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幻灯片1第2课时排列与排列数公式幻灯片2幻灯片3排列数及排列数公式不同排列数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_____ ____的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数排列数表示法排列mnA_________幻灯片4排列数公式乘积式=_____________________阶乘式性质=___,0!=__备注n,m∈N*,m≤nn(n-1)(n-2)…(n-m+1)m n A()n!n m !-m n A _________=n! 1n n A幻灯片5判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于式子 中的x 可以取小于或等于3的任意整数.( ) (2)排列数 是有n 个因式的乘积.( )(3)0！规定等于1，但它不能按阶乘的含义来解释.( ) (4) (n ∈N*且n<55)( )x 3Am n A()()()1469n 55n 56n 69n A ---⋯-=幻灯片6提示：(1)错误.x ≤3且x ∈N*.(2)错误.从n-m+1到n 共有m 个因式相乘. (3)正确.0!=1只是一种规定.(4)错误.(55-n)(56-n)…(69-n)共有15个因式相乘，故原式 等于 (n ∈N*且n ≤54).答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×1569n A-幻灯片7【知识点拨】1.排列与排列数的区别“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列(也就是具体的一件事)；排列数是指“从n 个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数”，它是一个数. 幻灯片8比如从3个元素a,b,c 中取出2个元素，按照一定的顺序排成一 列，有如下几种:ab,ac,ba,bc,ca,cb ，每一种都是一个排列，共有6种，而数字6就是排列数，符号 表示排列数，在 此例中m n A23A 6.=幻灯片92．准确理解排列数公式(1)公式中的n ，m 应该满足n,m ∈N*，m ≤n ，当m>n 时不成立．(2)排列数有两个公式，第一个公式右边是若干数的连乘积，其特点是：第一个因数是n(下标)，后面的每一个因数都比它前面的因数少1，最后一个因数为n-m ＋1(下标-上标＋1)，共有m(上标)个连续自然数相乘． 幻灯片10(3)排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的阶乘式．它是一个分式的形式，分子是下标n 的阶乘，分母是下标减上标的阶乘，即(n-m)的阶乘．(4)特别地，规定0!＝1.这只是一种规定，不能按阶乘的含义作解释． 幻灯片11类型一 排列数的计算问题 【典型例题】1.(2013·洛阳高二检测)乘积m(m+1)(m+2)(m+3)…(m+20)可 表示为( )2.计算：2212021m m m 20m 20A.A B.A C.A D.A ++()()5439915651010A A 1A .2.A A +-幻灯片12 【解题探究】1.排列数 是几个因式的乘积？最大、最小数分别是什么？2.题2(2)中 能否均用 表示？ 探究提示：1.从n-m+1到n 共有m 个因式相乘，其中最小数为n-m+1，最大 数为n.2.能.m n A56591010A A A ，，49A54645499109109A 5A ,A 50A ,A 10A .===幻灯片13【解析】1.选D.因为m,m+1,m+2，…，m+20中最大的数为 m+20，且共有m+20-m+1=21个因式. 所以m(m+1)·(m+2) …(m+20)=21m 20A .+幻灯片14 2.(1)(2)方法一：315A 151413 2 730.=⨯⨯=5499651010A A A A +=-9876598761098765109876⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯()()9876513.1098765120⨯⨯⨯⨯+==⨯⨯⨯⨯⨯-幻灯片15 方法二：方法三：5444499999654441010999A A 5A A 6A 3.A A 50A 10A 40A 20++===--54996510109!9!A A 4!5! 10!10!A A 4!5!++=--59!9!69!3.510!10!410!20⨯+⨯===⨯-⨯幻灯片16【互动探究】在题1中，若将乘积改为m(m-1)(m-2)(m-3) …(m-20)(m>20)，则结果如何？