三角形的三线及面积(等分点转移面积)(人教版)

三角形地三线及面积（等分点转移面积）（人教版）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，AC地中点，且，则△DEF 地面积为( )A.1B.2C.4D.8答案：B解题思路：试卷难度：三颗星知识点：等分点转移面积2.如图，AD是△ABC地边BC上地中线，点E在AD上，AE=2DE，若△ABE地面积是4，则△ABC地面积是( )A.8B.10C.12D.15答案：C解题思路：试卷难度：三颗星知识点：等分点转移面积3.如图，在△ABC中，点D是BC上地一点，点E是AD上地一点，若BD：CD=2：3，DE：AE=1：4，△ABC地面积是8，则△DEC地面积为( )A. B.1C. D.答案：A解题思路：试卷难度：三颗星知识点：等分点转移面积4.如图，点D在BC上，点E在AD上，且BD=CD，，若△ABE地面积是6，则△ABC地面积为( )A.6B.12C.18D.24答案：C解题思路：试卷难度：三颗星知识点：等分点转移面积5.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若S△AOD=5，S△COD=4，S△COB=16，则四边形ABCD地面积为( )A.20B.35C.41D.45答案：D解题思路：试卷难度：三颗星知识点：等分点转移面积6.如图，在△ABC中，已知D，E分别是边BC，AD上一点，点F是CE地中点，且，，若，则阴影部分地面积为( )A.1B.2C. D.答案：A解题思路：试卷难度：三颗星知识点：等分点转移面积7.如图，在△ABC中，E是BC边上地一点，D是AC地中点，AE与BD交于点F，且，若，则下列说法错误地是( )A.CE：BE=4:1B.C. D.答案：C解题思路：试卷难度：三颗星知识点：等分点转移面积8.如图，设E，F分别是△ABC地边AC，AB上地点，线段BE，CF交于点D．若△BDF，△BCD，△CDE地面积分别是6，14，14，则下列说法正确地是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试卷难度：三颗星知识点：等分点转移面积。

