物理化学9.4 粒子配分函数计算

粒子配分函数
粒子配分函数（Particle Distribution Function）
1. 定义
粒子配分函数是一种数学，物理和化学的概念，可定义为一类物理状
态的粒子在每个点空间的概率分布函数。

它在量子力学中反映了粒子
的位置和速度，由粒子动力学的关联来描述。

2. 基本使用
粒子的配分函数的基本用途是表明粒子的密度。

它用来表示一个给定
物理状态下，粒子可能在每个空间坐标点存在的概率。

物理状态包括
热力状态，活性状态，及其他各种能量状态。

3. 物理应用
粒子配分函数在物理中有许多应用，它既可以用于热力学和统计力学，也可以用于流体力学，电动学等。

它常常用来计算粒子在给定状态下
的分布情况，同时也可用于衡量粒子能量状态，电育学的能量发射，
能量频谱等。

4. 分析方法
用粒子配分函数分析物理系统时，一般需要用到系统的随机变量，即
粒子的位置和速度。

粒子的位置满足高斯格分布规律，粒子的速度满
足拉普拉斯分布规律。

粒子的特性可根据其运动规律和空间布局来进
行推断。

5. 计算机模拟
粒子配分函数可以用计算机模拟进行计算和分析。

粒子的速度和位置满足一定的本征分布，可用Monte Carlo算法模拟，进而计算出粒子的位置和速度的应期分布结果。

有时，粒子的特性也可以用离散空间模拟物理系统进行模拟。

2014届本科毕业论文配分函数的分析与计算姓名：张坤系别：物理与电气信息学院专业：物理学学号：100314025指导教师：王保玉2014年4月12日目录摘要 (I)0 引言 (1)1 配分函数的分析 (1)1.1 配分函数体现的粒子在各个能级上的分配性质 (1)1.2 配分函数表示的是所有的可能量子态相对的概率之和 (1)1.3 配分函数表示粒子离开基态的程度大小的量度 (2)1.4 配分函数是状态函数 (3)1.5 配分函数属于特性函数 (3)2 配分函数的计算 (4)2.1 统计系综的几率分布与配分函数 (5)2.2 近独立系统的配分函数 (6)2.2.1 近独立系统的经典统计 (6)2.2.2 近独立系统的量子统计 (6)结束语 (9)参考文献 (10)致谢 (10)配分函数的分析与计算摘要配分函数在统计物理中占有非常重要的地位,它是一个非常重要并且也比较难理解的物理量，本文将从配分函数的定义出发，阐述其物理意义，阐释其在统计物理中的重要作用，全面分析配分函数，进而研究了常见的各种系综的配分函数的相关计算，并讨论其应用。

关键词：配分函数；物理意义；作用；系统；系综Analysis and calculation of partition functionAbstractPartition function plays an important role in statistical physics, It is a very important and also difficult to understand the physical quantity. This article will begin with the definition of partition function, expatiate it’s physical meaning and illustrate the important role in statistical physics, then give a comprehensive analysis of the partition function. and then study Calculation of partition function in various common ensemble:Classical statistical and Quantum statistics in Near independent system, finally make a comprehensive study of the partition function.Key word: Partition function The physical significance System Ensemble0 引言热力学的宏观理论和微观理论统称为热现象的基本理论，即热力学和统计物理学。

配分函数z配分函数z是统计物理学中一个非常重要的概念，它是描述系统状态的函数。

在热力学中，我们通常使用配分函数z来计算系统的热力学性质，例如内能、熵、自由能等。

下面我将详细介绍配分函数z的定义、计算方法以及应用。

一、配分函数z的定义配分函数z是描述系统状态的函数，它是所有可能的微观状态的加权和。

具体来说，对于一个由N个粒子组成的系统，其配分函数z可以表示为：z = Σi exp(-Ei/kT)其中，Ei是第i个微观状态的能量，k是玻尔兹曼常数，T是系统的温度。

