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第4课时分段函数及其应用【知识与技能】1.能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式.2.能将简单的实际问题转化为数学问题，从而解决实际问题.【过程与方法】通过分析实际问题，体会数形结合的思想，提高解决实际问题的能力.【情感与态度】通过寻找变量间的关系，确定一次函数关系式，让学生体会自行思考解决问题的过程，激发学习兴趣.【教学重点】重点是根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的关系式.【教学难点】难点是根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的关系式.一、创设情境前面我们学习了有关一次函数的一些知识及如何确定解析式，如何利用一次函数知识解决相关实践问题呢？这将是我们这节课要解决的主要问题.二、导入新课例1为节约用水，某城市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过8 m3时，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过8 m3时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元的污水处理费.设一户每月用水量为x m3，应缴水费y元.（1）给出y关于x的函数关系式；（2）画出上述函数图象；（3）该市一户某月若用水量为x=5 m3或x=10 m3时，求应缴的水费;（4）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量.【解】（1）y关于x的函数关系式为：（2）如下图，函数图象是一段折线.（3）当x=5m3×5=6.5(元)；当x=10m3×10-11.2=15.8(元).即当用水量为5m3时，该户应缴水费6.5元；当用水量为10m3时，该户应缴水费15.8元.×8,可见该户这月用水超过8m3,因此： 2.7x-11.2=26.6，解得x=14.即这户本月用水14m3.【教学说明】本例给出的是在自变量的不同取值X围内表示函数关系的解析式有不同的形式，这样的函数称为分段函数，分段函数在生活中也是常见的.跟踪练习课本第42页练习1、2.【教学说明】确定一次函数关系式时为何要分段？如何分段？三、运用新知，深化理解（某某中考）小李从某某通过某快递公司给在某某的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1kg收费22元，超过1kg，则超出部分按每千克10元加收费用.设该公司从某某到某某快递樱桃的费用为y（元），所寄樱桃为x （kg）.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）已知小李给外婆快寄了2.5kg樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？【参考答案】解：（1）由题意，得当0＜x≤1时，y=22x+6当x＞1时y=28+10（x-1）=10x+18；（2）当x=2.5时，y=10×2.5+18=43.∴这次快寄的费用是43元.四、师生互动，课堂小结用函数的思想解决实际问题的关键在于用运动和变化的观点，去观察、分析具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种函数关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决.完成练习册中的相应作业.本节课通过由学生自行分析问题，构建函数关系式，激发学生学习的主动性，通过分析、归纳、总结，提高解决实际问题的能力.。
第4课时分段函数及一次函数的实际应用◇教学目标◇【知识与技能】1.了解分段函数的概念和出现的意义;2.能根据实际问题写出分段函数的表达式,并能解决相关问题.【过程与方法】经历对实际问题建立数学模型的过程,体会待定系数法的作用和一次函数模型的价值.【情感、态度与价值观】通过让学生经历用一次函数来解决实际问题的函数模型的过程,使学生感受到数学与生活的联系.让学生参与到教学活动中,提高学习及运用数学知识的积极性.◇教学重难点◇【教学重点】用一次函数知识来解决实际问题.【教学难点】建立实际问题的数学模型.◇教学过程◇一、情境导入我们前面学习了一次函数的一些知识,今天我们学习分段函数及一次函数的实际应用.二、合作探究典例1为节约用水,某城市制定以下用水收费标准:每户每月用水不超过8 m3时,每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费;超过8 m3时,超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元的污水处理费,设一户每月用水量为x m3,应缴水费y元.(1)给出y与x之间的函数表达式;(2)画出上述函数图象;(3)当该市一户某月的用水量为x=5 m3或x=10 m3时,求其应缴的水费;(4)该市一户某月缴水费26.6元,求该户这个月用水量.[解析](1)y与x之间的函数表达式为y=(2)如图所示,函数图象是一段折线.(3)当x=5 m3时,y=1.3×5=6.5(元);当x=10 m3时,y=2.7×10-11.2=15.8(元).