2019-2020学年安徽省合肥一中、六中、八中联盟高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2024届安徽省合肥市第一中学、第六中学、第八中学联合数学高一下期末考试模拟试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．在△ABC 中，已知tan 2A B+＝sin C ，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2．已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） A ．（0，1）B ．21122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， C ．21123⎛⎤- ⎥ ⎝⎦， D ．1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，3．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( ) A ．简单随机抽样 B ．按性别分层抽样 C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．在ABC ∆中，若45A =°，60B =°，2a =．则b = A ．B 2C 3D ．65．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，ABC ∆是正三角形，若1223AA AB == ）A ．323πB ．8πC ．16πD ．64π6．若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．a c b c +≥- B ．2()0a b c -≥ C ．ac bc >D ．b bc a a c+≤+ 7．在区间[0,9]随机取一个实数x ，则[0,3]x ∈的概率为( )A ．29B ．310C ．13D ．258．在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos 2cos a B b A c C +=,则C =( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 9．在平面直角坐标系xOy 中，直线:0l x y -=的倾斜角为（ ） A ．0︒B ．45︒C ．90︒D ．135︒10．已知一组正数123,,n x x x x 的平均数为x ，方差为2S ，则12321,21,21,21n x x x x ++++的平均数与方差分别为（ ）A ．221,21x S ++B ．21,4x S +C ．221,4x S +D ．21,2x S +二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2019-2020学年安徽省合肥市高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共48.0分） 1.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 则下列判断正确的是( )A. 甲射击的平均成绩比乙好B. 乙射击的平均成绩比甲好C. 甲比乙的射击成绩稳定D. 乙比甲的射击成绩稳定2.设a ，b ∈R ，则“a +6>4”是“a >2且b >2”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件3.某学校进行问卷调查，将全校3200名同学分为100组，每组32人按1～32随机编号，每组的第23号同学参与调查，这种抽样方法是( )A. 简单随机抽样B. 分层抽样C. 系统抽样D. 分组抽样4.已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A. a 1d >0，dS 4>0B. a 1d <0，dS 4<0C. a 1d >0，dS 4<0D. a 1d <0，dS 4>05.设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若a =3，b =3√22，A =π4，则B =( )A. π6B. 5π6C. π3D. 2π36.若等比数列{a n }满足a n a n +1=16 n ，则公比为( )A. 2B. 4C. 8D. 167.在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上的一动点，则直线的斜率的最小值为 A.B.C. 2D. 18.某人进行射击训练，在两次连续射击中，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( )A. 两次都中靶B. 两次都不中靶C. 至多有1次中靶D. 只有一次中靶9.若tan(α+β)=3，tan(α−β)=2，那么角α不可能是()A. 3π8B. 5π8C. 7π8D. 11π810.不等式x2+ax+b≤0(a,b∈R)的解集为{x|x1≤x≤x2}，若|x1|+|x2|≤2，则()A. |a+2b|≥2B. |a+2b|≤2C. |a|≥1D. |b|≤111.等差数列{a n}的公差为d，则数列{ca n}(c为常数且c≠0)是()A. 公差为d的等差数列B. 公差为cd的等差数列C. 不是等差数列D. 以上都不对12.在区间[−1,1]内任取一个值x，则使得cosπx≥12成立的概率是()A. 16B. 14C. 13D. 12二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）13.若关于x的不等式a≤34x2−3x+4≤b的解集恰好是[a,b]，则a+b=______ ．14.某地区打的士收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里时，超过的里程每公里收2.6元，(其他因素不考虑)计算收费标准的框图如图所示，则①处应填______ ．15.在锐角△ABC中，角所对的边长分别为，若，则角的值为．16. 从总体中抽取一个样本：3、7、4、6、5，则总体标准差的点估计值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共56.0分）17. 在等差数列{a n }中，a 1+a 2=7，a 3=8，令b n =1a n a n+1，数列{b n }的前n 项和为T n ．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)求数列{b n }的前n 项和T n ；(Ⅲ)是否存在正整数m ，n(1<m <n)，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n的值；若不存在，请说明理由．18. 某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如表：(Ⅰ)求y 关于x 的线性回归方程；(Ⅱ)当价格x =40元/kg 时，日需求量y 的预测值为多少？ 线性回归方程∧y =∧bx +∧a 中系数计算公式： ∧b =n i=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2=∑x i n i=1y i −nx⋅y∑x i 2n i=1−nx2∧a =y −∧bx ，其中x ，y 表示样本均值．19. 某中学随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，观察图中数据，完成下列问题 (Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高； (Ⅲ)在样本中，从身高在[145,155)和[185,195](单位：cm)内的男生中任选两人，求这两人的身高恰有一人的身高在[185,195]的概率．20. 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积S =√32accosB ．(1)求角B 的大小；(2)若a =2，且π4≤A ≤π3，求边c 的取值范围．21. 已知数列{a n }和{b n }满足：b 3−b 2=3a 1=6，a 1a 2a 3…a n =(√2)b n (n ∈N ∗)且数列{bnn}为等差数列．设c n =(−1)n a n+1b n，数列{c n }的前n 项和为S n ．(Ⅰ)求{a n }与{b n }的通项公式：(Ⅱ)若对于任意n ∈N ∗均有S k ≤S n ，求正整数k 的值．【答案与解析】1.答案：D解析：要估计两组数据的稳定性，则要比较两组数据的方差，先求出这两组数据的平均数，再利用方差的公式做出两组数据的方差，比较发现乙的稳定性好于甲的稳定性．本题考查两组数据的稳定性，即考查两组数据的方差，在包含两组数据的题目中，往往会通过求平均数考查其平均水平，通过方差判断其稳定性．解：∵x 甲=110(7+8+⋯+4)=7， x 乙=110(9+5+⋯+7)=7．∴s 甲2=110[(7−7)2+⋯+(4−7)2]=4，s 乙2=110[(9−7)2+⋯+(7−7)2]=1.2．∴甲乙射击的平均成绩一样，乙比甲的射击成绩稳定． 故选D ．2.答案：B解析：此题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础． 根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．