【解析】 设A (x ，y )，则y 2＝4x ，①O A →＝(x ，y )，A F →＝(1－x ，－y )，O A →·A F →＝x －x 2－y 2＝－4，② 由①②可解得x ＝1，y ＝±2.【答案】 B二、填空题6．抛物线y 2＝4x 上的点到直线x －y ＋4＝0的最小距离为________．【解析】 可判断直线y ＝x ＋4与抛物线y 2＝4x 相离，设y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝4x 相切，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4y ＋4m ＝0. ∴Δ＝16－16m ＝0，m ＝1.又y ＝x ＋4与y ＝x ＋1的距离d ＝|4－1|2＝322， 则所求的最小距离为322. 【答案】 3227．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 21的最小值是________．【解析】 设AB 的方程为x ＝my ＋4，代入y 2＝4x 得y 2－4my －16＝0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－16，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16m 2＋32，当m ＝0时，y 21＋y 22最小为32.【答案】 328．过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |＜|BF |，则|AF |＝________.【解析】 设过抛物线焦点的直线为y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －12，联立得⎩⎨⎧ y 2＝2x ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 整理得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0，x 1＋x 2＝k 2＋2k 2，x 1x 2＝14.|AB |＝x 1＋x 2＋1＝k 2＋2k 2＋1＝2512，得k 2＝24，代入k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0得12x 2－13x ＋3＝0，解之得x 1＝13，x 2＝34，又|AF |＜|BF |，故|AF |＝x 1＋12＝56.【答案】 56三、解答题9．求过定点P (0,1)，且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程．【解】 如图所示，若直线的斜率不存在，则过点P (0,1)的直线方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y 2＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0， 即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．若直线的斜率存在，则设直线为y ＝kx ＋1，代入y 2＝2x 得：k 2x 2＋(2k －2)x ＋1＝0，当k ＝0时，直线方程为y ＝1，与抛物线只有一个交点．当k ≠0时，Δ＝(2k －2)2－4k 2＝0⇒k ＝12.此时，直线方程为y ＝12x ＋1.可知，y ＝1或y ＝12x ＋1为所求的直线方程．故所求的直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.10．已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．【解】 由题意，抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l ：x ＝p 2， ∴A ，B 两点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ， ∴|AB |＝2|p |.∵△OAB 的面积为4，∴12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2·2|p |＝4，∴p ＝±2 2. ∴抛物线方程为y 2＝±42x .[能力提升]1．(2014·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303B ．6C ．12D ．7 3【解析】 ∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0， ∴AB 的方程为y －0＝tan 30°⎝⎛⎭⎪⎫x －34， 即y ＝33x －34.联立⎩⎨⎧ y 2＝3x ，y ＝33x －34，得13x 2－72x ＋316＝0.∴x 1＋x 2＝－－7213＝212，即x A ＋x B ＝212.由于|AB |＝x A ＋x B ＋p ，所以|AB |＝212＋32＝12.【答案】 C2．已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，O 为原点，若|OA→|＝|OB→|，且抛物线的焦点恰好为△AOB 的垂心，则直线AB 的方程是( )A ．x ＝pB ．x ＝32pC ．x ＝52pD ．x ＝3p【解析】 ∵|OA →|＝|O B →|，∴A ，B 关于x 轴对称．设A (x 0，2px 0)，B (x 0，－2px 0)．∵AF ⊥OB ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， ∴2px 0x 0－p 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2px 0x 0＝－1， ∴x 0＝52p .【答案】 C3．(2014·湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．【解析】 由题意知机器人行进轨迹为以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x .设过点(－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)．代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0.∵机器人接触不到该直线，∴Δ＝(2k 2－4)2－4k 4<0，∴k 2>1.∴k >1或k <－1.【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)4．已知直线l ：y ＝12x ＋54，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上．(1)求抛物线C 的方程；(2)设A ，B 是抛物线C 上两个动点，过A 作平行于x 轴的直线m ，直线OB 与直线m 交于点N ，若O A →·O B →＝0(O 为原点，A ，B 异于原点)，试求点N 的轨迹方程. 【导学号：26160062】 【解】 (1)直线l ：y ＝12x ＋54.①过原点且垂直于l 的直线方程为y ＝－2x .②由①②，得x ＝－12.∵抛物线的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上，∴－p 2＝－12×2，∴p ＝2.∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x ，y )．由O A →·O B →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，解得y 1y 2＝－16.③直线ON ：y ＝y 2x 2x ，即y ＝4y 2x .④ 由③④及y ＝y 1，得点N 的轨迹方程为x ＝－4(y ≠0)．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
2.3.2抛物线的简单几何性质(二)课时过关·能力提升基础巩固1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点直线y=kx-k=k(x-1),∴直线过点(1,0).又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.2.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围为()A.[-12,12]B.[−2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]Q的直线l的方程为y=k(x+2),联立抛物线方程与直线方程,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.当k=0时,显然满足;当k≠0时,因为l与抛物线有公共点,所以Δ≥0,即k2≤1,且k≠0.综上所述,-1≤k≤1.3.若过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于A,B两点,则弦AB的长为()A.2√13B.2√15C.2√17D.2√19A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知AB 的方程为y=-2(x-1), 即y=-2x+2.由{y 2=8x ,y =-2x +2,得x 2-4x+1=0,则x 1+x 2=4,x 1·x 2=1.故|AB|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=√(1+4)(16-4)=√5×12=2√15.4.若抛物线y 2=2px 截直线y=x+1所得弦长为2√6,则此抛物线的方程为( ) A.y 2=2xB.y 2=6xC.y 2=-2x 或y 2=6xD.以上都不对{y =x +1,y 2=2px ,得x 2+(2-2p )x+1=0.x 1+x 2=2p-2,x 1x 2=1.则2√6=√1+12·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√2·√(2p -2)2-4.解得p=-1或p=3,故抛物线方程为y 2=-2x 或y 2=6x.5.已知点A (-2,3)在抛物线C :y 2=2px 的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为( ) A .12B.23C.34D.43x=−p 2=−2,∴p=4,∴抛物线方程为y 2=8x.由已知易得过点A 与抛物线y 2=8x 相切的直线斜率存在,设为k ,且k>0,则可得切线方程为y-3=k (x+2).联立方程{y -3=k (x +2),y 2=8x ,消去x 得ky 2-8y+24+16k=0.(*)由相切得Δ=64-4k (24+16k )=0,解得k =12或k=-2(舍去),代入(*)解得y=8,把y=8代入y 2=8x ,得x=8,即切点B 的坐标为(8,8),又焦点F 为(2,0),故直线BF 的斜率为43.6.已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,直线y=2x-4与C 交于A ,B 两点,则cos ∠AFB 等于( ) A .45B.35C.−35D.−45{y 2=4x ,y =2x -4,得x 2-5x+4=0,∴x=1或x=4.不妨设A (4,4),B (1,-2),则|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4)·(0,-2)=-8. ∴cos ∠AFB =FA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |FA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=-810=−45.7.已知直线x-y+1=0与抛物线y=ax 2相切,则a= .{x -y +1=0,y =ax 2,得ax 2-x-1=0.∵a ≠0,∴Δ=1+4a=0,a=−14.148.直线y=x-1被抛物线y 2=4x 截得的线段的中点坐标是 .y=x-1代入y 2=4x ,整理,得x 2-6x+1=0.由根与系数的关系,得x 1+x 2=6,x 1+x 22=3,则y 1+y 22=x 1+x 2-22=6-22=2.故所求点的坐标为(3,2).9.求抛物线y=4x 2上到直线y=4x-5的距离最短的点的坐标.y=4x 2与y=4x-5不相交,设与y=4x-5平行的直线方程为y=4x+m.则{y =4x 2,y =4x +m ⇒4x 2-4x-m=0.①设此直线与抛物线相切,则Δ=0, 即Δ=16+16m=0,解得m=-1. 将m=-1代入①式,得x =12,y =1, 所求点的坐标为(12,1).10.已知过点A (-2,-4)作倾斜角为π4的直线,交抛物线y2=2px(p >0)于M,N 两点,且|AM|,|MN|,|AN|成等比数列,求抛物线的方程.,知MN 的方程为y=x-2.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由{y =x -2,y 2=2px 消去x ,得y 2-2py-4p=0,故y 1+y 2=2p ,y 1y 2=-4p. ∵|AM|·|AN|=|MN|2,且|AM|=√2(y1+4),|AN|=√2(y2+4),|MN|=√2|y1−y2|, ∴(y 1+4)(y 2+4)=(y 1-y 2)2, 即5y 1y 2+4(y 1+y 2)+16=(y 1+y 2)2, 则p 2+3p-4=0,解得p=1或p=-4(舍去). 故所求抛物线的方程为y 2=2x.能力提升1.抛物线y=ax 2与直线y=kx+b (k ≠0)交于A ,B 两点,且此两点的横坐标分别为x 1,x 2,直线与x 轴交点的横坐标是x 3,则恒有( ) A.x 3=x 1+x 2 B.x 1x 2=x 1x 3+x 2x 3 C.x 1+x 2+x 3=0D.x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=0{y =ax 2,y =kx +b ,则ax 2-kx-b=0,x 1+x 2=k ,x1x2=−b ,x3=−b .又−b =k ·(-b ),即x 1x 2=(x 1+x 2)x 3=x 1x 3+x 2x 3,选项B 正确.2.若抛物线y 2=x 上两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)关于直线y=x+b 对称,且y 1y 2=-1,则实数b 的值为( ) A.-3B.3C.2D.-2AB 与直线y=x+b 垂直,∴设直线AB 的方程为y=-x+m ,代入y 2=x ,得y 2+y-m=0.∴y 1y 2=-m.又y 1y 2=-1, ∴m=1.设线段AB 的中点M (x 0,y 0),则y 0=y 1+y 22=−12,x0=x 1+x 22=1-y 1+1-y 22=1−y 1+y 22=32.∵点M 在直线y=x+b 上, ∴−12=32+b,b =−2.3.已知直线y=k (x+2)(k>0)与抛物线C :y 2=8x 相交于A ,B 两点,F 为C 的焦点.若|FA|=2|FB|,则k 等于( )A .13B.√23C.23D.2√23y=k (x+2)代入y 2=8x ,得k 2x 2+4(k 2-2)x+4k 2=0(k>0). 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2=4.∵|FA|=x 1+2,|FB|=x 2+2,且|FA|=2|FB|, ∴x 1=2x 2+2.又x 1x 2=4,∴x 2=1(负值舍去). ∴B (1,2√2),代入y=k (x+2),得k =2√23.4.已知F 为抛物线y 2=x 的焦点,点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(其中O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A.2B.3C .17√28 D.√10AB 所在直线方程为x=my+t.由{x =my +t ,y 2=x消去x ,得y 2-my-t=0.设A (y 12,y1),B(y 22,y2)(不妨令y 1>0,y 2<0),故y 12+y 22=m,y1y2=−t.而OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =y 12y 22+y1y2=2,解得y 1y 2=-2或y 1y 2=1(舍去). 所以-t=-2,即t=2.所以直线AB 过定点M (2,0).而S △ABO =S △AMO +S △BMO =12|OM||y1−y2|=y1−y2, S △AFO =12|OF|×y1=12×14y1=18y1, 故S △ABO +S △AFO =y 1-y 2+18y1=98y1−y2.由98y1−y2=98y1+(−y2)≥2√98y 1×(-y 2)=2√98×2=3, 得S △ABO +S △AFO 的最小值为3,故选B.5.已知抛物线C 的方程为x 2=12y,过点A(0,−1)和点B(t,3)的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是 .AB 的方程为4x=t (y+1),代入x 2=12y,得2tx 2-4x+t=0.∵直线AB 与抛物线C 没有公共点, ∴t ≠0,且Δ=16-8t 2<0,即t >√2或t<−√2.-∞,−√2)∪(√2,+∞)★6.若A ,B 是抛物线x 2=y 上任意两点(非原点),则当OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小时,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在两条直线的斜率之积kOA ·k OB 为 .AB 与x 轴不垂直,∴设直线AB 的方程为y=kx+b ,代入x 2=y ,得x 2-kx-b=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2=-b.∴y 1y 2=x 12x 22=b2,∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x1x2+y1y2=−b +b2=(b -12)2−14≥−14, 当且仅当b =12时,取“=”. 则k OA ·k OB =y 1x 1·y 2x 2=x1x2=−b =−12.127.已知A ,B 为抛物线y 2=2px (p>0)上的两点,O 为原点,若OA ⊥OB ,求证:直线AB 过定点.A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则OA ⊥OB ⇒x 1x 2+y 1y 2=0,点A ,B 在抛物线上⇒y 12y 22=4p2x1x2,∴{y 1·y 2=-4p 2,x 1·x 2=4p 2.l AB :y-y 1=2py 1+y 2(x −x1), ∴y-y 1=2p y 1+y 2(x -y 122p), ∴y =2py 1+y 2x −y 12y 1+y 2+y1=2py 1+y 2x −4p 2y 1+y 2=2py 1+y 2(x −2p),∴直线AB 过定点(2p ,0).★8.已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程.(2)是否存在正数m ,对于过点M (m ,0)且与曲线C 有两个交点A ,B 的任一直线,都有FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ <0?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.设P (x ,y )是曲线C 上任意一点,那么点P (x ,y )满足√(x -1)2+y 2−x =1(x >0).化简得y 2=4x (x>0).(2)设过点M (m ,0)(m>0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 设l 的方程为x=ty+m ,由{x =ty +m ,y 2=4x ,得y 2-4ty-4m=0,Δ=16(t 2+m )>0, 于是{y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4m .①FA⃗⃗⃗⃗⃗ =(x1−1,y1),FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x2−1,y2). FA⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ <0⇔(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=x 1x 2-(x 1+x 2)+1+y 1y 2<0. ②又x =y 24,于是不等式②等价于y 124·y 224+y1y2−(y 124+y 224)+1<0⇔(y 1y 2)216+y1y2−14[(y1+y2)2−2y1y2]+1<0.③ 由①式,不等式③等价于m 2-6m+1<4t 2.④对任意实数t ,4t 2的最小值为0,所以不等式④对于一切t 成立,等价于m 2-6m+1<0,即3-2√2<m <3+2√2.由此可知,存在正数m ,对于过点M (m ,0)且与曲线C 有两个交点A ,B 的任一直线,都有FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB ⃗⃗⃗⃗⃗ <0,且m 的取值范围是(3-2√2,3+2√2).。
