第二章 MATLAB的数值计算
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Matlab 科学计算
18
>>x1=[0.5 :0.05 :3.0]; >>y1=a(1)*x1.^2+a(2)*x1+a(3); >>plot(x,y,’*’) >>hold on >>plot(x1,y1,’-r’)
19
计算方法中的求积公式
• 微积分是理工科大学生踏入大学校门后首 先要接触到的一门重要基础课程。 • 实践证明，微积分运算也是实际工作中广 泛应用的基本工具，它是科学计算最重要 的组成部分
பைடு நூலகம்
26
trapz实例
• Z = TRAPZ(X,Y,DIM) or TRAPZ(Y,DIM) integrates across dimension DIM of Y. • Example: If Y = [0 1 2 • 3 4 5] • then trapz(Y,1) is [1.5 2.5 3.5] and trapz(Y,2) is [2 8];
10
分段线性插值法
• 高次插值多项式可能产生极大的误差（这 一现象称为荣格（Runge）现象）因此不 宜用太多的点来做插值多项式。 • 为了解决荣格现象，引入了分段线性插值， 即通过n+1个插值点用折线段连接起来逼 近原曲线，这也是计算机绘制图形的基本 原理。
11
荣格（Runge）现象
x=[-5:1:5]; y=1./(1+x.^2); x0=[-5:0.1:5]; y0=lagrange(x,y,x0); y1=1./(1+x0.^2); plot(x0,y0,'--r'); hold on plot(x0,y1,'-b');
9
Lagrange插值法
>>x1=[0.5 :0.05 :3.0]; >>y1=a(1)*x1.^2+a(2)*x1+a(3); >>plot(x,y,’*’) >>hold on >>plot(x1,y1,’-r’)
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计算方法中的求积公式
• 微积分是理工科大学生踏入大学校门后首 先要接触到的一门重要基础课程。 • 实践证明，微积分运算也是实际工作中广 泛应用的基本工具，它是科学计算最重要 的组成部分
பைடு நூலகம்
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trapz实例
• Z = TRAPZ(X,Y,DIM) or TRAPZ(Y,DIM) integrates across dimension DIM of Y. • Example: If Y = [0 1 2 • 3 4 5] • then trapz(Y,1) is [1.5 2.5 3.5] and trapz(Y,2) is [2 8];
10
分段线性插值法
• 高次插值多项式可能产生极大的误差（这 一现象称为荣格（Runge）现象）因此不 宜用太多的点来做插值多项式。 • 为了解决荣格现象，引入了分段线性插值， 即通过n+1个插值点用折线段连接起来逼 近原曲线，这也是计算机绘制图形的基本 原理。
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荣格（Runge）现象
x=[-5:1:5]; y=1./(1+x.^2); x0=[-5:0.1:5]; y0=lagrange(x,y,x0); y1=1./(1+x0.^2); plot(x0,y0,'--r'); hold on plot(x0,y1,'-b');
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Lagrange插值法
(完整word版)含答案《MATLAB实用教程》
第二章 MATLAB 语言及应用实验项目实验一 MATLAB 数值计算三、实验内容与步骤1.创建矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=987654321a（1（2）用（3）用（42.矩阵的运算（1）利用矩阵除法解线性方程组。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=-+-=+++=+-12224732258232432143214321421x x x x x x x x x x x x x x x 将方程表示为AX=B ，计算X=A\B 。
（2）利用矩阵的基本运算求解矩阵方程。
已知矩阵A 和B 满足关系式A -1BA=6A+BA ，计算矩阵B 。
其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=7/10004/10003/1A ，Ps: format rata=[1/3 0 0;0 1/4 0;0 0 1/7];b=inv(a)*inv(inv(a)-eye(3))*6*a（3）计算矩阵的特征值和特征向量。
已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1104152021X ，计算其特征值和特征向量。
（4）Page:322利用数学函数进行矩阵运算。
已知传递函数G(s)=1/(2s+1),计算幅频特性Lw=-20lg(1)2(2w )和相频特性Fw=-arctan(2w),w 的范围为[0.01，10]，按对数均匀分布。
