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第三章(分层抽样)

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第三章 分层随机抽样

第三章 分层随机抽样

第三章分层随机抽样概述简单估计及其性质各层样本量的分配样本总量的确定分层随机抽样效果分析第一节概述一、特点¾分层抽样不仅可估计总体参数，还可估计层的参数¾实施方便，便于组织¾分层样本比简单随机样本在总体中分布更均匀¾分层抽样能较大地提高调查地精度二、符号¾总体分为L 层，h 表示层的编号¾第h 层单位总数：N h ¾样本单位数：n h¾层权：抽样比：¾第h 层子总体第i 个单位标志值：Y hi¾第h 层样本中第i 个单位标志值：y hiNN W h h =hhh N n f =¾总体均值：¾样本均值：¾总体方差：¾样本方差：∑==hNihihhYNY11∑==hnihihyny11()∑=−−=hNihhihhYYNS12 211()∑=−−=hnihhihhyyns12 211第二节简单估计量及其性质一、对总体均值或总量的估计hLh h h L h h st Lh h st sth Lh h Lh h h st y N y W N Y N Y Y y y W Y W Y ∑∑∑∑∑============11111ˆˆˆˆˆstststst Y YE Y y E ==)ˆ()(∑∑∑===−==Lh hh Lh h hh h L h hst N SW n S W y V W y V 1212212)()(样本方差s 2∑∑==−=Lh hh Lh h hh st N sW n s W y v 12122)(hhh h h st st st n S n N N y V N Y V N Y V 222)()()ˆ()ˆ(−===∑hhh h h st n s n N N Y v 2)()ˆ(−=∑())(,)(st st st sty v u y y v u yαα+−例：某市进行家庭收入调查，分城镇居民及农村居民两部分抽样，在全部城镇23560户中抽取300户，在全部农村148420户中抽取250户（均按简单随机抽样进行），调查结果城镇年平均户收入为15180元，标准差为2972元；农村年平均户收入为9856元，标准差为2546元。

讲稿3-分层抽样

讲稿3-分层抽样
10 750
1 n1
y 1
i 1
n1
1i
y 1 1 6 2 4 .7 2 2
2
s 2 2 1 6 6 .6 6 7
2
400 2850
0 .1 4 0 3 5
0 .0 2 5
y2 105
W3
N3 N

0 .2 6 3 1 6
f3
0 .0 1 3 3
y3 165
h 1
L
N h N h n h Ph Q h
2
Nh 1
nh



h 1
L h 1
1 N
2 h
N
2
N h
N
h
n h Ph Q h nh
W 1
fh
Ph Q h nh
2013-6-21
22
V 性质9：对于分层随机抽样， p 的一个无偏估计为：
st
v p st

ˆ E Yh Yh


ˆ V Y st

估计量的方差
L ˆ V W hYh h 1

h 1
L
ˆ 2 W h V Yh 2

L

L
ˆ ˆ W h W k Cov Y h , Y k


h 1 k h
由于各层是独立抽取的，因此上式第二项中的协方差全 L 为0，从而有 ˆ ˆ 2 V Y st W h V Y h
24
解：由上表可得，
h
p 4 0 .1
p 3 0 .4
p 2 0 .2
p 1 0 .2

抽样技术课件 第三章(分层抽样)

抽样技术课件 第三章(分层抽样)

估计量方差的证明
在一般分层抽样下
L L L L ˆ V W Y ˆ W 2V Y ˆ 2 ˆ ,Y ˆ VY W W Cov Y st h h h h h k h k h 1 k h h1 h1 L ˆ ˆ V Y W 2V Y


L 2 h L L 2 h
1 2 N
2 L Nh ( N h nh ) PhQh PhQh 2 Wh (1 f h ) Nh nh nh h 1 h 1
性质二的证明：
ph qh v( pst ) W v( ph ) W (1 f h ) nh 1 h 1 h 1
ˆ 2 2 1 fh 2 V (Yst ) V ( yst ) Wh V ( yh ) Wh Sh nh h 1 h 1
L L
1 fh 2 v( yst ) W v( yh ) W sh nh h 1 h 1
L 2 h L 2 h
无偏性的证明
在一般分层抽样下
ˆ Y EY h h
30
200
25
180
10
300
30
220
25
N1 200 N 2850 W1 0.07018 N 2850 n1 10 f1 0.05 nh 10 N1 200 n1 n1 1 2 2 1 y1i y1 1624.722 y1 y1i 39.5 s1 n1 1 i 1 n i 1
L L ˆ E W Y ˆ W EY ˆ EY st h h h h h1 h1
L



1 L 1 L Y WhYh N hYh Yh Y N h1 N h1 N h 1

分层随机抽样概论(PPT 50张)

分层随机抽样概论(PPT 50张)
4
2019/2/15
例题


例如，对全国范围汽车运输的抽样调查，调查目的不 仅要推算全国货运汽车完成的运量，还要推算不同经 济成分（国有、集体、个体）汽车完成的运量。 为组织的方便，首先将货运汽车总体按省分层，由 各省运输管理部门负责省内的调查工作。 各省再将省内拥有的汽车按经济成分分层。 为提高抽样效率，再对汽车按吨位分层。 例如，某高校对学生在宿舍使用电脑的情况进行调查， 根据经验，本科生和研究生拥有电脑的状况差异较大。 因此，在抽样前对学生按本科生和研究生进行分层 是有必要的。
st
W 2 VY VY h h s t
h 1

