深圳市宝安区高一下学期期末考试数学试题含答案

A D CB E 深圳市高一年级第二学期期末考试数学题卷本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．1．已知角θ的顶点与原点重合, 始边与x 轴正半轴重合, 终边过点()12P ,-, 则tan 2=θ（A ）43 （B ）45 （C ）45- （D ）43- 2．已知3cos 5α=，3(,2)2παπ∈，则cos()4πα-= （A ）7210 （B ）7210- （C ）210 （D ）210- 3．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出 的结果为56，则判断框中应填入的条件是 （A ）5i < （B ）6i < （C ）5i ≥ （D ）6i ≥ 4．已知3sin(),cos(2)25παπα-=-=则（A ）2425- （B ）2425（C ）725-（D ）7255．平面向量a 与b 的夹角为60°,(2,0),1,==a b 则2+=a b（A ）3（B ）23（C ）4（D ）126．如图，在△ABC 中,DC BD 21=,ED AE 3=，若a AB =,b AC =，则=BE（A ）b a 3131+ （B ）b a 4121+-（C ）b a 4121+ （D ）b a 3131+-7．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车．某地对涉嫌酒后驾车的28800人进行血液检测，根据检测结果绘制的频率分布直方图如图所示．则这28800人中属于醉酒驾车的人数约为 A ．8640 （B ）5760 （C ）4320 （D ）28808．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为 （A ）31 （B ）41 （C ）51 （D ）61 10．下边茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数为甲组数据的中位数，则,x y 的值分别为 （A ）4，5（B ）5，4 （C ）4，4 （D ）5，511．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 （A ）14 （B ）π8 （C ）12（D ）π4（第7题图）12．函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象 （A ）关于点)0,6(π对称 （B ）关于6π=x 对称 （C ）关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 （D ）关于12x π=对称二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知向量p ()23=-，，q ()6x =，，且//p q ，则p q +的值为__________. 14．若tan 13θ=，则cos 2θ=__________. 15．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=, 则BD CD ⋅=__________.16．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒. 若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为__________.三、解答题：本大题共6小题，满分70分． 17．（本小题满分10分）已知向量a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ，其中(0,)2πθ∈．（1）求θsin 和θcos 的值； （2）若3sin(), 052πθωω-=<<，求cos ω的值． 18. （本小题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x =，31(,)2b =，函数()1f x a b =⋅+. （1）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间; （2）当9()5f α=,且263ππα<<时,求2sin(2)3πα+的值. 19.（本题满分12分）已知向量()sin ,cos m A A =,()3,1n =-,且1m n ⋅=，A 为锐角.（1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示.（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上画出频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试， 求第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率？21.（本题满分12分）已知()sin()1f x A x ωϕ=++ ，（x R ∈，其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图象上一个最低点为2π(,1)3M -． （1）求()f x 的解析式；（2）当[0,]12x π∈时，求()f x 的值域．某商场对A 商品近30 天的日销售量y （件）与时间t （天）的销售情况进行整理，得到如下数据：经统计分析，日销售量y （件）与时间t （天）之间具有线性相关关系.（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法原理求出y 关于t 的线性回归方程ˆybt a =+； （2）已知A 商品近30 天内的销售价格Z （元）与时间t （天）的关系为：20,(020,N)100,(2030,N)t t t z t t t +<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩，，根据（1）中求出的线性回归方程，预测t 为何值时，A 商品的日销售额最大.（参考公式： 121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，a y b t =-⋅）第二学期期末考试 高一年级数学试题参考答案一、选择题：本大题每小题5分，满分60分．二、填空题：本大题每小题5分；满分20分．13．45. 15．6．16．58． 三、解答题：17．（本小题满分10分）已知向量a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ，其中(0,)2πθ∈．（1）求θsin 和θcos 的值； （2）若3sin(), 052πθωω-=<<，求cos ω的值． 解：（1）∵a (sin ,2)θ=,b (cos ,1)θ=, 且a //b ， ∴sin cos 21θθ=，即θθcos 2sin =. …… 2分 ∵ 1cos sin 22=+θθ, 0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 解得55cos ,552sin ==θθ. …… 5分 （2）∵02πω<<，20πθ<<，∴22ππθω-<-<.∵3sin(), 5θω-=∴ 4cos()5θω-==. …… 7分 ∴cos cos[()]cos cos()sin sin()ωθθωθθωθθω=--=-+- ……9分=分18．（本小题满分12分）设平面向量)sin ,(cos x x a =，31(,)2b =，函数()1f x a b =⋅+. （1）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间; （2）当9()5f α=,且263ππα<<时,求2sin(2)3πα+的值.解： 依题意)(x f ⋅=)sin ,(cos x x 11()1sin 12222x x +=++………（2分） sin()13x π=++ ………………………………………………（4分）（1） 函数)(x f 的值域是[]0,2；………………………………………………（5分） 令πππππk x k 22322+≤+≤+-，解得52266k x k ππππ-+≤≤+………………（7分） 所以函数)(x f 的单调增区间为5[2,2]()66k k k Z ππππ-++∈.……………………（8分） （2）由9()sin()1,35f παα=++=得4sin()35πα+=,因为2,63ππα<<所以,23ππαπ<+<得3cos()35πα+=-,………………………（10分） 2sin(2+)sin 2()33ππαα=+ 432sin()cos()23355ππαα=++=-⨯⨯ 2425=-………（12分）19．（本小题满分12分）已知向量()sin ,cos m A A =,()3,1n =-,且1m n ⋅=，A 为锐角.（1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解：（1）由题意得3sin cos 1m n A A =-=………2分2sin()16A π-= ， 1sin()62A π-= ………4分由A 为锐角 ， 得(,)663A πππ-∈-,,663A A πππ-== ………6分（2）由（1）可得1cos 2A = ………7分 所以()cos 22sin f x x x =+ 212sin 2sin x x =-+ 2132(sin )22x =--+ ………9分因为x R ∈，则sin [1,1]x ∈-，当1sin 2x =时，()f x 有最大值32. 当sin 1x =-时，()f x 有最小值3-， ………11分 故所求函数()f x 的值域是3[3,]2-. ………12分20．（本小题满分12分）某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示.（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上画出频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率？解：（1）由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人, ……………… 1分第3组的频率为300.300100=, ……………… 2分 频率分布直方图如下: ……………… 5分（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:306360⨯=人, ……… 6分第4组:206260⨯=人, ……… 7分第5组:106160⨯=人, ……… 8分所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。

深圳市2022-2023年高一下学期期末考试数学试卷一、选择题（共15题，每题2分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。

）1. 设a不等于0，则关于x的一次方程ax+b=0（）。

A. 无解B. 有唯一解-x/bC. 有无数解D. 无法确定2. 如果root(5)x = root(20)，则x的值为（）A. 1/2B. 2C. 4D. 163. 下列关于集合的说法错误的是（）。

A. 空集也是集合B. 集合中元素的排列顺序可以更改C. 集合中不允许重复的元素D. 所有元素都是集合的子集4. 已知函数f(x)=log(1-x)，g(x)=x-1，则f[g(10)-g(3)]的值为（）。

A. 0B. 1C. -1D. 25. 在△ABC中，∠B=90度，∠C=30度，BC=2，则AC的长为（）。

A. 1B. 3C. 2sqrt(3)D. sqrt(3)6. 当a+b=2时，下列哪组值可以是（）。

A. a=1,b=1B. a=-1,b=3C. a=0,b=2D. a=-2,b=47. 在下列选项中，属于等比数列的是（）。

A. k-5，k-3，kB. k，2k，3kC. k，k+1，k+2D. k，k^2，k^38. 关于词组“及以下”，哪项说法是错误的（）。

A. 包括本身B. 不包括本身C. 只限于本身D. 这要视题意而定9. 甲，乙，丙三个数相乘为30，已知甲+乙+丙=13，丙=1，则甲的值为（）。

A. -1B. 2C. 3D. 510. 式子x/sqrt(x^2+1)+1/sqrt(x^2+1)的值为（）。

A. 1+sqrt(x^2+1)B. 1+x^2C. 1+1/sqrt(x^2+1)D. 1/x11. 把4800元按月存入，每月存入的金额相等，月利率为1.5%，存8个月后，本息和为（）。

A. 元B. 元C. 元D. 元12. 如果正五边形的周长为20，求它的面积（）。

A. 20sqrt(5)-25B. 5sqrt(5)C. 25sqrt(5)D. 2513. 设函数f(x)=3x+2，g(x)=x^2-9，四个实数a,b,c,d满足a<b，c<d，且f(a)=f(b)，g(c)=g(d)，则（）。

2023-2024 学年度第二学期期末质量检测高一数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．题号12345678答案CDACBDDA1．【解析】由题得()()()()231151+12i i i z i i ----==-，所以z 对应的点的坐标是15,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选C ．2．【解析】零向量的方向是任意的，故A 错误；相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B 错误；当0λ<，则向量a 与a λ方向相反，故C 错误；对于D ：单位向量的模为1，都相等，故D 正确.3．【解析】因为1238,,,,x x x x 的平均数是10，方差是10，所以123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数是310232⨯+=，方差是231090⨯=.故选A ．4．【解析】【方法一】向量a 在b方向上的投影向量为()()22cos ,1,04a b b bb a a b b b⋅<>⋅===；【方法二】数形结合，由图易得选项C 正确，故选C.5．【解析】样本中高中生的人数比小学生的人数少20，所以5320543543n n -=++++，解得120n =，故选B ．6．【解析】对于选项A ，易得,αβ相交或平行，故选项A 错误；对于选项B ，,m n 平行或异面，故选项B 错误；对于选项C ，当直线,m n 相交时，//αβ才成立，故选项C 错误；对于选项D ，由线面垂直的性质可知正确，故选D.7．【解析】对于选项A ，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，即一次试验，事件A 和事件B 可以都不发生，所以选项A 错误；对于选项B ，因为C D ⋂即两个点数都是偶数，即A 与C D ⋂可以同时发生，所以选项B 错误；对于选项C ，因为331()664P B ⨯==⨯，333()1664P D⨯=-=⨯，又()0P BD =，所以()()()P BD P B P D ≠，故选项C 错误；对于选项D ，因为()1P C D = ，所以C D =Ω ，因为必然事件与任意事件相互独立，所以B 与C D ⋃是相互独立事件，故选D ．8．【解析】因为11AC CB =，AC BC =，取AB 中点D ，则1C DC ∠为二面角1C AB C --的平面角，所以14C DC π∠=．在1Rt C DC ∆中，可得112,CD CC C D ===，又1182V AB CD CC =⋅⋅=，解得4AB =，所以AC ==.由1111A ABC B AA C V V --=得1111133ABC AA C S h S BC ∆∆⋅=⋅，代入数据求解得到点1A 到平面1ABC的距离h =，故选A ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．题号题9题10题11全部正确选项ABCBCAD9．【解析】依题意球的表面积为24πR ，圆柱的侧面积为22π24πR R R⨯⨯=，所以AC 选项正确；圆锥的侧面积为2πRR ⨯=，所以B 选项正确；圆锥的表面积为(2222π1π4πR R R R +=<，圆柱的表面积为2224π2π6πR R R +=，所以D 选项错误．故选ABC ．10．【解析】由1i z i +=-得22z =，故选项A 错误；根据复数的运算性质，易知BC 正确；根据22z -≤的几何意义求解，点Z 在以圆心为()2,0，半径为2的圆内及圆周上，所以集合M 所构成区域的面积为4π，所以D 选项错误．故选BC ．11．【解析】对于选项A ，若60A =︒，2a =，则2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc bc =+-≥，当且仅当2b c ==时，取等号，所以1sin 2ABC S bc A ==≤△，所以ABC 故选项A正确，B 错误．对于选项C ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则sin b A a b <<，因为4a b==，所以4sin A <πsin 0,2A A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以03A π<<.故选项C 错误.对于选项D ，()cos cos a b c A B +=+等价于cos cos a b A B c +=+，即22222222a b b c a a c bc bc ac++-+-=+，对该等式通分得到()()()2222222ab a b a b c a b a c b +=+-++-，即2222322322a b ab ab ac a a b bc b +=+-++-，即3322220a b a b ab ac bc +++--=．这即为()()()()2220a b a ab b ab a b c a b +-+++-+=，由0a b +≠知该等式即为2220a b c +-=．从而条件等价于2220a b c +-=且1c =，从而该三角形内切圆半径)121122ABC ab S ab ab r a b c a b c a b ab ===++++++ 当且仅当2a b ==时等号成立，从而0r <≤2213πππ24S r ⎛⎫-=≤= ⎪ ⎪⎝⎭内切圆．验证知当2a b ==时，等号成立，所以该三角形的内切圆面积的最大值是3π4-，所以选项D 正确．故选AD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分；其中第14题的第一个空2分，第二个空3分．12．71513．a b <【注：也可以是b a >，0b a ->或a 小于b 】14．2；412．【解析】已知甲、乙两人独立的解同一道题，甲，乙解对题的概率分别是23，35，恰好有1人解对题的概率是22137353515⨯+⨯=.【注：写成有限小数不给分】13．【解析】由平均数在“拖尾”的位置，可知a b <．14．【解析】（1）13E ABC ABC V S EB -∆=⋅，在ABC ∆中，由余弦定理可知，1cos 8BAC ∠=，所以sin 8BAC ∠==，所以113772413282E ABC V -=⨯⨯⨯⨯⨯=.（2）作BH AC ⊥，垂足为H ，作1111B H AC ⊥，垂足为H 1，易证棱1BB 在平面11ACC A 上的射影为1HH ，则点E 在平面11ACC A 上的射影1E 在线段1HH 上，由（1）知，1cos 8BAC ∠=，故128AH AH AB ==，解得14AH =，故BH =，则1EE =，设AF 的中点为1Q ，外接球的球心为Q ，半径为1R ，则1QQ ⊥平面11ACC A ，即11//QQ EE ，在1Rt FQQ中，222211QF R QQ ==+①，又因为222211114QE R QQ Q E ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭②，由①②可得211131216QQ Q E =+，所以当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点．因为11//AA BB ，所以直线EF 与1BB 所成角即为直线EF 与1AA 所成角．由1111cos 8A CB =∠，再由余弦定理可得1B F 因为11EB =，所以EF =11cos 4E FEB B EF =∠=．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分，其中第（1）小问6分，第（2）小问7分。

广东省深圳市2020-2021学年高一数学下学期期末考试(qī mò kǎo shì)试题（含解析）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1.若集合A={-2，1，2，3}，B={x|x=2n，n∈N}，则A∩B=（）A. {-2}B. {2}C. {-2，2}D. ∅【答案】 B【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：∵∴故答案为：B【分析】通过集合B中,用列举法表示出集合B,再利用交集的定义求出。

2.连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是（）A.B.C.D.【答案】 C【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】解：出现正面向上与反面向上各一次的概率为：故答案为：C【分析】本题考查古典概型，利用古典概型的定义即可求出。

3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递减的是（）A. y=x3B.y=|x| C. y=sinx D. y=【答案】 D【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】解：由于函数是奇函数，不是偶函数，故排除A；由于函数是偶函数,但它在区间(0，+∞)上单调递增，故排除B；由于函数是奇函数,不是偶函数，故排除C；由于函数是偶函数,且满足在区间(0，+∞)上单调递减，故满足条件。

故答案为：D【分析】利用函数的奇偶性和单调性，逐一判断各个选项中的函数的奇偶性和单调性，进而得出结论。

4.如图，扇形OAB的圆心角为90°，半径为1，则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为（）A.B. 2πC. 3πD. 4π【答案(dá àn)】 C【考点】球的体积和表面积【解析】【解答】解：由已知可得：以OB所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，半球的半径为1，故半球的表面积为：故答案为：C【分析】以OB所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，利用球面的表面积公式及圆的表面积公式即可求得。