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考前过关训练(二)圆锥曲线与方程(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分)1.(2015·湖南高考)若双曲线-=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选D.因为双曲线的一条渐近线经过点(3,-4),所以3b=4a,所以9(c2-a2)=16a2,所以e==.【补偿训练】(2016·长沙高二检测)已知椭圆C:+ =1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与圆x2+y2=b2相切于点A,并与椭圆C交于不同的两点P,Q,如图,若PF1⊥PQ,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【解题指南】连接OA,PF1,则OA⊥PQ,又PF1⊥PQ,所以A为线段PF2的中点,于是PF1=2b.结合椭圆的定义有PF2=2a-2b,由此能求出椭圆的离心率.【解析】选C.连接OA,PF1,则OA⊥PQ,又PF1⊥PQ,可得OA∥PF1,所以A为线段PF2的中点,于是PF1=2b.结合椭圆的定义有PF2=2a-2b,在直角三角形PF1F2中,利用勾股定理得(2a-2b)2+(2b)2=(2c)2,将c2=a2-b2代入,整理可得b=a,于是e====.2.(2016·南昌高二检测)过双曲线C:-=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解题指南】设右焦点为F,|OF|=|AF|=4.【解析】选A.设右焦点为F.由题意得|OF|=|AF|=4,即a2+b2=16,可设A(a,b),由F(4,0)可得(a-4)2+b2=16,故a=2,b2=12,所以双曲线的方程为-=1.3.(2016·广州高二检测)以(-6,0),(6,0)为焦点,且经过点(-5,2)的双曲线的标准方程是( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选C.设双曲线的标准方程是-=1(a>0,b>0),因为双曲线以(-6,0),(6,0)为焦点,且经过点(-5,2),所以解之得a2=20,b2=16,因此,该双曲线的标准方程为-=1.4.(2016·西安高二检测)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2= ( )A. B. C. D.【解析】选C.依题意:a=b=,所以c=2.因为|PF1|=2|PF2|,则设|PF2|=m,则|PF1|=2m,又|PF1|-|PF2|=2=m.所以|PF1|=4,|PF2|=2.又|F1F2|=4,所以cos∠F1PF2==.5.(2016·桂林高二检测)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A,与抛物线的准线的交点为B,点A在抛物线准线上的射影为C,若=,·=48,则抛物线的方程为( )A.y2=4xB.y2=8xC.y2=16xD.y2=4x【解析】选A.设抛物线的准线与x轴的交点为D,依题意,F为线段AB的中点,故|AF|=|AC|=2|FD|=2p,|AB|=2|AF|=2|AC|=4p,所以∠ABC=30°,||=2p,·=4p·2p·cos30°=48,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.6.已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点.若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈,则该椭圆离心率e的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】选A.已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,设左焦点为N连接AF,AN,BN,BF,所以:四边形AFBN为长方形.根据椭圆的定义得|AF|+|AN|=2a,∠ABF=α,则∠ANF=α.所以:2a=2ccosα+2csinα利用e===,α∈,所以≤α+≤,则≤≤-1,即椭圆离心率e的取值范围为.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2016·济南高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为.【解题指南】本题考查了双曲线的知识,利用双曲线与抛物线准线的交点为突破口求出a,b 之间的关系,进而求得双曲线的渐近线方程.【解析】由题意知==b,抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为,即(c,-b),代入双曲线方程为-=1,得=2,所以==1,所以渐近线方程为y=±x.答案:y=±x【补偿训练】若曲线+=1的焦距与k无关,则它的焦点坐标是.【解析】因为k+5>k-2,又曲线+=1的焦距与k无关,所以k+5>0,k-2<0,曲线是焦点在y轴上的双曲线,且a2=k+5,b2=2-k,c2=a2+b2=7,故焦点坐标为(0,±).答案:(0,±)8.(2016·青岛高二检测)已知椭圆+=1,过点P(1,1)作直线l与椭圆交于A,B两点,且点P是线段AB的中点,则直线l的斜率为.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则①-②,得+=0,又点P(1,1)是AB的中点,所以x1+x2=2,y1+y2=2,所以+=0,从而+y1-y2=0,又x1≠x2,所以直线l的斜率k==-.答案:-9.(2016·重庆高二检测)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是.【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线A1B1和A2B2的斜率之间的关系即可. 【解析】由题意知,直线A1B1和A2B2关于x轴对称,又所成的角为60°,所以直线方程为y=±x或y=±x.又因为有且只有一对相交于点O所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,所以渐近线斜率满足<≤,解得<e≤2.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)10.(2016·衡水高二检测)已知A,B,C均在椭圆M:+y2=1(a>1)上,直线AB,AC分别过椭圆的左右焦点F1,F2,当·=0时,有9·=.(1)求椭圆M的方程.(2)设P是椭圆M上的任一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任一条直径,求·的最大值. 【解析】(1)因为·=0,所以有⊥,所以△AF1F2为直角三角形,所以||cos∠F1AF2=||,因为9·=,所以9·=9||||cos∠F1AF2=9||2==||2,所以||=3||,又||+||=2a,所以||=,||=,在Rt△AF1F2中,有||2=||2+||2,即=+4(a2-1),解得a2=2,椭圆M的方程为+y2=1.(2)·=(-)·(-)=(--)·(-)=(-)2-=-1,从而将求·的最大值转化为求的最大值,P是椭圆M上的任一点,设P(x0,y0),则有+=1,即=2-2,又N(0,2),所以=+(y0-2)2=-(y0+2)2+10,而y0∈,所以当y0=-1时,取最大值9,故·的最大值为8.【补偿训练】设抛物线y2=2px(p>0),Rt△AOB内接于抛物线,O为坐标原点,AO⊥BO,AO所在的直线方程为y=2x,|AB|=5,求抛物线的方程.【解题指南】根据AO⊥BO,直线AO的斜率为2,可知直线BO的斜率为-,进而得出直线BO 的方程.把这两条直线方程代入抛物线方程,分别求出A,B的坐标.根据两点间的距离为5求得p.【解析】因为AO⊥BO,直线AO的斜率为2,所以直线BO的斜率为-,即直线BD的方程为y=-x,把直线y=2x代入抛物线方程解得A坐标为,把直线y=-x代入抛物线方程解得B坐标为(8p,-4p).因为|AB|=5,所以+p2+64p2+16p2=25×13,所以p2=4,因为p>0,所以p=2.故抛物线方程为y2=4x.11.(2016·郑州高二检测)已知经过点A(-4,0)的动直线l与抛物线G:x2=2py(p>0)相交于B,C.(1)当直线l的斜率是时,=,求抛物线G的方程.(2)设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.【解析】(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),由已知得,当k1=时, l方程为y=(x+4),即x=2y-4.由得2y2-(8+p)y+8=0,所以由根与系数的关系得又因为=,所以y2=y1或y1=4y2.由p>0得:y1=4,y2=1,p=2,即抛物线G的方程为x2=4y.(2)由题意知l的斜率存在.设l:y=k(x+4),BC中点坐标为(x0,y0),由得x2-4kx-16k=0.①所以x0==2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k.所以BC的垂直平分线的方程为y-2k2-4k=-(x-2k),所以BC的垂直平分线在y轴上的截距为b=2k2+4k+2=2(k+1)2,对于方程①由Δ=16k2+64k>0得k>0或k<-4.所以b∈(2,+∞).所以b的取值范围为(2,+∞).关闭Word文档返回原板块。
第二章一、选择题(每小题分，共分)．已知过抛物线＝焦点的弦长为，则该弦所在直线的倾斜角是( )或．或或．解析：抛物线的焦点为，过焦点垂直于轴的弦长为≠，∴该弦所在直线的斜率存在．设直线方程为＝，与方程＝联立得：－(＋)＋＝.设直线与抛物线交点为(，)，(，)．∴＋＝，∴＋＋＝＋＝.∴＝，∴＝±.答案：．已知抛物线＝(>)，过其焦点且斜率为的直线交抛物线于，两点，若线段的中点的纵坐标为，则该抛物线的准线方程为( )．＝．＝－．＝．＝－解析：抛物线的焦点，所以过焦点且斜率为的直线方程为＝－，即＝＋，将其代入＝＝＝＋，所以－－＝，所以＋＝＝，∴＝所以抛物线的方程为＝，准线方程为＝－.答案：．抛物线＝与直线＋－＝的一个交点是()，则抛物线的焦点到该直线的距离为( )．．解析：由已知得抛物线方程为＝，直线方程为＋－＝，抛物线＝的焦点坐标是()，到直线＋－＝的距离＝＝.答案：．设斜率为的直线过抛物线＝(≠)的焦点，且和轴交于点，若△(为坐标原点)的面积为，则抛物线方程为( )．＝±．＝±．＝．＝解析：抛物线＝(≠)的焦点坐标为，则直线的方程为＝，它与轴的交点为，所以△的面积为·＝，解得＝±.所以抛物线方程为＝±.答案：二、填空题(每小题分，共分)．在直角坐标系中，直线过抛物线＝的焦点，且与该抛物线相交于，两点，其中点在轴上方，若直线的倾斜角为°，则△的面积为．解析：根据题意写出直线的方程后求出点坐标，然后再求解．∵＝的焦点为()，又直线过焦点且倾斜角为°，故直线的方程为＝(－)，将其代入＝得－＋－＝，即－＋＝.∴＝或＝.又点在轴上方，∴＝.∴＝.∴△＝××＝.答案：．设点与抛物线＝上的点之间的距离为，到抛物线准线的距离为，则当＋取最小值时，点坐标为．解析：当点是与焦点连线与抛物线交点时，＋最小，的方程为＝－，与抛物线＝联立得()．答案：()三、解答题(每小题分，共分)．已知抛物线＝，过点()引一弦，使它恰在点被平分，求这条弦所在直线方程．解析：设弦的两个端点为(，)，(，)，所求直线方程为－＝(－)，∵，在抛物线上，∴＝，＝，两式相减得(＋)(－)＝(－)①将＋＝代入①得＝＝，∴直线方程为－－＝.．给定抛物线：＝，是抛物线的焦点，过的直线与相交于，两点．若＝，求直线的方程．解析：显然直线的斜率存在，故可设直线：＝(－)，联立(\\(＝(－(，＝，))消去得－(＋)＋＝，则＝，故＝.①又＝，∴＝，则－＝(－)②由①②得＝(＝舍去)，所以，得直线的斜率为＝＝±，∴直线的方程为＝±(－)．。
2.1.2椭圆的简单几何性质(一)课时过关·能力提升基础巩固1.椭圆x 22+y24=1的短轴长为()A.√2B.2C.2√2D.42.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于12,则C的方程是()A.x 23+y24=1B.x242√3=1C.x 2+y2=1D.x2+y2=13.已知椭圆中心在原点,一个焦点为(−√3,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是( )A.x 24+y2=1B.x2+y24=1C.x 23+y2=1D.x2+y23=1一个焦点为(−√3,0),∴焦点在x轴上,且c=√3.又长轴长是短轴长的2倍,即2a=2×2b,∴a=2b.故选A.4.在一个椭圆中,以焦点F1,F2为直径两端点的圆恰好过椭圆短轴的两个端点,则此椭圆的离心率e等于()A.12B.√22C.√32D.2√55b=c,故a=√2c.所以e=ca =√22.5.椭圆x 225+y29=1与x29-k+y225-k=1(0<k<9)的关系为()A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相等的离心率x2+y2=1中,a=5,b=3,c=4,且焦点在x轴上.在椭圆x2+y2=1中, ∵0<k<9,且25-k>9-k,∴焦点在y轴上,且c=4,∴两个椭圆有相等的焦距.6.已知P是椭圆x 22+y2b2=1(a>b>0)上的一个动点,且点P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为−1,则椭圆的离心率为()A.√32B.√22C.12D.√33P(x0,y0),则y0x0-a·y0x0+a=−12,化简得x02a2+2y02a2=1.又因为点P在椭圆上,所以x02a2+y02b2=1,所以a2=2b2,故e=√22.7.若焦点在x轴上的椭圆x 22+y2m=1的离心率为12,则m=.x轴上, 所以0<m<2.所以a2=2,b2=m.所以c2=a2-b2=2-m.因为椭圆的离心率为e=12,所以e2=14=c2a2=2-m2,解得m=32.8.若椭圆的中心在原点,其对称轴为坐标轴,长轴长为2√3,离心率为√33,则该椭圆的方程为.,a=√3.又e =√33,∴c =1.∴b2=2,∴椭圆的方程为x 23+y 22=1或y 23+x 22=1.y 22=1或y 23+x 22=19.已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ,且BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则椭圆C 的离心率为 .x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则不妨设B (0,b ),F (c ,0). 设D (x 0,y 0),∵BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(c ,-b )=2(x 0-c ,y 0). ∴x 0=3c,y0=−b.代入椭圆方程得9c 24a 2+b24b2=1,∴c 2a2=13,∴e =c a =√33.10.已知A 为y 轴上一点,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,△AF 1F 2为等边三角形,且AF 1的中点B 恰好在椭圆上,求此椭圆的离心率.,连接BF 2.∵△AF 1F 2是等边三角形,且B 为线段AF 1的中点,∴AF 1⊥BF 2.又∠BF 2F 1=30°,|F 1F 2|=2c , ∴|BF 1|=c ,|BF 2|=√3c.根据椭圆定义得|BF 1|+|BF 2|=2a , 即c +√3c =2a,∴ca =√3−1. ∴椭圆的离心率e =√3−1.能力提升1.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)有两个顶点在直线x +2y =2上,则此椭圆的焦点坐标是( )A.(±√3,0)B.(0,±√3)C.(±√5,0)D.(0,±√5)2.椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F,椭圆C 与x 轴正半轴交于点A,与y 轴正半轴交于点B(0,2),且BF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4√2+4,则椭圆C 的方程为( ) A .x 24+y 22=1B.x 26+y 24=1C .x 28+y 24=1D.x 216+y 28=13.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( ) A .14B.√55C .1D.√5−2A ,B 为椭圆的左、右顶点,F 1,F 2为椭圆的左、右焦点,所以|AF 1|=a-c ,|F 1F 2|=2c ,|F 1B|=a+c.又因为|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列, 所以(a-c )(a+c )=4c 2,即a 2=5c 2. 所以离心率e =c a =√55,故选B.4.已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为√55,且过点P(−5,4),则椭圆的方程为 .e =c a=√55,∴c 2a 2=a 2-b 2a 2=15,∴5a 2-5b 2=a 2,即4a 2=5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2+5y 24a 2=1(a >0). ∵椭圆过点P (-5,4),∴25a 2+5×164a 2=1.解得a2=45.∴椭圆方程为x 245+y236=1.y236=1★5.已知椭圆x225+y216=1的左、右焦点分别是F1,F2,弦AB过F1,若△ABF2的面积是5,A,B两点的坐标是(x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|=.,S△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2=c|y1−y2|(A,B在x轴上、下两侧),又S△ABF2=5,∴|y1−y2|=5c=53.6.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是等边三角形,求该椭圆的离心率.x轴上,如图,由AB⊥F1F2,且△ABF2是等边三角形,得出在Rt△AF1F2中,∠AF2F1=30°.令|AF1|=x,则|AF2|=2x,利用勾股定理,求出|F1F2|=√3x=2c.而|AF1|+|AF2|=2a,即可求出离心率e.x轴上,∵AB⊥F1F2,且△ABF2为等边三角形,∴在Rt△AF1F2中,∠AF2F1=30°.令|AF1|=x,则|AF2|=2x.∴|F1F2|=√|AF2|2-|AF1|2=√3x=2c.由椭圆定义,可知|AF1|+|AF2|=2a.∴e=2c2a=√3x3x=√33.★7.设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=√32,已知点P(0,32)到这个椭圆上的点的最远距离为√7,求这个椭圆方程.x2a2+y2b2=1(a>b>0),M(x,y)为椭圆上的点,由ca=√32,得a=2b,|PM|2=x2+(y-32)2=−3(y+12)2+4b2+3(−b≤y≤b).若0<b<12,则当y=-b时|PM|2最大,即(b+32)2=7,解得b=√7−32>12,故矛盾.若b≥12,则当y=−12时,4b2+3=7,b2=1,从而a2=4.所求方程为x24+y2=1.。
第二章一、选择题(每小题分，共分)．设已知椭圆＋＝(>>)的一个焦点是圆＋－＋＝的圆心，且短轴长为，则椭圆的左顶点为( ) ．(－) ．(－)．(－) ．(－)解析：圆的方程可化为(－)＋＝，∴圆心为()，则椭圆的一个焦点为()，∴＝＝，＝.＝＋＝，∴＝，椭圆的左顶点为(－)．答案：．已知椭圆的左、右焦点坐标分别是(－，)，(，)，离心率是，则椭圆的方程为( ) ＋＝．＋＝＋＝．＋＝解析：因为＝，且＝，所以＝，＝＝.所以椭圆的方程为＋＝.答案：．设<<，则椭圆＋＝与＋＝具有相同的( )．顶点．长轴与短轴．离心率．焦距解析：由<<，知<－<－，椭圆＋＝焦点在轴上，焦距为.而椭圆＋＝的焦点在轴上，焦距也为.答案：．椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为( )．．解析：依题意：＝，∴＝，即－＝.∴＋－＝，∴＝(舍去负值)．答案：二、填空题(每小题分，共分)．若点和点分别为椭圆＋＝的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则·的最大值为．解析：由椭圆＋＝可得(－)，()．设(，)，－≤≤，则·＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋，当且仅当＝时，·取得最大值.答案：．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为，则椭圆的方程为．解析：依题意设椭圆的方程为＋＝(＞＞)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为，∴＝，即＝.∵椭圆的离心率为，∴＝＝＝，∴＝，∴＝.∴椭圆的方程为＋＝.答案：＋＝三、解答题(每小题分，共分)．设椭圆方程为＋＝(＞)的离心率为，试求椭圆的长轴的长和短轴的长，焦点坐标及顶点坐标．解析：椭圆方程可化为＋＝.()当＜＜时，＝，＝，＝.∴＝＝＝，∴＝，∴＝，＝.∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是，焦点坐标为(－，)，()，顶点坐标为(－)，()，(，－)，(，)．()当＞时，＝，＝，∴＝，∴＝＝＝，解得＝，∴＝，＝，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，，焦点坐标为，，顶点坐标为，，(－)，()．．求适合下列条件的椭圆的标准方程：()过点()，离心率＝；()焦距为，在轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直．。
第二章 2.1 2.1.1A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·浙江宁波高二检测)已知椭圆x 216＋y 2b 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为导学号 03624359( D )A ．8B ．12C ．23D ．4 3[解析] 把点(－2，3)代入x 216＋y 2b 2＝1，得b 2＝4，∴c 2＝a 2－b 2＝12.∴c ＝23，∴2c ＝4 3.2．(2015·广东文)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝导学号 03624360( B )A ．2B ．3C ．4D ．9[解析] ∵椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，∴c ＝4＝25－m 2，∴m 2＝9，∴m ＝3，选B ．3．已知F 1、F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两个焦点，过点F 2的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB |＝5，则|AF 1|＋|BF 1|＝导学号 03624361( A )A ．11B ．10C ．9D ．16[解析] 由方程知a 2＝16，∴2a ＝8，由椭圆定义知，|AF 1|＋|AF 2|＝8，|BF 1|＋|BF 2|＝8，∴|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝16，∴|AF 1|＋|BF 1|＝11，故选A ．4．(2016·山东济宁高二检测)设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1、F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是导学号 03624362( B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形[解析] 由椭圆定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8.又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3. 又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．5．对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的导学号 03624363( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆，则m >0，n >0，从而mn >0，但当mn >0时，可能有m ＝n >0，也可能有m <0，n <0，这时方程mx 2＋ny 2＝1不表示椭圆，故选B ．6．(2016·贵州贵阳高二检测)已知两点F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是导学号 03624364( C )A ．x 216＋y 29＝1B ．x 216＋y 212＝1C ．x 24＋y 23＝1D ．x 33＋y 24＝1[解析] ∵|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4>|F 1F 2|，动点P 的轨迹为以F 1、F 2为焦点的椭圆，∴2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，∴b 2＝3，方程为x 24＋y 23＝1.二、填空题7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为4和2，则椭圆的标准方程为 x 29＋y 28＝1 .导学号 03624365[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝4a －c ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，∴椭圆方程为x 29＋y 28＝1.8．过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆方程是 x 215＋y 210＝1 .导学号 03624366[解析] 因为焦点坐标为(±5，0)，设方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1，将(－3,2)代入方程可得9a2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15，故方程为x 215＋y 210＝1.三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程.导学号 03624367[解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b 2＝1，又a ＝3b ，解得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆的方程为x 29＋y 2＝1. 当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知0a 2＋9b 2＝1，又a ＝3b ，联立解得a 2＝81，b 2＝9，故椭圆的方程为y 281＋x 29＝1. 故椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1或x 29＋y 2＝1.B 级 素养提升一、选择题1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是导学号 03624368( C )A ．5B ．3或8C ．3或5D ．20[解析] 2c ＝2，∴c ＝1，故有m －4＝1或4－m ＝1， ∴m ＝5或m ＝3，故答案为C ．2．设椭圆的标准方程为x 2k －3＋y 25－k ＝1，若其焦点在x 轴上，则k 的取值范围是导学号 03624369( C )A ．k >3B ．3<k <5C ．4<k <5D ．3<k <4[解析] 由题意得k －3>5－k >0，∴4<k <5.3．若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 、b 满足导学号 03624370( C )A ．a 2>b 2B ．1a <1bC ．0<a <bD ．0<b <a[解析] 将方程变为标准方程为x 21a ＋y 21b ＝1，由已知得，1a >1b >0，则0<a <b ，选C ．4．(2016·安徽师大附中高二检测)F 1、F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为导学号 03624371( C )A ．7B ．74C ．72D ．752[解析] 由已知得a ＝3，c ＝ 2. 设|AF 1|＝m ，则|AF 2|＝6－m ，∴(6－m )2＝m 2＋(22)2－2m ·2 2 cos 45°， 解得m ＝72.∴6－m ＝52.∴S △AF 1F 2＝12×72×22sin 45°＝72，故选C ．5．(2016·长沙模拟)设椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，若△PF 1F 2是直角三角形，则△PF 1F 2的面积为导学号 03624372( C )A ．3B ．3或32C ．32D ．6或3 [解析] 由题意可得该椭圆短轴顶点与两焦点的连线的夹角是60°，所以该点P 不可能是直角顶点，则只能是焦点为直角顶点，此时△PF 1F 2的面积为12×2c ×b 2a ＝32.二、填空题6．若椭圆x 25＋y 2m ＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则实数m 的值为__6__.导学号 03624373[解析] 由题意知，c ＝1，∴m －5＝1，∴m ＝6.7．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝__2__；∠F 1PF 2的大小为__120°__.导学号 03624374[解析] 由椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 2|＝2，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝16＋4－2816＝－12. ∴∠F 1PF 2＝120°.8．(2016·广西南宁高二检测)已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 24＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是__8__.导学号 03624375[解析] 如图所示，F 为椭圆的左焦点，A 为其右焦点，△ABC 的周长＝|AB |＋|BC |＋|AC |＝|AB |＋|BF |＋|AC |＋|CF |＝4a ＝8.C 级 能力提高1．根据下列条件，求椭圆的标准方程.导学号 03624376 (1)经过两点A (0,2)、B (12，3)；(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同的焦点． [解析] (1)设所求椭圆的方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，且m ≠n )，∵椭圆过A (0,2)、B ⎝⎛⎭⎫12，3. ∴⎩⎨⎧0m ＋4n ＝114m ＋3n ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝4.即所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1.(2)∵椭圆9x 2＋4y 2＝36的焦点为(0，±5)，则可设所求椭圆方程为x 2m ＋y 2m ＋5＝1(m >0)，又椭圆经过点(2，－3)，则有4m ＋9m ＋5＝1，解得m ＝10或m ＝－2(舍去)， 即所求椭圆的方程为x 210＋y 215＝1.2．已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积.导学号 03624377[解析] 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n . 根据椭圆定义有m ＋n ＝20， 又c ＝100－64＝6，∴在△F 1PF 2中，由余弦定理得m 2＋n 2－2mn cos π3＝122，∴m 2＋n 2－mn ＝144，∴(m ＋n )2－3mn ＝144， ∴mn ＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×2563×32＝6433.。
选修第二章一、选择题．若是定直线外一定点，则过点且与直线相切的圆的圆心轨迹为( )．直线．椭圆．线段．抛物线[答案][解析]因为圆过点，所以圆心到的距离为圆的半径；又圆与直线相切，所以圆心到直线的距离也等于圆的半径，且点是定直线外一定点，故圆心的轨迹为抛物线．．如果抛物线＝的准线是直线＝－，那么它的焦点坐标为( )．() ．()．() ．(－)[答案][解析]因为准线方程为＝－＝－，所以焦点为(，)，即()．．(·贵州贵阳高二检测)抛物线＝的焦点到准线的距离为( )．．．．[答案][解析]抛物线＝中，＝，∴焦点到准线的距离为.．抛物线＝的焦点坐标是( )．() ．．．[答案][解析]抛物线的标准方程为＝，∴＝，且焦点在轴的正半轴上，故选．．抛物线＝上一点到焦点的距离为，则点的纵坐标是( )．．．．[答案][解析]设(，)，则＋＝，∴＝，∴＝.．从抛物线＝图象上一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且＝，设抛物线焦点为，则△的面积为( )．．．．[答案][解析]设(，)，∵＝，∴＝，∴＝±，∴△＝·＝.二、填空题．若抛物线＝的焦点坐标为()，则＝，准线方程为[答案]＝－[解析]本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程.由＝知＝，则准线方程为＝－＝－.．以双曲线－＝的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是[答案]＝－[解析]∵双曲线的左焦点为(－)，故设抛物线方程为＝－(>)，又＝，∴＝－.．一抛物线拱桥跨度为，拱顶离水面，一竹排上载有一宽，高的大木箱，则竹排(填“能”或“不能”)安全通过[答案]能[解析]如图所示建立平面直角坐标系，设抛物线方程为＝－，则有(，－)，设(，)，由＝－×(－)，得＝，所以抛物线方程为＝－.当＝时，＝－，所以＝－，因为－>，所以能安全通过．。
