广东省汕头市金山中学2016届高三数学上学期期末考试试题 理

汕头市金山中学2016-2017学年度第一学期摸底考试高三理科数学试题卷本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合(){}(){},|1,,|42A x y y xB x y y x==+==-，则A B=（）A．(){}1,2 B．()1,2 C．{}1,2 D．()(){}1,2,1,2--2．如果复数212bii-+（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．6- B．23- C．23D．23．已知命题p：在ABC∆中，若BCAB<，则AC sinsin<；命题q：已知Ra∈，则“1>a”是“11<a”的必要不充分条件。

在命题qpqpqpqp∧⌝∨⌝∨∧)(,)(,,中，真命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．执行如图所示程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a的可能取值集合是（）A．{}1,2,3,4,5 B．{}1,2,3,4,5,6 C．{}2,3,4,5 D．{}2,3,4,5,65．已知数列{}{},n na b，满足113a b==，113,nn nnba a n Nb*++-==∈，若数列{}nc满足nn ac b=，则2017c=（）A．20169B．201627C．20179D．2017276．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是2，则正（主）视图的面积等于（）A．2 B．92C．32D．37．已知ba,为同一平面内的两个向量，且2,1(==，若2+与ba-2垂直，则a与b的夹角为（）第4题图A ．0B ．4π C ．32π D ．π 8．已知函数()2cos2g x x =，若在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“()g x ≥率为（ ） A ．14B ．13C ．16D ．239．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（ ）种A ．18B ．24C ．36D ．7210．已知()f x 是定义在R 上的增函数，函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，若对任意的,x y R ∈，等式()30f y f-+=恒成立，则yx的取值范围是（ ） A．2⎡⎢⎣⎦ B．2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C．1,2⎡⎢⎣⎦ D ．[]1,311．已知点A 是抛物线()2:20M y px p =>与圆()222:4C x y a +-=在第一象限的公共点，且点A 到抛物线M 焦点F 的距离为a ，若抛物线M 上一动点到其准线的距离与到圆心C 的距离之和的最小值为2a ，O 为坐标原点，则直线OA 被圆C 所截得的弦长为（ ） A ．2B． C．3 D．612．若过点(),P a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),e -∞B ．(),e +∞C ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．求值421x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰= ． 14．如果3nx ⎛⎫ ⎝的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是 。

广东省汕头市金山中学高三上学期期末考试数学试卷一、选择题 (本题共12小题，每小题5分，共60分．每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．)1．已知集合P =(−∞，1]∪(4，+∞)，Q ={1，2，3，4}，则（∁R P ）∩Q =（ ） A ．{1，4}B ．{2，3}C ．{2，3，4}D ．{x |1≤x ＜4}2. 已知复数21z i=-，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为iB ．2z =C ．z 的共轭复数1z i =-+D ． z 2为纯虚数3. 设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．在等差数列{a n }中，前n 项和S n 满足S 7−S 2=45，则a 5=（ ） A ． 7 B ． 9 C ． 14 D ． 185. 已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<6. 定义在R 上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，且当x ∈[0,1]时，f(x)=x(3−2x)，则f(312)= （ ） A ．−1B ．−12C ．12D ．17.在ΔABC 中，AM 为BC 边上的中线，点N 满足AN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12NM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则BN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ） A ．5166AC AB - B ．5166AC AB + C ．1566AC AB - D ． 1566AC AB + 8. 已知tan (α+π4)=−2，则sin 2α=（ ）A. 310B. 35C. −65D. −1259. 函数f (x )=A sin (ωx +φ)，(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A.f (x )的图象关于直线x =2π3对称B.f (x )的图象关于点(−5π12,0) 对称C.将函数y =√3sin 2x −cos 2x 的图象向左平移π2个单位得到函数f (x )的图象 D.若方程f (x )=m 在[−π2,0]上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(−2,−√3] 10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个三棱锥的三视图， 则该三棱锥的外接球表面积是（ ）A ．4πB ．9πC ．41π4D ．12π11. 设数列{}n a 满足12a =，且a n+1=a n +2(n +1)，若[]x 表示不超过x 的最大整数， （例如[][]1.61, 1.62=-=-）则[22a 1]+[32a 2]+⋯+[20192a2018]＝（ ）A ．2020B ．2019C ．2018D ．201712. 已知函数f (x )={2x +1，x <0|12x 2−2x +1|，x ≥0方程[f (x )]2−af (x )+b =0有5个不同的实根，则ba 取值范围是（ ）A ．(0，23) B ．[0，23) C ．(0，1) D ．[0，1)二、填空题 (本题共4小题，每小题5分，共20分)13. 已知曲线 y =ax 3+x 2−a 在(1,1)处的切线过点(2,6)，那么实数a = _______． 14. 设向量a =(√3,1)，b ⃑ =(x,−3)，且a ⊥b ⃑ ，则向量a −b⃑ 在向量b ⃑ 方向上的投影是 .15.如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠ABC =900,AB =2,BC =CC 1=1， 则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 .16. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为a ，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得AC =DB =14AB ，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF 作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为S n ，则（1）S 3=_________；（2）如果对∀n ∈N ∗,S n <2019恒成立，那么线段AB 的长度a 的取值范围是_______.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数f (x )＝12x 2＋12x 的图像上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明：T n < 34 .18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都是2，AA1⊥面ABC，D,E分别是AC,CC1的中点.（1）求证：AE⊥平面A1BD;（2）求三棱锥B1−ABE的体积.19.（本小题满分12分）汕头市有一块如图所示的海岸，OA，OB为岸边，岸边形成120°角，现拟在此海岸用围网建一个养殖场，现有以下两个方案：方案l：在岸边OA，OB上分别取点E，F，用长度为1km的围网依托岸边围成三角形EOF（EF为围网）.方案2：在∠AOB的平分线上取一点P，再从岸边OA，OB上分别取点M，N，使得∠MPO=∠NPO=θ，用长度为1km的围网依托岸边围成四边形PMON（PM，PN为围网）.记三角形EOF的面积为S1，四边形PMON的面积为S2. 请分别计算S1，S2的最大值，并比较哪个方案好.20.（本小题满分12分）设椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1，离心率为12，F1为圆M:x2+y2+2x−15=0的圆心．（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，过F2且与l垂直的直线l1与圆M交于C，D两点，求四边形ACBD面积的取值范围．21. （本小题满分12分）已知函数f(x)=x cos x−2sin x+1，g(x)＝x2e ax (a∈R).（1）证明：f(x)的导函数f′(x)在区间(0,π)上存在唯一零点；（2）若对任意x1∈[0,2]，均存在x2∈[0,π]，使得g(x1)≤f(x2)，求实数a的取值范围.注：复合函数y=e ax的导函数y′=a∙e ax.请考生从第22、23两题中任选一题作答。

