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matlab2(MATLAB的数值计算)

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matlab2_matlab教程

matlab2_matlab教程


x1+2x2+3x3=1 2x1+3x2+4x3=2 a=[1 2 3;2 3 4];b=[1;2]; x=a\b x= 1.00 0 x=
x1 1 2 3 1 x2 = 2 3 4 2 x3
a
x = b
x=pinv(a)b
0.83 0.33
0
-0.17
六、微分方程求解
微分方程求解的仿真算法有多种，常用 的有Euler（欧拉法）、Runge Kutta(龙 格-库塔法。 Euler法称一步法，用于一阶微分方程
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; b=[2 4 6;1 3 5;7 9 10]; a.*b ans = 2 8 18 4 15 30 49 72 90
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; b=[2 4 6;1 3 5;7 9 10];
a*b ans = 25 55 85
37 85 133
二、数据的保存与获取
把matlab工作空间中一些有用的数 据长久保存下来的方法是生成mat数 据文件。 save —— 将工作空间中所有的变 量存到matlab.mat文件中。 默认文件名
save data——将工作空间中所
有的变量存到data.mat文件中。
save data a b ——将工作空间 中a和b变量存到data.mat文件中。
rand —— 随机矩阵
eye —— 单位矩阵
zeros ——全部元素都为0的矩阵
ones ——全部元素都为1的矩阵
还有伴随矩阵、稀疏矩阵、魔方 矩阵、对角矩阵、范德蒙等矩阵的创 建，就不一一介绍了。
注意：matlab严格区分大小写字母，因
此a与A是两个不同的变量。 matlab函数名必须小写。
Matlab中常用的数值计算方法

Matlab中常用的数值计算方法

Matlab中常用的数值计算方法数值计算是现代科学和工程领域中的一个重要问题。

Matlab是一种用于数值计算和科学计算的高级编程语言和环境，具有强大的数值计算功能。

本文将介绍Matlab中常用的数值计算方法，包括数值积分、数值解微分方程、非线性方程求解和线性方程组求解等。

一、数值积分数值积分是通过数值方法来近似计算函数的定积分。

在Matlab中，常用的数值积分函数是'quad'和'quadl'。

'quad'函数可以用于计算定积分，而'quadl'函数可以用于计算无穷积分。

下面是一个使用'quad'函数计算定积分的例子。

假设我们想计算函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的定积分。

我们可以使用如下的Matlab代码：```f = @(x) x^2;integral = quad(f, 0, 1);disp(integral);```运行这段代码后，我们可以得到定积分的近似值，即1/3。

二、数值解微分方程微分方程是描述自然界各种变化规律的数学方程。

在科学研究和工程应用中，常常需要求解微分方程的数值解。

在Matlab中，可以使用'ode45'函数来求解常微分方程的数值解。

'ode45'函数是采用基于Runge-Kutta方法的一种数值解法。

下面是一个使用'ode45'函数求解常微分方程的例子。

假设我们想求解一阶常微分方程dy/dx = 2*x，初始条件为y(0) = 1。

我们可以使用如下的Matlab代码：```fun = @(x, y) 2*x;[x, y] = ode45(fun, [0, 1], 1);plot(x, y);```运行这段代码后，我们可以得到微分方程的数值解，并绘制其图像。

三、非线性方程求解非线性方程是指方程中包含非线性项的方程。

在很多实际问题中，我们需要求解非线性方程的根。

MATLAB_数值计算

MATLAB_数值计算


b31 b32 b33

对于编程语言，矩阵就是二维的数组
2.1 MATLAB的基本计算
数学计算分为数值计算与符号计算，前者 不允许出现未定义变量，后者允许。（Eg 2-1） 常用的基本数学函数表。 （Eg 2-2）
Eg 2-1
三角函数
函数
sin sinh asin cos acos
说明
正弦函数 双曲正弦函数 反正弦函数 余弦函数 反余弦函数
MATLAB数值计算
2.1 MATLAB的基本计算 2.2 MATLAB矩阵和数组 2.3 关系和逻辑运算 2.4 多项式 2.5 稀疏矩阵 2.6 数据分析函数 2.7 数值分析
概述
在M语言中最常用的数据类型表现手段和形
式就是变量和常量
M语言的基本处理单位是数值矩阵或者数值
Eg 2-14 低维数组合成高维数组
建立3阶魔方及帕斯卡数组
将A、B串联成三维数组
cat(1,A,B)=[A;B]
cat(2,A,B)=[A,B]
>> A=eye(4) A= 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 >> A(:,:,2)=eye(4)*10; >> A(:,:,3)=eye(4)*100 A(:,:,1) = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 A(:,:,2) = 10 0 0 0 0 10 0 0 0 0 10 0 0 0 0 10 A(:,:,3) = 100 0 0 0 0 100 0 0 0 0 100 0 0 0 0 100
复数运算函数
函数
abs
பைடு நூலகம்
说明
求复数的模，若参数为实数则求绝对值
基于MATLAB的数值分析(2)