配分函数z的值取决于系统的能级结构和温度。

二、配分函数z的计算方法配分函数z的计算方法取决于系统的能级结构。

对于简单的系统，例如单原子气体，配分函数z可以通过求和来计算。

对于复杂的系统，例如多原子分子，配分函数z需要通过数值计算或者近似方法来求解。

例如，对于一个由N个单原子气体组成的系统，其配分函数z可以表示为：z = Σi exp(-Ei/kT)其中，Ei = (3/2)NkT是第i个微观状态的能量，因为每个原子有三个自由度，所以总能量为(3/2)NkT。

因此，配分函数z可以简化为：z = Σi exp(-(3/2)Ni)对于多原子分子，配分函数z的计算方法更加复杂。

通常需要使用数值计算或者近似方法来求解。

例如，可以使用分子动力学模拟来计算配分函数z。

此外，还可以使用统计力学中的近似方法，例如平均场理论、配对近似等来求解配分函数z。

三、配分函数z的应用配分函数z在热力学中有着广泛的应用。

通过配分函数z，我们可以计算系统的热力学性质，例如内能、熵、自由能等。

下面我将介绍一些常见的应用。

1. 内能系统的内能可以通过配分函数z来计算。

具体来说，系统的内能可以表示为：U = (1/z)Σi Ei exp(-Ei/kT)其中，Ei是第i个微观状态的能量。

通过对所有可能的微观状态求和，我们可以得到系统的内能。

2. 熵系统的熵可以通过配分函数z来计算。

配分函数的定义在统计物理学中，配分函数是描述一个物理系统的基本性质的重要概念之一。

它通常用符号Z表示。

配分函数的定义可以根据系统的性质和问题的具体情况而有所不同，下面是几种常见的定义方式：1.独立粒子系统的配分函数：对于由N个独立粒子组成的系统，每个粒子有多个可能的能级，配分函数定义为所有可能的粒子组态的统计权重之和。

