相似三角形的判定1(三边)

(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

三角形相似的5个判定方法
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

下面是五个判定方法来判断三角形是否相似：
1. AAA判定法，如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。

这意味着如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们是相似的。

2. AA判定法，如果两个三角形的一个角相等，并且它们的对应边成比例，那么它们是相似的。

这意味着如果两个三角形的两个角分别相等，并且它们的对应边成比例，那么它们是相似的。

3. SSS判定法，如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。

这意味着如果两个三角形的三条边分别成比例，那么它们是相似的。

4. SAS判定法，如果两个三角形的一个角相等，并且它们的两个对应边分别成比例，那么它们是相似的。

这意味着如果两个三角形的一个角相等，并且它们的两个对应边分别成比例，那么它们是相似的。

5. 直角三角形的判定法，如果一个三角形是直角三角形，且两个直角三角形的一个角相等，那么它们是相似的。

这意味着如果一个三角形是直角三角形，且两个直角三角形的一个角相等，那么它们是相似的。

这些判定方法可以帮助我们确定三角形是否相似，从而在几何学中应用相似三角形的性质。

通过这些方法，我们可以更好地理解和解决与相似三角形相关的问题。

相似三角形的判定 一、知识要点：要点1：相似三角形（1）如果两个三角形的三个角对应相等、三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形. 两个三角形相似，用符号“∽”表示，符号“∽”读作“相似于”（2）相似三角形的对应角相等、对应边成比例. 两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数），一般用k 表示，当1k =时，这两个相似三角形就成为全等三角形. 全等三角形是相似三角形的特例 要点2：相似三角形的传递性如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似. 要点3：相似三角形的判定定理（1）相似三角形的预备定理：平行与三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.（2）相似三角形的判定定理1：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两个三角形相似.（3）相似三角形的判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.二、例题讲解：例1：基础训练（1）已知△ABC 和△DEF,∠A=︒72,∠B=︒35,∠D=︒72,则当∠C 的对应角∠F= 度时,△ABC∽△DEF.（2）如图,D 是AB 上一点,且∠ACD=∠B,==ACADBC CD ，则32 . （3）如图,△ABC 中,AB⊥BC,DE⊥AC 于E,则 是相似三角形,理由是 .相关练习：1.在△ABC中,D、E分别AB、AC是上的点,若AD=2,BD=1，AE=3，则EC= 时,△ADE 与△ABC相似.2. 已知正方形ABCD，点E在CD上，且CE∶DE=1∶2，EF⊥EA交BC于点F，则EF∶EA= .3. 下列各组图形有可能不相似的是 ( )（A）各有一个角是︒45的两个等腰三角形（B）各有一个角︒60是的两个等腰三角形（C）各有一个角是︒105的两个等腰三角形（D）两个等腰直角三角形例2：如图，长方形EFGH内接于⊿ABC，E、H分别在AB、AC上，F、G在BC上，EH=2HG，AD⊥BC，交EH于点P，BC=10，AD=6,求长方形EFGH的面积。