L


只要对各层估计无偏，则总体估计也无偏。

各层可以采用不同的抽样方法，只要相应的估计量 是无偏的，则对总体的推算也是无偏的。
8
2019/2/15
证明性质1
由于对每一层有 L L ˆ ˆ ˆ E Y E W Y W E Y st hh h h 因此， h 1 1 h L L L 1 1 Y W Y N Y Y Y h h h h h N N N h 1 h 1 h 1 估计量的方差 L L L L ˆ ˆ ˆ ˆ 2ˆ V Y V W Y W V Y 2 W W Cov Y , Y st h h h h h k hk h 1 h 1 h 1 k h 由于各层是独立抽取的，因此上式第二项中的协方差全 L 为0，从而有
二、分层原则：
总体中的每一个单元一定属于并且只属于某一个层，而不可能同时属于两个 层或不属于任何一个层。




1.估计：层内单元具有相同性质，通常按调查对 象的不同类型进行划分。 2.精度：尽可能使层内单元的指标值相近，层间 单元的差异尽可能大，从而达到提高抽样估计精 度的目的。 3.估计和精度：既按类型、又按层内单元指标值 相近的原则进行多重分层，同时达到实现估计类 值以及提高估计精度的目的。 4.实施：抽样组织实施的方便，通常按行政管理 机构设置进行分层。

抽样技术第三章_分层随机抽样

抽样技术第三章_分层随机抽样

4

4
4
ˆ v Y ˆ 23208 s Y
ˆ 209650 2 23208 ˆ ts Y Y

2015/11/6
23
三、对总体比例的估计

总体比例P的估计为：pst Wh ph
h 1
L

估计量的性质
对于一般的分层抽样，如果 ph是 P h 的无偏估计 （h 1,2,, L ），则 pst 是 P的无偏估计。 p 的方差为：
W 2V Y V Y h h st
h1

L


只要对各层估计无偏，则总体估计也无偏。

各层可以采用不同的抽样方法，只要相应的估计量是无 偏的，则对总体的推算也是无偏的。
11
2015/11/6
证明性质1
由于对每一层有
ˆ Y EY h h

L L ˆ ˆ ˆ E Y E W Y W E Y st h h h h 因此， h1 h1

L
L
N Y hh
h 1
L
分层随机样本，总体均值 Y 的简单估计
1 y st Wh y h N h 1
N
h 1
L
h
yh
10
2015/11/6
估计量的性质

是 Yh 的无 性质1&2：对于一般的分层抽样，如果 Y h 偏估计（ h 1,2, , L ），则 Y 是Y 的无偏估计。 st Yst 的方差为：
7
三、符号
所有总体参数的估计量都采用下标“st”以示区别：
记 号 代表的含义
h
下标
i

第三章分层随机抽样作业答案

第三章分层随机抽样作业答案

P111 3.6 样本量应该满足：
在Nh－1≈Nh的条件下，
而其中每层的吃年夜饭的样本比例的方差的估计值为： p 1 p 1 f N n h hn h h hh v p p 1 p h h h n 1 N n 1 hn h h h
则样本比例的方差的估计值为：
6 2 h 6 2 h
p 1 p h h v p W v p W 1 f s t h h n 1 h 1 h 1 h
把相应的数值代入计算可得方差的估计值为v(pst)＝3.9601×10-4，
从而可以得到该估计值的标准差为：s(pst)=0.0199。
（2）样本容量的确定
n2 = 0.2028 × 2568 = 520.7904 ≈ 521
n3 = 0.1625 × 2568 = 417.3000 ≈ 417 n4 = 0.1184 × 2568 = 304.0512 ≈ 304 n5 = 0.1544 × 2568 = 396.4992 ≈ 396 n6 = 0.1529 × 2568 = 392.6472 ≈ 393
P110 3.4 ∵ n0/N=2568/1650000=0.00156＜0.05 ∴ 不需要修正 按内曼分配，样本量 n = 2568
w h
W 1 ph ) hp h(
w1= 0.0540/0.2584 = 0.2090
W p (1 p )
h1 h h h
k
w2= 0.0524/0.2584 = 0.2028
P110 3.5 解：总体总共分为10个层，每个层中的样本均值已经知道， 层权也得到，从而可以计算得到该开发区居民购买冷冻 食品的平均支出的估计值为： y st

分层抽样 例题文档

分层抽样 例题文档

第三章分层随机抽样书P1293.1.某高校欲了解教职员工对某项津贴与职务职称挂钩的分配制度改革的态度，准备在全校教职员工中进行抽样调查，为了提高抽样技术，准备进行分层抽样，请判断下面的几种分层方法是否合适？（1）按性别分层（2）按教师、行政管理人员、职工分层；（3）按职称）（正高、副高、中级、初级、其他）分层（4）按部门（如系、所、处）分层3.2. 某学院4个专业的新生元旦晚会，组织者为了活跃气氛，欲在800名学生中抽出8名作为“幸运星”，为了以示公平，要求每位学生被抽中的概率相同。