解：当a =5，b =0时，满足a +b >4，但a >2且b >2不成立，即充分性不成立， 若a >2且b >2，则必有a +b >4，即必要性成立， 故“a +b >4”是“a >2且b >2”的必要不充分条件． 故选B ．3.答案：C解析：解：当总体容量N 较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号． 故选C ．当总体容量N 较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．本题考查系统抽样，要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本．4.答案：B解析：本题主要考查等差数列和等比数列的性质，等差数列的前n 项和，属于一般题．利用等差数列的通项公式结合a 3，a 4，a 8成等比数列，得到d =−35a 1，再利用求和公式即可判断符号． 解析：解：设等差数列{a n }的首项为a 1，则a 3=a 1+2d ，a 4=a 1+3d ，a 8=a 1+7d ， 由a 3，a 4，a 8成等比数列，得(a 1+3d)2=(a 1+2d)(a 1+7d)，整理得：3a 1d =−5d 2． ∵d ≠0，∴d =−35a 1，∴a 1d =−35a 12<0，dS 4=−35a 1(4a 1+4×3(−35a 1)2)=−35a 1(4a 1−185a 1)=−6a 1225<0．故选B ．5.答案：A解析：解：∵a =3，b =3√22，A =π4， ∴由正弦定理asinA =bsinB ，可得：sinB =b⋅sinA a=3√22×√223=12， ∵b <a ，可得B 为锐角， ∴B =π6． 故选：A ．由已知利用正弦定理可求sin B 的值，利用大边对大角可求B 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.答案：B解析：令n=1，得a 1a 2=16①令n=2，得a 2a 3=162②②÷①，得=16，q 2=16，∴q=±4．又由①知q>0，∴q=4．7.答案：B解析：画出不等式组所表示的可行域，求出各个交点的坐标，可知当M取得点(3,−1)时，直线的斜率的最小，且最小的．故正确选项为B．8.答案：B解析：解：根据对立事件的定义可得，事件“至少有一次中靶”的对立事件是：两次都不中靶，故选：B．直接根据对立事件的定义，可得事件“至少有一次中靶”的对立事件，从而得出结论．本题主要考查对立事件的定义，属于基础题．9.答案：B解析：解：∵tan(α+β)=3，tan(α−β)=2，∴tan2α=tan﹙α+β+α−β﹚=tan(α+β)+tan(α−β)1−tan(α+β)tan(α−β)=−1，∴2α=kπ+3π4，∴α=kπ2+3π8(k∈Z)，∴角α不可能是5π8．故选：B．利用tan2α=tan﹙α+β+α−β﹚，求出α=kπ2+3π8(k∈Z)，即可得出结论．本题考查两角和与差的正切函数，考查教的变换，利用tan2α=tan ﹙α+β+α−β﹚，求出α是关键．10.答案：D解析：解：∵不等式x 2+ax +b ≤0(a,b ∈R)的解集为{x|x 1≤x ≤x 2}， 则x 1、x 2是对应方程x 2+ax +b =0的两个实数根；，x 1x 2=b ， 又|x 1|+|x 2|≤2，不妨令a =−1，b =0，则x 1=0，x 2=1，但|a +2b|=1，∴A 选项不成立； 令a =2，b =1，则x 1=x 2=1，但|a +2b|=4，B 选项不成立； 令a =0，b =−1，则x 1=−1，x 2=1，但|a|=0，C 选项不成立； b =x 1⋅x 2≤(x 1+x 22)2≤(|x 1|+|x 2|2)2=1，D 选项正确．故选：D ．根据不等式x 2+ax +b ≤0的解集知x 1、x 2是对应方程x 2+ax +b =0的两个实数根，举反例说明A 、B 、C 选项不成立；利用不等式的性质说明D 选项正确． 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是中档题．11.答案：B解析：解：设b n =ca n ，则b n+1−b n =ca n+1−ca n =c(a n+1−a n )=cd ． ∴数列{ca n }是公差为cd 的等差数列． 故选：B ．本题考查等差数列的定义，是基础题．设b n =ca n ，由等差数列的定义可得数列{ca n }是公差为cd 的等差数列．12.答案：C解析：解：由题意，区间[−1,1]内任取一个值x ，区间长度为2，在此区间满足cosπx ≥12的x 的范围[−13,13]，区间长度为23，由几何概型公式可得，使得cosπx ≥12成立的概率是232=13；故选：C ．由题意，本题符合几何概型，首先分别求出区间的长度，利用公式解答． 本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确区间的长度，利用公式解答．13.答案：4解析：解：设f(x)=34x2−3x+4，当x=−−32×34=2时，f(x)min=1，由题意可知a≤1，且f(a)=f(b)=b，a<b，由f(b)=b得到34b2−3b+4=b，解得b=43(舍去)或b=4，可得b=4，由抛物线的对称轴为x=2得到a=0，所以a+b=4．故答案为：4设f(x)等于34x2−3x+4，它的图象为一条抛物线，画两条与x轴平行的直线y=a和y=b，如果两直线与抛物线有两个交点，得到解集应该是两个区间，而此不等式的解集为一个区间，所以两直线与抛物线不可能有两个交点，所以直线y=a应该与抛物线只有一个或没有交点，所以得到a小于等于抛物线的最小值且a与b所对的函数值相等且都等于b，利用f(b)=b解出b的值，由抛物线的对称轴即可求出a的值，进而求出a+b的值．此题考查学生掌握二次函数的图象与性质，灵活利用函数的思想解决实际问题的能力，是一道中档题．14.答案：y=2.6x+1.8解析：解：由题意可知，当满足条件x>2时，即里程超过2公里，而超过2公里时，按超过的里程每公里收2.6元，∴y=2.6(x−2)+7整理可得y=2.6x+1.8，∴①处应填y=2.6x+1.8．故答案为：y=2.6x+1.8．根据题意，当满足条件x>2时，即里程超过2公里，应按超过2公里的里程每公里收2.6元，进而可得函数的解析式．本题考查了程序框图，考查的形式是程序填空，该题型也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．属于基础题．15.答案：π3解析：解：∵(a 2+c 2−b 2)tanB =√3ac ，∴cosB ×tanB =sinB =√32∴B =π316.答案：√2解析：解：样本数据：3、7、4、6、5的平均数为： x =15×(3+7+4+6+5)=5，方差为s 2=15×[(3−5)2+(7−5)2+(4−5)2+(6−5)2+(5−5)2]=2， 所以标准差为s =√2． 故答案为：√2．根据平均数与方差、标准差的计算公式，即可求出结论． 本题考查了平均数，方差与标准差的计算问题，是基础题目．17.答案：解：(I)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1+a 2=7，a 3=8，∴{2a 1+d =7a 1+2d =8，解得{a 1=2d =3， ∴a n =2+3(n −1)=3n −1． (II)b n =1a n a n+1=1(3n−1)(3n+2)=13(13n−1−13n+2)．∴T n =13[(12−15)+(15−18)+⋯+(13n−1−13n+2)]=13(12−13n+2)=n 6n+4．(III)假设存在正整数m ，n(1<m <n)，使得T 1，T m ，T n 成等比数列．则T m 2=T 1⋅T n ，∴(m6m+4)2=110×n6n+4，化为：(2m +3)2=15+10n，∵1<m <n ，∴m =2，n =10，符合条件．当m ≥3时，左边≤(113)2=13+49<右边． 因此只有m =2，n =10，符合条件．∴存在正整数m =2，n =10(1<m <n)，使得T 1，T m ，T n 成等比数列． 解析：(I)利用等差数列的通项公式即可得出； (II)b n =1an a n+1=1(3n−1)(3n+2)=13(13n−1−13n+2).利用“裂项求和”即可得出；(III)假设存在正整数m ，n(1<m <n)，使得T 1，T m ，T n 成等比数列．可得(m6m+4)2=110×n6n+4，化为：(2m +3)2=15+10n，由于1<m <n ，经过验证m =2，n =10，符合条件．当m ≥3时，左边<右边．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”，考查了猜想分析归纳验证的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18.答案：解：(Ⅰ)x =10+15+20+25+305=20，y =11+10+8+6+55=8，∴b =110+150+160+150+150−5×20×8100+225+400+625+900−5×202=−0.32，a =8−(−0.32)×20=14.4，∴所求线性回归方程为y =−0.32x +14.4(Ⅱ)由(Ⅰ)知当x =40时，y =−0.32×40+14.4=1.6， 故当价格x =40元/kg 时，日需求量y 的预测值为1.6kg ． 解析：(I)根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程； (II)把x =40代入回归方程解出y 即可．本题考查线性回归方程，是一个基础题，解题的关键是利用最小二乘法写出线性回归系数，注意解题的运算过程不要出错．19.