11.12 三角形三线应用专题教案 2022-2023学年人教版八年级数学上册一、教学目标1.理解三角形三线的概念及其应用场景。

2.掌握三角形三线的性质和定理。

3.能够利用三角形三线解决相关问题。

二、教学内容1.三角形三线的概念和组成部分。

2.三角形的中位线、高线、角平分线的定义和性质。

3.利用三角形三线解决实际问题。

三、教学过程步骤一：导入新知识1.在黑板上绘制一个三角形ABC，并画出其三条三线（中位线、高线、角平分线）。

2.引导学生观察和思考，让他们尝试猜测三线的性质和应用场景。

步骤二：学习三线的定义和性质1.学生自主阅读教材相关内容，了解三线的定义和组成部分。

2.教师给出三线的性质和定理，并通过具体的例子进行解释和说明。

–中位线：连接一个三角形两个顶点的中点，并平分第三个顶点的边。

–高线：从一个顶点引垂直于对边的线段。

–角平分线：从一个角的顶点引线段，使其等分两个邻角。

步骤三：学习三线的应用1.举例说明三线在实际问题中的应用。

–中位线：可以用来证明三角形的一个内角等于另两个内角之和。

–高线：可以用来证明三角形的两条边的比例关系。

–角平分线：可以用来证明三角形的一个内角等于另一个内角的两倍。

2.给学生一些练习题，让他们应用三线的性质解决问题。

步骤四：小结和拓展1.教师对本节课的内容进行小结，并强调三线的重要性和应用。

2.鼓励学生阅读相关的数学书籍或文献，进一步了解三线的应用领域。

四、教学评价与反馈1.教师观察学生在课堂上的表现，包括积极参与讨论、解题能力等，进行课堂评价。

2.教师布置相关习题作业，并及时批改并给予反馈，帮助学生巩固所学内容。

五、教学资源1.教材：人教版八年级数学上册。

2.课件：展示三角形三线的定义、性质以及应用场景。

3.黑板、粉笔。

六、教学反思本节课采用了导入新知识、学习三线的定义和性质、学习三线的应用、小结和拓展的教学方法。

通过引导学生观察、思考和运用所学知识解决问题，培养他们的逻辑思维和解决实际问题的能力。

三角形几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）1．三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（如图）AB CD几何表达式举例：(1) ∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD(2) ∵∠BAD=∠CAD∴AD是角平分线2．三角形的中线定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.（如图）AB CD几何表达式举例：(1) ∵AD是三角形的中线∴BD = CD(2) ∵BD = CD∴AD是三角形的中线3．三角形的高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.（如图）AB CD几何表达式举例：(1) ∵AD是ΔABC的高∴∠ADB=90°(2) ∵∠ADB=90°∴AD是ΔABC的高※4．三角形的三边关系定理：几何表达式举例：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.（如图）AB C(1) ∵AB+BC＞AC∴……………(2) ∵AB-BC＜AC∴……………5．等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. （如图）AB C几何表达式举例：(1) ∵ΔABC是等腰三角形∴AB = AC(2) ∵AB = AC∴ΔABC是等腰三角形6．等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形. （如图）AB C几何表达式举例：(1)∵ΔABC是等边三角形∴AB=BC=AC(2) ∵AB=BC=AC∴ΔABC是等边三角形7．三角形的内角和定理及推论：（1）三角形的内角和180°；（如图）（2）直角三角形的两个锐角互余；（如图）（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（如图）几何表达式举例：(1) ∵∠A+∠B+∠C=180°∴…………………※（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.（1） （2） （3）（4）(2) ∵∠C=90° ∴∠A+∠B=90°(3) ∵∠ACD=∠A+∠B ∴………………… (4) ∵∠ACD ＞∠A ∴…………………8．直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫直角三角形.（如图）ABC几何表达式举例： (1) ∵∠C=90° ∴ΔABC 是直角三角形 (2) ∵ΔABC 是直角三角形 ∴∠C=90°9．等腰直角三角形的定义： 两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.（如图）ABC几何表达式举例： (1) ∵∠C=90° CA=CB∴ΔABC 是等腰直角三角形(2) ∵ΔABC 是等腰直角三角形∴∠C=90° CA=CB10．全等三角形的性质： 几何表达式举例：DAB CABCABC（1）全等三角形的对应边相等；（如图） （2）全等三角形的对应角相等.（如图）(1) ∵ΔABC ≌ΔEFG ∴ AB = EF ……… (2) ∵ΔABC ≌ΔEFG∴∠A=∠E ……… 11．全等三角形的判定：“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”“HL ”. （如图）（1）（2）（3）几何表达式举例： (1) ∵ AB = EF ∵ ∠B=∠F又∵ BC = FG ∴ΔABC ≌ΔEFG (2) ………………(3)在Rt ΔABC 和Rt ΔEFG 中∵ AB=EF 又∵ AC = EG ∴Rt ΔABC ≌Rt ΔEFG12．角平分线的性质定理及逆定理： （1）在角平分线上的点到角的两边距离相等；（如图）（2）到角的两边距离相等的点在角A O BCDE几何表达式举例： (1)∵OC 平分∠AOB 又∵CD ⊥OA CE ⊥OB ∴ CD = CEABCGEFABCGEFA BCEFG平分线上.（如图）(2) ∵CD⊥OA CE⊥OB又∵CD = CE∴OC是角平分线13．线段垂直平分线的定义：垂直于一条线段且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.（如图）A BEFO几何表达式举例：(1) ∵EF垂直平分AB∴EF⊥AB OA=OB(2) ∵EF⊥AB OA=OB∴EF是AB的垂直平分线14．