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(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形知识点总结知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C /。
相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点3、平行线分线段成比例定理1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a bc da b c d a d b c a c ()b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质：①基本性质：a bc dadbc ②合比性质：±±a b c d a b b c d d③等比性质：……≠……a bc dm nb dn a c m bdna b()03. 平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知l1∥l2∥l3,A D l1B E l2CF l3可得EF BC DEAB DFEF ACBC DFEF ABBC DFDE ACAB EFDE BCAB或或或或等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EBC由DE ∥BC 可得：AC AEABAD EAEC ADBD ECAE DBAD 或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 知识点4：相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点5：相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的判定【知识梳理】1.相似三角形的概念：如果两个三角形的三个角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形2.相似比：相似三角形对应边的比叫相似比，如果两个三角形的相似比为1，则这两个三角形是全等三角形3.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
4.相似三角形判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似5.相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似6.相似三角形判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似7.直角三角形相似的判定定理：斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似【例题剖析】【例1】在ABC ∆和'''C B A ∆中，有下列条件（1）''''C B BC B A AB =，(2) ''''C B BCC A AC =， (3) '∠=∠A A ，(4) 'C C ∠∠=，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断ABC ∆∽'''C B A ∆的共有几组（ ）A. 5组B. 4组C. 3组D. 2组【例2】下列命题：（1）三边对应边成比例的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似；（3）一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；（4）一个角对应相等的两个等腰三角形相似．其中正确的是（ ）A. (1)(3)B. (1)(4)C. (1)(2)(4)D. (1)(3)(4)【例3】如图,矩形ABCD 是由三个正方形ABEG ,GEFH ,HFCD 组成的, 证明：AEF ∆∽AEC ∆笔记 思考【例4】 已知：如图，在ABC ∆中，CE BD ,分别是AB AC ,边上的高．求证：ABD ∆∽ACE ∆【例5】如图，已知AEACDE BC AD AB ==，试说明CAE BAD ∠=∠【经典习题】（A ）组1.下列各组条件中，不能判定△ABC 和△A 1B 1C 1相似的是（ ）A.11B A AB ＝11C B BC ，∠A ＝∠A 1 B. 11B A AB ＝11C B BC ＝11C A ACC. ∠C ＝∠C 1，11C B BC ＝11C A ACD. ∠B ＝∠B 1，∠C ＝∠C 12.下列命题中，正确的是（ ）A. 所有的矩形都相似B. 所有的直角三角形都相似C. 有一个角是100°的所有等腰三角形都相似D. 有一个角是50°的所有等腰三角形都相似 3.下列命题中，真命题是（ ）A. 所有直角三角形都相似B. 所有等腰三角形都相似C.所有等腰直角三角形都相似D. 所有菱形都相似笔记 思考4.如图，点D 是ABC ∆边AC 上一点，满足∠CBD ＝∠A ，则（ ）A. △CBD ∽△BADB. △CBD ∽△CABC.△ABD ∽△ACBD. 图中没有相似三角形 5.下列命题一定正确的是（ ）A. 两个等腰三角形一定相似B. 两个等边三角形一定相似C.两个直角三角形一定相似D. 两个含有30°角的三角形一定相似 6.下列说法正确的是（）A. 相似三角形是全等三角形B.不相似的三角形可能是全等三角形C.不全等的三角形不是相似三角形 D ．全等三角形是相似三角形的特例． 7. 如图，在ABC ∆中，90BAC °∠=，AD BC ⊥，垂足为点D ，ABC ∠的平分线分别交AD .AC 于点E .F ，连结DF ，下列结论中错误的是（ ）A. ABD ∆∽ADC ∆B.BDF ∆∽DFA ∆C.BDE ∆∽BAF ∆D.ABE ∆∽CBF ∆8. 下列两个三角形不一定相似的是（ ）A. 有一个角为60°的两个等腰三角形B. 有一个角为80°的两个等腰三角形C.有一个角为90°的两个等腰三角形D. 有一个角为100°的两个等腰三角形9. 如图，已知△ABC 是直角三角形，∠C=90°，DA ⊥AB ．欲使△ABC 与△DBA 相似，除了添加角上的条件如∠ABC=∠DBA 外，还可添加一个边上的条件是 ．（只需填写一个你认为符合要求的条件）（B ） 组10. 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线．过点M 作CM 的垂线与AC 和CB 的延长线分别交于点D 和点E ，求证：△CDM ∽△ABCCBAD笔记 思考11. 