基于MATLAB的数值分析(2)

axis([0,pi,-1,1]),title('子图 (4)')
若干有用旳指令
clf：将图形窗口旳全部内容清除。 shg：显示图形窗口。 figure: 打开一种新旳图形窗口。 figure(n): 打开第n个图形窗口 cla: 将所绘曲线清除并重画坐标轴。 close(n):将关闭编号为n旳图形窗口， close all: 将关闭全部图形窗口.
pos取值0,1（缺省值）,2,3,4,-1 Legend off：擦出目前图上旳图例。
2.3 三维绘图旳基本操作
绘制二元函数基本环节： 1.生成二维网格点 2. 计算函数在网格点上旳值 3. 绘制函数图形
meshgrid指令：生成网格点
a=-0.98;b=0.98;c=-1;d=1;n=10; x=linspace(a,b,n); y=linspace(c,d,n); [X,Y]=meshgrid(x,y); plot(X,Y,'+')
分格线和坐标框
grid: grid on（画出分格线）, grid off （不画出分格线）
box : box on （坐标呈封闭形式）, box off （坐标呈开启形式）
【例】 n=(0:12)'; y=1./abs(n-6); Subplot(1,2,1),plot(n,y,'r*','MarkerSize',20),box on Subplot(1,2,2), plot(n,y,'r*','MarkerSize',20),box off
ylabel('\it{magnitude}');
title(' \it{sine wave and {\it{Ae}}^{-\alpha{\itt}}wave}');
MATLAB2符号说明

MATLAB2符号说明

MATLAB程序设计基础
MATLAB的数值计算
Matlab的数据类型
变量
变量不需要事先声明，也不需要指定变量类型，它会自动根据 所赋予变量的值或对变量的操作来确定变量的类型；赋值过程中， 如果变量已存在，则用新值代替旧值，以新的类型代替旧的类型。 变量的命名规则： 变量名区分大小写； 变量名长度不超过31位，第31位之后的字符被忽略； 变量名以字母开头，变量名中可以包含字母、数字、下划线， 但不能使用标点。 变量一般为局部变量，即仅在其调用的M文件内部有效；若要 定义全局变量，须在变量前加关键字global。
A=
1 4 7 2 5 8 3 6 9
1 4 7
2 5 8
3 6 9
大型矩阵通借助M文件来输入。
x=rand(1,5) %产生的均布随机数组 x= 0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913 x(3) %寻访数组x的第三个元素。 ans = 0.6068 x([1 2 5]) %寻访数组x的第一、二、五个元素组成的子数组。 ans = 0.9501 0.2311 0.8913 x(1:3) %寻访前三个元素组成的子数组 ans = 0.9501 0.2311 0.6068 x(3:end) %寻访除前2个元素外的全部其他元素。end是最后一 ％个元素的下标。 ans = 0.6068 0.4860 0.8913
?format long;pi
ans =
3.14159265358979 ?format long e;pi ans = 3.141592653589793e+000 ?format long g;pi ans = 3.14159265358979
字符串 1、字符串的约定
第二章 Matlab软件的数值计算方法2

第二章 Matlab软件的数值计算方法2


3）三角函数、双曲函数及它们的反函数 ）三角函数、 只用于数值计算外， 除atan2只用于数值计算外，其余的三角函数（如sin）、 只用于数值计算外 其余的三角函数（ ）、 双曲函数（ 双曲函数（如cosh）以及它们的反函数（如asin, acosh） ）以及它们的反函数（ ） 在数值计算和符号计算中使用方法都相同。 在数值计算和符号计算中使用方法都相同。 4）指数、对数函数 ）指数、 数值、符号计算中，函数sqrt, exp, expm的使用方法 数值、符号计算中，函数 的使用方法 完全相同，至于对数函数，符号计算中只有自然对数log， 完全相同，至于对数函数，符号计算中只有自然对数log， 而没有数值计算中的log2, log10。 而没有数值计算中的 。 5） 复数函数 ） conj, real, imag, abs相同，但无求相角的指令。 相同， 相同 但无求相角的指令。 6） 矩阵代数指令 ） diag, triu, tril, inv, det, rank, rref, null, colspace, poly, expm, eig基本与数值计算相同，只有 基本与数值计算相同， 稍微不同。 基本与数值计算相同 只有svd稍微不同。 稍微不同
1.3 符号表达式中自由变量的确定 findsym可实现对表达式中所有自由符号变量或指定数 可实现对表达式中所有自由符号变量或指定数 目的独立自变量的自动认定。 目的独立自变量的自动认定。 findsym(expr) findsym(expr,n) 【例7】对独立自由符号变量的自动辨认。 】对独立自由符号变量的自动辨认。 syms a b x X Y; k=sym('3'); z=sym('c*sqrt(delta)+y*sin(theta)'); EXPR=a*z*X+(b*x^2+k)*Y; findsym(EXPR)
实验3 MATLAB 数值计算(2)

实验3 MATLAB 数值计算(2)