第二章 2.2 2.2.2A 级 基础巩固一、选择题1．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为导学号 03624480( C )A ．x 216－y 248＝1B ．y 29－x 227＝1C ．x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1D ．以上都不对[解析] 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 227＝1.2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是导学号 03624481( C ) A ．2 B ．22 C ．4D ．4 2[解析] 双曲线2x 2－y 2＝8化为标准形式为x 24－y 28＝1，∴a ＝2，∴实轴长为2a ＝4.3．(2017·全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是导学号 03624482( C )A ．(2，＋∞)B ．(2，2 )C ．(1，2)D ．(1,2) [解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a. ∴c 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1a 2<2，∴1<e < 2.故选C ．4．椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有共同的焦点，则实数n 的值是导学号 03624483( B )A ．±5B ．±3C ．25D ．9[解析] 依题意，34－n 2＝n 2＋16，解得n ＝±3，故答案为B ．5．若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的导学号 03624484( D )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等[解析] ∵0<k <5，∴两方程都表示双曲线，由双曲线中c 2＝a 2＋b 2得其焦距相等，选D ． 6．以双曲线y 2－x 23＝1的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是导学号 03624485( D )A ．(x －2)2＋y 2＝4B ．x 2＋(y －2)2＝2C ．(x －2)2＋y 2＝2D ．x 2＋(y －2)2＝4[解析] 双曲线y 2－x 23＝1的焦点为(0，±2)，e ＝2，故选D ．二、填空题7．(2017·全国Ⅲ文，14)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝__5__.导学号 03624486[解析] ∵双曲线的标准方程x 2a 2－y 29＝1(a >0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3a x .又双曲线的一条渐近线方程为y ＝35x ，∴a ＝5.8．(2016·北京文)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝__1__；b ＝__2__.导学号 03624487[解析] 由题意知，渐近线方程为y ＝－2x ，由双曲线的标准方程以及性质可知ba ＝2，由c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，可得b ＝2，a ＝1.三、解答题9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52的双曲线的方程；导学号 03624488(2)求虚轴长为12，离心率为54的双曲线的标准方程．[解析] (1)设双曲线的方程为x 29－λ－y 2λ－4＝1(4<λ<9)，则a 2＝9－λ，b 2＝λ－4，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∵e ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝59－λ＝54，解得λ＝5，∴所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)由于无法确定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以可设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)． 由题设知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.B 级 素养提升一、选择题1．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且a 、b 异号，则方程表示导学号 03624489( D ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线[解析] 方程变形为x 2b a －y 2b a ＝1，由a 、b 异号知ba <0，故方程表示焦点在y 轴上的双曲线，故答案为D ．2．双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是导学号 03624490( C )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2[解析] 本题考查双曲线离心率的概念，充分必要条件的理解． 双曲线离心率e ＝1＋m >2，所以m >1，选C ．3．(2015·全国卷Ⅰ理)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是导学号 03624491( A )A ．(－33，33) B ．(－36，36) C ．(－223，223)D ．(－233，233)[解析] 由双曲线方程可知F 1(－3，0)、F 2(3，0)， ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋(－y 0)(－y 0)<0，即x 20＋y 20－3<0，∴2＋2y 20＋y 20－3<0，y 20<13， ∴－33<y 0<33. 4．(2016·重庆八中高二检测)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线与圆(x －3)2＋(y －1)2＝1相切，则此双曲线的离心率为导学号 03624492( B )A ． 5B ．2C ． 3D ． 2[解析] 双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，由题意得|3b －a |b 2＋a2＝1，∴b ＝3a .∴离心率e ＝ca＝c 2a 2＝a 2＋b ba 2＝a 2＋3a 2a 2＝2. 5．(2016·吉林实验中学)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是导学号 03624493( C )A ．⎝⎛⎦⎤1，52 B ．⎝⎛⎦⎤1，72 C ．⎣⎡⎭⎫52，＋∞ D ．⎣⎡⎭⎫72，＋∞[解析] 由条件，得|OP |2＝2ab ，又P 为双曲线上一点，从而|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b ≥a ，又∵c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥52.二、填空题6．已知双曲线x 29－y 2m ＝1的一个焦点在圆x 2＋y 2－4x －5＝0上，则双曲线的渐近线方程为 y ＝±43x .导学号 03624494[解析] ∵方程表示双曲线，∴m >0，∵a 2＝9，b 2＝m ， ∴c 2＝a 2＋b 2＝9＋m ，∴c ＝9＋m ，∵双曲线的一个焦点在圆上，∴9＋m 是方程x 2－4x －5＝0的根，∴9＋m ＝5，∴m ＝16，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e ＝2.导学号 03624495 [解析] 由条件知b a ＝12，即a ＝2b ，∴c 2＝a 2－b 2＝3b 2，c ＝3b ，∴e ＝c a ＝3b 2b ＝32.三、解答题8．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程.导学号 03624496[解析] 因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c,0)、F 2(c,0)．因为双曲线过点P (42，－3)， 所以32a 2－9b2＝1.①又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直， 所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 所以c 2＝25.② 又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)．所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1.C 级 能力提高1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 x 24－y 23＝1 .导学号 03624497[解析] 椭圆中，a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝a 2－b 2＝7， ∴离心率e 1＝74，焦点(±7，0)， ∴双曲线的离心率e 2＝c a ＝72，焦点坐标为(±7，0)，∴c ＝7，a ＝2，从而b 2＝c 2－a 2＝3， ∴双曲线方程为x 24－y 23＝1.2．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)、(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率.导学号 03624498 [解析] 由l 过两点(a,0)、(0，b )，得 l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得aba 2＋b 2＝34c . 将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，得16⎝⎛⎭⎫a 2c 22－16×a 2c 2＋3＝0.令a2c 2＝x ， 则16x 2－16x ＋3＝0，解得x ＝34或x ＝14.由e ＝ca 有e ＝1x .故e ＝233或e ＝2. 因0<a <b ，故e ＝ca＝a 2＋b 2a＝1＋b 2a2>2，所以应舍去e ＝233，故所求离心率e ＝2.。
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离是12，则P 到F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22【解析】 由双曲线方程x 225－y 29＝1得a ＝5， ∴||PF 1|－|PF 2||＝2×5＝10. 又∵|PF 1|＝12，∴|PF 2|＝2或22. 故选D. 【答案】 D2．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1 C ．y 2－x23＝1D.x 22－y 22＝1【解析】 由双曲线定义知，2a ＝(2＋2)2＋32－(2－2)2＋32＝5－3＝2， ∴a ＝1.又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， 因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.【答案】 A3．设动点M 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)的距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ＜0)D.x 29－y 216＝1(x ＞0)【解析】 由双曲线的定义得，P 点的轨迹是双曲线的一支．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝10，2a ＝6，∴a ＝3，c ＝5，b ＝4.故P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x＞0)，因此选D.【答案】 D4．已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( )A.365B.566C.65D.56【解析】 不妨设点F 1(－3,0)，容易计算得出 |MF 1|＝32＝62，|MF 2|－|MF 1|＝2 6. 解得|MF 2|＝52 6.而|F 1F 2|＝6，在直角三角形MF 1F 2中， 由12|MF 1|·|F 1F 2|＝12|MF 2|·d ，求得F 1到直线F 2M 的距离d 为65.故选C. 【答案】 C5．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1【解析】 由于a ＞0,0＜a 2＜4，且4－a 2＝a ＋2，所以可解得a ＝1，故选D.【答案】 D 二、填空题6．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________.【导学号：26160046】【解析】 设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.【答案】 y 225－x 275＝17．已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下四个判断：①当1＜t ＜4时，曲线C 表示椭圆；②当t ＞4或t ＜1时，曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜52；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞4.其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．【解析】 ①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t －1)＜0，∴t ＜1或t ＞4；③正确，若C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t ＞t －1＞0.∴1＜t ＜52；④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t ＜0t －1＞0，∴t ＞4.【答案】 ②③④8．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．【解析】 设右焦点为F ′，依题意，|PF |＝|PF ′|＋4，∴|PF |＋|P A |＝|PF ′|＋4＋|P A |＝|PF ′|＋|P A |＋4≥|AF ′|＋4＝5＋4＝9.【答案】 9 三、解答题9．求以椭圆x 216＋y 29＝1短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程．【解】 由x 216＋y 29＝1，得a ＝4，b ＝3，所以短轴两端点的坐标为(0，±3)，又双曲线过A 点，由双曲线定义得2a ＝|(4－0)2＋(－5－3)2－(4－0)2＋(－5＋3)2| ＝25，∴a ＝5，又c ＝3， 从而b 2＝c 2－a 2＝4， 又焦点在y 轴上，所以双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.10．已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C .(1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．【解】 (1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1. ∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4， 则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4. (2)∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2<|AB |＝4， 即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值． ∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1，∴所求的点C 的轨迹方程为x 2－y23＝1(x >1)．[能力提升]1．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 由题意，得||PF 1|－|PF 2||＝2，|F 1F 2|＝2 2.因为∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝|F 1F 2|2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|－2|PF 1||PF 2|×12＝8，所以|PF 1|·|PF 2|＝8－22＝4.【答案】 B2．(2016·临沂高二检测)已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y29＝1C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝1【解析】 由双曲线定义||MF 1|－|MF 2||＝2a ，两边平方得：|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|＝4a 2，因为MF 1→·MF 2→＝0，故△MF 1F 2为直角三角形，有|MF 1|2＋|MF 2|2＝(2c )2＝40，而|MF 1→|·|MF 2→|＝2，∴40－2×2＝4a 2，∴a 2＝9，∴b 2＝1，所以双曲线的方程为x29－y 2＝1.【答案】 A3．若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________．【解析】 双曲线8x 2－y 2＝8可化为标准方程x 2－y28＝1，所以a＝1，c ＝3，|F 1F 2|＝2c ＝6.因为点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，所以|PF 1|＝|F 1F 2|＝6，或|PF 2|＝|F 1F 2|＝6，当|PF 1|＝6时，根据双曲线的定义有|PF 2|＝|PF 1|－2a ＝6－2＝4，所以△PF 1F 2的周长为6＋6＋4＝16；同理当|PF 2|＝6时，△PF 1F 2的周长为6＋6＋8＝20.【答案】 16或204.如图2－2－2，已知双曲线中c ＝2a ，F 1，F 2为左、右焦点，P 是双曲线上的点，∠F 1PF 2＝60°，S △F 1PF 2＝12 3.求双曲线的标准方程．【导学号：26160047】图2－2－2【解】 由题意可知双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1. 由于||PF 1|－|PF 2||＝2a ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝ (|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝4(c 2－a 2)＝4b 2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2b 2·32＝3b 2，从而有3b 2＝123，所以b 2＝12，c ＝2a ，结合c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝4.所以双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