答案：解：(Ⅰ)由频率分布直方图得：(0.005+0.020+0.040+0.025+a)×10=1， 解得a =0.010．(Ⅱ)由频率分布直方图估计该校全体男生的平均身高为：x −=150×0.005×10+160×0.020×10+170×0.040×10+180×0.025×10+190×0.010×10=171.5(cm)．(Ⅲ)在样本中，身高在[145,155)内的男生有：0.005×10×40=2人， 身高在[185,195]内的男生有：0.010×10×40=4人，从这6人中任选两人，基本事件总数n =C 62=15，这两人的身高恰有一人的身高在[185,195]包含的基本事件的个数m =C 21C 41=8， ∴这两人的身高恰有一人的身高在[185,195]的概率p =m n=815．解析：(Ⅰ)由频率分布直方图能求出a 的值．(Ⅱ)由频率分布直方图能估计该校全体男生的平均身高．(Ⅲ)在样本中，身高在[145,155)内的男生有2人，身高在[185,195]内的男生有4人，从这6人中任选两人，基本事件总数n =C 62=15，这两人的身高恰有一人的身高在[185,195]包含的基本事件的个数m =C 21C 41=8，由此能求出这两人的身高恰有一人的身高在[185,195]的概率．本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．20.答案：解：(1)由已知及三角形面积公式得S =12acsinB =√32accosB ，化简得sinB =√3cosB ， 即tanB =√3，又0<B <π， ∴B =π3．(2)由正弦定理得asinA =bsinB =csinC ， 即c =asinC sinA =2sinC sinA，由C =2π3−A ，得c =2sin(2π3−A)sinA =2×(√32cosA+12sinA)sinA =√3tanA+1，又由π4≤A ≤π3， 知1≤tanA ≤√3， 故c ∈[2,√3+1]．解析：(1)根据正弦定理，建立条件关系，即可求出角B 的大小； (2)根据正弦定理表示出c ，根据三角函数的图象和性质即可得到结论．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握相应的定理，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)由题意知a 1=2，又a 1=(√2)b 1，∴b 1=2，∵数列{bnn }为等差数列，∴b 22=12(b 11+b33)，则{b 3−b 2=6b 2=2+b 33， 解得：{b 2=6b 3=12，∴等差数列{b n n}的首项为b 11=2，公差为b 22−b 11=1，∴bn n =2+(n −1)=n +1，b n =n(n +1)；∵a 1a 2a 3…a n =(√2)b n(n ∈N ∗)，∴当n ≥2时，有a 1a 2a 3…a n−1=(√2)b n−1，∴a n =√2)b n(2)b =(√2)b n −b n−1=2n ，又a 1=2也满足a n =2n ，∴a n =2n ．(Ⅱ)由(Ⅰ)可得：c n =(−12)n +1n(n+1)=(−12)n +1n −1n+1， ∴S n =−12[1−(−12)n ]1+12+[(11−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)]=−13[1−(−12)n ]+1−1n+1=13×(−12)n +23−1n+1．(1)当n 为奇数时，S n =23−1n+1−13×(12)n ，又S n 随n 增加而增加，此时(S n )min =S 1=0； (2)当n 为偶数时，S n =13×(12)n +23−1n+1，令f(n)=23−1n+1，则f(n)≥f(2)=13，∴当n 为偶数时，恒有S n >0．综合(1)(2)知(S n )min =S 1=0，∴满足题意的k =1．解析：(Ⅰ)易知a 1=(√2)b 1，可求出b 1=2，再结合数列{b nn}为等差数列，可得到b 22=12(b 11+b33)，从而可求出b 2，b 3的值，进而可求出等差数列{bnn}的通项公式及b n 的表达式，再由a n =√2)b n(√2)b n−1=(√2)b n −b n−1，可求出数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)由(Ⅰ)知c n =(−12)n +1n(n+1)=(−12)n +1n −1n+1，先利用分组求和与裂项相消法求出S n ，再分n 为奇数和偶数两种情况，分别讨论并求出S n 的最小值，即可求出正整数k 的值．本题主要考查等差数列基本量的计算、数列通项公式的求法、分组求和与裂项相消法在数列求和中的应用及数列的单调性，属于中档题．。

2019-2020学年安徽省合肥一中高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共15小题，共75.0分）1.从2004名学生中抽取50名组成参观团，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率是()A. 不全相等B. 均不相等C. 都相等，且为251002D. 都相等，且为1402.在△ABC中，∠A=60°，a=，b=3，则△ABC解的情况()A. 无解B. 有一解C. 有两解D. 不能确定3.某程序框图如图所示，则该程序框图运行后输出的结果是()A. 34B. 43C. 83D. 384.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则通过该段公路的汽车中，时速在[60,80]的汽车所占比例的估计值为()A. 20%B. 40%C. 60%D. 80%5.设a，b是两个实数，且a≠b，①②，③。

上述三个式子恒成立的有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个6.在平面区域M={(x,y)|{y≥xx≥0x+y≤2}内随机取一点P，则点P在圆x2+y2=2内部的概率()A. π8B. π4C. π2D. 3π47. 已知M 是△ABC 内的一点(不含边界)，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3，∠BAC =30°若△MBC ，△MAB ，△MCA 的面积分别为x ，y ，z ，记f(x,y ，z)=1x +4y +9z ，则f(x,y ，z)的最小值为( ) A. 26 B. 32 C. 36 D. 48 8. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a =3，b =4，sinC =12，则此三角形的面积是( )A. 8B. 6C. 4D. 3 9. 《九章算术(卷第五)⋅商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为( )(注：1丈=10尺．)A. 45000立方尺B. 52000立方尺C. 63000立方尺D. 72000立方尺10. 设向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(4,3)，若向量λa ⃗ +μb ⃗ 与向量c⃗ =(1,−1)垂直，则λ+μ=( ) A. −12 B. 12 C. 0 D. 111. 一个几何体的三视图如图所示，已知这几何体的体积为，则( )A. B. C. D.12. 已知f(x)为定义在实数集R 上的奇函数，且在(0,+∞)内是增函数，又f(2)=0，则不等式xf(x)<0的解集是( )A. (−2，0)U(2,+∞)B. (−∞，−2)U(0,2)C. (−∞，−2)U(2,+∞)D. (−2，0)U(0,2)13.已知A={x||2x−1|<5}，B={x|x2−5x+4<0}，C=(1,3)，则“x∈A∩B”是“x∈C”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14.将y=sin2x的图象向右平移φ单位(φ>0)，使得平移后的图象过点(π3,√32)，则φ的最小值为()A. π6B. π3C. 5π6D. 2π315.等差数列{a n}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}的前8项和为A. −48B. −96C. 36D. 72二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）16.在学校的生物园中，甲同学种植了9株花苗，乙同学种植了10株花苗．测量出花苗高度的数据(单位：cm)，并绘制成如图所示的茎叶图，则甲、乙两位同学种植的花苗高度的数据的中位数之和是．17.在△ABC中，已知三边a、b、c满足.18.若tanα=2，tanβ=34，则tan(α−β)等于______ ．19.第4届世界杯于1950年在巴西举行，此后每4年举行一次，那么将在俄罗斯举行的2018年世界杯是第______ 届．20.在钝角△ABC中，已知，，则最大边的取值范围是。

