7第7章 数字滤波器的设计(1)

x(n)
7
−1
−2
−3
−4
−5
z z
4
−1
z z
8
−1
−1
−1
z
−1
y (n)
14/38
只需3次乘法，节省一半乘法器
阳小明
H ( z ) = 7 + 4 z + 8z + 4 z + 7 z −4 −1 −3 −2 = 7(1 + z ) + 4( z + z ) + 8z N为奇数
例
−1
−2
−3
n= 2ω
0
平移
(2k −1)π nω = 2
N−1 n= 2
对 称 −π 轴 2ω
对 称 N−1 N-1 轴 2
n
N −1 π a= + 2 2ω
阳小明
a 与ω有关
不是常数
8/38
2. 当频响相位为 ϕ(ω) =−aω+ϕ0对h(n)的要求 采用与上面相似的数学处理得：
N −1 n =0
∑ h(n)sin[(a − n)ω − ϕ ] = 0
+ 8z + 4z
−3
−4
+ 7z
−5
z
7
−1
z
4
−1
z
8
−1
z
8
−1
z
4
−1
7
y(n)
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阳小明
共需6次乘法 考虑到偶对称
H ( z) = 7 + 4 z + 8z + 8z + 4 z + 7 z −5 −1 −4 −2 −3 = 7(1+ z ) + 4( z + z ) + 8( z + z )
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阳小明
由于 cos[ω(m − 1 / 2)]对ω = π 为奇对称，对 ω = 0,2π 为偶对称 所以 H (ω ) 对ω = π 为奇对称, 对 ω = 0,2π 为偶对称 。
0
H(ω)
π
2π
ω
当 ω = π 时, cos(ω (m − 1 / 2)) = 0, 因此 H (π ) = 0
n=0
N −1
奇对称
N −1 n= 2
…. 0 1 N-2 N-1 ….
h(n )sin[(a − n )ω ]
n
N −1 ① 对称轴在 n = 2
阳小明
5/38
② sin [(a − n )ω ]的对称性
sin( − n ω )
对称性 sin(−nω)
奇对称 … 0
n=0
N-1
序列移位
sin[ (a − n )ω ]
jω
A H (e ) sin( nω − aω )
jω
输入
A sin( ω1) + A2 sin( ω2 ) n n 1
jω2
输出
A1 H (e ) sin[(n − a)ω1 ] + A2 H (e ) sin[(n − a)ω2 ]
信号延迟了a 信号延迟了 a 个时间单位 个时间单位 无论序列的ω为多少, 信号各分量延迟时间单 位都为 a ,因此信号波形不失真! 3/38
阳小明
jω1
7.1.2 线性相位条件对h(n)的要求 1. 当频响相位为ϕ(ω) = −aω 对h(n)的要求 推导思路
N −1 n =0
N −1
∑ h ( n )e
H(ω)e
整理
n=0 N −1
− jnω
欧拉公式 复数相等
− jaω
∑ h (n )sin (ω n ) sin (a ω ) = cos (a ω ) ∑ h (n ) cos (ω n )
N −1 ⎛ N −1⎞ ⎛ N −1 ⎞ + m⎟, m = 1,2, , 令 a(0) = h⎜ ⎟, a(m) = 2h⎜ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
则 H (ω ) =
( N −1) / 2 m =0
∑ a(m) cos mω
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由于 cos m ω 关于 ω = 0, π , 2π 偶对称， 因此 H (ω ) 对这些频率也呈偶对称。
N −1 2
n
N −1 m = 1,2, , 2
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阳小明
由于 sin mω对ω = 0, π ,2π 点呈奇对称，所 以 H (ω ) 对这些点也奇对称。
H(ω)
0
π
2π
ω
因为ω = 0, π ,2π
sinmω = 0, H (ω) = 0
所以 H ( 0 ) = 0 , H (π ) = 0 和 H ( 2π ) = 0
n
呈偶对称。
阳小明
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H(ω)
0
π
2π
ω
⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ 由于 sin ⎢ ω ⎜ m − ⎟ ⎥ 在 2 ⎠⎦ ⎣ ⎝ ω = 0,2π 处为零，所以 H (ω)
在 ω = 0,2π 处为零。
H (e jω ) H (e jω )
200MHz
250MHz
FIR滤波器可以采用线性相位型结构 一定要采用。
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阳小明