3.多项式的运算（1）多项式的运算。
已知表达式G(x)=(x-4)(x+5)(x 2-6x+9),展开多项式形式，并计算当x 在[0，20]内变化时G(x)的值，计算出G(x)=0的根。
Page 324（2）多项式的拟合与插值。
将多项式G(x)=x 4-5x 3-17x 2+129x-180，当x 在[0，20]多项式的值上下加上随机数的偏差构成y1，对y1进行拟合。
对G(x)和y1分别进行插值，计算在5.5处的值。
Page 325 四、思考练习题1.使用logspace 函数创建0～4π的行向量，有20个元素，查看其元素分布情况。
Ps: logspace(log10(0),log10(4*pi),20) (2) sort(c,2) %顺序排列 3.1多项式1）f(x)=2x 2+3x+5x+8用向量表示该多项式，并计算f(10)值. 2）根据多项式的根[-0.5 -3+4i -3-4i]创建多项式。
数值计算与MATLAB第二章
第二章非线性方程求根习题2-11. 试寻找f(x)= x 3+6.6 x2-29.05 x +22.64=0的实根上下界,及正根所在的区间，区间长度取1。
解:由笛卡儿符号规则知，f(x)=0可能有二个正根或无正根f(-x)= -x 3+6.6 x2+29.05 x +22.64=0即x 3 -6.6 x2-29.05 x -22.64=0f(-x)=0有一个正根，因此，f(x)=0有一个负根。
由定理2-3，f(x)=0的正根上界f(x)=0的负根下界x0123456 6.39f(x)++-+++++正根所在区间为(1, 2),(2, 3)。
2．你能不利用多项式的求导公式，而借鉴于余数定理的思想，构造出P n(x)=a0x n+a1x n-1+...+a n-1x+a n在x0这点上的导数值的算法吗？习题2-21.用二分法求方程x2-x-1=0的正根，要求准确到小数点后第一位a F(a)b F(b)x F(x)0-1211-11-121 1.5-0.251.5-0.2521 1.750.31251.5-0.25 1.750.3125 1.6250.3015625 1.5-0.25 1.6250.015625 1.5625-0.12109375 1.5625-0.12104375 1.6250.015625 1.59375-0.053710937 1.59375-0.053710937 1.6250.015625 1.609375-0.019287109 1.609375-0.019287109 1.6250.015625 1.6171875-0.001892089 1.6171875-0.001892089 1.6250.015625 1.621093750.006851196 1.6171875-0.001892089 1.621093750.006851196 1.6191406250.002175738 1.6171875-0.001892089 1.619140620.002475738 1.6181640630.000290904X*=1.618K=5X*=1.593752．试证明用试位法（比例求根法），求在区间[0, 1]内的一个根必然收敛。
第二章matlab02数值运算功能2
a*b ans = 25 55 85 a.*b 37 85 133 46 109 172 ans = 2 4 49 8 15 72 18 3应元素间的商 给出a,b对应元素间的商 对应元素间的商. a.\b=b./a a./b=b.\a — 都是 的元素除以 的对应元素 都是a的元素除以 的元素除以b的对应元素 a.\b=b./a — 都是 的元素除以 的对应元素 都是b的元素除以 的元素除以a的对应元素
2.4.3矩阵的关系和逻辑运算 矩阵的关系和逻辑运算
1.矩阵的关系运算符：<, >, <=, >=, = =, ~= 矩阵的关系运算符： 矩阵的关系运算符 • 矩阵之间的每个元素进行比较，运算结果 矩阵之间的每个元素进行比较， 为与原矩阵大小一样的由0 为与原矩阵大小一样的由0和1组成的矩阵 注意：1=<a<=2错误 注意： 错误 例: 1<＝a<=2正确 ＝ 正确
• •
§2.4 矩阵的运算
矩阵的数学运算 矩阵的点(数组 运算 矩阵的点 数组)运算 数组 矩阵的关系和逻辑运算
2.4.1矩阵的数学运算 矩阵的数学运算
矩阵运算符 含义 A’ 矩阵转置 A+B 矩阵相加 A-B 矩阵相减 A*B 矩阵相乘 A/B 矩阵相除（右除） 矩阵相除（右除） B\A 矩阵相除（左除） 矩阵相除（左除） A^n A阵的 n次幂 阵的 次幂
x X = y z
10 B = 5 −1
要解上述的联立方程式， 要解上述的联立方程式，可利用矩阵左除 \ 做运 时要求A、 的行数相等 相等。 算，即：X=A\B， 左除时要求 、B的行数相等。 ， 左除时要求
如果将原方程式改写成 X*A=B，且令 X, A 和 B ， 分别为
2.4.3矩阵的关系和逻辑运算 矩阵的关系和逻辑运算
1.矩阵的关系运算符：<, >, <=, >=, = =, ~= 矩阵的关系运算符： 矩阵的关系运算符 • 矩阵之间的每个元素进行比较，运算结果 矩阵之间的每个元素进行比较， 为与原矩阵大小一样的由0 为与原矩阵大小一样的由0和1组成的矩阵 注意：1=<a<=2错误 注意： 错误 例: 1<＝a<=2正确 ＝ 正确
• •
§2.4 矩阵的运算
矩阵的数学运算 矩阵的点(数组 运算 矩阵的点 数组)运算 数组 矩阵的关系和逻辑运算
