成比例线段2
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成比例线段教学目标【知识与技能】1.掌握比例线段的概念及其性质.2.会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例.3.知道黄金分割的定义,会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.【过程与方法】能够灵活运用比例线段的性质解决问题.【情感态度】感知知识的实际应用,增强对知识就是力量的客观认识,进一步加强理论联系实际的学习方法.【教学重点】能够灵活运用比例线段的性质解决问题.【教学难点】掌握黄金分割的概念,并能解决相关的实际问题.教学过程一、情景导入,初步认知1.1、2、4、8这四个数成比例吗?如何确定四个数成比例?2.比例根本性质是什么?【教学说明】复习回忆,引入新课.二、思考探究,获取新知1.如以以下图,在方格纸上〔设小方格边长为单位1〕有△ABC与△A′B′C′,它们的顶点都在格点上,试求出线段AB,BC,AC,A′B′,B′C′,A′C′的长度,并计算AB与A′B′,BC与B′C′,AC与A′C′的长度的比值.【教学说明】注意:(1)两线段是几何图形,可用它的长度比来确定;(2)度量线段的长,单位有多种,但求比值必须在同一长度单位下,比值一定是正数,比值与采用的长度单位无关.(3)表示方式与数字的比表示类同,但它也可以表示为AB∶CD.2.什么是比例线段?【归纳结论】在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫作成比例线段,简称比例线段.3.能否将一条线段AB分成不相等的两局部,使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与线段AB的比呢?即,使得:CB AC AC AB.【教学说明】引导学生用一元二次方程的知识解决问题.【教学说明】学生通过“计算、证明〞等活动,得到并加深对黄金分割的理解.三、运用新知,深化理解1.四条线段a、b、c、d的长度,试判断它们是否成比例.〔1〕a=16cm,b=8cm,c=5cm,d=10cm;〔2〕a=8cm,b=5cm,c=6cm,d=10cm.〔2〕由得ab≠cd,ac≠bd,ad≠bc,所以a、b、c、d四条线段不成比例.2.假设ac=bd,那么以下各式一定成立的是()【答案】 B3.C是线段AB的一个黄金分割点,那么AC∶AB为〔〕【答案】 D∶b∶c=4∶3∶2,且a+3b-3c=14.〔1〕求a,b,c;〔2〕求4a-3b+c的值.解:〔1〕设a=4k,b=3k,c=2k.∵a+3b-3c=14,∴4k+9k-6k=14,∴7k=14,∴k=2,∴a=8,b=6,c=4.〔2〕4a-3b+c=32-18+4=18.△ABC中,D是BC上一点,假设AB=15 cm,AC=10 cm,且BD∶DC=AB∶AC,BD-DC=2 cm,求BC.解:略.8.在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm,那么AB两地间的实际距离为多少米?解:设两地之间的实际距离为x,那么:15 2000x,x=5×2000=10000cm=100m,身体躯干(脚底到肚脐的高度)为,那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美.(精确到十分位)10.线段AB,求作线段AB的黄金分割点C,使AC>BC.解:作法:〔1〕延长线段AB至F,使AB=BF,分别以A、F为圆心,以大于等于线段AB的长为半径作弧,两弧相交于点G,连接BG,那么BG⊥AB,在BG上取点D,使BD=12 AB,〔2〕连接AD,在AD上截取DE=DB,〔3〕在AB上截取AC=AE.如图,点C就是线段AB的黄金分割点.【教学说明】通过例题分析使学生进一步理解比例线段的应用和黄金分割的意义.使学生能更好地掌握本节知识.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业∶教材“习题”中第2、3、4 题.教学反思在学习本节内容之前,学生已理解比例线段的性质,初步掌握了比例线段在几何中的应用.