第二章 2.22.2.1A 级 基础巩固一、选择题1．已知M (－2,0)、N (2,0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是导学号 03624438( C ) A ．双曲线 B ．双曲线左支 C ．一条射线D ．双曲线右支[解析] ∵|PM |－|PN |＝|MN |＝4，∴动点P 的轨迹是一条射线． 2．双曲线3x 2－4y 2＝－12的焦点坐标为导学号 03624439( D ) A ．(±5,0) B ．(0，±5) C ．(±7，0)D ．(0，±7)[解析] 双曲线3x 2－4y 2＝－12化为标准方程为y 23－x 24＝1，∴a 2＝3，b 2＝4，c 2＝a 2＋b 2＝7，∴c ＝7，又∵焦点在y 轴上，故选D ．3．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是导学号 03624440( A )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－1[解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.4．(2016·山东济宁高二检测)已知双曲线2mx 2－my ＝4的一个焦点为(0，6)，则m 的值为导学号 03624441( B )A ．1B ．－1C ．73D ．－73[解析] 将双曲线方程化为x 22m －y 24m ＝1.因为一个焦点是(0，6)，所以焦点在y 轴上，所以c ＝6，a 2＝－4m ，b 2＝－2m ，所以a 2＋b 2＝－4m －2m ＝－6k＝c 2＝6.所以m ＝－1.5．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为导学号 03624442( D )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3[解析] 由双曲线的标准方程，知a 2＝10，b 2＝2，则c 2＝a 2＋b 2＝10＋2＝12，因此2c ＝43，故选D ．6．(2015·福建理)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线E上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于导学号 03624443( B )A ．11B ．9C ．5D ．3[解析] 由题，|||PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6， 即||3－|PF 2|＝2a ＝6，解得|PF 2|＝9. 二、填空题7．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于__48__.导学号 03624444[解析] 依题意得|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝16. ∴S △PF 1F 2＝12×16×102－(162)2＝48.8．已知双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上的点P 到点F 1的距离为12，则点P 到点F 2的距离为__2或22__.导学号 03624445[解析] 设F 1为左焦点，F 2为右焦点，当点P 在双曲线左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝10，|PF 2|＝22；当点P 在双曲线右支上时， |PF 1|－|PF 2|＝10，|PF 2|＝2. 三、解答题9．求满足下列条件的双曲线的标准方程.导学号 03624446 (1)焦点在x 轴上，c ＝6且经过点(－5,2)； (2)过P (3，154)和Q (－163，5)两点．[解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－4b 2＝1a 2＋b 2＝6，解之得a 2＝5，b 2＝1， 故所求双曲线方程为x 25－y 2＝1.(2)设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，由题意得⎩⎨⎧9A ＋22516B ＝12569A ＋25B ＝1，解之得⎩⎨⎧A ＝－116B ＝19.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.B 级 素养提升一、选择题1．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是导学号 03624447( B )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．x 22－y 23＝1D ．x 23－y 22＝1[解析] 由条件知P (5，4)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，∴5a 2－16b2＝1， 又a 2＋b 2＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝4，故选B ．2．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为导学号 03624448( D )A ．13B ．12C ．23D ．32[解析] 因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D ．3．已知m 、n 为两个不相等的非零实数，则方程mx －y ＋n ＝0与nx 2＋my 2＝mn 所表示的曲线可能是导学号 03624449( C )[解析] 把直线方程和曲线方程分别化为y ＝mx ＋n ，x 2m ＋y2n ＝1.根据图形中直线的位置，判定斜率m 和截距n 的正负，从而断定曲线的形状．4．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是导学号 03624450( D )A ．16B ．18C ．21D ．26[解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.5．若方程x 2m －1＋y 2m 2－4＝3表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是导学号 03624451( C )A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2,1)[解析] 由题意，方程可化为y 2m 2－4－x 21－m＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>01－m >0，解得m <－2.故选C ． 二、填空题6．(2016·浙江丽水高二检测)设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，有一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的方程为 y 24－x 25＝1 .导学号 03624452[解析] 解法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，根据双曲线的定义，知2a ＝|(15)2＋12－(15)2＋72|＝4，故a ＝2.又b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.解法二：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.解法三：设双曲线方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.7．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于__4__.导学号 03624453[解析] 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 即(22)2＝22＋|PF 1|·|PF 2|， 解得|PF 1|·|PF 2|＝4. 三、解答题8．已知双曲线方程为2x 2－y 2＝k ，焦距为6，求k 的值.导学号 03624454 [解析] 由题意知c ＝3，若焦点在x 轴上， 则方程可化为x 2k 2－y 2k ＝1，∴k2＋k ＝32，即k ＝6.若焦点在y 轴上，则方程可化为y 2－k －x 2－k2＝1.∴－k ＋(－k2)＝32，即k ＝－6.综上，k 的值为6或－6.C 级 能力提高1．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k 的值为__－1__.导学号 03624455 [解析] 将双曲线的方程化为x 21k －y 28k ＝1，因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3)， 所以焦点在y 轴上，且c ＝3. 所以a 2＝－8k ，b 2＝－1k .所以－8k －1k ＝9，解得k ＝－1.2．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线如何变化？导学号 03624456[解析] (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝±1. (2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1.①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝±1.(4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线．。
第二章一、选择题(每小题分，共分)．已知双曲线－＝的右焦点为()，则该双曲线的离心率等于( )．．解析：由题意，知＋＝，解得＝，＝＝.答案：．双曲线－＝(>，>)的一条渐近线方程为＝，则该双曲线的离心率的值为( )．．解析：由已知得＝，所以，＝，故＝，即＝，所以＝.答案：．双曲线与椭圆＋＝有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( ) ．－＝．－＝．－＝．－＝解析：椭圆＋＝即＋＝，焦点为(，±)，离心率为，所以双曲线的焦点在轴上，＝，＝，所以＝，＝，所以双曲线方程为－＝.答案：．双曲线－＝(>，>)的左、右焦点分别是，，过作倾斜角为°的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( )．．解析：如图，在△中，∠＝°，＝，∴＝°)＝，＝· °＝，∴＝－＝－＝⇒＝＝，故选.答案：二、填空题(每小题分，共分)．已知双曲线：－＝(>，>)与双曲线：－＝有相同的渐近线，且的右焦点为(，)，则＝，＝.解析：利用共渐近线方程求解．与双曲线－＝有共同渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ，即－＝.由题意知＝，则λ＋λ＝⇒λ＝.则＝，＝.又>，>，故＝，＝.答案：．已知双曲线－＝(>，>)和椭圆＋＝有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为．解析：由题意知双曲线的焦点为(－，)，(，)，即＝，又因为双曲线的离心率为，所以＝，故＝，双曲线的方程为－＝.答案：－＝三、解答题(每小题分，共分)．根据以下条件，求双曲线的标准方程：()过(，－)，离心率为；()过点，一条渐近线与直线－＝平行．解析：()若双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为－＝(＞，＞)．∵＝，∴＝即＝.①又过点(，－)有：－＝，②由①②得：＝＝，双曲线方程为－＝，若双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为－＝(＞，＞)．同理有：＝，①－＝，②由①②得＝＝－(不合题意，舍去)．综上，双曲线的标准方程为－＝.()方法一：①若双曲线的焦点在轴上，设其方程为－＝(＞，＞)，。
第二章级基础巩固一、选择题．(·浙江宁波高二检测)已知椭圆＋＝过点(－，)，则其焦距为( )．．．．[解析]把点(－，)代入＋＝，得＝，∴＝－＝.∴＝，∴＝.．(·广东文)已知椭圆＋＝(＞)的左焦点为(－)，则＝( )．．．．[解析]∵椭圆＋＝(>)的左焦点为(－，)，∴＝＝，∴＝，∴＝，选．．已知、是椭圆＋＝的两个焦点，过点的直线交椭圆于点、，若＝，则＋＝( )．．．．[解析]由方程知＝，∴＝，由椭圆定义知，＋＝，＋＝，∴＋＋＋＝＋＋＝，∴＋＝，故选．．(·山东济宁高二检测)设是椭圆＋＝上一点，到两焦点、的距离之差为，则△是( )．直角三角形．锐角三角形．等腰直角三角形．钝角三角形[解析]由椭圆定义，知＋＝＝.又－＝，∴＝，＝.又＝＝＝，∴△为直角三角形．．对于常数、，“>”是“方程＋＝的曲线是椭圆”的( )．必要而不充分条件．充分而不必要条件．既不充分也不必要条件．充分必要条件[解析]若方程＋＝的曲线是椭圆，则>，>，从而>，但当>时，可能有＝>，也可能有<，<，这时方程＋＝不表示椭圆，故选．．(·贵州贵阳高二检测)已知两点(－)、()，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是( )．＋＝．＋＝．＋＝．＋＝[解析]∵是与的等差中项，∴＋＝＝>，动点的轨迹为以、为焦点的椭圆，∴＝＝，∴＝，＝，∴＝，方程为＋＝.二、填空题．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆与轴的一个交点到两焦点的距离分别为和，则椭圆的标准方程为＋＝[解析]由题意可得(\\(＋＝－＝))，∴(\\(＝＝))，∴＝－＝－＝，∴椭圆方程为＋＝.＝有相同焦点的椭圆方程是．过点(－)且与＋＝＋[解析]因为焦点坐标为(±，)，设方程为＋＝，将(－)代入方程可得＋＝，解得＝，故方程为＋＝.三、解答题．已知椭圆的中心在原点，且经过点()，＝，求椭圆的标准方程[解析]当焦点在轴上时，设其方程为＋＝(>>)．由椭圆过点()，知＋＝，又＝，解得＝，＝，故椭圆的方程为＋＝.当焦点在轴上时，设其方程为＋＝(>>)．由椭圆过点()，知＋＝，又＝，联立解得＝，＝，故椭圆的方程为＋＝.故椭圆的标准方程为＋＝或＋＝.级素养提升一、选择题．椭圆＋＝的焦距是，则的值是( )．．或．．或[解析]＝，∴＝，故有－＝或－＝，∴＝或＝，故答案为．．设椭圆的标准方程为＋＝，若其焦点在轴上，则的取值范围是( )．<<．>．<<．<<[解析]由题意得－>－>，∴<<.．若曲线＋＝为焦点在轴上的椭圆，则实数、满足( )．>．<．<<．<<[解析]将方程变为标准方程为＋＝，由已知得，>>，则<<，选．．(·安徽师大附中高二检测)、是椭圆＋＝的两个焦点，为椭圆上一点，且∠＝°，则△的面积为( )．．．．[解析]由已知得＝，＝.。
