八年级数学下册 解题技巧专题 函数的图象信息题课件 (新版)湘教版

观察C、D 两点的位置及 坐标，你有什么发现？
D 点在 C 点右下方． C ( － 4， 3)
增大 减小
C (－4 ， 3 )
D (1 ，－4.5)
D (1，－4.5) 函数值 y 随 x 值的增大而减小． 函数图像下降．
探 索 发 现
3 y ＝ x－3 2
y 3 x3 2
y ＝－2x＋4
观察以上两组图像，函数图像的上升、下降 与什么量有关？
图4-13
分析 小亮骑车离家的距离y是时间x 的函数，这个函数 图象由3 条线段组成，每一条线段代表一个阶段的 活动. 第一段是从原点出发的线段OA. 从横坐标看出， 解 小亮路上花了30 min，当横坐标从0变化到30 时， 纵坐标均匀增加，这说明小亮从家出发匀速前进 30 min，到达书店.
第二段是与x 轴平行的一条线段AB，当横坐标 从30 变化到60时，纵坐标没有变化，这说明小亮在 书店购书待了30min.
点(x，y)都满足关系式y=-2x吗？
Y 4 2
Y 4 2 x x
Y=-2x
Y=2x
-4 -3 -2 -1 0 -2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 -2
1 2 3 4
相同点：两图象都是经过原点的一条直线 不同点：函数y=2x的图象经过第 一、三 象限，从左向 右 呈上升状态，函数y=－2x的图象经过第 二、四 象限. 从左向右 呈下降状态.
解 当 t = 0 时，h = 0； 当 t =100时，h = 300. 在平面直角坐标系中描出点O(0，0)和A(100，300). 过这两点作线段OA，线段OA即函数h = 3t (0 ≤ t ≤100) 的图象，如图4-10. 做匀速运动(即速度 保持不变)的物体，走过 的路程与时间的函数关系 的图象一般是一条线段.

交于点(－4，0)
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我们再来看函数 y 2x 2 与 y 1 x 2，则它 2
们又有何异同点呢？
(它们的b一样，而k不y 一样) 5 4 3
2 1
-4
-3
-2
-1
O
-1
-2
y 1x2
-3
2
-4
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12345 x
•共同点：两者的图形都是直线，且均过点(0，2).即(0，b)
-2
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2. 作出y=2x+1的图象？
练习
解：列表：
描点： 连线：
x
… -2 -1 0 1 2 …
y=2x+1 … -3 -1 1 3 5 …
y 5
4 3
作函数图象的一 般步骤：列表、
2
描点、连线．
1
-4 -3 -2 -1O-1 1 2 3 4 5 x
-2
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t /分
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（3）当兔子到达终点时，乌龟距终点还有 40 米.
（4）乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑 40 米.
（5）乌龟要先到达终点，至少要比兔子早跑 4 分钟.
s /米
120 100
80 60 40
20 -4 -3 -2 -1 O
4.3 一次函数的图象
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例1 作出一次函数y=2x+1的图象.
x … -2 -1 0 1 2 …
解：列表：
y=2x+1 ... -3 -1 1 3 5 …

例 题 某天7时，小明从家骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修
车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校.如图反映了他骑 车的整个过程，结合图象，回答下列问题： （1）自行车发生故障是在什么时间？此时离家有多远？ （2）修车花了多长时间？修好车后又花了多长时间到达学校？ （3）小明从家到学校的平均速度是多少？
4.1.2
函数的表示法
说一说 • （1）上节问题1是怎样表示气温T与时间t之间的函 数关系的？ • （2）上节问题2是怎样表示正方形面积S与边长x之 间的函数关系的？ • （3）上节问题3是怎样表示缴纳的天然气费y与所 用天然气的体积x之间的函数关系的？
问题1用平面直角坐标系中的 一个图形来表示.
练习
2.等腰三角形的底角的度数为x，顶角的度数为 y，写出y随x而变化的函数表达式，并指出自变量x
的取值范围.
解：y随x而变化的函数表达式是：y=180-2x. 自变量x的取值范围是0<x<90.
练习
3.如图是A市某一天内的气温随时间而变化的函数图象，结合图象 回答下列问题： （1）这一天中的最高气温是多少？是上午时段，还是下午时段？
问题2列一张表来表示.
问题3用一个式子y=2.88x来表示.
结论
像上节问题1那样，建立平面直角坐标系，以自变量 取的每一个值为横坐标，以相应的函数值（即因变量的对 应值）为纵坐标，描出每一个点，由所有这些点组成的图 形称为这个函数的图象.这种表示函数关系的方法称为图 象法. 像上节问题2那样，列一张表，第一行表示自变量取 的各个值，第二行表示相应的函数值（即因变量的对应 值），这种表示函数关系的方程称为列表法. 像上节问题3那样，用式子表示函数关系的方法称为 公式法，这样的式子称为函数的表达式.