本节课学习的黄金分割是一个新的概念,学生缺少这方面知识的积累,因此教学中在内容选择上,充分利用网络资源,选用大量图文作为背景,通过建筑、艺术、生活中的实例了解黄金分割,表达数学丰富的文化价值.同时,在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容,在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识.这节课的缺乏之处是教学内容比拟多,因为时间关系,有关黄金分割的相关计算和应用学生练习得比拟少,局部学生对这种类型的题目掌握不好.另外学生对黄金分割点的证明理解还不到位.一次函数复习〔二〕折线C B A O ---,其中)350,(1t A ,)350,(2t B ,)0,8017(C ,四边形OABC 的面积为70,那么=-12t t 〔 〕 A .51B .163 C .807 D .160314.甲、乙两名运发动进行长跑训练,两人距终点的路程y 〔米〕与跑步时间x 〔分〕之间的函数图 象如以下图,根据图象所提供的信息解答问题: ⑴求甲距终点的路程y 〔米〕和跑步时间 x 〔分〕 之间的函数关系式;⑵当x =15时,两人相距多少米?在15<x <20的 时段内,求两人速度之差. 能力提升:1. 如图,过点Q 〔0,3.5〕的一次函数与正比例函数y =2x 的图象相交于点P ,能表示这个一次函数图象的方程是 〔 〕A .3x -2y+3.5=0B .3x -2y -3.5=0C .3x -2y+7=0D .3x +2y -7=0 y =-3x -2的图象不经过〔 〕A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 3. 函数y=kx 的函数值随x 的增大而增大,那么函数的图像经过〔 〕 A .一、二象限 B . 一、三象限 C .二、三象限 D .二、四象限 4. 将直线 y = 2 x ─ 4 向上平移5个单位后,所得直线的表达式是______________.5. 假设一次函数y kx b =+,当x 得值减小1,y 的值就减小2,那么当x 的值增加2时,y 的值〔 〕A .增加4B .减小4C .增加2D .减小2 二、拓展探究1.某加油站五月份营销一种油品的销售利润y 〔万元〕与销售量x 〔万升〕之间函数关系的图象如图中折线所示,该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元,截止至15日进油时的销售利润为5.5万元.〔销售利润=〔售价-本钱价〕×销售量〕请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息,解答以下问题:⑴求销售量x 为多少时,销售利润为4万元;⑵分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式;⑶我们把销售每升油所获得的利润称为利润率,那么,在OA 、AB 、BC 三段所表示的销售信息中,哪一段的利润率最大?〔直接写出答案〕O x 〔万升〕y 〔万元〕 CB A 4 10 1日:有库存6万升,本钱价4元/升,售价5元/升. 13日:售价调整为5.5元/升.15日:进油4万升,本钱价4.5元/升. 31日:本月共销售10万升.五月份销售记录一次函数复习〔二〕〔2题〕C.〔-21,-21〕 D.〔-22,-22〕3.沪杭高速铁路已开工建设,在研究列车的行驶速度时,得到一个数学问题.如图3,假设v 是关于t 的函数,图象为折线C B A O ---,其中)350,(1t A ,)350,(2t B ,)0,8017(C ,四边形OABC 的面积为70,那么=-12t t 〔 〕 A .51B .163 C .807 D .160315.甲、乙两名运发动进行长跑训练,两人距终点的路程y 〔米〕与跑步时间x 〔分〕之间的函数图 象如以下图,根据图象所提供的信息解答问题: ⑴求甲距终点的路程y 〔米〕和跑步时间 x 〔分〕 之间的函数关系式;⑵当x =15时,两人相距多少米?在15<x <20的 时段内,求两人速度之差. 能力提升:1. 如图,过点Q 〔0,3.5〕的一次函数与正比例函数y =2x 的图象相交于点P ,能表示这个一次函数图象的方程是 〔 〕A .3x -2y+3.5=0B .3x -2y -3.5=0C .3x -2y+7=0D .3x +2y -7=0 y =-3x -2的图象不经过〔 〕A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 3. 