组织者知道利用简单随机抽样的方法可以满足要求，你能不能帮助组织者再设计几种方案？3.3.某居委会辖有三个居民新村，居委会欲对居民购买彩票情况进行调查，调查者考虑以新村分层，在每个新村中随机抽取了10个居民户最近一个月购买彩票所花费的金额（元），下表是每个新村及调查情况：（1）试估计该小区居民户购买彩票的平均支出，并给出估计标准差。

（2）当置信度为95%，要求极限误差不超过10%时，按比例和奈曼分配时样本量及各层的样本量分别为多少？3.4.随着经济发展，某市居民年生活习惯在改变，为研究该现象，某机构以市中心163万居民户作为研究对象，将居民户按6个行政分层，在每个行政区随机抽出30户居民进行调查，（各层抽样比可忽略），调查结果如下：(1)试估计该市居民在家吃年夜饭的比例，并给出估计的标准差。

(2)置信度为95%，要求极限绝对误差不超过1%时，按比例和奈曼分配时样本量及各层的样本量分别为多少？3.5.某开发区利用电话调查对区内冷冻食品情况进行调查（各层抽样比忽略）调查后各层样本户购买冷冻食品支出的中间结果如下表：试估计该开发区居民购买冷冻食品的平均支出,以及估计的95%的置信区间。

3.6．某单位欲估计职工的离职意愿，聘请了专业公司来进行调研，公司人员按高级职称、中级职称和初级职称分为3层，已知层权分别为0.2，0.3，0.5,预先猜测各层的总体比例为:0.1，0.2，,0.4，如果采用按比例的分层抽样，要求估计的方差与样本量为100的简单随机抽样相当，则样本量为多少？（不考虑有限总体校正系数）3.7．如果一个大的简单随机样本按类别分为6组，然后按照层的实际大小重新进行加权，这一过程称为事后分层，才用这种方法是由于（判断以下说法的对错）（1）它能比简单随机抽样产生更精确的结果；（2）它能比按比例分配产生更精确的结果；（3）它能比最优分配产生更精确的结果；（4）在抽样时不能得到分层变量；（5）它的估计量方差与真正按比例分层随机抽样的方差差不多。

人教A版必修3《系统抽样-分层抽样》

人教A版必修3《系统抽样-分层抽样》

1 由于每排的座位有40个，各排每个号码被抽取的概率都是, 40
第1排被抽取前，其他各排中各号码被抽取哪率也是
1 说被抽取的概率是 ，每排的抽样也是简单随机抽样，因此这种 40
抽ห้องสมุดไป่ตู้的方法是系统抽样。
1 ，也就是 40
系统抽样的步骤为： （1)先将总体中的N个体编号.有时可直接利用个体自身所带的号码. （2）确定分段间隔k。对编号均衡地分段， N N n 是整数时， k ； n
数理统计所要解决的问题是如何根据样本来推 断总体，第一个问题就是采集样本，然后才能作统 计推断。
1、简单随机抽样
一般地，设一个总体的个体数为 N，如果通过逐个 不放回地抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时 各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随 机抽样。
注意以下四点： （1）它要求被抽取样本的总体的个体数有限； （2）它是从总体中逐个进行抽取； （3）它是一种不放回抽样； （4）它是一种等概率抽样。
分层抽样的抽取步骤： （1）总体与样本容量确定抽取的比例。 （2）由分层情况，确定各层抽取的样本数。 （3）各层的抽取数之和应等于样本容量。 （4）对于不能取整的数，求其近似值。
4．三种抽样方法的比较
5．课堂练习
一个电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱 程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各 种态度的人数如下所示：
分层抽样的一个重要问题是一个总体如何分层。分层抽样 中分多少层，要视具体情况而定。总的原则是：层内样本的差异 要小，而层与层之间的差异尽可能地大，否则将失去分层的意义。
例 2 、一个单位的职工有 500 人，其中不到 35 岁的有 125 人， 35 ～ 49 岁的有 280 人， 50 岁以上的有 95 人。为了了解该单位 职工年龄与身体状况的有关指标，从中抽取 100 名职工作为 样本，应该怎样抽取？ 分析：这总体具有某些特征，它可以分成几个不同的部 分：不到35岁；35～49岁；50岁以上，把每一部分称为一个 层，因此该总体可以分为3个层。由于抽取的样本为100，所 以必须确定每一层的比例，在每一个层中实行简单随机抽样。 解：抽取人数与职工总数的比是100：500＝1：5，则各 年龄段（层）的职工人数依次是125：280：95＝25：56：19， 然后分别在各年龄段（层）运用简单随机抽样方法抽取。 答：在分层抽样时，不到35岁、35～49岁、50岁以上的三个 年龄段分别抽取25人、56人和19人。

