多元线性回归模型(5)

多元线性回归的计算模型多元线性回归模型的数学表示可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y表示因变量，Xi表示第i个自变量，βi表示第i个自变量的回归系数（即自变量对因变量的影响），ε表示误差项。

1.每个自变量与因变量之间是线性关系。

2.自变量之间相互独立，即不存在多重共线性。

3.误差项ε服从正态分布。

4.误差项ε具有同方差性，即方差相等。

5.误差项ε之间相互独立。

为了估计多元线性回归模型的回归系数，常常使用最小二乘法。

最小二乘法的目标是使得由回归方程预测的值与实际值之间的残差平方和最小化。

具体步骤如下：1.收集数据。

需要收集因变量和多个自变量的数据，并确保数据之间的正确对应关系。

2.建立模型。

根据实际问题和理论知识，确定多元线性回归模型的形式。

3.估计回归系数。

利用最小二乘法估计回归系数，使得预测值与实际值之间的残差平方和最小化。

4.假设检验。

对模型的回归系数进行假设检验，判断自变量对因变量是否显著。

5. 模型评价。

使用统计指标如决定系数（R2）、调整决定系数（adjusted R2）、标准误差（standard error）等对模型进行评价。

6.模型应用与预测。

通过多元线性回归模型，可以对新的自变量值进行预测，并进行决策和提出建议。

多元线性回归模型的计算可以利用统计软件进行，例如R、Python中的statsmodels库、scikit-learn库等。

这些软件包提供了多元线性回归模型的函数和方法，可以方便地进行模型的估计和评价。

在计算过程中，需要注意检验模型的假设前提是否满足，如果不满足可能会影响到模型的可靠性和解释性。

总而言之，多元线性回归模型是一种常用的预测模型，可以分析多个自变量对因变量的影响。

通过最小二乘法估计回归系数，并进行假设检验和模型评价，可以得到一个可靠的模型，并进行预测和决策。

第四章 多元线性回归模型在一元线性回归模型中，解释变量只有一个。

但在实际问题中，影响因变量的变量可能不止一个，比如根据经济学理论，人们对某种商品的需求不仅受该商品市场价格的影响，而且受其它商品价格以及人们可支配收入水平的制约；影响劳动力劳动供给意愿（用劳动参与率度量）的因素不仅包括经济形势（用失业率度量），而且包括劳动实际工资；根据凯恩斯的流动性偏好理论，影响人们货币需求的因素不仅包括人们的收入水平，而且包括利率水平等。

当解释变量的个数由一个扩展到两个或两个以上时，一元线性回归模型就扩展为多元线性回归模型。

本章在理论分析中以二元线性回归模型为例进行。

一、预备知识（一）相关概念对于一个三变量总体，若由基础理论，变量21,x x 和变量y 之间存在因果关系，或21,x x 的变异可用来解释y 的变异。

为检验变量21,x x 和变量y 之间因果关系是否存在、度量变量21,x x 对变量y 影响的强弱与显著性、以及利用解释变量21,x x 去预测因变量y ，引入多元回归分析这一工具。

将给定i i x x 21,条件下i y 的均值i i i i i x x x x y E 2211021),|(βββ++= （4.1） 定义为总体回归函数（Population Regression Function,PRF ）。

定义),|(21i i i i x x y E y -为误差项（error term ）,记为i μ，即),|(21i i i i i x x y E y -=μ，这样i i i i i x x y E y μ+=),|(21，或i i i i x x y μβββ+++=22110 （4.2）（4.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。

其中，21,x x 称为解释变量（explanatory variable ）或自变量（independent variable ）；y 称为被解释变量（explained variable ）或因变量（dependent variable ）；误差项μ解释了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。

多元线性回归模型的估计与解释多元线性回归是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测模型。

与简单线性回归模型相比，多元线性回归模型允许我们将多个自变量引入到模型中，以更准确地解释因变量的变化。

一、多元线性回归模型的基本原理多元线性回归模型的基本原理是建立一个包含多个自变量的线性方程，通过对样本数据进行参数估计，求解出各个自变量的系数，从而得到一个可以预测因变量的模型。

其数学表达形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y为因变量，X1、X2、...、Xn为自变量，β0、β1、β2、...、βn为模型的系数，ε为误差项。