函数y=kx 的函数值随x 的增大而增大,那么函数的图像经过〔 〕 A .一、二象限 B . 一、三象限 C .二、三象限 D .二、四象限 4. 将直线 y = 2 x ─ 4 向上平移5个单位后,所得直线的表达式是______________.5. 假设一次函数y kx b =+,当x 得值减小1,y 的值就减小2,那么当x 的值增加2时,y 的值〔 〕A .增加4B .减小4C .增加2D .减小2 二、拓展探究1.某加油站五月份营销一种油品的销售利润y 〔万元〕与销售量x 〔万升〕之间函数关系的图象如图中折线所示,该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元,截止至15日进油时的销售利润为5.5万元.〔销售利润=〔售价-本钱价〕×销售量〕请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息,解答以下问题:⑴求销售量x 为多少时,销售利润为4万元;⑵分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式;⑶我们把销售每升油所获得的利润称为利润率,那么,在OA 、AB 、BC 三段所表示的销售信息中,哪一段的利润率最大?〔直接写出答案〕Ox 〔万升〕y 〔万元〕 CB A 4 10 1日:有库存6万升,本钱价4元/升,售价5元/升. 13日:售价调整为5.5元/升.15日:进油4万升,本钱价4.5元/升. 31日:本月共销售10万升.五月份销售记录。
数学教案-比例线段(第2课时)一、教学目标1.理解成比例线段以及项、比例外项、比例内项、第四比例项、比例中项等的概念.2.掌握比例基本性质和合分比性质.3.通过通过的应用,培养学习的计算能力.4.通过比例性质的教学,渗透转化思想.5.通过比例性质的教学,激发学生学习兴趣.二、教学设计先学后做,启发引导三、重点及难点1.教学重点比例性质及应用.2.教学难点正确理解成比例线段及应用.四、课时安排1课时五、教具学具准备股影仪、胶片、常用画图工具六、教学步骤1.什么是线段的比?2.已知这两条线段的比是吗,为什么?1.比例线段:见教材P203页。
如:见教材P203页图5-2。
又如:即a、b、c、d是成比例线段。
注:①已知问这四条线段成比例吗?(答:成比例。
,这里与顺序无关)。
②若已知a、b、c、d是成比例线段,是指不能写成(在说四条线段成比例时,一定要将这四条线段按顺序列出,这里与顺序有关)。
板书教材P203页比例线段的一些附属概念。
2.比例的性质:(1)比例的基本性质:如果,那么。
它的逆命题也成立,即:如果,那么。
推论:如果,那么。
反之亦然:如果,那么。
①基本性质证明了“比例式”和“等积式”是可以互化的。
②由,除可得到外,还可得到其它七个比例式。
即由一个等积式,可写成八个不同的比例式(让学生试写)。
然后教师教给方法。
即:先按左:右=右:左“写出四个比例式。
再由等式的对称性写出另外四个比例式:。
注意区别与联系。
③用比例的基本性质,可检查所作的比例变形是否正确。
即把比例式化成等积式,看与原式所得的等积式是否相同即可。
④等积化比例、比例化等积是本章一个重要能力,要使学生达到非常熟练的程度,以利于后面学习。
(2)合比性质:如果,那么证明:∵,∴即:同理可证:(找学生板演)(3)等比性质:如果那么证明:设;则∴等比性质的证明思路及思想非常重要,它是解决数学中连比问题的通法,希望同学们认真体会,务必掌握。
例1(要求了解即可)(1)已知:,求证:。
北师大版九年级数学上册说课稿:4.1 成比例线段一. 教材分析北师大版九年级数学上册的“4.1 成比例线段”一节,是在学生已经掌握了比例的性质,以及线段的基本知识的基础上进行的一节内容。
这一节主要向学生介绍成比例线段的定义及其性质,以及如何通过成比例线段来解决一些实际问题。
教材通过生活中的实例,引出成比例线段的定义,接着通过大量的练习,让学生加深对成比例线段的理解。