已知：如图,△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，点E.F 是AB 边所在直线上的两点，且∠ECF ＝135° （1）求证：△ECA ∽△CFB（2）若AE ＝3，设AB ＝x ，BF ＝y ，求 y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域12.如图，在ABC ∆中，90CAB °∠=，CFG B ∠=∠，过点C 作CE AB ∥，交CAB ∠的平分线AD 于点E（1）不添加字母，找出图中所有相似的三角形，并证明（2）证明：FC ADCG ED=(C)组13.已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，以点B 为圆心，BD 长为半径画弧，交AD 于点E ．求证：AB AD AC AE ⋅=⋅ABCDE 笔记 思考14.已知：如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，∠A=36º，AC=BC ，AC 2=AB·AD ．求证：（1）△ABC ∽△CAD ；（2）△BCD 是等腰三角形．15.如图，在直角坐标系内，A （0，6），B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P.Q 移动的时间为t 秒。
相似三角形的判定口诀
两角对应相等，两个三角形相似。
两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
三边对应成比例，两个三角形相似。
三边对应平行，两个三角形相似。
斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
)
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)
4.两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
(简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
)
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
)
6.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似(相似比为1：1)。
(简叙为：全等三角形相似)。
三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
专题11 相似三角形及其判定知识网络重难突破知识点相似三角形的判定一、相似三角形的判定方法①定义：各角对应相等，各边对应成比例．②平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．③有两个角对应相等．④两边对应成比例，且夹角相等．⑤三边对应成比例．二、相似三角形基本图形1、8字型有一组隐含的等角(对顶角)，此时需从已知条件或图中隐含条件通过证明得另一对角相等(AB、CD不平行，∠A＝∠C)(AB∥CD)2.A字型有一个公共角(图①、图②)或角有公共部分(图③，∠DAF＋∠BAD＝∠DAF＋∠EAF)，此时需要找另一对角相等或相等角的两边对应成比例3.双垂直型有一个公共角及一个直角 (图①为母子型的特殊形式AC2＝AD·AB仍成立，另CD2＝AD·BD)4.三垂直型结论推导，如图①，∠D＋∠DBA＝∠E＋∠EBC＝∠DBA＋∠EBC＝90°，∴∠EBC＝∠D，∠E＝∠DBA，且一组直角相等，用任意两组等角即可证得三角形相似【典例1】（2019秋•保山期末）如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③【点拨】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【解析】解：当∠ACP＝∠B，∵∠A＝∠A，所以△APC∽△ACB；当∠APC＝∠ACB，∵∠A＝∠A，所以△APC∽△ACB；当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC，∵∠A＝∠A所以△APC∽△ACB；当AB•CP＝AP•CB，即PC：BC＝AP：AB，而∠P AC＝∠CAB，所以不能判断△APC和△ACB相似．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．【典例2】如图，BD、CE是△ABC的两条高，AM是∠BAC的平分线，交BC于M，交DE于N，求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）＝．【点拨】（1）先根据有两组角对应相等的两个三角形相似，判定△ABD∽△ACE；（2）先相似三角形的性质，得出＝，再根据∠DAE＝∠BAC，判定△ADE∽△ABC，进而得到＝，再根据∠CAM＝∠EAN，判定△ACM∽△AEN，得到＝，最后等量代换即可得到＝．【解析】证明：（1）∵BD、CE是△ABC的两条高，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵∠DAE＝∠BAC，∴△ABD∽△ACE；（2）∵△ABD∽△ACE，∴＝，即＝，又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，且∠ACB＝∠AED，∵AM是∠BAC的平分线，∴∠CAM＝∠EAN，∴△ACM∽△AEN，∴＝，∴＝．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：有两组角对应相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．【典例3】（2019秋•七里河区期末）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE边BE的高即可求解；（2）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可．【解析】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G如图∴DF∥AG，＝∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，∴＝解得DF＝（10﹣t）∵S△BDE＝BE•DF＝7.5∴（10﹣t）•t＝15解得t＝5．答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．（2）存在．理由如下：①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA，∴＝即＝，解得t＝，②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC，＝即＝，解得t＝．