2020-2021深圳宝安区新城学校高一数学下期末模拟试卷(及答案)一、选择题1．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，前n 项和是n S ，若9810S S S <<，则（ ）A ．0d >，170S >B ．0d <，170S <C ．0d >，180S <D ．0d >，180S >2．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3 D ．丁地：总体均值为2，总体方差为33．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知ABC V 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=uu u r uu u r，()()1AQ AC λλ=-∈R u u u r u u u r ，若32BQ CP ⋅=-uu u r uu r ，则λ=（ ）A ．12B ．122± C ．1102± D ．3222± 5．已知D ，E 是ABC V 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r，则xy 的取值范围是( ) A ．14,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x （cm ）174176176176178儿子身高y （cm ）175175176177177则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1B ．y = x+1C ．y =88+12x D ．y = 1768．已知函数()y f x =为R 上的偶函数，当0x ≥时，函数()()210216()122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[]()2()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．51,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．1111,,2448⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D ．11,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭9．要得到函数223cos sin 23y x x =+-的图象，只需将函数2sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 10．设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称11．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)212．在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面1ACC A 所成角的大小为（ ）A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o二、填空题13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.14．若直线1x y -=与直线(3)80m x my ++-=平行，则m =______________． 15．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{0,1,2,,9}a b ∈L .若||1a b -…，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为______. 16．若21cos 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 17．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.18．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．19．过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____．20．设,x y 满足约束条件210,{0,0,0,x y x y x y --≤-≥≥≥若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为1,则14a b +的最小值为_________．三、解答题21．已知函数()()sin 0,03f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且该函数图象上的最低点的纵坐标为3-． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调递增区间及对称轴方程．22．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a ，b 的值； 23．已知x ，y ，()0,z ∈+∞，3x y z ++=． （1）求111x y z++的最小值 （2）证明：2223x y z ≤++．24．如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD 空地上修建两条道路EA 和ED ，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E 在边BC 的三等分点处（靠近B 点），3BC =百米，BC CD ⊥，120ABC ∠=o ，21EA =百米，60AED ∠=o . （1）求ABE △区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过C 点铺设一条水管CH 至道路ED 上，求水管CH 最短时的长．25．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且23n s n n =+；（1）求它的通项n a .（2）若12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .26．某学校微信公众号收到非常多的精彩留言,学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”,其留言者年龄集中在[]25,85之间,根据统计结果,做出频率分布直方图如下:(1)求这100位留言者年龄的平均数和中位数;(2)学校从参加调查的年龄在[)35,45和[)65,75的留言者中,按照分层抽样的方法,抽出了6人参加“精彩留言”经验交流会,赠与年龄在[)35,45的留言者每人一部价值1000元的手机,年龄在[)65,75的留言者每人一套价值700元的书,现要从这6人中选出3人作为代表发言,求这3位发言者所得纪念品价值超过2300元的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列{}n a 的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论. 【详解】9810S S S <<Q ，90a ∴<，9100a a +>，100a ∴>，0d >. 179017S a =<∴，()1891090S a a =+>.故选：D. 【点睛】本题考查利用等差数列的前n 项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.2．D解析：D 【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差3．D解析：D 【解析】试题分析：，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．4．A解析：A 【解析】 【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+u u u r u u u r u u u r ，CP CA AP =+u u u r u u u r u u u r，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】∵BQ BA AQ =+u u u r u u u r u u u r ，CP CA AP =+u u u r u u u r u u u r ，∴()()BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()232441212222λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴12λ=.故选：A. 5．D解析：D 【解析】 【分析】利用已知条件推出x +y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 【详解】解：D ，E 是ABC V 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r，可得x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2x y 1xy ()24+≤=，当且仅当1x y 2==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下，对称轴为：1x 2=，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：29．则xy 的取值范围是：21,.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选D ． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．6．B解析：B 【解析】 【分析】计算函数()y f x =的表达式，对比图像得到答案. 【详解】 根据题意知：cos cos OM OP x x ==M 到直线OP 的距离为：sin cos sin OM x x x = 1()cos sin sin 22f x x x x ==对应图像为B 故答案选B 【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176， 代入回归方程验证可知，只有方程y =88+12x 成立，故选C 8．B解析：B 【解析】 【分析】作出函数()y f x =的图像，设()f x t =，从而可化条件为方程20t at b ++=有两个根，利用数形结合可得114t =，2104t <<，根据韦达定理即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由题意，作出函数()y f x =的图像如下，由图像可得，10()(2)4f x f ≤≤=Q 关于x 的方程[]()2()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，设()f x t =，20t at b ∴++=有两个根，不妨设为12,t t ；且114t =，2104t << 又12a t t -=+Q11,24a ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属于中档题.9．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数223sin 23y x x =+-. 【详解】依题意2ππ23sin 232sin 22sin 236y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故只需将函数2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位.所以选C.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.10．D解析：D 【解析】()sin(2)cos(2))2442f x x x x x πππ=+++=+=,由02,x π<<得02x π<<，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,22k x k Z ππ=+∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称,故选D.11．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.12．A解析：A 【解析】 【分析】由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ，求得1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，在1BC O ∆中，即可求解． 【详解】由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ,因为正三棱柱111ABC A B C -，底面三角形的边长为1， 所以1,BO AC BO AA ⊥⊥，因为1AC AA A ⋂=，所以BO ⊥平面11ACC A ， 所以1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，因为132BO C O ====，所以11332tan 332BO BC O OC ∠===， 所以0130BC O ∠=，1BC 与侧面11ACC A 所成的角030．【点睛】本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．二、填空题13．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni 解析：18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．14．【解析】【分析】由题意得到关于m 的方程解方程即可求得最终结果【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：解得：此时两直线方程分别为：两直线不重合据此可知：【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件解析：32- 【解析】【分析】由题意得到关于m 的方程，解方程即可求得最终结果.【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：()()1130m m ⨯--⨯+=，解得：32m =-，此时两直线方程分别为：1x y -=，338022x y --=， 两直线不重合，据此可知：32m =-. 【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法列出满足所有可能情况代入公式得到结果【详解】从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法则的情况有：共有 解析：725【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型，从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，列出满足||1a b -…所有可能情况，代入公式得到结果。

2022-2023学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣1，1，2}D ．{1，2}2．（5分）设复数z 满足iz ＝1+i （i 是虚数单位），则|z |＝（ ） A ．12B ．2C ．√22D ．√23．（5分）已知tan α＝2，则cos2α＝（ ） A ．45B ．35C ．−45D ．−354．（5分）某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t ）如下：小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（ ） A ．平均数B ．中位数C ．极差D ．标准差5．（5分）已知m ，n 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（ ） A ．m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n B ．m ∥n ，m ∥α，n ⊄α，则n ∥α C ．α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n D ．α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n6．（5分）在梯形ABCD 中，若AB →=2DC →，且AC →=xAB →+yAD →，则x +y ＝（ ） A ．32B ．2C ．52D ．37．（5分）已知正实数m ，n 满足m +n ＝2，则下列不等式恒成立的为（ ） A ．lnm +lnn ≥0B ．m 2+n 2≤2C ．1m+1n≥2 D ．√m +√n ≤√28．（5分）已知函数f （x ）＝e x +e ﹣x +lg |x |，则不等式f （x +1）＞f （2x ﹣1）的解集为（ ） A ．（0，2） B ．(0，12)∪(12，2)C ．（0，3）D ．(0，12)∪(12，3)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知函数f(x)=cos(2x+π6)，则（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于(−π12，0)对称C．f（x）的图象关于x=5π12对称D．f（x）在(0，π2)上单调递减（多选）10．（5分）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（）A．事件A∪B是必然事件B．事件A与事件B是互斥事件C．事件B包含事件CD．事件A与事件C是相互独立事件（多选）11．（5分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1．已知f（x）＝x+[x]，则（）A．f(12)=12B．f（x）为奇函数C．∃x1＞x2，使得f（x1）＜f（x2）D．方程f（x）＝3x﹣1所有根的和为3 2（多选）12．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M为线段BC上的动点，则（）A．AB1⊥A1MB．三棱锥C1﹣AMB1的体积不变C ．|A 1M |+|C 1M |的最小值为3+√5D ．当M 是BC 的中点时，过A 1，M ，C 1三点的平面截三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1外接球所得的截面面积为269π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）lg 2+lg 5+π0＝ ．14．（5分）母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为 ．15．（5分）高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B 在同一水平面内的两个基测点C 与D ．现测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝120°，CD ＝100米，在点C 测得大厦顶A 的仰角∠ACB ＝60°，则该大厦高度AB ＝ 米（精确到1米）． 参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732．16．（5分）四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝2，CD =2√2，EF ＝1，点P 满足PA →⋅PB →=0，则PC →⋅PD →的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f （x ）＝sin （2x +θ），其中θ∈(0，π2)，且f(π6)=1．（1）求θ；（2）若x ∈[0，π4]，求f （x ）的值域．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝2c ﹣2a cos B ． （1）求A ；（2）若a =3√3，c ＝2b ，求△ABC 的面积S ．19．（12分）已知函数f （x ）＝log a x （a ＞0且a ≠1）在[1，8]上的最大值为3． （1）求a 的值； （2）当x ∈[1，8]时，2﹣f （x ）﹣f （x ）+t ⩾0，求实数t 的取值范围．20．（12分）某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图．（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；（2）现从技术参数位于区间[40，50），[50，60），[60，70）的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A＝“这3件产品中技术参数位于区间[40，50）内的产品至多1件”，事件B＝“这3件产品中技术参数位于区间[50，60）内的产品至少1件”，求事件A ∩B的概率．21．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，且AB＝6，PA=PC=2√2，BC=2√5，平面P AC⊥平面PCB，点E是PB的中点．（1）证明：平面P AC⊥平面ABC；（2）点F是圆O上的一点，且点F与点C位于直径AB的两侧．当EF∥平面P AC时，作出二面角E ﹣BF﹣A的平面角，并求出它的正切值．22．（12分）已知函数f(x)=|14x2−x|，g（x）＝kx，f（x）与g（x）的图象恰有三个交点．（1）求实数k的取值范围；（2）用max{α，β}表示α，β中的最大值，设函数φ（x）＝max{f（x），g（x）}（1⩽x⩽6），用M，m 分别表示φ（x）的最大值与最小值，求M，m，并求出M﹣m的取值范围．附：参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1，2}D．{1，2}【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝{1，2}，故选：D．2．（5分）设复数z满足iz＝1+i（i是虚数单位），则|z|＝（）A．12B．2C．√22D．√2【解答】解：∵iz＝1+i，∴z=1+ii=(1+i)(−i)i(−i)=−i−i2−i2=1﹣i，∴|z|=√1+(−1)2=√2．故选：D．3．（5分）已知tanα＝2，则cos2α＝（）A．45B．35C．−45D．−35【解答】解：因tanα＝2，则cos2α=cos2α−sin2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=−35．故选：D．4．（5分）某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t）如下：小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（）A．平均数B．中位数C．极差D．标准差【解答】解：只改变了其中一个数据，根据平均数及标准差的计算公式知，平均数及标准差均发生了变化，实际数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为14.9﹣4.0，错误数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为96﹣4.0，所以中位数没有变化，极差变化了．故选：B ．5．（5分）已知m ，n 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（ ） A ．m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n B ．m ∥n ，m ∥α，n ⊄α，则n ∥α C ．α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n D ．α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，由平面与平面平行的性质，可得A 正确； 对于B ，由直线与平面平行的判定定理，可得B 正确；对于C ，m 与n 的位置关系不确定，可以平面、相交，也可以异面，C 错误； 对于D ，由平面与平面垂直的性质，D 正确． 故选：C ．6．（5分）在梯形ABCD 中，若AB →=2DC →，且AC →=xAB →+yAD →，则x +y ＝（ ） A ．32B ．2C ．52D ．3【解答】解：∵AB →=2DC →，∴DC →=12AB →，∴AC →=AD →+DC →=AD →+12AB →，∴x =12，y ＝1，∴x +y =32．故选：A ．7．（5分）已知正实数m ，n 满足m +n ＝2，则下列不等式恒成立的为（ ） A ．lnm +lnn ≥0B ．m 2+n 2≤2C ．1m+1n≥2 D ．√m +√n ≤√2【解答】解：对于A ：∵m ＞0，n ＞0，m +n ＝2，∴由基本不等式可得m +n ≥2√mn ， ∴mn ≤1，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，lnm +lnn ＝lnmn ≤ln 1＝0，故A 错误； ∵2（m ²+n ²）＝（m ²+n ²）+（m ²+n ²）≥m ²+n ²+2mn ＝（m +n ）2＝4，可得m2+n2≥2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，B错误．对于C：1m+1n=12（1m+1n）（m+n）=12（2+nm+mn）≥12（2+2√nm⋅mn）＝2，当且仅当nm=mn，即m＝n＝1时，等号成立，故C正确；（√m+√n）2＝m+n+2√mn≤2（m+n）＝4，因为√m+√n＞0，故√m+√n≤2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，D错误；故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝e x+e﹣x+lg|x|，则不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为（）A．（0，2）B．(0，12)∪(12，2)C．（0，3）D．(0，12)∪(12，3)【解答】解：因为f（x）＝e x+e﹣x+lg|x|，x≠0，所以f（﹣x）＝e x+e﹣x+lg|﹣x|＝e x+e﹣x+lg|x|＝f（x），即f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝e x+e﹣x+lgx，f′（x）＝e x﹣e﹣x+1 x ，∵y＝e x与y＝﹣e﹣x在（0，+∞）上均为单调递增，∴y＝e x﹣e﹣x在（0，+∞）上单调递增，∴e x﹣e﹣x＞e0−1e0=0，即当x＞0时，f′（x）＝e x﹣e﹣x+1x＞0恒成立，∴偶函数f（x）＝e x+e﹣x+lg|x|在（0，+∞）上为增函数，∴不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）⇔|x+1|＞|2x﹣1|，且x+1≠0，2x﹣1≠0，解得：0＜x＜12，或12＜x＜2．即不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为(0，12)∪(12，2)．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知函数f(x)=cos(2x+π6)，则（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于(−π12，0)对称C．f（x）的图象关于x=5π12对称D．f（x）在(0，π2)上单调递减【解答】解：函数的最小正周期T=2π2=π，故A正确，f（−π12）＝cos（−π12×2+π6）＝cos0＝1≠0，即函数f（x）的图象关于(−π12，0)不对称，故B错误，f（5π12）＝cos（2×5π12+π6）＝cosπ＝﹣1，即f（x）的图象关于x=5π12对称，故C正确，当0＜x＜π2时，0＜2x＜π，π6＜2x+π6＜7π6，则f（x）不单调，故D错误．故选：AC．（多选）10．（5分）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（）A．事件A∪B是必然事件B．事件A与事件B是互斥事件C．事件B包含事件CD．事件A与事件C是相互独立事件【解答】解：事件A的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），事件B的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，4），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），事件C的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），事件AC的基本事件有：（1，4），（3，2），A：事件A∪B是必然事件，故正确；B：因为A∩B≠∅，所以事件A与事件B不是互斥事件，故错误；C．因为C⊆B，所以事件B包含事件C，故正确；D．因为P(A)=186×6=12，P(C)=46×6=19，P(AC)=26×6=118，所以P（A）•P（C）＝P（AC），所以事件A与事件C是相互独立事件，故正确；故选：ACD．（多选）11．（5分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1．已知f（x）＝x+[x]，则（）A．f(12)=12B．f（x）为奇函数C．∃x1＞x2，使得f（x1）＜f（x2）D．方程f（x）＝3x﹣1所有根的和为3 2【解答】解：对于A，由题意可得f（12）=12+[12]=12+0=12，故正确；对于B，取x＝1.2，则f（1.2）＝1.2+[1.2]＝1.2+1＝2.2，f（﹣1.2）＝﹣1.2+[﹣1.2]＝﹣1.2﹣2＝﹣3.2≠f（1.2），所以f（x）不是奇函数，故错误；对于C，由[x]的定义可知，∀x1＞x2，有[x1]≥[x2]，所以f（x1）﹣f（x2）＝x1+[x1]﹣x2﹣[x2]＝（x1+x2）+[x1]﹣[x2]＞0，即f（x1）＞f（x2），故错误；对于D，f（x）＝3x﹣1，即为x+[x]＝3x﹣1，整理得2x﹣[x]﹣1＝0，所以[x]＝2x﹣1，又因为x﹣1＜[x]≤x，所以x﹣1＜2x﹣1≤x，解得0＜x≤1，当x＝1时，满足方程，即x＝1是方程的根，当0＜x＜1时，x+[x]＝x，方程可转化为x＝3x﹣1，解得x=1 2，故根的和为32，故正确．故选：AD．（多选）12．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M为线段BC上的动点，则（）A．AB1⊥A1MB．三棱锥C1﹣AMB1的体积不变C．|A1M|+|C1M|的最小值为3+√5D．当M是BC的中点时，过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得的截面面积为26 9π【解答】解：连接A1B，如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CC1＝2，ABA1B1为正方形，AB1⊥A1B，∠ABC＝90°，BC⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，BC⊥AB1，A1B，BC⊂平面A1BC，A1B∩BC＝B，AB1⊥平面A1BC，A1M⊂平面A1BC，AB1⊥A1M，A选项正确；由直三棱柱的结构特征，V C1−AMB1=V A−B1C1M=13S△B1C1M⋅AB=13×12×B1C1⋅CC1⋅AB=43，故三棱锥C1﹣AMB1的体积为定值，B选项正确；设BM＝t，0≤t≤2，MC＝2﹣t，A1M2=A1A2+AM2=A1A2+AB2+BM2=8+t2，C1M2=C1C2+MC2=22+(2−t)2，|A1M|+|C1M|=√(2√2)2+t2+√22+(2−t)2，其几何意义是点(2√2，0)和点（2，2）到点（0，t）的距离之和，最小值为点(−2√2，0)到点（2，2）的距离，为√16+8√2，C选项错误；当M是BC的中点时，A1M=3，A1C1=2√2，C1M=√5，cos∠MA1C1=A1M2+A1C12−C1M22⋅A1M⋅A1C1=2×3×2√2=√22，sin∠MA1C1=√22，S△MA1C1=12A1C1⋅A1M⋅sin∠MA1C1=12×2√2×3×√22=3，S△CC1M =12×2×1=1，设点C到平面MA1C1的距离为h C，由V C−A1MC1=V A1−CC1M，得3ℎc=2×1，ℎc=23，直三棱柱ABC﹣A1B1C1是正方体的一半，外接球的球心为A1C的中点O，外接球的半径A1O=12A1C=√3，点O到平面MA1C1的距离为ℎO =12ℎC=13，则过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得截面圆的半径为√(√3)2−(13)2=√263，截面面积为269π，D选项正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）lg2+lg5+π0＝2．【解答】解：lg2+lg5+π0＝lg10+1＝2．故答案为：2．14．（5分）母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为2√23π．【解答】解：∵母线长为3的圆锥的侧面展开图的圆心角等于2π3，∴侧面展开图的弧长为：3×2π3=2π，侧面展开图的弧长＝底面周长，即2π＝2πr，∴r＝1，∴圆锥的高h=√9−1=2√2，∴圆锥体积V=13×π×r2×h=2√23π．故答案为：2√23π．15．（5分）高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B在同一水平面内的两个基测点C与D．现测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝120°，CD ＝100米，在点C 测得大厦顶A 的仰角∠ACB ＝60°，则该大厦高度AB ＝ 212 米（精确到1米）． 参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732．【解答】解：由∠BCD ＝15°，∠BDC ＝120°，可得∠CBD ＝45°，又CD ＝100米， 由正弦定理可得CD sin∠CBD=BC sin∠BDC，即√22=√32，可得BC ＝50√6，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝60°，所以AB ＝BC •tan ∠ACB ＝50√6×√3=150√2≈150×1.414≈212米． 故答案为：212．16．（5分）四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝2，CD =2√2，EF ＝1，点P 满足PA →⋅PB →=0，则PC →⋅PD →的最大值为 2 ．【解答】解：以E 为圆心，12AB 为半径作圆，∵EF =1=12AB ，∴F 在圆上，∵PA →⋅PB →=0，∴P 在圆上，∴PC →⋅PD →=14[(PC →+PD →)2−(PC →−PD →)2]=14[(2PF →)2−DC →2]=PF →2−14×(2√2)2=PF →2−2， ∵F ，P 都在以E 为圆心，12AB 为半径的圆上，∴|PF →|max =2r =AB ＝2，∴(PC →⋅PD →)max =(PF →)2max −2=22−2=2． 故答案为：2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f （x ）＝sin （2x +θ），其中θ∈(0，π2)，且f(π6)=1．（1）求θ；（2）若x ∈[0，π4]，求f （x ）的值域．【解答】解：（1）因为f(π6)=1，代入到f （x ）＝sin （2x +θ），得f （π6）＝sin （π3+θ）＝1，其中θ∈(0，π2)，所以θ=π6；（2）x ∈[0，π4]，（2x +π6）∈[π6，23π]，此时，f （x ）∈[12，1]．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝2c ﹣2a cos B ． （1）求A ；（2）若a =3√3，c ＝2b ，求△ABC 的面积S ． 【解答】解：（1）因为b ＝2c ﹣2a cos B ， 由正弦定理可得2sin C ﹣2sin A cos B ＝sin B ， 而sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ， 代入化简得2cos A sin B ＝sin B ， 因为B ∈（0，π），所以sin B ＞0， 所以cosA =12，因为A ∈（0，π）， 故A =π3；（2）由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 由（1）可知A =π3，又a =3√3，c ＝2b ，代入上式可得，27＝b 2+4b 2﹣2b ×2b ×12，解得b ＝3，c ＝6，所以△ABC 的面积S =12bc sin A =12×3×6×√32=9√32．19．（12分）已知函数f （x ）＝log a x （a ＞0且a ≠1）在[1，8]上的最大值为3． （1）求a 的值； （2）当x ∈[1，8]时，2﹣f （x ）﹣f （x ）+t ⩾0，求实数t 的取值范围．【解答】解：（1）当0＜a ＜1时，f （x ）＝log a x 在[1，8]上单调递减， 此时f （x ）max ＝f （1）＝0≠3，不满足题意； 当a ＞1时，f （x ）＝log a x 在[1，8]上单调递增， 此时f （x ）max ＝f （8）＝log a 8＝3， 解得a ＝2； （2）令m ＝log 2x ，因为x ∈[1，8]，所以m ∈[0，3]， 所以2﹣f （x ）﹣f （x ）+t ≥0⇔2﹣m﹣m +t ≥0⇔t ≥m ﹣2﹣m在m ∈[0，3]上恒成立，令g （m ）＝m ﹣2﹣m，m ∈[0，3]，易知g （m ）在[0，3]上为增函数， 所以g （m ）max ＝3﹣2﹣3=238， 所以实数t 的取值范围为[238，+∞）．20．（12分）某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图．（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；（2）现从技术参数位于区间[40，50），[50，60），[60，70）的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A ＝“这3件产品中技术参数位于区间[40，50）内的产品至多1件”，事件B ＝“这3件产品中技术参数位于区间[50，60）内的产品至少1件”，求事件A ∩B 的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，平均数为：15×0.1+25×0.25+35×0.3+45×0.15+55×0.1+65×0.05+75×0.05＝37.5，因为0.1+0.25+0.3＝0.65＜0.75，0.1+0.25+0.3+0.15＝0.8＞0.75，所以75%分位数落在[40，50）内，设其为x，则0.65+（x﹣40）×0.015＝0.75，解得x≈46.7，即75%分位数约为46.7；（2）采用分层抽样，根据三个区间的比例关系3：2：1，依次抽取3个，2个，1个，区间[40，50）内的3件产品记为a1，a2，a3，区间[50，60）内的2件产品记为b1，b2，区间[60，70）内的1件产品记为c，从这6件产品中任选3件，所有情况为：（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，c），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，a3，c），（a1，b1，b2），（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，a3，c），（a2，b1，b2），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，b2，），（a3，b1，c），（a3，b2，c），（b1，b2，c），共20种，事件A∩B分为：①从[40，50）抽0个，从[50，60）里面抽2个，从[60，70）里面抽1个，包含基本事件为：（b1，b2，c），共1种，所以P1=1 20，②从[40，50）抽1个，从[50，60）里面抽1个，从[60，70）里面抽1个，包含基本事件为：（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，c），（a3，b2，c），共6种，所以P2=620=310，③从[40，50）抽1个，从[50，60）里面抽2个，从[60，70）里面抽0个，包含基本事件为：（a1，b1，b2），（a2，b1，b2），（a3，b1，b2，），共3种，所以P3=3 20，所以P（A∩B）＝P1+P2+P3=120+310+320=12．21．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，且AB＝6，PA=PC=2√2，BC=2√5，平面P AC⊥平面PCB，点E是PB的中点．（1）证明：平面P AC⊥平面ABC；（2）点F是圆O上的一点，且点F与点C位于直径AB的两侧．当EF∥平面P AC时，作出二面角E﹣BF﹣A的平面角，并求出它的正切值．【解答】解：（1）因为AB为圆O的直径，所以∠ACB＝90°，由AC2＝AB2﹣BC2，可得AC＝4．因为PA=PC=2√2，满足P A2+PC2＝AC2，所以P A⊥PC．因为平面P AC⊥平面PCB，平面P AC∩平面PCB＝PC，P A⊂平面P AC，所以P A⊥平面PCB，又BC⊂平面PCB，所以P A⊥BC．因为BC⊥AC，P A，AC⊂平面P AC，且P A∩AC＝A，所以BC⊥平面P AC，因为BC⊂平面ABC，所以平面P AC⊥平面ABC．（2）取AC的中点O1，连接O1P和O1B，再取O1B的中点M，连接ME．在平面ABC内过点M作BF的垂线，垂足为点N，连接EN，则∠ENM即为二面角E﹣BF﹣A的平面角．证明如下：因为P A＝PC，且O1是AC的中点，所以PO1⊥AC．由（1）知平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，PO1⊂平面P AC，所以PO1⊥平面ABC．因为EM是△PO1B的中位线，则EM∥PO1，所以EM⊥平面ABC．因为BF⊂平面ABC，所以BF⊥EM．因为BF⊥MN，MN，ME⊂平面ENM，且MN∩ME＝M，所以BF⊥平面ENM．又EN⊂平面ENM，所以BF⊥EN，由二面角的平面角的定义可知∠ENM即为二面角E﹣BF﹣A的平面角．连接FM，并延长FM交BC于点T．由EM是△BPQ的中位线，得EM∥PO1，PO1⊂平面P AC，EM⊄平面P AC，所以EM∥平面P AC．当EF∥平面P AC时，EM，EF⊂平面EFM，且EM∩EF＝E，所以平面EFM∥平面P AC．由平面与平面平行的性质定理可知TF∥AC．因为点M是O1B的中点，所以FT过点O，由此可知FT＝5．因为AC⊥BC，所以FT⊥BC，且BT＝CT．由FT2+BT2＝BF2，可知BF=√30，由△FTB∽△FNM得MNFM=BTBF，所以MN =23√6，EM =12PO 1=1，因此tan ∠EMM =EM MN =√64，所以二面角E ﹣BF ﹣A 的平面角的正切值为√64． 22．（12分）已知函数f(x)=|14x 2−x|，g （x ）＝kx ，f （x ）与g （x ）的图象恰有三个交点．（1）求实数k 的取值范围；（2）用max {α，β}表示α，β中的最大值，设函数φ（x ）＝max {f （x ），g （x ）}（1⩽x ⩽6），用M ，m 分别表示φ（x ）的最大值与最小值，求M ，m ，并求出M ﹣m 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得f(x)={ 14x 2−x ，x ＜0−14x 2+x ，0≤x ≤414x 2−x ，x ＞4，显然f （x ）≥0，且（0，0）是函数f （x ）与g （x ）图象的一个交点， 当k ＜0时，g （x ）＜0在区间（0，+∞）上恒成立，与f （x ）图象无交点； 在区间（﹣∞，0），g （x ）与f （x ） 图象至多有一个交点，不合题意．当k ＝0时，函数f （x ）与g （x ）图象有且仅有两个交点（0，0），（4，0），不合题意． 当k ＞0时，若函数f （x ）与g （x ）图象有三个交点，则方程−14x 2+x =kx ，14x 2−x =kx 均有正根，分别为x 1＝4（1﹣k ），x 2＝4（k +1），由{k ＞04(1−k)＞04(k +1)＞0，可得0＜k ＜1，所以实数k 的取值范围是（0，1）；（2）由（1）可知，当k ∈（0，1）时，f （x ）与g （x ）的图象有3个交点，两个非零交点的横坐标分别为x 1＝4（1﹣k ），x 2＝4（k +1），当x ∈（0，x 1）时，f （x ）＞g （x ），max {f （x ），g （x ）}＝f （x ）， 当x ∈（x 1，x 2）时，f （x ）≤g （x ），max {f （x ），g （x ）}＝g （x ）， 当x ∈（x 2，+∞）时，f （x ）＞g （x ），max {f （x ），g （x ）}＝f （x ），当34≤k ＜1时，x 1＜1，x 2＞6，φ（x ）＝g （x ）（1≤x ≤6），M ＝φ（6）＝6k ，m ＝φ（1）＝k ，M ﹣m ＝5k ∈[154，5）；当12≤k ＜34时，1＜x 1≤2，x 2≥6，φ（x ）={f(x)，1≤x ＜x 1g(x)，x 1≤x ≤6，f （x ）在[1，x 1）上为增函数，且g （x ）为增函数， 故φ（x ）在[1，6]上为增函数，M ＝φ（6）＝6k ， m ＝f （1）=34，M ﹣m ＝6k −34∈[94，154），当14＜k ＜12时，2＜x 1＜3，5＜x 2＜6，φ（x ）={f(x)，1≤x ＜x 1g(x)，x 1≤x ≤x 2f(x)，x 2＜x ≤6，且φ（x ）在[1，2]上为增函数，在[2，x 1）上为减函数，在[x 1，6]上为增函数，φ（1）＝f （1）=34，φ（x 1）＝f （x 1）＞f （1），φ（2）＝f （2）＝1，φ（6）＝f （6）＝3＞φ（2），故M ＝φ（6）＝3，m ＝f （1）=34，M ﹣m =94；当0＜k ≤14时，3≤x 1＜4，4＜x 2≤5，φ（x ）={f(x)，1≤x ＜x 1g(x)，x 1≤x ≤x 2f(x)，x 2＜x ≤6，且φ（x ）在[1，2]上为增函数，在[2，x 1）上为减函数，在[x 1，6]上为增函数，φ（1）＝f （1）=34，φ（x 1）＝f （x 1）≤f （1），φ（2）＝f （2）＝1，φ（6）＝f （6）＝3＞φ（2），故M ＝φ（6）＝3，m ＝f （x 1）＝f （4﹣4k ）＝﹣4k 2+4k ，M ﹣m ＝4k 2﹣4k +3∈[94，3）；综上，当34≤k ＜1时，M ＝6k ，m ＝k ；当12≤k ＜34时，M ＝6k ，m =34；当14＜k ＜12时，M ＝3，m =34；当0＜k ≤14时，M ＝3，m ＝﹣4k 2+4k ，所以M ﹣m 的取值范围为：[94，5）．。