实验3 MATLAB 数值计算（2）
目的和要求：
（1）了解多项式的运算。

（2）熟练掌握MATLAB二维曲线的绘制。

内容和步骤：
1．多项式的运算式的运算
（1）多项式的运算。

已知表达式G(x)=(x-4)(x+5)(x2-6x+9), 展开多项式形式；求导；并计算当x在[0，20]范围变化时G(x)的值；计算出G(x)=0的根。

多项式相乘conv;
求导polyder;
计算零点，即求根roots
解：
展开为多项式
求导：
求零点：
（2）多项式的拟合和插值。

x在[0，20]范围内，计算多项式y=x4-5x3-17x2+129x-180 的值y；并根据x和y进行二阶、三阶和四阶拟合。

并绘出拟合曲线。

对多项式y进行插值，计算在5.5处的值。

多项式拟合p=ployfit(x,y,n)
插值yi=interp1(x,y,xi,’method’)
2．绘制二维曲线
绘制的图形窗口分割为一行两列，窗口左上角画一正弦曲线，y=sin(2t),t:[0.2π];窗口右上角画3条衰减的单边指数曲线y=e-t, y=e-2t,和y=e-3t, t:[0,2]。

在图上添加标题，将3条曲线用不同的线型，并添加图例。

第二章matlab02数值运算功能2

第二章matlab02数值运算功能2

a*b ans = 25 55 85 a.*b 37 85 133 46 109 172 ans = 2 4 49 8 15 72 18 3应元素间的商 给出a,b对应元素间的商 对应元素间的商. a.\b=b./a a./b=b.\a — 都是 的元素除以 的对应元素 都是a的元素除以 的元素除以b的对应元素 a.\b=b./a — 都是 的元素除以 的对应元素 都是b的元素除以 的元素除以a的对应元素
2.4.3矩阵的关系和逻辑运算 矩阵的关系和逻辑运算
1.矩阵的关系运算符：<, >, <=, >=, = =, ~= 矩阵的关系运算符： 矩阵的关系运算符 • 矩阵之间的每个元素进行比较，运算结果 矩阵之间的每个元素进行比较， 为与原矩阵大小一样的由0 为与原矩阵大小一样的由0和1组成的矩阵 注意：1=<a<=2错误 注意： 错误 例: 1<＝a<=2正确 ＝ 正确
• •
§2.4 矩阵的运算
矩阵的数学运算 矩阵的点(数组 运算 矩阵的点 数组)运算 数组 矩阵的关系和逻辑运算
2.4.1矩阵的数学运算 矩阵的数学运算
矩阵运算符 含义 A’ 矩阵转置 A+B 矩阵相加 A-B 矩阵相减 A*B 矩阵相乘 A/B 矩阵相除（右除） 矩阵相除（右除） B\A 矩阵相除（左除） 矩阵相除（左除） A^n A阵的 n次幂 阵的 次幂
x X = y z
10 B = 5 −1
要解上述的联立方程式， 要解上述的联立方程式，可利用矩阵左除 \ 做运 时要求A、 的行数相等 相等。 算，即：X=A\B， 左除时要求 、B的行数相等。 ， 左除时要求
如果将原方程式改写成 X*A=B，且令 X, A 和 B ， 分别为
第二章 MATLAB的数值计算(修改版)

第二章 MATLAB的数值计算(修改版)


2.2.3 矩阵的基本运算
矩阵的乘(*)运算
规则： A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数 标量可与任何矩阵相乘。 例如： a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];b=[1;2;3];c=a*b c =14 32 23
2.2.3 矩阵的基本运算
矩阵的除运算 矩阵除的运算在线性代数中没有，有矩阵逆的运算，在matlab中有两种 矩阵除运算即左除和右除 左除‚\”: 相当于Ax=B的解，x=A-1B。 右除‚/”：相当于xA=B的解，x=BA-1 此外，矩阵也可和常数进行除运算，此时常数只能作为除数
方法二 冒号生成 基本格式：x＝x1:step:x2 x＝x1:x2 比如： D = 4:0.5:9 E = 5:9
2.1.3 向量的运算
与数的运算 比如： A = 0:9; B = A-1 C = A*2 点积运算 指两个向量在其中一个向量方向上的投影的乘积。 dot(a,b) a,b必须同维 比如： A = 0:3; B = 1:4; C = dot(A,B)
注意：MATLAB函数名必须小写
2.2.2 矩阵的修改
方法一：直接修改 可用键找到所要修改的矩阵，用键移动到要修改的矩阵元素上即 可修改。 方法二： 指令修改 可以用A(,)= 来修改。 比如： 对于A=[1 2 3;4 9 6;7 8 9]，若将其中的9修改为5，则可以通过上述的两 种方法： 法一不用介绍； 方法二可使用A(2,2)=5来修改
特征多项式的特点：
（1）特征多项式一定是n+1维的 （2）特征多项式第一个元素一定是1
根据多项式对应的全部根可建立其特征多项式： poly —— 产生特征多项式系数向量
已知一个多项式的全部根X求多项式系数的函数是poly(X)，该函数返回以X为 全部根的一个多项式P，当X是一个长度为m的向量时，P是一个长度为m+1的 向量。
MATLAB数值运算.pdf