(一)类似三角形之杨若古兰创作1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做类似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做类似三角形，即定义中的两个条件，缺一不成；②类似三角形的特征：外形一样，但大小纷歧定相等；③类似三角形的定义，可得类似三角形的基赋性质：对应角相等，对应边成比例．2、类似三角形对应边的比叫做类似比．①全等三角形必定是类似三角形，其类似比k=1．所以全等三角形是类似三角形的特例．其区别在于全等请求对应边相等，而类似请求对应边成比例．②类似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即类似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的类似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③类似比是一个主要概念，后继进修时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助类似三角形可观察得出．3、如果两个边数不异的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做类似多边形．4、类似三角形的豫备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形类似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号说话：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用类似三角形定义推导出来的三角形类似的判定定理．它不单本人有着广泛的利用，同时也是证实类似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“豫备定理”；③有了豫备定理后，在解题时不单要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想类似”．(二)类似三角形的判定1、类似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形类似.可简单说成：两角对应相等，两三角形类似.例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC ,求证：△ABC ∽△DEF. 判定定理2的夹角相等，那么这两个三角形类似.简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形类似． 例1、△ABC 中，点D 在AB 上，如果AC 2=AD •AB ，那么△ACD 与△ABC 类似吗？说说你的理由．例2、如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形.（1）当AC 、CD 、DB 满足如何的关系时，△ACP ∽△PDB ？（2）当△ACP ∽△PDB 时，求∠APB 的度数.判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形类似.简单说成：三边对应成比例，两三角形类似．强调：①有平行线时，用豫备定理；②已有一对对应角相等(包含隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．2、直角三角形类似的判定：A B CDE F 第4斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形类似．例1、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．例2、如图,AB⊥BD,CD⊥BD,P为BD上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P点在BD上由B点向D点活动时,PB的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形类似?请说明理由.例3、如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F，则图中类似三角形的对数有对.例4、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的耽误线交于一点N.求证：(1)△AME∽△NMD(2)ND2=NC·NB①因为直角三角形有一个角为直角，是以，在判定两个直角三角形类似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，普通不必判定定理3判定两个直角三角形类似；②如图是一个十分主要的类似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子类似三角形”，其利用较为广泛．（直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形类似）③如图，可简单记为：在Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ABC∽△CBD∽△ACD．④弥补射影定理.特殊情况：第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形类似.第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形类似.第三：有一个锐角相等的两个直角三角形类似.第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形类似.第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形类似.三角形类似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：二、重点难点疑点突破1、寻觅类似三角形对应元素的方法与技巧准确寻觅类似三角形的对应元素是分析与解决类似三角构成绩的一项基本功．通常有以下几种方法：(1)类似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；类似三角形中最大的角(或最小的角)必定是对应角；类似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2)类似三角形中，一对最长的边(或最短的边)必定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．（3）对应字母要写在对应的地位上，可直接得出对应边，对应角.2、罕见的类似三角形的基本图形：进修三角形类似的判定，要与三角形全等的判定比拟较，把证实三角形全等的思想方法迁移到类似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对类似三角形的判定思路要善于总结，构成一整套完好的判定方法．如：(1)“平行线型”类似三角形，基本图形见前图．“见平行，想类似”是解这类题的基本思路；(2)“订交线型”类似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；(3)“扭转型”类似三角形，如图．若图中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，则△ADE∽△ABC，该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A扭转某一角度而构成的．从基本图形入手能较顺利地找到解决成绩的思路和方法，能帮忙我们尽快地找到添加的辅助线．以上“平行线型”是罕见的，这类类似三角形的对应元素有较明显的顺序，“订交线型”识图较困难，解题时要留意从复杂图形平分解或添加辅助线构造出基本图形．练习：1、如图，以下每个图形中，存不存在类似的三角形，如果存在，把它们用字母暗示出来，并简要说明识此外根据.2、如图27-2-1-12,在大小为4×4的正方形方格中,△ABC的顶点A,B,C在单位正方形的顶点上,请在图中画一个△A1B1C1,使△A1B1C1∽△ABC(类似比不为1),且点A1,B1,C1都在单位正方形的顶点上.图27-2-1-121、寻觅类似三角形的个数例1、(吉林)将两块完好不异的等腰直角三角形摆成如图的模样，假设图形中所有点、线都在同一平面内，回答以下成绩：(1)图中共有多少个三角形？把它们逐个写出来；(2)图中有类似(不包含全等)三角形吗？如果有，就把它们逐个写出来．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接并耽误DE交BC的耽误线于点F，连接DC、BE，若∠BDE ＋∠BCE＝180°.⑴写出图中3对类似三角形（留意：不得添加字母和线）⑵请在你所找出的类似三角形中拔取1对，说明它们类似的理由.1、如图，在正方形网格上有6-⑥中与①类似的是.2、画符合请求的类似三角形例1、(上海)在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画出一个△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC(类似比不为1)，且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上．3、类似三角形的判定例1、(1)如图，O是△ABC内任一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，求证：△DEF∽△ABC；(2)如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，DF=3CF，写出图中所有类似三角形，并证实．例2、如图，在△ABC中，DF经过△ABC的重心G，且DF∥AB，FEDBACDE∥AC，连接EF，如果BC=5，AC=2AB.求证:△DEF∽△ABC4、直角三角形中类似的判定例1、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DE为AC的中线，耽误线交AB的耽误于F，求证：AB·AF=AC·DF.例2、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D，E是AC上一点，CF⊥BE于 F.求证：EB·DF=AE·DB5、类似三角形的综合应用例1、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于E，交AC耽误线于F．求证：(1)△ADF∽△EDB；(2)CD2=DE·DF．例2、如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD于E，CF ⊥AD于F．求证：．例3、如图，在正方形ABCD中，M、N分别是AB、BC上的点，BM=BN，BP⊥MC于点P．求证： PN⊥PD．6、类似三角形中辅助线的添加（1）、作垂线3. 如图从ABCD顶点C向AB和AD的耽误线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F（2）、作耽误线中，CD为斜边AB上的高，E为例1、如图，CD的中点，AE的耽误线交BC于F，证：（3）、作中线AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC例1、边上，若BD=DC=EC=1，求AC.练习：AC=BC，P是AB上一点，Q是1PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N2、由？3.(2009年湖北武汉)如图1（1（22值；（3值．B B A AC ED DE C OF 图1 图2 F。