二、多元线性回归模型的估计方法1. 最小二乘法估计最小二乘法是最常用的多元线性回归模型估计方法。

它通过使残差平方和最小化来确定模型的系数。

残差即观测值与预测值之间的差异，最小二乘法通过找到使残差平方和最小的系数组合来拟合数据。

2. 矩阵求解方法多元线性回归模型也可以通过矩阵求解方法进行参数估计。

将自变量和因变量分别构成矩阵，利用矩阵运算，可以直接求解出模型的系数。

三、多元线性回归模型的解释多元线性回归模型可以通过系数估计来解释自变量与因变量之间的关系。

系数的符号表示了自变量对因变量的影响方向，而系数的大小则表示了自变量对因变量的影响程度。

此外，多元线性回归模型还可以通过假设检验来验证模型的显著性。

假设检验包括对模型整体的显著性检验和对各个自变量的显著性检验。

对于整体的显著性检验，一般采用F检验或R方检验。

F检验通过比较回归平方和和残差平方和的比值来判断模型是否显著。

对于各个自变量的显著性检验，一般采用t检验，通过检验系数的置信区间与预先设定的显著性水平进行比较，来判断自变量的系数是否显著不为零。

通过解释模型的系数和做假设检验，我们可以对多元线性回归模型进行全面的解释和评估。

四、多元线性回归模型的应用多元线性回归模型在实际应用中具有广泛的应用价值。

对多元线性回归模型的各种检验方法对于形如u X X X Y k k +++++=ββββ 22110 （1） 的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验：一、 对单个总体参数的假设检验：t 检验在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。

特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。

如果拒绝0H ，说明解释变量j X 对被解释变量Y 具有显著的线性影响，估计值j βˆ才敢使用；反之，说明解释变量j X 对被解释变量Y 不具有显著的线性影响，估计值j βˆ对我们就没有意义。

具体检验方法如下：（1） 给定虚拟假设 0H ：j j a =β；（2） 计算统计量 )ˆ(ˆ)ˆ()(ˆjj j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11ˆ)ˆ(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ（3） 在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即 10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ；（4） 如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝0H ；反之，无法拒绝0H 。

t 检验方法的关键是统计量 )ˆ(ˆj jj Se t βββ-=必须服从已知的t 分布函数。

什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）：（1） 随机抽样性。

我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21 =。

这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，0))())(((=--j j i i u E u u E u Cov 。

（2） 条件期望值为0。

给定解释变量的任何值，误差u 的期望值为零。

第三章 多元线性回归模型基本概念(1)多元线性回归模型； (2)偏回归系数；(3)正规方程组； (4)调整的多元可决系数； (5)多重共线性； (6)假设检验； 练习题1. 多元线性回归模型的基本假设是什么?试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作用?2．在多元线性回归分析中，t 检验与F 检验有何不同?在一元线性回归分析中二者是否有等价的作用?3．为什么说对模型参数施加约束条件后，其回归的残差平方和一定不比未施加约束的残差平方和小?在什么样的条件下，受约束回归与无约束回归的结果相同?4．在一项调查大学生一学期平均成绩(Y )与每周在学习(1X )、睡觉(2X )、 娱乐(3X )与其他各种活动(4X )所用时间的关系的研究中，建立如下回归模型： 011223344Y X X X X u βββββ=+++++如果这些活动所用时间的总和为一周的总小时数168。

问：保持其他变量不变，而改变其中一个变量的说法是否有意义?该模型是否有违背基本假设的情况? 如何修改此模型以使其更加合理?5.表3-1给出三变量模型的回归结果。

表 3-1(1)求样本容量n ，残差平方和RSS ，回归平方和ESS 及残差平方和RSS 的自由度。

(2)求拟合优度2R 及调整的拟合优度2R -。

(3)检验假设：2X 和3X 对Y 无影响。

应采用什么假设检验?为什么? (4)根据以上信息，你能否确定3X 和3X 各自对Y 的影响?6.某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为 12310.360.0940.1310.210Y X X X =-++20.214R =其中，Y 为劳动力受教育年数，1X 为该劳动力家庭中兄弟姐妹的人数，2X 与3X 分别为母亲与父亲受教育的年数。

问：(1) 1X 是否具有预期的影响?为什么?若2X 与3X 保持不变，为了使预测的受教育水平减少一年，需要1X 增加多少?(2)请对2X 的系数给予适当的解释。

§5.1 多元线性回归模型及其假设条件 1．多元线性回归模型 多元线性回归模型：εi pi p iiix b xb x b b y +++++= 2211，n i ,,2,1 =2．多元线性回归模型的方程组形式 3．多元线性回归模型的矩阵形式4．回归模型必须满足如下的假设条件：第一、有正确的期望函数。