MATLAB数值运算.pdf

第3章 MATLAB 数值运算教学提示：每当难以对一个函数进行积分或者微分以确定一些特殊的值时，可以借助计算机在数值上近似所需的结果，从而生成其他方法无法求解的问题的近似解。

这在计算机科学和数学领域，称为数值分析。

本章涉及的数值分析的主要内容有插值与多项式拟合、数值微积分、线性方程组的数值求解、微分方程的求解等，掌握这些主要内容及相应的基本算法有助于分析、理解、改进甚至构造新的数值算法。

教学要求：本章主要是让学生掌握数值分析中多项式插值和拟合、牛顿-科茨系列数值求积公式、3种迭代方法求解线性方程组、解常微分方程的欧拉法和龙格-库塔法等具体的数值算法，并要求这些数值算法能在MATLAB 中实现。

3.1 多 项 式在工程及科学分析上，多项式常被用来模拟一个物理现象的解析函数。

之所以采用多项式，是因为它很容易计算，多项式运算是数学中最基本的运算之一。

在高等数学中，多项式一般可表示为以下形式：120121()n n n n n f x a x a x a x a x a −−−=+++++…。

当x 是矩阵形式时，代表矩阵多项式，矩阵多项式是矩阵分析的一个重要组成部分,也是控制论和系统工程的一个重要工具。

3.1.1 多项式的表达和创建在MATLAB 中，多项式表示成向量的形式，它的系数是按降序排列的。

只需将按降幂次序的多项式的每个系数填入向量中，就可以在MATLAB 中建立一个多项式。

例如，多项式43231529s s s s +−−+在MATLAB 中，按下面方式组成一个向量x = [1 3 -15 -2 9]MATLAB 会将长度为n +1的向量解释成一个n 阶多项式。

因此，若多项式某些项系数为零，则必须在向量中相应位置补零。

例如多项式41s +在MATLAB 环境下表示为y = [1 0 0 0 1]3.1.2 多项式的四则运算多项式的四则运算包括多项式的加、减、乘、除运算。

下面以对两个同阶次多项式MATLAB 基础及其应用教程·66··66·32()234a x x x x =+++，32()4916b x x x x =+++做加减乘除运算为例，说明多项式的四则运算过程。

1.Matlab数值运算功能

1.Matlab数值运算功能

Matlab与科学计算
向量的乘除运算
a. 向量的乘法运算
点乘运算的运算符为 .*， 其意义为两个向量的对应 元素进行乘法运算，例如
a=[1 2], b=[3 4] 则c=a.*b=[3 8]
^ 为向量的乘方运算，例如
c=a.^2=[1 4]
b. 向量的除法运算
Matlab与科学计算
点积、叉积和混合积
X = inv(E) X= -2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000 （8）矩阵元素的赋值与运算
Matlab允许用户对矩阵的单个元素进行赋值和操作，Matlab 此时命 令方式为 X(i,j)=变量名
Matlab与科学计算
( 9）矩阵的指数和对数运算 expm(a), expm1(a), expm2(a), expm3(a) logm(a) ( 10）矩阵的开方运算 sqrtm(m) 注意：以上函数如果去掉最后的‘m’，都变成只对 矩阵中的每个元素进行相应的运算。 ( 11）矩阵的行列式运算： a1=det(a)
在matlab的命令窗口键入以下字符 >> a = [1 2 3 4 5 6 9 8 7] a= 1 2 3 4 5 6 9 8 7
希望得到元素从0到20，步距为2的一个向量，只需键入以下命令即可
>> t = [0:2:20] t= 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Matlab与科学计算
》x＝258×369 x＝ 95202
Matlab与科学计算
变量
（1）变量的命名：变量的名字必须以字母开头（不超 过19个字符），之后可以是字母、数字或下划线；变 量名区分字母的大小写；变量中不能包含有标点符号。 （2）一些特殊的变量 ans：用于结果的缺省变量名 i、j：虚数单位 pi：圆周率 eps：计算机的最小数（相对精度） inf：无穷大 realmin：最小正实数 realmax：最大正实数 nan：不定量（not a number） （3）变量操作