相似三角形的定义和判定方法相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。

相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。

下面将依次介绍相似三角形的定义和判定方法。

1. 相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，且对应的边长成比例。

具体而言，对于三角形ABC和DEF来说，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=BC/EF=AC/DF，则称三角形ABC与三角形DEF相似。

2. 角-角-角（AAA）相似定理角-角-角（AAA）相似定理是指如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。

根据该定理，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。

3. 边-边-边（SSS）相似定理边-边-边（SSS）相似定理是指如果两个三角形的对应边长成比例，则这两个三角形是相似的。

根据该定理，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。

4. 边-角-边（SAS）相似定理边-角-边（SAS）相似定理是指如果两个三角形的两条边分别成比例，且夹角相等，则这两个三角形是相似的。

根据该定理，如果AB/DE=AC/DF，且∠A=∠D，则可以判定三角形ABC与三角形DEF是相似的。

总结：相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，且对应边的比值相等的情况下成为相似三角形。

相似三角形的判定方法包括角-角-角（AAA）相似定理、边-边-边（SSS）相似定理和边-角-边（SAS）相似定理。

通过这些判定方法，我们可以确定两个三角形是否相似，并且进一步分析它们的性质和关系。

相似三角形在几何学中具有重要的应用，可以用于解决各种问题，如比例求解、测距等。

以上是关于相似三角形的定义和判定方法的介绍。

相似三角形的几何性质和应用领域涉及广泛，深入理解和掌握相似三角形的定义和判定方法可以为几何学的研究和实际问题的解决提供有力的工具和方法。

相似三角形的判定方法
1、两角分别对应相等的两个三角形相似；
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
3、三边成比例的两个三角形相近；
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似；
5、用一个三角形的两边回去比另一个三角形与之相对应当的两边，分别对应成比例，如果三组对应边较之都相同，则三角形相近。

方法一:定理法，即平行于三角形一边的直线和其他俩边（或他的延长线）相交，所
截得的三角形与原三角形相似，俗话来讲就是一个大的三角形包含一个小的三角形，小的
三角形两边延长就成为了大三角形的两边；
方法二:俩角对应成正比的三角形相近，俗语来说先找出这两个三角形的对应边，间
接找到三角形三组对应角有俩组与成正比则相近；
方法三:两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，俗话来讲:先找到各对应边对应角，一一对应后会很方便。