分层抽样

分层抽样

A组 1.p64 A组 5题 2.某企业共有3200名职工, 2.某企业共有3200名职工,其中 中、青、老年 某企业共有3200名职工 职工的比例为5:3:2 5:3:2， 职工的比例为5:3:2，从所有职工中抽取一个 样本容量为400的样本， 400的样本 样本容量为400的样本，采用那种抽样方法更 合理？ 老年职工应分别抽取多少人？ 合理？中、青、老年职工应分别抽取多少人？
C
一个总体分为A 两层， 5.一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从 一个总体分为 总体中抽取一个容量为10的样本。已知B 10的样本 总体中抽取一个容量为10的样本。已知B层中 每个个体被抽到的概率为1/12 1/12， 每个个体被抽到的概率为1/12，则总体中的 个数为 120
课堂练习
1.某学校青年志愿者协会共有250名成员,其中高一学生 1.某学校青年志愿者协会共有250名成员, 某学校青年志愿者协会共有250名成员 88名 高二学生112 112名 高三学生50 50名 88名,高二学生112名,高三学生50名,为了了解志愿者 活动与学校学习之间的关系,需要抽取50 50名学生进行 活动与学校学习之间的关系,需要抽取50名学生进行 调查,试确定抽取方法,并写出过程. 调查,试确定抽取方法,并写出过程. 答案:由于各年级的学习情况不同,因此采用分层抽样. 由于志愿者由三个年级的学生组成，故分三层进行抽样. 因为50/250=1/5,所以在高一年级抽取88/5=17.6~~18人, 在高二年级抽取112/5=22.4~~22人,在高三年级抽取 50/5=10人.最后将这50个人组合在一个,就得到一个样 本.
D
2.分层抽样又称类型抽样，即将相似的 分层抽样又称类型抽样， 个体归入一层， 个体归入一层，然后每层抽取若干个个体 构成样本， 构成样本，所以分层抽样为保证每个个体 等可能入样，必须进行（） 等可能入样，必须进行（） A.每层等可能抽样 A.每层等可能抽样 B.每层不等可能抽样 B.每层不等可能抽样 C.所有层按同一抽样比等可能抽样 C.所有层按同一抽样比等可能抽样

抽样调查理论与方法 金勇进(第二版)第3章-分层随机抽样

抽样调查理论与方法 金勇进(第二版)第3章-分层随机抽样
h 1

L


定理 3.3：对于分层随机抽样， 的估 Y 计量 yst 具有如下性质：
E yst Y
ˆ W 2 1 fh S 2 V yst W V Yh h n h h 1 h 1 h
L L 2 h 2 2 L Wh2 S h Wh2 S h nh Nh h 1 h 1 L
2013-8-10
18
3.3 比率估计量及其性质

两种途径：


分别比估计：对每层样本分别考虑比估计量，然 后对各层的比估计量进行加权平均，即先“比” 后“加权”； 联合比估计：对比率的分子和分母分别加权计算 出总体均值或总体总量的分层估计量，然后用对 应的分层估计量来构造比估计，即先“加权”后 “比”。
2013-8-10
5
符号说明 (关于第h层的记号 )

层号
h 1,2, , L
单元总数
Nh
nh y hi
Wh
样本单元数
第 i 个单元的值
层权
抽样比
1 Yh Nh
Nh 2 h
y
i 1
Nh
hi
总体均值
样本均值
nh fh Nh
Nh N
2 1 S y hi Yh N h 1 i 1
1 yh nh
y
i 1
nh
hi
总体方差
样本方差
2013-8-10
1 nh 2 sh y hi y h 2 nh 1 i1
6
3.2 简单估计量及其性质
3.2.1 总体均值的简单估计及其性质

分层样本，总体均值 Y 的估计
WY 1 Yst h h N h 1

分层抽样

分层抽样

时分层抽样【学习导航】学习要求1．体会分层抽样的的概念及如何用分层抽样获取样本；2．感受分层抽样也是等可能性抽样，它适用于总体由差异明显的几部分组成的；3．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的特点及适用范围。

【课堂互动】自学评价案例1某校高一、高二和高三年级分别有学生1000，800和700名，为了了解全校学生的视力情况，欲从中抽取容量为100的样本，怎样抽样较为合理．【分析】如果在2500名学生中随机抽取100名学生作为样本，或者在三个年级中平均抽取学生组成样本，这样的样本是否合理？能否反映总体情况？由于不同年级的学生视力状况有一定的差异，为准确反映客观实际,不仅要使每个个体被抽到的机会均等,而且要注意总体中个体的层次性,从而使抽取的样本具有良好的代表性. 对于这种容量较大、个体差异较大且明显分成几部分的总体,就考虑用分层抽样来抽取样本．1.分层抽样分层抽样的概念：当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样，这样的抽样方法称为分层抽样(stratified sampling)分层抽样的步骤为：(1)将总体按一定标准分层；(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比；(3)按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；(4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)。

【小结】①分层抽样适用于总体由差异比较明显的几个部分组成的情况，是等可能抽样，它也是客观的、公平的；②分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的，由于它充分利用了已知信息，使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时可以根据情况采用不同的抽样方法，因此在实践中有着非常广泛的应用．【精典范例】例1某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取。