广东金山中学 高三数学（理）考前习题精选二 201307 整理1．下列结论错误．．的是 （ ） A ．命题“若p ，则q ”与命题“若p q ⌝⌝则,”互为逆否命题B ．命题“0,2>-∈∃x x R x ”的否定是“0,2≤-∈∀x x R x ” C ．命题“直棱柱每个侧面都是矩形”为真D ．“若b a bm am <<则,22”的逆命题为真 2.ABC ∆的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，已知sin 1B =，向量()a b =，，(12)=，。

若q p //，则C ∠角的大小为（ ）Ａ．6π Ｂ． 3π Ｃ． 2π Ｄ． 32π3．若)232cos(,31)6sin(απαπ+=-则的值为（ ）A ．31B ．31-C ．97D ．97- 4.10(1)i -(i 为虚数单位)的二项展开式中第七项为（ ）A ．210- B ．210 C ．120i - D ．120i 5. 已知各项不为0的等差数列{}n a ，满足23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ） A.2 B.4 C.8 D.166. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题中①α∥m l ⊥⇒β；②l ⇒⊥βα∥m ；③l ∥m αβ⇒⊥；④α⇒⊥m l ∥β.其中正确的是（ ） A ．①②③B ．②③④C ．②④D ．①③7．已知y x z c y x y x x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≥++-≤+≥302,42,且目标函数满足的最小值是5，则z 的最大值是（ ）A ．10B ．12C ．14D ．158．设函数,))((为奇函数R x x f ∈=+=+=)5(),2()()2(,21)1(f f x f x f f 则 （ ）A ．0B ．1C ．25D ．59．当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B 处救援，则θsin 的值等于 （ ） A ．721 B ．22 C ．23 D ．1475 10．已知2{|10}x ax ax φ-+<=，则实数a 的取值范围是 11．函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是12.已知某个几何体的三视图如右（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 .13．如图，△12OA A 是等腰直角三角形，1121AO A A ==,以2OA 为直角边作等腰直角三角形△23OA A ，再以3OA 为直角边作 等腰直角三角形△34OA A ，如此继续下去得等腰直角三角形 △45OA A ……．则△910OA A 的面积为 ．14、已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为(10,0)F ,两条渐近线的方程为43y x =±,则该双曲线的标准方程为 . 15、定义函数CONRND(,a b )是产生区间(,a b )内的任何一个实数的随机数函数.如图所示的程序框图可用来估计π的值.现在N 输入的值为100,结果m 的输出值为21,则由此可估计π的近似值为 .16．若不等式121x a x+>-+对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 ．17．已知锐角△ABC 中，点A （-1，0），B （1，0），C （x ，y ）。

汕头市2015-2016学年度（上）高三期末监测试题理科数学注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1. 已知集合，，则=Q P I ( )A ．B ．C ．D ．(0,1)2. i 是虚数单位,复数的虚部为( ) A ．2iB ．-2iC ．2D ．-23.将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有点的纵坐标不变横坐标缩小到原来的倍，再把图象上各点向左平移4π个单位长度，则所得的图象的解析式为( ) A ．)652sin(π+=x y B ． )621sin(π+=x y C ．)322sin(π+=x y D ．)12521sin(π+=x y 4. 已知βα,是两个不同的平面，n m ,是两条不同的直线，给出下列命题：（第7题图）①若βα⊂⊥m m ,，则βα⊥； ②若α⊥⊥m n m ,，则α//n ；③若βαα⊥,//m ，则β⊥m ； ④若m n m //,=βαI ，且βα⊄⊄n n ,， 则βα//,//n n ，其中真命题的个数是 （ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．设a ，b 是两个非零向量．下列命题正确的是（ ）A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |6. 用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）·…·（n+n ）=2n·1·3·…·（2n －1）”，从“n=k 到n=k +1”左端需增乘的代数式为( ) A ．2(2k+1) B ．7. A ．240 B ．120 C ．720 D ．3608.） A 9.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教 (每地至少1人)，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同 的选派方案共有( )种.A.27B.30C.33D.3610. 当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A ．]23,1[B ．]2,1[-C ．)2,1[-D ．)23,1[ 11．已知函数22)1lg()(221---=x x x f ；()111)(2-+⋅-=x x x x f ；)1(log )(23++=x x x f a ，)1,0(≠>a a ；⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=21121)(4xx x f ，()0≠x ，下面关于这四个函数奇偶性的判断正确的是（ ）ABCD A ．都是偶函数B ．一个奇函数，一个偶函数，两个非奇非偶函数C ．一个奇函数，两个偶函数，一个非奇非偶函数D ． 一个奇函数，三个偶函数12.若过点A (2，m )可作函数x x x f 3)(3-=对应曲线的三条切线，则实数m 的取值范围（ ） A ．]6,2[- B ．)1,6(- C ．)2,6(- D ．)2,4(-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

汕头市金山中学2016-2017学年度第一学期期中考试高三文科数学 试题卷本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(B C A U I 等于（ ）A ]3,1[- B {}|34x x x 或≤≥ C ．)1,2[--D ． )4,2[-2． “b a <<0”是“ba 11>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3.数列}a {n 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则 =8S （ ）A. 18B. 36C. 54D.72 4. 已知2log 2,)31(,352.02.1===-c b a ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c<b<aB ．c<a<bC ．b<a<cD ．b<c<a5．设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x++=22)(（b 是常数），则=-)1(f （ ） A. 1 B. 1- C.3 D.3-6. 设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若2123PF PF =，则12F PF ∠为（ ）A ．90oB ．60oC ．45oD ． 30o7. 如果不等式0--)(2>=c x ax x f 的解集为)1,2-(，那么函数(-)y f x =的大致图象是( )8.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是2312，则a 的值为（ ） A ．13 B ．12 C ．11 D ．109．已知函数错误!未找到引用源。

