第五讲.角动量理论课件

角动量的物理意义
总结词
角动量决定了物体旋转运动的特征。
详细描述
角动量的大小决定了物体旋转运动的快慢和方向。在无外力矩作用的情况下，角动量守恒，即物体的角动量保持 不变。这表明旋转运动的特性是保持不变的。
角动量的守恒定律
总结词
无外力矩作用时，系统角动量守恒。
详细描述
根据牛顿运动定律和角动量定理，当系统受到的外力矩为零时，系统角动量守恒。这意味着在封闭系 统中，如果没有外力矩作用，物体的旋转运动特性保持不变。这一原理在分析旋转机械、行星运动等 问题中具有重要应用。
角动量理论的发展
02
随着物理学的发展，角动量理论逐渐完善，被广泛应用于天体
物理、量子力学等领域。
角动量理论的挑战
03
随着研究的深入，角动量理论面临一些挑战，如对非线性系统
的描述、高维空间中的角动量等问题。
角动量理论的现代研究方法
数值模拟方法
利用计算机进行数值模拟，研究角动量在不同系 统中的演化规律。
详细描述
力可以改变物体的运动状态，包括速度和角速度。当物体受到外力作用时，其角动量会 发生变化。根据牛顿第二定律，力的大小等于角动量对时间的导数与质量的乘积。因此
，力、角动量和时间之间存在密切的联系。
06 角动量理论的发展与展望
角动量理论的历史发展
角动量理论的起源
01
角动量理论起源于经典力学，最初用于描述旋转运动的物体。
角动量课件
目录
CONTENTS
• 角动量基本概念 • 角动量在日常生活中的应用 • 角动量在科学实验中的应用 • 角动量在工程技术中的应用 • 角动量与其他物理量的关系 • 角动量理论的发展与展望
01 角动量基本概念

1 2 r gt , p mv mgt 2
r
v
2.4 角动量守恒定律
o
若以O为参考点，质点在任 意时刻的角动量为：
R
A
r
r
v
R
L0 r P ( R r ) p R mgt .
rmgt ; 方向垂直纸面向里
2.4 角动量守恒定律
• 若质点作匀速直线运动，以 O点为参考点，质点的角动 量为：
L0 r mv r mv const
L0 r mv sin r mv
• 注意：对不同的参考点有不同的角动量
开普勒第二定律 对于任一行星，由太阳 到行星的矢径在相等的 时间内扫过相等的面积
2.4 角动量守恒定律
3、质点系的角动量定理及守恒定律
质点系角动量对时间的变化率等 于质点系所受合外力矩，而与内 力矩无关。
写成积分式
dL 即： M 外 dt
L0

t
t0
L Mdt dL L L0 L
t0 L0
L Li ri pi ri mi vi
质点系的角动量守恒
当 M 外 0 时，L 恒矢量
2.4 角动量守恒定律 例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质 量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上), 然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求 小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度. 解 小球受重力和支持 力作用, 支持力的力矩为零, 重力矩垂直纸面向里

正负取决于力与位移的夹角数值一般与路径参考系有关质点受的合力做功各质点的元位移和运动轨迹通常互不相同质点系的功不能写为合力的功计算质点系的功时需考虑所有的力包括内力和外力和它们的作用路径
r r r 矢量叉积 C = A× B
大小 = 面积
r C
θ
r B
r r | A× B | = ABsinθ
r r 从 A 转向 B(转角 <π)为右手四指绕向
计算质点系的功时，需考虑所有的力， 计算质点系的功时，需考虑所有的力， 包括内力和外力，和它们的作用路径。 包括内力和外力，和它们的作用路径。
一对力的功 b2 r b1 r dr2 r r r f r f2 21 1 dr1 r r r2 r 1 a1 a2
O
r r r r dA = f1 ⋅ dr1 + f2 ⋅ dr2 r r r = f 2 ⋅ d( r2 − r1 ) r r dA = f2 ⋅ dr21
r 对圆心 L = mυ r
mυ0 r0 = mυ r
r0 υ = υ0 r
二. 质点系的角动量定理
一个质点系的总角动量对时间 的变化率等于它受的合外力矩 的变化率等于它受的合外力矩 r r r r 合外力矩： 合外力矩：M外 = ∑ Mi = ∑ri × fi
i i
r r dL总 M外 = dt
r r r r r r r r r i × j = k, j × k = i , k × i = j r r r r r 记忆： 记忆：i j k i j
x z 0 y
r r A， 平面， 方向： 方向：垂直于 A，B 平面，右手螺旋
r A
叉积的基本性质： 叉积的基本性质： r r r r r r ① a × λ a = 0; a × b = −b × a r r r 混合积： ② 混合积：(a × b) ⋅ c = ± 体积 r r r r r r r r r (a × b) ⋅ c = (b × c ) ⋅ a = (c × a) ⋅ b r r r r r r (a × b) ⋅ c = 0 a, b, c 共面 r r r r r r r ③ a × (b + c ) = a × b + a × c