第三章抽样调查

第三章抽样调查

随机号码表（乱数表）
16 22 77 94 39 84 42 17 53 61 63 01 63 78 59 33 21 12 34 29 57 60 86 32 44 18 18 07 92 46 26 62 38 97 75 23 42 40 64 74 62 36 28 19 95 37 85 94 35 12
2、可以根据需要对各层的特性加以比较；
3、从管理和实施上看，比简单随机抽样便利得多。
二、分群随机抽样
分群随机抽样是将市场调查母体划分为若干个 群体，然后将若干群体作为抽样样本，采用单纯随 机抽样方法确定并对选定群体内的全体样本进行普 遍调查的一种方法。
分群随机抽样与分层随机抽样的区别在于：分 层随机抽样要求层间异质，层内同质；而分群随机 抽样正好相反，它要求群间同质，群内异质。
公式中：
ni ：各层应抽出的样本数目 n ：样本总数目 Ni ：第i层的调查单位数 Si ：第i层的调查单位的样本标准差
提示：根据经验，估计高收入层的收入离差为5000元，中收入层 的收入离差为3000元，低收入层的收入离差为1000元。
（1）求高收入层样本的标准差 根据标准差公式有： S高 = √50002 /200 =353元 S中 = √30002 /200 =212元 S低 = √10002 /200 =71元
ni =（Ni Si / ∑Ni Si ） ×n 【例题2】某公司要预测某地区家用电器的潜在用户， 这种商品的消费同居民收入水平有关，因而以家庭收 入为分层基础。假定该地区居民户即整个母体数为 1887户，已确定样本数为200户，家庭收入分高、中、 低三层，其中收入高的家庭户为75户，中等收入的家 庭为755户，低等收入的家庭为1057户。试用最佳比例 抽样法确定各层的样本数。

3.分层抽样

3.分层抽样
23
解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，
所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用 分层抽样的方法，具体过程如下： （1）将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层。 （2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应 抽取的样本。 300×3/15=60（人），300×2/15=100（人）， 300×2/15=40（人），300×2/15=60（人）， 因此各乡镇抽取人数分别为60人、40人、100人、 40人、60 人。 （3）将300人组到一起，即得到一个样本。
例4、从编号为1～50的50枚最新研制 的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发 射实验，若采用每部分选取的号码间隔一 样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编 号可能是（ B ） A．5，10，15，20，25 B、3，13，23，33，43 C、1， 2， 3， 4， 5 D、2， 4， 6， 16，32
16
例6:采用系统抽样从个体数为83的总体中 抽取一个样本容量为10的样本，那么每个个体
10 人样的可能性为 _________. 83
例7：从2004名学生中选取50名组成参观 团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽 样从2004人中剔除4人，剩下的2000个再按系 统抽样的方法进行，则每人入选的机会( C)
7
〖说明〗(1)分段间隔的确定:
剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能被样
N 本容量整除.通常取k= n
N N 当 是整数时,取k= ; n n N 当 不是整数时,可以先从总体中随机地 n
(2)从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样 是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而 把复杂问题简单化，体现了数学转化思想。
22
2、某高中共有900人，其中高一年级300人， 高二年级200人，高三年级400人，现采用分层 抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、 高三各年级抽取的人数分别为（ ） D A.15,5,25 15,15,15 C.10,5,30 D15,10,20 3：一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人 口比例为3：2：5：2：3，从3万人中抽取一个 300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这 种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采 取什么样的方法？并写出具体过程。

第三章分层随机抽样

第三章分层随机抽样

第三章分层随机抽样
§3.1 引言
§3.2 估计量
§3.3 样本量在各层的分配§3.4 样本量的确定
附录一
附录二
§3.1 引言⏹定义与特点➢定义
➢特点
※分层抽样的抽样效率高(即分层抽样的估计精度高)。

①层抽样估计量的方差只与层内方差有关，与层间方
差无关。

通过分层，尽可能降低层内差异，使层间差异增大，从而提高估计精度。

②从直观的角度来看，分层抽样可以使样本在总体中
分布比较均匀。

※分层抽样不仅可以对总体指标进行推算，也可以对各层指标进行推算。

▪使用场合
符号说明
§3.2 估计量
⏹总体均值的估计➢简单估计量的定义
➢简单估计量的性质
⏹总体总量的估计➢简单估计量的定义
➢简单估计量的性质
⏹总体比例的估计➢简单估计量的定义
➢估计量的性质
§3.3 样本量在各层的分配 比例分配
➢比例分配下总体均值估计
➢比例分配下总体总值估计
➢比例分配下总体比例估计
最优分配
➢Neyman(内曼)分配
▪考虑估计总体比例P的情形
§3.4 样本量的确定 影响样本量的因素
➢估计总体均值的情形
➢总体参数为P的情形。