图2侧视图俯视图正视图4x33x4广东省汕头市金山中学2013届高三数学上学期期末模拟考试试题 理本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.第Ⅰ卷 （选择题 共40分）一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则U C M =A ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}2．若向量BA u u u r=（2,3），CA u u u r =（4,7），则BC uuu r =A ．（-2,-4）B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(-6,-10) 3．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A ．ln(2)y x =+B ．1y x =+．y=12x⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1y x x =+ 4．一空间几何体的三视图如图所示, 该几何体的体积为8512π+，则正视图中x 的值为A. 5B. 4C. 3D. 2 5．已知实数b a ,满足11,11≤≤-≤≤-b a ，则函数53123++-=bx ax x y 有极值的概率是A. 41B. 21C. 32D. 436．△ABC 中，已知cosA=135，sinB=53，则cosC 的值为（ ） A ．6516 B. 6556 C. 6516或6556 D. 6516-7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是A. 49B. 13C. 29D. 198.设0,0a b >>． A.若2223aba b +=+，则b a > B.若2223aba b +=+，则b a <C.若2223a b a b -=-，则b a >D.若2223a ba b -=-，则b a < 第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)9．设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，－1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是______. 10．已知某位同学五次数学成绩分别是：121，127,123，a ，125，若其平均成绩是124，则这组 数据的方差是_______. 11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =。

汕头市金山中学2016届高三第一学期期末考试数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z 满足2(1)(1)i z i -+=+，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知向量25,10),1,2(=+=⋅=→→→→→b a b a a ，则=→b （ ） A. 5 B.10 C.5 D.253. 已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩∁I M ＝∅，则M ∪N ＝( )A ．MB ．NC ．ID ．∅ 4．定义域为R 的函数2009()f x xx a b =++是奇函数的充要条件是（ ）:0A ab = :0B a b +=:0bC a= 22:0D a b += 5．已知P 为抛物线x y 42=上一个动点，Q 为圆1)4(22=-+y x 上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和最小值是( ) A ．5 B ．8 C.25+ D.171-6. 在∠AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共m +n +1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )1212121212121112211111A.C C C C B.C C C C C.C C C C C C D.C C C C m n n m m n n m m n n m m n m n m n +++++++++7．某几何体的三视图如图7-1所示，若这个几何体的体积为24，则h =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．58 ．已知条件2|1:|>+x p ,条件a x q >|:|,且p ⌝是q⌝的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是（ ） A ．10≤≤a B ．31≤≤a C ．1≤aD ．3≥a9.设m ，n ∈R ，若直线(m +1)x +(n +1)y －2＝0与圆(x －1)2+(y －1)2＝1相切，则m+n 的取值范围是( ) A．［11 B ．(－∞，11+∞)C．［2-2+］ D ．(－∞，2-2+，+∞)10．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()()22f x f x =+，当[)0,2x ∈时()22+4f x x x =-，设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a ()n N *∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =（ ）A ．1122n --B ．2142n --C ．122n -D ．1142n --11.已知函数 f (x )=A sin(ωx+φ) (A , ω, φ均为正的常数) 的最小正周期为π, 当x=时, 函数f (x ) 取得最大值,则下列结论正确的是( )A . f (2)< f (-2)< f (0)B . f (0) < f (-2)< f (2)C . f (-2)< f (0)< f (2)D . f (2)< f (0)< f (-2)12．已知函数:2342015()12342015x x x x f x x =+-+-++,2342015()12342015x x x x g x x =-+-+-- 设函数()(3)(5)F x f x g x =+⋅-,且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内,则-b a 的最小值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13、已知411e n dx x =⎰，那么3()n x x-展开式中含2x 项的系数为 14.若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的取值范围为 .15.已知实数,x y 满足221xy+=，则x y +的最大值是 .16、已知函数()23log (1)1132x x kf x x x k x a -+-≤<⎧=⎨-+≤≤⎩，若存在k 使得函数()f x 的值域为[]0,2，则实数a 的取值范围是三．解答题（共6小题，前五题为必答题，每题满分12分，后三题为选做题，每题满分10分） 17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1. （1）求角A 的大小；（2）若△ABC的面积S =，b ＝5，求sin sin B C ⋅的值． 18. 数列{}n a 的前n 项和为nS , 已知 nn S a n +=-(*n N ∈) 恒成立.(1) 求数列{}n a 的通项公式;(2) ln(1),n n na nb a n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数，求{}n b 的前2n 项和T 2n .19. 在四棱锥PABCD 中，AB //CD ，AB AD ⊥，4,2AB AD CD ===，PA ⊥平面ABCD ，4PA =.（Ⅰ）设平面PAB平面PCD m =，求证：CD //m ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC所PQPB 的值．200y +-=经过椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点和上顶点． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过点()0,2-的直线l 与椭圆C 交于不同的A 、B 两点，若AOB ∠为钝角，求直线l 斜率k 的取值范围；（3）过椭圆C 上异于其顶点的任一点P 作圆O ：222x y +=的两条切线，切点分别为,M N （,M N 不在坐标轴上），若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m 、n PDCBA21． 已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴交于点M （M 异于原点），()x f 在M 处的切线为1l ，()1-x g 图象与x 轴交于点N 且在该点处的切线为2l ，并且1l 与2l 平行. (Ⅰ)求(2)f 的值；(Ⅱ)已知实数R t ∈，求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；(Ⅲ)令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． 22、选修4-1：几何证明选讲如图，圆周角C ∠BA 的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦C A 的延长线交于点E ，D A 交C B 于点F ．()I 求证：C//D B E ；()II 若D ，E ，C ，F 四点共圆，且AC BC =，求C ∠BA ．23、选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C:22143x y +=，直线:l 3323x ty t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）． ()I 写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；()II 设()1,0A ，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐标．24、选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x a x =-++．()I 当1a =时，解不等式()3f x <； ()II 若()f x 的最小值为1，求a 的值．数学（理科）参考答案DCAD DCBC DBBD ；-12 ；(],1-∞；-2；；17解：（1）由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， ……2分解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)． ……3分 因为0＜A ＜π，所以A ＝3π. ……5分（2）由S ＝12bc sin A＝bc ＝20.