线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（如图）（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（如图）A BCMNP几何表达式举例：(1) ∵MN是线段AB的垂直平分线∴PA = PB(2) ∵PA = PB∴点P在线段AB的垂直平分线上15．等腰三角形的性质定理及推论：（1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如图）（2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”几何表达式举例：(1) ∵AB = AC ∴∠B=∠C三线合一；（如图）（3）等边三角形的各角都相等，并且都是60°.（如图）AB C（1）AB CD （2）ABC（3）(2) ∵AB = AC 又∵∠BAD=∠CAD ∴BD = CDAD ⊥BC ………………(3) ∵ΔABC 是等边三角形 ∴∠A=∠B=∠C =60°16．等腰三角形的判定定理及推论： （1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等；（即等角对等边）（如图）（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图）（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（如图） （4）在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半.（如图）AB C（1）ABC（2）（3）ABC（4）几何表达式举例：(1) ∵∠B=∠C ∴ AB = AC (2) ∵∠A=∠B=∠C∴ΔABC 是等边三角形 (3) ∵∠A=60° 又∵AB = AC∴ΔABC 是等边三角形 (4) ∵∠C=90°∠B=30°∴AC =21AB17．关于轴对称的定理几何表达式举例：EFMO ABCNG（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（如图）（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.（如图）(1) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称∴ΔABC≌ΔEGF(2) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称∴OA=OE MN⊥AE18．勾股定理及逆定理：（1）直角三角形的两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2；（如图）（2）如果三角形的三边长有下面关系: a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.（如图）ABC几何表达式举例：(1) ∵ΔABC是直角三角形∴a2+b2=c2(2) ∵a2+b2=c2∴ΔABC是直角三角形19．RtΔ斜边中线定理及逆定理：（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半；（如图）（2）如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角DABC几何表达式举例：∵ΔABC是直角三角形∵D是AB的中点∴CD = 21AB(2) ∵CD=AD=BD三角形.（如图） ∴ΔABC 是直角三角形几何B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题） 一 基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数. 二 常识：1．三角形中，第三边长的判断： 另两边之差＜第三边＜另两边之和.2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD ⊥AB ，BE ⊥CA ，则CD ·AB=BE ·CA.4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和. 6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形. 7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：A BCEDA BCD 12（1）AC·CB=CD·AB ；（2）∠1=∠B ，∠2=∠A .8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.10．等边三角形是特殊的等腰三角形.11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.12．符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.15．会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.※18．几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则： ① 构造特殊图形，使可用的定理增加； ② 一举多得；③ 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角； ④ 作辅助线必须符合几何基本作图. （2）已知角平分线.（若BD 是角平分线）① 在BA 上截取BE=BC 构造全等，转移线段和角；② 过D 点作DE ∥BC 交AB 于E ，构造等腰三角形 .（3）已知三角形中线（若AD 是BC 的中线）① 过D 点作DE ∥AC 交AB 于E ，构造中位线 ；② 延长AD 到E ，使DE=AD 连结CE 构造全等，转移线段和角；③ ∵AD 是中线 ∴S ΔABD= S ΔADC （等底等高的三角形等面积）(4) 已知等腰三角形ABC 中，AB=AC① 作等腰三角形ABC 底边的中线AD （顶角的平分线或底边的高）构造全 等三角形；② 作等腰三角形ABC 一边的平行线DE ，构造新的等腰三角形.BCD AE BCD AEADECBADECBADCBADCB（5）其它 作等边三角形ABC 一边 的平行线DE ，构造新的等边三角形；② 作CE ∥AB ，转移角；③ 延长BD 与AC 交于E ，不规则图形转化为规则图形；④ 多边形转化为三角形；⑤ 延长BC 到D ，使CD=BC ，连结AD ，直角三角形转化为等腰三角形； ⑥ 若a ∥b,AC,BC 是角平 分线,则∠C=90°.EA DCBE ADCBDA CBECBADECEBDAADOBCEBCDABACab。