分层随机抽样

分层随机抽样

•
V (YˆRC ) V (YˆRS )
• •
因用如此 联 果合 各,当比 层n估 的h 计 样均量本大量时,n用h不分大Y别ˆR，比较C或好估者。计各量层YˆR的S否比则率，R
差异较小（成本考虑 R Rh 0近似成立，联
h
合比估计并非更好，而只是与分别比估计相
当，但联合比估计本身由于只需知道辅助变
L
P的简单估计为pst Whph
h1
且是pst的无偏估计。
（2）
L
pst的方差V（ps）t
Wh
2
V（p
）
h
h1

L h1
Wh 2
1 fh nh

Nh Nh
1
PhQh

L h1
Wh 2
1 fh nh
PhQh (当Nh很大时）
(3) pst的方差V(pst )的估计：
h1
h1
yst的方差为V（ys） t
L h1
Wh 2 V（y h）
L h1
Wh 2
1 fh nh
Sh2
^
Y 的方差V ( yst )的估计：
v( yst )

L
Wh 2
h1
1 fh nh
sh 2
且为V（y）的无偏估计。
Y的置信度为1 的置信区间为：


y st z s( y st ), y st z s( y st )
pst z
Vˆ ( pst ), pst z

2
2
18.33%,27.39%
Vˆ
(
pst
)

《抽样技术》第三章-分层随机抽样

《抽样技术》第三章-分层随机抽样
记 ran ——简单随机抽样； prop ——按比例分配的分层随机抽样； opt ——最优分配的分层随机抽样。 均值估计量的方差分别用Vran，Vprop，Vopt表示。 从Vopt的定义必定有Vprop≥Vopt。nh (h=1,2, ⋯,L)不取 整时，使用公式

V prop
L
1 f n
则它是Y 的无偏估计。可计算出 1 f 1 2 7 2 2 2 V yst S1 S2 S3 n 10 30 3
2 S12 , S2 , S32 S 2 ，故 由经验知，应有
1 f V yst n 1 f n
1 2 7 2 2 2 S S S 30 3 10 S2 V y
2 h 2 h
1 L 1 L 2 2 2 Wh Sh Wh Sh Wh Sh n h1 N h1 h 1
L 2 h L 2
L
Vopt
W S Wh S 1 1 L 2 Wh Sh Wh Sh nh N n h1 N h1 h 1 h 1 V prop Vopt
2 L L 1 2 Wh Sh Wh Sh n h1 h1 2 1 L Wh Sh S n h1
其中S Wh Sh是Sh的加权平均值。
h 1
L

这是因为
n V prop Vopt Wh S Wh Sh h 1 h1

采用分层技术的主要理由
1.需要有总体的某些分类数据，且要具有规定的精 确度； 2.为便于行政管理而要求分层； 3.总体的各个不同部分的抽样问题可能显著地不同 ，即采用各自不同的抽样方法； 4.分层可能提高整个总体指标估计值的精确度。它 可以将一个内部差异很大的总体分成一些内部比较 相似的子总体。

抽样调查教案-3分层随机抽样法

抽样调查教案-3分层随机抽样法

第3章 分层随机抽样在前面一章，我们介绍了简单随机抽样。

应该说简单随机抽样在实际中具有广泛的应用，尤其是在总体N 较小或者总体方差2S 与任意局部方差基本相当的情况下，简单随机抽样的优势明显。

然而，当总体单元数N 较大或者总体各单元之间差异较大时，采用简单随机抽样对总体指标进行估计通常会产生很大的误差。

例如，欲通过调查了解我国居民的人均年收入水平。

这时总体是全国人口的13亿人，倘若采取简单随机抽样从中抽取10万人入样，则需要将全国人口依次编号，然后在1~13亿中生产10万个随机数，然后将这些随机数一一对应成具体某个人。

显然这样做是不实际的，就算可以，由于某些人口较少的省市或民族的样本量过小，甚至没有样本点，从而降低了样本对总体的代表性。

不仅如此，由于类似的全国性调查总是需要地方政府的大力协调与配合，如果地方政府不能通过此次调查获取辖区内的相关信息，达到一举两得的效果，那就勉为其难了。

为了克服简单随机抽样上述缺陷和不足，本章引入——分层随机抽样（Stratified sampling ）。

§3.1 定义与符号一、定义与符号 （一）定义定义3.1 层（类）：如果一个包含N 个基本单元的总体可以分成“不重不漏”的L 个子总体，即每个单元必属于且只属于其中一个子总体，则称这样的子总体为层（stratum ）。

设L 个子总体所包含的单元数分别为L N N N ,,,21 ，即有： L N N N N +++= 21},,,{21N N Y Y Y =π，},,,{21i h hN h h N Y Y Y =π，L h ,,2,1 =定义3.2 分层抽样 又称为类型抽样或分类抽样，即抽样在每个层中独立进行，总的样本由各层样本构成。