又b ＝5，知c ＝4. ……7分 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21， ……9分故由正弦定理得sin B ⋅sin C ＝2sin 5()7A bc a ⋅=. ……12分 18解：（1）由 n n S a n +=-得n=1时， 1111111, 2S a S a a +=-=∴=-…….1分 2n ≥时, 1n n n a S S -=- …….2分1111 (1) ()1n n n n n n n n S a n S a n S a S a ----+=-⇒+=--∴+-+=- 11212(1)1n n n n a a a a --∴=-∴+=+ …….3分1111111100 2212n n a a q a -++=-+=≠∴==≠+ {}1n a ∴+是以12为首项，公比12q =的等比数列 …….4分 1111(1)2n n n a a q -∴+=+=112n n a ∴=- …….6分 (2)ln 2,112n nn n b n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数，为偶数， …….8分2422111ln 2[13(21)]()22211ln 2[1()]34n n T n n n n=-⋅+++-++++-=-⋅+-- …….12分19．（Ⅰ）证明： 因为AB //CD ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD //平面PAB . …………1分因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB 平面PCD m =，所以CD //m . …………………………3分z yxPD CB A（Ⅱ）证明：因为AP ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,0,4)P，D ，(2,22,0)C . ………4分所以(4,22,0)BD =-，AC =，(0,0,4)AP =，所以(4)2000BD AC⋅=-⨯+⨯=，(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=.所以 BD AC ⊥，BD AP ⊥. ……………6分 因为 AP AC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以 BD ⊥平面PAC . …………………………………7分（Ⅲ）解：设PQPBλ=（其中01λ≤≤），(,,)Q x y z ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ. 所以PQ PB λ=. 所以(,,4)(4,0,4)x y z λ-=-.∴4,0,44,x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-+⎩即(4,0,44)Q λλ∴(42,22,44)CQ λλ=---+. ……………8分由（Ⅱ）知平面PAC 的一个法向量为(BD =-.因为sin cos ,CQ BD CQ BD CQ BDθ⋅=<>=⋅，得3=. 解得 7[0,1]12λ=∈.所以712PQ PB =. …………12分法2：(II) 依题意：Rt BAD ∆∽Rt ADC ∆,所以ABD DAC ∠=∠，又因为090ABD ADB ∠+∠=，所以090ADB DAC ∠+∠=，所以BD AC ⊥ …..4分又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ABCD ⊂平面，所以BD AP ⊥ …..6分因为 AP AC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以 BD ⊥平面PAC .………7分20.（1）依题椭圆的右焦点为()1,0，上顶点为(，故1c =，b =2a ==，∴ 可求出椭圆标准方程为22143x y +=． ……3分 （2）设直线l 方程为2y kx =-，设11(,)A x y 、22(,)B x y由222143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(43)1640k x kx +-+=， ∵ 21230k ∆=->，∴ 214k >，又1221643k x x k +=+，122443x x k =+ ∵ AOB ∠为钝角，∴ 0OA OB ⋅<， 即12120x x y y +<， ∴ 1212(2)(2)0x x kx kx +--<，∴21212(1)2()40k x x k x x +-++> ，∴ 222416(1)2404343k k k k k +⋅-⋅+<++，即221216043k k -+<+， ∴ 243k >， 解得233k <-或233k >，∴ 所求直线斜率的取值范围是2323,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ……8分 （3）设点()00,Px y ，则以OP 为直径的圆的方程为()()000x x x y y y -+-=④， ④式与圆O ：222x y +=方程两式相减可得切点弦MN 的方程为002x x y y +=， 令0y =，得02m x =，令0x =得02n y =， ∴ 02x m=，02y n =，又点()00,P x y 在椭圆C 上，∴ 2222143m n ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，即22111434m n +=，∴ 221143m n +为定值． ……12分21解: ()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ，'()2f x x a =-(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ，1'(1)1g x x -=- 由题意可得12l l k k =，即1a =，∴2(),f x x x =-，2(2)222f =-= ………………2分 （2）2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-………4分令ln u x x =，在 []1,x e ∈时，'ln 10u x =+>，∴ln u x x =在[]1,e 单调递增，0,u e ≤≤ …………5分22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122tu -=，抛物线开口向上 ①当1202tu -=≤即12t ≥时，2min 0|u y y t t ===-②当122t u e -=≥即122e t -≤时，22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ③当1202t e -<<即12122e t -<<时，22min 12212121|()(21)224tu t t y y t t t -=--==+-+-=- …………7分1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x-=-=≥1x ≥得 所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增 ∴1x ≥当时，F F x ≥>（）（1）0①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理12(,)x x β∈， …………………10分∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β<从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-，符合题设. ………………11分 ②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=，12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤， ∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-，与题设不符.∴综合①、②、③得(0,1)m ∈ …………………12分 22、解：（Ⅰ）证明：因为∠EDC ＝∠DAC ，∠DAC ＝∠DAB ，∠DAB ＝∠DCB ，所以∠EDC ＝∠DCB ，所以BC ∥DE ． …4分（Ⅱ）解：因为D ，E ，C ，F 四点共圆，所以∠CF A ＝∠CED 由（Ⅰ）知∠ACF ＝∠CED ，所以∠CF A ＝∠ACF ． 设∠DAC ＝∠DAB ＝x ， 因为AC ⌒＝BC ⌒，所以∠CBA ＝∠BAC ＝2x ， 所以∠CF A ＝∠FBA ＋∠F AB ＝3x ，在等腰△ACF 中，π＝∠CF A ＋∠ACF ＋∠CAF ＝7x ，则x ＝ π 7，所以∠BAC ＝2x ＝2π7． …10分23、解：（Ⅰ）C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ（θ为为参数），l ：x －3y ＋9＝0．…4分（Ⅱ）设P (2cos θ，3sin θ),则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92．由|AP |＝d 得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝ 3 5， cos θ＝－ 45．故P (－ 8 5， 335)． …10分24、解：（Ⅰ）因为f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ， x ≤－1；－x ＋2，－1≤x ≤ 1 2；3x ， x ≥ 12且f (1)＝f (－1)＝3，所以，f (x )＜3的解集为{x |－1＜x ＜1}；…4分（Ⅱ）|2x －a |＋|x ＋1|＝|x －a 2|＋|x ＋1|＋|x － a 2|≥|1＋ a 2|＋0＝|1＋ a2| 当且仅当(x ＋1)(x － a 2)≤0且x － a2＝0时，取等号．所以|1＋ a2|＝1，解得a ＝－4或0．…10分ADBFCE。