2.4.1矩阵的数学运算 矩阵的数学运算
矩阵运算符 含义 A’ 矩阵转置 A+B 矩阵相加 A-B 矩阵相减 A*B 矩阵相乘 A/B 矩阵相除（右除） 矩阵相除（右除） B\A 矩阵相除（左除） 矩阵相除（左除） A^n A阵的 n次幂 阵的 次幂
x X = y z
10 B = 5 −1
要解上述的联立方程式， 要解上述的联立方程式，可利用矩阵左除 \ 做运 时要求A、 的行数相等 相等。 算，即：X=A\B， 左除时要求 、B的行数相等。 ， 左除时要求
如果将原方程式改写成 X*A=B，且令 X, A 和 B ， 分别为
MATLAB数值计算教程
MATLAB数值计算教程第一章：MATLAB入门1.1 MATLAB简介MATLAB（Matrix Laboratory）是一款强大的数值计算软件，广泛用于工程、科学和金融领域。
它的特点是简单易用、高效快速，并且拥有丰富的工具箱和函数库。
1.2 MATLAB环境搭建要使用MATLAB进行数值计算，首先需要安装MATLAB软件，并进行必要的配置。
通过官方网站下载安装程序，根据提示进行安装即可。
安装完成后，打开MATLAB环境，即可开始使用。
1.3 MATLAB基本操作在MATLAB环境中，可以通过命令行窗口输入和执行命令，也可以使用脚本文件进行批量处理。
常用的基本操作包括变量赋值、算术运算、函数调用等。
例如，使用"="符号赋值变量，使用"+"、"-"、"*"、"/"等符号进行算术运算。
第二章：向量和矩阵操作2.1 向量操作在MATLAB中，向量是一种特殊的矩阵，可以通过一组有序的元素构成。
向量可以进行基本的算术运算，如加法、减法、乘法、除法，还可以进行向量的点积、叉积等操作。
可以使用内置函数和运算符来实现。
2.2 矩阵操作矩阵是MATLAB中最常用的数据结构之一，使用矩阵可以进行多个向量的组合和运算。
可以进行矩阵的加法、减法、乘法、除法等操作，也可以进行矩阵的转置、求逆、求特征值等操作。
MATLAB提供了大量的函数和工具箱来支持矩阵的操作。
第三章：数值计算方法3.1 数值积分数值积分是一种用数值方法计算定积分的方法。
在MATLAB 中，可以使用内置函数来进行数值积分，如trapz函数和quad函数。
也可以使用Simpson法则、复合辛普森法等方法实现数值积分。
3.2 数值微分数值微分是一种用数值方法计算导数的方法。
在MATLAB中，可以使用内置函数进行数值微分，如diff函数和gradient函数。
第二章 MATLAB的数值计算(修改版)
2.2.3 矩阵的基本运算
矩阵的乘(*)运算
规则： A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数 标量可与任何矩阵相乘。 例如： a=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];b=[1;2;3];c=a*b c =14 32 23
2.2.3 矩阵的基本运算
矩阵的除运算 矩阵除的运算在线性代数中没有，有矩阵逆的运算，在matlab中有两种 矩阵除运算即左除和右除 左除‚\”: 相当于Ax=B的解，x=A-1B。 右除‚/”：相当于xA=B的解，x=BA-1 此外，矩阵也可和常数进行除运算，此时常数只能作为除数
方法二 冒号生成 基本格式：x＝x1:step:x2 x＝x1:x2 比如： D = 4:0.5:9 E = 5:9
2.1.3 向量的运算
与数的运算 比如： A = 0:9; B = A-1 C = A*2 点积运算 指两个向量在其中一个向量方向上的投影的乘积。 dot(a,b) a,b必须同维 比如： A = 0:3; B = 1:4; C = dot(A,B)
注意：MATLAB函数名必须小写
2.2.2 矩阵的修改
方法一：直接修改 可用键找到所要修改的矩阵，用键移动到要修改的矩阵元素上即 可修改。 方法二： 指令修改 可以用A(,)= 来修改。 比如： 对于A=[1 2 3;4 9 6;7 8 9]，若将其中的9修改为5，则可以通过上述的两 种方法： 法一不用介绍； 方法二可使用A(2,2)=5来修改
特征多项式的特点：
（1）特征多项式一定是n+1维的 （2）特征多项式第一个元素一定是1
根据多项式对应的全部根可建立其特征多项式： poly —— 产生特征多项式系数向量
已知一个多项式的全部根X求多项式系数的函数是poly(X)，该函数返回以X为 全部根的一个多项式P，当X是一个长度为m的向量时，P是一个长度为m+1的 向量。
第 2 章 matlab数值计算第一次课
河南理工大学测绘学院
§2.1 特殊矩阵的生成
eye函数的调用格式： ●eye(n) %生成n × n阶单位矩阵 ● eye(m,n) 或eye([m,n]) %生成m× n阶单位阵 ● eye(size(A)) %生成与A同阶的单位阵 ones函数的调用格式： ●ones(m)：产生m × m阶的全1矩阵。 ●ones(m,n)或zeros([m,n]) ：产生m × n全1矩阵。当 m = n时，等同于zeros(m)。 ● zeros(m,n,p,…): 生成m × n ×p ×…阶的全1阵或 数组。
MATLAB提供了求魔方矩阵的函数magic(n)，其
功能是生成一个n阶魔方阵。
河南理工大学测绘学院
§2.1 特殊矩阵的生成
【例2.3】将101～125等25个数填入一个5行5列的表格中， 使其每行、每列及对角线的和均为565。
