高一下学期数学必修二导学案(总体离散程度的估计)

《总体离散程度的估计》教学设计【教学目标】1.会用样本的极差、方差和标准差估计总体的离散程度。

2.通过对样本的数字特征估计总体的数字特征地研究，渗透统计学的思想和方法。

3.培养收集数据、分析数据、归纳和整理数据的能力，拓展实用技能。

【教学重难点】1.教学重点：根据样本方差和标准差的计算估计总体的离散程度2.教学难点：方差和标准差计算公式的推导过程【教学过程】教学活动设计意图一．创设情境，提出问题在总体集中趋势的估计中学习了众数、中位数和平均数，它们在概括一组数据的特征时往往容易忽视边界值，以致于数据分析不够完善。

根据国家气象局提供的数据显示，某年成都市和哈密市的月平均气温如下：成都： 7 9 15 20 22 24 28 30 23 17 13 8 （℃）哈密：-10 -4 15 23 26 31 34 37 32 23 8 1 （℃）问题：两个市的平均气温是多少？思考：两个市的气温类似吗？二．构建模型，讲授新知将以上数据绘制成折线图问题1：根据该折线图你发现了什么？（每个数据都在平均数上下波动）问题2：如何用数学语言刻画数据的波动幅度？（每个数据与平均值的差的绝对值作为“距离”）因此，总距离：平均距离：但在实际计算中绝对值的运算繁琐复杂，通常改用平方替换。

方差：在实际问题中让学生初步感受对一组数据仅仅研究集中趋势是不够完善的，以此引出学习新知识的重要性和必要性，能激发学生的求知欲，发展学生数学建模核心素养。

通过对折线图的细致分析和观察，领悟如何描证明：实践：请计算两地某年的月气温方差问题3：计算出的方差的单位是什么？答：由于方差的单位是原始数据单位的平方，与原始数据不一致，为使二者单位一致，所以对方差开平方，取它的算术平方根标准差：标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大，反之越小三．知识拓展，突出重点如果总体中所有个体的变量分别为Y1，Y2，⋯，Y N，总体平均数为Y̅，则称总体方差：总体标准差：思考？若一组数据是x1，x1，x1，x2，x2，x3，如何求这组数据述一组数据离散程度的思想和方法，以此学习极差、方差和标准差的概念和计算公式。

9.2.4 总体离散程度的估计教学设计（1）-人教A版高中数学必修第二册一、教学目标1.了解总体离散程度的概念和计算方法；2.掌握离散系数的计算方法；3.能够运用离散系数解决实际问题。

