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一次函数与二元一次方程
我们知道一次函数的解析式就是一个二元一次方程，而任何一个二元一次方程都可以化为一次函数解析式的形式，如：y＝2x＋3是一次函数解析式，也是一个二元一次方程；而2x－y＝－3是二元一次方程，不是函数解析式，但可以将其化为y＝2x＋3，即为一次函数解析式。因此一次函数与二元一次方程是既有区别又有联系。区别在于：(1)二元一次方程有两个未知数，而一次函数则有两个变量；(2)二元一次方程用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量之间的关系，又可以用列表或图象来表示两个变量之间的关系.联系在于：(1)在直角坐标系中分别描出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上.(2)在一次函数图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程.
由于二元一次方程可以转化为一次函数，在直角坐标系中可以画出函数的图象，所以将方程组中的两个方程都化为一次函数，再在同一直角坐标系中画两个一次函数图象，它们的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.这种将二元一次方程组转化为一次函数，通过画函数图像确定交点坐标，从而解出方程组的方法，我们称为二元一次方程组的图象解法。
用此方法解二元一次方程组一般有下列几个步骤：(1)将相应的二元一次方程改写成一次函数的解析式；(2)在同一直角坐标系内作出这两个一次函数的图象；(3)观察图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解.我们可以总结为“画直线、找交点、确定解”。
例 用作图象的方法解二元一次方程组.1,523yxyx
解：①由3x＋2y＝5，得y＝－2523x，由x＋y＝1，得y＝－x＋1.
②在同一直角坐标系内作出一次函数y＝－2523x的图象L1和y＝－x＋1的图象L2，
③如图1，观察图象，得L1、L2的交点为(3，－2)，即二元一次方程组－2 3 L1
L2
O y
x
图1
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21.5 一次函数与二元一次方程的关系
1．掌握一次函数与方程的关系；(重点)
2．综合应用一次函数与方程关系解决问题．(难点)
一、情境导入
下面三个方程有什么共同点和不同点？你能进行解释吗？
(1)2x＋1＝3；(2)2x＋1＝0；(3)2x＋1＝－1.
能从函数的角度解这三个方程吗？
二、合作探究
探究点一：一次函数与一元一次方程
一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为( )
A．x＝－1 B．x＝2
C．x＝0 D．x＝3
解析：∵y＝kx＋b经过点(2，3)、(0，1)，∴b＝1，2k＋b＝3，解得b＝1，k＝1，∴一次函数解析式为y＝x＋1.令x＋1＝0，解得x＝－1.故选A.
方法总结：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝kx＋b，确定它与x轴的交点的横坐标的值．
探究点二：一次函数与二元一次方程(组)
直角坐标系中有两条直线：y＝35x＋95，y＝－32x＋6，它们的交点为P，第一条直线交x轴于点A，第二条直线交x轴于点B.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)用图象法解方程组5y－3x＝9，3x＋2y＝12；
(3)求△PAB的面积．
解析：(1)分别令y＝0，求出x的值即可得到点A、B的坐标；(2)建立平面直角坐标系，然后作出两直线，交点坐标即为方程组的解；(3)求出AB的长，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：(1)令y＝0，则35x＋95＝0，解得x＝－3，所以点A的坐标为(－3，0)．令－32x＋6＝0，解得x＝4，所以点B的坐标为(4，0)；
(2)如图所示，方程组的解是x＝2，y＝3；
(3)AB＝4－(－3)＝4＋3＝7，S△PAB＝12×7×3＝212.
方法总结：本题考查了二元一次方程(组)与一次函数的关系：两个方程的解的对应点分别在两条直线上，所以作出两个二元一次方程所对应的两条直线，求出交点，则交点的坐标同时满足两个方程，即为方程组的解．
八年级数学《一次函数与二元一次方程》说课稿
八年级数学《一次函数与二元一次方程》说课稿
各位评委、老师们：
大家好！
今天能有这个展示的机会，得到各位评委、老师的指导，感到非常荣幸．
本节课的内容是《一次函数与二元一次方程(组)》，选自人教版教科书八年级上册第十四章，下面我将对这节课的教学设计加以说明．
这部分内容是在学生充分认识了一元一次方程、二元一次方程(组)和一元一次不等式的基础上，对一次运算进行更深入的讨论．用一次函数将上述几个数学对象统一起来认识，发挥函数对相关内容的统领作用．之前已经用两课时学习了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，本节课是对一次函数与二元一次方程(组)关系的探究．
基于以上对教学内容的理解，结合我所教学生的特点，我确定本节课教学目标为：
1.理解一次函数与二元一次方程(组)的关系．
2.学习利用函数解决问题的方法，感受数学知识之间的内在联系，进一步体会数形结合的数学思想．
3.通过现实化的实际问题背景，反映祖国科技和经济的发展．
一．创设情境，提出问题
本课的教学过程分为五个环节完成．首先请看“创设情境，提出问题”的教学过程．(插入录像1)
设计意图：因为学生对刚学过的一次函数理解得还不够透彻，有一定的畏难情绪，并且他们对一元一次方程、二元一次方程(组)和一元一次不等式都很熟悉，因而缺乏学习这部分内容的热情，或者只是机械地背记结论，所以我从本课引入部分，就力求能马上吸引住学生。通过对一道七年级课本中曾经解决过的问题的再认识,使学生在认知上形成冲突，从而产生学习新知的需要；接着我设计了一个师生互动的游戏，使学生对老师是怎么迅速判断出方程组解的情况产生了强烈的好奇心，从而有了学习新知的强烈愿望．(插入录像2)
二．循序渐进，学习新知 1．进入新知的学习，我首先通过一段视频为学生创设了一个贯穿整节课的问题情境，使学生始终在倍感新鲜的环境中进行学习．本课新知由两部分构成，一是研究一次函数与二元一次方程的关系，二是研究一次函数与二元一次方程组的关系，下面请看第一部分的教学过程．(插入录像3)
5.6二元一次方程与一次函数（1）练习题
1．图中两直线L1，L2的交点坐标可以看作方程组( )的解．
A．121xyxy B. 121xyxy
C．321xyxy D. 321xyxy
2．直线y=12x-6与直线y=-231x-1132的交点坐标是( )．
A．(-8，-10) B．(0，-6)； C．(10，-1) D．以上答案均不对
3．直线kx-3y=8，2x+5y=-4交点的纵坐标为0，则k的值为( )
A．4 B．-4 C．2 D．-2
4．已知4,353xy
是方程组3,12xyxy的解，那么一次函数y=3-x和y=2x+1的交点是________．
5．一次函数y=3x+7的图像与y轴的交点在二元一次方程-•2x+•by=•18•上，•则b=_________．
6．已知关系x，y的二元一次方程3ax+2by=0和5ax-3by=19化成的两个一次函数的图像的交点坐标为(1，-1)，则a=_______，b=________．
7．(1)在同一直角坐标系中作出一次函数y=x+2，y=x-3的图像．
(2)两者的图像有何关系?
(3)你能找出一组数适合方程x-y=2，x-y=3吗?_________________，•这说明方程组2,3,xyxy
________．
8．如图所示，求两直线的解析式及图像的交点坐标．