答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．【变式训练】1．（2020•浙江自主招生）如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【点拨】根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得．【解析】解：第1个网格中两个三角形对应边的比例满足＝＝，所以这两个三角形相似；第2个网格中两个三角形对应边的比例＝＝，所以这两个三角形相似；第3个网格中两个三角形对应边的比例满足＝＝＝，所以这两个三角形相似；第4个网格中两个三角形对应边的比例＝＝，所以这两个三角形相似；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定并根据网格结构判断出三角形的三边的比例是解题的关键2．（2019秋•奉化区期末）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（）A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP【点拨】由相似三角形的判定依次判断可求解．【解析】解：∵∠CPD＝∠A＝∠B，且∠APD＝∠B+∠PFB＝∠APC+∠CPD，∴∠APC＝∠BFP，且∠A＝∠B，∴△APG∽△BFP，故选项C不合题意，∵∠A＝∠CPD，∠D＝∠D，∴△APD∽△PGD，故选项B不合题意，∵∠B＝∠CPD，∠C＝∠C，∴△PCF∽△BCP，故选项D不合题意，由条件无法证明△CGE∽△CBP，故选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，牢固掌握相似三角形的判定是本题的关键．3．（2019秋•萧山区期末）如图，∠ACB＝∠BDC＝90°．要使△ABC∽△BCD，给出下列需要添加的条件：①AB∥CD；②BC2＝AC•CD；③，其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【点拨】利用相似三角形的判定依次判断即可求解．【解析】解：①若AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，且∠ACB＝∠BDC＝90°，∴△ABC∽△BCD，故①符合题意；②若BC2＝AC•CD，∴，且∠ACB＝∠BDC＝90°，无法判定△ABC∽△BCD，故②不符合题意；③若，且∠ACB＝∠BDC＝90°，∴△ABC∽△BCD，故③符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，灵活掌握相似三角形的判定方法是本题的关键．4．（2019秋•新华区校级月考）如图，四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形，图中与△HBC相似的三角形为（）A．△HBD B．△HCD C．△HAC D．△HAD【点拨】设正方形ABGH的边长为1，先运用勾股定理分别求出HB、HC的长，将其三边按照从大到小的顺序求出比值，再分别求出四个选项中每一个三角形三边的比值，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似求解即可．【解析】解：设正方形ABGH的边长为1，运用勾股定理得HB＝，HC＝，则HC：HB：BC＝：：1．A、∵HB＝，BD＝2，HD＝，∴HD：BD：HB＝：2：＝：：1，∴HC：HB：BC＝HD：BD：HB，∴△HBC∽△DBH，故本选项正确；B、∵HC＝，CD＝1，HD＝，∴HD：HC：CD＝：：1，∴HC：HB：BC≠HD：HC：CD，∴△HBC与△HCD不相似，故本选项错误；C、∵HA＝1，AC＝2，HC＝，HC：AC：HA＝：2：1，∴HC：HB：BC≠HC：AC：HA，∴△HBC与△HAC不相似，故本选项错误；D、∵HA＝1，AD＝3，HD＝，HD：AD：HA＝：3：1，∴HC：HB：BC≠HD：AD：HA，∴△HBC与△HAD不相似，故本选项错误．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，判定两个三角形相似的一般方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．本题还可以利用方法（3）进行判定．5．（2018秋•秀洲区期末）如图，点D在△ABC的边AC上，若要使△ABD与△ACB相似，可添加的一个条件是∠ABD＝∠C（答案不唯一）（只需写出一个）．【点拨】两组对应角相等，两三角形相似．在本题中，两三角形共用一个角，因此再添一组对应角即可【解析】解：要使△ABC与△ABD相似，还需具备的一个条件是∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC等．故答案为：∠ABD＝∠C（答案不唯一）．【点睛】此题考查了相似三角形的判定．注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．6．（2019秋•崇川区校级月考）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，BC＝3，AD＝2，在边AB上取点P，使得△P AD与△PBC相似，则满足条件的AP长为 2.8或1或6．【点拨】根据相似三角形的性质分两种情况列式计算：①若△APD∽△BPC②若△APD∽△BCP．【解析】解：∵∠A＝∠B＝90°①若△APD∽△BPC则＝∴＝解得AP＝2.8．②若△APD∽△BCP则＝∴＝解得AP＝1或6．∴则满足条件的AP长为2.8或1或6．故答案为：2.8或1或6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，明确相关判定与性质及分类讨论，是解题的关键．7．（2019秋•临安区期末）如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F，＝，且∠BAD＝∠CAE．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）求证：△AEF∽△BCF．【点拨】（1）根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质定理得到∠C＝∠E，结合图形，证明即可．【解析】（1）∵∠BAD＝∠CAE∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD即∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中＝，∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE；（2）∵△ABC∽△ADE，∴∠C＝∠E、在△AEF和△BFC中，∠C＝∠E，∠AFE＝∠BFC，∴△AEF∽△BCF．