2016年广东省汕头市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P={x|1＜2x＜2}，Q={x|log x＞1}，则P∩Q=（）A．（0，）B．（）C．（﹣1，）D．（0，1）2．i是虚数单位，复数的虚部为（）A．2i B．﹣2 C．i D．13．将函数y=sin（x+）（x∈R）的图象上所有点的纵坐标不变横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式为（）A．y=sin（2x+） B．y=sin（x+π）C．y=sin（2x+π）D．y=sin（x+π）4．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．④若m∥α，α⊥β，则m⊥β．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．设，是两个非零向量，则下列哪个描述是正确的（）A．若|+|=||﹣||，则B．若⊥，则|+|=||﹣||C．若|+|=||﹣||，则存在实数λ使得=D．若存在实数λ使得=，则|+|=||﹣||6．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）•…•（n+n）=2n•1•3•…•（2n﹣1）”，当“n从k 到k+1”左端需增乘的代数式为（）A．2k+1 B．2（2k+1）C．D．7．如果执行程序框图，且输入n=6，m=4，则输出的p=（）A．240 B．120 C．720 D．3608．已知sin（a+）=，则cos（2a﹣）的值是（）A．B．C．﹣D．﹣9．某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围（）A．[1，] B．[﹣1，2] C．[﹣2，3] D．[1，）11．已知函数f1（x）=；f2（x）=（x﹣1）•；f3（x）=log a（x+），（a＞0，a≠1）；f4（x）=x•（），（x≠0），下面关于这四个函数奇偶性的判断正确的是（）A．都是偶函数B．一个奇函数，一个偶函数，两个非奇非偶函数C．一个奇函数，两个偶函数，一个非奇非偶函数D．一个奇函数，三个偶函数12．若过点A（2，m）可作函数f（x）=x3﹣3x对应曲线的三条切线，则实数m的取值范围（）A．[﹣2，6] B．（﹣6，1）C．（﹣6，2）D．（﹣4，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在（﹣∞，2]内取值的概率为．14．（1+x）（1﹣x）5展开式中x4的系数是（用数字作答）．15．在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，则A的大小是．16．如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于．三、解答题：共6个小题，70分．解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤17．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1=a（a＞0），该数列的前n项和为S n，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n；（Ⅱ）设b n=，c n=，且B n，C n分别为数列{b n}，{c n}的前n项和，当n≥2时，试比较B n与C n的大小．18．如图，在Rt△ACD中，AH⊥CD，H为垂足，CD=4，AD=2，∠CAD=90°，以CD为轴，将△ACD按逆时针方向旋转90°到△BCD位置，E为AD中点；（Ⅰ）证明：AB⊥CD．（Ⅱ）求二面角B﹣CE﹣D的平面角的余弦值．19．一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．（Ⅰ）若袋中共有10个球，（i）求白球的个数；（ii）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．20．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y ﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．21．已知函数f（x）=ax2﹣（a2+1）x+alnx．（Ⅰ）若函数f（x）在[，e]上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a时，求f（x）在[1，2]上的最大值和最小值．（注意：ln2＜0.7）请考生在第22、23、24题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号．选修4-1：集合证明选讲22．几何证明选讲如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB=10，AC=12．（1）求证：BA•DC=GC•AD；（2）求BM．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数）．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求的最小值．选修4-5：不等式选讲24．已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）求x的取值范围．2016年广东省汕头市高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P={x|1＜2x＜2}，Q={x|log x＞1}，则P∩Q=（）A．（0，）B．（）C．（﹣1，）D．（0，1）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．【分析】先分别求出集合P和Q，由此利用交集定义能求出P∩Q．【解答】解：∵集合P={x|1＜2x＜2}={x|0＜x＜1}，Q={x|log x＞1}={x|0＜x＜}，∴P∩Q=（0，）．故选为：A．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的性质的合理运用．2．i是虚数单位，复数的虚部为（）A．2i B．﹣2 C．i D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数====﹣2﹣2i的虚部为﹣2．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．将函数y=sin（x+）（x∈R）的图象上所有点的纵坐标不变横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式为（）A．y=sin（2x+） B．y=sin（x+π）C．y=sin（2x+π）D．y=sin（x+π）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=sin（x+）（x∈R）的图象上所有点的纵坐标不变横坐标缩小到原来的，可得y=sin（2x+）的图象，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式为y=sin[2（x+）+]=sin（2x++）=sin（2x+），故选：C．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．④若m∥α，α⊥β，则m⊥β．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在①中，由面面垂直的判定理定理得α⊥β；在②中，n∥α或n⊂α；在③中，由线面平行判定定理得n∥α且n∥β；在④中，m与β相交、平行或m⊂β．【解答】解：α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：在①中：若m⊥α，m⊂β，则由面面垂直的判定理定理得α⊥β，故①正确；在②中：若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故②错误；在③中，若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则由线面平行判定定理得n∥α且n∥β，故③正确．④若m∥α，α⊥β，则m与β相交、平行或m⊂β，故④错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．5．设，是两个非零向量，则下列哪个描述是正确的（）A．若|+|=||﹣||，则B．若⊥，则|+|=||﹣||C．若|+|=||﹣||，则存在实数λ使得=D．若存在实数λ使得=，则|+|=||﹣||【考点】平面向量数量积的运算．【专题】应用题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】利用向量的垂直判断矩形的对角线长度相等，判断B错误；通过特例直接判断A、D不正确；|+|=||﹣||，则，是方向相反的向量，故这2个向量共线，故存在实数λ使得=，故C正确．从而得出结论．【解答】解：不妨令=（﹣3，0），=（1，0），尽管满足|+|=||﹣||，但不满足则，故A不正确，若，则=0，则有|+|=||﹣||，即以，为邻边的矩形的对角线长相等，故|+|=||﹣||不正确，即B不正确，若|+|=||﹣||，则，是方向相反的向量，故这2个向量共线，故存在实数λ使得=，故C正确，不妨令=（﹣3，0），=（1，0），尽管满足存在实数λ，使得得=，但不满足|+|=||﹣||，故D不正确．故选：C．【点评】本题考查向量的关系的综合应用，特例法的具体应用，考查计算能力，属于基础题．6．用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）•…•（n+n）=2n•1•3•…•（2n﹣1）”，当“n从k 到k+1”左端需增乘的代数式为（）A．2k+1 B．2（2k+1）C．D．【考点】数学归纳法．【专题】计算题；压轴题．【分析】分别求出n=k时左端的表达式，和n=k+1时左端的表达式，比较可得“n从k到k+1”左端需增乘的代数式．【解答】解：当n=k时，左端=（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n=k+1时，左端=（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），故当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为=2（2k+1），故选 B．【点评】本题考查用数学归纳法证明等式，体现了换元的思想，分别求出n=k时左端的表达式和n=k+1时左端的表达式，是解题的关键．7．如果执行程序框图，且输入n=6，m=4，则输出的p=（）A．240 B．120 C．720 D．360【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】根据题中的程序框图，模拟运行，依次计算k和p的值，利用条件k＜m进行判断是否继续运行，直到k≥m则结束运行，输出p的值即为答案．