先取自变量x的一些值，算出y=2x，y=2x+3对应的函 数值，列成表格如下：
y
7 6 5 4 3 2 1
–5 –4 –3 –2 –1 O
–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7
y=2x+3 y=2x
1 2 3 4 5x
从上表可以看出，横坐标相 同 ， y=2x+3 的 点 的 纵 坐 标 比 y=2x 的点的纵坐标大3，于是将y=2x的 图象向上平移3个单位，就得到 y=2x+3的图象，如图所示.
实际上，我们还可以比较第 一段与第三段线段，发现第一段 更“陡”，这说明去书店的速度 更快，而回家的速度要慢一些.
练习
1.(1)将直线y=3x向下平移2个单位，得到直线___y_=_3_x_-2_____； (2)将直线y=-x-5向上平移5个单位，得到直线___y_=_-_x_______.
【教材P127页】
向右平移m个单位
左右平移：自变量x增加或减少.
向下平移m个单位
y=kx+(b-m)
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，因为两点确
定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要描出两点即可
画出一条直线.
y
6
5
4
3
2
1
O
–4 –3 –2 –1
123456 x
–1
–2
–3
–4
–5
选哪两个点 最简单？
当k>0时，图象过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，图象过二、四象限，y随x的增大而减小.
探索新知
思考
既然正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数的图 象是直线，那么一次函数的图象也会是一条直线吗？它们 图象之间有什么关系？

4.2 一次函数
题型三 利用一次函数模型解决实际问题
例题3 某移动通讯公司有两种通信业务, 一 种是“全球通”, 使用 者先交50元月租费, 然后每 通话1分钟, 再付话费0.4元；另一种是 “快捷通”, 不交月租费, 每通话1分钟, 付话费0.6元. 若一个月 通 话x分钟, 两种方式的费用分别为y1元和y2元. (1)写出y1, y2与x之间的函数表达式； (2)当一个月内通话多少分钟时, 两种通信费 用相同？ (3)某人估计一个月内通话300分钟, 用哪一种 通信业务更合算些？
4.2 一次函数
解: (1)根据一次函数的定义, 得2-|m|=1, 解得m=±1. 又∵m+1≠0, ∴m≠-1, ∴当m=1, n为任意实数时, y是x的一次函数. (2)根据正比例函数的定义, 得2-|m|=1, 且n+4=0, 解得m=±1, n=-4. 又∵m+1≠0, ∴m≠-1, ∴当m=1, n=-4时, y是x的正比例函数．
4.2 一次函数
4.2 一次函数
解: ∵在R t△ABC中, ∠C=9 0°, AC=6 , AB=10,
∴BC=
=8. ∵PC=x, ∴PB=8-x,
∴S△APB= PB·AC= ×(8-x)×6=24-3x, ∴y=-3x+24. 又∵PB=8-x>0, ∴x<8.
∴自变量x的取值范围是0<x<8．
4.2 一次函数
锦囊妙计
利用一次函数解决几何问题的策略 在几何问题中列函数表达式的关键是以几 何知识为背景, 从几何图形中建立量与量之间 的等量关系.
谢 谢 观 看！
4.2 一次函数
锦囊妙计
根据一次函数的定义求待定字母的值 (1)根据一次函数表达式中自变量的指数是 1列出关于所求 字母的方程； (2)根据自变量的系数不为0列出关于所求 字母的不等式； (3)综合二者的解, 最终可得所求字母的值.

