2021-2022学年广东省中山市高二上学期期末考试数学试卷含详解

2021-2022学年广东省揭阳市揭东区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设集合或，，则( )A. B.C. D.2.若复数，则( )A. B. C. D.3.已知数列的通项公式为，则( )A. 12B. 14C. 16D. 184.为调查参加考试的高二级1200名学生的成绩情况，从中抽查了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法正确的是( )A. 1200名学生是总体B. 每个学生是个体C. 样本容量是100D. 抽取的100名学生是样本5.倾斜角为，在y轴上的截距为2022的直线方程是( )A. B.C. D.6.棱长均为1的正四面体的表面积是( )A. B. C. D.7.已知，则( )A. B. C. D.8.已知点到直线l：的距离为1，则a等于( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.下列四个选项中，正确的是( )A. 数列的图象是一群孤立的点B. 数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列C. 数列，，，，…的一个通项公式是D. 数列，，…，是递减数列10.已知直线a，b和平面，若，，则直线b与平面的位置关系可能是( )A. B. b与相交 C. D.11.已知双曲线C：，下列对双曲线C判断正确的是( )A. 实轴长是虚轴长的2倍B. 焦距为2C. 离心率为D. 渐近线方程为12.已知正方体，则下列说法正确的有( )A.B.C. 与的夹角为D. 在面对角线中与直线所成的角为的有8条三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若函数的增区间是则实数__________.14.等比数列中，，，则数列的公比为__________.15.若抛物线C：上的一点到它的焦点的距离为3，则__________.16.已知三棱锥中，平面BCD，，，，则三棱锥的外接球的表面积为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。

中山市高二年级2021—2022学年度第一学期期末统一考试语文评分细则1.书写总分6分。

根据学生卷面和书写情况，按照等级，酌情给分，最低1分，最高6分。

2.A（“没有体现出”理解错误，而是“体现出了”）3.D（无比喻论证）4.①文章采用递进（层进）结构；②首先提出“汉语哲学”和“中国哲学”的区别这一问题；③然后分析强调“汉语哲学”的研究内容问题；④最后通过对比，明确“汉语哲学”这一称谓的内涵与价值。

评分细则：总体概括行文结构，给1分；后面三点，一点1分。

评分细则：总体概括行文结构，给1分；后面三点，一点1分。

补充：如下作答思路也可以①提出“汉语哲学”和“中国哲学”有何区别这一问题1分；②首先阐述中国哲学这一概念存在的局限性1分；③④然后说明汉语哲学研究的范畴或内容1分；最后明确汉语哲学这一称谓内涵和价值或意义（文中普遍性、创造性、本原性这些关键词都可给分吧？）1分5.C（“动了恻隐之心”与孙少平无关）6.①为情节的发展作铺垫（使情节紧凑、波澜起伏）。

（1分）少平想到郝红梅会因这件事毁掉一生，便急着去到二门市并有解人之困得举措。

（1分）（结合其他内容言之成理即可）②刻画出人物形象。

（1分）写出了少平对郝红梅的同情，担忧及焦灼的心态，刻画出少平仁爱宽恕等人格特征。

（1分）（结合侯主任形象言之成理即可）③强化审美效果。

（1分）对侯主任心理前后冷暖变化得对比描写，使小说对人性的刻画更深入更丰富。

（1分）④突出主旨。

（1分）通过侯主任、孙少平同情宽恕郝红梅的心理活动讴歌普通劳动者宅心仁厚温暖如春的美好心灵。

评分细则：（一点2分，两点4分，答对其中任意两点即可；如果有其他答案，言之成理，即可酌情给分）7.①重视名誉。

少平知道名誉对于一个人的重要性甚乎于生命，所以心急如焚去救人。

②人皆有恻隐之心（仁爱之心、善心）。

少平不计前嫌，对陷于困境的郝红梅给予了最大的同情与理解。

③直在其中。

少平用掩盖事情真相的处理方式貌似不公正，但其中包含更多人性的关怀与悲悯。

广东省中山市2021-2022学年高二上学期期末统一考试注意事项：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．满分100分，考试时间90分钟．2．所有题目的答案和解答过程均需写在答题卡上，否则无效．答第Ⅰ卷时用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案． 3．考试结束后，只需提交答题卡．第Ⅰ卷（共48分）一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。

每小题给出的四个选项中只有一项满足题设要求，选对得4分；不选、错选或多选不得分）1．对下列电器或设备的工作原理的描述，正确的是（ ） A ．微波炉是利用电磁感应原理使食物温度升高的 B ．手机无线充电的过程利用了电磁感应原理C ．雷达是利用超声波的多普勒效应进行测距和定位的D ．红外体温计是通过接收人体发射的X 射线来测体温的2．在如图所示的水平匀强电场中，将两个带电粒子M 和N （可视为点电荷）移至同一水平线上的不同位置，释放后，M 、N 恰好保持静止，不计粒子的重力，忽略M 、N 对匀强电场的影响，则（ ） A ．M 带正电荷，N 带负电荷 B ．M 、N 所带电荷量大小一定相等 C ．静止时M 受到的合力比N 的大D ．将M 、N 分开一些，释放后M 、N 仍保持静止3．用如图所示的电路来描绘小灯泡L 的伏安特性曲线，变阻器R 接于恒压电源（带开关），电源的输出电压为U ，接通电路（ ）A ．接通电路前，滑动变阻器的滑片P 应置于a 端B ．滑片P 置于R 的中点时，电压表的示数为C ．滑片P 由R 的中点向b 端滑动，电压表的示数可能为D ．滑片P 由R 的中点向a 端滑动，灯泡L 的功率将变大4．如图是某同学用“双缝干涉法”做测定某单色光的波长实验示意图。

图中，单缝到双缝的距离为L 1，双缝到墙壁的距离为L 2，双缝间距为d ，墙壁上的干涉图样及尺寸如图，则该单色光的波长为（ ） A ．1dx L B ．2dxL AVUa bR PL第3题图· ·MNE第2题图C．212dxL D ．212xL d5．铺设铁轨时,每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙,匀速运行的列车经过钢轨接缝处时,车轮就会受到一次冲击。

xyO'()y f x =3 4-2 -4广东省中山市2020-2021学年度第一学期期末统一考试高二数学试卷（理科）本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．不等式25x x ≥的解集是 A ．[0,5]B ．[5,)+∞C ．(,0]-∞D ．(,0][5,)-∞+∞2．已知一个数列的前四项为22221357,,,24816--，则它的一个通项公式为 A ．221(1)(2)nn n -- B ．1221(1)(2)n n n --- C ．221(1)2nn n -- D ．1221(1)2n nn --- 3．椭圆221625400x y +=的离心率为A ．35B ．45C ．34D ．16254．函数f (x )的导函数'()f x 的图象如右图所示， 则下列说法正确的是A ．函数()f x 在(2,3)-内单调递增B ．函数()f x 在(4,0)-内单调递减C ．函数()f x 在3x =处取极大值D ．函数()f x 在4x =处取极小值5．等差数列{}n a 的前n 项和12...n n S a a a =+++， 若1031S =，20122S =，则40S =A ．182B ．242C ．273D ．4846．长为3.5m 的木棒斜靠在石堤旁，木棒的一端在离堤足1.4m 的地面上，另一端在沿堤上2.8m 的地方，堤对地面的倾斜角为α，则坡度值tan α等于[3,)+∞(1,2]分）16．（13分）已知某精密仪器生产总成本C （单位：万元）与月产量x （单位：台）的函数关系为1004C x =+，月最高产量为150台，出厂单价p （单位：万元）与月产量x 的函数关系为21125801800p x x =+-. （1）求月利润L 与产量x 的函数关系式()L x ；（2）求月产量x 为何值时，月利润()L x 最大？最大月利润是多少？17．（13分）第四届中国国际航空航天博览会于2010年11月在珠海举行，一次飞行表演中，一架直升飞机在海拔800m 的高度飞行，从空中A 处测出前下方海岛两侧海岸P 、Q 处的俯角分别是45°和30°（如右图所示）. （1）试计算这个海岛的宽度PQ .（2）若两观测者甲、乙分别在海岛两侧海岸P 、Q 处同时测得飞机的仰角为45和30，他们估计P 、Q 两处距离大约为600m ，由此试估算出观测者甲（在P 处）到飞机的直线距离.18．（14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一直角梯形，其中,BA AD CD AD ⊥⊥，2,CD AD AB PA ==⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．（1）试用,,AD AP AB 表示BE ，并判断直线BE 与平面PAD 的位置关系； （2）若BE ⊥平面PCD ，求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值．19．（14分）已知函数3221()(2)3f x x ax a a x =-++，a R ∈.（1）当2a =-时，求()f x 在闭区间[]1,1-上的最大值与最小值；（2）若线段AB ：()2302y x x =+≤≤与导函数()y f x '=的图像只有一个交点，且交点在线段AB 的内部，试求a 的取值范围．20．（13分）过直角坐标平面xOy 中的抛物线()220y px p =>的焦点F 作一条倾斜角为4π的直线与抛物线相交于A 、B 两点.（1）求直线AB 的方程；（2）试用p 表示A 、B 之间的距离； （3）证明：AOB ∠的大小是与p 无关的定值. 参考公式：()()()2222224A A BB A B A B A B x y xy x x x x p x x p ⎡⎤++=+++⎣⎦中山市高二级2020-2021学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）答案一、选择题：DDAB DA C B二、填空题：9. －79； 10. 22188y x -=； 11. －3； 12. 222a b r +=；13. 83； 14. 613t t ++∆，61t +.三、解答题：15. 解：（1）由题可知，8252a a a =+， ……（1分） 即741112a q a q a q =+， ……（3分）由于10a q ≠，化简得6321q q =+，即63210q q --=， ……（4分）121q -，81q -，[1(11q q----.能构成等差数列sin(4530)sin 45cos30cos45sin30==︒-︒︒︒-︒︒xzy18. 解：设,AB a PA b ==，建立如图所示空间直角坐标系，(0,0,0),(,0,0)A B a ，(0,0,)P b ,(2,2,0),(0,2,0)C a a D a ，(,,)2bE a a . ……（2分）（1）(0,,)2bBE a =，(0,2,0),(0,0,)AD a AP b ==，所以1122BE AD AP =+， ……（5分） BE ⊄平面PAD ，//BE ∴平面PAD . ……（7分）（2）BE ⊥平面PCD ，BE PC ∴⊥，即0BE PC ⋅=.(2,2,)PC a a b =-，22202b BE PC a ∴⋅=-=，即2b a =. ……（10分）(0,2,2),(,2,0)PD a a BC a a =-=， ……（11分）2410cos ,5225a PD BC a a<>==⋅， 所以异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为105. ……（14分）19. 解：（1）当2a =-时，321()23f x x x =+. ……（1分）求导得2()4(4)f x x x x x '=+=+. ……（2分） 令()0f x '=，解得：4x =-或0x =． ……（3分）列表如下： ……（6分）x－1 （-1，0） 0 （0，1） 1 ()f x '－ 0 +()f x53 ↘↗73所以，()f x 在闭区间[]1,1-上的最大值是73，最小值是0． ……（7分） （2）22()22y f x x ax a a '==-++. ……（8分） 联立方程组2222,2 3.y x ax a a y x ⎧=-++⎨=+⎩……（9分）得()2221230.x a x a a -+++-= ……（10分）设22()2(1)23g x x a x a a =-+++-，则方程()0g x =在区间()0,2内只有一根, 相当于(0)(2)0g g ⋅<，即()()2223230,a a a a +-⋅--< ……（12分）。