(练习二，17)
解 设猴子、重物对地面的速度分别为
。
由猴、重物组成的系统角动量守恒，得
v1、v 2
v1 v2
R
∵ v1 v猴绳 v绳-地 v v绳-地
v1
v2
而 v绳地 v物地 v2 , 则 v1 v v2
∴
v2
v 2
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机械能不守恒
力物的猴拉加，力由速于上和轻爬相绳过等各程m，处中1又g张，因力绳为相对猴等猴和，的物所拉相以力同在大质另于量一猴，端的绳重对重T1
[ C]
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第五章 角动量、角动量守恒定律
本章主要阐述三个问题：
1）角动量。 2）角动量守恒定律。 3）有心力与角动量守恒定律。 3）有心力与角动量守恒定律。
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5-3 有心力与角动量守恒定律
自然界中有些力具有这样的性质：力的方向始终通过某一固定点，力的 大小仅依赖于质点与这个点之间的距离。我们称这样的力为有心力，相应的 固定点称为力心。例如，万有引力是有心力；静电作用力也是有心力。
作半径为 的m圆轨道运动。取圆周上 点R为参考点，如图所示，试求：①质P点
在图中点1处所受的力矩 和质点的角动量
的力矩 和质点的角动量 。
；②质m点
在图中点2处所受
M1
L1
m
M2
L2
解 ① 力矩 M 1
2
在点1处， 所m受引力指向 点，故 P M 1 0
角动量 L1
由 m作圆周运动的动力学方程，可得速度
A 另离一端系向一右质，运量绳O动子，处到于达松位的弛置物状体态时。。物开O现体始A在速时使度，物的物体方m体以向位与与于0绳.位5d垂k置垂g直直0。处.的2试，5初求m速物度间体的在距 处

v M 外 dt
d J
dt
v L1 v L2
v L1
dL v
dL
J d
dt
L2 v L2
L1 v L1
积分
M轴 dt Jd J2 J1
当 M 轴合外 0 时
t1
1
J2 J1 恒量
定轴转动刚体 角动量守恒
若转动惯量有变化，则有：J22 J11 恒量 19
5.5 定轴转动刚体的转动定律 转动中的功和能
Jz Jc mh2
式中:
J
关于通过质心轴的转动惯量
c
m 是刚体质量, h 是 c 到 z 的距离
h Cz
J z 是对平行于质心轴的一个轴的转动惯量
23
2） 转动惯量叠加，如图
z B
Jz JA JB JC
A
C
式中:J A 是A球对z轴的转动惯量
JB 是B棒对z轴的转动惯量
J c 是C球对z轴的转动惯量
点的角动量
有 r
1 2
g
t
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
o
r
RA r
（2） 对 O 点的角动量
m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
4
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
v
r
O
B S
A r
[证明] (1) 行星对太阳O的角动量的大小为
L r p rmvsin
其中 是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.

解 设盘对地的角速度为
体系初态角动量 [12mR 21m0(12R)2]o
o
末态盘的角动量 1 mR 2
2
R/2
V 人 地 V 人 盘 V 盘地 v
R 2
21
[12m2R1m0(12R)2]o12 mR 2 1m0(R2v)R2
o
2v 21R
o
(2) 欲使盘静止，可令
o
2v 0 21R
R/2
质量为m、长度为L的细直棒，通过质心 C且垂直于棒的轴
I 1 mL2 12
3
上次内容回顾
均质圆盘(m,R)绕中心轴转动时，
I 1 mR2 2
刚体对任一转轴的转动惯量I等于刚体通过质心的 平行轴的转动惯量Ic加上刚体的总质量M乘以两平行 轴间距离d的平方，即
I=Ic+Md2
4
上次内容回顾
LI
M dL dt
l
mg
讨论: (1)当=0时，=3g/2l， =0 ； (2)当=90°时， =0，=(3g/l)1/2。
11
例题5 一质量为m、半径为R的匀质圆盘绕通过盘 心且垂直于盘面的光滑轴正以o的角速度转动。现将 盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系数 为µ，求圆盘经转几圈将停下来？
I 1 mR 2 2
计算出来摩 擦力矩是关键
o
dr r
M0Rrgm R22rdr
2 3
mgR
12
M0Rrgm R22rdr
2 3
mgR
I 1 mR 2 2
于是得M4g
I 3R
o
dr r
又由2-o2=2，所以停下来前转过的圈数为
N 22o2 136o2R g 13