即当用水量为5 m3时,该户应缴水费6.5元;当用水量为10 m3时,该户应缴水费15.8元. (4)y=26.6>1.3×8,可见该户这月用水超过8 m3,因此2.7x-11.2=26.6,解方程,得x=14.即该户本月用水量为14 m3.典例2某单位有职工几十人,想在节假日期间组织到外地处旅游当地有甲、乙两家旅行社,它们服务质量基本相同,到H地旅游的价格都是每人100元.经联系协商,甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠;乙旅行社表示单位先交1000元后,给予每位游客六折优惠,问该单位选择哪家旅行社,使其支付的旅游总费用较少?[解析]方法1设该单位参加旅游人数为x.那么如选甲旅行社,应付80x元,选乙旅行社,应付(60x+1000)元.记y1=80x,y2=60x+1000,在同一直角坐标系中作出两个函数的图象(如图),y1与y2的图象交于点(50,4000).观察图象,可得:当人数为50时,选择甲或乙旅行社费用都一样;当人数为0~49时,选择甲旅行社费用较少;当人数为51~100时,选择乙旅行社费用较少.方法2设选择甲、乙旅行社所需费用之差为y,则y=y1-y2=80x-(60x+1000)=20x-1000.画一次函数y=20x-1000的图象,如图,它与x轴交点为(50,0).由图可知:(1)当x=50时,y=0,即y1=y2,甲、乙两家旅行社的费用一样;(2)当x>50时,y>0,即y1>y2,乙旅行社的费用较低;(3)当x<50时,y<0,即y1<y2,甲旅行社的费用较低.三、板书设计分段函数及一次函数的实际应用1.分段函数.2.分段函数及一次函数的实际应用.◇教学反思◇分段函数在实际生活中经常用到,因为一个函数不是在所有的自变量范围内可以通用,所以经常需要对自变量的范围进行分段讨论,分段函数的画法就是分别画出各个适用范围的一段,通过这节课的学习,让学生进一步理解自变量取值范围的意义.。
第4课时分段函数及一次函数的实际应用◇教学目标◇【知识与技能】1.了解分段函数的概念和出现的意义;2.能根据实际问题写出分段函数的表达式,并能解决相关问题.【过程与方法】经历对实际问题建立数学模型的过程,体会待定系数法的作用和一次函数模型的价值.【情感、态度与价值观】通过让学生经历用一次函数来解决实际问题的函数模型的过程,使学生感受到数学与生活的联系.让学生参与到教学活动中,提高学习及运用数学知识的积极性.◇教学重难点◇【教学重点】用一次函数知识来解决实际问题.【教学难点】建立实际问题的数学模型.◇教学过程◇一、情境导入我们前面学习了一次函数的一些知识,今天我们学习分段函数及一次函数的实际应用.二、合作探究典例1为节约用水,某城市制定以下用水收费标准:每户每月用水不超过8 m3时,每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费;超过8 m3时,超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元的污水处理费,设一户每月用水量为x m3,应缴水费y元.(1)给出y与x之间的函数表达式;(2)画出上述函数图象;(3)当该市一户某月的用水量为x=5 m3或x=10 m3时,求其应缴的水费;(4)该市一户某月缴水费26.6元,求该户这个月用水量.[解析](1)y与x之间的函数表达式为y=错误！未找到引用源。
(2)如图所示,函数图象是一段折线.(3)当x=5 m3时,y=1.3×5=6.5(元);当x=10 m3时,y=2.7×10-11.2=15.8(元).即当用水量为5 m3时,该户应缴水费6.5元;当用水量为10 m3时,该户应缴水费15.8元. (4)y=26.6>1.3×8,可见该户这月用水超过8 m3,因此2.7x-11.2=26.6,解方程,得x=14.3典例2某单位有职工几十人,想在节假日期间组织到外地H处旅游.当地有甲、乙两家旅行社,它们服务质量基本相同,到H地旅游的价格都是每人100元.经联系协商,甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠;乙旅行社表示单位先交1000元后,给予每位游客六折优惠,问该单位选择哪家旅行社,使其支付的旅游总费用较少?[解析]方法1设该单位参加旅游人数为x.那么如选甲旅行社,应付80x元,选乙旅行社,应付(60x+1000)元.记y1=80x,y2=60x+1000,在同一直角坐标系中作出两个函数的图象(如图),y1与y2的图象交于点(50,4000).观察图象,可得:当人数为50时,选择甲或乙旅行社费用都一样;当人数为0~49时,选择甲旅行社费用较少;当人数为51~100时,选择乙旅行社费用较少.方法2设选择甲、乙旅行社所需费用之差为y,则y=y1-y2=80x-(60x+1000)=20x-1000.画一次函数y=20x-1000的图象,如图,它与x轴交点为(50,0).由图可知:(1)当x=50时,y=0,即y1=y2,甲、乙两家旅行社的费用一样;(2)当x>50时,y>0,即y1>y2,乙旅行社的费用较低;(3)当x<50时,y<0,即y1<y2,甲旅行社的费用较低.三、板书设计分段函数及一次函数的实际应用1.分段函数.2.分段函数及一次函数的实际应用.◇教学反思◇分段函数在实际生活中经常用到,因为一个函数不是在所有的自变量范围内可以通用,所以经常需要对自变量的范围进行分段讨论,分段函数的画法就是分别画出各个适用范围的一段,通过这节课的学习,让学生进一步理解自变量取值范围的意义.。