两边对应成比例:两组对应边之比相等，即按同一种比法相比。

夹
角相等:即所成比例的两边之间的那个角相等；
方法四:三边对应成比例，俗语来说:如上均先找出对应边对应角，将其一一对应。

三边对应成比例:就是三组对应边之比相等，比法均一致；
认定五:只适用于于直角三角形:直角边和斜边对应成比例则这俩个三角形相近，俗语
来说俗语来说:某种程度上直角三角形一个直角边和一个斜边对应成比例也同时代表着另
外一个直角边也对应成比例。

三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。

二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。

第4讲相似三角形的判定（一）知识框架相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的定义、相似三角形判定定理1和相似三角形判定定理2；重点是根据已知条件灵活运用这两种判定定理，以及这两者之间的相互结合．4.1相似三角形判定定理11、相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，DE是ABC∆的中位线，那么在ADE∆与ABC∆中，A A∠=∠，ADE B∠=∠，AED C∠=∠；12AD DE AEAB BC AC===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE∆∽ABC∆，其中点A与点A、点D与点B、点E与点C分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．2、相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．如图，已知直线l与ABC∆的两边AB、AC所在直线分别交于点D和点E，则ADE△∽ABC△．知识精讲3、相似三角形判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．常见模型如下：例1. 根据下列条件判定ABC △与DEF △是否相似，并说明理由；如果相似，那么用符号表示出来．（1）70A D ∠=∠=︒，60B ∠=︒，50E ∠=︒；（2）40A ∠=︒，80B ∠=︒，80E ∠=︒，60F ∠=︒．例2. 如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ．图中 有哪几对相似三角形？例题分析例3. 如图，1=2=3∠∠∠，那么图中相似的三角形有哪几对？例4. 如图，D 、E 分别是ABC △的边AB 、AC 上的点，且AED B ∠=∠．求证：AE AC AD AB ⋅=⋅．例5. 如图，Rt ABC ∆在中，90C ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，且:9:4AD BD =，求:AC BC 的值．例6. 如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，AE AD ⊥交CB 延长线于点E ，则BAE △相似于．例7. 如图，90ACB CED ∠=∠=︒，CD AB ⊥于点D ，3AC =，4BC =，求ED 的长．例8. 如图，AB BD ⊥，ED BD ⊥，点C 在线段BD 上运动，1ED =，4BD =，4AB =，若ABC △与CDE △相似，求BC 的值．例9. 如图，ABC ∆是等边三角形，120DAE ∠=︒，求证AD AE AB DE =g g ．例10. 正方形ABCD 中，E 是AD 中点，BM CE ⊥于点M ，6AB =厘米，求BM 的长．例11. 如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，联结BO交AD 于点F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ．求证：ABF ∆∽COE ∆．例12. 如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点P 是ABC △内一点，且满足135APB APC ∠=∠=︒．求证：CPA ∆∽APB ∆．例13. 如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，且2AB CD =，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M ． （1）求证：EDM △∽FBM △；（2）若6DB =，求BM ．例14. 如图，在ABC △中，AB AC =，DE //BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且EDF ABE ∠=∠． （1）求证：DEF △∽BDE △；（2）DG DF DB EF ⋅=⋅．例15. 如图，已知ABC ∆、DEF ∆均为等边三角形，D 、E 分别在边AB 、BC 上，请找出一个与BDE ∆相似的三角形，并加以证明．例16. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OF BD ⊥于点O ，交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ．求证：2AO OE OF =⋅．例17. 如图，ABC △中，AB AC =，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF //AB ， 延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ．求证：2BP PE PF =⋅．例18. 如图，在ABC △中，12AB AC ==，6BC =，点D 在边AB 上，点E 在线段CD 上，且BEC ACB ∠=，BE 的延长线与边AC 相交于点F ． （1）求证：BE CD BD BC ⋅=⋅；（2）设AD x =，AF y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．4.2 相似三角形判定定理21、相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在ABC△与111A B C△中，1A A∠=∠，1111AB ACA B AC=，那么ABC△∽111A B C△．例1.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，2OA=，3OB=，6OC=，4OD=．求证：OAD△∽OBC△．例2.如图，点D是ABC∆的边AB上的一点，且2AC AD AB=⋅．求证：ACD△∽ABC△．知识精讲例题分析例3. 如图，在ABC △与AED △中，AB ACAE AD=，BAD CAE ∠=∠．求证：ABC △∽AED △．例4. 