第三章多元线性回归模型计量经济学,南京审计学院.ppt

质。
一．假设条件
（1）E(ut)=0, t=1,2,…,n （2）E(ui uj)=0, i≠j （3）E(ut2)=σ2, t=1,2,…,n （4）Xjt是非随机量， j=1,2, … k
t=1,2, … n
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除上面4条外，在多个解释变量的情况下，还有 两个条件需要满足： （5）（K+1）< n;
这里，β是可支配收入对消费额的总影响，显然β和
β2的 含义是不同的。
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回到一般模型
Yt
β 0
β1 X1t
β2 X 2t
... βk X kt
ut
t=1,2,… ，n
即对于n组观测值，有
Y1
β0
β 1
X
11
β2
X
21
β3
X
31
... βK
X
K1
u1
Y2
β0
β 1
X12
β2 X 22
β3 X 32
β2的含义是，在流动资产不变的情况下，可支配收入变动 一个单位对消费额的影响。这是收入对消费额的直接影响。
收入变动对消费额的总影响=直接影响+间接影响。 （间接影响：收入影响流动资产拥有量影响消费额）
但在模型中这种间接影响应归因于流动资产，而不是收入
，在因下而面，的β模2型只中包：括收C入t 的直接D影t 响 u。t , t 1,2,..., n
0
1
2
,
...
K
u1
u
u2 ... un
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第二节 多元线性回归模型的估计
多元线性回归模型的估计与双变量线性模型类似，仍采用
最小二乘法。当然，计算要复杂得多，通常要借助计算机。
理论推导需借助矩阵代数。下面给出最小二乘法应用于多元
线性回归模型的假设条件、估计结果及所得到的估计量的性
(Y X β)(Y X β)
(Y β X )(Y X β)
Y Y β X Y Y X ββ X X β
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注意到上式中所有项都是标量，且
(ˆ
X
Y
)
Y
X
β
故
S Y Y 2β X Y β X X β
令
(S)
0
β
用矩阵微分法，我们可得到
X X β X Y
与采用标量式推导所得结果相同。由上述结果，我们有
Yˆ 116.7 0.112X 0.739P
R2 0.99
(9.6) (0.003) (0.114)
Y和X的计量单位为10亿美元 (按1972不变价格计算).
P
食品价格平减指数 总消费支出价格平减指数
100，（1972
100）
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多元线性回归模型中斜率系数的含义
上例中斜率系数的含义说明如下： 价格不变的情况下，个人可支配收入每上升10
（3） X 是 是一个非随机元素矩阵。 （4）Rank(X) = (K+1) < n. ------相当于前面 (5)、 (6) 两条
即矩阵X的秩 =（K+1)< n 当然，为了后面区间估计和假设检验的需要，还要加 上一条：
（5） ut ～ N(0, 2 ) ，t=1,2,…n
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二．最小二乘估计
β ( X X )1 X Y 18
三. 最小二乘估计量 β的性质 我们的模型为 Y X u
估计式为
Yˆ
Xβ
1．β 的均值
β ( X X )1 X Y
(X X )1 X (Xβ u)
(X X )1 X Xβ (X X )1 X u
β ( X X )1 X u
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E(β) β ( X X )1 X E(u)
我们可用同样的方法定义决定系数：
R2
解释变差 总变差
1
e2 Y Y
2
或 R 2 ESS 1 RSS
TSS
TSS
为方便计算，我们也可以用矩阵形式表示R2
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我们有：残差 残差平方和：
e1
e
e2
... en
Y
Y
，其中， Y Xβ
et 2 ee
(Y Y )(Y Y ) (Y X β)(Y X β)
Yt
ˆ0
βˆ 1
X
1t
... βˆ K X Kt
2
为最小，则应有：
S
S
S
ˆ0 0, ˆ1 0, ..., ˆ K 0
我们得到如下K+1个方程（即正规方程）：
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β0 n
β1 X1t ...... β K X Kt Yt
β 0 X 1t β1 X 1t 2 ...... β K X 1t X Kt X 1tYt
第三章 多元线性回归模型
简单线性回归模型的推广
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第一节 多元线性回归模型的概念
在许多实际问题中，我们所研究的因变量的变动 可能不仅与一个解释变量有关。因此，有必要考虑线 性模型的更一般形式，即多元线性回归模型：
Yt β0 β1X1t β2 X 2t ... βk X kt ut t=1,2,…,n
Cov(β0 ,β1)
...