在这一节的内容中,学生需要掌握成比例线段的定义,以及如何判断两条线段是否成比例,同时,还需要学会如何通过成比例线段来解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础,对于比例的性质和线段的知识有一定的了解。
但是,对于成比例线段的定义及其应用,可能还比较陌生。
因此,在教学过程中,我将会以学生已有的知识为基础,引导学生逐步理解成比例线段的定义,并通过大量的练习,让学生掌握成比例线段的性质和应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标:理解成比例线段的定义,掌握成比例线段的性质,能够判断两条线段是否成比例,并能够运用成比例线段来解决实际问题。
2.过程与方法目标:通过观察、操作、思考、交流等活动,培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标:激发学生对数学的兴趣,培养学生的团队合作精神,使学生体验到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点:成比例线段的定义及其性质。
2.教学难点:如何判断两条线段是否成比例,以及如何运用成比例线段来解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法:采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等,引导学生主动探究,积极参与。
2.教学手段:利用多媒体课件,为学生提供丰富的学习资源,提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入:通过生活中的实例,引出成比例线段的定义。
2.新课导入:讲解成比例线段的性质,让学生通过观察、操作、思考,理解并掌握成比例线段的性质。
3.练习巩固:布置一些相关的练习题,让学生通过练习,加深对成比例线段的理解。
3.1.2成比例线段1.掌握比例线段的概念及其性质,会求两条线段的比及判断四条线段是否成比例.(重点)2.知道黄金分割的定义,会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.阅读教材P64~66,自学,能够灵活运用比例线段的性质解决问题.(一)知识探究1.在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫作____________,简称比例线段.2.将一条线段AB分成不相等的两部分,使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比,即使得________,那么称线段AB被点C________,点C叫作线段AB的____________,较长线段AC与原线段AB的比叫作________.1.两线段是几何图形,可用它的长度比来确定.2.度量线段的长,单位有多种,但求比值必须在同一长度单位下,比值一定是正数,比值与采用的长度单位无关.3.表示方式与数字的比表示类同,但它也可以表示为AB∶CD.(二)自学反馈1.如图,线段AB∶BC=1∶2,那么AC∶BC等于()A.1∶3 B.2∶3 C.3∶1 D.3∶22.下列各组中的四条线段成比例的是()A.1 cm,2 cm,20 cm,40 cmB.1 cm,2 cm,3 cm,4 cmC.4 cm,2 cm,1 cm,3 cmD.5 cm,10 cm,15 cm,20 cm活动1小组讨论例1 已知线段a ,b ,c ,d 的长分别为0.8 cm ,2 cm ,1.2 cm ,3 cm ,问a ,b ,c ,d 是比例线段吗?解:∵a b =0.82=0.4,c d =1.23=0.4, ∴a b =c d,即a ,b ,c ,d 是比例线段. 例2 已知线段AB ,求作线段AB 的黄金分割点C ,使AC >BC.解:作法:(1)延长线段AB 至F ,使AB =BF ,分别以A ,F 为圆心,以大于等于线段AB 的长为半径作弧,两弧相交于点G ,连接BG ,则BG ⊥AB ,在BG 上取点D ,使BD =12AB ; (2)连接AD ,在AD 上截取DE =DB ;(3)在AB 上截取AC =AE.如图,点C 就是线段AB 的黄金分割点.活动2 跟踪训练1.已知点C 是线段AB 的黄金分割点,且AC >BC ,则下列等式中成立的是( )A .AC 2=BC·AB B .AC 2=2AB·BCC .AB 2=AC·BCD .BC 2=AC·AB2.