2）动量守恒与角动量守恒 是相互独立的定律 如行星运动
动量不守恒
角动量守恒
3）向心力： 力始终过某一点。
M 0
o
角动量守恒
F


行星在速度和向心力所组成的平面内运动。
9
例：开普勒第二定律：行星对太阳的径矢在相等的时间
内扫过相等的面积
M 0
dr
L
＝常矢量
L mrsin
方向：垂直 r , F组成的平面
1
M
M
O
z
r
F
*
d
P

确定力矩方向的右手螺旋法则示意图
2
2、质点对定点的角动量
t 时刻 质量m 速度 相对固定o的矢径 r
• 质点动量
p m
为质点对定点o 的角动量
• 定义 L r p
• 大小： r p sin mr sin L
M xi M y j M z k
M x yFz zF y 比较可得： M y zFx xFz M xF yF y x z
M rF x Fx i j y Fy k z Fz
6
3. 质点的角动量定理
Lrp
Lx ypz zp y 比较可得： Ly zp x xp z L xp yp y x z
Lrp x px i j y py k z pz
5
（b）力矩分量
M ( xi yj zk ) ( Fx i Fy j Fz k ) ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k

Lo r mv sin r mv
O
r
r A

p mv
9
说明： 若
M外 0
则
L 常矢量
质点角动量守恒定律
1. 关于总外力矩 M = 0 的三种不同情况： ⑴ 对孤立体，质点不受外力作用Fi = 0，当然有总外力矩 M = 0。 ⑵ 所有的外力通过定点，对该点每个外力的力矩皆为零，因而总 外力矩 M = 0，但体系所受外力的矢量和未必为零。 ⑶每个外力的力矩不为零，但总外力矩M = 0。 2. 角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量守恒定 律或能量守恒定律中。 3. 角动量守恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可以分别 守恒。 例： 当 Mx = 0，则 Lx = 常量
Fi
1.质点系的角动量定理 mi ri rj L Li ri p f ij i i f ji mj d Li ri ri ( Fi f ij ) rj dt i j Fj O dL ri ( Fi f ij ) M 外 M 内 dt i i j M M i内 = (ri f ij ) M 外 M i外 ri Fi 内
匀变速定轴转动
1 2 x x0 v0t at 2 2 v 2 v0 2a( x x0 )
v v0 at
1 2 0 0t t 2 2 2 0 2 ( 0 )
0 t
24
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.用角量描述 角坐标 (t ) 角位移
转动平面

B
vA

本文首先回顾了功、势能、动能等基本概念，以及质点的动能定理，为后续引入角动量概念打下基础。接着，通过讨论绕固定轴转动的圆盘系统总动量为零的问题，指出不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量，从而引入了与动量对应的角量——角动量。详阐述了角动量的定义、物理意义及计算方法，包括质点对点的角动量、质点对参考点的角动量等，并讨论了不同运动情况下角动量的变化特性。进一步，本文推导了角动量定理的微分形式和积分形式，揭示了力矩与角动量变化之间的关系。此外，还将角动量定理推广至质点系，得到了质点系角动量定理，并辨析了总外力矩与合外力力矩的区别。最后，本文探讨了刚体定轴转动的角动量，展示了角动量在刚体转动中的应用。通过本文的阐述，读者可以全面深入地理解含角动量的动能定理及其相关概念。

质点系的角动量守恒定律:
如果所有作用在质点系的外力对某一固定点的合 力矩为零, 则质点系的角动量守恒.
2 对质心的角动量定理:
z
Pi
n个质点, Pi是任一质点,质量为mi, C是质心. 坐标系O-xyz是固定系,
ri’ ri
C
另有C-x’y’z’系, 原点在质心C, 随C
rC
相对于O-xyz平动. 对运动参考系
从题已知,
mf
m0
dm dt
t
2.72106 1.29104 155 kg
2.52106 kg
所以
vf 2.68103 m/s
二、力矩与角动量
1. 对定点的力矩
设径作为用r力的某F一作点用上于矢
M
F
O r
d
作用力 F对参考原点O 的力矩定义为：
M
r
F
单位：N·m
M
r
F
M
F
O r
第五讲 变质量物体 及角动量守恒定律
本讲导读
•变质量物体的运动
•力矩、冲量矩、角动量
•类比法
•质点对固定点、固定轴的角动量定理
•角动量守恒定律
•对质心的角动量定理
F M
p
L
F
d p
dt
M
dL
dt
一、变质量物体的运动方程
物体质量不为常数的情况，火箭、传送带、雨滴等．
设一物体在t时质量为m，速度是v，同时一微小质 量m以速度u运动，并在t时间内与m相合并，合并后 共同速度是v+v. 如果作用在m及m上的合外力为F， 则由动量定理，得
其中：
dr v dt
所以：
dr mv 0 dt