下列说法一定正确的是（ ）（A ）有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似； （B ）对应角相等的两个三角形不一定相似；（C ）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； （D ）一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似．例5. 在ABC △和DEF △中，由下列条件不能推出ABC ∆∽DEF ∆的是（ ）（A ）AB ACDE DF =，B E ∠=∠； （B ）AB AC =，DE DF =，B E ∠=∠； （C ）AB ACDE DF=，A D ∠=∠； （D ）AB AC =，DE DF =，C F ∠=∠． 例6. 如图，D 是ABC △内一点，E 是ABC △外一点，EBC DBA ∠=∠，ECB DAB ∠=∠，求证：BDE BAC ∠=∠．例7. 已知，在ABC △中，BE 、CF 是ABC ∆的两条高，BE 、CF 交于点G ．求证：（1）AC CE CF GC ⋅=⋅；（2）AFE ACB ∠=∠．例8. 如图，点O 是ABC △的垂心（垂心即三角形三条高所在直线的交点），联结AO 交CB 的延长线于点D ，联结CO 交的AB 延长线于点E ，联结DE ．求证：ODE △∽OCA △．例9. 如图，ABC △∽''AB C △，点'B 、'C 分别对应点B 、C ．求证：'ABB △∽'ACC △．例10. 如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，以M 为顶点作BMN MBC ∠=∠，MN交CD 于点N ，求证：2DNCN=．例11. 如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AD 是边BC 上的高，点E 在线段DC 上，EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F 、G ．求证：（1）EG CGAD CD=；（2）FD DG ⊥．例12. 如图，在ABC △中，正方形EFGH 内接于ABC ∆，点E 、F 在边AB 上，点G 、H 分别在BC 、AC 上，且2EF AE FB =⋅．求证：（1）90C ∠=︒；（2）AH CG AE FB ⋅=⋅．例13. 如图，PH 是Rt ABC ∆斜边AC 上的垂直平分线，垂直为点H ，并交直角边AB 于点P ，D 是PH 上一点，且AD 是AP 与AB 的比例中项．求证：（1）AP AB AH AC ⋅=⋅；（2）ACD △是等腰直角三角形．例14. 如图，16AB =厘米，12AC =厘米，动点P 、Q 分别以2厘米/秒和1厘米/秒的 速度同时开始运动，其中点P 从点A 出发沿AC 边一直移动到点C 为止，点Q 从点B 出发沿BA 边一直移动到点A 为止．经过多长时间后，APQ △与ABC △相似？4.3 课堂检测1. 根据下列条件，判断和是否是相似三角形；如果是，那么用符号表示出来．（1）45A ∠=︒，12cm AB =，15cm AC =，45D ∠=︒，16cm DE =，20cm DF =； （2）45A ∠=︒，12cm AB =，15cm AC =，45E ∠=︒，20cm ED =，16cm EF =； （3）45A ∠=︒，12cm AB =，15cm AC =，45D ∠=︒，16cm ED =，20cm EF =．2. 如图，在ABC ∆中，D 为边AC 上一点，DBC A ∠=∠，BC ，3AC =，则CD 的长为． 3. 如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，若6BC =，8AC =，则CD =．第2题图 第3题图4. 如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，且DE AC ⊥，那么:CD AD =________．5. 如图，ABC △是直角三角形，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，E 是AC 的中点，ED的延长线与CB 的延长线交于点F ．求证：FB FDFD FC=．6. 如图，在ABC △中，点E 在中线BD 上，DAE ABD ∠=∠．求证：（1）2AD DE DB =⋅；（2）DEC ACB ∠=∠．7. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，M 是边AB 的中点，E 、G 分别是边AC 、BC 上的一点，45EMG ∠=︒，AC 与MG 的延长线相交于点F ． （1）在不添加字母和线段的情况下，写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对； （2）联结EG ，当3AE =时，求EG 的长．8. 如图，在ABC △中，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，点E 在BD 的延长线上，BA BD BC BE ⋅=⋅． （1）求证：AE AD =；（2）如果点F 在BD 上，CF CD =，求证：2BD BE BF =⋅．4.4 课后作业1. 如图，在ABC △中，AB 3AC =，D 是边AC 上一点，且:1:2AD DC =， 联结BD ．求证：ABD ∆∽ACB ∆．2. 如图，ABC △中，P 为AB 上一点，在下列四个条件下，①ACP B ∠=∠；②APC ACB ∠=∠；③2AC AP AB =⋅；④AB CP AP CB ⋅=⋅，组合起来能得出：ABC ∆∽ACP △的是（） （A ）①、②、④ ； （B ）①、③、④； （C ）②、③、④ ； （D ）①、②、③．3. 如图，在ABC △中，15AB =厘米，12AC =厘米，AD 是BAC ∠的外角平分线，DE //AB 交AC 的延长线于点E ，求CE 的长．4. 如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，45DAE ∠=︒．求证：（1）ABE △∽DCA △；（2）22BC BE CD =⋅．5. 如图，ABC △中，AB AC =，点D 是AB 上的动点，作EDC △∽ABC △．求证：（1）ACE ∆∽BCD ∆；（2）AE //BC ．6. 如图，在ABC △中，AB AC =，AD AB ⊥于点A ，交BC 边于点E ，DC BC ⊥于 点C ，与AD 交于点D ．（1）求证：ACE △∽ADC △；（2）如果1CE =，2CD =，求AC 的长．7. 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB CD BC ==．点M 为边BC 的中点，以点M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交边AB 于点E ，射线MF 交边CD 于点F ，联结EF ．指出图中所有与BEM ∆相似的三角形，并加以证明．。