第 2 章 matlab数值计算第一次课


河南理工大学测绘学院
§2.1 特殊矩阵的生成
eye函数的调用格式： ●eye(n) %生成n × n阶单位矩阵 ● eye(m,n) 或eye([m,n]) %生成m× n阶单位阵 ● eye(size(A)) %生成与A同阶的单位阵 ones函数的调用格式： ●ones(m)：产生m × m阶的全1矩阵。 ●ones(m,n)或zeros([m,n]) ：产生m × n全1矩阵。当 m = n时，等同于zeros(m)。 ● zeros(m,n,p,…): 生成m × n ×p ×…阶的全1阵或 数组。
MATLAB提供了求魔方矩阵的函数magic(n)，其
功能是生成一个n阶魔方阵。
河南理工大学测绘学院
§2.1 特殊矩阵的生成
【例2.3】将101～125等25个数填入一个5行5列的表格中， 使其每行、每列及对角线的和均为565。
一个5阶魔方矩阵的每行、每列及对角线的和均为65， 对其每个元素都加100后这些和变为565。完成其功能的命 令如下： M=100+magic(5)
rand(‘state’,J) %对整数J，重置生成器到第J个状态 rand(‘state’,sum(100*lock))%每次重置到不同状态 注：randn函数的调用格式同rand
河南理工大学测绘学院
§2.1 特殊矩阵的生成
【例2.2】建立随机矩阵： （1）在区间[10, 30]内均匀分布的4阶随机矩阵。 （2）均值为0.6、方差为0.1的4阶正态分布随机矩阵。 产生(0,1)区间均匀分布随机矩阵使用rand函数，假 设得到了一组满足(0,1)区间均匀分布的随机数xi，则 若想得到在任意[a, b]区间上均匀分布的随机数，只需 用yi = a + (b − a)xi计算即可。产生均值为0、方差 为1的标准正态分布随机矩阵使用randn函数，假设已经 得到了一组标准正态分布随机数xi，如果想更一般地得 到均值为μ 、方差为σ 2的随机数，可yi = μ + σ xi 计算出来。

第2章 MATLAB数值计算

第2章 MATLAB数值计算MATLAB的数学计算＝数值计算＋符号计算其中符号计算是指使用未定义的符号变量进行运算，而数值计算不允许使用未定义的变量。

2.1 变量和数据2.1.1数据类型数据类型包括：数值型、字符串型、元胞型、结构型等数值型＝双精度型、单精度型和整数类整数类＝无符号类(uint8、uint16、uint32、uint64)和符号类整数(int8、int16、int32、int64)。

2.1.2数据1. 数据的表达方式▪可以用带小数点的形式直接表示▪用科学计数法▪数值的表示范围是10-309～10309。

以下都是合法的数据表示：-2、5.67、2.56e-56(表示2.56×10-56)、4.68e204(表示4.68×10204)2. 矩阵和数组的概念在MATLAB的运算中，经常要使用标量、向量、矩阵和数组，这几个名称的定义如下：▪标量：是指1×1的矩阵，即为只含一个数的矩阵。

▪向量：是指1×n或n×1的矩阵，即只有一行或者一列的矩阵。

▪矩阵：是一个矩形的数组，即二维数组，其中向量和标量都是矩阵的特例，0×0矩阵为空矩阵([])。

▪数组：是指n维的数组，为矩阵的延伸，其中矩阵和向量都是数组的特例。

3. 复数复数由实部和虚部组成，MATLAB用特殊变量“i”和“j”表示虚数的单位。

复数运算不需要特殊处理，可以直接进行。

复数可以有几种表示：z=a+b*i或z=a+b*jz=a+bi 或z=a+bj(当b 为标量时) z=r*exp(i*theta)● 得出一个复数的实部、虚部、幅值和相角。

a=real(z) %计算实部 b=imag(z) %计算虚部 r=abs(z) %计算幅值 theta=angle(z) %计算相角 说明：复数z 的实部a=r*cos(θ)； 复数z 的虚部b=r*sin(θ)； 复数z 的幅值22b a r +=；复数z 的相角theta=arctg(b/a)，以弧度为单位。