即在线性回归模型中没有遗漏任何重要的解释变量，也没有包含任何多余的解释变量。

第二、被解释变量等于期望函数与随机干扰项之和。

第三、随机干扰项独立于期望函数。

即回归模型中的所有解释变量Xj与随机干扰项u 不相关。

第四、解释变量矩阵X 是非随机矩阵，且其秩为列满秩的，即：n k k X rank 〈=,)(。

式中k 是解释变量的个数，n 为观测次数。

第五、随机干扰项服从正态分布。

第六、随机干扰项的期望值为零。

()0=u E 第七、随机干扰项具有方差齐性。

()σσ22=u i（常数）第八、随机干扰项相互独立，即无序列相关。

()()u u u u jiji,cov ,=σ=0§5.2 多元回归模型参数的估计建立回归模型的基本任务是：求出参数bb b p,,,,1σ的估计值，并进行统计检验。

残差：yy e iiiˆ-=；残差平方和：Q=()∑-∑==y y e i i ni iˆ212矩阵求解：X=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡x xxx x x x x x pn nnp p212221212111111，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=b b b b p B ˆˆˆˆ210ˆ ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-y y y y n n Y 121 ，()YB X X X ττ1ˆ-=1ˆ2--=p n Qσ要通过四个检验：经济意义检验、统计检验、计量经济学检验、模型预测检验。

§5.4 多元线性回归模型的检验一、R 2检验1．R 2检验定义R 2检验又称复相关系数检验法。

§5.1 多元线性回归模型及其假设条件 1．多元线性回归模型 多元线性回归模型：εi pi p iiix b xb x b b y +++++= 2211，n i ,,2,1 =2．多元线性回归模型的方程组形式 3．多元线性回归模型的矩阵形式4．回归模型必须满足如下的假设条件：第一、有正确的期望函数。

即在线性回归模型中没有遗漏任何重要的解释变量，也没有包含任何多余的解释变量。

第二、被解释变量等于期望函数与随机干扰项之和。

第三、随机干扰项独立于期望函数。

即回归模型中的所有解释变量Xj与随机干扰项u 不相关。

第四、解释变量矩阵X 是非随机矩阵，且其秩为列满秩的，即：n k k X rank 〈=,)(。

式中k 是解释变量的个数，n 为观测次数。

第五、随机干扰项服从正态分布。

第六、随机干扰项的期望值为零。

()0=u E 第七、随机干扰项具有方差齐性。

()σσ22=u i（常数）第八、随机干扰项相互独立，即无序列相关。

()()u u u u jiji,cov ,=σ=0§5.2 多元回归模型参数的估计建立回归模型的基本任务是：求出参数bb b p,,,,1σ的估计值，并进行统计检验。

残差：yy e iiiˆ-=；残差平方和：Q=()∑-∑==y y e i i ni iˆ212矩阵求解：X=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡x xxx x x x x x pn nnp p212221212111111，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=b b b b p B ˆˆˆˆ210ˆ ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-y y y y n n Y 121 ，()YB X X X ττ1ˆ-=1ˆ2--=p n Qσ要通过四个检验：经济意义检验、统计检验、计量经济学检验、模型预测检验。

§5.4 多元线性回归模型的检验一、R2检验1．R2检验定义R2检验又称复相关系数检验法。

是通过复相关系数检验一组自变量xx x m,,,21与因变量y 之间的线性相关程度的方法。

实验五 多元线性回归模型实验目的：1．掌握用excel 一次性算出回归模型参数的方法和步骤； 2．正确分析输出结果并得出正确的回归模型。

实验内容：某省1978～1989年消费基金、国民收入使用额和平均人口资料如表5.1所示。

试配合适当的回归模型并进行各种检验；若1990年该省国民收入使用额为67十亿元，平均人口为58百万人，当显著性水平 ＝0.05时，试估计1990年消费基金的预测区间。

表5.1 某省1978～1989年消费基金、国民收入使用额和平均人口资料操作步骤：1.在excel 的工作表中输入如表5.1所示的消费基金（十亿元）y 、国民收入使用额（十亿元）2x 和平均人口数（百万人）3x 的样本数据。

2.点击“工具—数据分析—回归”，在Y 值输入区域，拖动鼠标选择Y 样本值A3:A14，在X 值输入区域，拖动鼠标选择X 样本值B3:C14，如图5.1所示。

图5.1 应用excel“数据分析”功能求多元线性回归的有关参数4.点击图5.1所示中的确定，弹出多元回归分析有关参数的窗口，如图5.2所示。

图5.2 应用excel“数据分析”功能求多元线性回归的有关参数结果分析：“回归统计”中Multiple R为复相关系数；R Square为可决系数R2；Adjusted为修正的可决系数；“标准误差”为σ的点估计值，该值在求Y的预测区间和控制范围时要用到。

