信号与系统§7.4 常系数线性差分方程的求解

信号与系统求差分方程
信号与系统是电子工程中的重要学科，它研究的是信号的传输和处理以及系统的特性与性能。

在这个领域中，差分方程是一种常用的数学工具，用于描述离散时间系统中的信号和系统行为。

差分方程是一种离散时间系统的数学模型，描述了系统的输入和输出之间的关系。

它可以用于分析和预测系统的行为，以及设计合适的控制算法。

差分方程的形式通常是这样的：
y[n] = a*y[n-1] + b*x[n-1]
其中，y[n]表示系统的输出信号，x[n]表示系统的输入信号，y[n-1]和x[n-1]分别表示前一时刻的输出和输入信号，a和b是差分方程中的常数系数。

通过差分方程，我们可以推导出系统的响应和稳定性等重要性能指标。

对于给定的输入信号，我们可以使用差分方程来计算系统的输出，并通过比较输出信号与期望信号来评估系统的性能。

差分方程的求解通常需要使用离散时间系统的特定方法，比如Z变换等。

通过这些方法，我们可以将差分方程转化为代数方程，从而得到系统的解析解或数值解。

在信号与系统的研究中，差分方程是一个非常重要的工具。

它帮助我们理解和分析离散时间系统的行为，从而为系统设计和控制提供
了理论基础。

通过差分方程的应用，我们可以更好地理解和利用信号与系统的原理，提高系统的性能和稳定性。

差分方程是信号与系统中的重要工具，用于描述离散时间系统的行为和性能。

它的应用可以帮助我们理解和分析系统，从而提高系统的性能和稳定性。

希望通过学习差分方程，能够更好地应用信号与系统的知识，解决实际工程问题。

常系数线性差分方程的解 方程)(...110n b x a x a x a n k k n kn =+++-++（1）其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（1）为常系数线性方程。

又称方程0...110=+++-++n k k n kn x a x a x a（2）为方程（1）对应的齐次方程。

如果（2）有形如nnx λ=的解，带入方程中可得：0 (11)10=++++--k k k k a a a a λλλ（3）称方程（3）为方程（1）、（2）的特征方程。

显然，如果能求出（3）的根，则可以得到（2）的解。

基本结果如下：（1） 若（3）有k 个不同的实根，则（2）有通解：nkk nnn c c c x λλλ+++=...2211，（2） 若（3）有m 重根λ，则通解中有构成项：nm m nc n c c λ)...(121----+++（3）若（3）有一对单复根βαλi ±=，令：ϕρλi e±=，αβϕβαρarctan,22=+=，则（9）的通解中有构成项：nc n c nnϕρϕρsin cos 21--+（4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e±=，则（2）的通项中有构成项：n nc n c c n nc n c c nm m m m nm m ϕρϕρs i n )...(c o s )...(1221121---++---+++++++综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程（2）的通解中必有k 个独立的任意常数。