【解析】因为m(m-1)(m-2)…(m-20)中最大数为m ，且共有 m-(m-20)+1=21(个)因式，所以m(m-1)(m-2)…(m-20)=21m A .幻灯片17【拓展提升】排列数的计算方法(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用. 幻灯片18(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量. (3)当计算的式子中含有多个排列数时，一般先利用阶乘的性质将其他排列数用最小的排列数表示，再计算. 幻灯片19类型二 与排列数有关的方程、不等式及证明问题 【典型例题】1.(1)已知 则n=______. (2)不等式 的解集为______.2.求证:332n n A 10A =，x x 288A 6A -<m m m 1n 1n n A A mA .-+-=幻灯片20 【解题探究】1.如何利用排列数公式将题1(1)(2)中的方程、不等式转化为 n 或x 的代数方程、不等式求解？2.如何选择排列数公式由题2中待证式左端过渡到右端？ 探究提示：1.利用排列数公式的乘积式或阶乘式进行转化.2.对 分别用排列数公式的阶乘形式过渡到右端.m m n 1n A A+，幻灯片21【解析】1.(1)因为 所以2n(2n-1)(2n-2)=10n(n- 1)(n-2)，即n2-9n+8=0,解得n=1或n=8,因为n ≥3，所以n=8. 答案：8332nn A 10A =，幻灯片22(2)由 得3≤x ≤8，x ∈N*. 由 得化简得x2-19x+84<0，解得7<x<12, 又因为3≤x ≤8，所以x=8. 答案：{8}8x,x 21,≥⎧⎨-≥⎩()()88!68x !10x !<⨯--！，x x 288A 6A,-<幻灯片232.因为()()()m m n 1nn 1!n!AA n 1m !n m !++-=-+--()n!n 1(1)n m !n 1m +=⋅--+-()n!m n m !n 1m =⋅-+-()m 1m m m 1n n 1n n n!m mA ,A A mA .n 1m !--+=⋅=-=+-所以幻灯片24 【拓展提升】1.排列数公式阶乘式的应用公式 适用于与排列数有关的恒等式(或不等式)的证明或解有关排列数 (当m 与n 较接近时)的方程与不等式. 【提醒】在解有关排列数的方程式或不等式时，应注意排列 数中未知数满足的隐含条件“n,m ∈N*且m ≤n ”.()m nn!A n m !=-m n A幻灯片252.排列数的化简与证明技巧应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明， 化简的过程中要对排列数进行变形，并要熟悉排列数之间的 内在联系.解题时要灵活地运用如下变式： ①n!=n(n-1)!；② ③n ·n!=(n+1)!-n!； ④m m 1nn 1A nA --=；()n 111.n!n 1!n!-=--幻灯片26【变式训练】1.解方程：【解题指南】首先明确x ≥3且x ∈N*，由排列数公式列出方 程，解方程即可.432x 1x A140A .+=幻灯片27【解析】由已知得 所以x ≥3,x ∈N*.又由 得(2x+1)·2x ·(2x-1)(2x-2) =140x(x-1)(x-2)，化简得，4x2-35x+69=0， 解得 (舍)， 所以方程的解为x=3.2x 14,x 3,+≥⎧⎨≥⎩432x 1x A 140A +=，1223x 3x 4==，幻灯片28 2.求证： 【证明】n m n mn n n m A A A .--=⋅()()m n m nnn mn n!A An m !n!A .n m !--⋅=-==-幻灯片29类型三 利用排列与排列数解简单计数应用题 【典型例题】1.从1，2，…，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共 有______个.2.(2013·兰州高二检测)一条铁路原有n 个车站，为了适应客 运需要，新增加了m(m>1)个车站，客运车票增加了62种，问 原有多少个车站？现有多少个车站？ 幻灯片30 【解题探究】1.每一个三位数对应怎样的一个排列？所求三位数的个数是 怎样的一个排列数？2.每一种车票对应怎样的一个排列？ 探究提示：1.每一个三位数对应从8个不同元素任取3个元素的一个排 列，故所求三位数的个数为2.每一种车票对应从n 个或(n+m)个不同元素，任取2个元素 的一个排列.38A .幻灯片31【解析】1.按顺序，有百位、十位、个位3个位置，8个数字 中取出3个依次排列，有 个. 答案：33638A 336=幻灯片322.因为原有车站n 个，所以原有客运车票有 种，又现有 (n+m)个车站，现有客运车票 种.所以 所以(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62, 所以 所以 即62>m2-m.