排列和排列数公式24页PPT

特征，第一取出的元素无重复性，第二选出的元素必须与 顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同才是相 同的排列．元素有序还是无序是判定是否为排列问题的关
键．
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1．下列命题，
①abc和bac是两个不同的排列；②从甲、乙、丙三人
中选两人站成一排，所有的站法有6种；③过不共线的 三点中的任两点所作直线的条数为6. 其中为真命题的是 A．①② C．②③ 答案：A 返回 B．①③ D．①②③ ( )
－1 n－m Am · A n－1！ － n 1 n－m (3) ＝ · (n－m)！· －1 An [ n － 1 － m － 1 ] ！ n－1
1 ＝1. n－1！
(12 分)
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[一点通]
m (1)排列数的第一个公式 An ＝n(n－1)…(n－
m＋1)适用于具体计算以及解当 m 较小时的含有排列数的方 程和不等式．在运用该公式时要注意它的特点：从 n 起连续 写出 m 个数的乘积即可． (2)排列数的第二个公式 Am n＝ n！ 适用于与排列数 n－m！
顺序 排成一列， 叫作 从n个不同的元素中任意取出m个
元素 的一个排列.
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已知数字1,2,3,4,5,6. 问题1：从1,2,3,4,5,6中选出两个数字，能构成多少个
没有重复数字的两位数？
提示：有6×5＝30个． 问题2：从1,2,3,4,5,6中选出三个数字，能构成多少个 没有重复数字的三位数？ 提示：有6×5×4＝120个． 返回
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4．A，B，C，D四名同学排成一行照相，要求自左向右，
A不排第一，B不排第四，试写出所有排列方法．
解：因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可以B，C， D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图 如图．

有序，无变化就是无序.
m
符号 An 中的A是英文
arrangement(排列)
的第一个字母
排列数：
我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，
m
叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 An 表示.
m
n
A
取出元素数
元素总数
排列的第一个字母
m，n所满足的条件是：
(1) m∈N*，n∈N* ；
全排列数：
1. 全排列：从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同 元素的
一个全排列 .
全排列数为: Ann n( n 1)( n 2) 2 1 n！
2.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 n！表示, 即
Ann n !
规定：0 ! 1.
小结：
1. 排列数公式：A n( n 1)( n 2) ( n m 1). ( m , n N 且m n)
m
n
*
2. 全排列数: Ann n( n 1)( n 2) 2 1
3.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 n！表示, 即
∴不同的排法共有 A44 A31 A31 A33 78 种.
解2：甲站排头有 A44 种排法，乙站排尾有 A44 种排法.
3
但两种情况都包含了 “甲站排头, 且乙站排尾” 的情况，有A3 种排法.
5
4
3
∴ 不同的排法有 A5 2 A4 A3 78 种排法．
例题 证明：Anm mAnm 1 Anm1 .
解1：分两步完成：(特殊位置法)

推论
• 方程x1+x2+…+xn=r 的非负整数解的个数。 • n≤r时，此方程的正整数解的个数 • n元集合的r-可重组合数，要求每个元素至少
出现一次。 • 正整数r的n-长有序分拆的个数 • 求x1+x2+x3+x4=20的整数解的数目，其中x1 ≥
3, x2 ≥ 1,x3 ≥ 0,x4 ≥ 5。
排列组合公式排列组合公式
有约束条件的排列：引例
• 用两面红旗、三面黄旗依次悬挂在一根旗杆 上，问可以组成多少种不同的标志？
排列组合公式排列组合公式
5、有约束条件的排列
• 设有k个元素a1，a2，…，ak，由它们组成一 个n-长的排列，其中对1≤i≤k，ai出现的次数 为ni，n1+n2 +… +nk=n，求排列的总数。
。
(2x13x25x3)6
x13x2 x32
(x1x2 xr)n
项，其中
n n1 1, nn 22, ,n r为 nrn非负 n1整 n2n 数 nrx1n1x2n2 xrnr
排列组合公式排列组合公式
例题
• 数1400有多少个正因数？ • 1400=23 × 52 × 7 • (3+1)(2+1)(1+1)=24
排列组合公式排列组合公式
多边形
排列组合公式排列组合公式
例题
• 对角线的条数为C(10,2)-10=45-10=35 • 任选两条对角线，可能相交在多边形内部，可能
交点为多边形的顶点，可能无交点（交点在多边 形外） • 任选四个顶点，对应一个交点，每个对角线分成 两段 • 每个对角线是一段 • 35+C(10,4) × 2=455