如何在MATLAB中进行数值计算

如何在MATLAB中进行数值计算1.基本数学操作：-加法、减法、乘法、除法：使用+、-、*、/操作符进行基本算术运算。

-幂运算：使用^或.^(点乘)操作符进行幂运算。

- 开平方/立方：可以使用sqrt(或power(函数进行开平方和立方运算。

2.矩阵操作：- 创建矩阵：可以使用矩阵构造函数如zeros(、ones(、rand(等创建矩阵。

- 矩阵运算：使用*操作符进行矩阵相乘，使用transpose(函数进行矩阵转置。

- 矩阵求逆和求解线性方程组：使用inv(函数求矩阵的逆，使用\操作符求解线性方程组。

3.数值积分和微分：- 数值积分：使用integral(函数进行数值积分。

可以指定积分函数、积分上下限和积分方法。

- 数值微分：使用diff(函数进行数值微分。

可以指定微分函数和微分变量。

4.解方程：- 一元方程：使用solve(函数可以解一元方程。

该函数会尝试找到方程的精确解。

- 非线性方程组：使用fsolve(函数可以求解非线性方程组。

需要提供初始值来开始求解过程。

-数值方法：可以使用牛顿法、二分法等数学方法来求解方程。

可以自定义函数来实现这些方法。

5.统计分析：- 统计函数：MATLAB提供了丰富的统计分析函数，如mean(、std(、var(等用于计算均值、标准差、方差等统计量。

- 直方图和密度估计：使用histogram(函数可以绘制直方图，并使用ksdensity(函数进行核密度估计。

- 假设检验：使用ttest(或anova(函数可以进行假设检验，用于比较多组数据之间的差异。

6.数值优化：- 非线性最小化：使用fminunc(函数可以进行非线性最小化。

需要提供目标函数和初始点。

- 线性规划：使用linprog(函数可以进行线性规划。

需要提供目标函数和限制条件。

- 整数规划：使用intlinprog(函数可以进行整数规划。

需要提供目标函数和整数约束。

7.拟合曲线：- 线性拟合：使用polyfit(函数进行线性拟合。

MATLAB的数值运算

➢ 对角矩阵：对角元素向量 V=[a1,a2,…,an] A=diag(V)
➢ A为方阵，V=diag(A)提取A的对角元素 构成向量V。
➢ 随机矩阵：rand(m,n) m×n的均匀分布
3．利用冒号表达式建立向量
e1: e2: e3
a=[1:2:10]
a=
初始值 ：步长： 终止值
13579
linspace(a,b,n)
49
72
90
85 133 172
矩阵的点除
例: a=[1 2 3];b=[4 5 6]; c1=a.\b; c2=b./a c1 = 4.0000 2.5000 2.0000
c2 = 4.0000 2.5000 2.0000
a./b=b.\a —— 给出a,b对应元素间的商. a.\b=b./a a./b=b.\a — 都是a的元素被b的对应元素除 a.\b=b./a — 都是a的元素被b的对应元素除
第三节 多项式运算
一、多项式的建立与表示方法
多项式 → 一个行向量
元素按多项式降幂排列
f(x)=anxn+an-1xn-1+……+a0
p=[an an-1 …… a1 a0]
x4 12x3 0x2 25x 116 p=[1 -12 0 25 116]
roots 多项式等于0的根，列向量
polynomial 已知多项式等于0的根，求 出相应多项式
第二章 MATLAB的数值运算
第一节 基本语法结构
一、变量与赋值
1.变量
命名 字母+任意字母(数字、下划线) 规则 字母的大小写、标点符号
存储
变量操作 命令窗口
命令、变量值
调用

matlab 二阶常微分方程数值求解函数

matlab 二阶常微分方程数值求解函数摘要：1.MATLAB 与常微分方程2.二阶常微分方程的基本形式3.MATLAB 中数值求解二阶常微分方程的方法4.常见数值求解函数及其应用5.总结与展望正文：一、MATLAB 与常微分方程MATLAB 是一种广泛应用于科学计算和工程设计的软件，其强大的数值计算和数据分析功能为各种数学问题提供了高效的解决方案。

常微分方程是数学中的一个重要领域，它描述了自然界和社会现象中许多变化规律。

在工程技术、物理学、生物学等领域，对常微分方程的研究具有重要意义。

利用MATLAB 求解常微分方程，可以更方便、更快捷地获得问题的数值解。

二、二阶常微分方程的基本形式二阶常微分方程是指未知函数的最高阶导数为二次的常微分方程。

其一般形式可以表示为：a * y"" +b * y" +c * y = f(x)其中，a、b、c 为常数，y(x) 为未知函数，f(x) 为已知函数。

求解这类方程，可以得到函数y(x) 的表达式，从而了解其随时间或空间的变化规律。

三、MATLAB 中数值求解二阶常微分方程的方法MATLAB 提供了丰富的函数和工具箱来解决常微分方程问题。

数值求解二阶常微分方程的主要方法有：欧拉法、改进欧拉法、龙格- 库塔法等。

下面对这些方法进行简要介绍：1.欧拉法：是最简单的数值求解方法之一，其基本思想是将微分方程的解在每个时间步长上进行局部线性近似。

欧拉法的公式为：y(t+h) = y(t) + h * (f(t, y(t)) + 0.5 * f"(t, y(t)) * h)2.改进欧拉法：为了减少欧拉法在求解非线性微分方程时的误差，可以采用改进欧拉法。

其公式为：y(t+h) = y(t) + h * (f(t, y(t)) + 0.5 * f"(t, y(t)) * h + 0.5 * f""(t, y(t)) * (h^2) / 2!)3.龙格- 库塔法：是一种较高精度的数值求解方法，其基本思想是使用泰勒展开来近似函数的值。