二、教学内容1.总体离散程度的概念；2.离散系数的计算方法；3.实际问题的解决方法。

三、教学重点1.总体离散程度的概念；2.离散系数的计算方法。

四、教学难点1.离散系数的计算方法；2.实际问题的解决方法。

五、教学过程1. 导入与引入（5分钟）引导学生思考：学过方差和标准差后，我们知道它们分别可以描述一个数据集的离散程度和分布情况。

那么，如果我们想要描述一个总体的离散程度，应该怎么办呢？导入新知：今天，我们将学习总体离散程度的估计方法。

通过计算总体的离散程度，我们可以更好地了解数据的分布情况。

2. 概念讲解（15分钟）引导学生思考：对于一个总体，我们希望得到它的离散程度。

你认为我们可以用什么指标来表示总体的离散程度呢？引入概念：离散系数是一个常用的指标，用来衡量总体的离散程度。

它的计算方法是通过总体标准差和总体均值之间的比值来得到的。

如果离散系数较小，说明总体的离散程度较小，数据较为集中；如果离散系数较大，说明总体的离散程度较大，数据较为分散。

示例展示：通过一个实际例子，向学生演示离散系数的计算方法。

3. 离散系数计算方法（25分钟）引导讨论：通过示例演示，引导学生讨论离散系数的计算方法。

步骤一：计算总体的标准差。

步骤二：计算总体的均值。

步骤三：用总体的标准差除以总体的均值，得到离散系数。

示例练习：提供几个练习，让学生独立计算离散系数。

4. 实际问题解决方法（25分钟）引导思考：离散系数是一个可以应用于实际问题的指标。

你能想到哪些实际问题可以通过计算离散系数来解决呢？示例讲解：给出几个实际问题，分析问题的背景和要求，引导学生运用离散系数解决问题。

5. 拓展应用（10分钟）拓展思考：离散系数在实际应用中还有哪些拓展的可能性？小组讨论：将学生分成小组，让他们思考离散系数在其他领域的应用，并在小组内展开讨论。

9.2.4总体离散程度的估计知识点一一组数据的方差与标准差知识点二总体方差与总体标准差知识点三 样本方差与样本标准差知识点四 标准差、方差描述数据的特征标准差刻画了数据的□01离散程度或□02波动幅度，标准差越大，数据的离散程度□03越大；标准差越小，数据的离散程度□04越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差．知识点五 分层随机抽样估计总体方差设层数为2层的分层随机抽样，第1层和第2层包含的样本变量由x 1，x 2，…，x n 及y 1，y 2，…，y n 表示．样本数 总体数 方差 平均数 第1层 m M s 2x x －第2层 nNs 2yy －则总体方差s 2＝M [s 2x ＋(x －－z －)2]＋N [s 2y＋(y －－z －)2]M ＋N1．方差的简化计算公式：s 2＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x －2]，或写成s 2＝1n (x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x －2.即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．2．平均数、方差公式的推广(1)若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x －＋a .(2)若数据x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，那么 ①数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差也是s 2； ②数据ax 1，ax 2，…，ax n 的方差是a 2s 2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方差越大，数据的稳定性越强．( )(2)在两组数据中，平均值较大的一组方差较大．( )(3)样本的平均数和标准差一起反映总体数据的取值信息．一般地，绝大部分数据落在[x －－2s ，x －＋2s ]内．( )(4)平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．做一做(1)下列说法不正确的是( ) A ．方差是标准差的平方 B ．标准差的大小不会超过极差C ．若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0D ．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散(2)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：①平均命中环数为________； ②命中环数的标准差为________．(3)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则该样本的方差为________．答案 (1)D (2)①7 ②2 (3)2题型一 样本的标准差与方差的求法例1 从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下： 甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42； 乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40； 试计算甲、乙两组数据的方差和标准差．[解] x －甲＝110×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30， s 2甲＝110×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2，s 甲＝104.2≈10.208.x －乙＝110×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31， 同理s 2乙＝128.8， s 乙＝128.8≈11.349.对标准差与方差概念的理解(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能放大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下表所示：求这次考试成绩的平均数和标准差．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫注：标准差s ＝ 1n [(x 1－x －)2＋…＋(x n －x －)2]＝ 1n[(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x －2] 解 设第一组数据为x 1，x 2，…，x 20，第二组数据为x 21，x 22，…，x 40，全班平均成绩为x －.根据题意，有x －＝90×20＋80×2040＝85，42＝120(x 21＋x 22＋…＋x 220－20×902)，62＝120(x 221＋x 222＋…＋x 240－20×802)，∴x 21＋x 22＋…＋x 240＝20×(42＋62＋902＋802)＝291040.再由变形公式，得s 2＝140(x 21＋x 22＋…＋x 240－40x －2)＝140(x 21＋x 22＋…＋x 240－40×852)＝140×(291040－289000)＝51， ∴s ＝51.题型二 样本标准差、方差的实际应用例2 某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的8次测试成绩记录如下：甲：95 82 88 81 93 79 84 78 乙：83 92 80 95 90 80 85 75 (1)试比较哪个工人的成绩较好；(2)甲、乙成绩位于x －－s 与x －＋s 之间有多少？[解] (1)x －甲＝18×(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85， x －乙＝18×(83＋92＋80＋95＋90＋80＋85＋75)＝85.s 2甲＝18×[(95－85)2＋(82－85)2＋(88－85)2＋(81－85)2＋(93－85)2＋(79－85)2＋(84－85)2＋(78－85)2]＝35.5，s 2乙＝18×[(83－85)2＋(92－85)2＋(80－85)2＋(95－85)2＋(90－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(75－85)2]＝41.∵x －甲＝x －乙，s 2甲<s 2乙，∴甲的成绩较稳定． 综上可知，甲的成绩较好． (2)∵s 甲＝s 2甲＝35.5≈5.96，x －甲－s 甲＝79.04，x －甲＋s 甲＝90.96， ∴甲位于[x －－s ，x －＋s ]之间的数据有4个． 又s 乙＝s 2乙＝41≈6.4，x －乙－s 乙＝78.6，x －乙＋s 乙＝91.4，∴乙的成绩位于[x －－s ，x －＋s ]之间的有5个．比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及标准差这两个方面考虑．其中标准差与样本数据单位一样，比方差更直观地刻画出与平均数的平均距离．从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如下：甲 8 9 7 9 7 6 10 10 8 6 乙 10986879788(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差； (2)比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛． 解 (1)根据题中所给数据，可得甲的平均数为 x －甲＝110×(8＋9＋7＋9＋7＋6＋10＋10＋8＋6)＝8，乙的平均数为x －乙＝110×(10＋9＋8＋6＋8＋7＋9＋7＋8＋8)＝8， 甲的标准差为 s 甲＝110×[(8－8)2＋(9－8)2＋…＋(6－8)2]＝2，乙的标准差为 s 乙＝110×[(10－8)2＋(9－8)2＋…＋(8－8)2]＝305，故甲的平均数为8，标准差为2，乙的平均数为8，标准差为305. (2)∵x －甲＝x －乙，且s 甲>s 乙，∴乙的成绩较为稳定，故选择乙参加射箭比赛. 题型三 标准差、方差的图形分析例3 样本数为9的四组数据，他们的平均数都是5，条形图如下图所示，则标准差最大的一组是( )A ．第一组B ．第二组C ．第三组D ．第四组[解析] 第一组中，样本数据都为5，数据没有波动幅度，标准差为0；第二组中，样本数据为4,4,4,5,5,5,6,6,6，标准差为63；第三组中，样本数据为3,3,4,4,5,6,6,7,7，标准差为253；第四组中，样本数据为2,2,2,2,5,8,8,8,8，标准差为22，故标准差最大的一组是第四组．[答案] D由图形分析标准差、方差的大小从四个图形可以直观看出第一组数据没有波动性，第二、三组数据的波动性都比较小，而第四组数据的波动性相对较大，利用标准差的意义也可以直观得到答案．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差答案 C解析由题图可得，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9，所以甲、乙的成绩的平均数均是6，故A不正确；甲、乙成绩的中位数分别为6,5，故B不正确；甲、乙成绩的极差都是4，故D不正确；甲的成绩的方差为12×2＋12×2)5×(2＝2，乙的成绩的方差为12×3＋32)＝2.4.故C正确．5×(11．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是()A．平均数B．中位数C．方差D．众数答案 C解析由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．2．样本数据2,4,6,8,10的标准差为()A．40 B．8C ．210D ．2 2答案 D解析 x －＝15×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，则标准差为15×[(2－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2＋(8－6)2＋(10－6)2]＝2 2. 3．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是________．(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)答案 丙解析 分析题中表格数据可知，乙与丙的平均环数最多，又丙的方差比乙小，说明丙成绩发挥得较为稳定，所以最佳人选为丙．4．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________． 答案 0.1解析 这组数据的平均数x －＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，则方差s 2＝(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)25＝0.16＋0.09＋0＋0.09＋0.165＝0.1.5．甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 解 (1)x －甲＝16×(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， x －乙＝16×(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s 2甲＝16×[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s 2乙＝16×[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又s 2甲>s 2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定.。