延长线段AB 到点C ,使BC =AB ,则AC ∶AB =________,AB ∶BC =________,BC ∶AC =________.3.若a =2,b =6,c =5,当d =________时,a ,b ,c ,d 是成比例线段.4.在比例尺为1:10 000 000的地图上,量得A ,B 两地的距离是50 cm ,则A ,B 两地的实际距离为________ km.活动3 课堂小结学生试述:今天学到了什么?【预习导学】知识探究1.成比例线段 2.CB AC =AC AB黄金分割 黄金分割点 黄金分割比 自学反馈1.D 2.A【合作探究】活动2跟踪训练1.A 2.2∶11∶11∶2 3.15 4.5 000。
九年级线段成比例知识点一、什么是线段成比例?线段成比例是指两个线段之间的比值相等。
即如果两个线段的长度之比等于另外两个线段的长度之比,那么这四个线段就成比例。
二、线段成比例的判定方法1. 基于长度的判定方法:设有四个线段AB、CD、EF和GH,我们可以使用以下方法判定它们是否成比例。
(1)如果AB/CD = EF/GH,即两个比值相等,那么线段AB 和CD与线段EF和GH成比例。
(2)如果AB/CD = EF/GH = k(常数),即三个比值相等,那么线段AB和CD与线段EF和GH成比例。
2. 基于相似三角形的判定方法:我们也可以利用相似三角形的性质来判定线段成比例。
(1)如果三角形ABC与三角形DEF相似,那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。
(2)如果三角形ABC与三角形DEF相似,并且线段AB与线段DE相等,那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。
三、线段成比例的性质1. 线段成比例的交叉乘积性质:设AB/CD = EF/GH,那么有以下等式成立:AB × GH = CD × EF这条性质可以用来解决一些与线段成比例相关的问题。
2. 平行线段上的线段成比例性质:如果线段AB与线段CD平行,并且线段AD与线段BC相交于点O,那么有以下等式成立:AO/OD = BO/OC这个性质可以帮助我们在平行线段上找到线段成比例的关系。
四、线段成比例的应用线段成比例广泛应用于几何学和代数学中。
在几何学中,我们可以使用线段成比例来证明两个三角形相似或者证明平行线段之间的关系。
在代数学中,线段成比例可以用来求解未知长度和方程的解等问题。
简单来说,线段成比例在数学中是一个重要的概念,它帮助我们理解和解决与线段长度和比值有关的问题。
在学习几何学和代数学的过程中,我们需要掌握线段成比例的判定方法、性质和应用,以便能够灵活运用这一概念解决各种数学问题。
以上就是九年级线段成比例的相关知识点,希望能够帮助你更好地理解和掌握这一概念。
证明线段成比例的几种常用方法
1.视觉比较法:
通过视觉比较法验证线段成比例,也就是直观地看出两条直线在视觉上比例相符,即可判定线段成比例。
这是最简单的验证线段成比例的方法,但是也是最受误解、错误使用的方法。
这种方法仅能够对相对可见的图形进行简单的比例检查,但它不能精确地验证成比例。
2.直接测量法:
直接测量是比较常用的线段成比例验证方法,也是最准确的方法。
通过采用不同的长度等的标尺测量线段的比例,可以使用三角计量法、勾股定理法等计算,测量完毕,再将各个线段的长度数据进行算术运算,就能验证线段的比例了。
3.几何构图法:
几何构图法是采用精确的几何构图原理,利用锥形等几何图形关系来分析验证线段成比例的方法。
比如几何中三角形、长方形、正方形都有规律的比例,可以通过三角计量法等,从而实现对线段比例的精确验证。
4.角度比较法:
角度比较法是通过测量两条线段所成角度的比值,来判断直线间是否成比例。
这是一种很容易被忽视但是又能够节省时间的验证线段成比
例的方法。
如果两条线段所成的角度比值为1:1,就说明他们成比例了。
5.面积比较法:
面积比较法是最常用的线段成比例的验证方法,通过测定线段组成的
面积、计算面积比值,最终判断两条线段是否成比例,如果面积的比
值等于1:1,那就说明两条线段成比例了。
面积比较法也比较容易,可
以节省大量的时间,也是现在学校教学中验证比例关系最常使用的方
法之一。