三角形几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.二常识：1．三角形中，第三边长的判断：另两边之差＜第三边＜另两边之和.2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD⊥AB，BE⊥CA，则CD·AB=BE·CA.4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和. 6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.AB CED7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即： （1） AC ·CB=CD ·AB ； （2）∠1=∠B ，∠2=∠A .8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.10．等边三角形是特殊的等腰三角形.11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明. 12．符合“AAA ”“SSA ”条件的三角形不能判定全等.13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.15．会用尺规完成“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”、“HL ”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图. ※18．几何重要图形和辅助线： （1）选取和作辅助线的原则：① 构造特殊图形，使可用的定理增加； ② 一举多得；③ 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角； ④ 作辅助线必须符合几何基本作图.A BCD 12（2）已知角平分线.（若BD是角平分线）BC的中线）（3）已知三角形中线（若AD是（5）其它。

武陟县实验中学课时教学体系——教学设计学科数学年级八年级授课教师时间9.1 课题11.1.2三角形的高、中线与角平分线计划学时1重难点三角形的高、中线、角平分线概念的简单运用及它们的几何语言表达，钝角三角形的高的画法．课标要求了解三角形的角平分线、高、中线并能在具体情境中作出它们课时目标1、了解三角形的角平分线、高、中线并能在具体情境中作出它们；2、了解三角形具有稳定性并能运用它解释一些实际问题；教法引导讲授学法自主探究、合作交流教学内容及过程一、激趣导入1.这里有一块月饼，我们要平均分成两块，怎么分？2.这里有一块三角形的蛋糕，谁能帮我把它平均分开？学完这节课你就会有很好的办法了。

二、自主学习1.阅读课本P4——P5。

2.三角形中的三线指的是哪三线？三、学习新知1、三角形的高【学生活动一】让学生动手画出一个锐角三角形的高,然后找学生描述三角形的高的画法与定义.我们会画三角形的高，谁能给三角形的高下一个定义？从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称为三角形的高.如图所示,在ΔABC中,AD⊥BC,点D是垂足,所以AD是ΔABC的一条高.引导学生注意垂直符号的书写.[过渡语]根据作图的方法，提示学生用折纸的方法作出三角形的高,动手做一做.【师生共同总结】锐角三角形的三条高相交于一点,此点在锐角三角形的内部.如图所示.【学生活动三】在纸上画出一个直角三角形或通过折纸的方法,画出它的三条高,它们有怎样的位置关系?将你的结果与同桌进行交流.[设计意图]通过同学们自己动手探索、研讨,可以使他们对直角三角形的三条高有更深刻的认识,并提高同学们的合作意识.【师生共同总结】直角三角形的三条高交于一点,即是直角三角形的直角顶点.如图所示.【学生活动四】画一个钝角三角形,让学生尝试画出它的三条高,或通过折纸的方法找到它的三条高.观察三条高,看它们有什么样的位置关系.【师生共同总结】钝角三角形的三条高中,有两条在外面,一条在内部,且它们所在直线交于一点.如图所示.[知识拓展]钝角三角形、锐角三角形、直角三角形都有三条高.锐角三角形的三条高在三角形的内部,相交于一点;直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形的外部,一条高在三角形内部,三条高不相交,但三条高所在的直线相交于三角形外一点.2、三角形的中线[过渡语]你能画一条线将三角形的面积平分吗?(学生思考,尝试,引出定义)下面我们就引入三角形的另一条特殊的线段——三角形的中线.思路一【学生活动一】学生们动手画图,之后同桌之间研讨,并且要同学们说出所画出的线的特点?为什么它就能把三角形分成面积相等的两部分呢?它是线段吗?【师生共同总结】三角形中线的定义:连接三角形顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线.【学生活动二】让学生任意画出一个三角形,画出这个三角形的三条中线,然后分析这三条中线的位置关系,同桌之间互相研讨.(老师可多让几名同学发言,分别指出他们画出的是什么样的三角形,这样三角形的任意性就有了)【师生共同总结】任意三角形的三条中线都交于一点,三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.[设计意图]让同学们自己得出三角形的三条中线交于一点的结论,并且在与同桌的研讨中,体验学习的乐趣与分享的快乐.思路二指导学生阅读教材第4~5页的内容,思考如下问题:(1)什么是三角形的中线?(2)三角形的中线有几条?(3)三角形的三条中线是否相交于一点?(4)什么是三角形的重心?(5)一块三角形的玻璃,利用圆规的尖脚,你能让三角形玻璃平衡在圆规上面吗?表述:如图,AD是ΔABC的边BC上的中线(已知),所以BD=DC=错误！未找到引用源。