(2)当点P的坐标是(2, 0)时, △APQ≌△CBP. 理由：∵OA=8, P(2, 0), ∴AP=8+2=10=BC. ∵ ∠ BPQ = ∠ BAO, ∠ BAO + ∠ AQP + ∠APQ=180°, ∠APQ+∠BPQ+∠CPB=180°, ∴∠AQP=∠CPB. ∵点A和点C关于y轴对称, ∴∠PAQ=∠BCP.
y=mnx
m, n对比 是否相符
二、四 mn<0
符合
一、三 mn>0
不符合
二、四 mn<0
不符合
一、三 mn>0
不符合
4.3 一次函数的图像
锦囊妙计
双图像问题的两种解题思路 对于双图像问题, 可假设某一图像正确, 根 据该图像判断 字母系数的正负, 进而判断另一 图像是否正确；也可根据图像 先判断各自系数 的正负, 若系数的符号相同, 则图像正确, 否则 不正确.
第4章 一次函数
4.3 一次函数的图像
第4章 一次函数
4.3 一次函数的图像
考场对接
4.3 一次函数的图像
考场对接
题型一 应用一次函数的图像和性质判断符合题意的图像
例题1 一次函数y=kx+k(k≠0)在平面直角坐 标系中的图像大致是 ( A ).
图4-3-5
4.3 一次函数的图像
4.3 一次函数的图像
4.3 一次函数的图像
锦囊妙计
与直线有关的距离之和最小值的求法 找两点中的任意一点关于直线的对称点, 连 接对称点与另 一点, 与直线的交点是直线上的 要求的点, 对称点与另一点的线 段长为所求的 距离之和的最小值, 常利用勾股定理求解.
谢 谢 观 看！

§4.3 一次函数的图象
说课流程
学生特征 教学任务
分析
分析
教学 过程
资源 开发
教学 评价
1
知识基础
生理基础
求代数式的值 用图象表示变量间的关系 平面直角坐标系 一次函数的概念 成长的第二高峰期 思维发展的活跃期
2
教材的地位和作用 教学目标 教学重点难点 教法与学法
教材的地位和作用
函数
表达式
一次函数
-5
观察所画图象:
-6 -7
-8
-9
（1）正比例函数y=-3x的图象是_______________.-10
（2）点（-1，3）在函数y=-3x的图象上吗？______.
点（-1，3）的坐标满足函数y=-3x的关系式吗？__.
探索 新知
你认为谁列的表格更合理？
甲
乙
丙
这个排序了！ 丁
探索 新知
出现的问题： ①描点位置不 准确； ②将图象画成 线段； ③不标出直线 名称。
文本资源
生成性资源
研读课标和教材，编写了课 堂练习，将知识具体化、问 题化，引导学生学习.
社会教育资源
信息技术资源
在教学中借助几何画板，演示 函数的运动变化与对应，帮助 学生建立直观印象.
在引入和小结环节融入生 活实际背景，感受数学与 生活的联系，激发学生学 习数学的兴趣.
5
抓住函 数图象
概念 信息技 术合理
-2
-3
随着x值的增大，y的值____（填“增大 ”或“减小”）. -4
（2）和同桌交流，比较你们图象和结论的异同，你发现
了什么? ____________________.
1
2
3

则m____0 ＜
3. 已知函数y = ( m+1) x | m | - 1 是正比例函数， 并且它的图象经过二，四象限，则这个函 数的解析 式为_________.
一次函数的图象
例1：在同一 直角坐标系内画出下列函数图象：
y=2x+1
y=-2x+1
解：
x 0 -0.5 y1 0
x 0 0.5 y1 0
是这个函数的图象是以 O(0,0) ,A(30,90)为端点的线段OA.
•O
30 60 90 120
t(秒)
(3)从图中看出,电梯上升一次大约要2分钟.
归纳:作匀速运动的物体,走过的路程与时间的函数关系图象
是 一条线段.
练一练：
一个水池有水60立方米，现要将水池的水排出，如 果排水管每小时排出的水量为3立方米。
三角形的面积？
y=2x+4 y
分析: (0, 4 ) (-2 ,0)
B▪4
3
24
-4
-3 A-▪2
-21 O
1
-11 -2
234
三角形AOB的面
积= 1 OA OB 2
x
1 24
2
-3 -4
2
例题2
例2、已知函数y=2x-4 （1）画出它的图象； （2）写出这条直线与x轴、y轴交点的坐标； （3）求这条直线与两坐标轴所围成的三角形 的面积。
例题3
张家界的一个旅游景点的电梯运行时,以3米/秒的速度上
升,运行总高度为313米.
(1) 用公式法表示电梯运行高度h(米)与运行时间t(秒)
的函数关系;
(2)画出 这个函数的图象;
h(米)
(3)电梯上升一次,大约需要几分钟?