安徽省合肥市重点名校2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数2()(0)=++>f x ax bx c a ，其中,,a b c 为整数，若()f x 在(0,1]上有两个不相等的零点，则b 的最大值为( ) A ．3- B ．4-C ．5-D ．6-【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的分布的充要条件得到关于,,a b c 的不等式，再由,,a b c 为整数，可得当ac 取最小时，b 取最大，从而求得答案.【详解】∵()f x 在(0,1]上有两个不相等的零点，∴240,01,20,0,0,b ac b ac a a b c ⎧->⎪⎪<-<⎪⎨⎪>>⎪++≥⎪⎩20,0,0,0,b a bc a a b c ⎧<-⎪-<<⎪⇒⎨>>⎪⎪++≥⎩21,0,a b c a a b c ⎧-<<-⎪⇒≤<⎨⎪++≥⎩∵2a b -<<-∴当ac 取最小时，b 取最大， ∵两个零点的乘积小于1，∴010cc a a<<⇒<<， ∵,,a b c 为整数，令1,2c a ==时，max 3b =-，满足0a b c ++≥. 故选：A. 【点睛】本题考查一元二次函数的零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意,,a b c 为整数的应用. 2．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若8453S S =，则2412SS =（ ） A ．53B ．2C ．3527D ．2735【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列前n 项和为n S 带入即可。

【详解】 当1q =时1841824S a S a ==，1q =不成立。

当1q ≠时 ()()818448444111521113311a q S q q q q S q a q q---===+=⇒=---， 则()()()()()241121224342412121212111113511112711a q q q S q q q S q q a q q--+--====+=----,选择C 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和n S ，()11,11,11nn na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩，属于基础题。

2019—2020学年度高一年级第二学期期末教学质量检测数学试卷（满分：150分考试时间：120分钟考试范围：必修三、必修五）温馨提示：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，鲍用23铅笔把对应的准考证号涂黑.2.选择题每小题选出答案后，用23铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案；不能答在试卷上.3.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡收回.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求.）1.设ct>b , a , b , ccR则下列命题为真命题的是（）A. ac~ >bc~B. ?>1C. a-c>b-cD. >b1b2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与至少有一个红球C.恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D.至少有一个黑球与都是红球77 1T3.已知A4BC中，A = —, B = ~, a=i,则力等于（）6 4A. 2B. 1C. ^3D. 724.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（）1112A. 一B. 一C. —D.—6 2 3 35.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1, 2,…，1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A. 8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生6. A ABC 内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a =用,b = 2, A = 60°，则c=()A. ?B. 1C. 73D. 27.若关于x的不等式x2-3ax + 2> 0的解集为(-oo,l)o(m,+oo),则a + m等于( )A. -1B. 1C. 2D. 38.等差数列｛%｝的前n项和记为S n,若a2+a4+a l5的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是D. S l5A. S7B. $8C.§3Z218B 1009 c 2020 2019 ' 2019 ' 2021 10.在左ABC 中，内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c,已知（a+b —c ）（a+b+c ）=3ab,且c=4,则△ABC 面积的最大值为（）A . Q0 2^3D. ^3 11. 若正数x, y 满足x+3y=5xy,则3x+4y 的最小值是（）D. 612, 公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次 比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？ ”在上述问题中，第一人分得玉米（）810 _7101010 2021B.4右C史4■ 810-7")二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.）13.一组数据：3, 4, 6, 7, 10,其方差14. A ABC的内角A, B,。

安徽省合肥市2019-2020年度数学高一下学期理数期末考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·菏泽模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）幂函数，其中，且在上是减函数，又，则（）A . 0B . 1C . 2D . 33. （2分） (2019高一下·包头期中) 已知，则函数的最小值为（）A .B .C . 1D . 24. （2分） (2017高三上·邯郸模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有n个面是矩形，体积为V，则（）A . n=4，V=10B . n=5，V=12C . n=4，V=12D . n=5，V=105. （2分） (2018高一下·四川期中) 在中，内角的对边分别是，若，则一定是（）A . 等边三角形B . 等腰三角形C . 等腰直角三角形D . 直角三角形6. （2分）设等差数列的前n项和为,若,,,则当取最小值时,n等于（）A . 8B . 7C . 6D . 97. （2分）函数的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A .B .C .D .8. （2分） ABCD是正方形，以BD为棱把它折成直二面角A﹣BD﹣C，E为CD的中点，∠AED的大小为（）A . 45°B . 30°C . 60°D . 90°9. （2分） (2019高一上·伊春期中) 函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）．A .B .C .D .10. （2分）数列1,2,4,8,16,32，…的一个通项公式是（）A . an=2n-1B . an=C . an=D . an=11. （2分）动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面交于两点，设，的面积是，则函数的图像大致为（）A .B .C .D .12. （2分）已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·新课标Ⅰ卷文) 已知向量 =（﹣1，2）， =（m，1），若向量 + 与垂直，则m=________．14. （1分） (2019高一上·昌吉月考) 设函数，则 ________.15. （1分）半径为2cm的半圆纸片做成圆锥放在桌面上，它的最高处距离桌面________ cm．16. （1分） (2019高一上·砀山月考) 若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是________.三、解答题 (共7题；共67分)17. （10分）(2017·凉山模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin（A﹣B）= sinAcosB ﹣ sinBcosA．（1）求证：A=B；（2）若A= ，a= ，求△ABC的面积．18. （10分）某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件．经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数y=kx+b的关系（如图所示）．（1）由图象，求函数y=kx+b的表达式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价﹣成本总价）为S元．试用销售单价x表示毛利润S，并求销售单价定为多少时，该公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？19. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC 的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A′，连接EF，A′B．