【教案】《电磁学》第二版 梁灿彬 高等教育出版社 第二章导体周围的静电场

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c、公式与无限大均匀带电 σ 的平板之场公式 E = σ / 2ε 0 差倍的解释：
如右图所示。 先在导体上取面元 ∆S ： 因 p, p ′ 两点分居面内外,而且极接近面元， 故可视 ∆S 为无限大，则 σ σ Ep = n ， E p′ = − n。 2ε 0 2ε 0 而其余面（ S − ∆S ）上电荷以及其他电荷（除 ∆S 外） 在 p, p ′ 点之场：由于 p, p ′ 点极近，除 ∆S 外的所有电荷在 p, p ′ 之场设为 E S 。 因为 p′ 点再到体内,根据叠加原理 知, E p′合 = E p′ + ES = 0 ，即 σ E S = − E p′ = n = Ep ， 2ε 0 故面外 p 点合场强为：
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②、电荷面分布函数 σ ( x, y, z ) 导体静电平衡时，电荷分布于表面，但确定 σ ( x, y, z ) 是有一定难度的。 a、一般情况下 σ ( x, y, z )
形状 与导体 带电总量 等因素有关。 周围其它电荷的场
即使周围引入不带电的其它导体也会改变 σ ( x, y, z ) 分布（静电感应，达到新的平衡） 。 b、特例——孤立导体的 σ ( x, y, z ) 其它物体在该导体处的影响略而不计。在一个孤立导体上面电荷密 度的大小与表面曲率有关，对于形状比较简单的孤立导体，在表面向外 突的地方（曲率为正）电荷较密， σ 大；表面较平坦的地方，电荷较疏； 表面向内凹的地方（曲率为负）电荷更疏， σ 小。如右图所示。 Q 例如：孤立带电 Q、半径 R 的导体球（壳） ，外表面 σ = ，电 4πR 2 Q 。 A、B、C三点曲率相等 荷球面对称分布；孤立无限大导体平板带电 Q、面积 S，各面 σ = 2S 但σ A > σ B > σ C (2)、导体外的电场分布 ①、在导体外，紧靠导体表面的点的场强大小与导体表面对应点的电荷面密度成正比。 证明：在导体外紧靠表面任取一点 P，该点的场强 E = En n ， 在 P 点附近的导体表面上取一面元 ∆S ′ ，这面元取得充分小，使 得其上的电荷面密度 σ 可认为是均匀的，以 n 为轴， ∆S ′ 为底作 一 Gauss 面，使园柱侧面与 ∆S ′ 垂直，园柱的上底通过 P，下底 在导体内部，两底都与 ∆S ′ 平行，并无限靠近，因此通过 Gauss 面的电通量为 Φ= ∫∫ E ⋅ dS= ∫∫ E ⋅ dS + ∫∫ E ⋅ dS + ∫∫ E ⋅ dS
第二章导体周围的静电场
§2.1 前言
一、本章的基本内容及研究思路
本章和第三章是第一章研究内容的应用、继续和发展。由于研究对象仍然是相对于观察者 静止的电荷所产生的电场，所以静电场的普遍规律仍是本章研究问题的理论基础。基本内容及 研究思路是: 首先说明金属导体的电结构特点和导体的静电平衡条件，然后以此为基础，以静 电场的普遍规律—高斯定理和环路定理为根据，讨论导体（包括空腔导体和导体组）的静电性 质（导体在静电平衡时电荷分布﹑场强分布和电位分布等特点） ，并从导体组静电性质的角度 讨论电容器的构造、电容的定义和电容器电容的计算和联接等问题。
En =
σ σ ，或者 E = n。 ε0 ε0
结论：导体表面电荷密度大的地方场强大，面电荷密度小的地方场强小。 说明:a、 若在一导体附近引入另一导体,则原导体表面附近的场公式形式不变,只不过其中 的 σ 已变，对应于已调节到使导体内 E = 0 为终态的 σ 。 b、公式中已含所有电荷及其他影响之贡献。
q q
内表面电荷在 P 点激发的场：
q ，这是因为腔内的 q 4πε 0 (r + d ) 2
d
.
－q
0
r
.