2020-2021学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知0<x<1，0<y<1，记M=xy，N=x+y−1，则M与N的大小关系是()A. M<NB. M>NC. M=ND. M与N的大小关系不确定2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=2√2，A=45°，B=60°，则b=()A. 2√3B. √2C. 1D. 23.在等差数列函数{a n}中，a4+a5+a6=15，则a2+a8=()A. 5B. 10C. 12D. 154.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；…….依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得()A. “宫、商、角”的频率成等比数列B. “宫、徵、商”的频率成等比数列C. “商、羽、角”的频率成等比数列D. “徵、商、羽”的频率成等比数列5.已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x，且经过点(2,2√5)，则该双曲线的标准方程为()A. x24−y2=1 B. y24−x2=1 C. x2−y24=1 D. y2−x24=16.测量河对岸某一高层建筑物AB的高度时，可以选择与建筑物的最低点B在同一水平面内的两个观测点C和D，如图，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30m，并在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，则建筑物AB的高度为()A. 30√6mB. 15√6mC. 5√6mD. 15√2m7.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=1，AA1=2，D是BB1的中点，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值等于()A. √22B. √64C. √32D. √1048.已知平面向量a⃗,b⃗ ,e⃗满足：|b⃗ |=|e⃗|=1，b⃗ ⋅e⃗=0，|a⃗+e⃗|+|a⃗−e⃗|=4，则|a⃗−b⃗ |+|a⃗−e⃗|的最小值为()A. 4−√2B. 4+√2C. 5+√32D. 5+√3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知向量a⃗=(4,−2,−4),b⃗ =(6,−3,2)，则下列结论不正确的是()A. a⃗+b⃗ =(10,−5,−2)B. a⃗−b⃗ =(2,−1,6)C. a⃗⋅b⃗ =10D. |a⃗|=610.下列式子，可以是x2<1的一个充分不必要条件的有()A. x<1B. 0<x<1C. −1<x<1D. −1<x<011.设{a n}是等差数列，S n是其前n项的和，且S5<S6，S6=S7>S8，则下列结论正确的是()A. d<0B. S6与S7是S n的最大值C. S9>S5D. a7=012.下列函数中，最小值为2√2的有()A. y=x+2x (x>0) B. y=sinx+2sinx(0<x<π)C. y=e x+2e−xD. y=log2x+2log x2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题∀x∈R，x2−2x+4≤0的否定为______ ．14.抛物线y=14x2的准线方程是________．15.已知关于x的不等式(mx−m2−6)(x+4)<0(其中m∈R)的解集为A，若满足A∩Z=B(其中Z为整数集)，则使得集合B中元素个数最少时m取值范围是______．16.把半椭圆：x2a2+y2b2=1(x≥0)和圆弧：(x−1)2+y2=a2(x<0)合成的曲线称为“曲圆”，其中点F(1,0)是半椭圆的右焦点，A1，A2分别是“曲圆”与x轴的左、右交点，B1，B2分别是“曲圆”与y轴的上、下交点，已知∠B1FB2=120°，过点F的直线与“曲圆”交于P，Q两点，则半椭圆方程为______ (x≥0)，△A1PQ的周长的取值范围是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=mx2−mx−12．(1)当m=1时，解不等式f(x)>0；(2)若不等式f(x)<0的解集为，求实数m的取值范围．18.已知点P(2,m)是抛物线C：y2=2px(p>0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|=4，直线l：y=k(x−2)与抛物线C相交于不同的两点A，B．(1)求抛物线C的方程；(2)若|AB|=16，求k的值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2n+1−2.{b n}为等差数列，其前n项和为T n，如图___，T n的图象经过A，B两个点．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n⋅b n}的前n项和R n.从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答．ac．20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a+c)b=125(1)若a，b，c成等差数列，求cos B的值；(2)是否存在△ABC满足B为直角？若存在，求sin A的值；若不存在，请说明理由．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAB是正三角形，BC⊥AB，BC=CD=2√3，AB=AD=2．(1)若PB=3BE，求证：AE//平面PCD；(2)若PC=4，求二面角A−PC−B的正弦值．22.已知数列{a n}满足：a n a n−1+2a n−a n−1=0，(n≥2,n∈N)，a1=1，前n项和为S n的数列{b n}满足：b1=1，b n=2a n−a n a n−11−2a n a n−1(n≥2,n∈N)，又c n=S n−1b n(n≥2,n∈N)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：2≤(1+1c2)(1+1c3)…(1+1c n)<83(n≥2,n∈N)．答案和解析1.【答案】B【解析】解：M−N=xy−x−y+1=x(y−1)−(y−1)=(x−1)(y−1)，∵0<x<1，0<y<1，∴x−1<0，y−1<0，∴M−N>0，∴M>N．故选：B．利用作差法，即可比较出大小．本题考查了不等式性质，作差法是比较代数式大小的常用方法，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由正弦定理知：asinA =bsinB，从而b=a×sinBsinA =2√2×√32√22=2√3．故选：A．由正弦定理知：b=a×sinBsinA =2√2×√32√22=2√3．本题主要考察了正弦定理的应用，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由等差数列的性质可得：a4+a6=a2+a8=2a5所以a4+a5+a6=15，即3a5=15，a5=5，故a2+a8=2a5=2×5=10，故选：B．由等差数列的性质可得：a4+a6=a2+a8=2a5，代入可得a5=5，而要求的值为2a5，代入可得．本题为等差数列性质的应用，熟练掌握等差数列的性质是解决问题的关键，属基础题．4.【答案】A【解析】解：设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为32a，“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为98a，“商”经过一次“损”，可得“羽”频率为2716a，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是8164a，由于a，98a，8164a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，故选：A．根据文化知识，分别求出相对应的概率，即可判断．本题考查了等比数列的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则可以设其方程方程为x2−y24=m，又由其过点(2,2√5)，则有4−4×54=m，解可得m=−1，则其方程为：x2−y24=−1，其标准方程为：y24−x2=1，故选：B．根据题意，由双曲线的渐近线方程，可以设其方程为x2−y24=m，又由其过点(2,2√5)，将点的坐标代入方程计算可得m的值，即可得其方程，最后将求得的方程化为标准方程即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意最后的答案要检验其是否为标准方程的形式．6.【答案】B【解析】解：由题意，在△BCD中，∠BCD=15°，∠BDC=30°，∴∠CBD=135°，又CD=30m，由正弦定理得BC sin∠BDC =CDsin∠CBD ， ∴BC =30×sin1350sin300=15√2；在△ABC 中，∠ABC =90°，∠ACB =60°， ∴AB =BCtan60°=15√2×√3=15√6； 则建筑物高AB 为15√6m. 故选：B ．在△BCD 中利用正弦定理求得BC 的值，在△ABC 中利用直角三角形的边角关系求得AB 的值．本题考查了正弦定理与直角三角形的边角关系应用问题，是中档题．7.【答案】B【解析】解：以C 为坐标原点，在平面ABC 中，过C 作CB 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴建立空间直角坐标系， 因为AB =1，AA 1=2，则有A(√32,12,0),C(0,0,0),C 1(0,0,2),D(0,1,1)，故CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,0),CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,12,1)， 设平面AA 1C 1C 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则有{n ⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +12y =0n ⃗ ⋅CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2z =0，取x =1，则n ⃗ =(1,−√3,0)，设直线AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为θ， 则sinθ=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√3√2×√4=√64． 故选：B ．建立合适的空间直角坐标系，然后求出需点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后利用线面角的求解公式计算即可．本题考查了空间角的计算，主要考查的是线面角的求解，对于空间角的求解，一般会运用空间向量法，解题的关键是建立合适的空间直角坐标系，将问题转化为空间向量的夹角进行研究，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：b ⃗ ⋅e ⃗ =0⇒b ⃗ ⊥e ⃗ ，所以可建立平面直角坐标系如图所示， 使OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−e ⃗ =(−1,0)，OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =e ⃗ =(1,0)，ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ =(0,1)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗⃗⃗ =(x,y)， |a ⃗ +e ⃗ |+|a ⃗ −e ⃗ |=4⇒由椭圆定义知，P 点轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆， 2a =4⇒a =2，c =1，b =√a 2−c 2=√3，所以|a ⃗ −b ⃗ |+|a ⃗ −e ⃗ |=|BP|+|PF 2|=|BP|+4−|PF 1|=4−(|PF 1|−|BP|)≥4−|BF 1|=4−√2，当P 运动到P′时等号成立，所以|a ⃗ −b ⃗ |+|a ⃗ −e ⃗ | 的最小值为4−√2． 故选：A ．通过平面向量运算几何意义，确定动点轨迹为椭圆，用不等式方法求最小值即可判断． 本题考查了平面向量运算几何意义，考查了椭圆的基本性质，考查了用不等式求最值问题，属于中档题．9.【答案】BC【解析】解：∵向量a ⃗ =(4,−2,−4),b ⃗ =(6,−3,2)， ∴a ⃗ +b ⃗ =(10,−5,−2)，故A 正确； a ⃗ −b ⃗ =(−2,1，−6)，故B 错误； a⃗ ⋅b ⃗ =24+6−8=22，故C 错误； |a ⃗ |=√16+4+16=6，故D 正确． 故选：BC ．利用向量坐标运算法则直接求解．本题考查命题真假的判断，考查空间向量坐标运算法则等基础知识，是基础题．10.【答案】BD【解析】解：对于A，x<1时，x2有可能大于1，比如−3<1，(−3)2>1，故A错误；对于B，0<x<1⇒x2<1，故B正确；对于C，−1<x<1⇔x2<1，故C错误．对于D，−1<x<0⇒x2<1，故D正确；故选：BD．对于A，x<1是x2<1的不充分不必要条件；对于B，0<x<1是x2<1的一个充分不必要条件；对于C，−1<x<1是x2<1的充要条件；对于D，−1<x<0是x2<1的一个充分不必要条件．本题考查命题的充分非必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】ABD【解析】解：设{a n}是等差数列，S n是其前n项的和，且S5<S6，S6=S7>S8，则由S5<S6得a1+a2+a3+⋯+a5<a1+a2+⋯+a5+a6，即a6>0，又∵S6=S7，∴a1+a2+⋯+a6=a1+a2+⋯+a6+a7，∴a7=0，故D正确；同理由S7>S8，得a8<0，∵d=a7−a6<0，故A正确；而C选项S9>S5，即a6+a7+a8+a9>0，可得2(a7+a8)>0，由结论a7=0，a8<0，显然C是错误的．∵S5<S6，S6=S7>S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故B正确；故选：ABD．运用等差数列的前n项和的定义，对每一选项进行判断即可．本题考查了等差数列的前n项和的定义，是基础题．12.【答案】AC【解析】解；对于A：y=x+2x ≥2√x⋅2x=2√2，当且仅当x=2x时，即x=√2取等号，此时取得最小值2√2，故A成立；对于B：由0<x<π可得0<sinx≤1，令t=sinx∈(0,1]，y=t+2t在(0,1]上单调递减，当t=1时取得最小值3，故B不成立；对于C：令t=e x，则t>0，则y=t+2t ≥2√t⋅2t=2√2，当且仅当t=2t时，即t=√2取等号，此时取得最小值2√2，C成立；对于D，由于log2x∈R，所以设log2x=t，当t>0时，y=log2x+2log x2=log2x+2log2x =t+2t≥2√2，当且仅当t=2t时，即t=√2取等号，此时取得最小值2√2；当t<0时，y=log2x+2log x2=−[−t+(−2t)]≤−2√2，当且仅当t=2t时，即t=−√2取等号，此时取得最大值−2√2．综上述y≤−2√2或y≥2√2，故D不成立．故选：AC．