一个5阶魔方矩阵的每行、每列及对角线的和均为65， 对其每个元素都加100后这些和变为565。完成其功能的命 令如下： M=100+magic(5)
rand(‘state’,J) %对整数J，重置生成器到第J个状态 rand(‘state’,sum(100*lock))%每次重置到不同状态 注：randn函数的调用格式同rand
河南理工大学测绘学院
§2.1 特殊矩阵的生成
【例2.2】建立随机矩阵： （1）在区间[10, 30]内均匀分布的4阶随机矩阵。 （2）均值为0.6、方差为0.1的4阶正态分布随机矩阵。 产生(0,1)区间均匀分布随机矩阵使用rand函数，假 设得到了一组满足(0,1)区间均匀分布的随机数xi，则 若想得到在任意[a, b]区间上均匀分布的随机数，只需 用yi = a + (b − a)xi计算即可。产生均值为0、方差 为1的标准正态分布随机矩阵使用randn函数，假设已经 得到了一组标准正态分布随机数xi，如果想更一般地得 到均值为μ 、方差为σ 2的随机数，可yi = μ + σ xi 计算出来。
第2章 MATLAB数值计算
第2章 MATLAB数值计算MATLAB的数学计算＝数值计算＋符号计算其中符号计算是指使用未定义的符号变量进行运算，而数值计算不允许使用未定义的变量。
2.1 变量和数据2.1.1数据类型数据类型包括：数值型、字符串型、元胞型、结构型等数值型＝双精度型、单精度型和整数类整数类＝无符号类(uint8、uint16、uint32、uint64)和符号类整数(int8、int16、int32、int64)。
2.1.2数据1. 数据的表达方式▪可以用带小数点的形式直接表示▪用科学计数法▪数值的表示范围是10-309～10309。
以下都是合法的数据表示：-2、5.67、2.56e-56(表示2.56×10-56)、4.68e204(表示4.68×10204)2. 矩阵和数组的概念在MATLAB的运算中，经常要使用标量、向量、矩阵和数组，这几个名称的定义如下：▪标量：是指1×1的矩阵，即为只含一个数的矩阵。
▪向量：是指1×n或n×1的矩阵，即只有一行或者一列的矩阵。
▪矩阵：是一个矩形的数组，即二维数组，其中向量和标量都是矩阵的特例，0×0矩阵为空矩阵([])。
▪数组：是指n维的数组，为矩阵的延伸，其中矩阵和向量都是数组的特例。
3. 复数复数由实部和虚部组成，MATLAB用特殊变量“i”和“j”表示虚数的单位。
复数运算不需要特殊处理，可以直接进行。
复数可以有几种表示：z=a+b*i或z=a+b*jz=a+bi 或z=a+bj(当b 为标量时) z=r*exp(i*theta)● 得出一个复数的实部、虚部、幅值和相角。
a=real(z) %计算实部 b=imag(z) %计算虚部 r=abs(z) %计算幅值 theta=angle(z) %计算相角 说明：复数z 的实部a=r*cos(θ)； 复数z 的虚部b=r*sin(θ)； 复数z 的幅值22b a r +=；复数z 的相角theta=arctg(b/a)，以弧度为单位。
2 matlab的数值运算
下次运行matlab时即可用load指
令调用已生成的mat文件。
load —— load data —— load data a b ——
即可恢复保 存过的所有 变量
mat文件是标准的二进制文件，
还可以ASCII码形式保存。
三、矩阵运算
1. 矩阵加、减（＋,－）运算
规则：
相加、减的两矩阵必须有相同的行和 列两矩阵对应元素相加减。 允许参与运算的两矩阵之一是标量。 标量与矩阵的所有元素分别进行加 减操作。
二、数据的保存与获取
把matlab工作空间中一些有用的数 据长久保存下来的方法是生成mat数 据文件。 save —— 将工作空间中所有的变 量存到matlab.mat文件中。 默认文件名
save data——将工作空间中所
有的变量存到data.mat文件中。
save data a b ——将工作空间 中a和b变量存到data.mat文件中。
3.conv,convs多项式乘运算
例:a(x)=x2+2x+3; b(x)=4x2+5x+6; c = (x2+2x+3)(4x2+5x+6) a=[1 2 3];b=[4 5 6]; c=conv(a,b)=conv([1 2 3],[4 5 6]) c = 4.00 13.00 28.00 27.00 18.00 p=poly2str(c,'x') p = 4 x^4 + 13 x^3 + 28 x^2 + 27 x + 18
直接修改 可用键找到所要修改的矩阵，用键 移动到要修改的矩阵元素上即可修改。 指令修改 可以用A(,)= 来修改。
第二章 MATLAB基础知识
2.2 数组及其运算
例 ascii_a=double(a) %将字符转换为相应的双精度值 ascii_a = Columns 1 through 13 84 104 105 115 32 105 115 32 97 110 32 101 120 Columns 14 through 19 97 109 112 108 101 46 例 char(ascii_a) %将双精度值转换为字符 ans = This is an example. 例 w=find(a>=‘a’&a<=‘z’); %查找所有小写字母的位置 ascii_a(w)=ascii_a(w)-32; %将小写字母ascii值转换为大写 char(ascii_a) %将双精度值转换为字符 ans = THIS IS AN EXAMPLE.
