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2021高中数学 2.3幂函数课后稳固测评新人(xīnrén)教A版必修
1
1、以下函数为幂函数的是 .
2、幂函数的图象过点，那么的值是 .
3、幂函数的图象过点(2,), 那么它的单调递增区间是．
4、比拟以下各组数的大小：
〔1〕；
〔2〕；
〔3〕；
〔4〕；
〔5〕．
5、假设，求的取值范围。
6．一个(y ī ɡè)幂函数y ＝f (x )的图象过点(3,
),另一个幂函数y ＝g (x )
的图象过点(－8, －2), (1)求这两个幂函数的解析式； 〔2〕判断这两个函数的奇偶性；
稳固测评答案
1、①④
2、
3、(－∞, 0);
4、⑴> ⑵≤ ⑶< ⑷<,< ⑸<
5、解：∵3131)23()
2(---<+a a ，据y=的性质及定义域，有三种
情况： 或者 或者 ，
解得 。
6．解：〔1〕设f (x )＝x a , 将x ＝3, y ＝
代入，得a ＝, ； 设g (x )＝x b , 将x ＝－8, y ＝－2代入，得b ＝,； 〔2〕f (x )既不是奇函数，也不是偶函数；g (x )是奇函数；
内容总结
（1）2021高中数学 2.3幂函数课后稳固测评 新人教A 版必修1
1、以下函数为幂函数的是 .
2、幂函数的图象过点，那么的值是 .
3、幂函数的图象过点(2,), 那么它的单调递增区间是．
4、比拟以下各组数的大小：
〔1〕
（2）稳固测评答案
1、①④
2、
3、(－∞, 0)
（3）g(x)是奇函数。
第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数A 级 基础巩固一、选择题1．下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝7x B ．y ＝x 7 C ．y ＝5xD ．y ＝(x ＋2)3解析：函数y ＝x 7是幂函数，其他函数都不是幂函数． 答案：B2．下列函数中既是偶函数又在(－∞，0)上是增函数的是( ) A ．y ＝x 43 B ．y ＝x 32 C ．y ＝x －2D ．y ＝x －14解析：对于幂函数y ＝x α，如果它是偶函数，当α<0时，它在第一象限为减函数，在第二象限为增函数，则C 选项正确，故选C.答案：C3．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(3，33)，则f (4)的值为( )A.12B.14C.13 D ．2 解析：依题意有33＝3α，所以α＝－12， 所以f (x )＝x －12，所以f (4)＝4－12＝12.答案：A4．函数y ＝x 23图象的大致形状是( )解析：因为y ＝x 23是偶函数，且在第一象限图象沿x 轴递增，所以选项D 正确．答案：DA ．1或3B ．1C ．3D ．2解析：因为f (x )为幂函数，所以m 2－4m ＋4＝1， 解得m ＝3或m ＝1，所以f (x )＝x －1或f (x )＝x 3， 因为f (x )为(0，＋∞)上的减函数，所以m ＝3. 答案：C 二、填空题6．(2016·全国Ⅲ卷改编)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：a ＝243＝423，b ＝323，c ＝2513＝523. 因为y ＝x 23在第一象限内为增函数，又5>4>3， 所以c >a >b . 答案：c >a >b7．幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 等于________．解析：因为幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N)在(0，＋∞)上是减函数， 所以3m －5<0，即m <53，又m ∈N ，所以m ＝0，1，因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数， 当m ＝0时，f (x )＝x －5，是奇函数； 当m ＝1时，f (x )＝x －2，是偶函数． 所以m ＝1. 答案：18．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________．解析：因为函数是幂函数，所以k ＝1，又因为其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，解得α＝12，故k ＋α＝32.答案：32三、解答题9．函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋2是幂函数，且函数f (x )为偶函数，求m 的值．解：因为f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋2是幂函数， 所以m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0. 所以m ＝1，或m ＝2.当m ＝1时，f (x )＝x 3为奇函数，不符合题意． 当m ＝2时，f (x )＝x 4为偶函数，满足题目要求． 所以m ＝2.10．已知幂函数f (x )的图象过点(25，5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域． 解：(1)设f (x )＝x α，则由题意可知25α＝5， 所以α＝12，所以f (x )＝x 12.