（1）求证：A′D⊥EF；（2）求二面角A′﹣EF﹣D的余弦值．20. （10分） (2015高三上·上海期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am ，则称{an}是“H数列”．（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立．21. （15分） (2016高一下·徐州期末) 已知函数f（x）=x2﹣kx+（2k﹣3）．（1）若k= 时，解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）＞0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围；（3）若函数f（x）两个不同的零点均大于，求实数k的取值范围．22. （10分）如图所示的自动通风设施.该设施的下部是等腰梯形，其中为2米，梯形的高为1米，为3米，上部是个半圆，固定点为的中点. 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和平行.当位于下方和上方时，通风窗的形状均为矩形（阴影部分均不通风）.（1）设与之间的距离为（且）米，试将通风窗的通风面积（平方米）表示成关于的函数；（2）当与之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积取得最大值？23. （10分）(2020·南昌模拟) 已知函数，函数 .（1）当时，求实数x的取值范围；（2）当与的图象有公共点，求实数m的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共67分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2019级高一下学期期末考试数学试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内.1. 化简OM + MA —岳等于（ ）A. BAB. ABC. BMD. MB2, 某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是A. r 4<r 2<r[<r 3 D. r 4<r 2<r 3<r }3.设 a,b e R ,若 o -网 >0,则下列不等式中正确的是（）A. b-a>0B. a 3 + Z?3 <0C. a 2 -b~ <0ii______m4.已知向量a = (l,2), b = (—3,3),若+〃方与a — 3方共线，则一=( n A. —B. 3C.—3 35.将长度为1米的绳子任意剪成两段，那么其中一段的长度小于0.2米的概率是（ ）A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.8C.D. b + a >0 ) D. -3B.吒6,为了测试小班教学的实践效果，刘老师对A、3两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所在△A3C 中，角A, B, C 所对的边分别是a, b, c,若角A, C, B 成等差数列，且sin 2 C = sin Asin B ， 则△A3C 的形状为（）B,等腰非等边三角形已知单位向量U 、片满足（a + 2b ）±a,则U 与片的夹角为（ ）等比数列｛%｝的前〃项和为s,,若岛，&，$2成等差数列，贝H 。

"｝的公比g 等于（ A. 110.若关于x 的不等式x~ -（m + 2）x + 2m< 0的解集中恰有4个正整数，则实数0的取值范围为（）示；记本次测试中，A 、3两班学生的平均成绩分别为叫，x B ，A 、 3两班学生成绩的方差分别为矽,萼，则观察茎叶图可知（）34 2 6 8 84 6 2 865 15 24 5 6 7 8 9 5 8 136 245 3 3 40 3 2 1A.B. x A >x B >C. ^A<X B ,D. x A >x B ,A.直角三角形 C. 等边三角形D.钝角三角形7. 8. A. 71 6兀 B.- 4 n C.—3InD.— 39. D. 2A. (6,7]B.(6,7)C. [6,7)D. (6,+co)11.已知△ABC是边长为2的等边三角形，D, E分别是AC, AB上的两点，且AE^EB，UUIU UUUIAD = 2DC - BD与CE交于点、O,则下列说法正确的是（）B. BD^-BC + -BAA. AB C I5=-I3 3C. \0A+0B + QC\ = y/37D.亘万在BC方向上的投影为-612. 若[x]表示不超过x 的最大整数（例如：[0.1] = 0,[-0.1] = -1）,数列｛%｝满足：％=3,a…+i ~a n =2n + 2,则+ +…+[由202°]=（）A. 1010 x 2021B. 1010x 2020C. 1009 x 2021D. 1009x2020第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在题中的横线上.13. 某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.为了了解该地区近几年蔬菜的产量，收集了14,在△ABC 中，内角 A 、B 、C 所对应 边分别是 a, b , c . ^c 2 =（a-b ） +4, C =—,则△ABC的面积是15.设邕是等比数列的前〃项和，且％=;，$3=?,则％ = 49三、解答题：本大题满分70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.巳知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为。

2019-2020学年合肥一中高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设a⃗，b⃗ 是非零向量，则下列不等式中不恒成立的是()A. |a⃗+b⃗ |≤|a⃗|+|b⃗ |B. |a⃗|−|b⃗ |≤|a⃗+b⃗ |C. |a⃗|−|b⃗ |≤|a⃗|+|b⃗ |D. |a⃗|≤|a⃗+b⃗ |2.对具有相关关系的两个变量统计分析的一种常用的方法是()A. 回归分析B. 相关系数分析C. 残差分析D. 相关指数分析3.若a<b<0，则下列不等式：①|a|>|b|;②1a >1b;③a<b2中，正确的有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4.设向量，，且，方向相反，则的值是()A. B. C. D.5.如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为()A. 43B. 83C. 23D. 136.交通局对上班、下班高峰时的车速情况作抽样调查，行驶时速(单位：km/ℎ)的统计数据用茎叶图表示如图：设上、下班时速的平均数分别为x上、x下，中位数分别为m上、m下，则()A. x上<x下，m上<m下B. x上<x下，m上>m下C. x 上>x 下，m 上<m 下D. x 上>x 下，m 上>m 下7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a =2,c =√3,B =π6，则△ABC 的面积为( )A. √3B. 3C. √32D. 328.设向量a⃗ =(1,0)，b ⃗ =(12,12)，则( ) A. |a ⃗ |=|b ⃗ | B. a ⃗ ⋅b ⃗ =√22C. a ⃗ //b ⃗D. a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 垂直9.已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得√a m a n =4a 1，则m +n 的值为( )A. 10B. 6C. 4D. 不存在10. 设f(x)=x 2+bx +1且f(−1)=f(3)，则f(x)>0的解集为( )A. {x|x ∈R}B. {x|x ≥1}C. {x|x ≠1,x ∈R}D. {x|x ≤1}11. 在△ABC 中，若6AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则角A 的大小为( ) A. π4B. π3C. 2π3D. 3π412. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n+1=2S n +1(n ∈N ∗)，在等差数列{b n }中，b 2=5，且公差d =2.使得a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n >60n 成立的最小正整数n 为( )A. 2B. 3C. 4D. 5二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 下列说法①甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，那么这两组数据中比较稳定的是甲； ②已知x ，y 的取值如表所示，若y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ̂=b̂x +6.5，则b ̂=−0.5；③在线性回归模型中，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好④在线性回归模型中，R 2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R 2越接近于1，表示回归的效果越好，其中正确说法的序号是______．14. 已知△ABC为钝角三角形，边长a=1，b=2，则边长c∈______15. 设S n是等比数列{a n}的前n项和，s m−1=45，s m=93，s m+1=189，则m=______．16. 已知x>0，y>0，且2x +1y=1，若x+2y+1≥k2恒成立，则k的范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知bcosC=(2a−c)cosB．(1)求角B的大小；(2)若a，b，c成等比数列，试确定△ABC的形状．18. 设有两个命题，p：关于x的不等式a x>1(a>0且a≠1)的解集是{x|x<0}；q：不等式x2−x+a>0在R上恒成立．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．19. 空气质量按照空气指数大小分为六级，相对应空气质量的六个类别(见下表)。