高一年级调研考试数学本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，留存试卷，交回答题卡.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知集合，，则（ ）{}32A x x =-<<{}0,1,2,3B =A B = A. B.C.D.{}0,1{}0,2{}1,2{}2,3【答案】A 【解析】【分析】直接根据交集的定义即可得解.【详解】解：因为，， {}32A x x =-<<{}0,1,2,3B =所以. A B = {}0,1故选：A.2. 设复数（其中为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ） ()i 12i z =+i z A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得出答案. z 【详解】解：，()i i 12i 2z =+=-+所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.z ()2,1-故选：B .3. 已知向量，，且，则（ ）()1,2a =-r (),1b λ= a b ⊥λ=A. B. C.D. 22-12-12【答案】D 【解析】【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示计算可得； 0a b ⋅=【详解】解：因为，，且，()1,2a =-r (),1b λ= a b ⊥所以，解得；()1120a b λ⋅=⨯+⨯-=2λ=故选：D 4. 已知，，则的值为（ ） 3cos 5α=π02α<<()sin πα+A. B. C.D.45-35-3545【答案】A 【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，再由诱导公式计算可得；sin α【详解】解：因为，，所以， 3cos 5α=π02α<<4sin 5α==所以；()4sin πsin 5αα+=-=-故选：A5. 已知直线与平面，则能使的充分条件是（ ） ,m n ,,αβγαβ⊥A. ， B. ，， αγ⊥βγ⊥m n ⊥m αβ= n β⊂C. ， D. ，//m α//m β//m αm β⊥【答案】D 【解析】【分析】由线面、面面的平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A ，垂直于同一平面的两个平面平行或相交，，，A 错误； αγ∴⊥βγαβ⊥⊥¿对于B ，若，，，则只需在平面内互相垂直即可，无法得到，B m n ⊥m αβ= n β⊂,m n βαβ⊥错误；对于C ，平行于同一条直线的两个平面平行或相交，，，C 错误； //m α∴//m βαβ⊥¿对于D ，，存在直线，满足，又，，//m α ∴l ⊂α//m l m β⊥l β∴⊥，，D 正确.l α⊂ αβ∴⊥故选：D.6. 下列不等式恒成立的是（ ）A.B.2b aa b+≥22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭C. D.a b +≥222a b ab +≥-【答案】D 【解析】【分析】利用特殊值判断A 、C ，利用重要不等式判断B ，作差可判断D ； 【详解】解：对于A ：若、时，故A 错误； 1a =1b =-2b aa b+=-对于B ：因为，所以，所以，即，当且仅()20a b -≥222a b ab +≥2224a b ab ab ++≥22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭当时取等号，故B 错误；a b =对于C ：若、时，，故C 错误；1a =-1b =-22a b +=-<对于D ：因为，所以，即，当且仅当时取等号，故()20a b +≥2220a b ab ++≥222a b ab +≥-a b =D 正确； 故选：D7. 如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ）ABCD M AB AC DM O OM =A.B.1163OM AB AD =-1233OM AB AD =-C.D.1122OM AB AD =-1143OM AB AD =-【答案】A【解析】【分析】设，则，再根据三点共线可AO x AC =()2AO xAC x AB AD xAM xAD ==+=+ ,,O D M 求得，再根据平面向量的线性运算结合图形即可得出答案. x 【详解】解：设，AO x AC =则，()2AO xAC x AB AD xAM xAD ==+=+ 因为三点共线， ,,O D M 所以，解得， 21x x +=13x =则1133AO xAC AB AD ==+ 所以.1111133263OM OA AM AB AD AB AB AD =+=--+=-故选：A.8. 已知函数，则方程的解的个数是（ ）()1,02,0x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩()30xf x -=A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】【分析】令，则方程的解的个数即函数与函数的图象的交点的个||3x y =()30xf x -=()f x ||3x y =数．作出函数与函数的图象，即可得到两个函数图象的交点的个数． ()f x ||3x y =【详解】解：令，得，()30xf x -=||()3x f x =则方程的解的个数即函数与函数的图象的交点的个数．()30xf x -=()f x ||3x y =作出函数与函数的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2， ()f x ||3x y =故方程的解的个数为2个．()30xf x -=故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 根据第七次全国人口普查结果，女性人口约为68844万人，总人口性别比（以女性为100，男性对女性的比例）为105.07，与2010年第六次全国人口普查基本持平.根据下面历次人口普查人口性别构成统计图，下面说法正确的是（）A. 近20年来，我国总人口性别比呈递减趋势B. 历次人口普查，2000年我国总人口性别比最高C. 根据第七次全国人口普查总人口性别比，估计男性人口为72334万人D. 根据第七次全国人口普查总人口性别比，估计男性人口为73334万人【答案】AC【解析】【分析】根据统计图提供的数据判断.【详解】近20年来，我国总人口性别比呈递减趋势，所以A正确；由统计图数据知，历次人口普查，1953年我国总人口性别比最高，所以B 不正确； 根据第七次全国人口普查总人口性别比，设男性人口为，x ，则估计男性人口为72334万人，故C 正确，D 不正确.105.0772********xx =⇒≈故选：AC .10. 把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到()sin f x x =3π12函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（ ） ()g x ()g xA. 最小正周期为B. 在区间 π,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 图像的一个对称中心为 D. 图像的一条对称轴为直线,03π⎛-⎫⎪⎝⎭12x π=【答案】AD 【解析】【分析】根据伸缩平移变换可得函数的解析式，进而判断各选项中图像性质. ()g x 【详解】的图像向左平移个单位长度得函数， ()sin f x x =3πsin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数， 12()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭其最小正周期为，A 选项正确； 22T ππ==由，得，则当，即时，取最大值为，B 选,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦232x ππ+=12x π=()g x 1项错误； 令，，得，，所以函数的对称中心为，23x k ππ+=Z k ∈+62k x ππ=-Z k ∈()g x +,062k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以不成立，C 选项错误； Z k ∈,03π⎛-⎫⎪⎝⎭令，，解得，，所以函数的对称轴为，232x k πππ+=+Z k ∈122k x ππ=+Z k ∈()g x 122kx ππ=+，当时，，D 选项正确；Z k ∈0k =12x π=故选：AD.11. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（ ）()f x R 0x ≥()22f x x x =-A. 的最小值为 B. 在上单调递减()f x 1-()f x ()2,0-C. 的解集为 D. 存在实数满足()0f x ≤[]22-,x ()()20f x f x ++-=【答案】ACD 【解析】【分析】根据偶函数的性质求出函数解析式，即可画出函数图象，即可判断；【详解】解：函数是定义在上的偶函数，当时，， ()f x R 0x …22()2(1)1f x x x x =-=--设，则，所以，因为是偶函数，所以， 0x <0x ->2()2-=+f x x x ()f x ()()f x f x -=所以，2()2f x x x =+所以，222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-=⎨+<⎩…函数图象如下所示：可得时，在时取得最小值，由偶函数的图象关于轴对称，可得在上取得最小0x >()f x 1x =1-y ()f x R 值，故A 正确；1-在上单调递减，在上单调递增，故B 错误；()f x (,1)-∞-(1,0)-由或，解得或，综上可得的解集为，故2020x x x ≥⎧⎨-≤⎩2020x x x <⎧⎨+≤⎩02x ≤≤20x -≤<()0f x ≤[]22-,C 正确；由，，即存在实数满足，故D 正确； (0)0f =()()220f f -==x (2)()0f x f x ++-=故选：ACD ．12. 如图，在菱形中，，，将沿折起，使到，点不落在ABCD 2AB =π3BAD ∠=ABD △BD A A 'A '底面内，若为线段的中点，则在翻折过程中，以下命题中正确的是（ ）BCD M A C 'ABD △A. 四面体的体积的最大值为1 A BCD -'B. 存在某一位置，使得 BM CD ⊥C. 异面直线，所成的角为定值 BM A D 'D. 当二面角的余弦值为时，四面体A BD C '--13A BCD -'【答案】ABD 【解析】【分析】连接交于，连接，取的中点，连接，当平面平面AC BD O OA 'CD N ,MN BN A BD '⊥时，四面体的体积最大，从而可判断A ；易得，说明成立，再根BCD A BCD -'BN CD ⊥MN CD ⊥据线面垂直的判定定理及性质即可判断B ；证明异面直线，所成的角即为或其补角，再BM A D 'BMN ∠根据不为定值，即可判断C ；说明即为二面角的平面角，再根据二面角BM A OC '∠A BD C '--的余弦值可得，补全为正方体，从而可判断D .A BD C '--2A C '=【详解】解：连接交于，连接，取的中点，连接， AC BD O OA 'CD N ,MN BN 对于A ，当平面平面时，四面体的体积最大， A BD '⊥BCD A BCD -'点到平面的距离最大，此时 A 'BCD 在菱形中，，， ABCD 2AB =π3BAD ∠=则都是等边三角形， ,ABD BCD A A则OA OA OC '===此时四面体的体积为， A BCD -'112132⨯⨯=所以四面体的体积的最大值为1，故A 正确； A BCD -'对于B ，因为分别为的中点， ,M N ,A C CD '所以，BN CD ⊥且， MN A D '∥112MN A D '==由题意，则， 20,3A DC π⎛⎫'∠∈ ⎪⎝⎭20,3MNC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭当时，，2MNC π∠=MN CD ⊥因为， MN BN N ⋂=所以时，平面，2MNC π∠=CD ⊥BMN 又平面， BM ⊂BMN 所以，CD BM ⊥所以存在某一位置，使得，故B 正确； BM CD ⊥对于C ，因为，MN A D '∥所以异面直线，所成的角即为或其补角，BM A D 'BMN ∠， 2131cos 22BM BM BMN BM BM+-∠==-因为不为定值，所以不为定值， BM cos BMN ∠即异面直线，所成的角不为定值，故C 错误； BM A D '对于D ，因为，,OC BD OA BD '⊥⊥所以即为二面角的平面角，A OC '∠A BD C '--则，所以， 261cos 63A C A OC '-'∠===2A C '=所以四面体为正四面体， A BCD -'如图，补全正四面体为正方体， A BCD -'，， =即四面体D 正确. A BCD -'故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 计算的结果为______.1327ln 8⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】 2【解析】【分析】根据对数的运算性质及指数幂的运算法则计算可得；【详解】解：； 11313322733131ln e ln e 2822222⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+=+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故答案为：214. 从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是______. 【答案】13【解析】【分析】利用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：从2，3，4，5四个数中任取两个数，所有可能结果有、、、、()2,3()2,4()2,5()3,4、共个结果；()3,5()4,56满足两个数相差为2的有、共个结果；()2,4()3,52所以两个数相差为2的概率； 2163P ==故答案为：1315. 正方形边长为，以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为_______． 1【答案】 2π【解析】【分析】得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积.【详解】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 则所得几何体的侧面积为：， 1212ππ⨯⨯=故答案为：.2π16. 已知若存在，使得，的取值范围是()2,01,2, 1.x x x f x x ⎧<<=⎨≥⎩210x x >>()()212f x f x =()12x f x ⋅______.【答案】[)4,⎛⋃+∞ ⎝【解析】【分析】分，，三种情况讨论，由题意，1201x x <<<1201x x <<≤121x x ≤<()()12112x f x x f x ⋅=⋅分别确定的范围，再结合函数的单调性即可得出答案. 1x 【详解】解：当时， 1201x x <<<则， ()()()2120,1f x f x =∈所以，即，()110,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，1x ⎛∈ ⎝则，()()31211122x f x x f x x ⋅=⋅=因为函数在上递增，3y x =()0,1所以；()31212x f x x ⎛⋅=∈ ⎝当时，1201x x <<≤，()()()[)21120,1,22,x f x x f x =∈=∈+∞所以，()()212f x f x >所以不存在，使得； 1201x x <<≤()()212f x f x =当时，121x x ≤<则，()()12122,2xxf x f x ==因为， ()()212f x f x =所以， 21112222x x x +=⨯=所以，211x x =+则，()()112111222xx f x x f x x ⋅=⋅=⋅令，()[)22,1,xg x x x =⋅∈+∞则，()()112211122222222x x x x g x x x g x x x -⋅==⋅⋅因为，121x x ≤<所以， 11221,0x x x x <-<所以，所以， 1221x x -<121221x x x x -⋅<即，()()12g x g x <所以函数在上递增，()22xg x x =⋅[)1,+∞所以，即，()()14g x g ≥=()[)124,x f x ⋅∈+∞综上所述，的取值范围是.()12x f x ⋅[)4,⎛⋃+∞⎝故答案为：.[)4,⎛⋃+∞ ⎝四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数（）的最小正周期为. ()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭0ω>π（1）求的值； π6f ⎛⎫⎪⎝⎭（2）求函数的单调递减区间. ()f x【答案】（1（2）π7ππ,π,1212k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由最小正周期求出，进而得到，代入求值即可； 2ω=()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）整体法求解函数单调递减区间. 【小问1详解】 由最小正周期公式得：，故，2ππω=2ω=所以，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πππ2sin 2663f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】 令， ππ3π2π22π,232k x k k Z +≤+≤+∈解得：， π7πππ,1212k x k k Z +≤≤+∈故函数的单调递减区间.是()f x π7ππ,π,1212k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦18. 已知的内角，，的对边分别为，，，. ABC A A B C a b c 2sin 3sin cos 0a C c A B -=（1）求的值；cos B （2）若，，求的值. 2BA BC ⋅=u u r u u u r1c =b 【答案】（1）23（2 【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角化边，即可求出；cos B （2）根据数量积的定义求出，即可求出，再由余弦定理计算可得； ac a 【小问1详解】解：因为，2sin 3sin cos 0a C c A B -=由正弦定理可得，因为，所以 23cos 0ac ac B -=0ac ≠2cos 3B =【小问2详解】解：因为，所以，所以，2BA BC ⋅=u u r u u u rcos 2ac B =3ac =因为，所以，1c =3a =由余弦定理， 22222cos 9123163b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=所以.b =19. 已知函数是定义在上的奇函数. ()22xx af x =-R （1）若，求的值； ()32f x =x （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.[]0,3x ∈()()220f t x f x -+≤t 【答案】（1）1x =（2） (],3-∞-【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质得到，即可求出，从而得到的解析式，再解方程即()00f =a ()f x 可；（2）首先判断函数的单调性，结合奇偶性与单调性得到在上恒成立，参变分离可22t x x -≤-[]0,3x ∈得，恒成立，根据二次函数的性质求出的最小值，即可得解； 22t x x ≤-+[]0,3x ∈22x x -+【小问1详解】解：因为函数是定义在上的奇函数， ()22xxaf x =-R 所以，即，解得，所以， ()00f =00202a -=1a =()122xxf x =-即，则，符合题意，()22xx f x -=-()()22xx f x f x --=-=-又，即，即，即， ()32f x =13222xx -=243220x x ⋅-⋅-=()()221220x x ⋅+-=即，解得 220x -=1x =【小问2详解】解：因为， ()122xxf x =-所以在定义域上单调递增，又是定义在上的奇函数， ()f x ()f x R 所以在恒成立，()()220f t x f x-+≤[]0,3x ∈等价于在上恒成立，()()()222f t x f xf x -≤-=-[]0,3x ∈即在上恒成立，即，恒成立， 22t x x -≤-[]0,3x ∈22t x x ≤-+[]0,3x ∈令，，()()22211g x x x x =-+=---[]0,3x ∈所以在上单调递增，在上单调递减，、， ()g x []0,1(]1,3()00g =()33g =-所以，所以，即；()min 3g x =-3t £-(],3t ∈-∞-20. （身体质量指数）是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公BMI 式是：.在我国，成人的数值参考标准为：为偏瘦；()()2kg BMI m2=体重单位:身高单位:BMI BMI 18.5<为正常；为偏胖；为肥胖.某大学为了解学生的身体肥胖情18.5BMI 24≤<24BMI 28≤<28BMI ≤况，研究人员从学校的学生体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了60名男学生，40名女学生的身高体重数据，计算出他（她）们的，整理得到如下的频率分布表和频率分布直方图.同一BMI 组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本估计总体.分组频数 频率 [)14,18150.15[)18,2240 0.40[)22,2630 0.30[)26,3010 0.10[)30,34 5 0.05 合计1001.00（1）根据及频率分布直方图，估计该校学生为肥胖的百分比；BMI （2）已知样本中60名男学生的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中40名女学BMI 122.8μ=生的平均数. BMI 2μ【答案】（1）10%（2） 220.8μ=【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求得的频率，从而可得该校学生为肥胖的百分比； 28BMI<30≤（2）先根据频率分布直方图求出样本的的平均数，再根据样本的的平均数等于，BMI BMI 123255μμ+即可得解. 【小问1详解】解：由频率分布直方图可知的频率为， 28BMI<30≤10.02540.052⨯⨯=所以的频率为， 28BMI ≤0.050.050.1+=所以估计该校学生为肥胖的百分比为； 10%【小问2详解】解：样本的的平均数为， BMI 160.15200.4240.3280.1320.0522⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=则， 2604022.822100100μ⨯+=解得，220.8μ=所以估计样本中40名女学生的平均数. BMI 220.8μ=21. 如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所P ABCD -ABCD 12BC AD =//BC AD PCD 在的平面垂直于底面，.ABCD BC PD ⊥（1）求证：平面；BC ⊥PCD（2）若直线与平面，求二面角的余弦值. PB ABCD P AB D --【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）利用面面垂直证明线面垂直，进而可得异面直线垂直，可证线面垂直；（2）分别过点与点作直线的垂线，再通过平行，构造二面角的平面角，进而可得二面角余弦值. D P AB 【小问1详解】如图所示，取中点，连接，CD O PO 是正三角形，PCD QV PO CD ∴⊥又平面平面，且平面平面，PCD ⊥ABCD PCD ABCD CD =平面，平面,， PO ∴⊥ABCD BC ⊂ABCD PO BC ∴⊥，且， BC PD ⊥ PO PD P = 平面；BC ∴⊥PCD 【小问2详解】如图所示，连接，，过点，作，，分别与交于点，，过点OB BD D P DM AB ⊥PN AB ⊥AB M N 作，交于点，连接，M //MQ NP AP Q DQ 设，，则，22AD BC ==20CD a a =>，OP =由（1）得平面，即为直线与平面所成角的平面角，OP ⊥ABCD OBP ∴∠PB ABCD 平面，，BC ⊥PCD BC CP ∴⊥则PB =sin OPOBP BP ∠===解得：， 1a=故，，解BD=AB ===得，BM=AM=DM =又，所以平面，，//BC ADAD ⊥PCD AD PD ⊥，解得，PA ===BN =，，AN=PN =所以点为线段的中点，故点也为线段中点，M AN Q AP 所以，，12QM PN ==DQ =所以即为二面角的平面角，DMQ ∠PAB D --222222cos 2DM QM DQ DMQ DM QM +-+-∠===⋅22. 已知二次函数的图象经过原点，且是偶函数，方程有两相等实()y f x =()1y f x =-()10f x +=根.（1）求的解析式； ()y f x =（2）讨论函数与的图象的公共点个数.()()e 1e x xf g x +=()22e 2xh x m m =-+【答案】（1）()22f x x x =+（2）见解析 【解析】【分析】（1）设，易得，根据是偶函数，可得的一个()()20f x ax bx c a =++≠0c =()1y f x =-,a b 关系式，再根据方程有两相等实根，可得根的判别式，从而可求得，即可得解； ()10f x +=Δ0=,a b （2）函数与的图象的公共点个数，即方程()()e 1e x xf g x +=()22e 2xh x m m =-+的实数根的个数，即方程的实数根的个()22e 2e 12e 2e x x xxm m ++=-+()()2221ee 10xx m m ---=数，令，故所求转化为方程在实根的个数，再分()e ,0,xt t =∈+∞()222110m t mt ---=()0,t ∈+∞，，三种情况讨论，从而可得出结论.2210m -=2210m ->2210m -<【小问1详解】解：设，()()20f x ax bx c a =++≠因为二次函数的图象经过原点， ()y f x =所以，0c =，()()()()221112y f x a x b x ax b a x a b =-=-+-=+-+-因为是偶函数， ()1y f x =-所以，()()11f x f x -=--即，()()2222ax b a x a b ax b a x a b +-+-=--+-所以，20b a -=又方程有两个相等的实数根，210ax bx ++=所以， 224440b a a a ∆=-=-=解得（舍去）， 1a =0a =所以；()22f x x x =+【小问2详解】 解：由（1）得，()()()2e 1e 2e 1eexx x xxf g x +++==令，()()g x h x =则，()22e 2e 12e 2ex x x xm m ++=-+即，()()222e 2e 12e e 2e xx x x x m m ++=-+即，()()2221ee 10x x m m ---=令，()e ,0,xt t =∈+∞则，()222110m t mt ---=故所求转化为方程在实根的个数，()222110m t mt ---=()0,t ∈+∞令，，()()222110t m t mt ϕ=---=()0,t ∈+∞①当，即2210m -=m =若，则，故，m=10-=0t =<所以时，方程无实根；m =若，故，m =10-=t =所以时，方程有1个实根；m =②当，即或时， 2210m ->m >m <因为，且，， 22284940m m m ∆=+-=->()01m =-21021m -<-所以当或时，方程有1个实根；m>m <③当，即时， 2210m -<m <<若时，方程有两个不相等的实根， 22Δ940042m m m m ⎧=->⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪>⎪-⎩23m <<-若时，方程无实根， 22Δ940042m m m m ⎧=->⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<⎪-⎩23m <<若时，方程有1个实根，22Δ940042m m m m ⎧=-=⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪>⎪-⎩23m =-若时，方程无实根，22Δ940042m m m m ⎧=-=⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<⎪-⎩23m =若时，方程无实根， 2Δ940m m ⎧=-<⎪⎨<<⎪⎩2233m -<<综上所述，当时，函数的图象没有公共点；23m ⎛∈- ⎝()(),g x h x当时，函数的图象有1个公共点； 2,3m ⎫⎛⎧⎫∈+∞⋃-∞⋃-⎪ ⎨⎬⎪ ⎩⎭⎭⎝()(),g x h x当时，函数的图象有2个公共点.23m ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭()(),g x h x 【点睛】本题考查了根据待定系数法球二次函数的解析式，考查了偶函数的性质及一元二次方程的根的问题，考查了一元二次方程在某个区间上的实根的个数问题，考查了分类讨论思想，对数据分析的能力要求较高.。