12.2 一次函数第4课时一次函数的应用--分段函数定义：一般地，如果有实数a1，a2，a3……k1,k,2k3……b1,b2,b3……且a1≤a2≤a3……函数Y与自变量X 之间存在k1x+b1 x≤a1y = k2x+b2 a1≤x≤a2 ①的函数解析式，则称该函数解析式为X的分段函数。
K3x+b3 a2≤x≤a3…………应该指出:(一), 函数解析式①这个整体只是一个函数,并非是Y=K1X+b1 Y=K2X+b2……等几个不同函数的简单组合,而k1x+b1, k2x+b2……是函数Y的几种不同的表达式.。
所以上例中Y=｛这个整体只是一个函数，不能认为它是两个不同的函数，只能说110X和110×80%X是同一函数中的自变量X在两种不同取值范围内的不同表达式。
(二),由于k1,k2,k3……b1,b2,b3是实数,所以函数Y在X的某个范围内的特殊函数,如正比例函数和常数函数。
(三),由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。
(四), 一次函数的分段函数是简单的分段函数。
分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。
在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。
收费问题与我们的生活息息相关,如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例.一、话费中的分段函数例1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示：（１）月通话为100分钟时，应交话费元；（２）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？图1分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y (元)是月通话时间x (分钟)的正比例函数,当x ≥100时, 月话费y (元)是月通话时间x (分钟)的一次函数. 解：（1）观察图象可知月通话为100分钟时，应交话费40元； （2）设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b 由图上知：x =100时,y =40；x =200时,时，y =60则有 4010060200k b k b =+⎧⎨=+⎩,解之得1520k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩所求函数关系式为1205y x =+.. （3）把x =280代入关系式1205y x =+,得128020765y ∴=⨯+=即月通话为280分钟时，应交话费76元．二、水费中的分段函数例2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y (元)与用水量x (吨)的函数关系如图2.(1) 分别写出当0≤x ≤15和x ≥15时,y 与x 的函数关系式; (2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题.观察图象可知, 0≤x ≤15时y 是x 的正比例函数; x ≥15时,y 是x 的一次函数.解: (1)当0≤x ≤15时,设y =kx ,把x =15,y =27代入,得27=15k ,所以k =591527=,所以y =59x ;当x ≥15时,设y =ax +b ,将x =15,y =27和x =20,y =39.5代入,得⎩⎨⎧=+=+5.3920,2715b a b a 解得a =2.5,b =-10.5所以y =2.5x -10.5 图2 (2) 当该用户该月用21吨水时,三、电费中分段函数例3 (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y （元）与用电量x （度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x ≤100和x ≥100时，y 与x 的函数关系式； （2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？图3分析:从函数图象上看图象分为两段,当0≤x ≤100时,电费y 是电量x 的正比例函数,当x ≥100时,y 是x 的一次函数,且函数图象经过点(100,65)和(130,89),设出相应的函数关系式,将点的坐标代入即可确定函数关系式,根据函数关系式可解决问题.解: (1)设当0≤x ≤100时,函数关系式为y =kx ,将x =100,y =65代入,得k =0.65,所以y =0.65x ;设当x ≥100时,函数关系式为y =a x +b,将x =100,y =65和x =130,y =89代入,得⎩⎨⎧=+=+.89130,65100b a b a 解得a=0.8,b=-15.所以y =0.8x -15 综上可得0.65(0100)0.815(100)xx y x x ⎧=⎨-⎩≤≤≥(2)用户月用电量在0度到100度之间时,每度电的收费的标准是0.65元;超出100度时,每度电的收费标准是0.80元.(3)用户月用电62度时,用户应缴费40.3元,若用户月缴费105元时,该户该月用了150度电.分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。