可以用以下公式表示：Z = Σexp(-βEi)其中，β= 1/(kT)，k是玻尔兹曼常数，T是系统的温度，Ei是第i个粒子能级的能量。

2.统计力学中的配分函数：对于具有多个粒子之间相互作用的系统，配分函数可以通过将每个粒子的单粒子配分函数乘起来来表示。

即Z = ΠZi其中，Zi是第i个粒子的单粒子配分函数。

3.统计物理学中的配分函数：对于连续系统，如固体、液体或气体，配分函数可以用积分形式表示。

例如，在经典统计物理学中，对于具有位置和动量变量的系统，配分函数可以表示为相空间中所有可能状态的相空间体积积分。

具体形式如下：Z = ∫exp(-βH(q, p))dqdp其中，H(q, p)是系统的哈密顿量，q表示位置变量，p表示动量变量。

当描述一个物理系统的统计性质时，配分函数提供了一个重要的框架。

它包含了系统所有可能的微观状态的信息，并且可以用来计算系统的宏观性质。

首先，我们先来看一个简单的例子：一个由N个独立粒子组成的系统。

每个粒子有多个可能的能级，记作E1, E2, E3,...,En。

这些能级可以是粒子的不同状态或者不同的能量量子态。

每个能级对应着一定的能量。

那么该系统的配分函数Z定义为所有可能的粒子组态的统计权重之和。

统计权重可以通过指数函数exp(-βEi)来表示，其中β= 1/(kT)，k是玻尔兹曼常数，T 是系统的温度。

exp(-βEi)被称为Boltzmann因子，它与粒子的能级Ei和温度T有关。

配分函数Z的表达式为：Z = Σexp(-βEi)求和符号Σ表示对所有可能的粒子组态进行求和。

各配分函数的计算配分函数（partition function）是统计物理学中一个重要的概念，用于描述系统在不同能级上分布的概率。

根据系统的不同性质，配分函数可以分为经典配分函数和量子配分函数两种。

1.经典配分函数：经典配分函数描述的是经典力学体系中，粒子在不同能级上的分布情况。

对于一个具有N个粒子的经典体系，经典配分函数的表达式为：Z = Σexp(-βEi)其中，Z表示配分函数，β为热力学倒数，Ei为体系的不同能级。

Σ表示对所有能级求和。

经典配分函数的计算需要知道体系的能级和相应的能量。

对于简单的模型，如经典气体或固体的振动模型，能级和能量可以推算出来。

对于更复杂的体系，如相互作用粒子的分子力学模拟，需要借助计算方法，如动力学模拟、分子动力学方法等，获得能级和能量。

通过计算经典配分函数，可以得到系统的热力学性质，如内能、自由能、压强等，从而研究体系的宏观行为。

2.量子配分函数：量子配分函数描述的是量子力学体系中，粒子在不同能级上的分布情况。

由于量子力学的存在，不同能级之间存在着零点振动和波粒二象性效应。

量子配分函数的计算与经典配分函数略有不同。

一个具有N个粒子的量子体系的配分函数可记作：Z = Tr(exp(-βH))其中，Z为配分函数，β为热力学倒数，H为系统的哈密顿算符。

Tr表示对系统的所有态进行求和或求迹。

量子配分函数的计算在大多数情况下是非常困难的。

需要借助矩阵对角化或者数值方法，如矩阵迭代法、变分法等。

对于一些简单的系统，如理想玻色气体或费米气体，可以根据粒子的自旋来推导出精确的配分函数。

通过计算量子配分函数，可以得到量子体系的热力学性质，如内能、自由能、压强等。

通过对量子配分函数的研究，可以揭示出量子效应对系统性质的影响，如玻色-爱因斯坦凝聚、费米-狄拉克凝聚等。

总之，配分函数是描述统计物理体系中粒子分布情况的重要工具。

通过计算配分函数，可以得到体系的热力学性质，并进一步了解体系的宏观行为。

物理化学（下）主要公式及使用条件第七章 电 化 学 主要公式及其适用条件1．迁移数及电迁移率电解质溶液导电是依靠电解质溶液中正、负离子的定向运动而导电，即正、负离子分别承担导电的任务。

但是，溶液中正、负离子导电的能力是不同的。

为此，采用正(负)离子所迁移的电量占通过电解质溶液的总电量的分数来表示正(负)离子之导电能力，并称之为迁移数，用t + ( t - ) 表示。

即正离子迁移数-++-++-++++=+=+=u u u Q Q Q t v v v负离子迁移数-+--+--+--+=+=+=u u u Q Q Q t v v v上述两式适用于温度及外电场一定而且只含有一种正离子和一种负离子的电解质溶液。

式子表明，正(负)离子迁移电量与在同一电场下正、负离子运动速率+v 与 -v 有关。

式中的u + 与u - 称为电迁移率，它表示在一定溶液中，当电势梯度为1V·m -1 时正、负离子的运动速率。

若电解质溶液中含有两种以上正(负)离子时，则其中某一种离子B 的迁移数t B 计算式为∑=+BBBB Q Q t z2．电导、电导率与摩尔电导率衡量溶液中某一电解质的导电能力大小，可用电导G ，电导率κ与摩尔电导率m Λ来表述。

电导G 与导体的横截面A s 及长度l 之间的关系为l A κR G s==1式中κ称为电导率，表示单位截面积，单位长度的导体之电导。

对于电解质溶 液，电导率κ则表示相距单位长度，面积为单位面积的两个平行板电极间充满 电解质溶液时之电导，其单位为S · m -1。

若溶液中含有B 种电解质时，则该溶液的电导率应为B 种电解质的电导率之和，即∑=Bκκ(溶液)虽然定义电解质溶液电导率时规定了电极间距离、电极的面积和电解质溶液的体积，但因未规定相同体积电解质溶液中电解质的量，于是，因单位体积中电解质的物质的量不同，而导致电导率不同。

为了反映在相同的物质的量条件下，电解质的导电能力，引进了摩尔电导率的概念。