【解答】解：根据题中的程序框图，模拟运行如下：输入n=6，m=4，k=1，p=1，∴p=1×（6﹣4+1）=3，k=1＜4，符合条件，∴k=1+1=2，p=3×（6﹣4+2）=12，k=2＜4，符合条件，∴k=2+1=3，p=12×（6﹣4+3）=60，k=3＜4，符合条件，∴k=3+1=4，p=60×（6﹣4+4）=360，k=4=4，不符合条件，故结束运行，输出p=360．故选：D．【点评】本题考查了程序框图，主要考查了循环语句和条件语句的应用．其中正确理解各变量的含义并根据程序功能的需要合理的分析是解答的关键．属于基础题．8．已知sin（a+）=，则cos（2a﹣）的值是（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】把已知条件根据诱导公式化简，然后把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后代入即可求出值．【解答】解：sin（a+）=sin[﹣（﹣α）]=cos（﹣α）=cos（α﹣）=，则cos（2α﹣）=2﹣1=2×﹣1=﹣故选D【点评】考查学生灵活运用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简求值．9．某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围（）A．[1，] B．[﹣1，2] C．[﹣2，3] D．[1，）【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；综合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C 的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得C（1，）．联立，解得B（2，1）．在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．要使1≤ax+y≤4恒成立，则，解得：1≤a≤．∴实数a的取值范围是[1，]．故选：A．【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题．11．已知函数f1（x）=；f2（x）=（x﹣1）•；f3（x）=log a（x+），（a＞0，a≠1）；f4（x）=x•（），（x≠0），下面关于这四个函数奇偶性的判断正确的是（）A．都是偶函数B．一个奇函数，一个偶函数，两个非奇非偶函数C．一个奇函数，两个偶函数，一个非奇非偶函数D．一个奇函数，三个偶函数【考点】函数奇偶性的判断．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】先看各个函数的定义域是否关于原点对称，再根据函数的奇偶性的定义进行判断，从而得出结论．【解答】解：对于函数f1（x）==，它的定义域为（﹣1，0）∪（0，1），f1（﹣x）=f1（x），故f1（x）为偶函数．对于函数f2（x）=（x﹣1）•的定义域为（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞），它的定义域不关于原点对称，故此函数f2（x）没有奇偶性．对于函数f3（x）=log a（x+）（a＞0，a≠1），它的定义域为R，f3（﹣x）=log a（﹣x+）=log a（）=﹣log a（x+）=﹣f3（x），故函数f3（x）为奇函数．对于函数 f4（x）=x•（），（x≠0），它的定义域为{x|x≠0}，∵f4（﹣x）=﹣x•（+）=﹣x•（+）=x•（﹣）=x•（﹣）=x•（ 1+﹣）=x•（+）=f4（x），故f4（x）为偶函数，故选：C．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断和证明，注意考查函数的定义域是否关于原点对称，式子的变形是解题的关键，属于中档题．12．若过点A（2，m）可作函数f（x）=x3﹣3x对应曲线的三条切线，则实数m的取值范围（）A．[﹣2，6] B．（﹣6，1）C．（﹣6，2）D．（﹣4，2）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；方程思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】设切点为（a，a3﹣3a），利用导数的几何意义，求得切线的斜率k=f′（a），利用点斜式写出切线方程，将点A代入切线方程，可得关于a的方程有三个不同的解，利用参变量分离可得2a3﹣6a2=﹣6﹣m，令g（x）=2x3﹣6x2，利用导数求出g（x）的单调性和极值，则根据y=g（x）与y=﹣6﹣m有三个不同的交点，即可得到m的取值范围．【解答】解：设切点为（a，a3﹣3a），∵f（x）=x3﹣3x，∴f'（x）=3x2﹣3，∴切线的斜率k=f′（a）=3a2﹣3，由点斜式可得切线方程为y﹣（a3﹣3a）=（3a2﹣3）（x﹣a），∵切线过点A（2，m），∴m﹣（a3﹣3a）=（3a2﹣3）（2﹣a），即2a3﹣6a2=﹣6﹣m，∵过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，∴关于a的方程2a3﹣6a2=﹣6﹣m有三个不同的根，令g（x）=2x3﹣6x2∴g′（x）=6x2﹣12x=0，解得x=0或x=2，当x＜0时，g′（x）＞0，当0＜x＜2时，g′（x）＜0，当x＞2时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴当x=0时，g（x）取得极大值g（0）=0，当x=2时，g（x）取得极小值g（2）=﹣8，关于a的方程2a3﹣6a2=﹣6﹣m有三个不同的根，等价于y=g（x）与y=﹣6﹣m的图象有三个不同的交点，∴﹣8＜﹣6﹣m＜0，∴﹣6＜m＜2，∴实数m的取值范围为（﹣6，2）．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．运用了转化的数学思想方法，对能力要求较高．属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在（﹣∞，2]内取值的概率为0.9 ．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】计算题．【分析】根据ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线的对称轴是直线x=1，利用ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，即可求得结论．【解答】解：∵ξ服从正态分布N（1，σ2）∴曲线的对称轴是直线x=1，∵ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，∴ξ在（1，2）内取值的概率为0.4，∴ξ在（﹣∞，2]内取值的概率为0.5+0.4=0.9故答案为：0.9．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题．14．（1+x）（1﹣x）5展开式中x4的系数是﹣5 （用数字作答）．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】依题意，所求的（1+x）（1﹣x）5展开式中x4的系数由两部分组成，一部分是（1+x）中的1与（1﹣x）5展开式中x4的系数之积，第二部分是（1+x）中的x的系数1与（1﹣x）5展开式中x3的系数之积．【解答】解：∵（1+x）（1﹣x）5展开式中x4的系数为：1ו（﹣1）4+1ו（﹣1）3=5﹣10=﹣5，故答案为：﹣5．【点评】本题考查二项式系数的性质，考查理解与运算能力，属于中档题．15．在△ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，则A的大小是120°．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】根据正弦定理，设 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a2=b2+c2+bc再与余弦定理联立方程，可求出cosA 的值，进而求出A的值．【解答】解：由正弦定理可得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵2asinA=（2a+c）sinB+（2C+b）sinC，方程两边同乘以2R，∴2a2=（2b+c）b+（2c+b）c，整理得a2=b2+c2+bc，∵由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，故cosA=﹣，A=120°．故答案为：120°．【点评】本题主要考查了正弦定理与余弦函数的应用．主要用于解决三角形中边、角问题，故应熟练掌握，考查计算能力．16．如图，已知球O的面上四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于π．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题．【分析】说明△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，球的直径就是CD，求出CD，即可求出球的体积．【解答】解：AB⊥BC，△ABC的外接圆的直径为AC，AC=，由DA⊥面ABC得DA⊥AC，DA⊥BC，△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，∴CD为球的直径，CD==3，∴球的半径R=，∴V球=πR3=π．故答案为：π．【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体，说明三角形是直角三角形，推出CD是球的直径，是本题的突破口，解题的重点所在，考查分析问题解决问题的能力．三、解答题：共6个小题，70分．解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤17．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1=a（a＞0），该数列的前n项和为S n，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n；（Ⅱ）设b n=，c n=，且B n，C n分别为数列{b n}，{c n}的前n项和，当n≥2时，试比较B n与C n的大小．