广东省深圳市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试,采用系统抽样的方法,则所选5名学生的学号可能是A . 1,2,3,4,5B . 5,15,25,35,45C . 2,4,6,8,10D . 4,13,22,31,402. （2分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图，则该样本的中位数、众数分别是（）A . 45，56B . 46，45C . 47，45D . 45，473. （2分） (2018高一下·安徽期末) 一个盒子中装有红、黄、蓝三种颜色的球各5个,从中任取3个球.事件甲：3个球都不是红球；事件乙：3个球不都是红球；事件丙：3个球都是红球；事件丁：3个球中至少有1个红球，则下列选项中两个事件互斥而不对立的是（）A . 甲和乙B . 甲和丙C . 乙和丙D . 乙和丁4. （2分） (2017高二下·南昌期末) 高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·池州模拟) 已知x，y满足约束条件，目标函数z=2x﹣3y的最大值是2，则实数a=（）A .B . 1C .D . 46. （2分） (2017高二上·西华期中) 已知△ABC中，sin2B+sin2C﹣sin2A=﹣sinBsinC，则A=（）A . 60°B . 90°C . 150°D . 120°7. （2分）(2018·呼和浩特模拟) 下面程序框图的算术思路源于《几何原本》中的“辗转相除法”（如图），若输入，则输出的为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一上·南充期中) 已知 a＞ b，则下列不等式成立的是（）A . ln（a﹣b）＞0B .C . 3a﹣b＜1D . loga2＜logb29. （2分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A .B .C .D .10. （2分）已知数列，满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件二、填空题 (共5题；共6分)11. （1分）将379化成四进位制数的末位是________．12. （2分）已知函数y＝|x－3|，如图所示程序框图表示的是给定x值，求其相应函数值的算法．请将该程序框图补充完整．其中①处应填________，②处应填________．13. （1分） (2017高一下·宜昌期中) 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有﹣段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里：驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：需________日相逢．14. （1分） (2016高一下·新乡期末) 已知集合M={x|0＜x≤6}，从集合M中任取一个数x，使得函数y=log2x 的值大于1的概率为________．15. （1分） (2017高二下·中原期末) 已知函数f（x）= 的定义域为A，不等式（x﹣1）2＜logax 在x∈A时恒成立，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共45分)16. （5分）今年5月，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估，将各连锁店的评估分数按[60，70]，[70，80]，[80，90]，[90，100]分成4组，其频率分布直方图如图所示，集团公司还依据评估得分，将这些连锁店划分为A、B、C、D四个等级，等级评定标准如下表所示：评估得分[60，70][70，80][80，90][90，100]评定等级D C B A（Ⅰ）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；（Ⅱ）从评估分数不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A等级的概率．17. （5分） (2018高一下·北京期中) 已知在锐角△ABC中，（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值.18. （10分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别是为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染.2015年8月某日某省x个监测点数据统计如表：空气污染指数（单位：μg/m3）[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]监测点个数1540y10（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（2）在空气污染指数分别为50﹣100和150﹣200的监测点中，用分层抽样的方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件A“两个都为良”发生的概率是多少？19. （10分） (2017高二下·衡水期末) 已知数列{an}中，a1=1，an+1= （n∈N*）．（1）求证：{ + }为等比数列，并求{an}的通项公式an；（2）数列{bn}满足bn=（3n﹣1）• •an，求数列{bn}的前n项和Tn．20. （15分） (2019高一上·哈尔滨期末) 已知函数．（1）当时，求该函数的值域；（2）求不等式的解集；（3）若对于恒成立，求的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共45分) 16-1、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、第11 页共11 页。