第二讲 MATLAB的数值计算 —— matlab 具有出色的数值计算能力,占据世界上数值计算软件的主导地位

x= 2.00 3.00
x=a\b x= 2.00 3.00
2.超定方程组的解
方程 ax=b ,m<n时此时不存在唯一解。 方程解 (a ' a)x=a ' b
x=(a' a)-1 a ' b —— 求逆法 x=a\b —— matlab用最小二乘法找一
个准确地基本解。
例: x1+2x2=1 2x1+3x2=2 3x1+4x2=3
特征多项式一定是n+1维的
特征多项式第一个元素一定是1
例:a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0]; p=poly(a)
p =1.00 -6.00 -72.00 -27.00 p是多项式p(x)=x3-6x2-72x-27的
matlab描述方法，我们可用： p1=poly2str(p,‘x’) — 函数文件，显示 数学多项式的形式
matlab函数名必须小写。
3. 矩阵的修改
直接修改 可用键找到所要修改的矩阵，用键
移动到要修改的矩阵元素上即可修改。 指令修改
可以用A(,)= 来修改。
例如
a=[1 2 0;3 0 5;7 8 9]
a =1 2 0
305 789
还可以用函数subs
a(3,3)=0 a =1 2 0
p1 =x^3 - 6 x^2 - 72 x - 27
2.roots —— 求多项式的根
a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];p=poly(a) p=
1.00 -6.00 -72.00 -27.00 r=roots(p) r = 12.12
-5.73 ——显然 r是矩阵a的特征值 -0.39
用除法求的解x是具有最多零元素的 解 是具有最小长度或范数的解，这个 解是基于伪逆pinv求得的。
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矩阵元素
矩阵元素可以是任何matlab表达 式 ，可以是实数 ，也可以是复 数，复数可用特殊函数i，j 输入 a=[1 2 3;4 5 6] x=[2 pi/2;sqrt(3) 3+5i]
符号的作用
• 逗号和分号的作用 ♣逗号和分号可作为指令间的 分隔符，matlab允许多条语句在同 一行出现。 ♣分号如果出现在指令后，屏 幕上将不显示结果。
例:
x1+2x2=1 2x1+3x2=2 3x1+4x2=3
1 2 x1 2 3 x2 3 4
=
1 2 3
a
x = b
a=[1 2;2 3;3 4];b=[1;2;3]; 解1 x=a\b 解2 x=inv(a'∗a) ∗ a' ∗ b x= x= 1.00 1.00 0 0.00
3.欠定方程组的解
3. 数组乘方(.^) — 元素对元素的幂
例: a=[1 2 3];b=[4 5 6]; z=a.^2 z= 1.00 4.00 z=a.^b z= 1.00 32.00
9.00
729.00
四、 多项式运算
matlab语言把多项式表达成一个行向量， 该向量中的元素是按多项式降幂排列的。 f(x)=anxn+an-1xn-1+……+loa0 可用行向量 p=[an an-1 …… a1 +a0]表示 1. poly —— 产生特征多项式系数向量 • • 特征多项式一定是n+1维的 特征多项式第一个元素一定是1
例:
x1+2x2=8 2x1+3x2=13
1 2 x1 8 = 2 3 x2 13
方程ax=b a=[1 2;2 3];b=[8;13]; x=inv(a)*b x= 2.00 3.00
ax = b
x=a\b x= 2.00 3.00
2.超定方程组的解
方程 ax=b ,m<n时此时不存在唯一解。 方程解 (a ' a)x=a ' b x=(a' a)-1 a ' b —— 求逆法 x=a\b —— matlab用最小二乘法找一 个准确地基本解。
3. 矩阵乘方—— a^n,a^p,p^a
a ^ p —— a 自乘p次幂
方阵 >1的整数 的整数
对于p的其它值,计算将涉及特征值 和特征向量，如果p是矩阵，a是标量 a^p使用特征值和特征向量自乘到p次 幂；如a,p都是矩阵，a^p则无意义。
a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];a^2 ans =30 66 36 81 42 96
4. 矩阵的其它运算
• inv —— 矩阵求逆 • det —— 行列式的值 • eig —— 矩阵的特征值 • diag —— 对角矩阵
• ’ —— 矩阵转置 • sqrt —— 矩阵开方
5.矩阵的一些特殊操作
• 矩阵的变维 a=[1:12];b=reshape(a,3,4) c=zeros(3,4);c(:)=a(:) • 矩阵的变向 rot90:旋转; fliplr:上翻; flipud:下翻 • 矩阵的抽取 diag:抽取主对角线;tril: 抽取主下三角; triu:抽取主上三角 • 矩阵的扩展
例:a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0]; p=poly(a) p =1.00 -6.00 -72.00 -27.00 p是多项式p(x)=x3-6x2-72x-27的 matlab描述方法，我们可用： p1=poly2str(p,‘x’) — 函数文件，显示 数学多项式的形式 p1 =x^3 - 6 x^2 - 72 x - 27
• 空阵 [ ] — matlab允许输入空阵，当一项 操作无结果时，返回空阵。 • rand —— 随机矩阵 • eye —— 单位矩阵 • zeros ——全部元素都为0的矩阵 • ones ——全部元素都为1的矩阵