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由等差数列通项公式和等比数列性质求出d=a，由此能求出数列{a n}的通项公式及S n．（Ⅱ）由，利用裂项求和法能求出B n，由c n==，能求出C n，由此能比较B n与C n的大小．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，∵公差不为0的等差数列{a n}的首项a1=a（a＞0），该数列的前n项和为S n，且，，成等比数列，∴（）2=，∴，解得d=a或d=0（舍），∴a n=a+（n﹣1）a=na．S n==．（Ⅱ）∵b n=，c n=，且B n，C n分别为数列{b n}，{c n}的前n项和，，∴B n==，∵c n==，∴C n=+…+==，当n≥2时，＞n+1，∴1﹣＜1﹣，∴当a＞0时，B n＜C n．【点评】本题考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想、考查分析问题、解决问题的能力．18．如图，在Rt△ACD中，AH⊥CD，H为垂足，CD=4，AD=2，∠CAD=90°，以CD为轴，将△ACD按逆时针方向旋转90°到△BCD位置，E为AD中点；（Ⅰ）证明：AB⊥CD．（Ⅱ）求二面角B﹣CE﹣D的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】综合题；转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）利用线面垂直得到线线垂直，（2）分别以HA，HB，HD为x，y，z轴，建立如图所示的空间坐标系H﹣xyz，分别求出平面的BCE的一个法向量为=（，，﹣），=（0，，0）为平面DEC的一个法向量，根据向量的夹角公式即可求出．【解答】证明：（1）∵DC⊥AH，DC⊥BH，AH∩BH=H，∴DC⊥平面ABH，又AB⊂平面ABH，∴AB⊥CD．（Ⅱ）分别以HA，HB，HD为x，y，z轴，建立如图所示的空间坐标系H﹣xyz，由已知条件不难求得，AH=BH=，HD=3，BC=1，∴A（，0，0），B（0，，0），C（0，0，﹣1），D（0，0，3），又点E为中点，∴E（，0，），∴=（，0，），=（，﹣，），HB=（0，，0），设平面的BCE的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=，解得y=，z=﹣，∴平面的BCE的一个法向量为=（，，﹣），又HB⊥平面DCE，∴=（0，，0）为平面DEC的一个法向量，设所求的二面角是θ，∴cosθ===【点评】本题主要考查了直线与直线垂直的判定，以及与二面角有关的立体几何综合题，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．19．一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．（Ⅰ）若袋中共有10个球，（i）求白球的个数；（ii）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】证明题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）设袋中白球个数为x，由对立事件概率计算公式得：1﹣=，由此能求出白球个数．（ii）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的数学期望Eξ（Ⅱ）设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意，得y=n，从而2y＜n，2y≤n﹣1，进而，由此能证明从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．并得到袋中哪种颜色的球个数最少．【解答】解：（Ⅰ）（i）记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球个数为x，则P（A）=1﹣=，解得x=5，∴白球个数是5个．（ii）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，P（ξ=0）===，P（ξ=1）==，P（ξ=2）=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：Eξ==．证明：（Ⅱ）设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意，得y=n，∴2y＜n，2y≤n﹣1，∴，记“从袋中任意取出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则P（B）=，∴白球的个数比黑球多，白球个数多于，黑球个数少于，故袋中红球个数最少．【点评】本题考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题及解决问题的能力．20．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y ﹣5）2=4（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．【专题】综合题．【分析】（1）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l 的方程．（2）与（1）相同，我们可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l1与l2的方程．【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2∴d==1d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（2）设点P（a，b）满足条件，由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0则直线l 2方程为：y ﹣b=﹣（x ﹣a ）∵⊙C 1和⊙C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等， ∴⊙C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等即=整理得|1+3k+ak ﹣b|=|5k+4﹣a ﹣bk|∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a ﹣bk ）即（a+b ﹣2）k=b ﹣a+3或（a ﹣b+8）k=a+b ﹣5因k 的取值有无穷多个，所以或解得或这样的点只可能是点P 1（，﹣）或点P 2（﹣，）【点评】在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k ，直线与圆联立消去y 后得到一个关于x 的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．21．已知函数f （x ）=ax 2﹣（a 2+1）x+alnx ．（Ⅰ）若函数f （x ）在[，e]上单调递减，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当a 时，求f （x ）在[1，2]上的最大值和最小值．（注意：ln2＜0.7） 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】转化思想；构造法；转化法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）若函数f （x ）在[，e]上单调递减，等价为f′（x ）≤0在[，e]上恒成立，利用参数分离法进行求最值恒成立即可，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当a时，求函数的导数f′（x），研究函数的单调性与最值之间的关系即可求f（x）在[1，2]上的最大值和最小值．（【解答】（Ⅰ）∵f（x）在[，e]上单调递减，∴f′（x）=ax﹣（a2+1）+≤0在[，e]上恒成立，即ax+≤a2+1，①当a≤0时，结论成立，②当a＞0时，不等式等价为x+≤a+在[，e]上恒成立，当x＞0时，h（x）=x+在（0，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，∴要使函数h（x）＜h（a）在[，e]上恒成立，则0＜x≤或x≥e，综上a≤或a≥e．（Ⅱ）f′（x）=ax﹣（a2+1）+==，=由f′（x）=0得x=a或，①当0＜a≤时，即f′（x）≤0时，f（x）在[1，2]上递减，∴f（x）min=f（2）=2a﹣2（a2+1）+aln2，f（x）max=f（1）=a﹣（a2+1），②当＜a≤时，当1≤x＜时，f′（x）＜0，当＜x≤2，f′（x）＞0，∴f（x）min=f（）=﹣a﹣﹣alna，f（2）﹣f（1）=a﹣（a2+1）+aln2，设h（x）=x﹣（x2+1）+xln2，＜x≤，h′（x）=﹣2x+ln2，∵＜x≤，∴h′（x）＞0，则h（x）在＜x≤上单调递增，∴h（x）max=×﹣[（）2+1]+ ln2=+ln2＜0，∴f（2）＜f（1），∴f（x）max=f（1）=a﹣（a2+1），综上当0＜a≤时，f（x）min=2a﹣2（a2+1）+aln2，f（x）max=f（1）=a﹣（a2+1），当＜a≤时，f（x）min=﹣a﹣﹣alna，f（x）max=f（1）=a﹣（a2+1）．【点评】本题主要考查导数的综合应用，考查函数单调性最值和导数之间的关系，考查分类讨论和参数分离法的应用，综合性较强，有一定的难度．请考生在第22、23、24题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号．选修4-1：集合证明选讲22．几何证明选讲如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB=10，AC=12．（1）求证：BA•DC=GC•AD；（2）求BM．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）根据AC⊥OB，及AD是圆O的直径，得到Rt△AGB和Rt△DCA相似，从而得到，又GC=AG，所以，从而得到证明；（2）根据直角三角形中的边角关系求得BG，再根据直角三角形的相似及切割线定理求解即可．