2015-2016学年广东省深圳市宝安区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线x﹣y﹣1=0的倾斜角为（）A．B．C．D．2．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角D1﹣AB﹣D的大小是（）A．B．C．D．3．（5分）如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的值是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣34．（5分）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，95．（5分）由一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…（x n，y n）得到的回归直线方程，那么，下面说法不正确的是（）A．直线必经过点；B．直线至少经过（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…（x n，y n）中的一个点；C．直线的斜率为；D．直线和各点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…（x n，y n）的偏差是坐标平面上的所有直线与这些点的偏差中最小值6．（5分）点（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是（）A．（﹣6，8）B．（﹣8，﹣6）C．（6，8） D．（﹣6，﹣8）7．（5分）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是（）A．6 B．4 C．5 D．19．（5分）已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y（h）之间的线性回归方程为=0.01x+0.5，则加工600个零件大约需要的时间为（）A．6.5h B．5.5h C．3.5h D．0.5h10．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．1 C．D．11．（5分）设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，l⊥α，则l⊥β；②若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β；③若m⊥α，l⊥m，则l∥α；④若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m．其中真命题的序号为（）A．②③B．①C．③④D．①④③12．（5分）若直线l：x+y﹣2=0与圆C：x2+y2﹣2x﹣6y+2=0交于A、B两点，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上. 13．（5分）三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为．14．（5分）已知，α是第四象限角，且tan（α+β）=1，则tanβ的值为．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4，P为圆C 上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，则圆M的方程为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣（6﹣2m）x﹣4my+5m2﹣6m=0，直线l经过点（1，﹣1），若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值，则直线l的方程为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．（10分）如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图：观察图形，回答下列问题：（1）79.5﹣89.5这一组的频数、频率分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）18．（12分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l 所成的角为30°．求直线AB与平面β所成的角的正弦值．19．（12分）袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是．（I）求n的值；（II）从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．①记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率；②在区间[0，2]内任取两个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．20．（12分）如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75．（1）求x，y的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）．21．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA=PB=PC，M、N分别为AB、BC的中点．（1）求证：AC∥平面PMN；（2）求证：MN⊥BC．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知经过原点O的直线l与圆C：x2+y2﹣4x﹣1=0交于A，B两点．（1）若直线m：ax﹣2y+a+2=0（a＞0）与圆C相切，切点为B，求直线l的方程；（2）若OB=2OA，求直线l的方程；（3）若圆C与x轴的正半轴的交点为D，设直线L的斜率k，令kt=1，设△ABD 面积为f（t），求f（t）2015-2016学年广东省深圳市宝安区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线x﹣y﹣1=0的倾斜角为（）A．B．C．D．【解答】解：由x﹣y﹣1=0得，y=x﹣1，∴斜率k=，则tan，∴直线x﹣y﹣1=0的倾斜角为，故选：B．2．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角D1﹣AB﹣D的大小是（）A．B．C．D．【解答】解：∵AB⊥平面ADD1A1，∴AB⊥AD，AB⊥AD1，∴∠D1AD是二面角D1﹣AB﹣D的平面角，∵AD=DD1，AD⊥DD1，∴∠D1AD=．∴二面角D1﹣AB﹣D的大小是．故选：A．3．（5分）如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的值是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【解答】解：执行一次循环，y=0，x=0；执行第二次循环，y=﹣1，x=﹣2；执行第三次循环，y=﹣2，满足条件，退出循环故选：C．4．（5分）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．故选：B．5．（5分）由一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…（x n，y n）得到的回归直线方程，那么，下面说法不正确的是（）A．直线必经过点；B．直线至少经过（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…（x n，y n）中的一个点；C．直线的斜率为；D．直线和各点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…（x n，y n）的偏差是坐标平面上的所有直线与这些点的偏差中最小值【解答】解：线性回归直线一定经过样本中心点，故A正确，线性回归直线不一定经过样本数据中的一个点，这是最能体现这组数据的变化趋势的直线，但并不一定在直线上，故B不正确，根据最小二乘法知C正确，根据线性回归直线的意义知D正确，故选：B．6．（5分）点（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是（）A．（﹣6，8）B．（﹣8，﹣6）C．（6，8） D．（﹣6，﹣8）【解答】解：设点M的坐标为（a，b），则∴a=﹣6，b=﹣8∴M（﹣6，﹣8），故选：D．7．（5分）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件．4组邻边和对角线中两条直线相互垂直的情况有5种包括10个基本事件，所以概率P==，故选：C．8．（5分）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是（）A．6 B．4 C．5 D．1【解答】解：圆的圆心坐标（0，0），到直线3x+4y﹣25=0的距离是，所以圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是5﹣1=4故选：B．9．（5分）已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y（h）之间的线性回归方程为=0.01x+0.5，则加工600个零件大约需要的时间为（）A．6.5h B．5.5h C．3.5h D．0.5h【解答】解：某车间加工零件的个数x与所花费时间y（h）之间的线性回归方程为=0.01x+0.5，则加工600个零件大约需要的时间为：y=0.01×600+0.5=6.5（h）．故选：A．10．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为．故选：B．11．（5分）设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，l⊥α，则l⊥β；②若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β；③若m⊥α，l⊥m，则l∥α；④若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m．其中真命题的序号为（）A．②③B．①C．③④D．①④③【解答】解：对于①，当α∥β时，若l⊥α，则l⊥β，理由是如果一条直线与两个平行平面中的一个垂直，那么它与另一个平面垂直，∴①正确；对于②，当l∥m，l⊂α，m⊂β时，α∥β或α与β相交，∴②错误；对于③，当m⊥α，l⊥m时，l∥α或l⊂α，∴③错误；对于④，当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l⊥m或l与m不垂直，∴④错误．综上，正确的命题是①．故选：B．12．（5分）若直线l：x+y﹣2=0与圆C：x2+y2﹣2x﹣6y+2=0交于A、B两点，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：直线l：x+y﹣2=0与圆C：x2+y2﹣2x﹣6y+2=0交于A、B两点，则圆C的圆心为（1，3），半径为r=×=2，弦心距为d==，弦长AB=2=2×=2，=•AB•d=×2×=2．所以△ABC的面积为S△ABC故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上. 13．（5分）三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件可以列举出三张卡片随机地排成一行，共有三种情况：BEE，EBE，EEB，而满足条件的只有一种，∴概率为：．故答案为：14．（5分）已知，α是第四象限角，且tan（α+β）=1，则tanβ的值为﹣3．【解答】解：∵已知，α是第四象限角，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==﹣2，再根据tan（α+β）===1，求得tanβ=﹣3，故答案为：﹣3．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4，P为圆C 上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，则圆M的方程为（x﹣1）2+y2=1．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4，P为圆C上一点．存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，∴存在一个定圆M，圆心与圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4，的圆心重合，如图：|PC|=2，当R M=1时，∠APM=30°，∠MPB=30°；|PM|=2，|MB|=1此时∠APB=60°，圆M的方程为（x﹣1）2+y2=1．故答案为：（x﹣1）2+y2=1．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣（6﹣2m）x﹣4my+5m2﹣6m=0，直线l经过点（1，﹣1），若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值，则直线l的方程为2x+y﹣1=0．【解答】解：将圆C：x2+y2﹣（6﹣2m）x﹣4my+5m2﹣6m=0化为标准式得[x﹣（3﹣m）]2+（y﹣2m）2=9，∴圆心C（3﹣m，2m），半径r=3，令，消去m得2x+y﹣6=0，所以圆心在直线2x+y﹣6=0上，又∵直线l经过点（1，﹣1），若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值，∴直线l与圆心所在直线平行，∴设l方程为2x+y+C=0，将（1，﹣1）代入得C=﹣1，∴直线l的方程为2x+y﹣1=0．故答案为：2x+y﹣1=0．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．（10分）如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图：观察图形，回答下列问题：（1）79.5﹣89.5这一组的频数、频率分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）【解答】解：（1）根据频率分布直方图，得；79.5﹣89.5这一组的频率是0.025×10=0.25，频数是60×0.25=15；（2）根据频率分布直方图，得；60分及以上的频率为1﹣（0.01+0.015）×10=0.75，∴这次环保知识竞赛的及格率为0.75=75%．18．（12分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l 所成的角为30°．求直线AB与平面β所成的角的正弦值．【解答】解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D连结AD，有三垂线定理可知AD⊥l，故∠ADC为二面角α﹣l﹣β的平面角，为60°又由已知，∠ABD=30°连结CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角，设AD=2，则AC=，CD=1AB==4∴sin∠ABC=．19．（12分）袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是．（I）求n的值；（II）从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．①记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率；②在区间[0，2]内任取两个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据从袋子随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是可得，解得n=2．（Ⅱ）①从袋子中不放回地随机抽取2个球，共有基本事件12个，其中“a+b=2”为事件A的基本事件有4个，则P（A）=．②记“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2+y2＞4恒成立，（x，y）可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B构成的区域B={（x，y）|x2+y2＞4，（x，y）∈Ω}，所以P（B）=1﹣．20．（12分）如图的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75．（1）求x，y的值；（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率；（3）判断甲、乙两队谁的成绩更稳定，并说明理由（方差较小者稳定）．【解答】解：（1）因为甲代表队的中位数为76，其中已知高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，65，64，所以x=6，因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5，7，7，19，和为41，所以y=3，（2）甲队中成绩不低于80的有80，82，88；乙队中成绩不低于80的有80，86，88，89，甲乙两队各随机抽取一名，种数为3×4=12，其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有80，80；82，80；88，80；88，86；88，88．种数为3+1+1=5，所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为p=，（3）因为甲的平均数为：=（64+65+71+71+76+76+77+80+82+88）=75，=[（64﹣75）2+（65﹣75）2+2×（71﹣75）2+2×（76﹣75）所以甲的方差S2甲2+（77﹣75）2+（80﹣75）2+（82﹣75）2+（88﹣75）2]=50.2，=[（56﹣75）2+2×（68﹣75）2+（70﹣75）2+（72﹣75）2+又乙的方差S2乙（73﹣75）2+（80﹣75）2+（86﹣75）2+（88﹣75）2+（89﹣75）2]=100.8，因为甲队的方差小于乙队的方差，所以甲队成绩较为稳定．21．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA=PB=PC，M、N分别为AB、BC的中点．（1）求证：AC∥平面PMN；（2）求证：MN⊥BC．【解答】证明：（1）因为M、N分别为AB、BC的中点，所以MN∥AC…（3分）又因为MN⊂平面PMN，AC⊄平面PMN，所以AC∥平面PMN…（7分）（2）因为PA=PB=PC，M、N分别为AB、BC的中点，所以PM⊥AB，PN⊥BC，又因为平面PAB⊥平面ABC，PM⊂平面PAB，平面PAB∩平面ABC=AB，所以PM⊥平面ABC…（10分）又BC⊂平面ABC，所以PM⊥BC，所以BC⊥平面PMN，因为MN⊂平面PMN，所以MN⊥BC…（14分）22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知经过原点O的直线l与圆C：x2+y2﹣4x﹣1=0交于A，B两点．（1）若直线m：ax﹣2y+a+2=0（a＞0）与圆C相切，切点为B，求直线l的方程；（2）若OB=2OA，求直线l的方程；（3）若圆C与x轴的正半轴的交点为D，设直线L的斜率k，令kt=1，设△ABD 面积为f（t），求f（t）【解答】解：（1）由直线m：ax﹣2y+a+2=0（a＞0）与圆C：x2+y2﹣4x﹣1=0相切，得圆心C（2，0）到直线的距离d=r=，即，化简得：a2+3a﹣4=0，解得a=1或a=﹣4，由于a＞0，故a=1；由直线m与圆解得切点B（1，2），得l：y=2x；（3分）（2）取AB的中点M，则AM=AB，又，所以，设：OM=x，圆心到直线l的距离为d，由勾股定理得：x2+d2=4，9x2+d2=5，解得，设所求直线的方程为y=kx，，解得，直线；（8分）（3）如图：设A，B两点的纵坐标分别为y1，y2，易知，，易知|y1|+|y2|=|y1﹣y2|，设AB的方程为x=ty，由，消元得（t2+1）y2﹣4ty﹣1=0，=，则．（12分）。