2.1.2椭圆的简单几何性质(二)课时过关·能力提升基础巩固1.椭圆x 225+y24=1的两个焦点为F1,F2,过点F2的直线交椭圆于A,B两点.若|AB|=8,则|AF1|+|BF1|的值为()A.10B.12C.16D.18|AB|+|AF1|+|BF1|=4a, ∴|AF1|+|BF1|=4×5-8=12.2.已知直线l:x+y-3=0,椭圆x 24+y2=1,则直线与椭圆的位置关系是() A.相交 B.相切C.相离D.相切或相交y=3-x代入x 24+y2=1,得5x2-24x+32=0.Δ=(-24)2-4×5×32=576-640=-64<0,方程无解.故直线l与椭圆相离.3.直线y=x+1被椭圆x 24+y22=1所截得的弦的中点坐标是()A.(23,53)B.(43,73)C.(-2,1)D.(-13,17)A(x1,y1),B(x2,y2)为直线与椭圆的交点,中点M(x0,y0),由{y=x+1,x24+y22=1,得3x2+4x-2=0.x0=x1+x22=12×(-43)=−23,y0=x0+1=13,故中点坐标为(-23,13).4.直线y=kx-k+1与椭圆x 29+y 24=1的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离D.不确定1=k (x-1)+1,所以直线过点(1,1).又因为点(1,1)在椭圆内,所以直线与椭圆相交.5.若点(x ,y )在椭圆4x 2+y 2=4上,则yx -2的最小值为( ) A.1B.-1C.−23√3D.以上都不对6.已知中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为4的椭圆与直线x +√3y +4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( ) A.3√2或4√2B.2√6或2√7 C.2√5或2√7D.√5或√7mx 2+ny 2=1(m ≠n ,且m ,n>0),与直线方程x +√3y +4=0联立,消去x ,得(3m+n )y 2+8√3my +16m −1=0, 由Δ=0,得3m+n=16mn ,即3n +1m=16.① 又c=2,即1m −1n =±4,② 由①②联立得{m =17,n =13或{m =1,n =15, 故椭圆的长轴长为2√7或2√5.7.若直线y=x+2与椭圆x 2m +y 23=1有两个公共点,则m 的取值范围是 .{x 2m+y 23=1,y =x +2,得(m+3)x2+4mx+m=0.∵直线与椭圆有两个公共点,∴Δ=(4m)2-4m(m+3)=16m2-4m2-12m=12m2-12m>0,解得m>1或m<0.又m>0,且m≠3,∴m>1,且m≠3.∪(3,+∞)8.若直线3x-y-2=0截焦点为(0,±5√2)的椭圆所得弦中点的横坐标是12,则该椭圆的标准方程是.y2a2+x2b2=1(a>b>0),由{y2a2+x2b2=1,3x-y-2=0,联立得(a2+9b2)x2-12b2x+4b2-a2b2=0,x1+x2=12b2a2+9b2=1,∴a2=3b2.①又由焦点为(0,±5√2)知,a2-b2=50.②由①②,得a2=75,b2=25.故所求椭圆方程为x225+y275=1.y275=19.椭圆ax2+by2=1(a>0,b>0,且a≠b)与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2√2,直线OC的斜率为√22,求椭圆的方程.,得{ax2+by2=1,x+y=1,则(a+b)x2-2bx+b-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=√(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=√2·√4b2-4(a+b)(b-1)(a+b)2.∵|AB|=2√2,∴√a+b-aba+b=1.①设C(x,y),则x=x1+x22=ba+b,y=1−x=aa+b.∵直线OC 的斜率为√22,∴a b =√22. 代入①得a =13,b =√23. ∴椭圆方程为x 23+√2y 23=1. 10.如图,椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点A(0,−1),且离心率为√22. (1)求椭圆E 的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ,Q (均异于点A ),证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为2.c a =√22,b =1,结合a 2=b 2+c 2,解得a =√2. 所以椭圆的方程为x 22+y2=1.,直线PQ 的方程为y=k (x-1)+1(k ≠2),代入x 22+y2=1,得(1+2k 2)x 2-4k (k-1)x+2k (k-2)=0. 由已知Δ>0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),x 1x 2≠0, 则x 1+x 2=4k (k -1)1+2k2,x1x2=2k (k -2)1+2k2.从而直线AP ,AQ 的斜率之和 k AP +k AQ =y 1+1x 1+y 2+1x 2=kx 1+2-k x 1+kx 2+2-kx 2=2k+(2-k )(1x 1+1x 2)=2k +(2−k)x 1+x2x 1x 2=2k+(2-k )4k (k -1)2k (k -2)=2k −2(k −1)=2.能力提升1.设P ,Q 分别为圆x 2+(y-6)2=2和椭圆x 210+y2=1上的点,则P,Q 两点间的最大距离是( )A.5√2B.√46+√2C.7+√2D.6√2Q (x ,y ),则该点到圆心的距离d =√(x -0)2+(y -6)2=√x 2+(y -6)2=√10(1-y 2)+(y -6)2=√-9y 2-12y +46,y ∈[-1,1], ∴当y=−-122×(-9)=−23时,d max =√-9×(-23)2-12×(-23)+46=√50=5√2.∴圆上点P 和椭圆上点Q 的距离的最大值为d max +r=5√2+√2=6√2.故选D.2.已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236+y 29=1所截得的线段的中点,则l 的方程是( ) A.x-2y=0 B.x+2y-4=0 C.2x+3y+4=0D.x+2y-8=0l 与椭圆的两交点分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则有{x 1236+y 129=1, ①x 2236+y 229=1,②①-②,得(x 1+x 2)(x 1-x 2)36+(y 1+y 2)(y 1-y 2)9=0.由x 1+x 2=8,y 1+y 2=4,可得2(x 1-x 2)+4(y 1-y 2)=0,即y 1-y2x 1-x 2=−12.故方程为y-2=−12(x −4), 即x+2y-8=0.3.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√32,过右焦点F 且斜率为k(k >0)的直线与C 相交于A,B 两点,若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则k 等于( ) A.1 B .√2C .√3D.2C 的离心率为√3,得c =√3a,b2=a 2. ∴椭圆C :x 22+4y 22=1. 设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),F (√32a ,0).∵AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(√32a -x A ,-y A )=3(x B -√32a ,y B ).∴{√32a -x A =3(x B -√32a),-y A =3y B , 即{x A +3x B =2√3a ,y A +3y B =0.①将点A ,B 的坐标代入椭圆C ,得{x A2a 2+4y A2a 2=1,x B2a 2+4y B 2a2=1,②③③×9-②,得9x B 2-x A2a 2=8,(3x B +x A )(3x B -x A )a 2=8,∴3x B -x A =4√33a.④联立①④,得{x A +3x B =2√3a ,3x B -x A =4√33a , 解得x A =√33a,xB =5√39a. ∴y A =−√66a,yB =√618a. ∴k =y B -y A x B -x A=√618a+√66a 5√39a -√33a=√2.4.若直线ax+by+4=0和圆x 2+y 2=4没有公共点,则过点(a ,b )的直线与椭圆x 29+y 24=1的公共点个数为 .直线ax+by+4=0与圆x 2+y 2=4没有公共点,∴√a 2+b 2>2,∴√a 2+b 2<2.∴点(a ,b )在椭圆内,即过点(a ,b )的直线与椭圆相交,有2个公共点.★5.如图,过点M (-2,0)的直线m 与椭圆x 22+y2=1交于点P1,P2,线段P1P2的中点为P,设直线m 的斜率为k1(k1≠0),直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为 .P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),代入椭圆方程得{x 122+y 12=1,x 222+y 22=1,两式相减并变形整理得y 2-y 1x 2-x 1·y 1+y 2x 1+x 2=−12.设P (x 0,y 0),则y 1+y 2=2y 0,x 1+x 2=2x 0,k 2=y 0x 0,k1=y 2-y 1x 2-x 1,故k 1k 2=−12.16.在平面直角坐标系xOy 中,点P 到两点(0,−√3),(0,√3)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为C. (1)写出C 的方程;(2)设直线y=kx+1与C 交于A ,B 两点,则k 为何值时,OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ?此时|AB|的值是多少?设P (x ,y ),由椭圆定义可知,点P 的轨迹C 是以(0,−√3),(0,√3)为焦点,长半轴长为2的椭圆.它的焦距为2√3,所以短半轴的平方为1,故曲线C 的方程为x 2+y 24=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 其坐标满足{x2+y 24=1,y =kx +1.消去y ,并整理得(k 2+4)x 2+2kx-3=0, 故x 1+x 2=−2k k 2+4,x1x2=−3k 2+4.∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴x1x2+y1y2=0. ∵y 1y 2=k 2x 1x 2+k (x 1+x 2)+1, ∴x 1x 2+y 1y 2 =−3k 2+4−3k2k 2+4−2k2k 2+4+1=-4k 2+1k 2+4.又x 1x 2+y 1y 2=0, ∴k=±12.当k=±12时,x 1+x 2=∓417,x1x2=−1217. |AB|=√(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2=√(1+k 2)(x 2-x 1)2,而(x 2-x 1)2=(x 2+x 1)2-4x 1x 2=(417)2+4×1217=43×13172,∴|AB|=√54×43×13172=4√6517. ★7.已知椭圆G :x 24+y2=1,过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l 交椭圆G 于A,B 两点. (1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率;(2)将|AB|表示为m 的函数,并求|AB|的最大值.由已知得a=2,b=1,所以c =√a 2-b 2=√3.所以椭圆G 的焦点坐标为(−√3,0),(√3,0), 离心率为e =c a =√32. (2)由题意知,|m|≥1.当m=1时,切线l 的方程为x=1, 点A ,B 的坐标分别为(1,√32),(1,-√32).此时|AB|=√3.当m=-1时,同理可得|AB|=√3. 当|m|>1时,设切线l 的方程为y=k (x-m ).由{y =k (x -m ),x 24+y 2=1,得(1+4k 2)x 2-8k 2mx+4k 2m 2-4=0. 设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则x 1+x 2=8k 2m 1+4k2,x1x2=4k 2m 2-41+4k2. 又由l 与圆x 2+y 2=1相切,|km |√k +1=1,即m 2k 2=k 2+1.所以|AB|=√1+k 2|x1−x2|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=√(1+k 2)[64k 4m 2(1+4k 2)2-4(4k 2m 2-4)1+4k 2]=4√3|m |m 2+3.因为当m=±1时,|AB|=√3, 所以|AB|=4√3|m |m 2+3,m ∈(-∞,-1]∪[1,+∞). 因为|AB|=4√3|m |m 2+3=4√3|m |+3|m |≤2,且当m=±√3时,|AB|=2, 所以|AB|的最大值为2.。
最新人教版数学精品教学资料第二章 学业质量标准检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线x 2－5y 2＝5的焦距为导学号 03624597( B ) A ． 6 B ．2 6 C ．2 3D ．4 3[解析] 双曲线方程化为标准方程为x 25－y 2＝1，∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝6，∴c＝ 6.∴焦距为2c ＝2 6.2．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是导学号 03624598( C ) A ．y 2＝－4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y[解析] ∵抛物线过点(－4,4)，∴设其方程为：y 2＝－2px 或x 2＝2py (p >0)，将(－4,4)代入可得p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .3．若椭圆x 29＋y 2m2＝1(m >0)的一个焦点坐标为(1,0)，则m 的值为导学号 03624599( D )A ．5B ．3C ．2 3D ．2 2[解析] 由题意得9－m 2＝1，∴m 2＝8，又m >0，∴m ＝2 2.4．3<m <5是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的导学号 03624600( A )A ．充分但非必要条件B ．必要但非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件[解析] 当3<m <5时，m －5<0，m 2－m －6>0，∴方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线．若方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线，则(m －5)(m 2－m －6)<0， ∴m <－2或3<m <5，故选A ．5．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于导学号 03624601( C )A ．31414B ．324C ．32D ．43[解析] 由条件知，a 2＋5＝9，∴a 2＝4，∴e ＝c a ＝32.6．如果点P (2，y 0)在以点F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上，则|PF |＝导学号 03624602( C )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 根据抛物线的定义点P 到点F 的距离等于点P 到其准线x ＝－1的距离d ＝|2－(－1)|＝3，故C 正确．7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m为边长的三角形一定是导学号 03624603( B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形[解析] 双曲线的离心率e 1＝a 2＋b 2a ，椭圆的离心率e 2＝m 2－b 2m ，由a 2＋b 2a ·m 2－b 2m＝1得a 2＋b 2＝m 2，故为直角三角形．8．(2015·全国卷Ⅰ文)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝导学号 03624604( B )A ．3B ．6C ．9D ．12[解析] 如图：∵抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， ∴椭圆E 的右焦点为(2,0)，∴c ＝2，∵c a ＝12，∴a ＝4， ∴b 2＝a 2－c 2＝12.∵抛物线的准线为x ＝－2， ∴|AB |＝2b 2a ＝2×124＝6.9．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有导学号 03624605( C )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3| [解析] ∵2x 2＝x 1＋x 3， ∴2(x 2＋p 2)＝(x 1＋p 2)＋(x 2＋p2)， ∴2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|，故选C ．10．(2016·山东济宁高二检测)已知F 1、F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A 、B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为导学号 03624606( A )A ．6B ．5C ．4D ．3[解析] 由椭圆方程可知，a 2＝16，∴a ＝4.在△ AF 1B 中，由椭圆定义可知周长为4a ＝16，若有两边之和是10，∴第三边的长度为6.11．已知动圆P 过定点A (－3,0)，并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64内切，则动圆的圆心P 的轨迹是导学号 03624607( D )A ．线段B ．直线C ．圆D ．椭圆[解析] 如下图，设动圆P 和定圆B 内切于M ，则动圆的圆心P 到两点，即定点A (－3,0)和定圆的圆心B (3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA |＋|PB |＝|PM |＋|PB |＝|BM |＝8.∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，故选D ．12．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为导学号 03624608( B )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0[解析] ∵直线与圆无交点，∴4m 2＋n 2>2，∴m 2＋n 2<4，∴点P 在⊙O 内部， 又⊙O 在椭圆内部，∴点P 在椭圆内部， ∴过点P 的直线与椭圆有两个交点．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．(2016·广东河源市高二检测)抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点的距离为3，则点P 到y 轴的距离为__2__.导学号 03624609[解析] 如图所示，F 为抛物线x 2＝4y 的焦点，直线y ＝－1为其准线，过点P 作准线的垂线，垂足为A 且交x 轴于点B ．∵|PF |＝3，∴|PA |＝3，∴|PB |＝2.14．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为 12.导学号 03624610[解析] ∵AB ＝2c ＝4，∴c ＝2. 又AC ＋CB ＝5＋3＝8＝2a ，∴a ＝4.∴椭圆离心率为c a ＝12.15．(2017·山东文，15)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为 y ＝±2x .导学号 03624611 [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2pb 2a2.又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |， ∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ， ∴2pb2a ＝p ，即b 2a 2＝12， ∴b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 16．