2019-2020学年安徽省合肥市第六中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．化简OM MA OB +-等于（ ） A ．BA B ．ABC ．BMD ．MB【答案】A【解析】根据向量三角形法则进行加法和减法运算即可． 【详解】解：根据题意可知，=OM MA OB OA OB BA +--=. 故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的运算律，属于基础题.2．某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（ ）A ．4213r r r r <<<B ．2413r r r r <<<C ．2431r r r r <<<D ．4231r r r r <<<【答案】C【解析】根据相关系数的特点，可知（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关，再由相关性的强弱可比较出大小关系．【详解】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关； 故1>0r ，3>0r ；20r <，40r <；又（1）与（2）中散点图更接近于一条直线，故13>r r ，24r r <， 因此，24310r r r r <<<<． 故选C ． 【点睛】 相关系数：当r ＞0时，表明两个变量正相关；当r ＜0时，表明两个变量负相关；r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．3．设,a b ∈R ，若0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ） A ．0b a -> B ．330a b +<C ．220a b -<D ．0b a +>【答案】D【解析】解析】利用赋值法:令1,0a b ==排除A,B,C,选D. 4．已知向量()1,2a =，()3,3b =-，若ma nb +与3a b -共线，则mn=（ ） A ．13B ．3C ．13-D ．3-【答案】C【解析】写出ma nb +与3a b -的坐标，利用两个向量平行的条件计算即可得到答案. 【详解】()()()1,23,33,23ma nb m n m n m n +=+-=-+，()()()31,233,310,7a b -=--=-，若ma nb +与3a b -共线，则()()731023m n m n --=+，即13m n =-． 故选：C 【点睛】本题考查平面向量共线的条件的应用，考查计算能力，属于基础题.5．将长度为1米的绳子任意剪成两段，那么其中一段的长度小于0.2米的概率是（ ） A ．0.2 B ．0.4C ．0.6D ．0.8【答案】B【解析】利用几何概型的长度类型概率计算公式求解． 【详解】 如图所示；线段AB =1，若剪成两段，其中一段的长度小于0.2米, 则AC =0.2或DB =0.2，所以其中一段的长度小于0.2米的概率是0.20.20.41p +==, 故选：B 【点睛】本题主要考查几何概型的概率的求法，属于基础题，6．为了测试小班教学的实践效果，刘老师对A 、B 两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A 、B 两班学生的平均成绩分别为A x ，B x ，A 、B 两班学生成绩的方差分别为2A s ，2B s ，则观察茎叶图可知（ ）A ．AB x x <，22A B s s < B ．A B x x >，22A B s s <C ．A B x x <，22A B s s > D ．A B x x >，22A B s s >【答案】B【解析】观察茎叶图，根据平均数和方差的定义即可得到答案. 【详解】根据茎叶图中数据的分布可得，A 班学生的分数多集中在[]70,80之间，B 班学生的分数集中在[]50,70 之间，所以A B x x >.相对两个班级的成绩分布来说，A 班学生的分数更加集中，B 班学生的分数更加离散，所以22A B s s <.故选：B 【点睛】本题主要考查平均数和方差，同时考查了茎叶图的应用，属于简单题.7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若角A ，C ，B 成等差数列，且2sin sin sin C A B =，则ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰非等边三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形【答案】C【解析】由已知利用等差数列的性质可得60C =︒，由正弦定理可得2c ab =，根据余弦定理可求a b =，即可判断三角形的形状． 【详解】解：由题意可知，60C =︒， 因为2sin sin sin C A B =， 所以2c ab =，则222222cos c a b ab C a b ab ab =+-=+-=， 所以a b =， 所以a b c ==， 故ABC ∆为等边三角形． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8．已知单位向量a 、b 满足()2a b a +⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】D【解析】设单位向量a ，b 的夹角为θ，根据(2)a a b ⊥+，得(2)0a a b ⋅+=，代入数据求出cos θ的值即可得结果． 【详解】设单位向量a ，b 的夹角为θ，(2)a a b ⊥+，∴2(2)20a a b a a b ⋅+=+⋅=，即21211cos 0θ+⨯⨯⨯=， 解得1cos 2θ=-， 因为0θπ≤≤，∴a 与b 的夹角为23π． 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算法则、向量垂直的性质以及向量夹角的计算问题，是基础题．9．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1S ，3S ，2S 成等差数列，则{}n a 的公比q 等于（ ） A ．1 B ．12C ．12-D ．2【答案】C【解析】依题意有()1231122a a a a a a ++=++，从而得出2320a a +=，由此即可求出公比. 【详解】因为1S ，3S ，2S 成等差数列，所以3122S S S =+，()1231122a a a a a a ∴++=++，2320a a ∴+=，3212a q a ∴==-. 故选：C . 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，考查等差中项，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.10．若关于x 的不等式()2220x m x m -++<的解集中恰有4个正整数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(]6,7 B ．()6,7C ．[)6,7D ．()6,+∞【答案】A【解析】将不等式化为()()20x x m --<，分2m <、2m =和2m >三种情况讨论，结合题意可求出实数m 的取值范围. 【详解】原不等式可化为()()20x x m --<，若2m <，则不等式的解是2m x <<，不等式的解集中不可能有4个正整数； 若2m =，则不等式的解集为空集，不合乎题意；若2m >，则不等式的解为2x m <<，所以该不等式的解集中的4个正整数分别是3、4、5、6，所以，67m <≤.因此，实数m 的取值范围是(]6,7. 故选：A. 【点睛】本题考查利用一元二次不等式的整数解的个数求参数，解题的关键就是对参数的取值进行分类讨论，考查运算求解能力和分类讨论思想的应用，属于中等题.11．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．1AB CD ⋅=- B ．1233BD BC BA =+ C ．3OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为76【答案】D【解析】利用CE AB ⊥，判断出A 错误；由2AD DC =结合平面向量的基本定理，判断出选项B 错误；以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，写出各点坐标，计算出OA OB OC ++的值，判断出选项C 错误；利用投影的定义计算出D 正确． 