7.1.3 线性相位FIR滤波器的频率特性 按h(n)的长度点数奇偶和对称性 可分为四种情况。 1. h(n)为偶对称，N为奇数
H e
h (n )
( ) = ∑ h ( n )e
jω N −1 n =0 N −1 −1 2
奇对称 结论:
===> h (n ) 必为偶对称
a = (N −1) / 2
h(n) = h(N −1− n) ,0 ≤ n ≤ N −1 偶对称
sin( nω) 对称轴只有一个吗? −
nω = kπ => n = kπ / ω 奇对称轴
阳小明
7/38
(2k −1)π 偶对称轴 => n = 2ω 为什么其他对称轴不行? sin(−nω) −π sin[( − n)ω] a
对称性
sin[(a − n)ω]
向右 N − 1 平移 2 n …
奇对称 … 0
N-1
…
n
a = (N −1) / 2
阳小明
sin [(a − n )ω ]以 n=(N−1 / 2为对称轴，是奇对称 )
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N −1 n= 2
③ h(n)的对称性
sin [(a − n )ω ]奇对称
h (n )sin [(a − n )ω ]
− j ωn
n
0 1 2
N −1
3
4
⎛ N −1⎞ − j ωn = ∑ h(n )e + h⎜ ⎟e ⎝ 2 ⎠ n =0 =
阳小明
⎛ N −1 ⎞ − jω ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
+
n=
h(n )e − jωn ∑
N −1 +1 2 ⎛ N −1 ⎞ − jω ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠
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N −1 −1 2 n =0
… …
H (e jω ) H (e jω )
− 2π − π 0 π 2π
HPF
阳小明
ω
…
…
− 2π − π 0 π 2π
BSF
ω
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因此这种情况不能用于设计ω = π 时 H (π ) ≠ 0 的滤波器，如高通、带阻滤波器。 3. h(n)奇对称，N为奇数
h (n )
3 0 1 2 4
⎧ ⎪ H (ω ) = ∑1 c ( m ) sin m ω ⎪ m= ⎨ ⎛ N −1 ⎞ ⎪ ⎪ c(m ) = 2h⎜ 2 − m ⎟ ⎠ ⎝ ⎩
n=0 N −1 n=0
∑h ( n) [sin ( aω ) cos (ωn) 三角函
− cos ( aω ) sin (ωn)] = 0 数公式
∑h(n)sin[(a − n)ω] = 0
n=0
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N −1
阳小明
讨论满足线性相位h(n)的要求：
∑ h (n )sin [(a − n )ω ] = 0
sin[ (a − n )ω − ϕ 0 ] 偶对称
h(n)sin[(a − n)ω − ϕ0 ] 奇对称 结论:
===> h (n ) 必为奇对称
h ( n ) = −h ( N − 1 − n )
阳小明
N −1 a= 2 π ϕ0 = ±
2
,0 ≤ n ≤ N −1
奇对称
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ϕ (ω) = −aω
h (n )
2 3
⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ 0 1 H (ω ) = ∑ d (m) sin ⎢ω ⎜ m − ⎟⎥ 2 ⎠⎦ m =1 ⎣ ⎝ N ⎛N ⎞ d ( m ) = 2 h⎜ − m ⎟ m = 1,2, , 2 ⎠ ⎝ 2
⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ sin ⎢ω ⎜ m − ⎟ ⎥ 对 ω = 0,2π 呈奇对称，对ω = π 2 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 呈偶对称。 所以 H (ω) 对ω = 0,2π 也呈奇对称，对 ω = π
−4
x(n)
z
7
−1
z
−1
z
4
−1
z 8
−1
y (n)
结论： 线性相位数字FIR滤波器具有对称性，用 线性相位型结构可以节省近一半的乘法器。 节省乘法器数量与N的奇偶有关。
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阳小明
FPGA设计FIR滤波器实例:
占用逻辑资源的比较
直接型
线性 相位型
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阳小明
性能的比较 直接型 线性相位型
π
2
①
===> sin[( −n )ω − ϕ 0 ] 以 n = 0 为对称轴, 是偶对称