由已知结合基本不等式及函数的单调性分别检验各选项即可判断．本题主要考查了基本不等式的应用条件在求解最值中的应用，属于基础题．13.【答案】∃x∈R，x2−2x+4>0【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题，∴命题∀x∈R，x2−2x+4≤0的否定是：∃x∈R，x2−2x+4>0，故答案是∃x∈R，x2−2x+4>0．根据全称命题的否定是特称命题，写出其否定命题即可．本题考查命题的否定及全称命题与特称命题．全称命题与特称命题是互为否定命题．14.【答案】y=−1【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，进而可求抛物线的准线方程．本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查抛物线的标准方程，属于基础题．【解答】解：由题意，抛物线的标准方程为x2=4y，∴p=2，开口朝上，∴准线方程为y =−1， 故答案为：y =−1．15.【答案】[2,3]【解析】解：对m 分类讨论：若m =0，不等式化为：x +4>0，解得x >−4.∴A =(−4,+∞).此时满足A ∩Z =B 的B 有无数个元素． 若m <0，不等式化为：(x −m 2+6m)(x +4)>0，无论m 2+6m与−4的大小关系如何，此时满足A ∩Z =B 的B 有无数个元素． 若m >0，不等式化为：(x −m 2+6m)(x +4)<0，解得−4<x <m 2+6m，此时满足A ∩Z =B的B 有有限个元素．由f(m)=m 2+6m，f′(m)=1−6m 2=m 2−6m 2，可得m =√6时，f(m)取得极小值即最小值，此时B 中只含有8个元素，令m 2+6m=5，解得m =2，3.∴2≤m ≤3．综上可得：使得集合B 中元素个数最少时m 取值范围是[2,3]． 故答案为：[2,3]．对m 分类讨论：利用一元二次不等式的解法，及其条件满足A ∩Z =B(其中Z 为整数集)，使得集合B 中元素个数最少时，即可得出．本题考查了不等式的解法、集合的运算性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】x 24+y 23=1 (6,8]【解析】解：由(x −1)2+y 2=a 2(x <0)，令y =0，可得x =1−a 以及A 1(−1−a,0)，再由椭圆的方程及题意可得A 2(a,0)，B 2(0,b)，B 1(0,−b)， 由∠B 1FB 2=120°，可得bc =√3， 由F(1,0)可得b =√3， 所以a =2，所以半椭圆及圆弧的方程分别为x 24+y 23=1(x ≥0)，(x −1)2+y 2=4(x <0)，所以A 1(−1,0),A 2(2,0),B 1(0,−√3),B 2(0,√3)， 可得A 1相当于椭圆的左焦点，△A 1PQ 的周长为PF +PA 1+A 1Q +QF ，当P 从A 2(不包括A 2)向B 2运动时，PA +PF =2a =4，当Q 在y 轴右侧时，A 1Q +QF =2a =4，所以这时三角形的周长为8，当P 从B 2向A 1运动时，Q 在第四象限，则A 1Q +QF =2a =4，PF +PA 1≤2r +A 1B 2=2+a =4，这时三角形的周长小于8，当P 运动到A 1时，Q 在A 2处，不构成三角形，三角形的周长接近2A 1A 2=6， 由曲圆的对称性可得P 运动到x 轴下方时，与前面的一样， 综上所述，△A 1PQ 的周长的取值范围为(6,8]． 故答案为：x 24+y 23=1；(6,8]．由椭圆的焦点坐标以及∠B 1FB 2=120°，可得椭圆的标准方程和圆的方程，从而得到半椭圆方程；易知A 1是椭圆的左焦点，过椭圆的右焦点F 的直线与曲圆可得P ，Q ，在直线转动的过程中由P ，Q 的位置可得三角形的周长的取值范围．本题考查了椭圆与圆的综合应用，涉及了椭圆标准方程以及圆的方程的求解，涉及了椭圆以及圆的性质的应用，解题的关键是准确分析P ，Q 的变化情况，属于中档题．17.【答案】解：(1)函数f(x)=mx 2−mx −12，当m =1时，解不等式f(x)>0，即x 2−x −12>0， 因式分解得：(x −4)(x +3)>0， 解得：x <−3或x >4，∴不等式的解集为{x|x <−3或x >4}．(2)当m =0时，此时f(x)=−12，不等式f(x)<0的解集为，恒成立，当m ≠0时，要使不等式f(x)<0的解集为，须满足：{m <0Δ=m 2+48m <0⇒−48<m <0, ∴−48<m ≤0综上可得，实数m 的取值范围是(−48,0]【解析】本题考查了不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行分析，属于基础题．(1)因式分解，利用一元二次不等式的解法求解即可；(2)对二次项系数进行讨论，利用一元二次不等式的解法求解即可．18.【答案】解：(1)由抛物线的定义知，|PF|=2+p2=4，∴p =4，∴抛物线C 的方程为y 2=8x ． (2)∵抛物线C 的方程为y 2=8x ， ∴F(2,0)， ∴直线l 过点F ，设A 、B 两点的横坐标分别为x 1，x 2，联立{y =k(x −2)y 2=8x ，得k 2x 2−(4k 2+8)x +4k 2=0，∴x 1+x 2=4k 2+8k 2=4+8k 2，∴|AB|=x 1+x 2+4=4+8k 2+4=16， 解得k =±1．【解析】(1)由抛物线的定义知，|PF|=2+p2=4，解之即可；(2)易知直线l 过点F ，设A 、B 两点的横坐标分别为x 1，x 2，将直线方程与抛物线方程联立，消去y ，结合韦达定理与抛物线的定义，可得解．本题考查直线与抛物线的位置关系，利用抛物线的定义处理焦点弦长是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)由S n =2n+1−2，可得n =1时，a 1=S 1=2，n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n+1−2−(2n −2)=2n ， 上式对n =1也成立，所以数列{a n }的通项公式为a n =2n ，n ∈N ∗； (2)设等差数列{b n }的公差为d ， 选图①，可得T 1=1，T 3=−3，即有b 1=1，3×1+12×3×2d =−3，解得d =−2， 则b n =1−2(n −1)=3−2n ， a n b n =(3−2n)⋅2n ，R n =1⋅2+(−1)⋅22+(−3)⋅23+⋯+(3−2n)⋅2n ，2R n=1⋅22+(−1)⋅23+(−3)⋅24+⋯+(3−2n)⋅2n+1，两式相减可得−R n=2−2(22+23+⋯+2n)−(3−2n)⋅2n+1−(3−2n)⋅2n+1，=2−2⋅4(1−2n−1)1−2化简可得R n=(5−2n)⋅2n+1−10；选图②，可得T1=1，T3=6，×3×2d=6，解得d=1，即有b1=1，3×1+12则b n=1+(n−1)=n，a nb n=n⋅2n，R n=1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n，2R n=1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n⋅2n+1，两式相减可得−R n=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1−n⋅2n+1，=2(1−2n)1−2化简可得R n=(n−1)⋅2n+1+2；选图③，可得T1=−3，T3=0，×3×2d=0，解得d=3，即有b1=−3，3×(−3)+12则b n=−3+3(n−1)=3n−6，a nb n=(3n−6)⋅2n，R n=(−3)⋅2+0⋅22+3⋅23+⋯+(3n−6)⋅2n，2R n=(−3)⋅22+0⋅23+3⋅24+⋯+(3n−6)⋅2n+1，两式相减可得−R n=−6+3(22+23+⋯+2n)−(3n−6)⋅2n+1−(3n−6)⋅2n+1，=−6+3⋅4(1−2n−1)1−2化简可得R n=(3n−9)⋅2n+1+18．【解析】(1)运用数列的递推式：n=1时，a1=S1，n≥2时，a n=S n−S n−1，化简可得所求通项公式；(2)设等差数列{b n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差，再由数列的错位相减法求和，可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，以及等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)若a，b，c成等差数列，所以a+c=2b，由于(a+c)b=125ac．所以cosB=(a+c)2−2ac−b22ac =3b22ac−1，由于(a+c)b=125ac，所以cosB=3b22ac −1=32×65−1=45．(2)假设B为直角，则sinB=1，sinC=cosA，由于(a+c)b=125ac，根据正弦定理(sinA+sinC)sinB=125sinA⋅sinC，即sinA+cosA=65sin2A，上式两边平方得：1+sin2A=3625sin22A，所以(9sin2A+5)(4sin2A−5)=0，由于0<sin2A≤1，所以9sin2A+5>0，4sin2A−5<0，与(9sin2A+5)(4sin2A−5)=0矛盾，故不存在△ABC满足B为直角．【解析】(1)直接利用等差数列的性质和余弦定理的应用求出结果．(2)利用假设法的应用和关系式的变换和应用推导出矛盾，进一步说明假设不成立，进一步得出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．21.【答案】(1)证明：如图，作EF//PC ，交BC 于F ，连接AF ．因为PB =3BE ，所以E 是PB 的三等分点，可得BF =2√33．因为AB =AD =2，BC =CD =2√3，AC =AC ，所以△ABC≌△ADC ， 因为BC ⊥AB ，所以∠ABC =90°， 因为tan∠ACB =AB BC =2√3=√33，所以∠ACB =∠ACD =30°，所以∠BCD =60°，因为tan∠AFB =ABBF =2√33=√3，所以∠AFB =60°，所以AF//CD ，因为AF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF//平面PCD ． 又EF//PC ，EF ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以EF//平面PCD ．因为AF ∩EF =F ，AF 、EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF//平面PCD ，所以AE//平面PCD ． (2)解：因为△PAB 是等边三角形，AB =2，所以PB =2．又因为PC =4，BC =2√3，所以PC 2=PB 2+BC 2，所以BC ⊥PB ． 又BC ⊥AB ，AB ，PB ⊂平面PAB ，AB ∩PB =B ，所以BC ⊥平面PAB ．因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD.在平面PAB 内作Bz ⊥平面ABCD ． 以B 点为坐标原点，分别以BC ，BA ，Bz 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B −xyz ，则C(2√3,0,0)，A(0,2，0)，P(0,1,√3)，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,0,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−2,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,√3)． 设m ⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)为平面BPC 的法向量，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2√3x 1=0y 1+√3z 1=0，令z 1=−1，可得m ⃗⃗⃗ =(0,√3,−1)．设n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)为平面APC 的法向量，则{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2√3x 2−2y 2=0−y 2+√3z 2=0， 令z 2=1，可得n ⃗ =(1,√3,1)． 所以cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=2×√5=√55． 则sin〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉=(√55)=2√55，所以二面角A −PC −B 的正弦值为2√55．【解析】(1)作EF//PC ，交BC 于F ，连接AF.证明AF//CD ，推出AF//平面PCD.结合EF//PC ，推出EF//平面PCD.证明平面AEF//平面PCD ，得到AE//平面PCD ． (2)以B 点为坐标原点，分别以BC ，BA ，Bz 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B −xyz ，求出平面BPC 的法向量，平面APC 的法向量，通过空间向量的数量积求解二面角A −PC −B 的正弦值即可．本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判断定理的应用，平面与平面平行的性质，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．22.【答案】解：(1)由条件得a n a n−1+2a n −a n−1=0⇒a n−1=2a n +a n a n−1，易知a n ≠0，两边同除以a n a n−1得1a n=2×1an−1+1⇒1a n+1=2(1a n−1+1)，又1a 1+1=2，故1a n+1=2n ⇒a n =12n −1(n ∈N ∗)，(2)因为：1+1c n=1+b nSn−1=S n−1+b n S n−1=S n S n−1(n ≥2,n ∈N)，所以(1+1c 2)(1+1c 3)…(1+1c n)=S2S 1×S3S 2×…×Sn−1S n−2×S nSn−1=S n S 1=S n ，故只需证2≤S n <83， 由条件b n =22n −1−12n −1×12n−1−11−2×12n −1×12n−1−1=2n −3(2n −1)(2n−1−1)−2<2n −1(2n −1)(2n−1−1)<2n(2n −1)(2n−1−1)=2(12n−1−1−12n −1)(n ≥2,n ∈N) 一方面：当n =2时S 2=2<83当n ≥3，n ∈N 时，S n =b 1+b 2+⋯+b n ≤1+1+2(122−1−123−1)+⋯+2(12n−1−1−12n −1)=2+23−12n −1<83， 另一方面：当n ≥2，n ∈N 时，b n >0所以S n =b 1+b 2+⋯+b n ≥1+1=2 所以当n ≥2，n ∈N 时2≤(1+1c 2)(1+1c 3)…(1+1c n)<83．【解析】(1)由题意a n a n−1+2a n −a n−1=0，变形可得1a n=2×1an−1+1⇒1a n+1=2(1an−1+1)，即得数列{1a n+1}是等比数列，即可求得结论；(2)由题意可得1+1c n=1+b nSn−1=S n−1+b n S n−1=S nSn−1(n ≥2,n ∈N)，故只需证2≤S n <83，故利用放缩法求得s n 的范围，即可得出结论．本题数列与不等式的综合性问题，主要考查学生对等比数列的定义及求和公式的掌握运用能力，考查学生的运算求解能力，逻辑性强，属于难题．。