Cov(β
0
,β
K
)
Var (β1 )
...
Cov(β1
,β
K
)
...
...
...
...
Cov(β
K
,β
0
)
Cov(β K ,β1)
Var(β K )
( X X )1 2
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3． 2 的估计
与双ˆ 2变量线性et模2 型相似， 2的无偏估计量是
n (K 1)
亿美元（1个billion），食品消费支出增加1.12亿 元（0.112个 billion）。
收入不变的情况下，价格指数每上升一个点， 食品消费支出减少7.39亿元（0.739个billion）
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例2：
Ct
β 1
β 2 Dt
β3Lt
ut
其中，Ct=消费，Dt=居民可支配收入 Lt=居民拥有的流动资产水平
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n
X1t
...
X Kt
X1t X1t 2
...
X Kt X1t
...
X Kt
... X1t X Kt
...
...
...
X Kt 2
β 0
β1 =
1
X
11
1 X12
... 1 Y1
...
X
1n
Y2
... β K
... ... ... ... ...
... βK
XK2
u2
......
Yn
β0
β 1
X 1n
β2 X 2n
β3 X 3n
... βK
X Kn
un
6
其矩阵形式为： Y X u
其中 Y1
Y
Y2
... Yn
1
X
1
...
1
X11 X12 ... X1n
... ... ... ...
X K1
X
K
2
...
Xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Kn
c (X X )1 X D
从而将 的任意线性无偏估计量 * 与OLS估计量 ˆ 联系
起来。
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cX I
由
可推出：
(X X )1 X X DX I
即 I DX I
因而有 D X 0
cc (X X )1 X D (X X )1 X D ( X X )1 X D X ( X X )1 D
β 0 X 2t β1 X 2t X 1t ...... β K X 2t X Kt X 2tYt
......
......
......
......
β 0 X kt β1
X kt X 1t ...... β K
X Kt 2
X ktYt
按矩阵形式，上述方程组可表示为：
X X 1 X 2 In X X X 1
X X 1 X X X X 1 2
X X 1 2
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如前所述，我们得到的实际上不仅是β 的方差，而且是
一个方差-协方差矩阵，为了反映这一事实，我们用下面的 符号表示之：
Var
Cov(β)
(
X
X
) 1
2
展开就是：
Var(β0 )
Cov(β1
,β
0
)
由OLS估β计量(
X
的公式
X )1
X
Y
ˆ
Y
可知, 可表ˆ示为k一Y个矩阵和应变量观测值向量 的乘积：
k ( X X )1 X
其中
ˆ
是一个 (K+1)*n 非随机元素矩阵。
因而显然有 是线性估计量。
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现设 为* 的任意一个线性无偏估计量，即 * cY
其中c 是一个(K+1)*n非随机元素矩阵。则 * cY c( X u) c X cu
β0 ,β1,...β k
这是因为我们在估计
的过程中，失去了
（K+1）个自由度。
4． 高斯-马尔科夫定理
Y Xβ u
对于
以及标准假设条件（1）-（4），
普通最小二乘估计量是最佳线性无偏估计量（BLUE）
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我们已在上一段中证明了无偏性，下面证明线性和最小方
差用矩性阵。和证向明量的的路形子式与ˆ 。双变量模型中类似，只不过这里我们采
Var(
β
)，非主对角线元素是相应的协方差，如下所示：
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