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8．（2019春•广陵区校级月考）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，并请说明理由．【点拨】（1）理由等角的余角相等证明∠MBA＝∠NMC，然后根据直角三角形相似的判定方法可判断Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）利用勾股定理可得到AM＝2，由于Rt△ABM∽Rt△MCN，利用相似比可计算出MN＝，接着证明＝，从而可判断Rt△ABM∽Rt△AMN．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵AM⊥MN，∴∠AMN＝90°，∴∠AMB+∠NMC＝90°，而∠AMB+∠MAB＝90°，∴∠MBA＝∠NMC，∴Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）解：当M点运动到BC为中点位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN．理由如下：，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝4，BM＝MC＝2，∴AM＝2，∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴＝＝2，∴MN＝AM＝，∵＝＝，＝＝，∴＝，而∠ABM＝∠AMN＝90°，∴Rt△ABM∽Rt△AMN．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了正方形的性质．巩固训练1．（2019•崇明区一模）如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE 的是（）A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝D．＝【点拨】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【解析】解：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC，∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．2．（2020•上虞区校级一模）已知△ABC是正三角形，点D是边AC上一动点（不与A、C重合），以BD为边作正△BDE，边DE与边AB交于点F，则图中一定相似的三角形有（）对．A．6 B．5 C．4 D．3【点拨】根据相似三角形的判定定理，两个等边三角形的3个角分别相等，可推出△ABC∽△EDB，根据对应角相等推出△BDC∽△BFE∽△DF A．△BDF∽△BAD．【解析】解：图中的相似三角形是△ABC∽△EDB，△BDC∽△BFE，△BFE∽△DF A，△BDC∽△DF A，△BDF∽△BAD．理由：∵△ABC和△BDE是正三角形，∴∠A＝∠C＝∠ABC＝60°，∠E＝∠BDE＝∠EBD＝60°，∴△ABC∽△EDB，可得∠EBF＝∠DBC，∠E＝∠C，∴△BDC∽△BFE，∴∠BDC＝∠BFE＝∠AFD，∴△BDC∽△DF A，∴△BFE∽△DF A，∵∠DBF＝∠ABD，∠BDF＝∠BAD，∴△BDF∽△BAD．故选：B．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理及有关性质的运用，关键在于根据图中两个等边三角形，找出相关的相等关系，然后结合已知条件，得出结论．3．（2019秋•市中区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝4，D为BC的中点，E为AB 上的动点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜12），连接DE，当△BDE与△ABC相似时，t的值为4或7或9．【点拨】由条件可求得AB＝8，可知E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，当△BDE为直角三角形时，当∠EDB＝90°或∠DEB＝90°，得出△BDE和△ABC相似，可求得BE的长，则可求得t的值．【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4，∴AB＝2BC＝8，∵D为BC中点，∴BD＝2，∵0≤t＜12，∴E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，按运动时间分为0≤t≤8和8＜t＜12两种情况，①当0≤t≤8时，AE＝t，BE＝BC﹣AE＝8﹣t，当∠EDB＝90°时，则有AC∥ED，∴△BDE∽△BCA，∵D为BC中点，∴E为AB中点，此时AE＝4，可得t＝4；当∠DEB＝90°时，∵∠DEB＝∠C，∠B＝∠B，∴△BED∽△BCA，∴，即，解得t＝7；②当8＜t＜12时，则此时E点又经过t＝7秒时的位置，此时t＝8+1＝9；综上可知t的值为4或7或9，故答案为：4或7或9．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，用t表示出线段的长，化动为静，再根据相似三角形的对应边成比例找到关于t的方程是解决这类问题的基本思路．4．（2019秋•海淀区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，连结AD，BD，其中BD与AC 交于点E．写出图中所有与△ADE相似的三角形：△CBE，△BDA．【点拨】根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断．【解析】解：∵＝，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠DAE＝∠DBC，∴∠DAE＝∠ABD，∵∠ADE＝∠ADB，∴△ADE∽△BDA，∵∠DAE＝∠EBC，∠AED＝∠BEC，∴△AED∽△BEC，故答案为△CBE，△BDA．【点睛】本题考查相似三角形的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．（2020•成都模拟）如图，BC是⊙O的弦，A是劣弧BC上一点，AD⊥BC于D，若AB+AC＝10，⊙O的半径为6，AD＝2，则BD的长为2或4．【点拨】作直径AE，连接CE，证明△ABD∽△AEC，得，设AB＝x，则AC＝10﹣x，列方程可得AB的长，最后利用勾股定理可解答．