2021-2022学年广东省中山市高二下学期期末数学试题一、单选题1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X ，则X 的可能取值为( ) A ．1,2，…，6 B ．1,2，…，7C ．1,2，…，11D ．1,2,3…【答案】B【详解】从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X ，则有可能第一次取出球，也有可能取完6个红球后才取出白球.2．某校高二（1）班甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是34和45，现甲、乙各投篮一次，恰有一人进球的概率是（ ） A ．120B ．320 C ．15D ．720【答案】D【解析】利用相互独立事件的概率乘法公式求得 甲投进而乙没有投进的概率，以及乙投进而甲没有投进的概率，相加即得所求．【详解】甲投进而乙没有投进的概率为 343(1)4520⨯-=，乙投进而甲没有投进的概率为341(1)455-⨯=,故甲、乙各投篮一次，恰有一人投进球的概率是 31720520+=,故选：D【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．3．老师想要了解全班50位同学的成绩状况，为此随机抽查了10位学生某次考试的数学与物理成绩，结果列表如下：若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩分布曲线，虚线表示全班物理成绩分布曲线，则下列正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据正态分布的图象性质判断，平均数表示对称轴，标准差反应正态曲线是“高瘦”还是“矮胖”得到答案.【详解】由X Y >，故数学分布曲线即实线的对称轴应位于物理分布曲线的对称轴的左边，排除B ，又由()()X Y σσ>，则数学分布曲线即实线应“矮胖”，而物理分布曲线应相对“高瘦”， 排除CD ，应选A. 故选：A.【点睛】本题考查了正态曲线的图象性质，属于基础题.4．其食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收集到了一部分不同年份的该酒品，并测定了其芳香度（如表）. 年份x14568芳香度y 1.3 1.8 5.67.4 9.3由最小二乘法得到回归方程 1.03 1.13y x =+，但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液，污损了一个数据，请你推断该数据为A ．6.1 B ．6.28 C ．6.5 D ．6.8【答案】A 【详解】0+1+4+5+6+8=46x =，因为样本中心点在回归方程 1.0313ˆ.1yx =+上，所以将4x =代入回归方程 1.0313ˆ.1yx =+，可得=5.25y ，设该数据为的值为m ，由1.3 1.8 5.67.49.35.256m +++++=解得=m 6.1，即该数据为6.1，故选A.5．密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的16000称为1密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如15密位记为“00—15”，1个平角＝30—00，1个周角＝60—00，已知函数()32cos f x x x =-，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当()f x 取到最大值时对应的x 用密位制表示为（ ） A ．15—00 B ．35—00C ．40—00D ．45—00【答案】C【分析】利用导数研究()f x 在给定区间上的最大值，结合题设密位制定义确定()f x 取到最大时x 用密位制.【详解】由题设，()32sin f x x '=+，在4[,)23x ππ∈时()0f x '>，在43(,]32x ππ∈时()0f x '<，所以()f x 在4[,)23x ππ∈上递增，在43(,]32x ππ∈上递减，即max 4()()3f x f π=，故()f x 取到最大值时对应的x 用密位制表示为40—00. 故选：C6．已知函数()212ln 22g x x a x x =--在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．(),0∞- B ．[)0,∞+ C ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】D【分析】根据题意参变分离得到222a x x ≤-，求出()22f x x x =-的最小值，进而求出实数a 的取值范围.【详解】由题意得：()220ag x x x'=--≥在()0,∞+上恒成立，即222a x x ≤-，其中()()22211f x x x x =---=在1x =处取得最小值，()()min 11f x f ==-，所以21a ≤-，解得：12a ≤-，故选：D7．函数()()22e xf x x x =-的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由函数()f x 有两个零点排除选项A ，C ；再借助导数探讨函数()f x 的单调性与极值情况即可判断作答.【详解】由()0f x =得，0x =或2x =，选项A ，C 不满足；由()()22e xf x x x =-求导得2()(2)e x f x x '=-，当2x <-2x ()0f x '>，当22x -<()0f x '<，于是得()f x 在(,2)∞-和(2,)+∞上都单调递增，在(2,2)上单调递减，()f x 在2x =-2x D 不满足，B 满足.故选：B8．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）种 A ．54 B ．72 C ．96 D ．120【答案】A【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次， ②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名， 分2种情况讨论：①甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有336A =种情况，此时有1863=⨯种名次排列情况；②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有236A =种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有336A =种情况，此时有6636⨯=种名次排列情况； 则一共有361854+=种不同的名次情况，故选：A ． 二、多选题9．下列选项中，在(,)-∞+∞上单调递增的函数有（ ） A ．4()f x x = B ．()sin f x x x =- C ．()x f x xe = D ．()2x x f x e e x -=--【答案】BD【分析】根据导数的方法逐项判定各选项对应函数的单调性，即可得出结果.【详解】A 选项，由4()f x x =得3()4f x x ，当0x >时，3()40f x x '=>，则()f x 单调递增；当0x <时，3()40f x x '=<，则()f x 单调递减，故排除A ；B 选项，由()sin f x x x =-得()1cos 0f x x '=-≥显然恒成立且不恒为零，所以()sin f x x x =-在(,)-∞+∞上单调递增，故B 满足题意；C 选项，由()x f x xe =得()()1xf x x e '=+，当1x >-时，()0f x '>，则()f x 单调递增；当1x <-时，()0f x '<，则()f x 单调递减，故排除C ；D 选项，由()2x x f x e e x -=--得()220x x f x e e -'=-≥=+显然恒成立且不恒为零，所以()2x x f x e e x -=--在(,)-∞+∞上单调递增，故D 满足题意； 故选：BD.【点睛】本题主要考查导数的方法判定函数单调性，属于基础题型. 10．A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ） A ．若A ，B 不相邻，有72种排法 B ．若A 在正中间，有24种排法 C ．若A 在B 左边，有24种排法 D ．若A ，B 相邻，有24种排法【答案】AB【分析】A.利用插空法求得选项 A 正确；B.直接利用分步原理和排列求得选项B 正确；C.利用缩倍法求得选项C 不正确；D.利用捆绑法求得选项D 不正确.【详解】A.若A 、B 不相邻，利用插空法得共有3234A A 72⋅=种方法，故A 正确；B.若A 站在最中间，有2242A A 24=种方法，故B 正确；C. 若A 在B 左边，利用缩倍法共有5522A 60A =种方法，故C 不正确； D. 若A 、B 两人相邻站在一起，利用捆绑法共有4242A A 48=，故D 不正确.故选：AB11．已知函数()f x 的导函数是()f x '，()f x '的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 在()2,1--上单调递减B ．函数()f x 在()1,1-上单调递减C ．函数()f x 在3x =处取得极大值D ．函数()f x 共有2个极小值点 【答案】BD【分析】根据()f x '的图象，可得x ∈（﹣1，1）时()f x '＜0，即可判断A ； 根据()f x '的图象，可得x ∈（﹣1，1）时()f x '＜0，即可判断B ；根据()f x '的图象，可得x ∈（1，3）时()f x '＞0，x ∈（3，+∞）时()f x '＞0，即可判断C ；根据()f x '的图象，可求出函数()f x 的极小值点，即可判断D.【详解】解：由导函数()f x '图象知当时()f x '＞0，所以函数f （x ）在（﹣2，﹣1）上为单调递增函数，故A 错误；由导函数()f x '图象知x ∈（﹣1，1）时()f x '＜0，所以函数f （x ）在（﹣1，1）上为单调递减函数，故B 正确；由导函数()f x '图象知x ∈（1，3）时()f x '＞0，x ∈（3，+∞）时()f x '＞0，f （x ）在x ＝3时不是极值，故C 错误，由导函数()f x '图象知x ∈（﹣∞，﹣3）时()f x '＜0，x ∈（﹣3，﹣1）时()f x '＞0，f （x ）在x ＝﹣3时取极小值，由导函数()f x '图象知x ∈（﹣1，1）时()f x '＜0，x ∈（1，3）时()f x '＞0，f （x ）在x ＝1时取极小值，故函数有两个极小值点；故D 正确． 故选：BD ． 12．已知()12P A =，()13P BA =，()34P B A =，则下列结论正确的是（ ）A ．()23P B A = B ．()14P B A =C ．()23P B =D ．()37P A B =【答案】AD【分析】根据条件概率公式及相互独立事件、对立事件的概率公式计算可得； 【详解】解：()()()23P BA P B A P A ==，因为()()()()()314P BA P BA P B A P A P A ===-，所以()38P BA =，因此()()()13173824P B P BA P BA =+=+=，()()17124P B P B =-=，又()()114P B A P B A =-=，所以()()()()113274724P A P A B P B AP B ==⨯=. 故选：AD. 三、填空题13．曲线3()33f x x x =-+在点(2,)P t 处的切线方程为___________. 【答案】9130x y --=【分析】求出函数()f x 在3x =处的导数值，再利用导数的几何意义求解作答. 【详解】依题意，233f x x ，则(2)9f '=，又(2)5t f ==，于是得59(2)y x -=-，即9130x y --=，所以所求切线方程为9130x y --=. 故答案为：9130x y --= 14．已知33,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，且52Y X =-+，则Y 的方差为________． 【答案】18.【分析】结合二项分布的方差的计算公式求出()D X ，进而根据方差的性质即可求出结果.【详解】因为33,5XB ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()3318315525D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，且52Y X =-+则()()()2185251825D Y D X =-=⨯=，因此Y 的方差为18， 故答案为：18.15．函数()1xf x e x =-+的零点个数是__________．【答案】2【分析】结合,1xy e y x ==+的图象以及导数确定正确选项.【详解】()10,1x xf x e x e x =-+==+，画出x y e =与1y x =+的图象如下图所示， 当1x >-时，11y x x =+=+，()'=x xe e，所以在曲线x y e =图象上点()0,1的切线方程为()010y e x -=-，即1y x =+.由图可知x y e =与1y x =+有两个公共点，即()f x 有两个零点. 故答案为：216．在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量()~,X B n p ，记()1n kk kk n p C p p -=-，0,1,2,,k n =⋅⋅⋅.在研究k p 的最大值时，小组同学发现：若()1n p +为正整数，则()1k n p =+时，1k k p p -=，此时这两项概率均为最大值；若()1n p +为非整数，当k 取()1n p +的整数部分，则k p 是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为____________的概率最大. 【答案】18【分析】直接根据X 服从二项分布1~80,6X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合127(1)8113.562k n p =+=⨯==取整数部分可得后面80次出现点数1的次数为13概率最大，从而得解.【详解】继续再进行80次投掷试验，出现点数为1次数X 服从二项分布1~80,6X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由127(1)8113.562k n p =+=⨯==，结合题中结论可知，13k =时概率最大，即后面80次中出现13次点数1的概率最大，加上前面20次中的5次，所以出现18次的概率最大.故答案为：18. 四、解答题17．212nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式一共有7项．（1）求展开式中二项式系数之和； （2）求展开式中的常数项 【答案】（1）64；（2）60.【分析】（1）由展开式项数得n ，从而由二项式系数的性质得结论； （2）写出展开式通项公式，得常数项所在项数后可得结论．【详解】解：（1）由212nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式一共有7项得6n =，所以，6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数之和为6264=；（2）由6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭得：展开式的通项为()626123166122kk k k k kk T C x C x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令1230k -=，得4k =，所以展开式中的常数项为426260C =．18．已知函数()e 1x f x a bx =++在0x =处有极值2． （Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）证明：()e f x x x >-．【答案】（Ⅰ）1,1a b ==-；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）求出导函数()'f x ，由(0)0f '=且(0)2f =求得,a b ，并检验0是极值点； （Ⅱ）不等式化为1e 0e x x -+>，引入函数()e e 1x g x x =-+，由导数求得()g x 的最小值，最小值大于0，从而证得不等式成立．【详解】（Ⅰ）解：由已知，()e x f x a b '=+，则00(0)e 0,(0)e 01 2.f a b f a b ⎧=+=⎨=+⨯+='⎩解得，1,1.a b =⎧⎨=-⎩经检验，1,1a b ==-符合题意.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，()e 1x f x x =-+．要证()e f x x x >-， 只需证e 1e x x x x -+>-． 即1e 0e x x -+>．令()e e 1x g x x =-+，则e ()e x g x '=-． 令()0g x '=，解得1x =．()g x '，()g x 的变化情况如下表所示．所以，1x =时，()g x 有最小值1(1)e e 1110g =-⨯+=>． 故()e f x x x >-成立19．携号转网，也称作号码携带､移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务.2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动.某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为1315，服务水平的满意率为23，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人.（1）完成下面22⨯列联表，并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关；（2）为进一步提高服务质量.在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X 表示对业务水平不满意的人数，求X 的分布列与期望. 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.【答案】（1）列联表证明见解析，有97.5%的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：25.【分析】（1）由题意得出22⨯列联表，再计算2K ，可得结论；（2）由已知得X 的可能值为0，1，2.分别求得则()0P X =，()1P X =，()2P X =，得出分布列，运用数学期望公式可求得其数学期望.【详解】（1）由题意知对业务水平满意的有260人，对服务水平满意的有200人，得22⨯列联表经计算得()2230018********* 5.77 5.0242001002604013K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关. （2）X 的可能值为0，1，2.则()0220802100C C 3160C 495P X ===，()1120802100C C 1601C 495P X ===，()2202100C 192C 495P X ===，()3161601920124954954955E X =⨯+⨯+⨯=. 20．如图，在正三棱锥P ABC -中，有一半径为1的半球，其底面圆O 与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D 为BC 的中点，ADP α∠=．(1)用α分别表示线段BC 和PD 长度；(2)当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求三棱锥的侧面积S 的最小值．【答案】(1)23sin BC α=；1sin cos PD αα=(2)272【分析】（1）连接OP ，由题意O 为ABC 的中心，则可得POD 为直角三角形，设半球与面PBC 的切点为E ，然后分别在Rt ODE △和Rt POD 中求解即可， （2）由已知条件可得233sin cos S αα=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令cos t α=，则上述函数变形为()333S t t t =-，()0,1t ∈，然后利用导数可求得结果 【详解】(1)连接OP ，由题意O 为ABC 的中心，且PO ⊥面ABC ，又AD ⊂面ABC ，所以PO AD ⊥，所以POD 为直角三角形．设半球与面PBC 的切点为E ，则1OE =且OE PD ⊥． 在Rt ODE △中，13sin 32OE OD α==，所以23BC =． 在Rt POD 中，1cos sin cos OD PD ααα==． (2)由题知，132313322sin cos PBC S S BC PD αα==⨯⨯⨯=△， 化简得33S =，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令cos t α=，则上述函数变形为()S t ()0,1t ∈， 所以())()22331t S t t t -'=-，令()0S t '=，得t =t ⎛∈ ⎝⎭时， ()0S t '<，()S t单调递减，当t ⎫∈⎪⎪⎝⎭时，()0S t '>，()S t单调递增，所以当t =三棱锥的侧面积S的最小值为272S =⎝⎭．21．某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽取11名考生的数据，统计如下表：（1）由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩y 与数学成绩x 之间具有线性相关关系，请根据这10组数据建立y 关于x 的回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的成绩；（2）已知参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布2(,)N μσ，用剔除异常数据后的样本平均值作为μ的估计值，用剔除异常数据后的样本标准差作为σ的估计值，估计物理成绩不低于75分的人数Y 的期望. 附：参考数据：上表中的x ；表示样本中第i 名考生的数学成绩，y ；表示样本中第i 名考生的物理成绩，111111i i y y ==∑.参考公式：①对于一组数据：12,,,n u u u ，其方差：()22221111n n i i i i s u u u u n n ===-=-∑∑.②对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线ˆˆˆva bu =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221ˆni i i nii u v nuvb unu==-=-∑∑，ˆˆa v bu=-.③若随机变量ε服从()2,N μσ，则()0.683P μσξμσ-<<+≈，220.55()9P μσξμσ-<<+≈，330.97()9P μσξμσ-<<+≈.【答案】（1）ˆ0.3135y x =+，物理成绩为69.1；（2）1585.【分析】（1）结合题中数据以及公式可得ˆ0.3135yx =+，将110代入即可得结果； （2）先得考生的物理成绩服从正态分布()266,9N ，根据正态分布的概率特征不低于75分的概率，进而得期望.【详解】（1）设根据剔除后数据建立的y 关于x 的回归直线方程为ˆˆˆybx a =+， 剔除异常数据后的数学平均分为111011010010-=， 剔除异常数据后的物理平均分为66006610-=， 则2268586110010661002586ˆ0.31120426110101008326b-⨯-⨯⨯==≈--⨯， 则ˆ660.3110035a=-⨯=， 所以所求回归直线方程为ˆ0.3135yx =+. 又物理缺考考生的数学成绩为110，所以估计其可能取得的物理成绩为ˆ0.311103569.1y=⨯+=. （2）由题意知66μ=， 因为()2111122211660114770114437011i i i i y y y y ==⎛⎫=-+=+⨯= ⎪⎝⎭∑∑，所以9σ==， 所以参加该次考试的10000名考生的物理成绩服从正态分布()266,9N ，则物理成绩不低于75分的概率为10.6830.15852-=， 由题意可知()~10000,0.1585Y B ， 所以物理成绩不低于75分的人数Y 的期望 100000.15851585EY =⨯=.22．已知函数()()21ln 1x f x x x -=-+. (1)证明：当1x >时，()0f x >；(2)从编号为1~100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20张，设抽取的20个号码互不相同的概率为p .证明：1929110e p ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）先利用导数证明函数()()21ln 1x f x x x -=-+在定义域上为增函数，再考虑当1x =时，(1)0f =，故当1x >时，()0f x >（2）先计算概率2010020A 100P =，再证明1920201002020A 10099819100901001001090100⨯⨯⋯⨯⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证明19999881(90)⨯⨯⋯⨯<，最后证明1929()e 10-<，即证19210()e 9>，即证101929ln>，即证102919ln>，而这个结论由（1）所得结论可得. 【详解】(1)由已知得函数()f x 的定义域为()0+∞，， ∵()()()()222114011x f x x x x x -=-=+'≥+，∴ 函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增， 又∵(1)0f =∴ 当1x >时，()()10f x f >=，即()0f x >. (2)由已知条件得，抽取的20个号码互不相同的概率为20100202019A 100999881999881=100100100p ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯==，∵222998190990⨯=-<，同理2988290⨯<，2978390⨯<，⋅⋅⋅，2819990⨯<， ∴1999988190⨯⨯⋅⋅⋅⨯<，∴1919199199988190910010010⨯⨯⋅⋅⋅⨯⎛⎫<= ⎪⎝⎭，再证：1929110e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即证：919ln210<-，即92ln 1019<-，92ln 01019+<， 由（1）得，当1x <时，()0f x <，取910x =， 则992ln 0101019f ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，证毕.。