通解可记为：-n x 如果能得到方程（1）的一个特解：*n x ，则（1）必有通解：=n x -nx +*n x （4）特解可通过待定系数法来确定。

《信号与系统》大纲注：（Δ）表示重点内容。

参考书目：[1] 徐天成，谷亚林，钱玲. 信号与系统（第二版）. 哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，2005[2] 郑君里，应启珩，杨为理. 信号与系统（第二版）. 北京：高等教育出版社，20002．2 零输入响应与零状态响应（Δ）2．2．1 零输入响应与零状态响应2．2．2 系统响应的线性特性分析2．3 冲激响应与阶跃响应（Δ）2．3．1 定义2．3．2 h(t)的求解2．3．3 阶跃响应g(t)的求法2．4 系统的卷积积分分析（Δ）2．4．1 卷积积分2．4．2 借助于冲激响应和叠加原理求系统的零状态响应2．4．3 卷积积分的图解法2．5 卷积积分的性质2．5．1 卷积积分的代数性质2．5．2 卷积积分的微分与积分2．5．3 与冲激函数或阶跃函数的卷积第３章傅里叶变换分析3．1 周期信号的频谱分析—傅里叶级数3．1．1 三角形式的傅里叶级数3．1．2 指数形式的傅里叶级数3．7．3 取样定理3．8 调制信号的傅里叶变换（△）3．8．1 调制的概念及调制的分类3．8．2 几种调幅信号的傅里叶变换（常规调幅与双边带抑制载波调幅）3．8．3 解调概念3．9 系统的频域分析3．9．1 系统响应的频域表示3．9．2 系统的频率模型——系统频率响应特性3．10 信号的传输与滤波3．10．1 无失真传输3．10．2 理想低通滤波器3．10．3 理想带通滤波器第４章拉普拉斯变换分析4．1 拉普拉斯变换的定义4．2 常用函数的拉氏变换4．3 拉氏变换的基本性质5．2．3 自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应 5．3 零、极点分布与系统频率响应特性的关系(△)5．3．1 频率响应特性的定义5．3．2 频响特性的矢量作图法5．4 典型系统的频响特性(△)5．5 全通系统和最小相移系统5．5．1 全通系统5．7 系统模拟及信号流图(△)5．7．1 系统的框图5．7．2 信号流图5．7．3 系统模拟5．8 系统的稳定性(△)5．8．1 稳定系统的定义5．8．2 系统稳定的条件第６章离散时间系统的时域分析6．1 离散信号基础6．1．1 离散信号概念6．1．2 典型离散信号6．1．3 序列的运算7．3．2 时移性质7．3．3 z域微分7．3．4 序列指数加权7．3．5 初值定理7．3．6 终值定理7．3．7 时域卷积定理7．4 差分方程的Z变换求解7．5 离散时间系统的系统函数7．5．1 系统函数与单位样值响应（Δ）7．5．2 系统函数的零极点分布对系统特性的影响（其中，2. 离散系统的稳定性域因果性为重点）7．6 序列的傅里叶变换7．6．1 序列的傅里叶变换的定义7．6．2 序列的傅里叶变换与z变换之间的关系 7．7 离散系统的频率响应（Δ）7．7．1 频率响应的意义7．7．2 频率响应的几何确定7．8 数字滤波器的一般概念7．8．1 数字滤波器原理7．8．2 数字滤波器的结构（△）1．8 系统分析方法第二章连续时间系统的时域分析2．1 引言2．2 微分方程式的建立与求解2．3 起始点的跳变——从0-到0+状态的转换2．4 零输入响应与零状态响应（Δ） 2．5 冲激响应与阶跃响应（Δ）2．6 卷积（Δ）2．7 卷积的性质第三章傅里叶变换3．1 引言3．2 周期信号的傅里叶级数分析（△）（一）三角傅里叶级数（二）指数傅里叶级数（三）函数的对称性与傅里叶系数的关系3．3 典型周期信号的傅里叶级数3．4 傅里叶变换第五章傅里叶变换应用于通信系统——滤波、调制与抽样5．1 引言5．2 利用系统函数)H求响应( j5．3 无失真传输5．4 理想低通滤波器5．7 调制与解调（△）第七章离散时间系统的时域分析7．1 引言7．2 离散时间信号——序列7．3 离散时间系统的数学模型（△）7．4 常系数线性差分方程的求解7．5 离散时间系统的单位样值（单位冲激）响应7．6 卷积（卷积和）（△）第八章 z变换、离散时间系统的z域分析8．1 引言8．2 z变换的定义、典型序列的z变换（△）12．2 连续时间系统状态方程的建立（△）12．3 连续时间系统状态方程的求解（△）（一）用拉普拉斯变换法求解状态方程（三）由状态方程求系统函数12．4 离散时间系统状态方程的建立（△）12．5 离散时间系统状态方程的求解（变换域求解）（△）（三）离散系统状态方程的z变换解（四）用状态变量法分析离散系统举例南京理工大学研究生入学考试大纲科目名：《数字电路》一. 考试内容1.数字逻辑基础(3)其他类型的TTL门OC门、三态输出门电路结构、工作特性。

数字信号处理期末复习题一、单项选择题（在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的号码写在题干后面的括号内，每小题1分，共20分）1.要从抽样信号不失真恢复原连续信号，应满足下列条件的哪几条( ① )。

(Ⅰ)原信号为带限(Ⅱ)抽样频率大于两倍信号谱的最高频率(Ⅲ)抽样信号通过理想低通滤波器①.Ⅰ、Ⅱ②.Ⅱ、Ⅲ③.Ⅰ、Ⅲ④.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ2.在对连续信号均匀采样时，若采样角频率为Ωs，信号最高截止频率为Ωc，则折叠频率为( ④ )。

①Ωs ②.Ωc③.Ωc/2 ④.Ωs/23.若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时输出为y(n)=R3(n)，则当输入为u(n)-u(n-2)时输出为( ② )。