三角形的三线及面积（二）引言:三角形是高中数学中的基本概念之一，它具有许多特性和性质。

在前一篇文档中，我们已经介绍了三角形的基本知识和一些重要概念。

在本文中，我们将继续探讨三角形的三线及其与面积的关系。

正文:一、三角形的三线1. 欧拉线：欧拉线是连接三角形的重心、外心和垂心的线段。

它具有许多重要的性质，如重心将欧拉线分成两等分部分，垂心到三角形三条边的距离之和等于三角形的周长等。

2. 高线：高线是从三角形的顶点到相对边上的垂线。

每个三角形都有三条高线，它们的交点称为三角形的垂心。

高线具有许多特性，如垂线互相垂直，垂心到三角形三个顶点的距离相等等。

3. 中线：中线是连接三角形两个顶点和中点的线段。

每个三角形都有三条中线，它们的交点称为三角形的重心。

中线具有许多特性，如重心将中线分成两等分部分，重心到三角形三个顶点的距离之和等于三角形三个顶点到重心距离的三倍等。

4. 垂径：垂径是从三角形的顶点到相对边上的垂线的长度。

一般情况下，三角形的三个顶点到相对边上的垂径长度是不相等的。

5. 辅助线：辅助线是在三角形内部或外部引入的额外线段，用于研究三角形的性质。

常见的辅助线有角平分线、中垂线等。

二、三角形面积与三线的关系1. 欧拉线与面积关系：三角形的面积等于欧拉线长度乘以外接圆半径的两倍。

2. 高线与面积关系：三角形的面积等于高线长度乘以对应底边的长度的一半。

3. 中线与面积关系：三角形的面积等于中线长度乘以对应底边的长度的四分之一。

4. 垂径与面积关系：三角形的面积等于垂径长度乘以对应底边的长度的一半。

5. 辅助线与面积关系：通过引入合适的辅助线，可以简化计算三角形面积的过程。

常见的方法包括利用角平分线将三角形分成两个形状相同的小三角形，或者利用中垂线将三角形分成两个底边相等的梯形。

总结:在本文中，我们介绍了三角形的三线及其与三角形面积的关系。

这些性质和关系对于解决与三角形相关的问题非常有用。

通过深入理解三角形的性质，我们可以更好地应用它们来解决实际问题，从而提高数学问题解决的能力。

2020年秋⼈教版⼋年级数学上册第11章《三⾓形的三线及⾯积》（讲义、随堂练习、习题及答案）⼈教版⼋年级数学上册第11章三⾓形的三线及⾯积（讲义）课前预习1. 三⾓形有关的性质和定理：定义：由___________________的三条线段_________________所组成的图形叫做三⾓形，三⾓形可以⽤符号“_______”表⽰．性质：边：三⾓形两边之和______第三边，两边之差______第三边；⾓：三⾓形的内⾓和等于_______；直⾓三⾓形两锐⾓________；三⾓形的⼀个外⾓等于______________________________． 2. 如图，在△ABC 中，（1）若点D 是BC 的中点，则S △ABD :S △ACD =__________；（2）若BD :CD =2:1，则S △ABD :S △ACD=__________；（3）若BD :CD =a :b ，则S △ABD :S △ACD =__________．DCBA知识点睛1. 三⾓形的三线：（1）在三⾓形中，连接⼀个顶点与它对边中点的________，叫做这个三⾓形的中线，三⾓形的三条中线_____________交于⼀点，这点称为三⾓形的__________．（2）在三⾓形中，⼀个内⾓的⾓平分线与它的对边相交，这个⾓的顶点与交点之间的______叫做三⾓形的⾓平分线，三⾓形的三条⾓平分线________________交于⼀点，这点称为三⾓形的_________．（3）从三⾓形的⼀个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂⾜之间的________叫做三⾓形的⾼线（简称三⾓形的⾼），三⾓形的三条⾼________________交于⼀点，这点称为三⾓形的________；锐⾓三⾓形的三条⾼线及垂⼼都在其________，直⾓三⾓形的垂⼼是________，钝⾓三⾓形的垂⼼和两条⾼线在其________．如图，在△ABC中，作出AC边上的⾼线．CA________即为所求．2.⾯积问题：（1）处理⾯积问题的思路①_____________________________；②_____________________________；③_____________________________．（2）处理⾯积问题⽅法举例①利⽤平⾏转移⾯积21如图，满⾜S△ABP =S△ABC的点P都在直线l1，l2上．②利⽤等分点转移⾯积两个三⾓形底相等时，⾯积⽐等于_____之⽐；⾼相等时，⾯积⽐等于_____之⽐．精讲精练1.如图，△ABC的⾓平分线AD、中线BE交于点O，则结论：①AO是△ABE的⾓平分线；②BO是△ABC的中线．