P
导体
与 − q 在 P 点的合场为 0 所致。其余讨论从略。 (3)、两个实际问题的理论解释 ①、尖端放电 导体尖端 σ 大， E = σ / ε 0 亦大，当达到一定程度时易击穿空 气而放电。这是因为空气中本来就有的离子（由于大气电现象， 宇宙射线和辐射源的辐照等原因引起的） ，在尖端附近的强大电 场 E 作用下，会发生激烈的运动，在激烈运动过程中，离子和空 气分子象碰撞，使空气分子电端上电荷异号的离子受到吸引，最后与尖端上的电荷中和—— 尖端放电；与尖端上电荷同号的离子受到排斥而飞离导体——形成“电风” 。尖端放电时，其 附近隐隐笼罩光晕——电晕，黑夜中高压线附近可见此景。 尖端放电的利害：利——场致发射显微镜、范氏起电机、引雷针等；害——浪费电能、引 发火灾、爆炸等。 上述现象应用比较广泛。 例如避雷针利用了导体尖端放电效应； 而高压线表面则应该光滑， 半径也不宜过小，高压设备中的电极都是球面状的，都是为了避免尖端放电带来有害的后果。 ②、库仑平方反比律的精确验证 基本思想：空腔内无电荷的空腔导体其电荷只能分布在外表面上，这是高斯定理的基本要 求，而高斯定理是由库仑定律导来，故我们给腔内表面加上电荷，静电平衡后，按上述结果电 荷只能分布在外表面上。若实测内表面无荷，则间接地证明库仑定律正确。此实验精度比库仑 扭称精度高。 电荷只能分布在导体外表面→建立在 Gauss 定理基础上→Coulomb 平方反比律导出的。 反 过来，如果点电荷之间的相互作用力偏离了平方反比律，即 1 F ∝ 2 +δ r 其中 δ ≠ 0 ，则 Gauss 定理不成立。从而导体上的电荷也不完全分布在外表面上（即内表面也 存在电荷） 。 由卡文迪许的实验证明了库仑平方反比律的正确性。 装置如图。金属球 1 由绝缘支柱 2 支持，绝缘金属球壳 3 春套在 1 的外边，它由两个半球组成，在其中之一的上面有一小孔，一段导 线 4 由绝缘丝线 5 悬挂， 可探进小孔将球 1 与球壳 3 联接起来， 这样， 1 的表面成了 3 内表面的一部分，实验时，先使联接在一起的球 1 和 壳 3 带电，带电的多少用静电计来检验，然后将导线抽出，将球壳 3 的两半分开并移走，再用静电计检验 1 上的电荷。反复实验，球 1 上 总没有电荷。 但改进实验方法，不会超过 2.7×10-16。这样，可见库仑平方反比 律是十分正确的。
§2.2 静电场中的导体
一、导体的特性
我们知道第一类导体（自由电子导电的金属）内存在着自由电荷，它们在电场作用下可以 移动。 对于金属导体， 若不受外场作用， 又不带净电荷， 则自由电子均匀地迷漫于正离子点阵 （晶 格）间，且自由电子在晶格的非均匀电场中运动。从宏观上看，导体处处电中性，即净电荷体 密度 ρ = 0 或物理无限小体元内大量微观电荷的代数和为零。 电荷和电场的分布相互影响、 相互制约。例如：导体球置于均匀 外电场 E 0 中如图 2-1(a)，经电场 和电荷达到静电平衡时的情形如 图 2-1(b)：导体内 E0 与 E ′ 反方， 至 E内 = 0 止；导体外 E0 与 E ′ 叠

∴ ∫ E内 ⋅ ds = 0 ，即 q内 = 0 。又因为 S 为任意的，所以 ρ = 0 ，即静电平
S
衡时导体内电荷体分布为零，电荷只能分布于导体 V 的表面上。 另外采用反证法：如果导体内有电荷存在，它将在周围激发电场，有 电力线，沿着电力线的方向将有电位降落，这与等位体相矛盾。 b、空腔导体（腔内无荷） 导体有腔， V 为复通域，表面 S1 + S 2 ，如右图所示。根据以上讨论可 知，此时导体内仍是 ρ = 0 。这说明：腔体内表面上无电荷分布，电荷仅 分布于外表面( S1 )上。 证明：在导体内取高斯面 S ，由于 E内 = 0 ，而 ∫ E ⋅ ds = 0 ，即腔
(a) (b)
图 2 −1
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加，场发生畸变，成为 E = E 0 + E ′ 。
二、导体的静电平衡条件
1、静电平衡的定义 带电体系中的电荷静止不动，电场的分布不随时间而改变的状态，称为静电平衡状态。 2、导体的静电平衡条件 导体的静电平衡的必要条件是所有场源（包括分布在导体上的电荷）在导体内共同产生 的场强处处为零，即 E = E0 + E ′ = 0 。 反证法可以说明：如果导体内的电场不是处处为零，则在 E 不为零的地方自由电荷就要受 到电场力的作用发生移动（如右图所示） ，这样就不是静电平衡。 值得注意的是，这里说的“场强”是所有电荷共同激发的总场强，即所有电荷的合贡献。 “内部处处场强为零”中的“处处” ，亦即“各点” ，这个点指导体内宏观的点，即物理无限小 体元。 下面来看导体从非平衡态趋于平衡态的过程： 考虑一个不带电的导体，在其周围没有带电体时，它的内部以及表面上电荷处处为零，导 体内部各点场强为零，从而导体内部各点场强为零，这是个最简单的静电平衡状态。当把一个 不带电的导体放在外场 E0 中，在导体所占据的那部分空间里本来是有电场 E0 存在的，各处的 电位不同。 在外场 E0 作用下，导体中的自由电荷将发生移动，结果使导体的一边带正电，另一边带负 电。这是由于静电感应现象造成的。以上过程只能是暂时的，因为当导体两边积累了正、负电 荷之后，它们就产生了一个附加电场 E ′ ， E ′ 与 E0 的迭加结果，使导体内、外的电场都发生重 新分布，在导体内部 E ′ 的方 向 是 与 外 电 场 E0 的 方 向 相 反，当导体两边的正、负电荷 积累到一定的程度时， E ′ 的 数值就会大到足以把 E0 完全 抵消。 此时导体内部的总电场 E = E0 + E ′ 处处为零时，自由 电荷便不再移动，导体两边 正、负电荷不再增加，于是达 到了静电平衡状态。 3、推论 ①、整个导体是个等位体，导体表面是个等位面。
⇒ E ⋅ ds = 0， E内 = 0 ， 证明： 作高斯面 S ， 如右图所示， 内 ∫s
∴∑ q = 0 。此式说明： (a)、若导体壳本身不带电荷,而腔内带电体带电 + q ，则内壁表面带电 − q ，根据电荷守 恒，壳外表面上有电荷总量 + q 分布。 (b)、若导体壳本身带电荷 Q,则内壁电荷分布不变(内部的场也不变),而外表面上分布电 荷总量为 Q + q 。