【解析】解：作直径AE，连接CE，∴∠ACE＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠ACE，∵∠B＝∠E，∴△ABD∽△AEC，∴，设AB＝x，则AC＝10﹣x，∵⊙O的半径为6，AD＝2，∴，解得：x1＝4，x2＝6，当AB＝4时，BD＝＝＝2，当AB＝6时，BD＝＝＝4，∴BD的长是2或4；故答案为：2或4．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，正确作辅助线，构建相似三角形是本题的关键．6．（2020•雨花区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，AC＝3，BC＝4，且AC＝AD，弦CD交直径AB于点E．（1）求证：△ACE∽△ABC；（2）求弦CD的长．【点拨】（1）由垂径定理可知∠AEC＝90°，然后根据相似三角形的判定即可求出答案．（2）根据相似三角形的性质可知AC2＝AE•AB，从而可求出AE＝，再由勾股定理以及垂径定理即可求出CD的长度．【解析】解：（1）∵AC＝AD，AB是⊙O的直径，∴CD⊥AB，∴∠AEC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BAC＝∠BAC+∠B＝90°，∴∠ACE＝∠B，∴△ACE∽△ABC．（2）由（1）可知：，∴AC2＝AE•AB，∵AC＝3，BC＝4，∴由勾股定理可知：AB＝5，∴AE＝，∴由勾股定理可知：CE＝，∴由垂径定理可知：CD＝2CE＝．【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，本题属于中等题型．7．（2018秋•姜堰区校级月考）如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交于点F，＝＝．（1）求证：∠BAD＝∠CAE；（2）若∠BAD＝21°，求∠EBC的度数：（3）若连接EC，求证：△ABD∽△ACE．【点拨】（1）根据相似三角形的性质定理得到∠BAC＝∠DAE，结合图形，证明即可；（2）根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解析】（1）证明：∵＝＝．∴△ABC～△ADE；∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAF＝∠DAE﹣∠DAF，即∠BAD＝∠CAE；（2）解：∵△ABC～△ADE，∴∠ABC＝∠ADE，∵∠ABC＝∠ABE+∠EBC，∠ADE＝∠ABE+∠BAD，∴∠EBC＝∠BAD＝21°；（3）证明：连接CE，∵△ABC～△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAF＝∠DAE﹣∠DAF，即∠BAD＝∠CAE，∵＝．∴△ABD∽△ACE．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8．（2019秋•江阴市期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）试探究t为何值时，△BPQ的面积是cm2；（3）直接写出t为何值时，△BPQ是等腰三角形；（4）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，直接写出t的值．【点拨】（1）由勾股定理可求AB的长，分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；（2）过点P作PE⊥BC于E，由平行线分线段成比例可得PE＝3t，由三角形的面积公式列出方程可求解；（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解；（4）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．【解析】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝＝10cm，∵△BPQ与△ABC相似，且∠B＝∠B，∴或，当时，∴，∴t＝1，当，∴，∴t＝；（2）如图1，过点P作PE⊥BC于E，∴PE∥AC，∴，∴PE＝＝3t，∴S△BPQ＝×（8﹣4t）×3t＝，∴t1＝或t2＝；（3）①当PB＝PQ时，如图1，过P作PE⊥BQ，则BE＝BQ＝4﹣2t，PB＝5t，由（2）可知PE＝3t，∴BE＝＝＝4t，∴4t＝4﹣2t，∴t＝②当PB＝BQ时，即5t＝8﹣4t，解得：t＝，③当BQ＝PQ时，如图2，过Q作QG⊥AB于G，则BG＝PB＝t，BQ＝8﹣4t，∵△BGQ∽△ACB，∴，∴解得：t＝．综上所述：当t＝或或时，△BPQ是等腰三角形；（3）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图3所示：则PB＝5t，∵AC⊥BC∴△PMB∽△ACB，∴＝∴BM＝4t，PM＝3t，且BQ＝8﹣4t，BC＝8，∴MC＝8﹣4t，CQ＝4t，∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM，∵∠ACQ＝∠PMC，∴△ACQ∽△CMP，∴，∴∴t＝【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．。
相似三角形定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似(如正四边形、正五边形等等)；性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。
相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。
如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。
相似比为k。
判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
②相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．直角三角形相似判定定理:1)斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA(在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用).补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
ABCDDABCDABCEAB C D E推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