其中（）A．①②都正确B．①②都不正确C ．①正确，②不正确D ．①不正确，②正确AC DE OE DAF第1题图第2题图2. 如图所⽰，在△ABC 中，BC 边上的⾼是_______，AB 边上的⾼是_______；在△BCE 中，BE 边上的⾼是________，EC 边上的⾼是_________；在△ACD 中，AC 边上的⾼是________，CD 边上的⾼是________．3. 如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点H ，交AB 于点F ．下列说法：①AD 是△ABE 的⾓平分线；②BE 是△ABD 的中线；③CH 为△ACD 边AD 上的⾼；④AH 是△ACH 边CH 上的⾼；⑤AH 是△ACF 的⾓平分线．其中正确的说法有_______（填序号）．ABCDEF G H第3题图第4题图4. 如图，在正⽅形ABCD 中，BC =2，∠DCE 是正⽅形ABCD 的外⾓，P 是∠DCE 的平分线CF 上任意⼀点，则△PBD 的⾯积等于_________．5. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，延长DC 到E ，使CE =AB ，连接BD ，BE ．若梯形ABCD 的⾯积为25cm 2，则△BDE 的⾯积为__________．EDC BA第5题图第6题图6. 正⽅形ABCD ，正⽅形BEFG 和正⽅形RKPF 的位置如图所⽰，点G 在线段DK 上，正⽅形BEFG 的边长为4，则△DEK 的⾯积为____________． 7. 在如图所⽰4×4的⽅格纸中，每个⼩⽅格都是边长为1的正⽅形，A ，B 两点在⼩⽅格的顶点上，点C 也在⼩⽅格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三⾓形⾯积为1，则点C 的个数是_______个．第7题图第8题图8. 在如图所⽰的⽅格纸中，每个⼩⽅格都是边长为1的正⽅形，点A ，B 是⽅格纸中的两个格点（即正⽅形的顶点），在这个5×5的⽅格纸中，找出格点C 使△ABC 的⾯积为2，则满⾜条件的格点C 的个数是_______个． 9. 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别为BC ，AD，CE 的中点，且S △ABC =16，则S △DEF =_____________．10. 如图，在△ABC 中，E 是BC 边上的⼀点，EC =2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△ADF ，△BEF 的⾯积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC =12，则S △ADF -S △BEF =（） A ．1B ．2C ．3D．4F ED CA第10题图第11题图11. 如图所⽰，S △ABC =6，若S △BDE =S △DEC =S △ACE ，则S △ADE =______．12. 如图，设E ，F 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，线段BE ，CF 交于点D ．若△BDF ，△BCD ，△CDE 的⾯积分别是3，7，7，则△EDF 的⾯积是_______，△AEF 的⾯积是______．EFDCBAC 1B 1A 1CBA第12题图第13题图13. 如图，对⾯积为1的△ABC 进⾏以下操作：分别延长AB ，BC ，CA ⾄点A 1，B 1，C 1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C 1A =2CA ，顺次连接A 1，B 1，C 1，则△A 1B 1C 1的⾯积为______．14. 如图，梯形ABCD 被对⾓线分为4个⼩三⾓形，已知△AOB 和△BOC 的⾯积分别为25cm 2和35cm 2，那么梯形的⾯积是_____________．15. 如图，在长⽅形ABCD 中，△ABP 的⾯积为20cm 2，△CDQ 的⾯积为35cm 2，则阴影四边形EPFQ 的⾯积是_________．16. 如图，若梯形ABCD ⾯积为6，E ，F 为AB 的三等分点，M ，N 为DC 的三等分点，则四边形EFNM 的⾯积是_________．E F DCBA MNO C D BA 2535【参考答案】课前预习1.不在同⼀条直线上，⾸尾顺次相接，△⼤于，⼩于180°互余和它不相邻的两个内⾓的和2.（1）1:1（2）2:1（3）a:b知识点睛1.（1）线段，在三⾓形内部，重⼼．