9.2.4 总体离散程度的估计1.会用样本的极差、方差与标准差估计总体。

2. 通过用样本的数字特征估计总体的数字特征的研究，渗透统计学的思想和方法。

3.培养学生收集数据、分析数据、归纳和整理数据，增强学习的积极性。

重点：方差、标准差的计算方法。

难点：如何利用样本的方差、标准差对总体数据作出分析及判断数据的稳定性。

一、温故知新(1)众数①定义:一组数据中出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数.②特征:一组数据中的众数可能不止一个,也可能没有,反映了该组数据的集中趋势.(2)中位数①定义:一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列,处于最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)称为这组数据的中位数.②特征:一组数据中的中位数是唯一的,反映了该组数据的集中趋势.在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等.(3)平均数①定义:一组数据的和与这组数据的个数的商.数据x1,x2,…,xn的平均数为.②特征:平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的平均水平,任何一个数据的改变都会引起平均数的变化,这是众数和中位数都不具有的性质.所以与众数、中位数比较起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中极端值的影响较大,使平均数在估计总体时的可靠性降低.1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。

2、利用频率分布直方图（频率分布表），求样本的平均数、中位数和众数的近似估计，进而估计总体的平均数、中位数和众数.2、在样本中，有50％的个体小于或等于中位数，也有50％的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。

3、平均数是频率分布直方图的“重心”.是直方图的平衡点.频率直方图中每个小长方形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。

《总体离散程度的估计》导学案一、学习目标1、理解样本数据的方差、标准差的概念和意义。

2、掌握方差、标准差的计算方法。

3、能运用方差、标准差来估计总体的离散程度。

二、学习重难点1、重点（1）方差、标准差的概念和计算方法。

（2）用方差、标准差估计总体的离散程度。

2、难点（1）理解方差、标准差与数据离散程度的关系。

（2）根据实际问题选择合适的统计量来估计总体离散程度。

三、知识回顾1、平均数（1）定义：一组数据$x_1, x_2, ＼cdots, x_n$的平均数为$＼overline{x} ＝＼frac{x_1 ＋ x_2 ＋＼cdots ＋ x_n}｛n}＄。

（2）作用：反映一组数据的平均水平。

2、众数（1）定义：一组数据中出现次数最多的数据。

（2）作用：可以反映一组数据的集中趋势。

3、中位数（1）定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

（2）作用：也是反映一组数据集中趋势的量。

四、新课导入在日常生活和实际工作中，我们不仅关心数据的集中趋势，还关心数据的离散程度。

例如，在评价两个班级的成绩时，仅仅知道平均成绩是不够的，还需要了解成绩的波动情况。

那么，如何来衡量数据的离散程度呢？这就是我们今天要学习的内容——总体离散程度的估计。

五、方差1、定义设有$n$个数据$x_1, x_2, ＼cdots, x_n$，各数据与它们的平均数$＼overline{x}＄的差的平方分别是$（x_1 ＼overline{x}）＾2, （x_2 ＼overline{x}）＾2, ＼cdots, （x_n ＼overline{x}）＾2$，我们用这些值的平均数，即＼s^2 ＝＼frac{1}｛n}（x_1 ＼overline{x}）＾2 ＋（x_2 ＼overline{x}）＾2 ＋＼cdots ＋（x_n ＼overline{x}）＾2＼来衡量这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差。

《9.2.4 总体离散程度的估计》教学设计【教材分析】本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第九章《9.2.4 总体离散程度的估计》，本节课通过对反映样本数据离散程度的估计量；极差、方差与标准差的回顾，进一步研究和学习用样本的数字特征估计总体的数字特征以及初步应用，有利于进一步完善对统计学认识的系统性，加深对统计学思想方法的理解。

从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

【教学目标与核心素养】A.会用样本的极差、方差与标准差估计总体。

B. 通过用样本的数字特征估计总体的数字特征的研究，渗透统计学的思想和方法。

C.培养学生收集数据、分析数据、归纳和整理数据，增强学习的积极性。

【教学重点】：方差、标准差的计算方法。

【教学难点】：如何利用样本的方差、标准差对总体数据作出分析及判断数据的稳定性。

【教学过程】如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?①甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环?他们的平均成绩一样吗?提示:经计算得x甲=110(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7,同理可得x乙=7.他们的平均成绩一样.②难道这两个人的水平就没有什么差异了吗?你能作出这两人成绩的频率分布条形图来说明其水平差异在哪里吗?提示频率分布条形图如下:从图上可以直观地看出,他们的水平还是有差异的,甲成绩比较分散,乙成绩相对集中.(2)现实中的总体所包含的个体数往往是很多的,总体的平均数与标准差是不知道的.如何求得总体的平均数和标准差呢?提示：通常的做法是用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差.这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的.只要样本的代表性好,这样做就是合理的,也是可以接受的.(3)考虑一个容量为2的样本:x1<x2,其样本的标准差为x2-x12,如果记a=x2-x12,那么在数轴上,x和a有什么几何意义?由此说明标准差的大小对数据的离散程度有何影响?提示x和a的几何意义如图所示.显然,标准差越大,则a越大,数据的离散程度越大,数据较分散;标准差越小,则a越小,数据的离散程度越小,数据较集中在平均数x的周围.231(iix =-∑231(ii x由=-∑2312(iix x =-∑(3)应用公式s 2＝n 1n[s 21＋(x 1－x )2]＋n 2n[s 22＋(x 2－x )2]．计算s 2. 9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.4 22.4 3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0 22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3 5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6计算出样本平均数 = 8.79,样本标准差s≈6.20如图所示，可以发现，这100个数据中大部分落在区间内，在区间 外的只有7个.也就是说，绝大部分数据落在 内.样本标准差刻画了数据离平均数波动的浮动大小，平均数和标准差一起能反映数据取值的信息.100t 假设通过简单随机抽样，获得了户居民的月均用水量数据（单位：）x 2.59,14.99,2 3.61,221.19.x s x s x s x s -=+=-=-+=[,]x s x s -+[2,2]x s x s -+[2,2]x s x s -+[2,2]x s x s -+D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析:由题意可知,甲的成绩为4,5,6,7,8,乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6,A 错;甲、乙的成绩的中位数分别为6,5,B 错;甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=2,15×[(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(9-6)2]=125,C 对;甲、乙的成绩的极差均为4,D 错.答案:ABD4.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示:若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛,最佳人选是 .(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个)甲 乙 丙 丁 平均环数x 8.3 8.8 8.8 8.7 方差s 23.53.62.25.4答案:丙解析:分析表格数据可知,乙与丙的平均环数最多,又丙的方差比乙小,说明丙成绩发挥得较为稳定,所以最佳人选为丙. 5.计算数据54,55,53,56,57,58的方差.分析可以根据简化公式进行计算,也可以把每个数据减去一个数,用找齐法计算. 解:(解法一)x 2=542+552+532+562+572+5826≈3 083.17,x =55.5,故s 2=3083.17-55.52=2.92.(解法二)每个数据减去55得到新的数据组-1,0,-2,1,2,3,该组数据的方差与原数据组的方差相等,且x2=1+0+4+1+4+96≈3.17,x=-1+0-2+1+2+36=0.5,故s2=3.17-0.52=2.92.6.在一次科技知识竞赛中，某学校的两组学生的成绩如下表：请根据你所学过的统计知识，判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．解(1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．(2)x甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝150×4 000＝80，x乙＝14＋4＋16＋2＋12＋12(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝150×4 000＝80.s2甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，s2乙＝14＋4＋16＋2＋12＋12[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵x甲＝x乙，s2甲<s2乙，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙【教学反思】本节课通过对反映样本数据离散程度的估计量；极差、方差与标准差的回顾，进一步研究和学习用样本的数字特征估计总体的数字特征以及初步应用，有利于进一步完善对统计学认识的系统性，加深对统计学思想方法的理解。

