《反比例函数的图象与性质》 知识清单
一、反比例函数的定义
一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k ≠ 0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。
例如：y ＝ 3/x，y ＝ －5/x 都是反比例函数。
需要注意的是，反比例函数中 x 作为分母，不能等于 0，所以反比例函数的定义域为 x ≠ 0。
二、反比例函数的表达式
反比例函数常见的表达式有以下三种形式：
1、 y ＝ k/x（k 为常数，k ≠ 0），这是最基本的形式。
2、 xy ＝ k（k 为常数，k ≠ 0），通过移项可得 y ＝ k/x。
3、 y ＝ kx^（－1)（k 为常数，k ≠ 0），其中 x^（－1) 表示 1/x。
三、反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线。
以 y ＝ k/x（k ＞ 0）为例，图象位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k ＜ 0 时，图象位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。 画反比例函数图象的一般步骤：
1、 列表：选取一些 x 的值，计算出相应的 y 值。
2、 描点：根据列表中的坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点。
3、 连线：用平滑的曲线将这些点依次连接起来。
需要注意的是，因为反比例函数的图象是双曲线，所以它的两个分支是无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。
四、反比例函数图象的性质
1、 对称性
反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形。
对称轴有两条，分别是直线 y ＝ x 和直线 y ＝ x；对称中心是坐标原点（0，0）。
2、 增减性
当 k ＞ 0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k ＜ 0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。
但需要特别强调的是，这里说的增减性是在每个象限内，不能笼统地说整个函数的增减性。
3、 渐近性
反比例函数的图象无限接近 x 轴和 y 轴，但永不相交。 4、 面积性质
反比例函数的图象及性质
【学习目标】
1.知识与技能: 数形结合分析理解反比例函数的性质，明确它的的增减性，并会初步运用.
2.过程与方法:经历探究反比例函数图象性质的过程，培养和发展学生的交流、合作和探究能力，提高学生的观察、识图能力。在学习的过程中，渗透〝特殊—一般〞〝类比〞、〝数形结合〞的思想方法.
3.情感与态度: 通过探究，充分展现了数学直观形象美，增强学生对数学学习的审美情趣.
【学习重点】反比例函数增减性的探究及应用.
【学习难点】反比例函数增减性的探究和从图象上分析、解决问题的方法.
【学习方法】 进行〝猜想→画图→分析→交流→发现→应用〞的一系列活动，积极思考，独立探索，自己发现并掌握相应的图象及其性质.
【学具准备】表格、图象、铅笔、多媒体 、小尺
【学习过程】
【一】复习回顾：
两个函数 正比例函数 反比例函数
关系式 ykx〔k≠0〕 kyx〔k≠0〕
图像形状 直线 线
k>0 草图
位置 第一三象限 第 象限 增减性 y随x的增大而 ？
K<0 草图
位置 第二四象限 在第 象限
增减性 y随x的增大而 ？
【二】创设情境：由一段对话引入，〝反比例函数与正比例函数的图象位置相同，因此增减性也相同〞争执不下引入课题.
【三】分类探究图象的增减性〔表格、关系式、图象、几何画板〕
〔一〕探究〝k＞0〞时图象的增减性
1.从〝数〞看：
当x＜0时 当x＞0时
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 … … 1 2 3 4 5 6 …
2yx … 13 25 12 23 1 2 … … 2 1 23 12 25 13 …
观察上表思考以下问题：
①当x＜0时，从左往右看，x的值在逐渐 ，y的值在逐渐 。
②当x＞0时，从左往右看，x的值在逐渐 ，y的值在逐渐
反比例函数概念与性质
反比例函数的概念与性质
一、反比例函数的概念
1.反比例函数可以写成y=k/x的形式，其中自变量x的指数为-1.在解决有关自变量指数问题时，应特别注意系数。
2.反比例函数也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。
3.反比例函数的自变量不能为0，故函数图象与x轴、y轴无交点。
二、反比例函数的图象
1.在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）。
2.反比例函数的图象是双曲线。随着k的增大，图象的弯曲度越小，曲线越平直；随着k的减小，图象的弯曲度越大。
3.反比例函数的图象与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线。当k>0时，图象的两支分别位于第一、第三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两支分别位于第二、第四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。
4.反比例函数的图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在另一支上。
5.反比例函数的k值的几何意义是：如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是k；如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥XXX的延长线于C，则三角形PQC的面积也是k。
6.反比例函数的增减性需要将两个分支分别讨论，不能一概而论。
7.直线y=k与双曲线y=k/x的关系：当k>0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称；当k=0时，两图象有一个公共点O；当k<0时，两图象没有交点。
8.反比例函数与一次函数的联系：当k=0时，反比例函数变为一次函数y=0.
求反比例函数的解析式的方法主要有三种：待定系数法、反比例函数k的几何意义、实际问题。
四、反比例函数解析式的确定
一、反比例函数的定义：
数学知识点之反比例函数
学习数学的目的是“学以致用”，现从反比例函数与一次函数、不等式、简单的几何知识的综合运用能提高我们的数学知识。下面是作者给大家带来的数学知识点之反比例函数，欢迎大家浏览参考，我们一起来看看吧!
初中数学知识点：反比例函数的定义
一样地，函数
(k是常数，k≠0)叫做反比例函数，自变量x的取值范畴是x≠0的一切实数，函数值的取值范畴也是一切非零实数。
注：
(1)由于分母不能为零，所以反比例函数函数的自变量x不能为零，同样y也不能为零;
(2)由
，所以反比例函数，自变量x的次数为-1; (3)在反比例函数中，两个变量成反比例关系，即
，因此判定两个变量是否成反比例关系，应看是否能写成反比例函数的情势，即两个变量的积是不是一个常数。
自变量的取值范畴：
①在一样的情形下,自变量x的取值范畴可以是不等于0的任意实数;
②函数y的取值范畴也是任意非零实数。
反比例函数性质：
①反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式;
②反比例函数表达式中，常数(也叫比例系数)k≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分;
③反比例函数
(k是常数，k≠0)的自变量x的取值范畴是不等式0的任意实数，函数值y的取值范畴也是非零实数。
反比例函数的定义的教学目标
1、从现实情境和已有的知识体会动身，讨论两个变量之间的类似关系，加深对函数概念的知道。
2、经历抽象反比例函数概念的进程，领会反比例函数的意义，知道反比例函数的概念。
3、结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件肯定反比例函数表达式。
初中数学知识点：反比例函数的图像
反比例函数的图象：
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无穷接近坐标轴，但永久达不到坐标轴。