【解答】（1）证明：因为AC⊥OB，所以∠AGB=90°又AD是圆O的直径，所以∠DCA=90°又因为∠BAG=∠ADC（弦切角等于同弧所对圆周角）所以Rt△AGB和Rt△DCA相似所以又因为OG⊥AC，所以GC=AG所以，即BA•DC=GC•AD（2）解：因为AC=12，所以AG=6，因为AB=10，所以由（1）知：Rt△AGB～Rt△DCA，．所以所以AD=15，即圆的直径2r=15又因为AB2=BM•（BM+2r），即BM2+15BM﹣100=0解得BM=5．【点评】本题考查的与圆有关的比例线段、圆周角及相似三角形的判定和性质，切割线定理的运用的综合运用．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数）．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；伸缩变换；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）利用ρ2=x2+y2，将ρ=1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t=2（x﹣1）代入下式消去参数t即可；（2）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入，根据三角函数的辅助角公式求出最小值．【解答】解：（1）直线l的参数方程为为参数）．由上式化简成t=2（x﹣1）代入下式得根据ρ2=x2+y2，进行化简得C：x2+y2=1（2）∵代入C得∴设椭圆的参数方程为参数）则则的最小值为﹣4．【点评】本题主要考查了圆的极坐标方程与直线的参数方程转化成直角坐标方程，以及利用椭圆的参数方程求最值问题，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）求x的取值范围．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）利用“1”的代换，化简+，结合基本不等式求解表达式的最小值；（Ⅱ）利用第一问的结果．通过绝对值不等式的解法，即可求x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0且a+b=1∴=，当且仅当b=2a时等号成立，又a+b=1，即时，等号成立，故的最小值为9．（Ⅱ）因为对a，b∈（0，+∞），使恒成立，所以|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，当x≤﹣1时，2﹣x≤9，∴﹣7≤x≤﹣1，当时，﹣3x≤9，∴，当时，x﹣2≤9，∴，∴﹣7≤x≤11．【点评】本题考查函数的最值基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．。

广东省汕头市金山中学2016届高三上学期期末考试文数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．复数13z i =-+，21z i =-，则复数12z z z =在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．集合{}123456U =，，，，，，{}23A =，，{}2650B x Z x x =∈-+<，()A B C U ⋂=（）A.{}156，，B.{}1456，，，C.{}234，，D.{}16，3．在ABC ∆中，,3222bc c b a ++=则A ∠等于（ ）A ． 60°B ．45°C ．120°D ．150°4．如图所示的程序框图，若输出的S=41，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．k ＞3？B ．k ＞4？C ．k ＞5？D ．k ＞6？5．用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b .其中真命题的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①④D.③④6．设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+（ ）A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值7．在等比数列{a n }中，3a ，9a 是方程3x 2—11x+9=0的两个根，则765a a a =（ ）A ．33B ．211 C ．33± D ．以上皆非 8．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（ ）A ．2324π-B ．324π- C ．π-24 D ．224π-9、函数()cos lg f x x x =-⋅的部分图象是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在△ABC-+AB =2, AC ＝1，E, F 为BC 的三等分点，则∙＝（ ）A ．89B ．109C ．259D ．26911．已知P 是抛物线x y 42=上的一个动点,Q 是圆()()22311x y -+-=上的一个动点,)0,1(N 是一个定点,则PQ PN +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D 1+12．设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则（ ）A ．()0()g a f b <<B ．()0()f b g a <<C ．0()()g a f b <<D ．()()0f b g a <<第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．具有线性相关关系的变量x ，y ，满足一组数据如下表所示：若y 与x 的回归直线方程为^332y x =-，则m 的值是 ． 14．数列{}n a 的通项公式是n a =，若前n 项和为3，则项数n 的值为_______ . 15.已知直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，侧面11BCC B 的面积为2，则直三棱柱111ABC A B C -外接球表面积的最小值为 ．16．已知函数()sin ()f x x x x R =+∈，且22(811)(610)0f y x f x y -++-+≤，则当3y ≥时， 函数22(,)F x y x y =+的最小值与最大值的和为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）已知函数()2cos cos f x x x x m =-+()R m ∈的图象过点π(,0)12M ． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在△ABC 中，若cos +cos =2cos c B b C a B ，求()f A 的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去A 图书馆学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去B 图书馆学习的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x 表示．（1）如果7x =，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；（2）如果9x =，从学习次数大于8的学生中等可能地选2名同学，求选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率．19．（本小题满分12分）平面⊥PAD 平面ABCD ，ABCD 为正方形，PAD ∆是直角三角形，且 2==AD PA ，G F E ,,分别是线段CD PD PA ,,的中点．（1）求证：PB //平面EFG ；（2）在线段CD 上是否存在一点Q ，使得点A 到平面EFQ 的距离为54，若存在，求出DQ 的值； 若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线2x =的焦点．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）直线2x =与椭圆交于,P Q 两点，P 点位于第一象限，,A B 是椭圆上位于直线2x =两侧的动点．（1）若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值； （2）当点,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．21.（本小题满分12分）设函数R m xm x x f ∈+=,ln )(． （1）当e m =(e 为自然对数的底数)时，求)(x f 的极小值；（2）讨论函数3)()('x x f x g -=零点的个数； （3）若对任意0>>a b ，1)()(<--a b a f b f 恒成立，求m 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4-1：平面几何证明选讲如图，在ABC ∆中， 90=∠B ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于E ，AE 交⊙O 于点F ．（Ⅰ）证明：E 是BC 的中点；（Ⅱ）证明：AF AE AC AD ⋅=⋅．23．（本题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系x y O 中，A 点的直角坐标为)sin 21,cos 23(αα++（α为参数）．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，直线l 的极坐标方程为2cos()6m πρθ+=．m （为实数）． A BC DE F⋅O（1）试求出动点A 的轨迹方程（用普通方程表示）（2）设A 点对应的轨迹为曲线C ，若曲线C 上存在四个点到直线l 的距离为1,求实数m 的取值范围．24．（本题满分10分）已知关于x 的不等式2320ax x -+≤的解集为{|1}x x b ≤≤．（1）求实数,a b 的值；（2）解关于x 的不等式：0x c ax b->-（c 为常数）．高考一轮复习：。