2.2 数组及其运算
2.2.2 数组的运算
运算 加 运算符 + 表达式 a+b
减 乘 除 幂 点乘 点除 点幂
*
/或\ ^ .* ./或.\ .^
a-b a*b
a/b或a\b a^b a .* b a ./ b或a.\b a.^b
2.2 数组及其运算
例 a=3 14 7 1 4 9 3 6 10 b=2 8 3 2 10 0 11 2 7 a+b ans= 5 22 10 3 14 9 14 8 17
2.2 数组及其运算
高维数组的创建
直接通过“全下标”元素赋值方式创建高维数组； 由若干个同样大小的低维数组组合成高维数组； 由函数ones、zeros、rand、randn直接创建标准
高维数组；
借助cat、repmat、reshape等函数构造高维数组。
Am
使用MATLAB进行数值计算与仿真
使用MATLAB进行数值计算与仿真第一章：MATLAB的基本介绍1.1 MATLAB的概述MATLAB是一种数学软件工具，它可以用于解决各种数学问题，包括数值计算、模拟、数据分析和图形化处理等。
它提供了一个交互式环境，使得用户可以更加方便地进行数值计算和仿真。
1.2 MATLAB的功能特点MATLAB具有丰富的功能特点，包括强大的数值计算能力、灵活的编程语言、丰富的可视化工具和大量的应用工具箱等。
这些功能特点使得MATLAB成为了科研工作者、工程师和学生们进行数值计算和仿真的首选工具。
第二章：数值计算2.1 数值计算的基本原理数值计算是一种通过数值方法来解决数学问题的方法。
它通过进行近似计算来得到问题的解，而不是通过解析方法来得到准确解。
MATLAB提供了一系列的数值计算函数，可以帮助用户进行数值计算。
2.2 数值积分数值积分是数值计算的重要组成部分之一。
它可以通过近似方法来计算曲线或者曲面的面积。
在MATLAB中，可以使用quad 函数来进行数值积分的计算，用户只需要提供被积函数的表达式和积分上下限即可。
2.3 数值微分数值微分是另一种数值计算的重要内容。
它可以通过有限差分法来计算函数的导数值。
在MATLAB中，可以使用diff函数来计算函数的导数值。
用户只需要提供函数的表达式和自变量的取值即可。
第三章：仿真模拟3.1 仿真的基本概念仿真是指通过模拟实际情况来进行计算或者评估的过程。
它可以用于研究系统的行为、优化系统设计以及预测系统性能等。
MATLAB提供了一系列的仿真函数和工具箱，可以帮助用户进行系统的仿真和模拟。
3.2 连续系统仿真连续系统是一种以时间为连续变量的系统，比如控制系统和信号处理系统等。
在MATLAB中，可以使用sim函数来进行连续系统的仿真。
用户需要提供系统的数学模型和仿真的时间范围。
3.3 离散系统仿真离散系统是一种以时间为离散变量的系统，比如数字信号处理系统和离散事件系统等。
第二章MATLAB数值计算dai
15
a=logspace(n1,n2,n)
在对数空间上，行向量的值从10n1到10n2，数据个数为n， 缺省n为50。这个指令为建立对数频域轴坐标提供了方 便。 例： 》a=logspace(1,3,3) a= 10 100 1000
16
特殊矩阵的生成
单位矩阵 eye(n) %生成n维单位阵 eye(m,n) %生成m×n的单位阵 eye([m,n]) %生成m×n的单位阵 eye(size(A)) %生成与A矩阵同样大小的单位阵 全1矩阵 ones(n) ones(m,n) ones([m,n]) ones(size(A)) 全0矩阵 zeros(n) zeros(m,n) zeros([m,n]) zeros(size(A))
b= 50x2 struct array with fields: number name height test
%构造50×2结构体矩阵
二年级第43个学生的有关信息的填写 >> b(43,2).number=50+43; >> b(43,2).name='李四'; >> b(43,2).height=178; >> b(43,2).test=[83 80 78;97 80 72;69 88 80;87 99 100];
随机矩阵 rand(n) rand(m,n) rand([m,n]) rand(size(A)) 生成的随机矩阵的各个元素值在0和1之间均匀随机分布。 randn(n)产生均值为0，方差为1的正态分布的随机矩阵。
17
建立随机矩阵： (1) 在区间[20,50]内均匀分布的5阶随机矩阵。 (2) 均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随 机矩阵。 命令如下：
MATLAB的数值运算
➢ 对角矩阵：对角元素向量 V=[a1,a2,…,an] A=diag(V)
➢ A为方阵，V=diag(A)提取A的对角元素 构成向量V。
➢ 随机矩阵：rand(m,n) m×n的均匀分布
3．利用冒号表达式建立向量
e1: e2: e3
a=[1:2:10]
a=
初始值 ：步长： 终止值
13579
linspace(a,b,n)
49
72
90
85 133 172
矩阵的点除
例: a=[1 2 3];b=[4 5 6]; c1=a.\b; c2=b./a c1 = 4.0000 2.5000 2.0000
c2 = 4.0000 2.5000 2.0000
a./b=b.\a —— 给出a,b对应元素间的商. a.\b=b./a a./b=b.\a — 都是a的元素被b的对应元素除 a.\b=b./a — 都是a的元素被b的对应元素除
第三节 多项式运算
一、多项式的建立与表示方法
多项式 → 一个行向量
元素按多项式降幂排列
f(x)=anxn+an-1xn-1+……+a0
p=[an an-1 …… a1 a0]
x4 12x3 0x2 25x 116 p=[1 -12 0 25 116]
roots 多项式等于0的根，列向量
polynomial 已知多项式等于0的根，求 出相应多项式
第二章 MATLAB的数值运算
第一节 基本语法结构
一、变量与赋值
1.变量
命名 字母+任意字母(数字、下划线) 规则 字母的大小写、标点符号
存储
变量操作 命令窗口
命令、变量值
调用
➢ A为方阵，V=diag(A)提取A的对角元素 构成向量V。
➢ 随机矩阵：rand(m,n) m×n的均匀分布
3．利用冒号表达式建立向量
e1: e2: e3
a=[1:2:10]
a=
初始值 ：步长： 终止值
13579
linspace(a,b,n)
49
72
90
85 133 172
矩阵的点除
例: a=[1 2 3];b=[4 5 6]; c1=a.\b; c2=b./a c1 = 4.0000 2.5000 2.0000
c2 = 4.0000 2.5000 2.0000
a./b=b.\a —— 给出a,b对应元素间的商. a.\b=b./a a./b=b.\a — 都是a的元素被b的对应元素除 a.\b=b./a — 都是a的元素被b的对应元素除
第三节 多项式运算
一、多项式的建立与表示方法
多项式 → 一个行向量
元素按多项式降幂排列
f(x)=anxn+an-1xn-1+……+a0
p=[an an-1 …… a1 a0]
x4 12x3 0x2 25x 116 p=[1 -12 0 25 116]
roots 多项式等于0的根，列向量
polynomial 已知多项式等于0的根，求 出相应多项式
第二章 MATLAB的数值运算
第一节 基本语法结构
一、变量与赋值
1.变量
命名 字母+任意字母(数字、下划线) 规则 字母的大小写、标点符号
存储
变量操作 命令窗口
命令、变量值
调用
Matlab数值计算基础
Displaying Output Data （显示输出数据）
• disp and fprintf functions
num2str：将一个数转化为字符串
Data Files(save) ：数据文件(save)
• save var1 var2 var3
*.mat
• save var1 var2 var3 -ascii text format (ascii)
2. Assigning a scalar to a subarray
（用标量给子数组赋值）
3.Left-hand side Subarrays
assignment statement
（子数组在左边的赋值语句）
Special Values （特殊变量）
圆周率 虚数单位 无穷大 不是数值
当前时间 当前日期 最小数 表达式值
Array（数组）
• 数组（ array ）
• Matlab程序的基本
数据单元是数组。
a(3,2)
• 数组可以定义为
向量（vector）或
矩阵（matrix）。
Creating and initializing variables in Matlab
1. Initializing variables in assignment statements 2. （用赋值语句初始化变量）
（线的颜色、线型、标记（符号）类型、图例）
Legend(string1, string2, string3,…)put a legend on the current plot using the specified strings as lables.