9.2.4总体离散程度的估计一、内容与解析（一）内容：总体离散程度的估计—方差、标准差.（二）解析：本节内容是在抽样的基础上，根据样本数据对总体进行估计，本节主要估计总体的离散程度，同时，对比得出更好的估计离散程度的方法。

二、教学目标1 、了解“平均距离”的概念；2、理解总体方差与样本方差、总体标准差与样本标准差的概念，掌握其特点；3、会求具体问题中的“平均距离”、总体方差、样本方差、总体标准差、样本标准差；4、会根据计算的结论对实际问题进行决策.三、问题诊断分析在教学中，学生可能遇到的问题是方差计算公式的推导。

解决这一问题最关键是让学生理解“平均距离”，通过计算“平均距离”推导出数据的方差。

学生可能遇到的问题还有数据计算。

学生计算能力较差，在计算过程中是学生出错率最大的过程之一，解决这一问题需要让学生不断练习，进行一定量的练习后让学生自己总结计算方法。

四、教学重难点方差、标准差的计算及估计数据的离散程度五、教学过程设计（一）课堂导入平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法。

但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策，下面的问题就是一个例子。

（教材P211问题3）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下:甲: 7879549107 4乙: 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?教师活动：教师引导学生计算两组数据的平均数，得出两组数据的平均数相同，引导学生如果这是一次选拔性考核，你应该如何作出选择？由此引出课题。

问题一、如何度量成绩的这种差异？师生活动：教师引导学生，理解数据的波动的判断问题1、如何定义“平均距离”？问题2、为什么用“平均距离”刻画离散程度，用“总距离”行吗？ 问题3、标准差的取值范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？ 师生活动：教师引导学生，板书方差的计算公式，并推导出标准差的计算公式。

总体离散程度的估计说课稿摘要：1.离散程度的定义与意义2.离散程度的估计方法3.离散程度的应用实例4.总结正文：尊敬的各位老师、同仁：今天我将与大家分享关于总体离散程度的估计方法。

总体离散程度是描述数据离散程度的一个指标，它能够反映数据的分散程度或变异程度，对于我们分析数据、预测未来趋势等方面具有重要意义。

一、离散程度的定义与意义离散程度是指数据的分散程度或变异程度，它可以用来衡量数据值的差异性。

在统计学中，离散程度通常用来描述一组数据的分散情况，它可以帮助我们了解数据的稳定性和一致性。

在实际应用中，离散程度对于我们分析数据、预测未来趋势等方面具有重要意义。

二、离散程度的估计方法离散程度的估计方法主要包括以下几种：1.最大值与最小值之差：最大值与最小值之差可以反映数据的范围，但它不能很好地反映数据的分散程度。

2.平均值与中位数之差：平均值与中位数之差可以反映数据的集中趋势，但它也不能很好地反映数据的分散程度。

3.四分位数间距：四分位数间距是指数据的上四分位数与下四分位数之差，它可以反映数据的分散程度，但对于偏态分布的数据不太适用。

4.标准差与方差：标准差与方差是衡量数据离散程度的常用指标，它们可以反映数据的分散程度，但对于极端值较为敏感。

5.离散系数：离散系数是标准差与均值之比，它可以用来比较不同单位或量级的数据的离散程度。

三、离散程度的应用实例在实际应用中，离散程度可以用来分析数据的稳定性和一致性，例如，在工资水平分析中，我们可以通过计算工资总额的标准差来反映工资的分散程度，从而了解工资水平的稳定性和一致性。