（2）线段，在三⾓形内部，内⼼．（3）线段，所在直线，垂⼼，内部，直⾓顶点，外部．作图略2.（1）①公式法；②割补法；③转化法．（2）②对应⾼，对应底．精讲精练1. C2.AF，CE；CE，BE；DC，AC．3. ③④⑤4. 25. 25 cm 26. 167. 68. 59. 2 10. B 11. 112. 3，15 13. 1914. 144 cm 2 15. 55 cm 2 16. 2三⾓形的三线及⾯积（随堂测试）1. 下列四个图形中，线段BD 是△ABC 的⾼的是（）A ．B ．C ．D ．2. 如图，正⽅形ABCD 和正⽅形BEFG 的位置如图所⽰，点E 在线段AB 上，已知正⽅形ABCD 的⾯积为50cm 2，则△AFC 的⾯积是___________．3. 已知在正⽅形⽹格中，每个⼩⽅格都是边长为1的正⽅形，A ，B 两点在⼩⽅格的顶点上，位置如图所⽰，点C 也在⼩⽅格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三⾓形⾯积为1，则点C 的个数是_______个（在图中标出点C 的位置）．DCBA C DA BA BD C DC AAB EFG CD4. 如图，在△ABC 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，连接EF ，若△ABC的⾯积是8cm 2，则△BEF 的⾯积是______．【参考答案】1. D2. 25cm23. 64. 2 cm2三⾓形的三线及⾯积（习题）例题⽰范例1：已知在4×4的正⽅形⽹格中，每个⼩⽅格都是边长为1的正⽅形，A ，B 两点在⼩⽅格的顶点上，位置如图所⽰，点C 也在⼩⽅格的顶点上，且以A ，B ，C 为顶点的三⾓形⾯积为1，则点C 的个数为__________个．【思路分析】连接AB ，则AB 作为△ABC 的底，要使△ABC 的⾯积为1，利⽤同底等⾼，即平⾏转移⾯积即可．具体操作：①先在AB 的⼀侧找⼀个点C ，使△ABC 的⾯积为1，过点C 作AB 的平⾏线；②再在AB 的另⼀侧找⼀个点C ，使△ABC 的⾯积为1，过点C 作AB 的平⾏线．如图所⽰：F E CBA共6个．巩固练习正确的是（）A．AC是△ABC的⾼B．DE是△BCD的⾼C．DE是△ABE的⾼D．AD是△ACD的⾼3.在直⾓三⾓形、钝⾓三⾓形和锐⾓三⾓形中，有两条⾼在三⾓形外部的是（）A．锐⾓三⾓形B．钝⾓三⾓形C．直⾓三⾓形D．都有可能4.如图，∠ABC=∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外⾓∠EAC，内⾓∠ABC，外⾓∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°-∠ABD；④∠BDC=∠BAC．其中正确的有______________（填序号）．第4题图第5题图5. 在如图的⽅格纸中，每个⼩⽅格都是边长为1的正⽅形，点A ，B 是⽅格纸中的两个格点（即正⽅形的顶点），在这个5×5的⽅格纸中，找出格点C 使△ABC 的⾯积为2，则满⾜条件的格点C 的个数是_______个．6. 如图，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE =4，BD =8，△ABD 的⾯积为16，则△ACE 的⾯积为___________．7. 如图，在△ABC 中，已知点D ，E，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC =4cm 2，那么阴影部分的⾯积是_________．8. 已知：如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，BD =2CD ，AD ，BE ，CF 交于⼀点G ，S △BGD =8，S △AGE =3，那么△ABC 的⾯积是____________．F E DC BAA DEF G9. 如图，将△ABC 的三边AB ，BC ，CA 分别延长⾄D ，E ，F ，且使BD =AB ，CE =2BC ，AF =3AC ．若S △ABC =1，则S △DEF =____．10. 如图，两条对⾓线把梯形分割成四个三⾓形，若S △EDC =6，S △BEC =18，则△AEB的⾯积是____________，△AED 的⾯积是___________．11. 如图所⽰，在△ABC 中，点D是AB 的中点，点E 在边BC 上，CE =2BE ，12. 部分的⾯积是______________．【参考答案】1. D2. C3. B4.①②③5. 56.87. 1 cm28.309.1810.6 211.112.6 cm2。