(2016·山东青岛高二检测)设抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，直线l 过F 与C 交于A 、B 两点，若|AF |＝3|BF |，则l 2导学号 03624612[解析] 由题意得，抛物线y 2＝2x 的焦点F (12，0)．设l ：y ＝k (x －12)，A (x 1，y 2)、B (x 2，y 2)，则由|AF |＝3|BF |得x 1＋12＝3(x 2＋12)，即x 1＝3x 2＋1；联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝k x －12，得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0，则x 1x 2＝x 2(3x 2＋1)＝14，解得x 2＝16，又x 1＋x 2＝4x 2＋1＝1＋2k 2，即k 2＝3，k ＝±3，即直线l 的方程为y ＝±3(x －12)． 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)求下列双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线；(2)以椭圆3x 2＋13y 2＝39的焦点为焦点，以直线y ＝±x2为渐近线的双曲线.导学号 03624613[解析] (1)∵双曲线x 216－y 24＝1的焦点为(±25，0)，∴设所求双曲线方程为：x 2a 2－y 220－a2＝1(20－a 2>0)又点(32，2)在双曲线上， ∴18a2－420－a2＝1，解得a 2＝12或30(舍去)， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.(2)椭圆3x 2＋13y 2＝39可化为x 213＋y 23＝1，其焦点坐标为(±10，0)， ∴所求双曲线的焦点为(±10，0)，设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)∵双曲线的渐近线为y ＝±12x ，∴b a ＝12，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝10－a 2a 2＝14，∴a 2＝8，b 2＝2， 即所求的双曲线方程为：x 28－y 22＝1.18．(本题满分12分)根据下列条件求抛物线的标准方程：导学号 03624614 (1)已知抛物线的焦点坐标是F (0，－2)； (2)焦点在x 轴负半轴上，焦点到准线的距离是5.[解析] (1)因为抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且－p2＝－2，所以p ＝4，所以，所求抛物线的标准方程是x 2＝－8y .(2)由焦点到准线的距离为5，知p ＝5，又焦点在x 轴负半轴上，所以，所求抛物线的标准方程是y 2＝－10x .19．(本题满分12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.导学号 03624615 [解析] (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x . (2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1、x 2＝4，y 1＝－22、y 2＝42， 从而A (1，－22)、B (4,42)．设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)， 又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.20．(本题满分12分)已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)经过点P (32，1)，离心率e ＝32，直线l 与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，向量m ＝(ax 1，by 1)、n ＝(ax 2，by 2)，且m ⊥n .(1)求椭圆的方程；导学号 03624616(2)当直线l 过椭圆的焦点F (0，c )(c 为半焦距)时，求直线l 的斜率k .[解析] (1)由条件知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝321a 2＋34b 2＝1a 2＝b 2＋c2，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1.∴椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(2)依题意，设l 的方程为y ＝kx ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3y 24＋x 2＝1，消去y 得(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0，显然Δ>0，x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1x 2＝－1k 2＋4，由已知m ·n ＝0得， a 2x 1x 2＋b 2y 1y 2＝4x 1x 2＋(kx 1＋3)(kx 2＋3)＝(4＋k 2)x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋3＝(k 2＋4)(－1k 2＋4)＋3k ·－23k k 2＋4＋3＝0，解得k ＝± 2. 21．(本题满分12分)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为233，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32.导学号 03624617 (1)求双曲线C 的方程；(2)直线y ＝kx ＋m (km ≠0)与该双曲线C 交于不同的两点C 、D ，且C 、D 两点都在以点A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围．[解析] (1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝233ab a 2＋b2＝32a 2＋b 2＝c2，解得a 2＝3，b 2＝1.所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 23－y 2＝1，消去y 得，(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0，由已知：1－3k 2≠0且Δ＝12(m 2＋1－3k 2)>0⇒m 2＋1>3k 2① 设C (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，CD 的中点P (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝3km1－3k2， y 0＝kx 0＋m ＝m1－3k2，因为AP ⊥CD ，所以k AP ＝m1－3k 2＋13km 1－3k2－0＝m ＋1－3k 23km ＝－1k，整理得3k 2＝4m ＋1②联立①②得m 2－4m >0，所以m <0或m >4，又3k 2＝4m ＋1>0， 所以m >－14，因此－14<m <0或m >4.22．(本题满分12分)(2017·山东文，21)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆C 截直线y ＝1所得线段的长度为2 2.导学号 03624618(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值．[解析] (1)由椭圆的离心率为22， 得a 2＝2(a 2－b 2)，又当y ＝1时，x 2＝a 2－a 2b2，得a 2－a 2b2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2. 因此椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y22＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0. 由Δ>0得m 2<4k 2＋2，(*) 且x 1＋x 2＝－4km2k 2＋1，因此y 1＋y 2＝2m2k 2＋1，所以D (－2km 2k 2＋1，2m2k 2＋1)．又N (0，－m )，所以|ND |2＝(－2km 2k 2＋1)2＋(m 2k 2＋1＋m )2，整理得|ND |2＝4m2＋3k 2＋k 4k 2＋2.因为|NF |＝|m |， 所以|ND |2|NF |＝k 4＋3k 2＋k ＋＝1＋8k 2＋3k ＋.令t ＝8k 2＋3，t ≥3， 故2k 2＋1＝t ＋14. 所以|ND |2|NF |2＝1＋16t ＋t2＝1＋16t ＋1t＋2. 令y ＝t ＋1t，由函数单调性可知y ＝t ＋1t在[3，＋∞)上单调递增，因此t ＋1t ≥103，等号当且仅当t ＝3时成立，此时k ＝0， 所以|ND |2|NF |2≤1＋3＝4.由(*)得－2<m <2且m ≠0， 故|NF ||ND |≥12. 设∠EDF ＝2θ，则sin θ＝|NF ||ND |≥12， 所以θ的最小值为π6，从而∠EDF 的最小值为π3，此时直线l 的斜率是0.综上所述，当k ＝0，m ∈(－2，0)∪(0，2)时，∠EDF 取到最小值π3.。
02第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程课时过关·能力提升基础巩固1.若动点M到两个定点F1,F2的距离之和为定值m,则点M的轨迹是()A.椭圆B.线段C.不存在D.以上都可能|MF1|+|MF2|=m,∴当m>|F1F2|时,点M的轨迹为椭圆;当m=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2;当m<|F1F2|时,点M的轨迹不存在.2.椭圆x 216+y225=1的焦点坐标是()A.(±4,0)B.(0,±4)C.(±3,0)D.(0,±3)3.在椭圆的标准方程中,a=6,b=5,则椭圆的标准方程是()A.x 236+y225=1B.y 236+x225=1C.x 236+y2=1D.x 236+y225=1或y236+x225=1,所以椭圆的方程应有两种形式.4.已知椭圆x 2+y 2=1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2,N 是MF 的中点,O 为坐标原点,那么线段ON 的长是( ) A.2 B.4 C.8 D .325.若方程x 225-m +y 2m+9=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数m 的取值范围是( ) A.-9<m<25 B.8<m<25C.16<m<25D.m>8,得{m +9>0,25-m >0,m +9>25-m ,解得8<m<25.6.已知椭圆的两焦点为F 1(-2,0),F 2(2,0),P 为椭圆上的一点,且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项.该椭圆的方程是( )A .x 212+y 264=1B.x 216+y 212=1 C .x 24+y 216=1D.x 24+y 212=17.已知椭圆x 29+y 22=1的焦点为F1,F2,点P 在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|= ,∠F 1PF 2= .|PF 1|+|PF 2|=6,且|PF 1|=4,知|PF 2|=2.在△PF 1F 2中, cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=−12.故∠F 1PF 2=120°.120°8.已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若△PF 1F 2的面积为9,则b= .,有{|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PF 1|·|PF 2|=18,|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,解得4c 2+36=4a 2, 即a 2-c 2=9,故有b=3.9.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0),椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于6,求椭圆的方程; (2)椭圆的焦点为F 1(0,-5),F 2(0,5),点P (3,4)是椭圆上的一个点,求椭圆的方程.设椭圆方程为x 22+y 2b2=1(a >b >0),则由题意,a=3,c=2,得b 2=5. 故椭圆方程为x 29+y 25=1. (2)因为焦点为F 1(0,-5),F 2(0,5), 所以可设椭圆方程为y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0).2a =√32+(4+5)2+√32+(4-5)2=4√10, 所以a=2√10,c =5,b2=40−25=15, 故椭圆方程为y 240+x 215=1.10.一动圆与已知圆O 1:(x+3)2+y 2=1外切,与圆O 2:(x-3)2+y 2=81内切,试求动圆圆心的轨迹方程.O 1(-3,0),r 1=1;O 2(3,0),r 2=9.设动圆圆心为M (x ,y ),半径为R , 由题设条件,可知|MO 1|=1+R ,|MO 2|=9-R , 则|MO 1|+|MO 2|=10>|O 1O 2|=6.由椭圆的定义,知M 在以O 1,O 2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3,则b 2=a 2-c 2=25-9=16. 故动圆圆心的轨迹方程为x 225+y 216=1.能力提升1.椭圆mx 2+ny 2+mn=0(m<n<0)的焦点坐标是( ) A.(0,±√m -n)B.(±√m -n,0) C.(0,±√n -m)D.(±√n -m,0)x2-n+y2-m=1.∵m<n<0,∴0<-n<-m.∴焦点在y轴上,且c=√-m-(-n)=√n-m.2.设P是椭圆x2+y2=1上一点,P到两焦点F1,F2的距离之差为2,则△PF1F2是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形|PF1|+|PF2|=2a=8.又|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=5,|PF2|=3.∵|F1F2|=2c=2√16-12=4,∴△PF1F2为直角三角形.3.设F1,F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△PF1F2的面积等于()A.5B.4C.3D.14.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为()A.2B.3C.6D.8F(-1,0),设点P(x0,y0),则y02=3(1-x024)(−2≤x0≤2),OP⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP⃗⃗⃗⃗⃗ =x0(x0+1)+y2=x2+x0+y2=x02+x0+3(1-x024)=14(x0+2)2+2,当x0=2时,OP⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为6.5.设P为椭圆x24+y29=1上的任意一点,F1,F2分别为其上、下焦点,则|PF1|·|PF2|的最大值是.a=3,|PF1|+|PF2|=2a=6,则|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|+|PF 2|2)2=9,当且仅当|PF 1|=|PF 2|=3时,式中取等号. 故|PF 1|·|PF 2|的最大值为9.★6.已知椭圆x 2+y2=1的两个焦点为F1,F2,过左焦点F1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|= .F 1的坐标为(−√3,0),设P (−√3,y),把P (−√3,y)代入椭圆的方程中,得|y|=12, 即|PF 1|=12.根据椭圆的定义,得|PF 1|+|PF 2|=4, 故|PF 2|=4-|PF 1|=4−1=7. 7.求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)过点A (√63,√3)和B (2√23,1)的椭圆; (2)过点(-3,2),且与x 29+y 24=1有相同焦点的椭圆.因为不确定焦点在哪个坐标轴上,所以可直接设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n ),代入A ,B 两点的坐标,列出方程组,求出m ,n 即可.(2)先求出公共焦点,再结合过点(-3,2)求解.设所求椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n ).∵椭圆过点A (√63,√3)和B (2√23,1), ∴{m ·(√63)2+n ·(√3)2=1,m ·(2√23)2+n ·12=1,解得{m =1,n =19.∴所求椭圆的标准方程为x 2+y 29=1.(2)∵已知椭圆x 29+y 24=1中a=3,b=2,且焦点在x 轴上,∴c 2=9-4=5.∴设所求椭圆方程为x 2a 2+y 2a 2-5=1. ∵点(-3,2)在所求椭圆上,∴9a 2+4a 2-5=1.∴a 2=15或a 2=3(舍去).∴所求椭圆方程为x 215+y 210=1.★8.已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),点P 是椭圆上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且∠F 1PF 2=α,求△PF 1F 2的面积.|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则m+n=2a.又|F 1F 2|=2c ,∠F 1PF 2=α, 则4c 2=m 2+n 2-2mn cos α, ∴4c 2=(m+n )2-2mn (1+cos α), ∴2mn (1+cos α)=4a 2-4c 2=4b 2, ∴mn =2b 21+cosα. ∴S △F 1PF 2=12mnsin α=b 2sinα1+cosα=2b 2sin α2cos α22cos 2α2=b2tan α2.。