四、总结总体离散程度的估计是描述数据离散程度的重要指标，它可以帮助我们了解数据的稳定性和一致性。

9.2.4总体离散程度的估计导学案【学习目标】1.会用样本的极差、方差与标准差估计总体2.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)3.理解离散程度参数的统计含义【自主学习】知识点1 方差、标准差的定义一组数据x 1，x 2，…，x n ，用x 表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为n1()21∑=-ni i x x ＝n 1（∑=n i i x 12－2x ）， 标准差为()2121∑=-==n i i x x n s s .知识点2 总体方差、总体标准差的定义如果总体中所有个体的变量值分别为Y 1，Y 2，…，Y N ，总体平均数为Y ，则称S 2＝1N()21∑=-Ni i Y Y为总体方差，S ＝S 2为总体标准差．如果总体的N 个变量值中，不同的值共有k (k ≤N )个，记为Y 1，Y 2，…，Y k ，其中Y i 出现的频数为f i (i ＝1,2，…，k )，则总体方差为S 2＝1N ()21∑=-ki iiY Y f .知识点3 样本方差、样本标准差的定义如果一个样本中个体的变量值分别为y 1，y 2，…，y n ，样本平均数为y ，则称2s=n1()21∑=-niiyy为样本方差，s＝s2为样本标准差．知识点4 方差、标准差特征标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差．【合作探究】探究一 标准差与方差的应用【例1】甲、乙两机床同时加工直径为100 mm 的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 【答案】 (1)x 甲＝100，x 乙＝100.s 2甲＝73，s 2乙＝1. (2)乙机床加工零件的质量更稳定.【解析】 (1)x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73， s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s 2甲>s 2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定.归纳总结：在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，稳定性越高【练习1】为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下．理科：79,81,81,79,94,92,85,89 文科：94,80,90,81,73,84,90,80计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好？【答案】理科x 1＝85(分)，方差s 21＝31.25；文科x 2＝84(分)，方差s 22＝41.75.理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．【解析】计算理科同学成绩的平均数x 1＝18×(79＋79＋81＋81＋85＋89＋92＋94)＝85(分)，方差s 21＝18×[(79－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(81－85)2＋(85－85)2＋(89－85)2＋(92－85)2＋(94－85)2]＝31.25；计算文科同学成绩的平均数x 2＝18×(73＋80＋80＋81＋84＋90＋90＋94)＝84(分)，方差s 22＝18×[(73－84)2＋(80－84)2＋(80－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(90－84)2＋(90－84)2＋(94－84)2]＝41.75.因为x 1>x 2，s 21<s 22，所以从统计学的角度分析，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．探究二 用样本平均数和样本标准差估计总体【例2】在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？【答案】能，估计为51.4862【解析】引入记号，把男生样本记为1223,,,x x x ，其平均数记为x ，方差记为2x s ；把女生样本记为1227,,,y y y ，其平均数记为y ，方差记为2y s ；把总样本数据的平均数记为z ，方差记为2s .根据方差的定义，总样本方差为()()232722211150i i j js x z y z ==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑，为了与,x y 联系，变形为2s ()()22322171150i j j i x x x z y y y z ==⎡⎤=-+--+-⎢⎥⎣⎦+∑∑，计算后可得()()23120ii x x x z =--=∑，()()27120jj yy y z =--=∑.这样变形后可计算出2s ．这也就是估计值．归纳总结：（1）标准差代表数据的离散程度，考虑数据范围时需要加减标准差.（2）计算样本平均数、样本方差直接利用公式，注意公式的变形和整体代换．【练习2】在一个文艺比赛中，8名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分．在给某选手的打分中，专业人士打分的平均数和标准差分别为47.4和3.7，观众代表打分的平均数和标准差为56.2和11.8，试根据这些数据计算这名选手得分的平均数和标准差．【答案】平均数为52.68分，标准差为10.37.【解析】 把专业人士打分样本记为x 1，x 2，…，x 8，其平均数记为x ，方差记为s 2x ；把观众代表打分样本记为y 1，y 2，…，y 12，其平均数为y ，方差记为s 2y；把总体数据的平均数记为z ，方差记为s 2.则总样本平均数为：z＝820×47.4＋1220×56.2＝52.68(分)，总样本方差为：s2＝120(()281∑=-iixx＋()2121∑=-jjyy)＝120{8[s2x＋(x－z)2]＋12[s2y＋(y－z)2]}＝120{8[3.72＋(47.4－52.68)2]＋12[11.82＋(56.2－52.68)2]}＝107.6，总样本标准差s＝10.37.所以计算这名选手得分的平均数为52.68分，标准差为10.37.课后作业A 组 基础题一、选择题1．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是( )A ．平均数B ．中位数C ．方差D ．众数【答案】C [由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．]2．对一组样本数据x i (i ＝1,2，…，n )，如将它们改为x i －m (i ＝1,2，…，n )，其中m ≠0，则下面结论正确的是( )A ．平均数与方差都不变B ．平均数与方差都变了C ．平均数不变，方差变了D ．平均数变了，方差不变【答案】D [若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b (a ≠0)的平均数为a x ＋b ，方差为a 2s 2，标准差为a 2s 2，则正确答案应为D ．]3．样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为( )A ．65 B ．65C ．2D ．2 【答案】D [∵样本a,0,1,2,3的平均数为1，∵a ＋65＝1，解得a ＝－1.则样本的方差s 2＝15×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故标准差为 2.故选D ．]4．高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x ，y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|x －y |的值为( )A ．15B ．16C ．17D ．18【答案】D [由题意得，x ＋y ＋105＋109＋1105＝108，∵(x －108)2＋(y －108)2＋9＋1＋45＝35.2，∵由∵∵解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝99，y ＝117，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝117，y ＝99，所以|x －y |＝18.故选D ．]5．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：其中x －甲＝x －乙，则两个班数学成绩的方差为( ) A ．3 B ．2 C ．2.6D ．2.5【答案】C [由题意可知两个班的数学成绩平均数为x －＝x －甲＝x －乙，则两个班数学成绩的方差为s 2＝2020＋30×[2＋(x －甲－x －)2]＋3020＋30×[3＋(x －乙－x －)2] ＝2020＋30×2＋3020＋30×3＝2.6.] 二、填空题6．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：【答案】丙 [因为丙的平均数最大，方差最小，故应选丙．]7．五个数1,2,3,4，a 的平均数是3，则a ＝________，这五个数的标准差是________．【答案】52 [由1＋2＋3＋4＋a 5＝3得a ＝5；由s 2＝15[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2得，标准差s ＝ 2.]8．为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的平均体重为60 kg ，标准差为60，男员工的平均体重为70 kg ，标准差为50，女员工的平均体重为50 kg ，标准差为60，若样本中有20名男员工，则女员工的人数为________． 【答案】200 [设男、女员工的权重分别为ω男，ω女，由题意可知s 2＝ω男[s 2男＋(x 男－x )2]＋ω女[s 2女＋(x 女－x )2]，即ω男[502＋(70－60)2]＋(1－ω男)[602＋(50－60)2]＝602，解得ω男＝111，ω女＝1011，因为样本中有20名男员工，所以样本中女员工的人数为200.] 三、解答题9．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm 2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．【答案】 甲品种的样本平均数为15×(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10，样本方差为[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02.乙品种的样本平均数为15×(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝10，样本方差为[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]÷5＝0.244. 因为0.244＞0.02，所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定．10．