还有伴随矩阵、稀疏矩阵、魔方 矩阵、对角矩阵、范德蒙等矩阵的创 建，就不一一介绍了。 注意：matlab严格区分大小写字母，因 此a与A是两个不同的变量。 matlab函数名必须小写。
4.deconv多项式除运算
a=[1 2 3]; c = [4.00 13.00 28.00 27.00 18.00] d=deconv(c,a)
d =4.00 5.00 6.00
[d,r]=deconv(c,a) 余数 c除a后的整数 除 后的整数
5.多项式微分
matlab提供了polyder函数多项式的微分。 命令格式： polyder(p): 求p的微分 polyder(a,b): 求多项式a,b乘积的微分 [p,q]=polyder(a,b): 求多项式a,b商的微分 a,b 例：a=[1 2 3 4 5]; poly2str(a,'x') ans = x^4 + 2 x^3 + 3 x^2 + 4 x + 5 b=polyder(a) b=4 6 6 4 poly2str(b,'x') ans =4 x^3 + 6 x^2 + 6 x + 4
x1
1 2 3 1 x2 = 2 3 4 2
ห้องสมุดไป่ตู้
x3
a
x = b
x=pinv(a)∗b
0.83 0.33 -0.17
六.Dsolve求解微分方程
例1:求解微分方程y’=1/(x+y)和yy”-y’^2=0 Clear; Syms x y Y1=dsolve(‘Dy=1/(x+y)’,’x’) Y2=dsolve(‘y*D2y-Dy^2=0’,’x’) • Y1 = • -lambertw(-C1*exp(-x-1))-x-1 • Y2 = • [ exp((x+C2)/C1)] • [ C2]
五、代数方程组求解
matlab中有两种除运算左除和右除。 对于方程ax=b，a 为an×m矩阵，有三种情 况： 当n=m时，此方程成为“恰定”方程 当n>m时，此方程成为“超定”方程 当n<m时，此方程成为“欠定”方程 matlab定义的除运算可以很方便地解上 述三种方程
1.恰定方程组的解
方程ax=b(a为非奇异) x=a-1 b 矩阵逆 两种解: • x=inv(a)∗b — 采用求逆运算解方程 • x=a\b — 采用左除运算解方程
注:Y=lambertw(x)表示函数关系:Y*exp(Y)=x
102 126 150
※当一个方阵有复数特征值或负实 特征值时，非整数幂是复数阵。
a^0.5 ans =
0.4498 + 0.7623i 0.5526 + 0.2068i 0.6555 -0.3487i 1.0185 + 0.0842i 1.2515 + 0.0228i 1.4844 - 0.0385i 1.5873 - 0.5940i 1.9503 - 0.1611i 2.3134 + 0.2717i
当方程数少于未知量个数时,即不定 情况,有无穷多个解存在。 matlab可求出两个解： • 用除法求的解x是具有最多零元素的解 • 是具有最小长度或范数的解，这个解 是基于伪逆pinv求得的。
x1+2x2+3x3=1 2x1+3x2+4x3=2 a=[1 2 3;2 3 4];b=[1;2]; x=a\b x= 1.00 0 0 x=
a*b ans = 25 55 85
37 85 133
46 109 172
a./b=b.\a —— 给出a,b对应元素间的商. a.\b=b./a a./b=b.\a — 都是a的元素被b的对应元 素除 a.\b=b./a — 都是a的元素被b的对应元 素除
例: a=[1 2 3];b=[4 5 6]; c1=a.\b; c2=b./a c1 = 4.0000 2.5000 2.0000 c2 = 4.0000 2.5000 2.0000
第二讲 MATLAB的数值计算
—— matlab 具有出色的数值计 算能力，占据世界上数值计算软 件的主导地位
数值运算的功能
• • • • • • • • 创建矩阵 矩阵运算 多项式运算 线性方程组 数值统计 线性插值 函数优化 微分方程的数值解
一、命令行的基本操作
1. 创建矩阵的方法
• 直接输入法 规则： 1 矩阵元素必须用[ ]括住 2 矩阵元素必须用逗号或空格分隔 3 在[ ]内矩阵的行与行之间必须 用分号分隔
2. 矩阵乘（∗）运算
规则： • A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数 • 标量可与任何矩阵相乘。 a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];b=[1;2;3];c=a*b c =14 32 23
d=[-1;0;2];f=pi*d f = -3.1416 0 6.2832 矩阵除的运算在线性代数中没有， 有矩阵逆的运算，在matlab中有两 种矩阵除运算
load —— load data —— load data a b ——
即可恢复保 存过的所有 变量
mat文件是标准的二进制文件， 还可以ASCII码形式保存。
三、矩阵运算
1. 矩阵加、减（＋,－）运算
规则： 相加、减的两矩阵必须有相同的行和 列两矩阵对应元素相加减。 允许参与运算的两矩阵之一是标量。 标量与矩阵的所有元素分别进行加 减操作。
3.conv,convs多项式乘运算
例:a(x)=x2+2x+3; b(x)=4x2+5x+6; c = (x2+2x+3)(4x2+5x+6) a=[1 2 3];b=[4 5 6]; c=conv(a,b)=conv([1 2 3],[4 5 6]) c = 4.00 13.00 28.00 27.00 18.00 p=poly2str(c,'x') p = 4 x^4 + 13 x^3 + 28 x^2 + 27 x + 18