定义3.3 分层随机抽样若在每层中的抽样采用SRS ，这样得到的样本为分层随机样本（stratified random sample ）。

即从第h 层简单随机抽样h n 个单元，构成第h 层子样本。

2.1.3分层抽样

2.1.3分层抽样

抽样过 程中每 个个体 被抽取 的概率 相等
从总体中 逐个不放 回抽取 将总体分 成均衡几 部分，按 规则关联 抽取
将总体分 成几层， 按比例分 层抽取
用简单随 机抽样抽 取起始号 码
总体中 的个体 数较多
分层 抽样
方法 类别
简单随 机抽样
共同 特点
抽样特征
相互联系 适应范围
总体中 的个体 数较少
归 纳:
1. 分层抽样: 若总体由差异明显的几部分组成， 抽样时， 先将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的 比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，再 将各层取出的个体合在一起作为样本.
归 纳:
1. 分层抽样: 若总体由差异明显的几部分组成， 抽样时， 先将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的 比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，再 将各层取出的个体合在一起作为样本.
抽样过 程中每 个个体 被抽取 的概率 相等
分层 抽样
方法 类别
简单随 机抽样
共同 特点
抽样特征
相互联系 适应范围
系统 抽样
抽样过 程中每 个个体 被抽取 的概率 相等
从总体中 逐个不放 回抽取
分层 抽样
方法 类别
简单随 机抽样
共同 特点
抽样特征
相互联系 适应范围
总体中 的个体 数较少
系统 抽样
分层 抽样
总体由 差异明 显的几 部分组 成
课堂小结
1. 分层抽样利用了调查者对调查对象事先掌 握的各种信息， 考虑了保持样本结构与总体结 构的一致性，从而使样本更具有代表性，在实 际调查中被广泛应用.
课堂小结
1. 分层抽样利用了调查者对调查对象事先掌 握的各种信息， 考虑了保持样本结构与总体结 构的一致性，从而使样本更具有代表性，在实 际调查中被广泛应用.
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h 1
L
L
ˆ ) N 2 W 2V (Y ˆ) ˆ ) N V (Y V (Y st st h h
2 h 1
注意：总体总量的估计，完全可以由总体均值来推算，因为它们只
相差一个常数。
性质二（分层随机抽样）
ˆ 是Y的无偏估计，即 ˆ ) Y Y E ( Y st st
ˆ ) N V(y ) N V (Y st st
h 1
L
L
ˆ ) W 2V ( P ˆ ) V (P st h h
h 1
性质二（分层随机抽样）
pst 是P的无偏估计，即 E( pst ) P
PhQh V ( pst ) W V ( ph ) W (1 f h ) nh h 1 h 1
2 h 2 h L L
ph qh v( pst ) W v( ph ) W (1 f h ) nh 1 h 1 h 1
1

N 400 W2 2 0.14035 N 2850
f2
f3
n2 10 0.025 N 2 400
y2 105
s22 2166.667
s32 8205.556
2 s4 193.333
N 750 W3 3 0.26316 N 2850
n3 10 0.0133 N3 750
ˆ y W y Y h h st st
h 1
L
简单估计量： 由于没有其他总体信息的，这也是总体的简单估计量。
性质一（一般的分层抽样）
• 对于一般的分层抽样，如果每层的均值都是无 偏估计，则总体均值也是无偏估计。
ˆ ) E( W Y ˆ ) W E (Y ˆ) E (Y hh h h st
抽样调查课----分层抽样
单位: 浙江财经学院数统学院 课程: 抽样调查课 教师: 张锐
目录
一、分层抽样的概念 二、估计量 • 简单估计 • 比率估计 三、样本量的确定
一、分层抽样的概念
1、简单介绍 2、分层抽样的定义 3、符号说明 4、分层抽样的作用 5、分层抽样的原则
1、分层抽样简介
分层抽样(stratified sampling) （STR) 按一定原则，将总体分成若干明显 不同的群体（子总体），每个子总体 称为层，不同层之间是相互独立的， 在每个层内进行抽样，将这些来自 “子总体”的样本全部汇总起来成为 总体的样本 。 特点：各层之间有明显不同，注意到 明显不同特性的群体在样本中的反映 优点：组织实施方便；样本散布均 匀； 精度较高；数据处理简单。 分层技术是应用上最为普遍的抽样技 术之一。
所以
1 fh 2 v y st W v y h W sh nh h 1 h 1
L 2 h L 2 h
2、总体总量的估计
Y Yi
i 1
N
ˆ NY ˆ Y ˆ NY Y h h ˆh st
h 1 h 1
L
L
如果是分层随机抽样
N
Y Yi
单元总体：N h 样本单元数： nh 第i个单元标志值： yhi 层权：Wh n 抽样比：h Nh 1 h层总体均值： Yh Nh 1 h层样本均值： yh nh
2 h
Nh N
Y
i 1 nh i 1
Nh
hi
y
hi
1 Nh h层总体方差： S (Yhi Yh ) 2 N h 1 i 1 1 nh h层样本方差： s ( yhi yh ) 2 nh 1 i 1
2 h
4、分层抽样的作用
• 分层抽样的抽样效率比较高，也就是说分 层抽样的估计精度高。 • 分层抽样不仅能对总体指标进行推算，而 且能对各层指标进行推算。 • 层内抽样方法可以不同，而且便于抽样工 作的组织。
5、分层原则：
• 1. 估计：层内单元具有相同性质，通常按调查对 象的不同类型进行划分。 • 2. 精度：尽可能使层内单元的指标值相近，层间 单元的差异尽可能大，从而达到提高抽样估计精 度的目的。 • 3. 估计和精度：既按类型、又按层内单元指标值 相近的原则进行多重分层，同时达到实现估计类 值以及提高估计精度的目的。 • 4. 实施：抽样组织实施的方便，通常按行政管理 机构设置进行分层。
h 1
L
L
L
h 1
ˆ ) V( W Y ˆ ) W 2V (Y ˆ) V (Y hh h h st
h 1 h 1
L
注意：这个性质说明，各层可以采用不同的抽样方法，只要相应的
估计量是无偏的，则对总体的推算也是无偏的。
性质二（分层随机抽样）
yst 是Y的无偏估计，即 E( yst ) Y
y3 165
y4 24
W4
N 4 1500 0.52632 N 2850
f4
n4 10 0.0067 N4 1500
ˆ N y Y h h
h 1
4
200 39.5 400 105 750 165 1500 24
2 2 2 1 fh 2 8 ˆ v Y N Wh v yh N h sh 5.93 10 nh h 1 h 1
二、估计量
1、简单估计量
– 总体均值的估计 – 总体总量的估计 – 总体比例的估计
2、比率估计量
– 分别比率估计 – 联合比率估计
一、简单估计量
总体均值的估计 总体均值的期望 总体均值的方差 总体总量的估计 总体均值的期望 总体均值的方差 总体比例的估计 总体均值的期望 总体均值的方差
E ( yst )
ˆ E(Yst )
V ( yst )
ˆ V (Yst )
E ( pst )V ( pst )
1、总体均值的估计
1 Y N
Y
i 1
N
N
i
L 1 L ˆ ˆ ˆ Yst WhYh N hY h N h 1 h 1
如果是分层随机抽样
1 Y N
Yi
i 1
ˆ 2 2 1 fh 2 V (Yst ) V ( yst ) Wh V ( yh ) Wh Sh nh h 1 h 1
L L
1 fh 2 v( yst ) W v( yh ) W sh nh h 1 h 1
L 2 h L 2 h
无偏性的证明
在一般分层抽样下
ˆ Y EY h h
第i个单元具有所考虑的特 征 其他
Y
i 1
N
i
Y pst Wh ph
h 1
L
由于没有其他总体信息的，这也是总体的简单估计量。
性质一（一般的分层抽样）
• 对于一般的分层抽样，如果每层都是无偏估计， 则总体比例也是无偏估计。
ˆ ) W E ( P ˆ ) E(P st h h

