相似三角形判定(边边边)

(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

判定相似三角形的方法
判定相似三角形的方法有以下几种：
1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似的。

2. SSS相似定理：如果两个三角形的对应边的长度比例相等，则它们是相似的。

3. SAS相似定理：如果两个三角形的一个角相等，且它们的对应边的长度比例相等，则它们是相似的。

4. 对顶角相等定理：如果两个三角形的一个对顶角相等，则它们是相似的。

5. 直角三角形相似定理：如果两个直角三角形的一个锐角相等，则它们是相似的。

要注意的是，这些定理只是判定相似三角形的方法，而不能确定相似三角形的比例尺。

对于给定的两个相似三角形，我们可以通过这些定理来判断它们是否相似，但要确定它们的比例尺需要知道至少一个对应边的长度。

三角形相似的5个判定方法
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

下面是五个判定方法来判断三角形是否相似：
1. AAA判定法，如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。

这意味着如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们是相似的。

2. AA判定法，如果两个三角形的一个角相等，并且它们的对应边成比例，那么它们是相似的。

这意味着如果两个三角形的两个角分别相等，并且它们的对应边成比例，那么它们是相似的。

3. SSS判定法，如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。

这意味着如果两个三角形的三条边分别成比例，那么它们是相似的。

4. SAS判定法，如果两个三角形的一个角相等，并且它们的两个对应边分别成比例，那么它们是相似的。

这意味着如果两个三角形的一个角相等，并且它们的两个对应边分别成比例，那么它们是相似的。

5. 直角三角形的判定法，如果一个三角形是直角三角形，且两个直角三角形的一个角相等，那么它们是相似的。

这意味着如果一个三角形是直角三角形，且两个直角三角形的一个角相等，那么它们是相似的。

这些判定方法可以帮助我们确定三角形是否相似，从而在几何学中应用相似三角形的性质。

通过这些方法，我们可以更好地理解和解决与相似三角形相关的问题。

江夏区第一初级中学九年级数学教（学）案设计序号：85 设计者：何金明审核人：唐厚琴、熊本春设计时间2013、10、16课题：相似三角形的判定---边边边定理一、学情分析：学生在前面已经学习相似三角形的判定的预备定理，对相似有了一些认识，所以本节课学生容易理解。

二、学习目标：1、经历三角形相似的判定方法“三边对应成比例的两个三角形线相似”的探索过程.2、掌握“三边对应成比例的两个三角形线相似”的两个三角形相似的判定方法.3、能运用上述判定方法判定两个三角形相似.三、重点：“三边对应成比例的两个三角形线相似”的两个三角形相似的判定方法.难点：能运用上述判定方法判定两个三角形相似.四、课前预习与思考：1、相似三角形的判定定理的预备定理。

2、回顾全等三角形的判定定理五、探究新知阅读思考课本P42—431、提出问题：首先，由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？请同学们画图探究；【归纳】三角形相似的判定方法1 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．2、提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？六、例题讲解例1、依据下列各组条件，判定△ABC与△A´B´C´是不是相似，并说明为什么：AB=4厘米，BC=6厘米，AC=8厘米，A´B´=12厘米，B´C´=18厘米，A´C´=24厘米例2、如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF．例3、如图判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由.ABC DEF七、课堂练习1、如果两个三角形的______ 对应边的______ ，那么这两个三角形相似．2、在△ABC 和△DEF 中，如果AB ＝4，BC ＝3，AC ＝6；DE ＝2.4，EF ＝1.2，FD ＝1.6，那么这 两个三角形能否相似的结论是____________，理由是__________________ ．3、 △ABC 的三边长分别为2、2、10，△A 1B 1C 1的两边长分别为1和5，当△A 1B 1C 1的 第三边长为 时，△AB C ∽△A 1B 1C 1。

相似三角形的判定•相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

互为相似形的三角形叫做相似三角形。

例如图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角B'A'C'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'•相似三角形的判定：1.基本判定定理(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。

)(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。

2.直角三角形判定定理(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

3.一定相似：（1）.两个全等的三角形（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1）（2）.两个等腰三角形（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。

）（3）.两个等边三角形(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)（4）.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。

•相似三角形判定方法：证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。

一、（预备定理）平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。

相似三角形的判定(解析版)相似三角形的判定（解析版）相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。