第二章 作业
• Exercises
MATLAB数值计算实践指南
MATLAB数值计算实践指南第一章：MATLAB数值计算基础MATLAB是一种强大的数值计算软件，广泛应用于科学、工程、经济、金融等领域。
本章将介绍MATLAB数值计算的基础知识，包括MATLAB的安装与启动、变量的定义与操作、矩阵与数组的运算等。
第一节：MATLAB的安装与启动要使用MATLAB进行数值计算，首先需要将其安装在计算机上。
MATLAB的安装非常简单，只需要按照安装向导的提示进行操作即可。
安装完成后，双击桌面上的MATLAB图标即可启动MATLAB。
第二节：变量的定义与操作在MATLAB中，可以通过赋值操作为变量赋值，并进行各种操作。
赋值操作使用等号进行，例如：x = 5。
可以使用变量进行数值计算，如：y = x^2。
MATLAB支持基本的数学运算，包括加减乘除、指数和对数运算等。
第三节：矩阵与数组的运算MATLAB中的矩阵与数组是进行数值计算的重要数据结构。
可以使用方括号来定义矩阵，例如：A = [1 2; 3 4]。
可以对矩阵进行各种运算，包括加减乘除、转置、求逆等。
还可以使用特殊的函数来创建矩阵，如：zeros、ones、eye等。
第二章：MATLAB数值计算函数本章将介绍MATLAB中常用的数值计算函数，包括数值积分、数值微分、方程求解、线性代数运算等。
第一节：数值积分MATLAB提供了多种数值积分函数，用于对函数进行数值积分。
常用的数值积分函数包括：trapz、quad等。
这些函数可以对一维函数和二维函数进行数值积分，可以指定积分区间和积分精度。
第二节：数值微分MATLAB提供了多种数值微分函数，用于对函数进行数值微分。
常用的数值微分函数包括：diff、gradient等。
这些函数可以对一维函数和二维函数进行数值微分，可以指定微分点和微分精度。
第三节：方程求解MATLAB提供了多种方程求解函数，用于求解线性方程组、非线性方程和常微分方程等。
常用的方程求解函数包括：solve、fsolve、ode45等。
MATLAB第二章实验报告
深 圳 大 学 实 验 报 告课程名称： MATLAB实验名称： MATLAB 的数值计算学 院：指导教师：报告人： 组号：学号 实验地点实验时间： 年 月 日提交时间：二、内容和步骤1.创建矩阵（1）直接输入（2）用from:step:to方式（3）用linspace函数：（4）使用特殊矩阵函数，并修改元素（5）获取子矩阵块:.练习：b=logspace(0,4*3.14,20)b =1.0e+12 *1 至17 列0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0004 0.0018 0.0082 0.037718 至20 列0.1729 0.7924 3.63082.矩阵运算：（1）利用矩阵除法解线性方程组（2）利用矩阵的基本运算求解矩阵方程练习：（3）计算矩阵的特征值和特征向量。
验证特征值和特征向量与该矩阵的关系练习：将矩阵的乘除运算改为数组的点乘和点除运算：（4）利用数学函数进行矩阵运算w=logspace(-2,1,10)w =0.0100 0.0215 0.0464 0.1000 0.2154 0.4642 1.0000 2.1544 4.6416 10.0000LW=-20*log10(sqrt((2*w).^2 + 1))LW =-0.0017 -0.0081 -0.0373 -0.1703 -0.7396 -2.6993 -6.9897 -12.9151 -19.4040 -26.0314FW=-atan(2*w)*180/piFW =-1.1458 -2.4673 -5.3037 -11.3099 -23.3106 -42.8711 -63.4349 -76.9341 -83.8517 -87.13763.生成多维数组：c(18)=[]c =1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8练习：使用数组c编辑窗口查看变量a,b和c。
MATLAB数值计算入门教程
MATLAB数值计算入门教程第一章：MATLAB基础知识1.1 MATLAB简介MATLAB是一种用于解决科学与工程问题的高级技术计算环境。
它结合了数值分析、可视化和编程，提供了强大而灵活的工具来处理各种计算任务。
本章将介绍MATLAB的基本操作和界面。
1.2 MATLAB的安装和配置首先，我们需要下载和安装MATLAB软件。
在安装过程中，可以选择安装附带的工具箱，如统计工具箱和优化工具箱，以扩展MATLAB的功能。
安装完成后，还需进行基本配置，如设置工作目录和界面外观。
1.3 MATLAB的基本语法MATLAB使用面向向量和矩阵的语言，具有简洁而强大的语法。
本节将介绍MATLAB的基本数据类型、运算符、控制结构等。
例如，MATLAB中的向量和矩阵可以通过简单的行列运算实现。
第二章：MATLAB数值计算2.1 常用数值计算函数MATLAB提供了许多常用的数值计算函数，如求解线性方程组、插值、数值积分和微分等。
本章将介绍这些函数的使用方法，并给出实例演示。
2.2 数值计算方法数值计算方法是解决数值计算问题的核心。