2023-2024学年广东省部分学校高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数，则()A. B. C. D.12.已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是个半圆，则此圆锥的体积为()A.3B.C.9D.3.已知正方体的棱长为2，E，F分别是BC和CD的中点.则两条平行线EF和间的距离为()A. B. C. D.4.端午节吃粽子是我国的一个民俗，记事件“甲端午节吃甜粽子”，记事件“乙端午节吃咸粽子”，且，事件A与事件B相互独立，则()A. B. C. D.5.菏泽市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发展提供了不可多得的实物资料.沉船出土了丰富的元代瓷器，其中的白地褐彩龙风纹罐如图的高约为36cm，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成如图，圆台的上底直径约为20cm，下底直径约为40cm，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为()A. B. C. D.6.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为已知，，若P，Q的余弦距离为则()A. B. C. D.7.在棱长为1的正方体中，，E是线段含端点上的一动点，则①；②面；③三棱锥的体积为定值；④OE与所成的最大角为上述命题中正确的个数是()A.1B.2C.3D.48.已知正方体的棱长为2，M 是棱的中点，空间中的动点P 满足，且，则动点P 的轨迹长度为()A.B.3C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列有关复数的说法正确的是()A.若，则B.C.D.若，则的取值范围为10.已知点，，则下列结论正确的是()A.与向量垂直的向量坐标可以是B.与向量平行的向量坐标可以是C.向量在方向上的投影向量坐标为D.对，向量与向量所成角均为锐角11.在正方体中，，E 是棱的中点，则下列结论正确的是()A.若F 是线段的中点，则异面直线EF 与AB 所成角的余弦值是B.若F 为线段上的动点，则的最小值为C.若F 为线段上的动点，则平面ABF 与平面CDF 夹角的余弦值的取值范围为D.若F 为线段上的动点，且与平面ABCD 交于点G ，则三棱锥的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2020-2021学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A＝{3，4，5，6}，B＝{x|2≤x＜6}，则A∩B＝（）A．{2，3，4}B．{3，4，5}C．{2，3，4，5}D．{3，4，5，6} 2．（5分）复数z的共轭复数是（其中i为虚数单位），则z的虚部是（）A．B．C．D．3．（5分）已知向量＝（﹣3，1），＝（1，﹣2），则向量与夹角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．135°4．（5分）已知一组数据如下：1，2，5，6，11，则该组数据的方差为（）A．12.4B．12.3C．12.2D．12.15．（5分）已知，，则tanα的值为（）A．B．﹣1C．D．﹣26．（5分）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（）A．18倍B．24倍C．36倍D．48倍7．（5分）已知函数，则“”是“f（x）在x＝x0处取得最大值”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知实数a，b，c满足a＞b＞0＞c，则下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）人口普查是世界各国广泛采用的一种搜集人口资料的方法，根据人口普查可以科学地研究制定社会、经济、科教等各项发展政策．如图是我国七次人口普查的全国人口及年均增长率情况．则下列说法正确的是（）A．年均增长率逐次减小B．第二次至第七次普查的人口年均增长率的极差是1.56%C．这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小D．第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大10．（5分）把函数f（x）＝cos x的图象向左平移1个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，下列说法正确的是（）A．函数g（x）的最小正周期为πB．直线x＝π是函数g（x）图象的对称轴C．函数g（x）在区间上的最小值为﹣1D．点为函数g（x）的图象的一个对称中心11．（5分）已知实数x，y，z满足，则下列关系式中可能成立的是（）A．y＝z＞x B．z＝x＞y C．y＞z＞x D．z＞y＞x 12．（5分）如图，在四面体ABCD中，AB＝CD＝，AC＝AD＝BC＝BD＝，若用一个与AB，CD都平行的平面α截该四面体，下列说法中正确的是（）A．异面直线AB与CD所成的角为90°B．平面α截四面体ABCD所得截面周长不变C．平面α截四面体ABCD所得截面不可能为正方形D．该四面体的外接球表面积为6π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）求值：＝．14．（5分）甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为0.8、0.9、0.7，每人各射击一次，三人中靶与否互不影响，则三人中至少有一人中靶的概率为．15．（5分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别为AD，AB的中点，则直线EF与平面BCD1所成角的大小为．16．（5分）已知函数f（x）＝ln（x2+1），，若∀x1∈[﹣1，3]，，f（x1）≥g（x2），则m的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知z，z1，z2均为复数，在复平面内，z1对应的点的坐标为（3，4），z2对应的向量坐标为（0，1），且zz1＝﹣1+7i（其中i为虚数单位）．（1）求z；（2）求|（z+i）z2|．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sin A﹣sin C）2＝sin2B﹣sin A sin C．（1）求B；（2）若b＝1，△ABC的面积为，求△ABC的周长．19．（12分）某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级100名学生进行调查，将收集到的做义工时间（单位：小时）数据分成6组：[0，1），[1，2），[2，3），[3，4），[4，5），[5，6]，（时间均在[0，6]内），已知上述时间数据的第70百分位数为3.5．（1）求m，n的值，并估计这100位学生做义工时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从第二组，第四组中，采用按比例分层抽样的方法抽取6人，再从6人中随机抽取2人，求两个人来自于不同组的概率．20．（12分）如图，在△ABC中，，点E为AC中点，点F为BC的三等分点，且靠近点C，设＝，＝．（1）用，表示，；（2）如果∠ACB＝60°，AC＝2，且CD⊥EF，求|．21．（12分）如图1所示，在矩形ABCD中，AB＝4，，点E为线段AB上一点，AE＝1，现将△BCE沿CE折起，将点B折到点B'位置，使得点B'在平面AECD上的射影在线段AD上，得到如图2所示的四棱锥B'﹣AECD．（1）在图2中，线段B'C上是否存在点F，使得EF∥平面B'AD？若存在，求的值，若不存在，请说明理由；（2）在图2中求二面角B'﹣EC﹣D的大小．22．（12分）已知函数f（x）＝|e x﹣1|．（1）试判断函数f（x）的单调性，并画出函数f（x）图象的草图；（2）若关于x的方程2f2（x）﹣4mf（x）+5m﹣2＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．2020-2021学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知A＝{3，4，5，6}，B＝{x|2≤x＜6}，则A∩B＝（）A．{2，3，4}B．{3，4，5}C．{2，3，4，5}D．{3，4，5，6}【解答】解：∵集合A＝{3，4，5，6}，集合B＝{x|2≤x＜6}，∴A∩B＝{3，4，5}．故选：B．2．（5分）复数z的共轭复数是（其中i为虚数单位），则z的虚部是（）A．B．C．D．【解答】解：∵复数z的共轭复数是（其中i为虚数单位），∴z＝1﹣i，则z的虚部﹣，故选：D．3．（5分）已知向量＝（﹣3，1），＝（1，﹣2），则向量与夹角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【解答】解：根据题意，设向量与夹角为θ，向量＝（﹣3，1），＝（1，﹣2），则||＝，||＝，•＝﹣5，故cosθ＝＝＝﹣，又由0°≤θ≤180°，则θ＝135°，故选：D．4．（5分）已知一组数据如下：1，2，5，6，11，则该组数据的方差为（）A．12.4B．12.3C．12.2D．12.1【解答】解：根据题意，一组数据如下：1，2，5，6，11，其平均数＝＝5，则其方差S2＝[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（11﹣5）2]＝12.4，故选：A．5．（5分）已知，，则tanα的值为（）A．B．﹣1C．D．﹣2【解答】解：∵，，∴2sinαcosα＝﹣sinα，∴cosα＝﹣．∵，∴α＝．∴tanα＝tan＝﹣tan＝﹣．故选：A．6．（5分）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，已知经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（）A．18倍B．24倍C．36倍D．48倍【解答】解：某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，设湖泊中原来蓝藻数量为a，则a（1+6.25%）30＝6a，∴经过60天后该湖泊的蓝藻数量为：y＝a（1+6.25）60＝a[（1+6.25%）30]2＝36a．∴经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍．故选：C．7．（5分）已知函数，则“”是“f（x）在x＝x0处取得最大值”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：，所以当，时，f（x）有最大值2；所以“”是“f（x）在x＝x0处取得最大值”的充分不必要条件．故选：A．8．（5分）已知实数a，b，c满足a＞b＞0＞c，则下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、∵a＞b＞0，∴＜，∴，∴A错误，B、∵a＞b＞0，∴﹣＝＝＜0，∴B正确，C、当a＝2，b＝1，c＝﹣1时，∵＝，＝1，∴＜，∴C错误，D、当a＝8，b＝1，c＝﹣1时，＝﹣，＝﹣1，∴＞，∴D错误，故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）人口普查是世界各国广泛采用的一种搜集人口资料的方法，根据人口普查可以科学地研究制定社会、经济、科教等各项发展政策．如图是我国七次人口普查的全国人口及年均增长率情况．则下列说法正确的是（）A．年均增长率逐次减小B．第二次至第七次普查的人口年均增长率的极差是1.56%C．这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小D．第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大【解答】解：由图可知，第三次增幅最大，之后增幅减小，所以年增长率是先增后减的，故选项A错误；第二次至第七次普查的人口年均增长率的极差是2.09%﹣0.53%＝1.56%，故选项B正确；由图可知，这七次普查的人口数逐次增加，且第七次增幅最小，故选项C错误；由图可知，第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大，故选项D正确．故选：BD．10．（5分）把函数f（x）＝cos x的图象向左平移1个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，下列说法正确的是（）A．函数g（x）的最小正周期为πB．直线x＝π是函数g（x）图象的对称轴C．函数g（x）在区间上的最小值为﹣1D．点为函数g（x）的图象的一个对称中心【解答】解：由题意知，g（x）＝cos（2x+1），对于A，最小正周期T＝＝π，即选项A正确；对于B，令2x+1＝kπ，k∈Z，则g（x）图象的对称轴为x＝+，k∈Z，显然x＝π不符合，即选项B错误；对于C，∵，∴2x+1∈[0，4]，当2x+1＝π，即x＝时，f（x）min＝f（）＝﹣1，即选项C正确；对于D，令2x+1＝+kπ，k∈Z，则x＝﹣+，k∈Z，∴g（x）图象的对称中心为（﹣+，0）k∈Z，当k＝0时，g（x）图象的对称中心为（﹣，0），即选项D正确．故选：ACD．11．（5分）已知实数x，y，z满足，则下列关系式中可能成立的是（）A．y＝z＞x B．z＝x＞y C．y＞z＞x D．z＞y＞x【解答】解：如图，x，y，z的关系有下列三种情况：y＞z＞x，y＝z＞x，z＞y＞x，由图象可看出，z与x不可能相等，∴B错误，ACD都正确．故选：ACD．12．（5分）如图，在四面体ABCD中，AB＝CD＝，AC＝AD＝BC＝BD＝，若用一个与AB，CD都平行的平面α截该四面体，下列说法中正确的是（）A．异面直线AB与CD所成的角为90°B．平面α截四面体ABCD所得截面周长不变C．平面α截四面体ABCD所得截面不可能为正方形D．该四面体的外接球表面积为6π【解答】解：对于A，如图，取CD得中点E，连接BE和AE，∵BC＝BD，AC＝AD，∴BE⊥CD，AE⊥CD，又∵BE∩AE＝E，且BE，AE⊂平面ABE，∴CD⊥平面ABE，∵AB⊂平面ABE，∴CD⊥AB，即异面直线AB与CD所成的角为90°，故A正确；对于B，如图，平面α与四面体的交点分别为F，G，H，P，∵AB∥α，AB⊂平面ABC，且平面ABC∩α＝FG，∴AB∥FG，则FG＝，同理得GH＝，PH＝，FP＝，∵AB＝CD＝，AC＝AB＝BC＝BD＝，∴FG+GH+PH+FP＝（CG+AG+DP+BP）＝2AB＝2，即平面α截四面体ABCD所得截面周长不变，为2，故B正确；对于C，当CG＝AG＝DP＝BP时，即G、P分别是AC，BD的中点，此时GH∥CD，∴GH⊥AB，∵FG∥AB且FG、AB共面，∴FG⊥GH，所以四边形FGHP为正方形，故C错误；对于D，作AB的中点Q，连接EQ，取EQ中点T，易得TA＝TB＝TC＝TD，则T为四面体ABCD外接球的球心，AE＝BE＝，∴EQ＝，则半径R＝TA＝，∴S＝4πR²＝4π×＝6π，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）求值：＝5．【解答】解：原式＝．故答案为：5．14．（5分）甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为0.8、0.9、0.7，每人各射击一次，三人中靶与否互不影响，则三人中至少有一人中靶的概率为0.994．【解答】解：根据题意，甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为0.8、0.9、0.7，则三人都没有中靶的概率P′＝（1﹣0.8）（1﹣0.9）（1﹣0.7）＝0.006，则三人中至少有一人中靶的概率P＝1﹣P′＝0.994；故答案为：0.994．15．（5分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别为AD，AB的中点，则直线EF与平面BCD1所成角的大小为．【解答】解：如图，取D1C中点O，连接DO、OB，则DO⊥D1C，，∵，∴DO⊥BC，∴DO⊥面D1BC，∵EF∥DB，∴∠DBO就是直线EF与平面BCD1所成的角，∵DB＝2DO，∴∠DBO＝．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）＝ln（x2+1），，若∀x1∈[﹣1，3]，，f（x1）≥g（x2），则m的取值范围是（﹣∞，﹣1﹣]∪[﹣1+，+∞）．【解答】解：记f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值为[f（x）]min，g（x）在区间的最大值为[g（x）]max，由题意可知[f（x）]min≥[g（x）]max，由，可得[f（x）]min＝0，由，可得，由g max（x）≤0，得解之，得或，所以，m的取值范围是，故答案为：（﹣∞，﹣1﹣]∪[﹣1+，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知z，z1，z2均为复数，在复平面内，z1对应的点的坐标为（3，4），z2对应的向量坐标为（0，1），且zz1＝﹣1+7i（其中i为虚数单位）．（1）求z；（2）求|（z+i）z2|．【解答】解：（1）由题意知z1＝3+4i，解方程zz1＝﹣1+7i，得，化简得．（2）由题意知z2＝i，则（z+i）z2＝（1+2i）i＝﹣2+i，所以|（z+i）z2|＝|﹣2+i|＝＝．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sin A﹣sin C）2＝sin2B﹣sin A sin C．（1）求B；（2）若b＝1，△ABC的面积为，求△ABC的周长．（1）将（sin A﹣sin C）2＝sin2B﹣sin A sin C，展开得sin2A+sin2C﹣sin2B＝sin A sin C，【解答】解：由正弦定理得a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理得，因为0＜B＜π，所以．（2）根据余弦定理，b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝（a+c）2﹣3ac，因为△ABC的面积为，所以ac＝1，因为b＝1，所以1＝（a+c）2﹣3，解之，得a+c＝2，所以△ABC的周长为a+c+b＝3．19．（12分）某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级100名学生进行调查，将收集到的做义工时间（单位：小时）数据分成6组：[0，1），[1，2），[2，3），[3，4），[4，5），[5，6]，（时间均在[0，6]内），已知上述时间数据的第70百分位数为3.5．（1）求m，n的值，并估计这100位学生做义工时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现从第二组，第四组中，采用按比例分层抽样的方法抽取6人，再从6人中随机抽取2人，求两个人来自于不同组的概率．【解答】解：（1）由于0.05+0.15+m+n+0.11+0.04＝1，则m+n＝0.65，且0.05+0.15+m+（3.5﹣3）×n＝0.7，则m+0.5n＝0.5，于是，那么平均值为，（2）由于第二组和第四组的频率之比为：，则分层抽样抽取的6个人中，来自第二组共有2个人，第四组共有4个人，设两个人来自于不同组为事件A，∵基本事件总数为＝15，，事件A包含的基本事件数为•＝8，∴p（A）＝．20．（12分）如图，在△ABC中，，点E为AC中点，点F为BC的三等分点，且靠近点C，设＝，＝．（1）用，表示，；（2）如果∠ACB＝60°，AC＝2，且CD⊥EF，求|．【解答】解：（1）由图可得＝，＝＝；（2）由（1）可知，，所以，由||＝2，可得||＝3，则＝＝＝．21．（12分）如图1所示，在矩形ABCD中，AB＝4，，点E为线段AB上一点，AE＝1，现将△BCE沿CE折起，将点B折到点B'位置，使得点B'在平面AECD上的射影在线段AD上，得到如图2所示的四棱锥B'﹣AECD．（1）在图2中，线段B'C上是否存在点F，使得EF∥平面B'AD？若存在，求的值，若不存在，请说明理由；（2）在图2中求二面角B'﹣EC﹣D的大小．【解答】解：（1）在B'C上取点F，使得，过F作CD的平行线交B'D于M点，连接EF，AM，因为MF∥CD且，又AE∥CD且，所以AE∥MF且AE＝MF，故四边形AEFM为平行四边形，故EF∥AM，又EF⊄平面B'AD，AM⊂平面B'AD，所以EF∥平面B'AD；（2）如图，记点B'在线段AD上射影为O，过点O作CE的垂线，垂足为N，连接B'N，因为CE⊥ON，CE⊥B'O，ON∩B'O＝O，ON，B'O⊂平面B'ON，所以CE⊥平面B'ON，又B'N⊂平面B'ON，所以CE⊥B'N，则∠B'NO为二面角B'﹣CE﹣D的平面角，在矩形ABCD中，BE＝3，，则CE＝9，，EN＝1，又△EBN∽△OBA，所以，可得，故，则，所以二面角B'﹣EC﹣D的大小为60°．22．（12分）已知函数f（x）＝|e x﹣1|．（1）试判断函数f（x）的单调性，并画出函数f（x）图象的草图；（2）若关于x的方程2f2（x）﹣4mf（x）+5m﹣2＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．【解答】解：（1）当x∈（﹣∞，0）时，函数f（x）为单调减函数，值域为（0，1）；当x∈[0，+∞）时，函数f（x）为单调增函数，值域为[0，+∞）．画出函数f（x）的草图，如图所示：（没有画渐近线的扣1分）（2）∵关于的方程2f2（x）﹣4mf（x）+5m﹣2＝0有两个不等实数根．设t＝f（x）∈[0，+∞），结合图象可知，一元二次方程2t2﹣4mt+5m﹣2＝0有两个不相等的实数根t1，t2，满足下列情况时符合题意：①当0＜t1＜1，t2＜0时，则有解之，得；②当t1＝0，t2≥1时，则由t1＝0得，代入方程得不合题意；③当t1＝t2∈（0，1）时，则△＝16m2﹣8（5m﹣2）＝0，解之，得m＝2或，当m＝2时，t1＝t2＝2（舍去），时，符合题意；④当t1≠t2且都在[1，+∞）内时，则有得m＞2．综上所述，m的范围是．。