栏目导引
排列数与排列数公式
从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(m≤n) 个 元 素 排列数 的 所有不同排列的个数 ，叫做从 n 个不同 定义 元素中取出 m 个元素的排列数． 排列数 表示法 乘积 形式 形式 性质 备注
工具
Anm
Anm＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) .
排列数 公式
工具
第一章 计算原理
栏目导引
(2)1！＋2·2！＋3·3！＋„＋n·n!
＝(2！－1)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋„＋[(n＋1)！－n！]
＝(n＋1)！－1.
[题后感悟]
(1)连续正整数的乘积可以写成某个排列数，其
中最大的数是排列元素的总个数，这是排列数公式的逆用．
(2)应用排列数公式的两种形式时，一般写出它们的式子后， 再提取公因式，然后计算，这样做往往会减少运算量．
数字的两位数？
(2)从1,2,3,4,5,6中选出三个数字，能构成多少个没有重复数
字的三位数？
(3)从1,2,3,4,5,6中选出四个数字，能构成多少个没有重复数 字的四位数？ 观察以上问题，你认为从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 排成一列，有多少种不同的排法？排列数公式是什么？
工具
第一章 计算原理
工具
第一章 计算原理
栏目导引
2A85＋7A84 An－1m 1· n－mn m A 1.计算：(1) ；(2) . － A88－A95 An－1n 1
－
－
2A85＋7A84 解析： (1) A88－A95 2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5 ＝ ＝1. 8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5 An－1m 1· n－mn A (2) － An－1n 1

有多少种不同的纸牌方案？
它们的答案是否一致？
如果用A、B、C分别表示上述问题（1）中的三所大学，用（A,B）表示，第一志愿
是A，第二志愿是B，你能列出小张所有的选择方式吗？上述问题，（2）（3）的结
果是否也能用类似的方法表示？
概念解析
一、排列的定义
一般地,从n个不同对象中,任取m(m≤n)个对象,按照一定的顺序排成一列,
典例解析
例1.求从A,B,C这3个对象中取出3个对象的所有排列的个数，并写出所有
的排列。
解：所求排列数为33 = 3 × 2 × 1 = 6.
所有的排列可用图表示
由图可知，所有排列为
ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA.
概念解析
2.排列数公式的阶乘表示
全排列数公式的阶乘表示:A =n!=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1.
(2)从10名同学中随机抽取2名同学去学校参加座谈会;
(3)某商场有四个大门,从一个门进去,购买物品后再从另一个门出来的不同的出入方式.
解:(1)由于取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数作为横坐标,哪一个数作为纵坐标
的顺序有关,所以这是排列问题.
(2)抽取2人参加座谈会不用考虑2人的顺序,所以不是排列问题.
− !

!
− −1 !
!

=
× 1+
− !
− −1
!
+1
=
×+
− !
− −1
=
( + 1)!
=
+1
+1 − !
典例探究
探究2.假设有 + 1加一个对象，甲是其中一个，从 + 1对象中取出m个做

整理得3n2-17n+10=0，
解得n=5或 n 2 (舍去)，
3
n 3 又 n 1 2， n 3，故n 5． n 2
(2)左边＝ m! m k ! m! An m k ! m n ! m n ! m
2．下列命题中，是真命题的是( ①abc和bac是两个不同的排列；
)
②从甲、乙、丙三人中选2人站成一排，所有的站法有6种；
③过不共线的三点中任两点所作的直线的条数为6．
(A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③
【解析】选A．对于①，abc和bac显然排列顺序不同，是不 同的排列；对于②，所有的站法有甲乙、甲丙、乙甲、丙
种数是________．
【解析】要确定一种车票，即是从四个车站中任意选出 2个 车站，按起点站在前、终点站在后进行排列，共有 A 2 种不 4 同的排法，即共有 A 2 种不同的车票，由排列数公式可得 4
A2 ． 4 4 3 12
答案：12
5 A7 A 6．解方程 n 5 n 89． An
有关排列数的计算
排列数的计算方法：
(1)排列数的计算主要是利用排列数公式进行．应用时注意：
连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的数是排
列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个 数，这是排列数公式的逆用． (2)应用排列数公式的两种形式时，一般先写出它们的式子 后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．
【例1】判断下列问题是否为排列问题：
(1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，
共有多少种可能的选举结果？ (2)从2,3,5,7,9五个数字中任取两个数分别作为对数的底数 和真数，有多少个不同的对数值？ (3)有12个车站，共需准备多少种车票？ (4)从集合M={x|1≤x≤9,x∈N}中任取相异的两个元素作为