(2)因为g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ， 所以要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0， 即lg x ≤2，解得0<x ≤100. 所以g (x )的定义域为(0，100]，又2－lg x ≥0，所以g (x )的值域为[0，＋∞)．B 级 能力提升1．已知a ＝1.212，b ＝0.9－12，c ＝ 1.1，则( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．a <c <b解析：a ＝1.212，b ＝0.9－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫910－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10912，c ＝ 1.1＝1.112，因为函数y ＝x 12在(0，＋∞)上是增函数且1.2>109>1.1，故1.212>⎝ ⎛⎭⎪⎫10912>1.112，即a >b >c .答案：A2．给出下面三个不等式，其中正确的是________(填序号)．①－8－13<－⎝⎛⎭⎪⎫1913；②4.125>3.8－25>(－1.9)－35；③0.20.5>0.40.3解析：①－⎝⎛⎭⎪⎫1913＝－9－13，由于幂函数y＝x－13在(0，＋∞)上是减函数，所以8－13>9－13，因此－8－13<－913，故①正确；②由于4.125>1，0<3.8－25<1，(－1.9)－35<0，故②正确；③由于y＝0.2x在R上是减函数，所以0.20.5<0.20.3，又y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数，所以0.20.3<0.40.3，所以0.20.5<0.40.3，故③错误．答案：①②(1)求k的值与f(x)的解析式．(2)对于(1)中的函数f(x)，试判断是否存在m，使得函数g(x)＝f(x)－2x＋m在[0，2]上的值域为[2，3]，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由f(2)<f(3)，得－k2＋k＋2>0，解得－1<k<2，又k∈N，则k＝0，1.所以当k＝0，1时，f(x)＝x2.(2)由已知得g(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2＋m－1，当x∈[0，2]时，易求得g(x)∈[m－1，m]，由已知值域为[2，3]，得m＝3.故存在满足条件的m，且m＝3.。
巩固与练习：幂函数幂函数知识点（1）幂函数的定义： 。
（2）幂函数的性质：①所有幂函数在 上都有意义，并且图像都过点 。
②如果0a >，则幂函数图像过原点，并且在区间 上为增函数。
③如果0a <，则幂函数图像在()0,+∞上是 。
在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y 轴右方无限地逼近 。
当x 趋向于+∞时， 图像在y 轴 右方无限地逼近 。
④当a 为奇数时，幂函数为 ，当a 为偶数时，幂函数为 ，（3）幂函数[)0a y x ,x ,=∈+∞，当1a >时，若01x ,<<其图像在直线y x =的下方， 若1x >，其图像在直线y x =的上方；当01a <<时，若01x ,<<其图像在直线y x = 的上方，当1a >时，若1x >其图像在直线y x =的下方。
一、选择题（每题5分，共40分）1．下列函数中既是偶函数又是(,0)-∞上是增函数的是（） A ．43y x = B ．32y x = C ．2y x -= D ．14y x-=2.下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是 ( )A.y=-xB.y=log 21xC.y=31x D.y=-x 2+2x+13、函数43y x =的图象是（ ）4．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（ ） A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,35．图中所示曲线为幂函数nx y =在第一象限的图象，则1c 、2c 、3c 、4c 大小关系为 （ ） A.4321c c c c >>> B.3412c c c c >>> C.3421c c c c >>> D.2341c c c c >>>6．函数3x y =与31x y =的图象 （ ） A.关于原点对称 B.关于x 轴对称 C.关于y 轴对称 D.关于直线y=x 对称7.幂函数y=f(x)的图象经过点)412(，，则)21(f 的值为 （ ）A ．22 B ．21C ．4D ．2 8. 下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每题5分，共30分）9、下列命题中，正确命题的序号是_____①当0=α时函数y x α=的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点；③若幂函数y x α=是奇函数，则y x α=是定义域上的增函数；④幂函数的图象不可能出现在第四象限． 10、已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点(12，22)，则k ＋α＝________.11．设函数f 1(x )＝x 1/2，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2010)))＝________.12．已知0<a <b <1,设a a , a b , b a , b b中的最大值是M ，最小值是m ，则M ＝ ，m ＝ ． 13．已知幂函数97222)199(--+-=m m xm m y 的图象不过原点，则m 的值为_________。