所以m2-m-62<0.又m>1，从而得出 所以1<m ≤8. 即m=2时， 当m=3，4，5，6，7，8时，n 均不 为整数，故只有n=15,m=2符合题意，即原有15个车站，现有17个车站.2n A2m n A +22n m n A A 62,+-=()311m 1m 2>-，()311n m 10.m 2=-->12491m ,2+<<3121n 1522-=-=，幻灯片33【拓展提升】1.利用排列与排列数解排列应用题的基本思想幻灯片342.解简单的排列应用题的思路(1)认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序.(2)如果是的话，再进一步分析，这里n 个不同的元素指的是什么，以及从n 个不同的元素中任取m(m ≤n)个元素的每一种排列对应的是什么事件. (3)运用排列数公式求解. 幻灯片35【变式训练】有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(4) 班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种 不同的安排方法？【解析】从5个不同的课题中选3个，由3个兴趣小组进行研 究，每种选法对应于从5个不同元素中选出3个元素的一个排 列.因此不同的安排方法有 (种).35A 54360=⨯⨯=幻灯片36【易错误区】忽视排列数中的隐含条件致误 【典例】已知 则n 为( )A.7，8，9，10，11，12B.8，9C.7，8D.7n n 1893A 4A -＜，幻灯片37【解析】选C.由排列数公式得， 所以 即 所以nn 1893A 4A -＜，()()38!49!,8n !10n !⨯⨯<--()()()()38!498!8n !10n 9n 8n !⨯⨯⨯<----()()49310n 9n ⨯<--，幻灯片38化简为n2-19n ＋78<0，所以6<n<13, 因为n ∈N*，所以n ＝7,8,9,10,11,12. 由排列数的意义，可知n ≤8且n-1≤9①， 即n ≤8，所以6<n ≤8.又n ∈N*，所以n ＝7或n ＝8. 幻灯片39 【误区警示】幻灯片40 【防范措施】 1.隐含条件的挖掘对题目中的条件要认真分析，找出一些隐含条件.如本例中 中，n,m ∈N*且m ≤n. 2.公式的灵活选用排列数公式有乘积式和阶乘式两种形式，在求解与证明中要 灵活选用以减少运算量和失误.如本例中选用阶乘式则较简单.m n A幻灯片41【类题试解】不等式 的解集为______. 【解析】由题意可得 所以解得n=3或n=4，所以原不等式的解集是{3,4}. 答案：{3，4}2n 1An 7--<()()n 12,n N*,n 1n 2n 7,⎧-≥⎪∈⎨⎪---<⎩2n 3,n 3,n N*,n N*,1n 5n 4n 50⎧≥≥⎧⎪⎪∈∈⎨⎨⎪⎪-<<--<⎩⎩即，，幻灯片421.乘积5×6×7×…×20等于( )【解析】选B.根据题意，由于乘积5×6×7×…×20表示的是从20到5的连续16个自然数的乘积，则可知表示的为1716151420202020A.A B.A C.A D.A 1620A .幻灯片432.从5本不同的书中选出2本送给2名同学，每人一本，共有多 少种给法( )A.5种B.10种C.20 种D.60 种【解析】选C.由排列数定义知，共有 (种). 25A 5420=⨯= 幻灯片443.若 则x=( )【解析】选B.因为所以 n!x ,3!=3n 3n 3n n 3n 3A.A B.A C.A D.A -- ()n 3n A n(n 1)n n 31-=-⋯--+［］ ()n!n n 1(n 2)4,3!=--⋯⨯=n3n x A .-= 幻灯片454.满足 的n 的解集为______.【解析】由 得 且n ∈N*，所以n 的解集为{n|n>4且n ∈N*}.答案：{n|n>4且n ∈N*}1n 2A 2->n 21n 4n 22-≥⎧⇒>⎨->⎩，，1n 2A2->幻灯片465.方程 的解x=______.【解析】=(x-3)(x-4)+(x-3)=x2-6x+9=4，所以x2-6x+5=0，解得x=5或x=1(舍).答案：554x x 3x A A 4A+=54x x 3x A A A +=()()()()()()()()x x 1x 2x 3x 4x x 1x 2x 3x x 1(x 2)----+-----幻灯片476.求证：【证明】左边故原式成立.m 1n m n 1n m n 1n 1A A 1.A ------⋅=m 1n m n 1n m n 1n 1A A A ------⋅=()()()()n 1!1n m !n 1(m 1)!n 1!-=-----［］()()()()n 1!1n m !1.n m !n 1!-=-==--右边幻灯片48幻灯片49。