方差分析表中Singnificance F为对回归方程检验所达到的临界显著性水平，即P值；SS 为平方和；df 是自由度；P-value 为P 值，即所达到的临界显著水平。

图5.2 中最后部分给出的是各回归系数及对回归系数的显著性检验结果。

Intercept为截距，即常数项；Coefficients为回归系数；“标准误差”为对各个回归系数标准差的估计；t Stat为对回归系数进行t检验时t统计量的值。

下限95%和上限95%分别给出了各回归系数的95%置信区间。

多元线性回归模型多元线性回归模型是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测模型。

它通过使用多个自变量来建立与因变量之间的线性关系，从而进行预测和分析。

在本文中，我们将介绍多元线性回归模型的基本概念、应用场景以及建模过程。

【第一部分：多元线性回归模型的基本概念】多元线性回归模型是基于自变量与因变量之间的线性关系进行建模和预测的模型。

它假设自变量之间相互独立，并且与因变量之间存在线性关系。

多元线性回归模型的数学表达式如下：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、…、Xn表示自变量，β0、β1、β2、…、βn表示回归系数，ε表示误差项。

回归系数表示自变量对因变量的影响程度，误差项表示模型无法解释的部分。

【第二部分：多元线性回归模型的应用场景】多元线性回归模型可以应用于各种预测和分析场景。

以下是一些常见的应用场景：1. 经济学：多元线性回归模型可以用于预测GDP增长率、失业率等经济指标，揭示不同自变量对经济变量的影响。

2. 医学研究：多元线性回归模型可以用于预测患者的生存时间、治疗效果等医学相关指标，帮助医生做出决策。

3. 市场研究：多元线性回归模型可以用于预测产品销量、市场份额等市场相关指标，帮助企业制定营销策略。

4. 社会科学：多元线性回归模型可以用于研究教育水平对收入的影响、家庭背景对孩子成绩的影响等社会科学问题。

【第三部分：多元线性回归模型的建模过程】建立多元线性回归模型的过程包括以下几个步骤：1. 数据收集：收集自变量和因变量的数据，确保数据的准确性和完整性。

2. 数据清洗：处理缺失值、异常值和离群点，保证数据的可靠性和一致性。

3. 特征选择：根据自变量与因变量之间的相关性，选择最相关的自变量作为模型的输入特征。

4. 模型训练：使用收集到的数据，利用最小二乘法等统计方法估计回归系数。

5. 模型评估：使用误差指标（如均方误差、决定系数等）评估模型的拟合程度和预测性能。

第五章 多元线性回归模型在第四章中，我们讨论只有一个解释变量影响被解释变量的情况，但在实际生活中，往往是多个解释变量同时影响着被解释变量。

需要我们建立多元线性回归模型。

一、多元线性模型及其假定 多元线性回归模型的一般形式是i iK K i i i x x x y εβββ++++= 2211令列向量x 是变量x k ，k =1，2，的n 个观测值，并用这些数据组成一个n ×K 数据矩阵X ，在多数情况下，X 的第一列假定为一列1，则β1就是模型中的常数项。

最后，令y 是n 个观测值y 1, y 2, …, y n 组成的列向量，现在可将模型写为：εββ++=K K x x y 11构成多元线性回归模型的一组基本假设为 假定1. εβ+=X y我们主要兴趣在于对参数向量β进行估计和推断。

假定2. ,0][][][][21=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n E E E E εεεε 假定3. n I E 2][σεε='假定4. 0]|[=X E ε我们假定X 中不包含ε的任何信息，由于)],|(,[],[X E X Cov X Cov εε= （1）所以假定4暗示着0],[=εX Cov 。

（1）式成立是因为，对于任何的双变量X ，Y ，有E(XY)=E(XE(Y|X))，而且])')|()([(])')((),(EY X Y E EX X E EY Y EX X E Y X Cov --=--=))|(,(X Y E X Cov =这也暗示 βX X y E =]|[假定5 X 是秩为K 的n ×K 随机矩阵 这意味着X 列满秩，X 的各列是线性无关的。

在需要作假设检验和统计推断时，我们总是假定： 假定6 ],0[~2I N σε 二、最小二乘回归 1、最小二乘向量系数采用最小二乘法寻找未知参数β的估计量βˆ，它要求β的估计βˆ满足下面的条件 22min ˆ)ˆ(ββββX y X y S -=-∆ （2）其中()()∑∑==-'-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆-nj Kj j ij i X y X y x y X y 1212ββββ，min 是对所有的m 维向量β取极小值。