2023年深圳市普通高中高一年级调研考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1,2}A =-，{}03B x x =<<，则A B = （）A.{1,1}-B.{1,2}C.{1,0,1}- D.{0,1,2}【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集的概念与运算，准确运算，即可求解.【详解】由集合{}1,0,1,2,{|03}A B x x =-=<<，根据集合交集的概念与运算，可得{}1,2A B = .故选：B.2.设复数z 满足i 1i z =+（i 是虚数单位），则||z =（）A.12B.2C.2D.【答案】D 【解析】【分析】先利用复数的除法法则求出复数z ，然后由复数的求模公式计算出z .【详解】因为i 1i z =+，所以1+i (1+i)(i)1i i i (i)z ⨯-===-⨯-，所以z =故选：D .3.已知tan 2α=，则cos 2=α（）A.35- B.35 C.45-D.45【答案】A 【解析】【分析】由二倍角公式，结合平方关系转化为关于sin ,cos αα的二次齐次式，再化为tan α，代入求值.【详解】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125ααααααααα---=-====-+++.故选：A ．4.某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t ）如下：月份1月2月3月4月5月6月用水量9.09.614.95.94.07.7小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（）A.平均数B.中位数C.极差D.标准差【答案】B 【解析】【分析】根据平均数、中位数、极差的计算公式计算平均数、中位数、极差，再结合标准差的定义即可判断.【详解】实际数据从小到大排序为4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，其平均数为：4.05.97.79.09.614.98.526+++++≈，中位数为：7.79.08.352+=，极差为：14.9 4.010.9-=，录错数据从小到大排序为4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，其平均数为：4.05.97.79.014.99622.926+++++≈，中位数为：7.79.08.352+=，极差为：96 4.092-=，根据标准差的含义，标准差反映数据的离散程度可知，错误的录入一个非常大的数据会导致数据的标准差变化，所以这组数据中没有发生变化的量是中位数.故选：B5.已知m ，n 是空间两条不重合的直线，αβ，是两个不重合的平面，则下列命题错误．．的是（）A.//m α，m β⊂，n αβ= ，则//m nB.//m n ，//m α，n α⊂/，则//n αC.αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥D.αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥【答案】C 【解析】【分析】对于A,由线面平行的性质定理即可判定；对于B ,可利用排除的思想；对于C ,根据条件可直接判定//,m n 或者m 与n 相交，C 错误；对于D ，通过构造平面γ，利用平面与平面所成角的大小即可判定.【详解】对于A,由线面平行的性质定理可知A 正确；对于B ,//m n ，//m α，//n α∴或者n ⊂α，又n α⊂/则//n α，故B 正确；对于C ,由αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则//,m n 或者m 与n 相交或者异面，则m n ⊥不一定成立，故C 错误；对于D ,若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m 与n 一定不平行，否则有//αβ，与已知矛盾，通过平移使m 与n 相交，设m 与n 确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α和β所成的角，又αβ⊥，所以m 与n 所成的角为90︒，故D 正确.故选:D .6.在梯形ABCD 中，若2AB DC =，且ACxAB y AD =+，则x y +=（）A.32B.2C.52D.3【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的基本定理化简，可得答案.【详解】由题意，222AB DC AC AD ==-，化简得12AC AB AD =+ ，即1,12x y ==，则32x y +=，故选：A.7.已知正实数m ，n 满足2m n +=，则下列不等式恒成立的为（）A.ln ln 0m n +≥B.222m n +≤C.112m n+≥ D.+≤【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式逐一分析判断即可.【详解】对于A ，2ln ln ln ln ln102m n m n mn +⎛⎫+=≤== ⎪⎝⎭，当且仅当1m n ==时，取等号，所以ln ln 0m n +≤，故A 错误；对于B ，因为222m n mn +≥，所以()()2222222m nmn mn m n +≥+++=，所以()22222m n m n ++≥=，当且仅当1m n ==时，取等号，所以222m n +≥，故B 错误；对于C ，()1111111222222n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当n mm n =，即1m n ==时，取等号，所以112m n+≥，故C 正确；对于D ，因为m n +≥()22m n m n +≥++，2≤=，当且仅当1m n ==2≤，故D 错误.故选：C.8.已知函数()e elg xxf x x -=++，则不等式()()121f x f x +>-的解集为（）A.()0,2 B.110,,222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.()0,3 D.110,,322⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】判断出函数()f x 的奇偶性和单调性，再由偶函数的定义和增函数的定义化简不等式，得出解集.【详解】函数()e elg xxf x x -=++的定义域为{}0x x ≠，且()()ee lg e e lg xx x x f x x x f x ---=++-=++=，即()f x 是偶函数，当0x >时，()e e lg xxf x x -=++，构造e e x x y -=+，()0,x ∈+∞，令e 1x t =>，则1y t t=+在()1,+∞上单调递增，又e x t =也是增函数，则e e x x y -=+在()0,∞+上单调递增，又lg y x =是定义域内的增函数，故()e elg xxf x x -=++在()0,∞+上单调递增，不等式()()121f x f x +>-等价于()()121fx f x +>-，即12110210x x x x ⎧+>-⎪+≠⎨⎪-≠⎩，平方得：222144110210x x x x x x ⎧++>-+⎪+≠⎨⎪-≠⎩，解得02x <<且12x ≠，则不等式()()121f x f x +>-的解集为110,,222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.()f x 的图象关于5π12x =对称 D.()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】AC 【解析】【分析】通过分析函数的周期，对称性和单调区间即可得出结论.【详解】由题意，在()πcos 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭中，2π2,πT ωω===，A 正确；B 项，∵函数cos y x =关于()ππ,0Z 2k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭对称，∴在()πcos 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭中，()ππ2πZ 62x k k +=+∈，解得：()ππZ 26k x k =+∈，当π12x =-时，Z k ∉，故B 错误.C 项，在函数cos y x =中，函数关于()πZ x k k =∈对称，在()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中，()π2πZ 6x k k +=∈，解得：()1ππZ 212x k k =-∈当1k =时，5π12x =，C 正确；D 项，在函数cos y x =中，函数在()()2π,2ππZ k k k +∈上单调递减，在()πcos 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭中，当函数单调递减时，()π2π<2+<2ππZ 6k x k k +∈，解得：()π5ππ<2<π+Z 1212k x k k -∈，∴()f x 在5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()f x 在5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，D 错误.故选：AC .10.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A =“第一次出现奇数点”，事件B =“两次点数之积为偶数”，事件C =“两次点数之和为5”，则（）A.事件A B ⋃是必然事件B.事件A 与事件B 是互斥事件C.事件B 包含事件CD.事件A 与事件C 是相互独立事件【答案】ACD 【解析】【分析】列出事件A ，B ，C ，AC 的基本事件，再利用事件的基本关系判断.【详解】解：事件A 的基本事件有：()()()()()()()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6，事件B 的基本事件有：()()()()()()()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,3,2,3,4,3,6，()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6，()()()()()()()()()5,2,5,4,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，事件C 的基本事件有：()()()()1,4,4,1,2,3,3,2，事件AC 的基本事件有：()()1,4,3,2，A.事件A B ⋃是必然事件，故正确；B.因为A B ⋂≠∅，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，故错误；C.因为C B ⊆，所以事件B 包含事件C ，故正确；D.因为()()()1814121,,6626696618P A P C P AC ======⨯⨯⨯，所以()()()P A P C P AC ⋅=，所以事件A 与事件C 是相互独立事件，故正确；故选：ACD11.用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如， 1.22[]-=-，[1.5]1=.已知()[]f x x x =+，则（）A.11(22f =B.()f x 为奇函数C.12x x ∃>，使得()()12f x f x <D.方程()31f x x =-所有根的和为32【答案】AD 【解析】【分析】代入计算判断A ，根据奇函数性质判断B ，根据[]x 的定义对函数作差判断C ，根据[]1x x x -<≤求出根的范围，然后化简方程求解方程的根判断D .【详解】对于A ，1111()2222f =+=，正确；对于B ，举反例，当 1.3x =时，(1.3) 1.3 1.3 2.3f =+=，而( 1.3) 1.3 1.3 1.32 3.3f -=-+-=--=-，所以(1.3)( 1.3)f f ≠-，故函数()f x 不是奇函数，错误；对于C ，根据[]x 的定义，可知对12x x ∀>，有12[][]x x ≥，所以()()1211221212[][][][]0f x f x x x x x x x x x -=+--=-+->，所以()()12f x f x >，错误；对于D ，()31f x x =-即[]31x x x +=-，所以2[]10x x --=，即[]21x x =-，又[]1x x x -<≤，所以121x x x -<-≤，解得01x <≤，当1x =时，满足方程，即1x =是方程()31f x x =-的根，当01x <<时，[]x x x +=，方程()31f x x =-化为31x x =-，解得12x =，故方程()31f x x =-所有根的和为13122+=，正确.故选：AD12.在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，且12AB BC CC ===，M 为线段BC 上的动点，则（）A.11AB A M⊥B.三棱锥11C AMB -的体积不变C.11A M C M +的最小值为3+D.当M 是BC 的中点时，过11,,A M C 三点的平面截三棱柱111ABC A B C -外接球所得的截面面积为26π9【答案】ABD 【解析】【分析】由线面垂直证明线线垂直证明选项A ；1111C AMB A B C M V V --=，由底面积和高判断体积验证选项B ；11A M C M +转化为点()和点()2,2到点()0,t 的距离之和，计算验证选项C ；通过构造直角三角形求截面半径，计算体积验证选项D.【详解】连接1A B ，如图所示，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CC ===，11ABA B 为正方形，11AB A B ⊥，90ABC ∠=︒，BC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，1BC AB ⊥，1,A B BC ⊂平面1A BC ，1A B BC B =I ，1AB ⊥平面1A BC ，1A M ⊂平面1A BC ，11AB A M ⊥，A 选项正确；由直三棱柱的结构特征，11111111111143323C AMB A B C M B C M V V S AB B C CC AB --==⋅=⨯⨯⋅⋅= ，故三棱锥11C AMB -的体积为定值，B 选项正确；设BM t =，02t ≤≤，2MC t =-，22222221118A M A A AM A A AB BM t =+=++=+，()222221122C M C C MC t =+=+-，11A M M C +=()和点()2,2到点()0,t的距离之和，最小值为点()-到点()2,2，C 选项错误；当M 是BC 的中点时，13A M=，11AC =1C M =，2221111111112cos 22A M A C C M MA C A M A C +-∠===⋅⋅，11sin 2MA C ∠=，111111111sin 33222MA C S A C A M MA C =⋅⋅∠=⨯⨯= ，112112CC M S =⨯⨯= ，设点C 到平面11MA C 的距离为c h ，由1111C A MC A CC M V V --=，得321c h =⨯，23c h =，直三棱柱111ABC A B C -是正方体的一半，外接球的球心为1AC 的中点O，外接球的半径1112A O A C ==，点O 到平面11MA C 的距离为1123O c h h ==，则过11,,A M C 三点的平面截三棱柱111ABC A B C -263=，截面面积为26π9，D 选项正确.故选：ABD 【点睛】方法点睛：对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键；与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，通过构造直角三角形求半径.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.0lg 2lg 5π+-=______.【答案】0【解析】【分析】利用对数、指数的性质及运算法则直接求解.【详解】0lg 2lg 5πlg101110+-=-=-=.故答案为：014.母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为_____________.【答案】3【解析】【分析】由已知求出底面圆的半径，再由勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式计算即可.【详解】设圆锥的底面半径为r ，由题意，圆锥的母线长为3，且其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则底面周长为2π32π3r ⨯=，解得1r =，则该圆锥的体积为21π133⨯⨯=.故答案为：22π3.15.高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B 在同一水平面内的两个基测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，120BDC ∠=︒，100CD =米，在点C 测得大厦顶A 的仰角60ACB ∠=︒，则该大厦高度AB =_____________米（精确到1米）.1.414≈ 1.732≈.【答案】212【解析】【分析】在BCD △中，利用正弦定理求出BC ，再解Rt ABC △即可.【详解】在BCD △中，15BCD ∠=︒，120BDC ∠=︒，100CD =米，则45CBD ∠=︒，因为sin sin BC CDBDC CBD=∠∠，所以3100222BC ⨯==米，在Rt ABC △中，60ACB ∠=︒，则tan ABACB BC∠==所以1501.414212AB ==≈⨯≈米.故答案为：212.16.四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AB CD 的中点，2AB =，CD =，1EF =，点P 满足0PA PB ⋅=，则PC PD ⋅的最大值为______.【答案】2【解析】【分析】利用向量加法运算及数量积定义得22PC PD PF ⋅=- ，然后利用数量积的运算律得22PF PF PE=⋅，设出向量夹角，从而2cos 2PC PD θ⋅= ，利用余弦函数求解最值即可.【详解】因为PC PF FC =+ ，PD PF FD =+，又点F 分别是CD 的中点，所以FD FC =- ，所以PD PF FC =- ，222221()()22PC PD PF FC PF FC PF FC PF CD PF ⎛⎫⋅=+⋅-=-=-=- ⎪⎝⎭，又0PA PB ⋅= ，所以PA PB ⊥，又点E 分别是AB 的中点，所以112PE AB ==，因为EF PF PE =- ，所以2222()2EF PF PE PF PF PE PE =-=-⋅+ ，即22PF PF PE =⋅，设,PF PE θ= ，PF x = ，则221cos x x θ=⨯⨯⨯，所以2cos x θ=，所以2224cos 22cos 2PC PD x θθ⋅=-=-=，所以当20θ=即0θ=时，cos 2θ有最大值1，即PC PD ⋅有最大值为2.故答案为：2【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时注意数量积运算律的应用.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()sin(2)f x x θ=+，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求θ；（2）若π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域.【答案】（1）π6θ=（2）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）代入π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可求θ的值；（2）根据（1）的结果，首先求的范围，再结合三角函数的性质，求函数的值域.【小问1详解】ππsin 163f θ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得π6θ=；【小问2详解】()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ2π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当ππ266x +=时，即0x =，函数取得最小值12，当ππ262x +=时，即π6x =，函数取得最大值1，所以函数的值域是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18.在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且22cos b c a B =-.（1）求A ；（2）若a =，2c b =，求ABC 的面积S .【答案】（1）π3（2）2【解析】【分析】（1）首先根据正弦定理边角互化，再根据三角恒等变换，计算求得角A ；（2）根据条件结合余弦定理计算边,b c ，再代入面积公式计算即可.【小问1详解】因为ABC 中，22cos b c a B =-，由正弦定理可得sin 2sin 2sin cos B C A B =-，得sin 2sin()2sin cos 2sin cos 2cos sin 2sin cos 2cos sin B A B A B A B A B A B A B =+-=+-=，因为sin 0B >，所以1cos 2A =，因为0πA <<，所以π3A =.【小问2详解】由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，因为a =，2c b =，所以222227423b b b b =+-=，所以3b =±，因为0b >，所以3b =，6c =，所以ABC 的面积为11393sin 362222bc A =⨯⨯⨯=.19.已知函数lo ()g a f x x =（0a >且1a ≠）在[]1,8上的最大值为3.（1）求a 的值；（2）当[]1,8x ∈时，()2()0f x f x t --+≥，求实数t 的取值范围.【答案】（1）2a =；（2）238t ≥.【解析】【分析】（1）分1a >和01a <<两种情况讨论，根据对数函数的单调性得出最大值，列方程解出a 的值；（2）将2()log f x x =代入不等式，参变分离化简，并求出()21log x xg x =-的最大值，可得实数t 的取值范围.【小问1详解】当1a >时，函数lo ()g a f x x =在[]1,8上单调递增，则()()max 8log 83a f x f ===，解得2a =；当01a <<时，函数lo ()g a f x x =在[]1,8上单调递减，则()()max 1log 103a f x f ===≠，舍去；综上可知，2a =；【小问2详解】由（1）得，2()log f x x =，当[]1,8x ∈时，()2()0f x f x t --+≥，即2log 22log 0xx t --+≥，化简得2max 1log t x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，[]1,8x ∈构造()21log x x g x =-，[]1,8x ∈ 2log y x =和1y x=-分别在[]1,8上单调递增，()g x ∴在[]1,8上单调递增，()()2max1238log 888g x g ==-=，故实数t 的取值范围是238t ≥.20.某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图.（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；（2）现从技术参数位于区间[40)50，，[50)60，，[60)70，的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A =“这3件产品中技术参数位于区间[40)50，内的产品至多1件”，事件B =“这3件产品中技术参数位于区间[50)60，内的产品至少1件”，求事件A B ⋂的概率.【答案】（1）37.5，46.7（2）12【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中平均数和百分位数的计算法则计算即可；（2）先利用分层抽样确定各组的抽取产品数，然后列举试验的总的基本事件个数和事件A B ⋂包含的基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图知，样本技术参数的平均数0.01010150.02510250.03010350.0151045⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.01010550.00510650.005107537.5+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，因为前三组的频率之和为0.010100.025100.030100.65⨯+⨯+⨯=，第四组的频率为0.015100.15⨯=，0.650.150.80.75+=>，所以第75百分位数一定在第四组，设第75百分数为x ，则0.65(40)0.0150.75x +-⨯=，解得46.7x ≈，所以第75百分数约为46.7.【小问2详解】采用分层抽样的方法，从技术参数唯一区间[)40,50，[)50,60，[)60,70三组的产品中抽取6件产品，则从技术参数位于区间[)40,50的产品应抽取0.010620.0150.0100.005⨯=++件，记为123,,a a a ，从技术参数位于区间[)50,60的产品应抽取0.015630.0150.0100.005⨯=++件，记为12,b b ，从技术参数位于区间[)60,70的产品应抽取0.005610.0150.0100.005⨯=++件，记为c ，从这6件产品中任选3件产品，样本空间12312112212Ω{(,,),(,,),(,,),(,,),a a a a ab a a b a ac =13113213231232231121112(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),a a b a a b a a c a a b a a b a a c a b b a b c a b c 2122122312313212(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}a b b a b c a b c a b b a b c a b c b b c ，则()20n Ω=，事件A B ⋂包含了三类，一是在这三组分别抽取1件，1件，1件；二是在这三组分别抽取0件，2件，1件；三是在这三组分别抽取1件，2件，0件.则11122122313212{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),A B a b c a b c a b c a b c a b c a b c b b c ⋂=112212312(,,),(,,),(,,)}a b b a b b a b b ，()10n A B ⋂=，所以()101()(Ω)202n A B P A B n ⋂⋂===.21.如图，三棱锥-P ABC 的三个顶点A B C ，，在圆O 上，AB 为圆O 的直径，且6AB =，PA PC ==BC =，平面PAC ⊥平面PCB ，点E 是PB 的中点.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）点F 是圆O 上的一点，且点F 与点C 位于直径AB 的两侧.当//EF 平面PAC 时，画出二面角E BF A --的平面角，并求出它的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）详见解析，4.【解析】【分析】（1）要证明平面PAC ⊥平面ABC ，只需利用线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面PAC 即可；（2）解法一：建立空间坐标系，运用空间向量求解.解法二：作出二面角E BF A --的平面角，利用正切值的定义即可求得二面角的正切值.【小问1详解】因为点C 在圆O 上，AC CB ⊥,因此4AC ==，又222PA PC AC +=，即AP PC ⊥，所以PAC △是等腰直角三角形，由平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC 平面PBC PC =，所以AP ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以可得BCPA ⊥，又BC AC ⊥，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，,PA AC A BC =∴⊥ 平面PAC ，又BC ⊂平面ABC ，所以平面PAC ⊥平面ABC ；【小问2详解】解法一：取AC 的中点M ，连接PM ，则PM AC ⊥，由（1）可知平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，PM ∴⊥平面ABC ，连接OM ，OE ，OF ，则OM 是ABC 中BC 边的中位线，OM AC ∴⊥，OM ⊂平面ABC ，PM OM ∴⊥，即PM ，AC ，OM 两两垂直，以M 为原点，AC ，OM ，PM 分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系如下图：由于O ，E 分别是AB ，PB 的中点，连接BM ，取BM 的中点N ，连接EN ，则有//EN PM ，PM ⊥ 平面ABC ，EN ∴⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，BF EN ∴⊥，过N 点作FB 的垂线，得垂足S ，,,BF NS EN NS N BF ⊥=∴⊥ 平面ENS ，ES ⊂平面ENS ，ES BF ∴⊥，ESN ∴∠就是二面角E BF A --的平面角；//,OE PA OE ∴⊄平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，//OE ∴平面PAC ，又,,OE FE E OE FE =⊂ 平面EFO ，∴平面//EFO 平面PAC ，又OF ⊂平面EFO ，//FO ∴平面PAC ，又平面PAC 平面ABC AC =，FO ⊂平面ABC ，//AC FO ∴，其中12OF AB =，()()()()()2,0,0,2,,0,0,2,1,,3,A B P E F ∴--，()()4,0,1,5,FE FB =-=- ，设平面EFB 的一个法向量为(),,m x y z =，则·0·0m FE m FB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，4050x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，得4y z ==，可得()4m = ；显然平面ABC 的一个法向量()0,0,1n =，设平面ABC 与平面EFB 的二面角为α，则222cos 11m n m nα⋅==⋅ ，综上，二面角E BF A --的余弦值为11，正切值为4.解法二：取BC 的中点M ，连接,,EM OM OE ，如下图所示：又点E 是PB 的中点，所以//EM PC ，EM ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以//EM 平面PAC ；又O 是AB 的中点，所以//OM AC ，OM ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//OM 平面PAC ；,,EM OM M EM OM =⊂ 平面EOM ，所以可知平面//E O M 平面PAC ，又平面EOM ⋂平面ABC OM =，平面PAC 平面ABC AC =，所以//AC OM ，又//EF 平面PAC ，所以EF ⊂平面EOM ，又F 在平面ABC 内，所以,,F O M 三点共线，即//AC FM ；所以四边形ACMF 为直角梯形，易知4,5AC CM MF OF OM ===+=，作AT MF ⊥于点T ，如下图所示：则1FT =，AT =，所以AF =取AC 的中点为Q ，连接PQ ，作//QN AF 交BF 于点N ，连接PN 由（1）可知PQ ⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，所以PQ BF ⊥，又AF BF ⊥，所以QNBF ⊥，且QN PQ Q ⋂=，,QN PQ ⊂平面PQN ，所以BF ⊥平面PQN ，PN ⊂平面PQN ，所以BF PN ⊥；所以PNQ Ð即为二面角P BF A --的平面角，也即E BF A --的平面角；在四边形ACBF 中，QN 交FM 于点S ，如下图所示：易知6QS AF ==2AQ FS ==，5sin 230MBNSMFB BF∠==，可得63NS =，所以463QN QS SN =+=；又2PQ =，所以26tan 4463PQ PNQ QN ∠==；即二面角E BF A --的正切值为64.22.已知函数21()4f x x x =-，()g x kx =，()f x 与g()x 的图象恰有三个交点.（1）求实数k 的取值范围；（2）用max{,}αβ表示,αβ中的最大值，设函数{}()max (),()x f x g x ϕ=(16)x ≤≤，用M ，m 分别表示()ϕx 的最大值与最小值，求M ，m ，并求出M m -的取值范围.【答案】（1）()0,1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）将()f x 写成分段函数的性质，并得到()0,0是两函数的一个交点，考虑0k ≤时，不满足要求，再考虑0k >时，结合两函数的交点横坐标，列出不等式组，求出需要满足的条件；（2）在（1）的基础上，分3k 14≤<，1324k ≤<，1412k <<和104k <≤，求出相应的M ，m ，和M m -的取值范围.【小问1详解】由题意得()2221,041,0441,44x x x f x x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=-+≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，显然()0f x ≥，且()0,0是函数()f x 与g()x 的图象的一个交点，当0k <时，()0g x <在()0,∞+上恒成立，与()f x 的图象无交点，在(),0∞-上，()g x 与()f x 的图象至多有1个交点，不合要求，舍去；当0k =时，()g x 与()f x 的图象有且仅有2个交点()()0,0,4,0，不合要求，舍去；当0k >时，若函数()f x 与()g x 的图象有3个交点，则方程2211,44x x kx x x kx -+=-=均有正根，解得1244,44x k x k =-=+，由0440440k k k >⎧⎪->⎨⎪+>⎩，可得01k <<，所以实数k 的取值范围是()0,1；【小问2详解】由（1）可知，当()0,1k ∈时，()f x 与()g x 的图象有3个交点，两个非零交点的横坐标分别为1244,44x k x k =-=+，当()10,x x ∈时，()()f x g x >，()(){}()max ,f x g x f x =，当[]12,x x x ∈时，()()f x g x ≤，()(){}()max ,f x g x g x =，当()2,x x ∈+∞时，()()f x g x >，()(){}()max ,f x g x f x =，当3k 14≤<时，121,6x x <>，()()()16x g x x ϕ=≤≤，()66M k ϕ==，()1m k ϕ==，155,54M m k ⎡⎫-=∈⎪⎢⎣⎭，当1324k ≤<时，1212,6x x <≤≥，()()()11,1,6f x x x x g x x x ϕ⎧≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，()f x 在[)11,x 上为增函数，且()g x 为增函数，故()x ϕ在[]1,6上为增函数，()66M k ϕ==，()314m f ==，39156,444M m k ⎡⎫-=-∈⎪⎢⎣⎭.当1412k <<时，1223,56x x <<<<，()()()()1122,1,,6f x x x x g x x x x f x x x ϕ⎧≤<⎪=≤≤⎨⎪<≤⎩，且()x ϕ在[]1,2上为增函数，在[)12,x 上为减函数，在[]1,6x 上为增函数，()()()()()11311,14f x f x f ϕϕ===>，()()()()()221,6632f f ϕϕϕ====>，故()63M ϕ==，()314m f ==，94M m -=；当104k <≤时，1234,45x x ≤<<≤，()()()()1122,1,,6f x x x x g x x x x f x x x ϕ⎧≤<⎪=≤≤⎨⎪<≤⎩，且()x ϕ在[]1,2上为增函数，在[)12,x 上为减函数，在[]1,6x 上为增函数，()()()()()11311,14f x f x f ϕϕ===≤，()()()()()221,6632f f ϕϕϕ====>，故()63M ϕ==，()()214444m f x f k k k ==-=-+，29443,34M m k k ⎡⎫-=-+∈⎪⎢⎣⎭；综上，当3k 14≤<时，6,M k m k ==；当1324k ≤<时，36,4M k m ==；当1412k <<时，33,4M m ==；当104k <≤时，23,44M m k k ==-+，M m -的取值范围为9,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。