某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差．【答案】 由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为x 高＝3×58＋5×40＋2×383＋5＋2＝45，年龄的方差为s 2高＝13＋5＋2[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73， 所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为 x ＝5050＋10×38＋1050＋10×45≈39.2(岁)，该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是 s 2＝5050＋10[2＋(38－39.2)2]＋1050＋10[73＋(45－39.2)2]＝20.64.11．从某企业生产的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的某项质量指标，由测量结果得到如下频数分布表：(1)在图中作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？解(1)频率分布直方图如图：(2)质量指标值的样本平均数为80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．B 组 能力提升一、选择题1．某台机床加工的五批同数量的产品中次品数的频率分布如表：A ．1.1B ．3C ．1.5D ．2 【答案】 A解析 设数据x i 出现的频率为p i (i ＝1,2，…，n )，则x 1，x 2，…，x n 的平均数为x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ＝0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1，故选A.2．样本a,3,5,7的平均数是b ，且a ，b 是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】 C解析 x 2－5x ＋4＝0的两根是1,4. 当a ＝1时，a,3,5,7的平均数是4； 当a ＝4时，a,3,5,7的平均数不是1.∵a ＝1，b ＝4，则方差s 2＝14×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.3．高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为：x ，y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|x －y |的值为( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．18 【答案】 D解析 由题意得，x ＋y ＋105＋109＋1105＝108，①(x －108)2＋(y －108)2＋9＋1＋45＝35.2，②由①②解得x ＝99，y ＝117，所以|x －y |＝18.故选D.4．(多选题)若样本1＋x 1,1＋x 2,1＋x 3，…，1＋x n 的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋x 1,2＋x 2，…，2＋x n ，下列结论正确的是( )A ．平均数是10B ．平均数是11C ．方差为2D ．方差为3【答案】BC [若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，方差为s ，那么x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n＋a 的平均数为x －＋a ，方差为s ，故选BC ．]5．(多选题)某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假中每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为x ＝ 3小时，方差为s 2＝ 2.003，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为x 1＝2.6，x2＝3.2，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为s 21＝1，s 22＝2，s 23＝3，则高三学生每天读书时间的平均数x 3可能是( )A ．3.2B ．3.3C ．2.7D ．4.5【答案】BC [由题意可得2．003＝8002 000[1＋(3－2.6)2]＋6002 000[2＋(3－3.2)2]＋6002 000[3＋(3－x 3)2]，解得x －3＝3.3或2.7.] 二、填空题6．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________(从小到大排列)．【答案】1,1,3,3 [不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4且x 1，x 2，x 3，x 4为正整数．由条件知⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 3＋x44＝2，x 2＋x32＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，x 2＋x 3＝4，又x 1，x 2，x 3，x 4为正整数， ∵x 1＝x 2＝x 3＝x 4＝2或x 1＝1，x 2＝x 3＝2，x 4＝3或x 1＝x 2＝1，x 3＝x 4＝3.∵s ＝14[](x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝1， ∵x 1＝x 2＝1，x 3＝x 4＝3. 由此可得4个数分别为1,1,3,3.]7．已知一组数据x 1，x 2，…，x 10的方差是2，且(x 1－3)2＋(x 2－3)2＋…＋(x 10－3)2＝380，则这组数据的平均数x ＝________. 答案 －3或9解析 ∵数据x 1，x 2，…，x 10的方差为2， ∴110[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 10－x )2]＝2， 即(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 10－x )2＝20. 又∵(x 1－3)2＋(x 2－3)2＋…＋(x 10－3)2＝380， ∴90－10x 2＋(2x －6)×10x ＝360， ∴x 2－6x －27＝0， 解得x ＝－3或x ＝9.8．已知某位同学五次数学考试成绩分别为121,127,123，a,125.若其平均成绩是124，则这组数据的方差为________． 答案 4解析 由平均成绩是124，可以求得a ＝124，然后由方差公式得方差为15×[(121－124)2＋(127－124)2＋(123－124)2＋(124－124)2＋(125－124)2]＝4.三、解答题9．我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100户居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)用每组区间的中点作为每组用水量的平均值，这9组居民每人的月均用水量前四组的方差都为0.3，后5组的方差都为0.4，求这100户居民月均用水量的方差．【答案】(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0，0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5, 2)，[2, 2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]内的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2a×0.5，解得a＝0.30.(2)由题意可知，这9组月均用水量的平均数依次是x1＝0.25，x2＝0.75，x3＝1.25，x4＝1.75，x5＝2.25，x6＝2.75，x7＝3.25，x8＝3.75，x9＝4.25,这100户居民的月均用水量为x＝0.04×0.25＋0.08×0.75＋0.15×1.25＋0.21×1.75＋0.25×2.25＋0.15×2.75＋0.06×3.25＋0.04×3.75＋0.02×4.25＝2.03，则这100户居民月均用水量的方差为s2＝0.04×[0.3＋(0.25－2.03)2]＋0.08×[0.3＋(0.75－2.03)2]＋0.15×[0.3＋(1.25－2.03)2]＋0.21×[0.3＋(1.75－2.03)2]＋0.25×[0.4＋(2.25－2.03)2]＋0.15×[0.4＋(2.75－2.03)2]＋0.06×[0.4＋(3.25－2.03)2]＋0.04×[0.4＋(3.75－2.03)2]＋0.02×[0.4＋(4.25－2.03)2]＝1.113 6.10．为提倡节能减排，同时减轻居民负担，某市积极推进“一户一表”工程．非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：0.65元/度．“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下：若采用阶梯电价收费标准，应交电费200×0.61＋(400－200)×0.66＋(410－400)×0.91＝263.1(元)．为调查阶梯电价是否能起到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户居民的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量(单位：度)为88、268、370、140、440、420、520、320、230、380.(2)根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量(同一组数据用该区间的中点值作代表)；(3)设某用户11月用电量为x度(x∈N)，按照合表电价收费标准应交y1元，按照阶梯电价收费标准应交y2元，请用x表示y1和y2，并求当y2≤y1时，x的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠？【答案】(1)频率分布表如下：(2)该100户用户11月的平均用电量x＝50×0.04＋150×0.12＋250×0.24＋350×0.3＋450×0.26＋550×0.04＝324(度)，所以估计全市住户11月的平均用电量为324度．(3)y1＝0.65x，y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧0.61x ，0≤x ≤200，0.66(x －200)＋122＝0.66x －10，200<x ≤400，0.91(x －400)＋254＝0.91x －110，x >400.由y 2≤y 1得⎩⎪⎨⎪⎧ 0.61x ≤0.65x ，0≤x ≤200或⎩⎪⎨⎪⎧0.66x －10≤0.65x ，200<x ≤400或⎩⎪⎨⎪⎧0.91x －110≤0.65x ，x >400.解得x ≤1100.26≈423.1.因为x ∵N ，故x 的最大值为423.根据频率分布直方图，x ≤423时的频率为0.04＋0.12＋0.24＋0.3＋23×0.002 6＝0.759 8＞0.75，故估计“阶梯电价”能给不低于75%的用户带来实惠．。