广东中山21-22学度高二上学期年末试卷-数学理数学试卷（理科）本试卷满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2、选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 如需改动，先划掉原先的答案，然后再写上新的答案. 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁。

考试终止，将答题卡交回，试卷不用上交。

5、不能够使用运算器。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．抛物线2x y =的焦点坐标是A ． )0,41( B ．)41,0( C ．)0,21( D ．)21,0(2．已知△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列，且AB=1，BC=4，则该三角形面积为 A ．3 B ．2 C ．23 D ．43 3．若,a b R ∈，则以下命题为确实是 A ．若a b >，则11a b < B ．若||a b >，则11a b< C ．若a b >，则22a b > D ．若||a b >，则22a b > 4．当x 在(,)-∞+∞上变化时，导函数/()f x 的符号变化如下表：x(,1)-∞1 （1，4）4 (4,)+∞/()f x－+－则函数()f x 的图象的大致形状为5．已知等差数列：2454377,,,的前n 项和为n S ，则使得n S 取得最大值的n 的值为A ．7B ．8C ．7或8D ． 8或9 6．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正 方形，若01160A AB A AD ∠=∠=，且13A A =，则1A C 的长为 A 5 B ．22C 14D 177．直线l 交抛物线C ：22(0)y px p =>于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，则“12||AB x x p =++”是“直线l 过抛物线C 的焦点”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．已知函数6761)(3+-=x x f 在点（1，1）处的切线方程为0=++c by ax (0a >)，则满足约束条件0010ax by c x y y ++≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩的点),(y x 的可行域面积为A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上） 9．命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的逆否命题是 。

中山市2022—2022高二第一学期期末考试数学（理）中山二级2007—2022学年度第一学期期末统一考试数学理科试卷本试卷分第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分。

共100分，考试时间100分钟。

第I卷（选择题共40分）注意事项：1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题（每小题4分，共40分）1.若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是()A.inAB.coAC.tanA2.当a0时，“a1”是“D.1tanA11”()aA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件3.21与21，两数的等比中项是()A.12B.1C.1D.124.不等式a某b某20的解集是{某A.10B.-10C.1411某}，则ab的值是()23D.-145.在△ABC中，A:B:C1:2:3，则a:b:c等于（）A．1:2:3B．3:2:1C．1:3:2D．2:3:1某2y21有相同的两焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是（）6.与椭圆4某2某2某2y2y2222A.y1B.y1C.11D.某422337.若曲线y某的一条切线l与直线某4y80垂直，则l的方程为()A.某4y30B.某4y50C.4某y30D.4某y308.不等式组4某3y60表示的区域是()某y209.在等差数列{an}中，a3,a8是方程某3某50的两个根，则S10是()A.15B.30C.50D.1512292某2y210.若抛物线y2c某的焦点与椭圆1的右焦点重合，则c的值为()622A.2B.-2C.4D.-4第II卷（非选择题共60分）题号二、填空题（每小题4分，共16分）11命题p：某R,某2某20的否定是2二1516171819总分总分人复分人12.已知a(1某,1某,某),b(2,某,某)(某R)，则ab的是小值为.13.两个等差数列an,bn,a1a2...an7n2a,则5=.b1b2...bnn3b5y21，则某1y2的最大值为14设某0,y0,某22三、解答题（共5小题.15、16、17、18题各9分，19题8分，合计44分）得分评卷人15.在ΔABC中，角A、B、C所对的边是a、b、c，且a2c2b21ac.2（1）求inB的值（4分）（2）若b=2，求ΔABC面积的最大值（5分）得分评卷人16.已知函数f(某)某(某c).⑴当c1时，求函数的单调区间（5分）⑵函数f(某)在某2处有极大值，求c的值（4分）得分得分评卷人18.如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC=900，BC=2，CC1=4，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.（Ⅰ）求证：B1D⊥平面ABD；（3分）（Ⅱ）求证：平面EGF∥平面ABD；（3分）（Ⅲ）求平面EGF与平面ABD的距离.（3分）得分（2）求和：T2n2评卷人17.设抛物线的顶点为O，经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点B，C，经过抛物线上一点P垂直于轴的直线和轴交于点Q，求证：|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项.评卷人19.设an为等比数列，a11，a23．（1）求最小的自然数n，使an≥2007；1232n．a1a2a3a2n参考答案一、选择题：AACDCBDBAC二、填空题：11：某R,某2某20；12：15；13：三、解答题：15．解：（1）∵a2c2b2∴coB23265；14：41211ac，∴b2a2c2ac2214∵B是ΔABC的内角，则B(0,2)∴inB1coB215；4115acinBac28（2）若b=2，ΔABC面积SABC又ac4∴221ac218ac4a2c22ac，∴0ac231515ac83∴SABC当ac82615时，ΔABC面积SABC为最大值.33316．解：⑴当c1时，f(某)某(某1)某2某某；f'(某)3某4某1，令3某4某10；得某1或某列表：2232213某f'(某)f(某)1(,)3+↗130极大值1(,1)310极小值(1,)+↗-↘∴函数f(某)的单调增区间分别为(,)，(1,)；函数f(某)的单调减区间为(,1).⑵∵f(某)某(某c)某2c某c某；∴f'(某)3某4c某c∵函数f(某)在某2处有极大值，∴f'(2)0,即128cc0；∴c2或c6 17．证明：如图，设抛物线方程：y2p某(p0)，焦点为F(222232213132p,0)，2y22p某p直线BC的方程为某；解方程组，得yp，p2某2∴B(pp,p)，C(,p)，|BC|=2p；222令P(某0,y0)，由y02p某0，其中|OQ|=某0，|PQ|=|y0|∵|PQ|2=y02；|BC||OQ|=2p某0∴|PQ|2=|BC||OQ|；∴|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项.18．（Ⅰ）证明：如图所示，建立空间直角坐标系，设A1（a，0，0），则C1（0，2，0），F（0，1，0），E（0，0，1），A（a，0，4），B（0，0，4），D（0，2，2），a，1，0），2∴B1D(0,2,2)，AB(a,0,0)，BD(0,2,2)，G（∴B1DAB0000，B1DBD0440，∴B1D⊥AB，B1D⊥BD，又AB∩BD=B，∴B1D⊥平面ABD.（Ⅱ）证明：∵AB(a,0,0)，BD(0,2,2)，aGF(,0,0)，EF(0,1,1)，2∴GF∥AB，EF∥BD，∴GF∥AB，EF∥BD，又GF∩EF=F，AB∩BD=B，∴平面EGF∥平面ABD （Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，DH为平面EFG与平面ABD的公垂线段，设B1HB1D(0,2,2)，则EH(0,2,21)，EF(0,1,1)2211∵EH与EF共线，∴，即，114321133∴B1H(0,,)，HD(0,,)，∴HD，22222因此，平面EGF与平面ABD的距离为3223n1，a2a119．解：（1）由已知条件得na167n1因为320073，所以，使an≥2007成立的最小自然数n8．（2）因为T2n12342n232n1，①133********n12nT2n2342n12n，②3333333411112n①②得：T2n1232n12n333333112n32n132n13332n38n2n4332n2924n所以T2n．2n163∴GF∥AB，EF∥BD，∴GF∥AB，EF∥BD，又GF∩EF=F，AB∩BD=B，∴平面EGF∥平面ABD （Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，DH为平面EFG与平面ABD的公垂线段，设B1HB1D(0,2,2)，则EH(0,2,21)，EF(0,1,1)2211∵EH与EF共线，∴，即，114321133∴B1H(0,,)，HD(0,,)，∴HD，22222因此，平面EGF与平面ABD的距离为3223n1，a2a119．解：（1）由已知条件得na167n1因为320073，所以，使an≥2007成立的最小自然数n8．（2）因为T2n12342n232n1，①133********n12nT2n2342n12n，②3333333411112n①②得：T2n1232n12n333333112n32n132n13332n38n2n4332n2924n所以T2n．2n163。

2022-2021学年上学期高二数学综合测试题08一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个正确选项。