①.R3(n) ②.R2(n)③.R3(n)+R3(n-1) ④.R2(n)-R2(n-1)4.已知序列Z变换的收敛域为｜z｜>1，则该序列为( ② )。

①.有限长序列②.右边序列③.左边序列④.双边序列5.离散系统的差分方程为y(n)=x(n)+ay(n-1)，则系统的频率响应( ③ )。

①当｜a｜<1时，系统呈低通特性②.当｜a｜>1时，系统呈低通特性③.当0<a<1时，系统呈低通特性④.当-1<a<0时，系统呈低通特性6.序列x(n)=R5(n)，其8点DFT记为X(k)，k=0,1,…,7，则X(0)为( ④ )。

①.2 ②.3③.4 ④.57.下列关于FFT的说法中错误的是( ① )。

①.FFT是一种新的变换②.FFT是DFT的快速算法③.FFT基本上可以分成时间抽取法和频率抽取法两类④.基2 FFT要求序列的点数为2L(其中L为整数)8.下列结构中不属于FIR滤波器基本结构的是( ③ )。

①.横截型②.级联型③.并联型④.频率抽样型9.已知某FIR滤波器单位抽样响应h(n)的长度为(M+1)，则在下列不同特性的单位抽样响应中可以用来设计线性相位滤波器的是( ① )。

[离散时间信号处理学习笔记]4.线性常系数差分⽅程本⽂主要从离散时间系统的⾓度来讨论线性常系数差分⽅程，不过其中也不可避免地涉及到数学⽅⾯的分析，因此在阅读本⽂章之前，如果对线性常系数差分⽅程在数学上有⼀定的认识，将更有助于理解本⽂的相关内容。

推荐阅读：累加器系统这⾥从累加器来引⼊差分⽅程这⼀概念。

累加器系统定义为y[n]=n∑k=−∞x[k]从上⾯定义的式⼦可以得到y[n−1]=n−1∑k=−∞x[k]等号两边相减得到y[n]−y[n−1]=x[n]从累加器的定义上来说，当前输出与前⼀个输出的差值确实为当前的输⼊。

换⼀个⾓度来说，当前的输出等于前⼀个输出与当前输⼊的和y[n]=y[n−1]+x[n]这种当前的值的计算会⽤到前⾯已算出的值的差分⽅程就是差分⽅程的递推表⽰（迭代法）。

这种差分⽅程的递推表⽰使得系统实现更为简单，在离散时间系统的实现中经常⽤到。

累加器系统的递推差分⽅程⽅框图如下表⽰滑动平滑系统滑动平滑系统的定义是y[n]=1M1+M2+1M2∑k=−M1x[n−k]令M1=0以使系统称为因果的。

那么该系统的定义变为y[n]=1M2+1M2∑k=0x[n−k]单位脉冲响应为h[n]=1M2+1(δ[n]–δ[n−M2−1])∗u[n]可以看到式⼦中分为三个部分：衰减器、样本延迟、累加器。

表⽰成⽅框图如下线性时不变系统中的⼀个重要的⼦系统是由这样⼀些系统组成，这些系统的输⼊x[n]和输出y[n]满⾜N阶线性常系数差分⽅程，其形式为N∑k=0a k y[n−k]=M∑m=0b m x[n−m]线性常系数差分⽅程的求解线性常系数差分⽅程的解可以分为两部分y[n]=y p[n]+y h[n]其中y p[n]为特解，y h[n]为齐次解，我们这⾥就齐次解简单展开说明。

齐次解是假设x[n]=0时求得的y[n]，即有如下齐次差分⽅程N∑k=0a k y h[n−k]=0在求解差分⽅程的过程中，我们会假设y h[n]=Az n然后代⼊上述齐次差分⽅程，整理后得到N∑k=0a k z−k=0求解该⽅程后可以得到N个不同的z值都能满⾜上述⽅程（没有重根的情况下），即z m，m=1,2,⋅⋅⋅,N另外，⽆论A m为什么值，在把y h[n]=A m z n m代⼊到齐次差分⽅程都能得到满⾜，因此y h[n]的解为y h[n]=N∑m=1A m z n m此时z m的值已知，A m未知，那么此时就需要辅助条件来求解A m，辅助条件可以由⼀些特定n点上的特定y[n]值组成，诸如y[−1],y[−2],⋅⋅⋅,y[−N]，然后求解⼀组由N个线性⽅程构成的⽅程组来求得N个特定系数A m。