9.2.4 总体离散程度的估计学习目标1. 了解分布的意义和作用。

2. 理解样本数据的方差与标准差的意义和作用，会计算样本数据的方差与标准差。

3. 能从样本数据中计算出方差和标准差，并给出合理的解释。

基础梳理1. 假设一组数据是n x x x ,,,21 ，用x 表示这组数据的平均数，那么这组数据的方差为211x x n i ni ，标准差为211x x n i n i 。

2. 如果总体中所有个体的变量值分别为N Y Y Y ,,,21 ，总体平均数为Y ，则称212)(1Y Y N S i Ni 为总体方差，2S S 为总体标准差，与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式，如果总体的N 个变量值中，不同的值共有k （N k ）个，不妨记为k Y Y Y ,,,21 ，其中i Y 出现的频数为i f (i =1,2,…,k )，则总体方差为212)(1Y Y f N S i i Ni .如果一个样本中个体的变量值分别为n y y y ,,,21 ，样本平均数为y ，则称212)(1y y n s i n i 为样本方差，2s s 为样本标准差.3. 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的. 随堂训练1、若样本1231,1,1,,1n x x x x L 的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x L ，下列结论正确的是（ ）A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为82、在某次测量中得到的A 样本数据如下: 82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据,则,A B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A.众数B.平均数C.中位数D.标准差3、如图是甲、乙两位同学在某5次数学测试成绩的茎叶图,则平均成绩较低的那位同学的成绩的方差为( )A.1B.2C.3D.44、下列对一组数据的分析,不正确的说法是( ) A.数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定 B.数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定 C.数据标准差越小,样本数据分布越集中、稳定 D.数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定5、一个样本a ,3,5,7的平均数是b ,且,a b 是方程2540x x 的两根,则这个样本的方差是( )A.3B.4C.5D.66、某省为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作为实验基地，这n 座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为12x x ，，...，n x 下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( ) A. 12x x ，，...，n x 的平均数 B. 12x x ，，...，n x 的标准差 C. 12x x ，，...，n x 的最大值D. 12x x ，，...，n x 的中位数7、若样本121,1,,1n x x x L 的平均数为10,其方差为2,则样本122,2,,2n x x x L 的平均数为____________,方差为____________.8、某工厂生产,A B 两种元件，现从一批产品中随即抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：A 7 7 7.5 9 9.5B 6 x 8.5 8.5 y由于表格被污损，数据,x y看不清，统计员只记得,A B两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等，则xy __________9、在考察某中学的学生身高时,采用了分层抽样的方法抽取男生100人,女生50人,其中男生的平均身高为170cm,方差为20;女生身高的平均身高为160cm,方差为25.试估计这所学校学生的平均身高和身高的方差(结果保留一位小数).10、农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况,从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高,数据如下:(单位:cm)甲:9,10,11,12,10,20;乙:8,14,13,10,12,21.1.在如图给出的方框内绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图;2.分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差,并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况。

《总体离散程度的估计（二）》学习任务单【学习目标】本节课主要内容是在已经学习理解了“方差与标准差概念”的基础上，学习理解方差的性质.学会分层随机抽样样本的方差的计算.帮助学生逐步适应复杂的数学符号.体会利用样本估计总体的思想.在数据的整理与计算的过程中养成耐心、细致、认真的习惯，学会把知 识应用于生活.提高数据分析能力.【课上任务】1．复习回顾方差标准差的基础知识.2. 能够熟练运用方差公式计算“知识应用1”两组数据的方差.3．探索发现“知识应用1”的数据特征，为探究方差性质做准备.4. 通过探索数据特征能够归纳“方差性质”并能够用数学符号加以证明.5. 深刻理解方差公式，并能运用方差公式表示两组数据汇总后的方差.6．怎样利用好“知识应用2”的已知条件对题目中汇总后的方差进行运算.7. 在运算过程中理解并会使用复杂的数学符号.8． 通过“知识应用2”的探索解答，能够归纳多组数据汇总后方差的计算.9．体会方差和标准差等统计量的特点及应用.【学习疑问】（可选）10．哪段文字没看明白？11．哪个环节没弄清楚？12．有什么困惑？13．你想向同伴提出什么问题？14．你想向老师提出什么问题？15．本节课有几个环节，环节之间的联系和顺序？16．同伴提出的问题，你怎么解决？17．依据经验,你认为我们下面还需要研究什么问题？【课后作业】18．作业1: 数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差20s =，证明：所有的()1,2,,i x i n =⋅⋅⋅都相同.解析：证明：设12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数为x ， 则()2211ni i s x x n ==-∑ ()()()()()221222121212100,,,1,2,,n i i n n n i s x x n x x x x x x x x x x x xx x x xx i n ==∴-=∴-+-+⋅⋅⋅+-=∴==⋅⋅⋅=∴==⋅⋅⋅=∴=⋅⋅⋅∑所有的都相同作业2：某学校有高中学生500人，其中男生320人，女生180人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用按比例分配分层抽样的方法抽取样本量为50的样本，并观测样本的指标值(单位：cm)，计算得男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03.计算总样本的均值和方差，并对这个学校高中学生身高的均值和方差进行估计.解析：由分层抽样得到，样本中抽取男生32人，女生18人.总样本的均值为3218173.5163.83170.025050⨯+⨯≈ 由课上得到的结论()()22222x y m m s s x z s y z m n m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++，总样本方差 ()()222321817173.5170.0230.03163.83170.0243.245050s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-≈⎣⎦⎣⎦ 总样本的均值约为170.02，总样本的方差约为43.24.因为是采用按比例分配进行分层抽样获取样本，所以这个学校高中学生身高 的均值约为170.02cm,方差约为43.24.。