本节将介绍常用的数值计算方法，如迭代法、数值求解微分方程和数值优化等。
同时，我们还会介绍MATLAB中对应的函数和工具箱。
第三章：MATLAB数据可视化3.1 绘图函数数据可视化是MATLAB的一个重要功能。
MATLAB提供了丰富的绘图函数，可以绘制二维曲线、三维曲面、散点图等。
本节将介绍这些绘图函数的使用方法，并给出实例演示。
3.2 图形操作与修改除了绘制基本图形外，MATLAB还提供了对图形进行操作与修改的函数。
例如，我们可以修改坐标轴范围、添加图例和标签，以便更好地展示和解读数据。
本节将详细介绍这些图形操作的方法。
第四章：MATLAB编程与应用4.1 MATLAB脚本和函数编写MATLAB不仅是一个交互式环境，还可以编写脚本和函数来实现更复杂的计算任务。
本节将介绍MATLAB脚本和函数的编写方法，并给出实例演示。
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》length(a) ans = 3 》max(size(a)) ans = 3
》rank(a) ans = 2
2.用matlab函数创建矩阵
空阵 [ ] — matlab允许输入空阵，当一 项操作无结果时，返回空阵。 单位矩阵：eye(m,n); eye(m) 零矩阵：zeros(m,n); zeros(m) 一矩阵：ones(m,n); ones(m) 对角矩阵：对角元素向量 V=[a1,a2,…,an] A=diag(V) 随机矩阵：rand(m,n)产生一个m×n的均 匀分别的随机矩阵
逆矩阵与行列式计算 求逆：inv(A)； 求行列式：det(A) 要求矩阵必须为方阵
》a=[1 2 3; 4 5 6; 2 3 5]; 》b=inv(a) b=
-2.3333 0.3333 1.0000
2.6667 0.3333 -2.0000 -0.6667 -0.3333 1.0000
》det(a)
可用行向量 p=[an an-1 …… a1 +a0]表示
1. poly —— 产生特征多项式系数向量
特征多项式一定是n+1维的 特征多项式第一个元素一定是1
（1）多项式的建立与表示方法
在MATLAB中，多项式使用降幂系数的行向量表示， 如：多项式 x 4 12x 3 0 x 2 25x 116
注意：只要是赋过值的变量，不管是
否在屏幕上显示过，都存储在工作空
间中，以后可随时显示或调用。变量
名尽可能不要重复，否则会覆盖 。
当一个指令或矩阵太长时，可用••• 续行
冒号的作用
用于生成等间隔的向量，默认
间隔为1。
用于选出矩阵指定行、列及元 素。
循环语句
语句生成
（1）用线性等间距生成向量矩 阵（start:step:end）
矩阵下标 MATLAB通过确认矩阵下标，可以对矩阵进行插 入子块，提取子块和重排子块的操作。 A(m,n)：提取第m行，第n列元素 A(:,n)：提取第n列元素 A(m,:)：提取第m行元素 A(m1:m2,n1:n2)：提取第m1行到第m2行和第 n1列到第n2列的所有元素（提取子块）。 A(:)：得到一个长列矢量，该矢量的元素按矩 阵的列进行排列。 矩阵扩展：如果在原矩阵中一个不存在的地址 位置上设定一个数（赋值），则该矩阵会自动 扩展行列数，并在该位置上添加这个数，而且 在其他没有指定的位置补零。 消除子块：如果将矩阵的子块赋值为空矩阵[ ]， 则相当于消除了相应的矩阵子块。
3. 数组乘方(.^) — 元素对元素的幂
例: a=[1 2 3];b=[4 5 6]; z=a.^2 z= 1.00 4.00 z=a.^b z= 1.00 32.00
9.00
729.00
四、 多项式运算
matlab语言把多项式表达成一个行向量， 该向量中的元素是按多项式降幂排 列的。
f(x)=anxn+an-1xn-1+……+a0
46 109 172
a./b=b.\a —— 给出a,b对应元素间的商. a.\b=b./a a./b=b.\a — 都是a的元素被b的对应元 素除 a.\b=b./a — 都是b的元素被a的对应元 素除
例: a=[1 2 3];b=[4 5 6];c1=a.\b;c2=b./a c1 = 4.0000 2.5000 2.0000 c2 = 4.0000 2.5000 2.0000
多项式p(x)=x3-6x2-72x-27的matlab描 述方法，我们可用： p1=poly2str(p,‘x’) — 函数文件，显示 数学多项式的形式 p1 =x^3 - 6 x^2 - 72 x - 27
（2）多项式的运算 •相乘conv a=[1 2 3] ; b=[1 2] c=conv(a,b)=1 4 7 6 conv指令可以嵌套使用，如conv(conv(a,b),c) •相除deconv [q,r]=deconv(c,b) q=1 2 3 ％商多项式 r=0 0 0 ％余多项式 •求多项式的微分多项式polyder polyder(a)=2 2 •求多项式函数值polyval(p,n)：将值n代入多项式 求解。polyval(a,2)=11
102 126 150
※当一个方阵有复数特征值或负实 特征值时，非整数幂是复数阵。
a^0.5
ans =