1．已知全集U ＝{－1，0，1，2，3，4}，集合A ＝{－1，1，2，4}， B ＝{－1，0，2}，则B ∩(C U A )等于 （ ） A. {0} B. {0，3} C. {－1，0，－2} D.φ2．若121()log (21)f x x =-，则()f x 的定义域为 （ ）A ．1(,1)2B ．1(,1]2C ．1(,)2+∞ D ．(1,)+∞3. 已知条件:1p x ≤，条件1:1q x<，则q p ⌝是成立的 ( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分也非必要条件 4. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( ) A ．众数 B ．平均数 C ．中位数 D ．标准差5. 已知命题p ：2,0x R x x a ∀∈-+>，若p ⌝为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．14a ≥B ．14a >C ．14a ≤D ．14a < 6．给出如下四个命题： ① 若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题； ② 命题“若122,->>b a b a 则”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”;③"11,"11,"22≤+∈∃≥+∈∀x R x x R x 的否定是“，④ “若22,am bm <则a b <”的逆命题为真命题; 其中不正确．．．的命题的个数是 （ ）A ．4B ．3C ． 2D ． 17．函数2()2x f x a x =--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)8．已知函数()()()()f x x a x b a b =-->其中的图象如图所示，则函数()x g x a b =+图象可能是 （ ）9. 已知函数(1)f x +是偶函数，当121x x <<时，0)()(1212>--x x x f x f 恒成立，设 a f =（-12）,(2)b f =,(3)c f =, 则a ,b ,c 的大小关系为 （ ）A ．a b c <<B ．c b a << C.b c a << D ．b a c <<10. 在花园小区内有一块三边长分别为m m m 655、、的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过m 2的概率是 （ ）A ．41π-B ．61π-C ．32π- D ．22π- 11．右下图是推断“美数”的流程图．在[]30,40内的全部整数中，“美数”的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 12．下图是用模拟方法估量圆周率π的程序框图，P 表示π的估量结果，则图中空白框内应填入 （ ）A ．1000N P =B ．41000N P =C ．1000M P =D ．41000M P =（第12题）开头 输入y3整除y6整除y 12整除y输出 “不是美数”输出“是美数”结束 是是是 否否否二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2021-2022学年广东省中山市高二上学期期末数学试题一、单选题120y +-=的倾斜角为（ ） A ．30︒ B ．150︒C ．120︒D ．60︒【答案】C【分析】先求出直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系即可求解.20y +-=得，直线的斜率为α与斜率的关系得tan α=120α=.故选：C2．已知复数z 满足()34i 25z +⋅=（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．34i -- B ．34i -+ C ．34i - D ．34i +【答案】D【分析】由复数的除法运算与共轭复数的定义求解即可 【详解】因为()34i 25z +⋅=，所以()()()2534i 2534i 34i 34i 34i z -===-++-， 所以z =34i +， 故选：D3．已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，若112a =，则2022a =（ ） A ．-1 B ．12C ．1D ．2【答案】A 【分析】由111n n a a +=-，且112a =，得到所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列求解. 【详解】解：因为数列{}n a 满足111n n a a +=-，且112a =， 所以()2341211112,1,11112a a a a a ====-==----， 所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列， 所以2022367401a a ⨯+==-，故选：A4．过点()1,2P 引直线，使()2,3A ，()4,5B -两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ） A ．240x y +-=B ．250x y +-=C ．240x y +-=或250x y +-=D ．3270x y +-=或460x y +-=【答案】D【分析】就直线与AB 平行或过AB 的中点可求直线的方程. 【详解】若过P 的直线与AB 平行，因为3(5)424AB k --==--， 故直线l 的方程为：()241y x -=--即460x y +-=.若过P 的直线过AB 的中点，因为AB 的中点为()3,1-，此时2(1)3132AB k --==--， 故直线l 的方程为：()3212y x -=--即3270x y +-=. 故选：D.5．已知F 是抛物线C ：24y x =的焦点，过C 上一点M 作其准线的垂线，垂足为N ，若120NMF ∠=︒，则点M 的横坐标是（ ） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】A【分析】利用抛物线的定义，结合已知条件，求出NF 的长，进而求得43MF =，再结合抛物线的定义，即可求解.【详解】如图所示，抛物线2:4C y x =的焦点坐标为(1,0)F ， 过C 上一点M 作其准线的垂线，垂足为N ，若120NMF ∠=︒， 可得,30MF MN NFO FNM =∠=∠=,又由2DF =，所以NF =在等腰MNF 中，可得43MF =， 设00(,)M x y ，根据抛物线的定义，可得0413MF x =+=，解得013x =， 即点M 的横坐标为13.故选：A.6．将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧.则异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小为（ ）A ．6πB ．4π C ．3πD ．2π【答案】B【分析】以O 为坐标原点，OA 、1OO 所在直线分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，利用空间向量法可计算出异面直线1B C 与1AA 所成的余弦值，即可得解.【详解】以O 为坐标原点，OA 、1OO 所在直线分别为y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0A 、()10,1,1A 、131,12B ⎫⎪⎪⎝⎭、31,02C ⎫-⎪⎪⎝⎭. 所以()10,0,1AA =，()10,1,1B C =--，则()()211001111AA B C ⋅=+⨯-+⨯-=-，所以111111cos ,1AA B C AA B C AA B C⋅-<>===⨯⋅因此，异面直线1B C 与1AA 所成的角为4π. 故选：B.【点睛】本题考查利用空间向量法求解异面直线所成角的大小，考查计算能力，属于中等题.7．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*232n n S a n N =-∈，则6a =（ ）A ．243B ．244C ．486D ．488【答案】C【分析】通过()*232n n S a n N =-∈，求出数列的通项公式，代入计算即可.【详解】由232n n S a =-，① 所以11232n n S a ++=-，② ②-①：11233n n n a a a ++=- 所以1133n n n na a a a ++=⇒= 当1n =时，11232S a =- 所以12a =，所以数列{}n a 以首项为12a =，公比3q =的等比数列所以123(N )n n n a -*=⋅∈所以61652323486a -=⨯=⨯=故选：C.8．已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以1PF 为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则12QF QF ⋅= A ．B ．4C ．3D ．1【答案】C【分析】利用向量的数量积运算可得()()22121QF QF QO QF ⋅=-，利用||QO QN NO =+，进一步利用椭圆的定义可转化为22a c -，进而得解.【详解】连接2PF ,设椭圆的基本量为,,a b c ，()()()()2212121QF QF QO OF QO OF QO QF ⋅=+⋅+=-, ()221222222322PF PF QN NO c c a c b ⎛⎫=+-=+-=-== ⎪⎝⎭故答案为：3.【点睛】本题考查椭圆的定义与平面向量的数量积的运算，属中档题，关键是利用向量的数量积运算进行转化，并结合椭圆的定义计算.二、多选题9．设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，则下列命题正确的是（ ）A ．若()12n n a a n N *+-=∈，则数列{}n a 为等差数列B ．若()12n n b b n N *+=∈，则数列{}n b 为等比数列C ．若数列{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，()32n n S S n N *-∈成等差数列D ．若数列{}n b 是等比数列，则n T ，2n n T T -，()32n n T T n N *-∈成等比数列【答案】AC【分析】对于A ，C ，利用等差数列的定义判断即可，对于B ，D ，通过举反例判断【详解】解：对于A ，由等差数列的定义可知当()12n n a a n N *+-=∈时，数列{}n a 为等差数列，所以A 正确；对于B ，当0n b =时，满足()12n n b b n N *+=∈，但数列{}n b 不是等比数列，所以B 错误；对于C ，数列{}n a 是等差数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则12212(21)(1)22[]22n n n n n n n S na d na d n S S d ----=+-+=， 32232()2n n n n n n n S S S S S S S ---=-+21113(31)2(21)(1)32[2]222n n n n n n na d na d na d n d ---=+-+++=， 所以3222()()n n n n n n n S S S S S S S ---=--，所以n S ，2n n S S -，()32n n S S n N *-∈成等差数列，所以C 正确；对于D ，当等比数列{}n b 的公比1q =-，n 为偶数时，n T ，2n n T T -，()32n n T T n N *-∈均为零，所以n T ，2n n T T -，()32n n T T n N *-∈不成等比数列，所以D 错误，故选：AC10．（多选）已知圆()()22:1225C x y -+-=，直线()():211740l m x m y m +++--=.则以下几个命题正确的有（ ）A ．直线l 恒过定点()3,1B ．圆C 被y 轴截得的弦长为C ．直线l 与圆C 恒相交D ．直线l 被圆C 截得最长弦长时，直线l 的方程为250x y --=【答案】ABC【解析】求出直线所过定点坐标，再根据直线与圆的位置关系判断．【详解】直线l 方程整理得(27)40m x y x y +-++-=，由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，∴直线l 过定点(3,1)P ，A 正确；在圆方程中令0x =，得21(2)25y +-=，2y =±∴y 轴上的弦长为，B 正确；22(31)(12)525-+-=<，∴(3,1)P 在圆内，直线与圆一定相交，C 正确；直线l 被圆C 截得弦最长时，直线过圆心(1,2)，则(21)2(1)740m m m +++--=，13m =-，直线方程为1250333x y +-=，即250x y +-=．D 错． 故选：ABC ．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，直线过定点问题．（1）直线方程整理为关于参数的方程，然后由恒等式知识可得定点坐标．（2）直线与圆的位置关系的判断，若直线所过定点在圆内，则直线与圆相交，若定点在圆上，则直线与圆相交或相切，定点在圆外，直线与圆的三种位置关系都有可能．（3）直线过圆心时弦长最长，直线所过定点是弦中点时，弦长最短．11．已知空间四点(0,0,0),(0,1,2),(2,0,1),(3,2,1)O A B C -，则下列说法正确的是（ ） A ．2OA OB ⋅=-B ．2cos ,5OA OB <>=-C ．点O 到直线BCD ．O ，A ，B ，C 四点共面【答案】ABC【解析】计算数量积判断A ，求向量夹角判断B ，利用向量垂直判断C ，根据空间向量共面定理判断D ．【详解】(0,1,2),(2,0,1)OA OB ==-， 02102(1)2OA OB ⋅=⨯+⨯+⨯-=-，A 正确；2cos ,55OA OB OA OB OA OB⋅<>===-，B 正确；(1,2,2)BC =，2102(1)20OB BC ⋅=⨯+⨯+-⨯=，所以OB BC ⊥，5OB =所以点O 到直线BC 的C 正确； (3,2,1)OC =，假设若O ，A ，B ，C 四点共面，则,,OA OB OC 共面，设OC xOA yOB =+， 则23221y x x y =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，此方程组无解，所以O ，A ，B ，C 四点不共面，D 错． 故选：ABC ．12．过双曲线22:14x C y -=的左焦点F 作直线l 交C 于A 、B 两点，则（ ）A ．若1AB =，则直线l 只有1条 B ．若2AB =，则直线l 有2条C ．若3AB =，则直线l 有3条D ．若AB 4=，则直线l 有3条【答案】ABD【分析】先由双曲线方程得到焦点坐标和渐近线方程，再对直线l 的斜率进行讨论，利用弦长公式即可判断.【详解】因为双曲线22:14x C y -=的左焦点F 的坐标为()，该双曲线的渐近线方程为12y x =±，若直线l 的斜率不存在，则l的方程为x =12y =±，此时1AB =；若直线l 的斜率存在，可设l的方程为(y k x =，可设()11,A x y 、()22,B x y，由(2214y k x x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩联立可得()2222241400k x x k ----=，为使l 与双曲线有两个不同的交点，则()()2422140Δ3201614150k k k k ⎧-≠⎪⎨=+-+>⎪⎩，可得12k ≠±，由韦达定理可得12212220414x x k x x k ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪-⎩，所以221444k AB k =-+=.A 选项，由2211444k k =-+可得，k 无解，因此若1AB =，则l 的方程只有x =A 正确； B 选项，由2221444k k =-+，可得2244(28)k k +=±-，解得k = 因此，若2AB =，则l的方程为y x =，B 正确；C 选项，由2231444k k =-+，可得()2244312k k +=±-，解得k = 因此，若3AB =，则l的方程为y x =，C 正确； D 选项，由2241444k k =-+，可得()2244416k k +=±-，解得0k =或k = 因此，若AB 4=，则l的方程为y x =或0x =，D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知圆224x y +=与圆)()(22125x y -+-=相交于A ，B 两点，则直线AB 的方程为______． 【答案】220x y +-=【分析】由两个圆的方程相减后可得直线AB 的方程.【详解】因为圆224x y +=与圆)()(22125x y -+-=相交于A ，B 两点 故AB 的方程为：)()(()222212540x y x y -+---+-=，整理得到：220x y +-=. 故答案为：220x y +-=.14．若数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n =--，则1220a a a ++⋅⋅⋅+等于___________.【答案】30【分析】由通项公式可得2213n n a a -+=，从而数列项两两结合进行求和. 【详解】解：由题意，数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n =--，则()22162653n n a a n n -+=---=，所以()()()12201234192010330a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++=⨯=. 故答案为:30. 【点睛】方法点睛:求和的常见方法有：等差、等比数列公式法；错位相减法；裂项相消法；并向求和法等. 15．空间直角坐标系xOy 中，过点()000,,P x y z 且一个法向量为(),,n a b c =的平面α的方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，过点()000,,P x y z 且方向向量为()(),,0n u v w uvw =≠的直线l 的方程为000x x y y z z u v w---==，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为10x y z -++=，直线l 是两个平面20x y -+=与210x z -+=的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为___________.【答案】3【分析】根据题意，结合材料，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，即可求解.