图4
6、王芳今天到学校参加初中毕业会考，从家里出
发走10分钟到离家500米的地方吃早餐，吃早餐用
了20分钟；再用10分钟赶到离家1000米的学校参加
考试．下列图象，能反映这一过程的是（D） ．
y/米
y/米
y 1000
500
1500 1000
500
1500 1000
时，函数值是＿＿＿＿． 5．一蓄满水的水池正在放水，剩余水量y与时
间t的关系式为y=600-50t，其中自变量是
.
给定了t，请你完成下表：
时间 t 0 剩余水量 y
综上所述，我们说
1 2 3 4… …
是 的函数。
下列各式，x是自变量，请判断y是不是x 的函数？若是，求出自变量的取值范围。
1.y＝2x
用式子表示函数 关系的方法
整个变化过程中自变量
与函数的对应关系
函数的图象及画法(重点) 例 1 图 1 中的折线 ABCD 描述了一辆汽车在某 一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离 s(km) 和行驶时间 t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信 息，回答下列问题：
图1
1.图2是某市2018年某日的气温随时间变化的图象， 那么这一天（ D ）
500
O 10 20 30 40 50 x/分 O 10 20 30 40 50 x/分
O 10 20 30 40 50x/分
O 10 20 30 40 50 x/分
A
B
C
D
7、甲、乙两名同学骑自行车从Ａ地沿同一条路到Ｂ
地，已知乙比甲先出发．他们离出发地的距离s/km和骑
行时间t/h之间的函数关系如图，给出下列说法：
a.他们都骑了20km；b.乙在途中停留了0.5h；

1 4 9 16 25 36 49
这里是怎样表示正方形面积 S 与边长 x 之 间的函数关系的？
列表格表示．
问题3 某城市居民用的天然气，1 m3 收费 2.88 元， 使用 x m3 天然气应缴纳的费用 y (元)为 y = 2.88x. y 是不是 x 的函数？ 是
这里是怎样表示缴纳的天然气费用 y 与所用天 然气的体积 x 的函数关系的？
从横坐标看出，自行车 产生故障的时间是 7:05 ； 从纵坐标看出，此时离家
1 000 m.
（2）修车花了多长时间？修好车后又花了多长时间到 达学校？
从横坐标看出，小明修 车花了 15 min；小明修好车 后又花了 10 min 到达学校.
（3）小明从家到学校的平均速度是多少？
从纵坐标看出，小明家离学校 2 100 m； 从横坐标看出， 他在路上共花了 30 min， 因此， 他从家到学校的平均速度 是2 100÷30 = 70（m/min）.
小时到达乙地.
2. 用列表法与公式法表示 n 边形的内角和 m (单位：度) 与边数 n 的函数关系. 解：∵ n 表示的是多边形的边数， ∴ n 是大于等于 3 的自然数．列表如下：
n 3 4 5 6… m(度) 180 360 540 720 …
∴ m = (n - 2)·180°（n≥3，且 n 为自然数）．
1. 某人从甲地出发，骑摩托车去乙地，共用 2 小时. 已知 摩托车行驶的路程 s（千米）与行驶的时间 t（小时）的 关系如下图所示. 假设这辆摩托车每行驶 100 千米的耗油 量为 2 升，根据图中提供的信息，这辆摩托车从甲地到乙 地共耗油___0_.9___升，请你用语言简单描述这辆摩托车行 驶的过程. 解析：由图象可知，小明先以 30 千米/时的速度行驶 1 小时，然后休 息半小时，再以同样的速度行驶半