0.4498 + 0.7623i 0.5526 + 0.2068i 0.6555 -0.3487i 1.0185 + 0.0842i 1.2515 + 0.0228i 1.4844 - 0.0385i 1.5873 - 0.5940i 1.9503 - 0.1611i 2.3134 + 0.2717i
矩阵的大小 [m,n]=size(A,x)：返回矩阵的行列数m与 n，当x=1，则只返回行数m，当x=2，则 只返回列数n。 length(A)=max(size(A))：返回行数或列 数的最大值。 rank(A)：求矩阵的秩
》a=[1 2 3;3 4 5]; 》[m,n]=size(a) m= 2 n= 3
表示为：p=[1 -12 0 25 116]，使用函数roots可以求 出多项式等于0的根，根用列向量表示。若已知多项 式等于0的根，函数poly可以求出相应多项式。 r=roots(p) r= 11.7473 2.7028 -1.2251 + 1.4672i -1.2251 - 1.4672i p=poly(r) p= 1 -12 -0 25 116
关系运算
关系符号
< <= > >= == ~=
意义
小于 小于或等于 大于 大于或等于 等于 不等于
5. 矩阵的数组运算
数组运算指元素对元素的算术运算， 与通常意义上的由符号表示的线性
代数矩阵运算不同
1.
数组加减(.+,.-)
a.+b
对应元素相加减（与矩阵加 a.- b 减等效）
2. 数组乘除(，./，.\） ab —— a，b两数组必须有相同的行 和列两数组相应元素相乘。
>> a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
>> a(:)
>> a(4,1)=10
a=
1 4 7 2 5 8 3 6 9
ans =
1 4 7 2 5 8 3 6 9
a=
1 4 7 10 2 5 8 0 3 6 9 0
>> a(2:3,1:2) ans = 4 7 5 8
>> a(2,:)=[ ] a= 1 2 3 7 8 9 10 0 0
》a=[1:2:10] a= 1 3 5 7 9
语句生成
（2）a=linspace(n1,n2,n) 在线性空间上，行矢量的值从n1到n2，数 据个数为n，缺省n为100。 》a=linspace(1,10,10) a= 1 2 3 4 5 6 7 8 space(n1,n2,n) 在对数空间上，行矢量的值从10n1到10n2， 数据个数为n，缺省n为50。这个指令为 建立对数频域轴坐标提供了方便。 》a=logspace(1,3,3) a= 10 100 1000
》a=[1 2 3;4 5 6]' a= 1 2 3 4 5 6 》a=[1 2 3;4 5 6].' a= 1 2 3 4 5 6 b= 1.0000 - 2.0000i 2.0000 + 7.0000i 》b=[1+2i 2-7i].' b= 1.0000 + 2.0000i
4. 矩阵的其它运算
2.用matlab函数创建矩阵
》eye(2,3) ans= 100 010 》zeros(2,3) ans= 000 000 》ones(2,3) ans= 111 111 》V=[5 7 2]; A=diag(V) A= 500 070 002 》eye(2) ans= 10 01 》zeros(2) ans= 00 00 》ones(2) ans= 11 11
种矩阵除运算
3. 矩阵乘方—— a^n,a^p,p^a
a ^ p —— a 自乘p次幂
方阵 >1的整数
对于p的其它值,计算将涉及特征值 和特征向量，如果p是矩阵，a是标量 a^p使用特征值和特征向量自乘到p次
幂；如a,p都是矩阵，a^p则无意义。
a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];a^2 ans =30 66 36 81 42 96
4. 矩阵的其它运算
inv —— 矩阵求逆
det —— 行列式的值
eig —— 矩阵的特征值
diag —— 对角矩阵
’ —— 矩阵转置
sqrt —— 矩阵开方
4. 矩阵的其它运算
转置：对于实矩阵用（’）符号或（.’）求 转置结果是一样的；然而对于含复数的 矩阵，则（’）将同时对复数进行共轭 处理，而 （.’）则只是将其排列形式进行 转置。 》b=[1+2i 2-7i]'
第二讲 MATLAB的数值计算
—— matlab 具有出色的数值计 算能力，占据世界上数值计算软 件的主导地位
数值运算的功能
创建矩阵 矩阵运算 多项式运算 线性方程组 数值统计 线性插值 函数优化 微分方程的数值解
一、命令行的基本操作
1. 创建矩阵的方法
直接输入法 规则： 矩阵元素必须用[ ]括住 矩阵元素必须用逗号或空格分隔 在[ ]内矩阵的行与行之间必须 用分号分隔
例如 a=[1 2 0;3 0 5;7 8 9] a =1 2 0 3 0 5 7 8 9 a(3,3)=0 a =1 2 0 3 0 5 7 8 0
二、数据的保存与获取
把matlab工作空间中一些有用的数 据长久保存下来的方法是生成mat数 据文件。 save —— 将工作空间中所有的变 量存到matlab.mat文件中。 默认文件名