【详解】根据材料可知，由平面α的方程为10x y z -++=，得()11,1,1=-n 为平面α的法向量， 同理可知，()21,1,0n =-与()32,0,1n =-分别为平面20x y -+=与210x z -+=的法向量. 设直线l 的方向向量(),,a x y z =，则230n n a a ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x y x z -=⎧⎨-=⎩，取1x =，则()1,1,2a =. 设直线l 与平面α所成角为θ，则11sin 1n a n aθ⋅===+四、双空题16．抛物线的光学性质：平行于抛物线的对称轴的光线经抛物线反射后经过抛物线的焦点.双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.这些性质可以应用在天文望远镜的设计等方面.卡塞格林式望远镜是由两块反射镜组成的望远镜，如图(中心截面示意图)所示.反射镜中大的称为主镜，小的称为副镜，通常在主镜的中央开孔，成像于主镜后面.主镜是凹抛物面镜(中心截面是抛物线)C ，当来自天体平行对称轴的光线投射到主镜上，经过主镜反射，将会汇聚到卡塞格林焦点F 处，但光线尚未完全汇聚时，又受到以F 为焦点的凸双面镜(中心截面是双曲线D 的一支)的反射，穿过主镜中心孔后汇聚于另一个焦点F'处.以'FF 的中点为原点，'FF 为x 轴，建立平面直角坐标系.若'2(FF =单位：米)，则抛物线C 的方程为___________凹抛物面镜的口径MN 为424-，凸双面镜的口径ST 为12，若所有被凹抛物面镜汇聚的光线恰好都能被凸双曲面镜反射，则双曲线D 的离心率为___________.【答案】 24y x =-2【分析】根据抛物线C 的焦点坐标为()1,0-，求得其方程；根据424MN =，求得M 的坐标，由ST =12，求得S 的纵坐标，再根据SFTMFN ，求得其横坐标，再根据双曲线的焦点为F ，设双曲线方程为222211x y a a-=-，将S 的坐标代入求解. 【详解】因为曲线C 的焦点坐标为()1,0-， 所以212p =⨯=，则抛物线C 的方程为24y x =-， 因为424MN =，所以 2M y =，则)()21,2M -，设()()0000,0,0S x y x y <>，因为ST =12，则014y =， 易知SFT MFN ，则()02111x +=-034x =-， 又双曲线的焦点为F ，则1c =， 所以双曲线方程为222211x y a a -=-， 将014y =，034x =-代入上式，解得212a =或98， 又221a c <=，则212a =，所以ce a=故答案为：24y x =-五、解答题17．已知圆C 过三个点(1,0),(3,2),(5,0)M N R . (1)求圆C 的方程；(2)过原点O 的动直线l 与圆C 相交于不同的,A B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹. 【答案】(1)22(3)4x y -+= (2)22395(),(3)243x y x -+=<≤【分析】（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，列出方程组，求得,,D E F 的值，即可求得圆C 的方程；（2）根据题意得到CM OM ⊥，得出M 在以OC 为直径的圆上，得到以OC 为直径的圆的方程，再联立两圆的方程组，求得交点坐标，即可得到点M 的轨迹方程.【详解】（1）解：设圆C 的方程为2222(4)00x y Dx Ey F D E F ++++=+->， 因为圆C 过三个点(1,0),(3,2),(5,0)M N R ，可得10943202550D F D E F D F ++=⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩，解得6,0,5D E F =-==，所以圆C 的方程为22650x y x +-+=，即22(3)4x y -+=.（2）解：因为M 为线段AB 的中点，且CM OM ⊥，所以M 在以OC 为直径的圆上， 以OC 为直径的圆的方程为2239()24x y -+=， 联立方程组()2222343924x y x y ⎧-+=⎪⎨⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得53253x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或53253x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以点M 的轨迹方程为22395(),(3)243x y x -+=<≤.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为直角梯形，π2DAB ∠=，π3ABC ∠=，22AB DC ==，3PD =，6PA =，CD PD ⊥.(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； (2)求平面APB 和平面PBC 的夹角大小. 【答案】(1)证明见解析；(2)π2.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间平面向量夹角公式【详解】（1）如图，过C 作CF AB ⊥于F .由题意可知，在直角梯形ABCD 中，π2DAB ∠=，π3ABC ∠=，22AB DC ==，所以1AF BF DC ===，3AD CF =又3PD =6PA 222PA AD PD =+，所以AD PD ⊥. 因为CD PD ⊥，又AD DC D =，AD DC ⊂，面ABCD ， 所以PD ⊥面ABCD .因为PD ⊂面PAD ，所以面PAD ⊥面ABCD ；（2）由（1）可知，PD ，DA ，DC 两两垂直，故可以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 易知()3,0,0A，)3,2,0B，(3P ，()0,1,0C ，则()0,2,0AB =，(3,2,3PB =-，(0,1,3PC =，设平面APB 的法向量为()111,,x y z μ=，则111120,3230,AB y PB x y z μμ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令11x =，则10y =，11z =，即()1,0,1μ=，设平面PBC 的法向量为()222,,v x y z =，则2222230,3230,PC v y z PB v x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令21z =，则23y 21x =-，即()1,3,1v =-， 所以cos ,0||||v v v μμμ⋅==，即平面APB 和平面PBC 的夹角为π2. 19．记数列{}n a 的前n 项之积为n T .(1)若{}n a 为等比数列，23T =，327T =，求n T ；(2)若{}n T 为等比数列，23T =，327T =，求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】(1)()123n n n T -=；(2)2693n S n =-.【分析】（1）设{}n a 公比为q ，求出13n n a -=即得解；（2）设等比数列{}n T 公比为p ，求出113a =，当2n ≥时，9n a =，即得解.【详解】（1）解：设{}n a 公比为q ，因n T 为数列{}n a 的前n 项之积，由23T =，327T =得231329T a q a T ===，2213T a q ==， 解得11a =，3q =，所以13n n a -=，所以()()1011233n n n nT -+++-==.（2）解：设等比数列{}n T 公比为p ，则329T p T ==，由213T pT ==得113T =， 所以1231933n n n T --=⋅=，当1n =时，1113a T ==，当2n ≥时，19n nn T a T -==， 所以2n ≥时，()1212691933n n S a a a n n =+++=+-=-，当1n =时，1113S a ==也满足上式，即2693n S n =-，所以数列{}n a 的前n 项和2693n S n =-. 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆C 上一点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()11,0F -作动直线l 与椭圆交于A ，B 两点，过点A 作直线4x =-的垂线，垂足为N ，求证：直线BN 过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据椭圆的定义，结合题干条件，可求得a 、c 值，根据a ，b ，c 的关系，可求得b 值，即可得答案.（2）当直线l 不与x 轴平行时，设直线l 的方程为1x my =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()14,N y -，将直线与椭圆联立，根据韦达定理，可得12y y +，12y y 表达式，化简计算，可得直线BN的方程，即可求得定点；当直线l 平行x 轴时，经检验符合题意，即可得证. 【详解】（1）解：由椭圆定义知：1224a MF MF =+==，所以2a =，又1c =，则2223b a c =-=， 所以椭圆方程为22143x y +=. （2）证明：当直线l 不与x 轴平行时，设直线l 的方程为1x my =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()14,N y -，由221,1,43x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，整理得：()2243690+--=m y my ，所以122643m y y m +=+①，122943y y m -=+②， 又()14,N y -，所以直线BN 的方程为()14BN y y k x -=+，即14BN BN y y k x k ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭③，又2121212224(1)43BN y y y y y y k x my my ---===+-++， 所以()12112121121332BN y my y my y y k y y y y y ++==-+-④， 将①､②式代入④式化简得：132NB y k =-⑤， ⑤代入③化简得直线BN 的方程为52BN y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故直线BN 过定点502D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.当直线l 平行x 轴时，交点A ，B 为长轴两个端点，则直线BN 为x 轴，经过点502⎛⎫- ⎪⎝⎭，.综上：直线BN 过定点502⎛⎫- ⎪⎝⎭，.【点睛】解题的关键是熟练掌握椭圆的定义、韦达定理的应用等知识，易错点为：设直线1x my =-时，需检验与x 轴平行的直线是否满足题意.21．容器A 内装有6升浓度为20%的酒精水溶液，容器B 内装有4升浓度为5%的酒精水溶液，先将A 内的酒精水溶液倒1升进入B 内，再将B 内的酒精水溶液倒1升进入A 内，称为一次操作；这样反复操作n 次，A 、B 容器内的酒精水溶液浓度分别为n a ，n b .（酒精水溶液浓度=（酒精水溶液中乙醇体积/酒精水溶液总体积）×100%） (1)请计算1a ，1b ，并判断数列{}n n a b -是否为等比数列?若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；(2)至少要经过几次操作，A 、B 两容器中溶液浓度之差小于1%?（lg 20.3010≈，lg30.4771≈） (3)求n a ，n b 的表达式.【答案】(1)1225b =，1950a =，是，112103n n n a b -⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭；(2)至少要操作7次才能达到要求；(3)73250503n n a ⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭，792501003nn b ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭【分析】（1）先根据题意求出1225b =，1950a =，并求出()1123n n n n a b a b ++-=-，得到数列{}n n a b -为等比数列，并求出通项公式；（2）在第一问的基础上列出不等式，解不等式求出答案； （3）根据()1145n n n b a b +=+与112103n n n a b -⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭得到1321003nn n b b +⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭，由累加法求出792501003nn b ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，并求出73250503nn a ⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭. 【详解】（1）1111214552025b ⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，1121915625550a ⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()1145n n n b a b +=+，()()11115264630n n n n n a b a a b ++=+=+，所以()1123n n n n a b a b ++-=-， 所以数列{}n n a b -是以11110a b -=为首项，以23为公比的等比数列，所以112103n n n a b -⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭；（2）由1120.01103n -⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭得，11 6.7lg3lg2n >+≈-，所以至少要操作7次才能达到要求； （3）由（1）知，1111232*********n nn n n n b b b b -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-++-212322279225100333501003n n-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+++=-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 11273210350503n nn n a b -⎛⎫⎛⎫=+⨯=+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 22．如图所示，定点F 到定直线l 的距离3MF =.动点P 到定点F 的距离等于它到定直线l 距离的2倍.设动点P 的轨迹是曲线Γ.（1）请以线段MF 所在的直线为x 轴，以线段MF 上的某一点为坐标原点O ，建立适当的平面直角坐标系xOy ，使得曲线Γ经过坐标原点O ，并求曲线Γ的方程；（2）请指出（1）中的曲线Γ的如下两个性质：①范围；②对称性.并选择其一给予证明.（3）设（1）中的曲线Γ除了经过坐标原点O ，还与x 轴交于另一点C ，经过点F 的直线m 交曲线Γ于A ，B 两点，求证：CA CB ⊥.【答案】（1）建系答案见解析，223120x x y +-=；（2）答案见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据“定点F 到定直线l 的距离3MF =.动点P 到定点F 的距离等于它到定直线l 距离的2倍”，建立坐标系得到关于P 点的坐标,x y （）的关系式，即曲线Γ的方程，原点距点M 的距离为1.（2）根据曲线Γ的方程223120x x y +-=以及图像的特点，得出曲线Γ的两个性质，范围和对称性. （3）证明CA CB ⊥，即是证明0CA CB ⋅=，故需联立直线与曲线方程得到21224(3)3k x x k ++=-，212243k x x k =-.然后得出结果为0，即得到证明. 【详解】解：（1）在线段MF 上取点O ，使得2OF MO =，以点O 为原点，以线段MF 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .设动点P 的坐标为(),x y ，则有()1,0M -，()2,0F ，由题意，有22(2)21x y x -++，整理得：223120x x y +-=.① （2）①范围：0x ≥或4x ≤-，.y R ∈ ②对称性：曲线Γ关于0y =成轴对称； 曲线Γ关于2x =-成轴对称； 曲线Γ关于(2,0)-成中心对称. 范围证明：由223(2)12x y +-=，223(2)1212x y +=+≥，得2(2)4x +≥， 所以0x ≥或4x ≤-；223120y x x =+≥，所以.y R ∈对称性证明：在方程①中，把y 换成y -，方程①不变， 所以，曲线Γ关于0y =成轴对称；在方程①中，把x 换成4x --，方程①不变， 所以，曲线Γ关于2x =-成轴对称；在方程①中，把y 换成y -，或把x 换成4x --，方程①不变， 所以，曲线Γ关于(2,0)-成中心对称；（3）将0y =代入223120x x y +-=，解得4x =-，0x =(舍). 所以()4,0C -.(i )若直线l 垂直于x 轴：将2x =代入223120x x y +-=，解得6y =±，此时，2,6A ､()2,6B -.所以，()6,6CA =，()6,6CB =-. 0,CA CB =⋅CA CB ∴⊥.(ii )若直线m 不垂直于x 轴：设()11,A x y ､()22,B x y ，()114,CA x y =+，()224,CB x y =+. 直线m 的方程为(2)y k x =-，将其代入223120x x y +-=，整理得， 2222(3)4(3)40k x k x k -++-=.所以，21224(3)3k x x k ++=-，212243k x x k =-. 22212121212236(2)(2)[2()4]3k y y k x x k x x x x k -∴=--=-++=-. CA CB ⋅∴=1212(4)(4)x x y y +++=1212124()160x x x x y y ++++=..故，CA CB【点睛】（1）根据题目信息建立适当坐标系，得到关于点的横纵坐标的等量关系.（2）利用图形观察特点，得出性质.（3）将证明垂直的问题转化为证明向量乘积为0的问题，联立方程组，对基本的运算由一定的要求.。