【详解】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误； 由平面向量线性运算得2133BD BC BA =+，所以选项B 错误； 以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，()0,0E ，1,0A ，()1,0B -，(3C ，123,33D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设()0,O y ，(3y ∈，()1,BO y =，123,33DO y ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，//BO DO ，所以，3133y y -=-，解：32y =， 322OA OB OC OE OE OE ++=+==，所以选项C 错误； 1233ED ⎛= ⎝⎭，(1,3BC =，ED 在BC 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==，故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量基本定理，考查投影的定义，考查平面向量的坐标表示，属于中档题．12．若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[][]0.10,0.11=-=-），数列{}n a 满足：13a =，122n n a a n +-=+，则122020a a a ⎡⎡⎤⎡⎤+++=⎣⎣⎦⎣（ ）A ．10102021⨯B ．10102020⨯C ．10092021⨯D ．10092020⨯【答案】A【解析】由递推公式利用累加法即可求得数列{}n a 的通项公式，由()22211n n n n <++<+可得n ==，再利用等差数列求和公式求和即可. 【详解】122n n a a n +-=+，()-12122n n a a n n --+∴==，1222n-n-a n a =--，，326a a -=，214a a -=，累加可得()()()121424622222n n n a a n n n n -+-=+++-+==+-，又13a =，()2*1n a n n n N ∴=++∈，()22211n n n n <++<+，n ∴==，2020202020211232020101020212a ⨯⎡⎤+++=++++==⨯⎣⎦.故选：A 【点睛】本题考查数列创新问题、等差数列的前n 项和公式，属于中档题.二、填空题13．某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．为了了解该地区近几年蔬菜的产量，收集了近5年的统计数据，如表所示：根据上表可近似得回归方程0.2y x a =+，预测该地区2020年蔬菜的产量为________（万吨）． 【答案】6【解析】求出样本中心点的坐标，代入0.2y x a =+，可得 4.8a =，再将6x =代入所求方程即可. 【详解】 ()11234535x =++++=，()14.95.1 5.5 5.7 5.8 5.45y =++++=， 因为()3,5.4在回归直线上，代入回归直线方程得5.40.23a =⨯+， 4.8a =，0.2 4.8y x ∴=+，依题意2020年份代码为6，当6x =时6y =． 故答案为：6 【点睛】本题主要考查样本中心点的性质，考查了回归直线方程的应用，属于基础题.14．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别是a ，b ，c ．若()224c a b =-+，23C π=，则ABC 的面积是________．【解析】利用余弦定理，结合()224c a b =-+，23C π=求出43ab =，利用1sin 2ABCSab C =，即可求出三角形的面积． 【详解】由()224c a b =-+可得：22224c a b ab =+-+， 在ABC 中，由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-， 即222c a b ab =++， 所以24ab ab -+=， 即43ab =，所以114sin 22323ABCS ab C ==⨯⨯=，【点睛】本题主要考查了余弦定理，面积公式的应用，属于中档题. 15．设n S 是等比数列{}()n a n N*∈的前n 项和，且312a=，332S =，则1a =________．【答案】12或2 【解析】由题意得，按1q =和1q ≠分两种情况解得1a 即可. 【详解】已知n S 是等比数列{}()n a n N*∈的前n 项和，且312a=，332S =， 当1q =时，此时12n a =，验证31332S a ==，满足题意，则112a =； 当1q ≠时，由312a =，332S =，得231231111232a a q S a a q a q ⎧==⎪⎪⎨⎪=++=⎪⎩，解得1212a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩.综上所述：112a =或12a =． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前n 项和公式及其应用，也考查了分类讨论的思想，属于基础题.16．已知实数x ，y 满足2y x ≠，2x y ≠-，且()()2249122x y x y +=-+，则22x y +的最小值为________． 【答案】5【解析】设()22m x y =-，()22n x y =+，则491m n+=，可得224955m n m n x y m n ++⎛⎫+==⋅+ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式求解即可. 【详解】设()22m x y =-，()22n x y =+， 则491m n+=，且2255m n x y +=+，224913495555n m m n m n m n x y m n ⎛⎫++ ⎪++⎛⎫⎝⎭+==⋅+=≥∴= ⎪⎝⎭ 当且仅当49n m m n=，即23n m =时取等号．此时x ，y 有解．故答案为：5.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.三、解答题17．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a b ab c +-=． （1）求C ；（2）若cos sin a B b A c +=，c =a ． 【答案】（1）3C π=；（2.【解析】（1）由余弦定理可求得C ；（2）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求得A ，然后结合正弦定理即可求得.【详解】（1）由题意得222a b c ab +-=，所以2221cos 222a b c ab C ab ab +-===， 因为()0,C π∈，所以3C π=；（2）因为cos sin a B b A c +=，由正弦定理可得，()sin cos sin sin sin sin A B B A C A B +==+故sin cos sin sin sin cos sin cos A B B A A B B A +=+，()0,B π∈，sin 0B ≠∴sin cos A A =，因为()0,A π∈，所以4A π=，c =∴由正弦定理可得，sin sin c A a C === 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及和差角公式，考查运算求解能力，属于中档题. 18．已知()()233f x x a x a =-++． （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）解关于x 的不等式()0f x ≥．【答案】（1）()1,3；（2）答案见解析.【解析】(1)将1a =代入，利用分解因式解出不等式；(2)分解因式，并讨论3a =，3a >和3a <三种情况，分别解出不等式即可．【详解】（1）1a =时，不等式()0f x <化为()()130x x --<，解得13x <<，∴不等式的解集为()1,3（2）关于x 的不等式()0f x >，即()()30x a x --≥；当3a =时，不等式化为()230x -≥，解得R ；当3a >时，解不等式()()30x a x --≥，得3x ≤或x a ≥；当3a <时，解不等式()()30x a x --≥，得x a ≤或3x ≥；综上所述，当3a =时，不等式解集为R ；当3a >时，不等式的解集为(][),3,a -∞⋃+∞；当3a <时，不等式的解集为(][),3,a -∞⋃+∞．【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查学生计算能力和分类讨论思想，属于基础题． 19．2020年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分（满分100分），根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图已知评分在[]80,100的居民有900人．（1）求频率分布直方图中a 的值及所调查的总人数；（2）定义满意度指数η=（满意程度的平均分）/100，若0.8η<，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大调整根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？