河北省衡水中学高一数学必修一自助餐：23幂函数1.下列命题正确的是（ ）A.当0=α时，函数αx y =的图象是一条直线B.幂函数的图象通过)1,1(),0,0(两点。
C.幂函数0x y =的概念域是R ，D.幂函数都通过点()1,12.下列函数中不是幂函数的是（ ） A x y = B 2x y = C x y 3= D 1-=x y3.下列幂函数在()0,∞-上为减函数的是A 31x y =B 2x y =C 3x y =D 21x y =4.已知幂函数27)3(=f ，则)(x f 的表达式是（ ）A, 3)(-=xx f B, 3x y = C, x y -=3 D,x y 3= 5.设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的概念域为R 且为奇函数的所有α值为 6.若()212123a a -<，则实数a 的取值范围是7.已知函数()552233)(+-+-=a a xa a x f ，a 为何值时，此函数为幂函数？8.设2312211)(,)(,)(x x f x x f x x f ===-则[{})]2009(321f f f =9.已知幂函数的图象过点()2,2，则它的最小值是 10.已知函数5)(3131--=xx x f ，5)(3131-+=xx x g（1）计算)2()2(5)4(g f f -（2）计算)3()3(5)9(g f f -（3）计算)4()4(5)16(g f f -（4）由（1）（2）（3）归纳出涉及函数)(x f 和)(x g 的对于所有不等于0的实数x 都成立的一个等式，并加以证明。
答案：5. 1，36.[)1,0 =1或28．20091 9．010（1）0；（2）0；（3）0；（4）)()(5)(2x g x f x f =。
第三节 幂函数学点：探究与梳理自主探究探究问题1：函数2xy =与2y x =有哪些不同？探究问题2：古希腊著名的数学家毕达哥拉斯在西方首次发现了“勾股定理”然而他的学生希巴斯却通过勾股定理，发现了边长为1的正方形其对角线长度不是有理数，这下他可惹祸了，因为毕氏一向认为“万物皆数”，而他所说的数，即“有理数”.毕氏无法承认自己的理论将被推翻，于是把希巴斯残忍的掷进了大海.希巴斯虽然牺牲了，但他的发现——无理数却为举世公认. 你知道吗，故事中有一个数学问题：如果计算出正方形的两边的平方和为x ，对角线长为y ，则可以得到一个函数y x =？这个函数是什么函数？本节中我们将学习它的图像和性质探究问题3：下面给出五个具体例子1.一个小朋友购买了每千克1元的水果x 千克，那么她需要付的钱数y （元）和购买的水果量x （千克）之间有何关系是y x =.2.如果正方形的边长为x ,那么正方形的面积2y x =. 3.如果正方体的棱长为x ，那么正方体体积3y x =. 4.如果正方形场地的面积为x ,那么正方形的边长为12y x =. 5.如果某人x 秒内骑车行进了1km,那么他的平均速度1y x -= .请同学们思考：这些函数有什么共同的特征？（主要观察函数中的常数和变量的位置，右边解析式的形式）重点把握１．五个基本幂函数的图象及性质幂函数ay x =中，常数a 分为五种情况：○11a >，○21a =，○301a <<○40a =，○50a <.函 数 y x =2y x =3y x =12y x =1y x -=定义域RRR{|0}x x ≥ {|0}x x ≠值 域 R{|0}y y ≥R{|0}y y ≥ {|0}y y ≠单调性在R 上递增 在(,0]-∞递减，在[0,)+∞递增在R 上递增在[0,)+∞递增在(,0)-∞和(0,)+∞递减奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数奇函数图 象图 象 形 状 直线 抛物线 拐线 抛物线一部分 双曲线过定点(0,0),(1,1) (0,0),(1,1) (0,0),(1,1) (0,0),(1,1) (1,1),(1,1)--比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1；然后在各段中间两两比较.具体步骤是：①指数相同、底数不同时考虑幂函数的单调性；②底数相同、指数不同，考虑指数函数的单调性；③底数、指数都不同，要借助中间值或考虑作差（商）的比较法；④含有参数的比较大小问题，还需要对参数进行讨论.３．幂函数的单调性可利用图像或定义判断.含有参数的函数的单调性，一般需运用分类讨论的思想方法判断.题例：解析与点拨例1 幂函数()f x 的图象过点43,27)（，则()f x 的解析式是_____________ 解析：设(),a f x x =∵幂函数()f x 的图像过点43,27)（，∴3443273,a ==∴34a =. ∴3344()f x x x ==.变式训练1：当(1,)x ∈+∞时，幂函数ay x =的图像恒在直线y x =的下方，则的取值范围是（ ）A. 01a <<B. 1a <C. 0a >D. 0a <例2 m 为何值时，函数221()(2)m m f x m m x +-=+⋅为幂函数？解析：因为221()(2)mm f x m m x +-=+⋅为幂函数，所以221m m +=，解得12m =-±，即当12m =-±时，函数221()(2)mm f x m m x +-=+⋅为幂函数.