9.2.4总体离散程度的估计一、内容和内容解析内容：极差、方差和标准差的概念和统计含义，总体方差或标准差的估计.内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第九章第2节第4课时的内容．在统计学中，为了了解一组数据的特征，我们可以从这组数据的取值规律、集中趋势和离散程度等进行研究.一组数据的离散程度可以反映这组数据的波动情况或稳定性.刻画一组数据的离散程度的统计量有很多，最常用的是极差、方差和标准差．极差是一种较为简单的刻画方式，它反映了一组数据的取值范围.极差只用了这组数据中最大和最小两个数据的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差包含的信息量极少.方差运用平均距离的思想来刻画一组数据的离散程度，它反映了各个数据聚集于平均数周围的程度.方差越小，表明该组数据在平均数的周围越集中；方差越大，表明该组数据越分散.方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致.对方差开平方，取其算术平方根得到标准差.标准差的单位与数据的单位相同，其含义与方差相同.假设有两组数据，而且已知每组数据的观测个数、平均数和标准差(或方差)，可以通过它们直接计算两组数据合并后全部数据的方差，这大大提高了计算效率.如果一组数据是总体中全部个体的观测值，那么这组数据的方差，标准差和极差就称为总体的方差、标准差和极差，如果这组数据是样本观测值，那么这组教据的方差、标准差和极差就是样本的方差、标准差和极差. 与用样本均值估计总体均值的思想类似，可以用样本方差，标准差和极差估计总体方差、标准差和极差.二、目标和目标解析目标：（1）通过实例、理解极差、方差、标准差等离散程度参数的统计意义．（2）掌握用样本的离散程度参数估计总体的离散程度的方法，体会样本估计总体的思想，发展数据分析素养．目标解析：（1）知道极差、方差、标准差可以刻画数据离散程度，反映数据的稳定性；能用平均数、中位数、众数和极差、方差、标准差对数据进行比较和评价；能用平均数和标准差描述数据的取值范围；知道多数数据在平均数减去两倍标准差与平均数加两倍标准差的范围内. （2）对于通过试验、简单随机抽样等途径获得的样本数据，会计算样本方差和样本标准差；对于两组数据汇总得到的数据，能通过两组数据各自的样本量、平均数和标准差(或方差)计算两组数据合并后所有数据的平均数和标准差(或方差).能用样本数据的方差和标准差估计总体的方差和标准差，在此过程中体会样本估计总体的思想．基于上述分析，本节课的教学重点定为：方差和标准差的意义与计算；已知两组数据的观测个数、平均数和标准差或方差时，两组数据合并后所有数据的平均数和标准差的计算方法与思想．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：在大数据时代，数据众多，有时需将不同来源的数据进行整合.针对数据多、计算量大的实际问题，可以采用分步计算的方法，先分别处理不同来源的数据，再计算所有数据的统计结果.在分层随机抽样中，每层得到的调查数据作为一个组，学生已经学习了已知每组数据的均值和样本量，计算两组数据合并后所有数据总均值的方法——加权平均，但总方差的计算需要知道每组数据的个数、平均数和标准差.在推导总方差的计算公式时，需要用符号对样本进行表示，通过代数变形进行推导，推导过程较复杂.学生在初中仅会计算简单数据的方差，对这类问题未曾接触，同时学生对大量复杂的数学符号存在认知障碍.解决方案：在教学过程中，教师应尽量多用语言(符号代表的统计意义)对公式的含义进行解释，帮助学生逐步适应复杂的数学符号．基于上述情况，本节课的教学难点定为：已知每组数据个数、平均数和方差，获得各组数据合并后全部数据的方差的计算公式，及计算中的递推思想.四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到方差、标准差、极差的公式，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中使用计算器或计算机软件计算方差．既可以解决复杂计算问题，也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视极差、方差、标准差的推导与证明，让学生体会到数学推导的基本过程，同时，公式的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．教学环节问题或任务师生活动设计意图创设[问题1]有两位射击运动员在一次射击测教师1：提出问题1．学生1：学生思考.通过具体问题，让学生情境，引入新课试中各射靶10次,每次命中的环数如下:甲:7879549107 4乙:9578768677如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?[问题2]甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环?他们的平均成绩一样吗?[问题3]难道这两个人的水平就没有什么差异了吗?你能作出这两人成绩的频率分布条形图来说明其水平差异在哪里吗?教师2：提出问题2．学生2：经计算得(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7,同理可得=7.他们的平均成绩一样.教师3：提出问题3．学生3：从图上可以直观地看出,他们的水平还是有差异的,甲成绩比较分散,乙成绩相对集中.感受反映样本数字离散程度的估计量；极差、方差与标准差学学习解决实际问题中的运用，发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。