（3）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民（评分在[)40,50、[)50,60）中用分层抽样的方法抽取6名居民，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员，求这2人都是对防疫工作的评分在[)50,60内的概率．【答案】（1）0.025a =，1500人；（2）该区防疫工作不需要进行大调整；（3）25. 【解析】（1）频率分布直方图中由概率和为1可求出a ，设总共调查了n 人，则()9000.0350.02510n=+⨯，从而求出调查总人数． （2）由频率分布直方图求出各段的频率，从而求出η＝0.807＞0.8，即可得到结论. （3）求出不满意的人数在两段分别有30，60，每段抽取人数为2和4，在第一段的人记作a ，b ，在第二段的人记作A ，B ，C ，D ，利用古典概型概率公式可得结果.【详解】（1）由频率分布直方图知()0.0020.0040.0140.020.035101a +++++⨯=， 即()100.0751a ⨯+=，解得0.025a =，设总共调查了n 人，则()9000.0350.02510n=+⨯，解得1500n =， 即调查的总人数为1500人；（2）由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02、0.04、0.14、0.20、0.35、0.25， 所以450.02550.04650.14750.2850.35950.250.8070.8100η⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==>， 所以该区防疫工作不需要进行大调整；（3）0.00210150030⨯⨯=，0.00410150060⨯⨯=，即不满意的人数在两段分别有30、60，30:601:2=，所以评分在[)40,50所抽取的人数为2，分别记为a 、b ，评分在[)50,60所抽取的人数为4，分别记为A 、B 、C 、D ，所以抽取两人的基本事件为：ab 、aA 、aB 、aC 、aD 、bA 、bB 、bC 、 bD 、AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD ，共15个，而两人都来自[)50,60的基本事件有：AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、CD 共6个， 则所求事件的概率为62155=． 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查古典概型概率公式的应用，考查分析推理和运算求解能力，属于中档题.20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且11a =，()12n n n a S +=，数列{}nb 满足：()2n a n na nb +=∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和公式n S ；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）n a n =，()12n n n S +=；（2）222n n n T +=-. 【解析】（1）根据题意代入2n =即可求得2a ，再求出公差，根据等差数列的通项公式与求和公式求解项公式n a 及前n 项和公式n S 即可；（2）易得2n n n b =，再根据错位相减法求解n T 即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则当2n =时，2232S a =，即2223122a a a +=⇒=． 故211d a a =-=，故()11n a n n =+-=；此时()12n n n S +=． 故n a n =，()12n n n S +=． （2）由n a n =可得，()2n n n b n +=⋅∈N ， 所以2n nn b =， 故1231n n n T b b b b b -=+++++1231123122222n n nn n T --=+++++① 234111*********n n n n n T +-=+++++② -①②：23111111222222n n n n T +=++++-， 故111111112221112222212n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=--=--． 故222n n n T +=-． 【点睛】 本题主要考查了等差数列的通项公式求解，同时也考查了等差数列求和公式与错位相减求和的方法，属于中档题.21．如图，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设km AB y =，并在公路同侧建造边长为km x 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知1AB AC =+，且60ABC ∠=︒．（1）求y 关于x 的函数；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低为多少？【答案】（1）241(1)22x y x x -=>-；（2）49万元． 【解析】（1）根据题意得AB y =且1AC y =-，在Rt BCF 中，22BC CF x ==．然后在ABC 中利用余弦定理2222cos AC AB BC AB BC B =+-的式子建立关于x 、y 的等式，解出用x 表示y 的式子，即可得到y 关于x 的函数解析式；（2）由（1）求出的函数关系式，结合题意得出总造价2123341x M x x -=-+-．然后换元：令1x t -=，化简得到91625M t t =++，利用基本不等式算出当3t 4=时，M 的最小值为49．由此即可得出当总造价M 最低时，相应的x 值．【详解】解：（1）在BCF △中，CF x =，30FBC ∠=︒，CF BF ⊥，所以2BC x =．在ABC 中，AB y =，1AC y =-，60ABC ∠=︒，由余弦定理，得2222cos AC BA BC BA BC ABC =+-⋅∠，即()()2221222cos60y y x y x -=+-⋅⋅︒， 所以24122x y x -=-． 由AB AC BC -<，得21x >，12x >． 又因为241022x y x -=>-，所以1x >．所以函数24122x y x -=-的定义域是()1,+∞． （2）()3214M y x =⋅-+． 因为()241122x y x x -=>-，所以241321422x M x x ⎛⎫-=⋅⋅-+ ⎪-⎝⎭即21671x x M x -=- 令1t x =-，0t >，于是()91625M t t t++=，0t >， 由基本不等式得()916252549M t t t=++≥=， 当且仅当3t 4=，即74x =时取等号． ∴当7km 4x =时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价M 为49万元． 【点睛】本题给出实际应用问题，求能够使公司建中转站围墙和两条道路总造价最低的方案．着重考查了函数解析式的求法、运用基本不等式求最值和余弦定理及其应用等知识，属于中档题．22．已知数列{}n a 满足134a =，11210n n n a a a ++-+=. （Ⅰ）求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足()111,3n n n b b b n a +==+. ①求证：()1112n n n b b n b +-=-≥； ②求证:121113n b b b +++≥. 【答案】（Ⅰ）证明见解析，23n n a n +=+；（Ⅱ）①证明见解析；②证明见解析. 【解析】（Ⅰ）由题设条件，化简得1121n n n a a a ++-=，再结合等差数列的定义，即可求解； （Ⅱ）①由12n n b b n +=+，得到11n n b b n -=+，两式相减，即可求解；②由①化简得到12112311111n n nb b b b b b b b +++++=--++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 （Ⅰ）由题意，数列{}n a 满足11210n n n a a a ++-+=，可得1121n n n a a a ++-=， 所以11111111211111n n n n n a a a a a +++-=-=------， 又由1141a =--，公差1d =-， 所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为-4，公差为-1的等差数列，所以131n n a =---，即23n n a n +=+. （Ⅱ）①因为()132n n n b b n a n +=+=+，所以112n n b b n n -=+≥，（），两式相减，得：()111n n n b b b +--=， 所以()1112n n nb b n b +-=-≥， ②由①可得3142531112311111n n n b bb b b bb b b b b b +-++++=+-+-+-++-121213n n b b b b b +=--++≥=.【点睛】本题主要考查了等差数列的定义及通项公式，以及数列的求和的综合应用，其中解答中准确化简数列的递推关系式，合理利用等差数列的定义，以及利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.。