209650
4
4
ˆ v Y ˆ 23208 s Y

ˆ ts Y

ˆ 209650 2 23208 Y
3、总体比例的估计 总体比例的估计，是总体均值估计的一 种特例，所以具有相同的特点。
1, Yi 0， 则有 A 1 P N N
简单估计量：
估计量方差的证明
在一般分层抽样下
L L L L ˆ V W Y ˆ W 2V Y ˆ 2 ˆ ,Y ˆ VY W W Cov Y st h h h h h k h k h 1 k h h1 h1 L ˆ ˆ V Y W 2V Y


层 居民户 总数 1 1 2 200 400 10 50 2 40 130 3 0 60 样本户奶制品年消费支出 4 110 80 5 15 100 6 10 55 7 40 160 8 80 85 9 90 160 10 0 170
3
4
750
1500
180
50260Βιβλιοθήκη 3511015
0
0
140
20
60
i 1
ˆ Ny N W y Y st st h h
h 1
L
简单估计量： 由于没有其他总体信息的，这也是总体的简单估计量。
性质一（一般的分层抽样）
• 对于一般的分层抽样，如果每层的均值都是无 偏估计，则总体总量也是无偏估计。
ˆ ) N W E (Y ˆ) ˆ ) E ( NY E (Y h h st st
2 h 2 h
L
L
证明：因为是分层随机 抽样样，所以 1 fh v ( ph ) ph qh nh 1 1 fh v( pst ) W v( ph ) W ph qh nh 1 h 1 h 1
L 2 h L 2 h
ph qh W (1 f h ) nh 1 h 1
例子
• 调查杭州的超市情况： 分成大超市和小超市两层。 如果在两层都独立进行简单随机抽样，则 为分层随机抽样。 如果在大超市一层中，先确定下沙物美必 定抽样。则为一般分层抽样。
3、分层抽样的符号说明
h层指标
总体指标 总体总量: N 总体层数：L 总体均值：Yst 总体总量：Yst 总体比例：Pst
L 2 h L L 2 h
1 2 N
2 L Nh ( N h nh ) PhQh PhQh 2 Wh (1 f h ) Nh nh nh h 1 h 1
性质二的证明：
ph qh v( pst ) W v( ph ) W (1 f h ) nh 1 h 1 h 1
30
200
25
180
10
300
30
220
25
N1 200 N 2850 W1 0.07018 N 2850 n1 10 f1 0.05 nh 10 N1 200 n1 n1 1 2 2 1 y1i y1 1624.722 y1 y1i 39.5 s1 n1 1 i 1 n i 1