2021-2022学年广东省深圳市龙华中学高二上学期第一阶段检测数学试题一、单选题1．已知直线l 过点()2,1-，且倾斜角是2π，则直线l 的方程是（ ）. A ．10x y ++= B ．12y x =-C ．20x +=D ．10y -=【答案】C【分析】根据直线l 过点()2,1-，且倾斜角是2π，可求得直线l 的方程. 【详解】由于直线l 过点()2,1-，且倾斜角是2π，则直线l 的方程为2x =-，即20x +=.故选：C.【点睛】本题考查直线方程的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．在空间直角坐标系中，已知(1,0,3)A -，(4,2,1)B -，则AB =（ ）A B C D 【答案】B【分析】求出AB ，进而可得AB .【详解】依题意得()3,2,4AB =-，所以23AB =故选：B.3．已知()1,1,0a =，()1,0,2b =-，且a 与ka b -互相垂直，则k 的值为. A ．12B ．12-C ．1-D ．1【答案】B【分析】先得到ka b -的坐标，再结合向量垂直关系，可得()0a ka b ⋅-=，进而求解即可. 【详解】由题，()()()1,1,01,0,21,,2ka b k k k -=--=+-， 因为a 与ka b -互相垂直，所以()0a ka b ⋅-=， 即()()111020k k ⨯++⨯+⨯-=，解得12k =-.故选：B4．设直线l 的方程为()cos 30y x θθ-+=∈R ，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（ ） A ．[)0,πB ．ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】求出直线l 的斜率的取值范围，结合倾斜角的取值范围可得结果. 【详解】直线l 的方程可化为cos 3y x θ=-，所以，[]tan cos 1,1αθ=∈-， 因为0πα≤<，因此，直线l 的倾斜角α的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：C.5．已知空间四点()1,0,1A -，()0,0,1B ，()2,2,2C ，()0,0,3D ，则cos ,AB CD =（ ） A ．23-B ．23C ．13-D ．13【答案】A【分析】根据空间向量的坐标运算、数量积运算和空间向量的夹角公式计算即可. 【详解】由题意得，(100)(221)AB CD ==--，，，，，， 所以2221(2)(2)13AB CD ==-+-+=，1(2)0(2)012AB CD ⋅=⨯-+⨯-+⨯=-，所以22cos ==133AB CD AB CD AB CD⋅-=-⨯，， 故选：A6．如图，在三棱锥S —ABC 中，点E ，F 分别是SA ，BC 的中点，点G 在棱EF 上，且满足12EG GF =，若SA a =，SB b =，SC c =，则SG =（ ）A ．111326a b c -+B ．111362a b c -+C ．111632a b c -+D ．111366a b c ++【答案】D【分析】利用空间向量的加、减运算即可求解.【详解】由题意可得()1133SG SE EG SE EF SE SF SE =+=+=+-()2121133332SE SF SE SB SC =+=+⋅+ ()111362113626SA SB S a c C b ++=⋅++=. 故选：D7．已知在平行六面体1111ABCD A B C D -中，向量AB ，AD ，1AA 两两的夹角均为60︒，且1AB =，2AD =，13AA =，则1AC =（ ）A ．5B ．6C ．4D ．8【答案】A【分析】利用向量的数量积公式即可求解. 【详解】如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中， 向量AB 、AD 、1AA 两两的夹角均为60， 且1AB =，2AD =，13AA =， ∴11AC AB BC CC =++ ∴()2211AC AB BC CC =++222111222AB BC CC AB BC AB CC BC CC =+++++ 149212cos60213cos60223cos60=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯25=.∴15AC =，故选：A.8．已知直线:210l kx y k +--=与两坐标轴分别交于,A B 两点，如果△AOB 的面积为4，那么满足要求的直线l 的条数是（ ）. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】按照0k =、0k ≠分类，求出截距后列方程即可得解. 【详解】当0k =时，直线:10l y -=，不合题意； 当0k ≠时， 若0x =，则21y k =+，若0y =，则12x k=+， 所以111121244422AOB S k k k k△，所以1448k k或1448k k， 解得12k =或3222k 或3222k ；所以满足要求的直线l 的条数是3. 故选：C.二、多选题9．给出下列命题正确的是（ ） A ．空间中所有的单位向量都相等B ．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量C ．若,a b 满足a b >，且,a b 同向，则a b >D ．对于任意向量,a b ，必有a b a b +≤+ 【答案】BD【分析】根据向量的基本概念即可求解. 【详解】对于A ：向量相等需要满足两个条件：长度相等且方向相同，缺一不可，故A 错； 对于B ：根据相反向量的定义可知B 正确； 对于C ：向量是矢量不能比较大小，故C 错； 对于D ：根据三角形三边关系知a b a b +≤+正确； 故选：BD.10．已知直线12:10,:(2)330l x my l m x y +-=-++=，则下列说法正确的是 A ．若12l l //，则m =-1或m =3 B ．若12l l //，则m =3 C ．若12l l ⊥，则12m =-D ．若12l l ⊥，则12m =【答案】BD【分析】根据两直线平行或垂直求出参数值然后判断．【详解】直线12l l //，则3(2)0m m --=，解得3m =或1m =-，但1m =-时，两直线方程分别为10x y --=，3330x y -++=即30x y --=，两直线重合，只有3m =时两直线平行，A 错，B 正确；12l l ⊥，则230m m -+=，12m =，C 错，D 正确． 故选：BD ．【点睛】本题考查两直线平行与垂直的条件，在由两直线平行求参数时要注意检验，排除两直线重合的情形．如果用斜率求解还需讨论斜率不存在的情形．11．设动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，记11D P D B λ=当APC ∠为钝角时，则实数可能的取值是（ ） A ．12B ．23C ．13D ．1【答案】AB【分析】首先以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，根据题意得到0PA PC ⋅<，再解不等式即可得到答案.【详解】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的边长为1，则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,0,1D A =-，()10,1,1D C =-，()11,1,1D B =-， 所以()11,,D P D B λλλλ==-.又因为()()()11,,1,0,11,,1PA PD D A λλλλλλ=+=--+-=---，()()()11,,0,1,1,1,1PC PD DC λλλλλλ=+=--+-=---， 因为APC ∠为钝角，所以0PA PC ⋅<，即()()()()()()()2111=1310λλλλλλλ--+--+---<，解得113λ<<.故选：AB【点睛】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于简单题.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是棱1BB 的中点，点P 在四边形11BCC B 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 在线段1BC 上，则三棱锥1P AD F -的体积为定值B ．若P 在线段1BC 上，则DP 与1AD 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若//PD 平面1AD F ，则点P 的轨迹的长度为2D ．若AP PC ⊥，则1A P 与平面11BCC B 所成角正切值的最大值为512+ 【答案】ACD【分析】A. 如图，当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN 2=，所以该选项正确；D. 点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，15BO =,所以1PB 的最小值为51-,所以1A P 与平面11BCC B 所成角正切值的最大值为251251+=-.所以该选项正确. 【详解】A. 如图，因为11//,BC AD AD ⊂平面1,AFD 1BC ⊄平面1,AFD 所以1//BC 平面1,AFD 所以当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为11//,BC AD 所以DP 与1AD 所成角就是DP 与1BC 所成的角（锐角或直角），当点P 在1,B C 时，由于△1BDC 是等边三角形，所以这个角为3π，当1DP BC 时，这个角为2π，由图得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN ,由于//DM AF ,AF ⊂平面1AFD ,DM ⊄平面1AFD ,所以//DM 平面1AFD ，同理可得//MN 平面1AFD ，又,DM MN ⊂平面DMN ,DMMN M =,所以平面//DMN 平面1AFD ，所以//DP 平面1AFD ，22112MN =+=，所以点P 的轨迹的长度为2，所以该选项正确；D.如图，由题得1A P 与平面11BCC B 所成角为11A PB ∠,1112tan A PB PB ∠=,即求1PB 的最小值，因为,PC AP PC AB ⊥⊥,,,AP AB A AP AB ⋂=⊂平面ABP ,所以PC ⊥平面ABP ,所以PC BP ⊥,所以点P的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，15BO 所以1PB 51,所以1A P 与平面11BCC B 5151+-所以该选项正确.故选：ACD三、填空题13．已知正四棱锥P ABCD-的所有棱长都为2，则此四棱锥体积为_____【答案】42 3【分析】求出四棱锥的高，即可得到此四棱锥体积.【详解】设底面正方形两条对角线相交于O点，由题可得,PO⊥底面ABCD.在Rt△AOP中,∵22∴22422AP AO--故13P ABCD ABCDV S PO-=⨯⨯4242【点睛】求解空间几何体体积的常用策略：（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；（2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；（3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.（4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何他的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题.14．过两点()222,3A m m +-，()23,2B m m m --的直线l 的倾斜角为o 45，则m =______【答案】-2【分析】根据斜率公式以及斜率的定义即可解出． 【详解】()()()()()()()22232313122112123m mm m m m m m m mm m ---+-===⇒=--+-+---．故答案为：-2．15．已知两点(34)A -，，(32)B ，，过点()10，P 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是___________. 【答案】(][),11,-∞-+∞【分析】根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围． 【详解】解：点(3,4)A -，(3,2)B ，过点(1,0)P 的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率PB k k 或PA k k ，PA 的斜率为40131-=---，PB 的斜率为20131-=-， ∴直线l 的斜率1k 或1k -，即(][),11,k ∈-∞-+∞，故答案为：(][),11,-∞-+∞．16．正方体1111ABCD A B C D -的棱上到直线1A B 与1CC 的距离相等的点有4个，其中3个点分别为E ，F ，1D ，如图所示，则直线1AC 与平面1EFD 所成角的正弦值为______.478【分析】建立空间直角坐标系，求出平面法向量，代入公式即可.【详解】正方体1111ABCD A B C D -的棱上到直线1A B 与1CC 的距离相等的点分别E ，F ，1D ，其中点E 为BC 的中点，F 为11B C 的四等分点（靠近1B ）.以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系，设4AB =. 现证明F 为11B C 的四等分点（靠近1B ）： 如图所示，连接1AB 交1A B 于O ,连接OF , 则有1FC 为点F 到1CC 的距离，1111422222OB AB ==⨯=由1111111FB A B AB A B AB FB B⊥⎧⎪⊥⎨⎪⋂=⎩，可得1A B ⊥平面1FOB ， 所以1A B FO ⊥，所以FO 为点F 到直线1A B 的距离， 设1FC FO t ==，则有 22211OB FB FO +=，即()()222224t t +-=，解得：3t =，即F 为11B C 的四等分点（靠近1B ）.则()2,4,0E ，()3,4,4F ，()10,0,4D ，()4,0,0A ，()10,4,4C ， ∴()1,0,4EF =，()13,4,0D F =,()14,4,4AC =-，设平面1EFD 的法向量(),,n x y z =， 则1·0·0n EF n D F ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即40340x z x y +=⎧⎨+=⎩，取4x =，解得()4,3,1n =--，设直线1AC 与平面1EFD 所成的角为θ， 则直线1AC 与平面1EFD 所成角的正弦值为： 1478sin cos ,39n AC θ==. 故答案为：47839.四、解答题17．（1）求经过点()1,3P -和点()3,2Q 的直线的方程； （2）求经过点()1,3P -且倾斜角为3π4的直线方程. 【答案】（1）4110x y +-=；（2）20x y +-=.【分析】（1）（2）求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】解：（1）直线PQ 的斜率为321134PQ k -==---， 因此，直线PQ 的方程为()3314y x -=-+，即4110x y +-=； （2）由题意可知，所求直线的斜率为3πtan14=-， 故所求直线方程为()31y x -=-+，即20x y +-=. 18．已知直线l 的方程为260x y +-=．（Ⅰ）直线1l 与l 垂直，且过点（1，-3），求直线1l 的方程；（Ⅱ）直线2l 与l 平行，且直线2l 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线2l 的方程． 【答案】（1）250x y --=（2）直线2l 的方程为：240x y ++=或240x y +-=【详解】试题分析：（1）由直线1l 与l 垂直，可设直线1l 的方程为：20x y c -+=，将点()1,3- 代入方程解得5c =-，从而可得直线1l 的方程；(2)由直线2l 与l 平行，可设直线2l 的方程20x y c ++=，由直线2l 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，解得4c =±可得直线2l 的方程. 试题解析：（1）设直线1l 的方程为：20x y c -+= 直线1l 过点（1，-3），()2130c ∴⨯--+= 解得5c =-∴直线1l 的方程为：250x y --=．(2)设直线2l 的方程为：20x y c ++=令0x =，得2c y =-；令0y =，得x c =- 则1422cs c =--=，得4c =±∴直线2l 的方程为：240x y ++=或240x y +-=．19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，2PD AD =，PD DA ⊥，PD DC ⊥，底面ABCD 为正方形，M ，N 分别为AD ，PD 的中点.(1)求证：PA ∥平面MNC ；(2)求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析； (2)16.【分析】(1)利用中位线定理证明P A ∥MN ，然后由线面平行的判定定理证明即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面MNC 的法向量，由向量的夹角公式求解即可.【详解】（1）∵M ，N 分别为AD ，PD 的中点， ∴P A ∥MN ，又PA ⊂平面MNC ，MN ⊂平面MNC ， 故P A ∥平面MNC ；（2）由题可知DA 、DC 、DP 两两垂直，故以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：设24PD AD ==，则(2B ，2，0)，(0C ，2，0)，(0P ，0，4)，(1M ，0，0)，(0N ，0，2)， ∴(2,2,4),(0,2,2),(1,0,2)PB NC MN =-=-=-， 设平面MNC 的法向量为(,,)n x y z =，则20220n MN x z n NC y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-=⎩，令1y =，则1z =，2x =， 故(2,1,1)n =， ∴||21|cos ,|6||||4416411PB n PB n PB n ⋅<>===++⨯++，故直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值为16.20．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，12AA =，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点.(1)求证：EF BD ⊥；(2)求点F 到平面BDE 的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)33【分析】（1）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，证明出0EF DB ⋅=，即可证得结论成立；（2）计算出平面BDE 的法向量，利用空间向量法可求得点F 到平面BDE 的距离.【详解】（1）解：在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D 、()1,1,0B 、()10,0,2D 、()0,1,1E 、11,,122F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以，11,,022EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,0DB =，则11022EF DB ⋅=-=，因此，EF BD ⊥.（2）解：设平面BDE 的法向量为(),,n x y z =，()0,1,1DE =， 则00n DB x y n DE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =可得()1,1,1n =-，所以，点F 到平面BDE 的距离为133EF n d n⋅===21．如图，在三棱锥-P ABC 中，侧面PAC 是等边三角形，AB BC ⊥，PA PB =．（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若2AC AB =，点M 在棱PC 上，且二面角M AB C --的大小为45，求PMPC． 【答案】（1）证明见解析；（2）13PM PC = 【分析】（1）设AC 的中点为O ，得PO AC ⊥，利用已知条件可证明POA ≅POB POC ≅，可得PO OB ⊥，进而可证PO ⊥面ABC ，利用面面垂直的判定定理即可求证；（2）作OD AC ⊥于点O ，建立如图所示的空间直角坐标系，求出所需各点的坐标，设PM PC λ=，求出平面MAB 的一个法向量m ，ABC 的一个法向量()0,0,1n =，由题意知：2cos 45cos ,2m n m n m n⋅===⨯，求得λ的值即可求解. 【详解】（1）设AC 的中点为O ，连接PO ，BO ， 在等边PAC △中，可得PO AC ⊥， 在Rt ABC △中，有OA OB OC ==，又因为PA PB PC ==，所以POA POB POC ≅≅， 所以90POB POA ∠∠==，即PO OB ⊥，又因为PO AC ⊥，AC OB O =，所以PO ⊥面ABC ， 又因为PO ⊂面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若2AC AB =，点M 在棱PC 上，且二面角M AB C --的大小为45，求PMPC． 不妨设4PA =，在Rt ABC △中，1cos 2AB CAB AC ∠==，所以60CAB ∠=， 在底面ABC 内作OD AC ⊥于点O ，则,,OD OC OP 两两垂直，以点O 为原点，以OD 所在的直线为x 轴，以OC 所在的直线为y 轴，以OP 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图： 则()0,2,0A -，()3,1,0B -，()0,2,0C ，()0,0,23P ，所以()3,1,0AB =，()0,4,0AC =，()0,2,23AP =，()0,2,23PC =-，设()0,2,23PM PC λλλ==-()01λ≤≤，则()0,22,2323AM AP PM λλ=+=+-， 设平面MAB 的一个法向量为(),,m x y z =， 所以()()302223230m AB x y m AM y z λλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++-=⎪⎩，令1x λ=-可得33y λ=-，1z λ=--，所以()1,33,1m λλλ=----， 平面ABC 的一个法向量()0,0,1n =，所以()()()22212cos 45cos ,21331m n m n m nλλλλ⋅+====⨯-+-++，整理可得：231030λλ-+=，即()()3130λλ--=， 所以13λ=或3λ=（舍）所以13PM PC =，所以13PM PC =. 22．如图，三棱柱111ABC A B C 的侧面11BB C C 是菱形，1ABB ABC ∠=∠．（1）求证：1B C ⊥平面1ABC ；（2）若112BB B C ==，1AB AC =，且二面角1B AB C --为直二面角，求三棱锥11C ABB -的体积．【答案】（1）证明见详解；（2【分析】（1）记1BC 与1B C 的交点为O ，连接AO ；根据题中条件，得到11BC B C ⊥；再证1ABB ABC ≅，得到1AC AB =，推出1AO B C ⊥；根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；（2）过点O 作OP AB ⊥于点P ，连接1PB 、PC ，根据线面垂直的判定定理，先证AB ⊥平面1PB C ；得到1B PC ∠即为二面角1B AB C --的平面角，再证AO ⊥平面11BB C C ，结合题中条件，求出AO ，根据1111C ABB A C BB V V --=，即可求出三棱锥的体积. 【详解】（1）记1BC 与1B C 的交点为O ，连接AO ；因为侧面11BB C C 是菱形，所以O 为1B C 的中点，1BB BC =，11BC B C ⊥； 由1ABB ABC ∠=∠，1BB BC =，BA BA =可得，1ABB ABC ≅， 因此1AC AB =，即1ACB 为等腰三角形，所以1AO B C ⊥； 因为1BC AO O =，1BC ⊂平面1ABC ，AO ⊂平面1ABC ，所以1B C ⊥平面1ABC ；（2）过点O 作OP AB ⊥于点P ，连接1PB 、PC ， 因为AB ⊂平面1ABC ，由（1）可知1B C AB ⊥；因为1B C PO O ⋂=，1B C ⊂平面1PB C ，PO ⊂平面1PB C ， 所以AB ⊥平面1PB C ；因为PC ⊂平面1PB C ，1PB ⊂平面1PB C ， 所以AB PC ⊥，1AB PB ⊥，则1B PC ∠即为二面角1B AB C --的平面角，所以190B PC ∠=︒； 因为1ABB ABC ∠=∠，1BB BC =，BP BP =，所以1PBB PBC ≅， 因此1PB PC =；所以145CPO B PO ∠=∠=︒，又因为112BB B C ==，所以1OP OC ==，1PB PB =22OB BC OC 3=-=，因为1AB AC =，所以1AO BC ⊥， 又1AO B C ⊥，11B CBC O =，1B C ⊂平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，所以AO ⊥平面11BB C C ，因此16tan tan 3322OP AO OB ABO OB PBO PB =∠=∠=⨯=⨯=， 所以三棱锥11C ABB -的体积为11111111111162231332622C ABB A C BB C BB V V SOA BC OB OA --==⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=.【点睛】方法点睛：证明空间位置关系时，可根据判定定理以及性质定理，结合题中条件直接进行证明；也可根据题中条件，建立适当的空间直角坐标系，得出所需直线的方向向量、平面的法向量， 由空间位置的向量表示，即可证明结论成立.。