排列组合基本公式 • 排列组合的应用 • 排列组合的扩展知识 • 练习题与答案解析
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。

n (n 1)L (n m 1) (n m)L 21
(n m)L 21
n!
(n m)!
即排列数公式还可写成 说明：
Anm
n! (n m)!
1.排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来
证明.
2.对于 m n 这个条件要留意，往往是解方程时的隐
含条件.
【变式练习】
计算：（1）5A
第2课时 排列与排列数公式
1.排列的定义：
从n个不同元素中取出m( m n )个元素，按照一定
的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个排列.
2.排列数的定义：
从n个不同元素中取出m( m ≤n)个元素的所有不同
排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
A
m n
3. “一个排列”与“排列数”的不同：
排列数公式 Anm n(n 1)(n 2) (n m 1) 这里，n, m N ，并且m n.
观察排列数公式有何特征： （1）第一个因数是n，后面每一个因数比它 前面一个因数少1． （2）最后一个因数是n－m＋1． （3）共有m个因数．
ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个
元素的一个全排列，这时公式中的ｍ＝ｎ，即有
318 SHIFT n Pr 18 13 SHIFT n Pr 13 1 028 160.
由23 我们看到，A518 = A1188÷A1133.
那么，这个结果有没有一般性呢？即
A
m n
=
Ann An-m
n-m
=
n! 是否成立？ n-m !
Am n(n 1)(n 2)L (n m 1) n
A
n n
n
(n

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数，用符号Cnm表示。
注意：1.m个元素必须从这n个元素中取出；
2.组合问题，哪些是排列问题？
1、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成一件工作，
1.排列 定义:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m (m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列.
说明:①一次性取出m个元素;②将这m个
元素按一定的顺序排成一列.③ m≤n
注:（相同排列：元素相同，顺序相同.）
例1.下列问题是不是排列问题？ 1．某学校的高二（1）班有50名同学,从 中选出5人组成班委会,共有多少种选法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
4）甲不排头，也不排尾，共有几种排法？
甲
5）甲只能排头或排尾，共有几种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
6）甲不排头，乙不排尾，共有多少种排法？
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三 家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
1）甲站在正中间的排法有几种？
甲
有条件的排列问题
七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩， 三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。
2）甲乙两人必须站在两端的排法有几种？
甲
乙
3）甲乙两人不能站在两端的排法有几种？
有多少种不同的选法？
组合
2、从a,b,c,d四名学生中选2名学生完成两件不同的

组合可以看作排列的一个特例
当一个组合中的元素都是相邻的时候，这个组合可以看作是 一个排列。
05
排列与组合的扩展知识
排列与组合的数学原理
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺 序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的排列。
排列的计算公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
03
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式
C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
组合公式的推导
通过数学归纳法证明组合公式。
组合公式的应用
利用组合公式计算从n个不同元素中取出k个元素 的组合数。
组合的实例
01
02
03
组合实例1
从5个不同的人中选出3个 人组成一个小组，有多少 种不同的选法？
用P(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元 素的排列数。
排列的计算公式
P(n,m)=n×(n-1)×…×(n-m+1)
排列的特性
与元素的顺序有关，与元素的取出方式有 关。
组合的定义
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n） ，不考虑顺序，称为从n个不同元素中取
出m个元素的组合。
组合的计算公式
《排列与组合》PPT课件
目录
• 排列与组合的定义 • 排列的计算方法 • 组合的计算方法 • 排列与组合的区别与联系 • 排列与组合的扩展知识
01
排列与组合的定义
排列的定义
排列的定义
排列的表示
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）， 按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同 元素中取出m个元素的排列。

问题2
排列数的定义 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素的所有排列 数叫作从n个元素中取出m个元素的 排列数
������������ ������ 表示.
的个
,用符号
问题3
排列数公式及其推导 由 ������������ ������ 的意义 : 假定有排好顺序的 2 个空位,从 n 个元 素 a 1 ,a2,…,an 中任取 2 个元素去填空,一个空位填 一个元素 , 每一种填法就得到一个排列,反过来,任 一个排列总可以由这样的一种填法得到 ,因此,所有 不同的填法的种数就是排列数������������ ������ .
【解析】由题易知 n=17,又∵4=17-m+1,∴m=14.
4
从 2,3,5,7,11 这五个数字中,任取 2 个数字组成分 数, 不同值的分数共有多少个?
【解析】因为从 2,3,5,7,11 这五个数字中,任 取 2 个数字组成分数,分数的值各不相同,所以不同 值的分数的个数等于从这五个数字中任取 2 个数字 的排列数 ������������ ������ =5×4=20.
到n的连乘积,叫作
n的阶乘 ,表示 n! ,即 ������������ ������ = n! ,
规定:
0!=1
.
.. 导. 学 固思
1
89×90×91×92×…×100 可表示为( C ). A. ������������������ B. ������������������ C. ������������������ D. ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������

2.从n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的 一个全排列.这时公式中m n,
即有Ann nn 1n 23 2 1,
注:规定 0! 1,其中 m ≤ n
例题选讲
例1.下列问题中哪些是排列问题？ （1）10名学生中抽2名学生开会 （2）10名学生中选2名做正、副组长
（3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘 （4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除
思考 上述问题1,2 的共同特点是什么?你能将它 们推广到一般情形吗?
一般地,从n个不同的元素中取出m(m n)个元素, 按 照 一 定 顺 序 排 成 一 列,叫 做 从n个 不 同 元 素 中 取
出m个元素的一个排列 (arrangement).
思考 你能归纳一下排列的特征吗?
根据排列的定义,两个排列相同,当且仅当两个排 列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.例 如在问题2中,123与134的元素不完全相同,它们 是 不 同 的 排 列;123与132虽 然 元 素 完 全 相 同, 但 元 素的排列顺序不同,它们也是不同的排列.
4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排 列。
5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏， 最好采用“树形图”。
2、排列数
从n个 不 同 元 素 中 取 出mm n个 元 素 的 所 有
不 同 排 列 的 个 数 叫 做 从n个 不 同 元 素 中 取 出m
个
元
素
的排
列数
,
用
符
号A
m
241412 231312
由此可写出所有的三位数 : 123,124,132,134,142,143, 213,214,231,234,241,243, 312,314,321,324,341,342, 412,413,421,423,431,432,

组合数用于确定样本的组合方式，例 如在统计分析中，样本的组合方式会 影响到统计结果。
在计算机科学中的应用
排列数用于确定计算机程序中的执行 顺序，例如在算法中，程序的执行顺 序会影响到程序的效率。
组合数用于确定计算机程序中的数据 结构，例如在数据库中，数据的组合 方式会影响到数据的查询效率。
04
排列数与组合数的区别与联 系
应用
负排列数和负组合数在数学、物理学和工程学等领域有广 泛的应用，例如在量子力学和统计力学的计算中。
感谢您的观看
THANKS
定义上的区别
排列数
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同 元素中取出m个元素的排列。
组合数
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），不考虑顺序，称为从n个不同元素中取出m 个元素的组合。
计算公式上的联系
排列数的计算公式
$A_{n}^{m} = frac{n!}{(n-m)!}$
超排列数
定义
超排列数是比排列数多一个元素的所有不同排列的个数。
计算公式
超排列数 = n! / (n-r+1)!，其中n是元素的总个数，r是排列的 长度。
应用
超排列数在组合数学、概率论和统计学等领域有广泛的应用。
多重组合数
定义
多重组合数是组合数的一种扩 展，允许重复使用元素。
计算公式
多重组合数 = n! / (r1! * r2! * ... * rn!)，其中n是元素的总 个数，r1, r2, ..., rn分别是每
排列数的符号表示
用符号P(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元素的排列数。
排列数的计算公式
排列数的计算公式

排列，然后再“松绑”，将这若干个元素内部全排列
若干个元素不相邻的排列问题，一般用插空法，即
3）插空法 先将“普通元素”全排列，然后再在排就的每ห้องสมุดไป่ตู้个
元素之间及两端插入特殊元素。
4）排除法 对某些问题的反面比较明了，可用排除法。
补充：
1、(x 2 y z)3 的展开式中含 xyz 项的系数是___1__2___
由加法原理得：共有 P64+P21P63=600(种)。(特殊元素优先考虑)
例8、 7人站一排照相（1）若甲、乙两人坐在两端； 丙不坐正中间的排法有多少种？（2）若甲坐最左边， 乙、丙不相邻，有多少种排法？（3）若甲坐在首位， 乙、 丙必须相邻，丁不在末位有多少种排法？
解：（1）甲、乙两人坐两端的排列数为P22，正中间的排列数 为P41，其它位置的排列数为P44，所以共有P22.P41.P44=192(种)。 （优限法）
P22.P41.P44=192(种）（捆绑法）
有附加条件的排列应用题的基本解法：
有关特殊元素“在不在”特殊位置的排列问题要先找
1）优限法 出“受限位置”与“受限元素”，然后以“受限位置”
为主，用直接法逐位排列之，有时用间接法解之。
若干个元素相邻排列问题，一般用“捆绑法”。先把
2）捆绑法 相邻的若干元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全
例3、用0到9这十个数字，可以组成多少个 没有重复数字的三位数？
解法一：对排列方法分步思考。
百位 十位 个位
P P P 1 1 1 998 648
9
9
8
P P 1 2 998 648
9
9
特殊位置优先考虑
例3、用0到9这十个数字，可以组成多少个 没有重复数字的三位数？