三角形的三线及面积（一）引言概述：三角形是平面几何中的基本图形之一，具有丰富的性质和特点。

其中三角形的三线以及与之相关的面积是三角形研究的重要内容之一。

本文将详细介绍三角形的三线和面积的相关知识，帮助读者更好地理解三角形的性质和特点。

正文：1. 三角形的三线1.1. 外心连线：介绍三角形外心连线的定义和性质；1.2. 重心连线：探讨三角形重心连线的定义和性质；1.3. 垂心连线：解释三角形垂心连线的定义和性质；1.4. 内心连线：介绍三角形内心连线的定义和性质；1.5. 顶点连线：探讨三角形顶点连线的定义和性质。

2. 三线的关系与性质2.1. 三线的交点：讨论三线的交点的性质和重要性；2.2. 三线的长度关系：详细介绍三线的长度关系及其证明；2.3. 三线与三个顶点的关系：探究三线与三个顶点的关系及其特点；2.4. 三线与三个边上点的关系：研究三线与三个边上点之间的关系；2.5. 三线与三角形内部点的关系：分析三线与三角形内部点之间的性质。

3. 三角形的面积3.1. 面积的定义：介绍三角形面积的定义和计算方法；3.2. 海伦公式：详细介绍海伦公式的原理和应用；3.3. 海伦公式的推广：探究海伦公式在其他图形中的推广；3.4. 面积与三线的关系：分析三线与三角形面积之间的关系；3.5. 面积的性质与应用：总结面积的性质和应用场景。

4. 三角形的边长与三线的关系4.1. 边长与外心连线的关系：研究边长与外心连线之间的性质；4.2. 边长与重心连线的关系：探究边长与重心连线之间的关系；4.3. 边长与垂心连线的关系：分析边长与垂心连线之间的性质；4.4. 边长与内心连线的关系：讨论边长与内心连线之间的关系；4.5. 边长与顶点连线的关系：详细介绍边长与顶点连线之间的性质。

5. 三线和面积的推广5.1. 三线的推广：探究将三线的概念推广到其他图形的可能性；5.2. 面积的推广：研究将面积的概念推广到其他图形的方法；5.3. 三线和面积的应用：讨论三线和面积在几何问题中的应用场景；5.4. 三线和面积的发展历程：回顾三线和面积在数学历史中的重要发展；5.5. 三线和面积的未来：展望三线和面积在未来数学研究中的潜在发展方向。