判定两个三角形是否相似有多种方法，本文将介绍三种常见的相似三角形判定方法，并以解析的方式解释其原理和应用。

一、AA相似判定法AA相似判定法是通过两个三角形的相似角和对应边的比值来判定它们是否相似。

具体步骤如下：1. 选取两个三角形，分别记为△ABC和△DEF。

2. 观察两个三角形中的对应角，如果∠A = ∠D 且∠B = ∠E（或∠C = ∠F），则可以得出两个三角形的相似角。

3. 检查两个三角形中对应边的比值，如果AB/DE = BC/EF（或AC/DF）成立，则可以得出两个三角形相似。

通过AA相似判定法，我们可以快速判定两个三角形是否相似，并且可以进一步得出它们对应边的比值关系。

二、SSS相似判定法SSS相似判定法是通过两个三角形的边长比值来判定它们是否相似。

具体步骤如下：1. 选取两个三角形，分别记为△ABC和△DEF。

2. 检查两个三角形中各对应边的比值，如果AB/DE = BC/EF =AC/DF成立，则可以得出两个三角形相似。

通过SSS相似判定法，我们可以根据三个对应边的比值关系来判断两个三角形是否相似。

三、SAS相似判定法SAS相似判定法是通过两个三角形的两组对应边的比值和夹角的相等关系来判定它们是否相似。

具体步骤如下：1. 选取两个三角形，分别记为△ABC和△DEF。

2. 检查两个三角形中对应边的比值和夹角的相等关系。

如果AB/DE = AC/DF，并且∠A = ∠D，则可以得出两个三角形相似。

SAS相似判定法是一种灵活且常用的判定方法，通过两组对应边的比值和夹角的相等关系来判断两个三角形是否相似。

结论：通过以上三种相似三角形的判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否相似。

在实际应用中，相似三角形的判定对于解决实际问题具有重要意义。

例如，在建筑、地图测量和航空导航中，我们需要利用相似三角形的性质来进行距离和高度的估算。

相似三角形的判定在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但可能不同尺寸的三角形。

判定两个三角形是否相似是几何学中的基本问题之一。

本文将介绍相似三角形的定义以及常用的判定方法。

一、相似三角形的定义两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等且对应边的比例相等。

根据这个定义，我们可以得出相似三角形的三个基本判定定理。

1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。

2. SSS相似定理：如果两个三角形的三条边的比例相等，则这两个三角形相似。

3. SAS相似定理：如果两个三角形中有两个对应边的比例相等，并且这两个对应边夹角相等，则这两个三角形相似。

二、相似三角形的判定方法1. 角角判定法：使用AA相似定理，当我们知道两个三角形的两个角分别相等时，就可以判定它们相似。

具体判定方法是测量三角形的两个角，并将其与另一个三角形对应的两个角进行比较。

如果它们相等，则两个三角形相似。

2. 边边判定法：使用SSS相似定理，当我们知道两个三角形的三条边的比例相等时，可以判定它们相似。

具体判定方法是测量两个三角形的三条边，并将其比较。

如果它们的比例相等，则两个三角形相似。

3. 边角边判定法：使用SAS相似定理，当我们知道两个三角形有两个对应边的比例相等，并且这两个对应边夹角相等时，可以判定它们相似。

具体判定方法是测量两个三角形的两个对应边的比例，并测量它们对应的夹角，将其与另一个三角形对应的两个对应边的比例和夹角进行比较。

如果它们相等，则两个三角形相似。

三、相似三角形的应用相似三角形在几何学中有广泛的应用。

一些常见的应用包括：1. 测量高度：通过测量阴影的长度和实物的长度，我们可以利用相似三角形的性质计算出物体的高度。

2. 估算距离：在实际测量中，通过相似三角形的比例关系，我们可以利用已知的距离来估算其他无法直接测量的距离。

3. 图像变换：相似三角形的性质在图像变换中也有应用。

例如，图像的缩放、旋转和翻转等操作都可以通过相似三角形来实现。

（一）相似三角形1、定义:对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等,且三条对应边的比相等时,这两个（或几个）三角形叫做相似三角形,即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k,则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时,才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念,后继学习时出现的频率较高,其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线,截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言:∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE；(双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例"，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.可简单说成:两角对应相等,两三角形相似.例1、已知：如图,∠1=∠2=∠3，求证:△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF 。

(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

相似的判定方法
相似三角形的判定：
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3、三边成比例的两个三角形相似。

4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。

5、用一个三角形的两边去比另一个三角形与之相对应的两边，分别对应成比例，如果三组对应边相比都相同，则三角形相似。

相似三角形介绍：
三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。

全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。

相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。

相似三角形的性质
1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2、相似三角形任意对应线段的比等于相似比。

3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。

相似三角形的判定
类比全等三角形的判定定理，可以得出下列结论：
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3、三边成比例的两个三角形相似。

4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。

根据以上判定定理，可以推出下列结论：
1、三边对应平行的两个三角形相似。

2、一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。

23.2.4相似三角形的判定方法教学设计
（续表）
△ABC与△A′B′C′相似吗？为什么？
【教学说明】“问题1”可让学生自主完成, 并相互交流，获得“一个三角形的三条边与另一个三
角形的三条边的比相等时，这样的两个三角形相似”
的感性认识.而对于“思考1”中的问题，教师应引
导学生通过合理推理进行说明.这时可在A′B′上截
取A′D=AB，再过D作DE//B′C′，由△A′DE～△A′
B′C′，再证明△ABC≌△A′DE，则可得到△ABC～△
A′B′C′.这种构造△A′DE作为过渡三角形在以往
的学习中很少见，因此教师应做好引导.我们知道，相
似的判定方法类似于全等的判定方法．类比全等的判定方
法，你认为什么条件下，还能判定两三角形相似？本节课我
们继续探索三角形相似的条件．
活动
二：
实践探究交流新知
(二)验证
因为∠A'＝∠A
∠B' =∠B
所以
△A'B'C'∽△ABC
AB BC CA
A B B C C A
==
''''''
(三)证明：如图，在线段A′B′上截取A′D=AB，
1.探究1既提高
了学生的操作能力，
又培养了学生的合
作意识，并积累探究
新知识的方法.
2.探究2让学生
总结判定定理3的
过程，既能培养学生
的归纳能力，还能锻
炼学生数学语言的
表述能力.
A
B C
C'
B'
A'
C'
B'
A'
（续。