变式训练2：m 为何值时，函数221()(2)mm f x m m x +-=+⋅是（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数.例3 若a 满足2233(24)(2)a +<-，求a 的取值范围.oxy oxy yoxoxyoxy解析：①当240a +≥时，23y x =在(0,)+∞上为增函数，2233(2)2-=，所以242a +<，即21a -≤<-；②当240a +<时，23y x =在(,0)-∞上为减函数，2233(2)2-=，所以242a +>-，即32a -<<-；综上所述，a 的取值范围是(3,1)-.点拨：分类讨论的原则是分类应当不重不漏；一次分类只能按确定的同一标准进行. 变式训练3：给出下列结论：① ()m nm na b ab +=；②函数13,[1,1]y x x =∈-的值域是[1,1]-；③函数3x y =与3y x =的值域相同；④设有四个函数11322,,,y x y x y x y x --====，其中y随x 的增大而增大的函数有3个，其中正确的是 （请把你认为正确的结论的序号都填上）．学业水平测试巩固基础1．下列结论正确的是（ ） ○1幂函数的图像一定过原点； ○2当0a <时， 幂函数a y x =是减函数； ○3当0a >时， 幂函数a y x =是增函数； ○4函数22y x =即是二次函数，又是幂函数. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个2．若集合{|2},{|1}xM y y P x y x -====-，则M P =（ ）A. {|1}y y >B. {|1}y y ≥C. {|0}y y >D. {|0}y y ≥3．已知幂函数12()f x x -=，若则(1)(102)f a f a +<-，则a 的取值范围是（ ）A. (3,5)B. [3,5)C. (3,5]D. [3,5]4．四个数1213332423(),2,(),()334a b c d ===-=的大小顺序是（ ）A. a d c b <<<B. a b c d <<<C. c d a b <<<D. d c b a <<< 5．某工厂生产产值的月平均增长率为m ，则年平均增长率为 .6．函数23(2)y x -=-的单调区间为 .能力提升7．函数5||(ny x n N =∈且5)n >的图像可以是下图中的( )x y o x y o xy o x y o A B C D8．方程33131=++-xx的解集是（ ） A. {|1}x x = B. {|1}x x =- C. {|2}x x =- D. {|0}x x =9．函数249aa y x --=是偶函数，且在),0(+∞是减函数，整数a 取值的集合为( )A. {1,1,3,}-B. {3,5}C. {1,3,5}D. {1,1,3,5}- 10． 函数2y x =与函数ln y x x =在区间(0,)+∞上增长较快的是 .11．已知()f x 为R 上的奇函数，且(4)(),f x f x +=(0,2)x ∈当时，2()2,f x x =(7)f 的值是 .12．证明函数()f x =[2,)-+∞上是增函数拓展创新13．若1133(1)(32)a a --+<-，求a 的取值范围.自主发展设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<．（I ）求实数a 的取值范围； （II ）试比较(0)(1)(0)f f f -与116的大小，并说明理由．第二章第三节参考答案： 自主探究：1.①前者是指数函数，后者是幂函数也是二次函数；②定义域不同；③值域不同；④前者在R 上是增函数，后者在R 不具有单调性；⑤前者既不是奇函数也不是偶函数，后者在R 上是偶函数；⑥二函数的图像不同.2．函数12(0)y x x x ==> 是幂函数.３．共同特点：①指数为常数；②是以自变量为底的幂；③幂的系数为1. 变式训练：2. (1) 1m =,（2） 1m =-,（3）1132m -±= 3.②学业水平测试：1~4.ABAC ，5．12(1)1m +-，6．增区间(,2)-∞，减区间(2,)+∞7~9.DBD ,10.2y x =，11．2-，12．略，13．解析：∵1133(1)(32)a a --+<-，∴10320132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或10320a a +<⎧⎨->⎩，解得2332a <<或a ∈∅或1a <-.∴a 的取值范围是2332a <<或1a <-． 自主发展：（Ⅰ）令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，则由题意可得：20(1)4011010122(1)0110(0)00a a aa g a a g a ∆>⎧-->⎧⎪⎪--⎪⎪<<<<⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪>+-+>⎪⎪>>⎪⎪⎩⎩322322110a a a a ⎧<->+⎪⇔-<<⎨⎪>⎩，或0322a ⇔<<-．故所求实数a 的取值范围是(0322)-，． （II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a ⋅-==，令2()2h a a =．当0a >时，()h a 单调递增，∴当0322a <<-时，2(0)()(322)2(322)2(17122)h h a h <<-=-=-=11617122<+，即1(0)(1)(0)16f f f ⋅-<．。