多元线性回归能⽤office07发布简直是太好了，这下⼦省了很多事。

1、多元线性回归模型假定被解释变量与多个解释变量之间具有线性关系，是解释变量的多元线性函数，称为多元线性回归模型。

即(1.1)其中为被解释变量，为个解释变量，为个未知参数，为随机误差项。

被解释变量的期望值与解释变量的线性⽅程为：(1.2)称为多元总体线性回归⽅程，简称总体回归⽅程。

对于组观测值，其⽅程组形式为：(1.3)即其矩阵形式为=+即(1.4)其中为被解释变量的观测值向量；为解释变量的观测值矩阵；为总体回归参数向量；为随机误差项向量。

总体回归⽅程表⽰为：(1.5)多元线性回归模型包含多个解释变量，多个解释变量同时对被解释变量发⽣作⽤，若要考察其中⼀个解释变量对的影响就必须假设其它解释变量保持不变来进⾏分析。

因此多元线性回归模型中的回归系数为偏回归系数，即反映了当模型中的其它变量不变时，其中⼀个解释变量对因变量的均值的影响。

由于参数都是未知的,可以利⽤样本观测值对它们进⾏估计。

若计算得到的参数估计值为，⽤参数估计值替代总体回归函数的未知参数，则得多元线性样本回归⽅程：(1.6)其中为参数估计值，为的样本回归值或样本拟合值、样本估计值。

其矩阵表达形式为:(1.7)其中为被解释变量样本观测值向量的阶拟合值列向量；为解释变量的阶样本观测矩阵；为未知参数向量的阶估计值列向量。

样本回归⽅程得到的被解释变量估计值与实际观测值之间的偏差称为残差。

(1.8)2、多元线性回归模型的假定与⼀元线性回归模型相同，多元线性回归模型利⽤普通最⼩⼆乘法(OLS)对参数进⾏估计时，有如下假定：假定1 零均值假定：，即(2.1)假定2 同⽅差假定(的⽅差为同⼀常数)：（2.2）假定3 ⽆⾃相关性：(2.3)假定4 随机误差项与解释变量不相关(这个假定⾃动成⽴)：（2.4）假定5 随机误差项服从均值为零，⽅差为的正态分布：（2.5）假定6 解释变量之间不存在多重共线性：即各解释变量的样本观测值之间线性⽆关，解释变量的样本观测值矩阵的秩为参数个数k+1，从⽽保证参数的估计值唯⼀。

多元线性回归模型分析多元线性回归模型是一种用于分析多个自变量对于一个目标变量的影响的统计模型。

在多元线性回归模型中，通过使用多个自变量来预测目标变量的值，可以帮助我们理解不同自变量之间的关系，以及它们与目标变量之间的影响。

在多元线性回归模型中，假设有一个目标变量Y和k个自变量X1，X2，...，Xk。

我们的目标是通过找到一个线性函数来描述目标变量Y与自变量之间的关系。

这个线性函数可以表示为：Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε其中，β0,β1,β2,...，βk是回归系数，代表自变量对于目标变量的影响程度。

ε是误差项，表示模型不能完全解释的未观测因素。

1.数据收集：收集自变量和目标变量的数据。

这些数据可以是实验数据或观测数据。

2.数据预处理：对数据进行清洗和处理，包括处理缺失值、异常值和离群值等。

3.变量选择：通过相关性分析、方差膨胀因子(VIF)等方法选择最相关的自变量。

4.拟合模型：使用最小二乘法或其他方法，拟合出最佳的回归系数。

5. 模型评估：通过各种统计指标如R-squared、调整R-squared等评估模型的拟合程度。

6.模型解释与推断：通过解释回归系数，了解各自变量对于目标变量的影响程度，并进行统计推断。

在多元线性回归模型中，我们可以利用回归系数的显著性检验来判断自变量是否对目标变量产生重要影响。

如果回归系数显著不为零，则表明该自变量对目标变量具有显著的影响。

此外，还可以利用F检验来判断整体回归模型的拟合程度，以及各自变量的联合影响是否显著。

同时，多元线性回归模型还可以应用于预测和预测目的。

通过使用已知的自变量值，可以利用回归模型来预测目标变量的值，并计算其置信区间。

然而，多元线性回归模型也有一些限制。

首先，模型的准确性依赖于所选择的自变量和数据的质量。

如果自变量不足或者数据存在误差，那么模型的预测结果可能不准确。

此外，多元线性回归模型还假设自变量之间是线性相关的，并且误差项是独立且具有常量方差的。