相似三角形定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似。

两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似(如正四边形、正五边形等等)；性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。

相似比为k。

判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．直角三角形相似判定定理:1)斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA(在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用).补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

ABCDDABCDABCEAB C D E推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

相似三角形的判定方法相似三角形是指具有相同形状但是尺寸不同的三角形。

在几何学中，判定两个三角形是否相似是一个重要的问题。

本文将介绍相似三角形的判定方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、AAA判定法AAA（全等的英文首字母）判定法是判定相似三角形常用的方法之一。

根据AAA原理，如果两个三角形的对应角度分别相等，则可以判定它们为相似三角形。

换句话说，如果两个三角形的三个角均对应相等，则这两个三角形相似。

例如，已知三角形ABC与三角形DEF，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，则可以判定三角形ABC与三角形DEF为相似三角形。

二、AA判定法AA（对应角的英文首字母）判定法也是常用的判定方法之一。

根据AA原理，如果两个三角形的两个对应角度分别相等，则可以判定它们为相似三角形。

换句话说，如果两个三角形的两个角对应相等，则这两个三角形相似。

例如，已知三角形ABC与三角形DEF，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则可以判定三角形ABC与三角形DEF为相似三角形。

三、SAS判定法SAS（边角边的英文缩写）判定法也是常用的判定方法之一。

根据SAS原理，如果两个三角形的一个角度相等，且两边成比例，则可以判定它们为相似三角形。

换句话说，如果两个三角形的一个角相等，且两边的比例相等，则这两个三角形相似。

例如，已知三角形ABC与三角形DEF，若∠A＝∠D，且AB/DE＝AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF为相似三角形。

四、SSS判定法SSS（边边边的英文缩写）判定法是判定相似三角形常用的方法之一。

根据SSS原理，如果两个三角形的三边成比例，则可以判定它们为相似三角形。

换句话说，如果两个三角形的三边比例相等，则这两个三角形相似。

例如，已知三角形ABC与三角形DEF，若AB/DE＝BC/EF＝AC/DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF为相似三角形。

五、比例法判定法比例法判定法是判定相似三角形的常用方法之一。