2.3.2抛物线的简单几何性质(一)课时过关·能力提升基础巩固1.抛物线2y=3x2的准线方程为()A.y=−16B.y=−14C.y=−12D.y=−12.已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切,则p=()A.1B.2C.3D.4y2=2px的准线为x=−p2,圆的标准方程为(x-3)2+y2=42,故圆心为(3,0),半径为4,则3+p2=4.故p=2.3.如图,已知点Q(2√2,0)及抛物线y=x 24上的动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是() A.2 B.3C.4D.2√2,过P作PM垂直抛物线的准线于点M,则由抛物线的定义,可知y+|PQ|=|PM|-1+|PQ|=|PF|+|PQ|-1,当且仅当P ,F ,Q 三点共线时,|PF|+|PQ|最小,由F (0,1),Q (2√2,0),得最小值为|QF|=√(2√2-0)2+(0-1)2=3.故y+|PQ|的最小值为3-1=2.4.设过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点的弦为AB ,则|AB|的最小值为( ) A .p2B.p C.2pD.无法确定AB ⊥x 轴时,|AB|取最小值,最小值为2p.5.若抛物线y 2=x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为( ) A .(14,±√24)B.(18,±√24)C .(14,√24)D.(18,√24),点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离,因此点P 在线段OF 的垂直平分线上,而F (1,0),所以点P 的横坐标为1,代入抛物线方程得y=±√2,故点P 的坐标为(1,±√2),故选B.6.设抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A ,B 两点,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是( ) A .34B.−34C.3D.−37.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A ,B 两点,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).若x 1+x 2=6,则|AB|= ,直线AB 过焦点,∴|AB|=x 1+x 2+p=6+2=8.8.已知抛物线y 2=2px (p>0),直线l 经过其焦点且与x 轴垂直,并交抛物线于A ,B 两点,若|AB|=10,P 为抛物线的准线上一点,则△ABP 的面积为 .,x A =x B =p2,∴10=x A +x B +p=2p=10,∴p=5.又点P 到AB 的距离为焦点到准线的距离, ∴S △ABP =12|AB|·p =12×10×5=25.9.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若|AB|=7,则AB的中点M到抛物线准线的距离为.(1,0),准线方程为x=-1,p=2.由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p,即x1+x2+p=7,所以x1+x2=5.于是弦AB的中点M的横坐标为5,因此M到抛物线准线的距离为5+1=7.10.若长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动,M为AB的中点,求点M到y轴的最短距离.F,连接AF,BF,如图,抛物线y2=2x的准线为l:x=−12,过点A,B,M分别作AA',BB',MM'垂直于l,垂足分别为点A',B',M'.由抛物线定义,知|AA'|=|FA|,|BB'|=|FB|.又M为AB的中点,由梯形中位线定理,得|MM'|=12(|AA′|+|BB′|)=12(|FA|+|FB|)≥12|AB|=1 2×3=32,则x≥32−12=1(x为点M的横坐标,当且仅当AB过抛物线的焦点时取得等号), 所以x min=1,即点M到y轴的最短距离为1.能力提升1.如图,F 为抛物线y 2=4x 的焦点,A ,B ,C 在抛物线上,若FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |等于( ) A.6 B.4 C.3D.2A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),又F (1,0),且FA⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴x 1-1+x 2-1+x 3-1=0,∴x 1+x 2+x 3=3.∴|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x1+p 2+x2+p 2+x3+p 2=6.2.已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ,点A 在C 上且|AK|=√2|AF|,则△AFK 的面积为 ( )A.4B.8C.16D.32抛物线C :y 2=8x 的焦点为F (2,0),准线为x=-2,∴K (-2,0).设A (x 0,y 0),如图,过点A 向准线作垂线,垂足为B ,则B (-2,y 0). ∵|AK|=√2|AF|,又|AF|=|AB|=x 0-(-2)=x 0+2, ∴由|BK|2=|AK|2-|AB|2,得y 02=(x0+2)2,即8x 0=(x 0+2)2,解得x 0=2,y 0=±4.∴△AFK 的面积为12|KF|·|y 0|=12×4×4=8.3.设M (x 0,y 0)为抛物线C :x 2=8y 上一点,点F 为抛物线C 的焦点,以F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C 的准线相交,则y 0的取值范围是( ) A.(0,2) B.[0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞)4.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x 23−y23=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=.y=−p2,设A,B的横坐标分别为x A,x B,则|x A|2=|x B|2=3+p42,所以|AB|=|2x A|.又焦点到准线的距离为p,由等边三角形的特点得p=√32|AB|,即p2=34×4×(3+p42),解得p=6.5.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,若A,B在准线上的射影为A1,B1,则∠A1FB1=.如图,由抛物线定义知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,∴∠AA1F=∠AFA1,又∠AA1F=∠A1FO,∴∠AFA1=∠A1FO,同理∠BFB1=∠B1FO,于是∠AFA1+∠BFB1=∠A1FO+∠B1FO=∠A1FB1.故∠A1FB1=90°.★6.已知抛物线x2=4y的焦点为F,经过点F的直线与抛物线相交于A,B两点,则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是.直线AB过焦点,∴以AB为直径的圆与准线y=-1相切,∴当圆的半径最小时,在x轴上截得弦长最小.又AB⊥y轴时最小,最小值为2p=4,∴圆半径r=2,圆心即焦点到x轴的距离为1,∴圆截x轴所得弦长为2√r2-1=2√3.√37.如图,过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ,B ,交其准线于点C ,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,求此抛物线的方程.A ,B 分别作准线的垂线AA',BD ,垂足分别为点A',D ,则|BF|=|BD|.又2|BF|=|BC|,∴在Rt △BCD 中,∠BCD=30°. 又|AF|=3,∴|AA'|=3,|AC|=6,|FC|=3.∴点F 到准线的距离p =1|FC|=3. ∴y 2=3x.★8.已知过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点,斜率为2√2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值.直线AB 的方程是y=2√2(x -p),与y 2=2px 联立,从而有4x 2-5px+p 2=0,所以x 1+x 2=5p4.由抛物线定义得|AB|=x 1+x 2+p=9, 所以p=4,从而抛物线方程是y 2=8x.(2)由p=4,4x 2-5px+p 2=0可简化为x 2-5x+4=0,从而x 1=1,x 2=4,y 1=-2√2,y2=4√2, 从而A (1,-2√2),B(4,4√2).设OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x3,y3)=(1,−2√2)+λ(4,4√2)=(4λ+1,4√2λ−2√2), 又y 32=8x3,即 [2√2(2λ−1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1, 解得λ=0或λ=2.。
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考前过关训练(二)圆锥曲线与方程(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分)1.(2015·湖南高考)若双曲线-=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选D.因为双曲线的一条渐近线经过点(3,-4),所以3b=4a,所以9(c2-a2)=16a2,所以e==.【补偿训练】(2016·长沙高二检测)已知椭圆C:+ =1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与圆x2+y2=b2相切于点A,并与椭圆C交于不同的两点P,Q,如图,若PF1⊥PQ,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【解题指南】连接OA,PF1,则OA⊥PQ,又PF1⊥PQ,所以A为线段PF2的中点,于是PF1=2b.结合椭圆的定义有PF2=2a-2b,由此能求出椭圆的离心率.【解析】选C.连接OA,PF1,则OA⊥PQ,又PF1⊥PQ,可得OA∥PF1,所以A为线段PF2的中点,于是PF1=2b.结合椭圆的定义有PF2=2a-2b,在直角三角形PF1F2中,利用勾股定理得(2a-2b)2+(2b)2=(2c)2,将c2=a2-b2代入,整理可得b=a,于是e====.2.(2016·南昌高二检测)过双曲线C:-=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解题指南】设右焦点为F,|OF|=|AF|=4.【解析】选A.设右焦点为F.由题意得|OF|=|AF|=4,即a2+b2=16,可设A(a,b),由F(4,0)可得(a-4)2+b2=16,故a=2,b2=12,所以双曲线的方程为-=1.3.(2016·广州高二检测)以(-6,0),(6,0)为焦点,且经过点(-5,2)的双曲线的标准方程是( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选C.设双曲线的标准方程是-=1(a>0,b>0),因为双曲线以(-6,0),(6,0)为焦点,且经过点(-5,2),所以解之得a2=20,b2=16,因此,该双曲线的标准方程为-=1.4.(2016·西安高二检测)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2= ( )A. B. C. D.【解析】选C.依题意:a=b=,所以c=2.因为|PF1|=2|PF2|,则设|PF2|=m,则|PF1|=2m,又|PF1|-|PF2|=2=m.所以|PF1|=4,|PF2|=2.又|F1F2|=4,所以cos∠F1PF2==.5.(2016·桂林高二检测)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A,与抛物线的准线的交点为B,点A在抛物线准线上的射影为C,若=,·=48,则抛物线的方程为( )A.y2=4xB.y2=8xC.y2=16xD.y2=4x【解析】选A.设抛物线的准线与x轴的交点为D,依题意,F为线段AB的中点,故|AF|=|AC|=2|FD|=2p,|AB|=2|AF|=2|AC|=4p,所以∠ABC=30°,||=2p,·=4p·2p·cos30°=48,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.6.已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点.若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈,则该椭圆离心率e的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】选A.已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,设左焦点为N连接AF,AN,BN,BF,所以:四边形AFBN为长方形.根据椭圆的定义得|AF|+|AN|=2a,∠ABF=α,则∠ANF=α.所以:2a=2ccosα+2csinα利用e===,α∈,所以≤α+≤,则≤≤-1,即椭圆离心率e的取值范围为.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2016·济南高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为.【解题指南】本题考查了双曲线的知识,利用双曲线与抛物线准线的交点为突破口求出a,b 之间的关系,进而求得双曲线的渐近线方程.【解析】由题意知==b,抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为,即(c,-b),代入双曲线方程为-=1,得=2,所以==1,所以渐近线方程为y=±x.答案:y=±x【补偿训练】若曲线+=1的焦距与k无关,则它的焦点坐标是.【解析】因为k+5>k-2,又曲线+=1的焦距与k无关,所以k+5>0,k-2<0,曲线是焦点在y轴上的双曲线,且a2=k+5,b2=2-k,c2=a2+b2=7,故焦点坐标为(0,±).答案:(0,±)8.(2016·青岛高二检测)已知椭圆+=1,过点P(1,1)作直线l与椭圆交于A,B两点,且点P是线段AB的中点,则直线l的斜率为.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则①-②,得+=0,又点P(1,1)是AB的中点,所以x1+x2=2,y1+y2=2,所以+=0,从而+y1-y2=0,又x1≠x2,所以直线l的斜率k==-.答案:-9.(2016·重庆高二检测)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是.【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线A1B1和A2B2的斜率之间的关系即可. 【解析】由题意知,直线A1B1和A2B2关于x轴对称,又所成的角为60°,所以直线方程为y=±x或y=±x.又因为有且只有一对相交于点O所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,所以渐近线斜率满足<≤,解得<e≤2.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)10.(2016·衡水高二检测)已知A,B,C均在椭圆M:+y2=1(a>1)上,直线AB,AC分别过椭圆的左右焦点F1,F2,当·=0时,有9·=.(1)求椭圆M的方程.(2)设P是椭圆M上的任一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任一条直径,求·的最大值. 【解析】(1)因为·=0,所以有⊥,所以△AF1F2为直角三角形,所以||cos∠F1AF2=||,因为9·=,所以9·=9||||cos∠F1AF2=9||2==||2,所以||=3||,又||+||=2a,所以||=,||=,在Rt△AF1F2中,有||2=||2+||2,即=+4(a2-1),解得a2=2,椭圆M的方程为+y2=1.(2)·=(-)·(-)=(--)·(-)=(-)2-=-1,从而将求·的最大值转化为求的最大值,P是椭圆M上的任一点,设P(x0,y0),则有+=1,即=2-2,又N(0,2),所以=+(y0-2)2=-(y0+2)2+10,而y0∈,所以当y0=-1时,取最大值9,故·的最大值为8.【补偿训练】设抛物线y2=2px(p>0),Rt△AOB内接于抛物线,O为坐标原点,AO⊥BO,AO所在的直线方程为y=2x,|AB|=5,求抛物线的方程.【解题指南】根据AO⊥BO,直线AO的斜率为2,可知直线BO的斜率为-,进而得出直线BO 的方程.把这两条直线方程代入抛物线方程,分别求出A,B的坐标.根据两点间的距离为5求得p.【解析】因为AO⊥BO,直线AO的斜率为2,所以直线BO的斜率为-,即直线BD的方程为y=-x,把直线y=2x代入抛物线方程解得A坐标为,把直线y=-x代入抛物线方程解得B坐标为(8p,-4p).因为|AB|=5,所以+p2+64p2+16p2=25×13,所以p2=4,因为p>0,所以p=2.故抛物线方程为y2=4x.11.(2016·郑州高二检测)已知经过点A(-4,0)的动直线l与抛物线G:x2=2py(p>0)相交于B,C.(1)当直线l的斜率是时,=,求抛物线G的方程.(2)设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.【解析】(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),由已知得,当k1=时, l方程为y=(x+4),即x=2y-4.由得2y2-(8+p)y+8=0,所以由根与系数的关系得又因为=,所以y2=y1或y1=4y2.由p>0得:y1=4,y2=1,p=2,即抛物线G的方程为x2=4y.(2)由题意知l的斜率存在.设l:y=k(x+4),BC中点坐标为(x0,y0),由得x2-4kx-16k=0.①所以x0==2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k.所以BC的垂直平分线的方程为y-2k2-4k=-(x-2k),所以BC的垂直平分线在y轴上的截距为b=2k2+4k+2=2(k+1)2,对于方程①由Δ=16k2+64k>0得k>0或k<-4.所以b∈(2,+∞).所以b的取值范围为(2,+∞).关闭Word文档返回原板块。