2022-2021学年广东省深圳高中高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|（x+1）（4﹣x）＜0}，集合B={y|y=2sin3x}，则A∩B=（）A．（﹣1，2]B．（2，4 ）C．[﹣2，﹣1 ）D．[﹣2，2]2．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C．D．f（x）=﹣log2|x|3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+4B．18+8C．28 D．20+84．在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的外形确定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形5．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不行能是（）A．B．C．D．6．已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．35 B．33 C．31 D．297．ABCD为空间四边形，AB=CD，AD=BC，AB≠AD，M、N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与（）A．AC、BD之一垂直B．AC、BD都垂直C．AC、BD都不垂直D．AC、BD不愿定垂直8．设变量x，y 满足，则（x+y）2的最大值是（）A．9 B．3 C．2 D．19．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β10．两圆相交于两点A（1，3）和B（m，n），且两圆圆心都在直线x﹣y﹣2=0上，则m+n的值是（）A．1 B．2 C．3 D．411．一个动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点（3，0）连线中点的轨迹方程是（）A．（x+3）2+y2=4 B．（X﹣3）2+y2=1 C．（X+）2+y2=D．（2x﹣3）2+4y2=112．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ，若=（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（）A．4B．C．6 D．2二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且asinAsinB+bcos2A=a ，则=．14．等差数列{a n}的前n项的和为S n，若a1=24，S17=S10．则S n取最大值时n的值为．15．已知正方体的棱长为a，该正方体的外接球的半径为，则a=．16．曲线与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）17．已知△ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，B为锐角，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos 2﹣1），且．（1）求角B的大小；（2）假如b=2，求S△ABC的最大值．18．如图，正四周体S﹣ABC中，其棱长为2．（1）求该几何体的体积；（2）已知M，N分别是棱AB和SC的中点．求直线BN和直线SM所成的角的余弦值．19．已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC 所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．21．已知数列{a n}的前n项和为S n，设a n是S n与2的等差中项，数列{b n}中，b1=1，b n+1=b n+2．（1）求a n，b n；（2）若数列{b n}的前n项和为B n ，比较++…+与2的大小；（3）令T n =++…+，是否存在正整数M，使得T n＜M对一切正整数n都成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），g（x）=2x2﹣4x﹣16，且|f（x）|≤|g（x）|对x∈R恒成立．（1）求a、b的值；（2）记h（x）=﹣f（x）﹣4，那么当k ≥时，是否存在区间[m，n]（m＜n），使得函数h（x）在区间[m，n]上的值域恰好为[km，kn]？若存在，恳求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．2022-2021学年广东省深圳高中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|（x+1）（4﹣x）＜0}，集合B={y|y=2sin3x}，则A∩B=（）A．（﹣1，2]B．（2，4 ）C．[﹣2，﹣1 ）D．[﹣2，2]考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，即可确定出两集合的交集．解答：解：由A中不等式变形得：（x+1）（x﹣4）＞0，解得：x＜﹣1或x＞4，即A=（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），由B中y=2sin3x，得到﹣2≤2sin3x≤2，即﹣2≤y≤2，∴B=[﹣2，2]，则A∩B=[﹣2，﹣1），故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，娴熟把握交集的定义是解本题的关键．2．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C．D．f（x）=﹣log2|x|考点：函数单调性的推断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数单调性的性质分别进行推断即可．解答：解：A．f（x）=3﹣x在（0，+∞）上为减函数．B．f（x）=x2﹣3x=（x ﹣）2﹣在（0，+∞）上为不单调．C.==1﹣在（0，+∞）上为增函数．D．当x＞0时，f（x）=﹣log2x在（0，+∞）上为减函数．故选：C点评：本题主要考查函数单调性的推断，要求娴熟把握把握常见函数的单调性，比较基础．3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+4B．18+8C．28 D．20+8考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是直三棱柱，由三视图推断三棱柱的高，推断底面三角形的外形及相关几何量的数据，把数据代入表面积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是直角边长为2的等腰直角三角形，斜边长为=2，∴几何体的表面积S=2××2×2+（2+2+2）×4=4+16+8=20+8．故选：D．点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，推断几何体的外形及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．4．在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的外形确定是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：在△ABC中，总有A+B+C=π，利用此关系式将题中：“2cosB•sinA=sinC，”化去角C，最终得到关系另外两个角的关系，从而解决问题．解答：解析：∵2cosB•sinA=sinC=sin（A+B）⇒sin（A﹣B）=0，又B、A为三角形的内角，∴A=B．答案：C点评：本题主要考查三角函数的两角和与差的正弦函数，属于基础题，在判定三角形外形时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，另一个方向是角，走三角变换之路．5．已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不行能是（）。

2017-2018学年广东省深圳市宝安区高一（下）期末数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线xtanπ3+y+2=0的倾斜角α等于（）A. π3B. π6C. 2π3D. −π32.如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[22，30）内的概率为（）A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.63.两直线3ax-y-2=0和（2a-1）x+5ay-1=0分别过定点A、B，则|AB|等于（）A. √895B. 175C. 135D. 1154.某班级有50名学生，现要利用系统抽样在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为13的学生，则在第八组中抽得号码为（）的学生．A. 36B. 37C. 38D. 395.直线y=ax+b和y=bx+a在同一直角坐标系中的图形可能是（）A. B. C. D.6.端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有5个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽2个，白粽1个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，则三种粽子各取到1个概率是（）A. 12B. 13C. 25D. 3107.已知m，n是互不垂直的异面直线，平面α，β分别经过直线m，n，则下列关系中不可能成立的是（）A. m//βB. α//βC. m⊥βD. α⊥β8.如图是计算应纳税所得额的算法流程框图．x表示某人工资，y是某人应交税款．某人工资为4300元时，请计算此人应交税款为（）A. 100B. 160C. 300D. 3259.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x（万元）8.28.610.011.311.9支出y（万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A. 11.4万元B. 11.8万元C. 12.0万元D. 12.2万元10.正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与CD所成的角为（）A. π6B. π4C. π3D. π211.从直线x-y+3=0上的点向圆x2+y2-4x-4y+7=0引切线，则切线长的最小值为（）A. 3√22B. √142C. 3√24D. 3√22−112.做一个游戏：让大家各自随意写下两个小于1的正数，然后请他们各自检查一下，所写的两个数与1是否构成一个锐角三角形的三边，最后把结论告诉你，作为主角的你，只需将每个人的结论记录下来就行了．假设有n个人说“能”，而有m个人说“不能”，那么有此可以算得圆周率π的近似值为（）A. 4mm+n B. 4nm+nC. mm+nD. nm+n二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线l1：mx+3y=2-m，l2：x+（m+2）y=1若l1∥l2，则实数m=______；若l1⊥l2，则实数m=______．14.直线x+2y=0被圆（x-3）2+（y-1）2=25截得的弦长为等于______．15.已知⊙C的方程为x2-2x+y2=0，直线l：kx-y+x-2k=0与⊙C交于A，B两点，当△ABC的面积最大时，k=______．16.某空间几何体的三视图（单位：cm），如图所示，则此几何体侧视图的面积为______cm2，此几何体的体积为______cm3．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高，数据如下：（单位：cm）甲：9，10，11，12，10，20乙：8，14，13，10，12，21．（1）在给出的方框内绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图；（2）分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况．18.如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A（1，2），B（4，0），一条河所在的直线方程为l：x+2y-10=0，若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B两镇的管道最省，那么供水站P应建在什么地方？19.已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ的最小值．20.在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？21.已知函数f（x）=sin2x+√3sin x cosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[-π3，m]上的最大值为32，求m的最小值．22.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（1）求证：C1F∥平面ABE；（2）求三棱锥E-ABC的体积．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵直线xtan+y+2=0的斜率为-tan=，由tanα=，且0≤α＜π，得．故选：C．由直线方程求出直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率得答案．本题考查了直线的倾斜角，考查了倾斜角与斜率的关系，是基础题．2.【答案】B【解析】解：由茎叶图10个原始数据，数据落在区间[22，30）内的共有4个，包括2个22，1个27，1个29，则数据落在区间[22，30）内的概率为=0.4．故选：B．由茎叶图10个原始数据数据，数出落在区间[22，30）内的个数，由古典概型的概率公式可得答案．本题考查古典概型及其概率公式，涉及茎叶图的应用，属基础题．3.【答案】C【解析】解：直线3ax-y-2=0经过定点A（0，-2）．（2a-1）x+5ay-1=0，化为：a（2x+5y）-x-1=0，令，解得x=-1，y=，即直线（2a-1）x+5ay-1=0过定点B．则|AB|==．故选：C．直线3ax-y-2=0经过定点A（0，-2）．（2a-1）x+5ay-1=0，化为：a（2x+5y）-x-1=0，令，解得B．利用两点之间的距离公式即可得出．本题考查了直线系的应用、两点之间的距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】C【解析】解：某班级有50名学生，现要利用系统抽样在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，则抽样间隔为f==5，∵在第三组中抽得号码为13的学生，∴在第八组中抽得号码为：13+（8-3）×5=38号的学生．故选：C．先求出抽样间隔为f==5，由在第三组中抽得号码为13的学生，能求出在第八组中抽得号码．本题考查第八组抽得学生的号码的求法，考查系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.【答案】D【解析】解：A、对于y=ax+b，当a＞0，图象经过第一、三象限，则b＞0，y=bx+a也要经过第一、三象限，所以A选项错误；B、对于y=ax+b，当a＞0，图象经过第一、三象限，则b＜0，y=bx+a经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴上方，所以B选项不正确；C、对于y=ax+b，当a＜0，图象经过第二、四象限，则b＜0，y=bx+a也要经过第二、四象限，所以C选项错误；D、对于y=ax+b，当a＜0，图象经过第二、四象限，若b＞0，则y=bx+a经过第一、三象限，所以D选项正确．故选：D．对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定a、b的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确．本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．6.【答案】C【解析】解：端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有5个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽2个，白粽1个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，基本事件总数n=，三种粽子各取到1个包含的基本事件个数m==4，则三种粽子各取到1个概率是p==．故选：C．基本事件总数n=，三种粽子各取到1个包含的基本事件个数m= =4，由此能求出三种粽子各取到1个概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.【答案】C【解析】解：若m⊥β，则m垂直于面β内的任意一条直线，则m⊥n，与已知条件矛盾故选：C．结合点线面位置关系的判定定理和性质定理，和必要的空间模型，可得答案本题考察直线、平面的位置关系，要求熟练掌握平行和垂直的判定定理与性质定理，有较好的空间想象力8.【答案】D【解析】解：根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量y的值，当x=4300时，y=25+0.1（4300-1300）=325，故选：D．根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量y 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】B【解析】解：由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，代入回归方程可得=8-0.76×10=0.4，∴回归方程为=0.76x+0.4，把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，故选：B．由题意可得和，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可．本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题．10.【答案】B【解析】解：取BD中点O，连结EO、FO，设正四面体的棱长为a，则OF∥CD，OE∥AB，且OF=OE=，∴∠EFO是异面直线EF与CD所成的角，取CD中点G，连结BG、AG，则AG⊥CD，BG⊥CD，∵BG∩AG=G，∴CD⊥平面ABG，∵AB⊂平面ABG，∴CD⊥AB，∴OF⊥OE，∴∠EFO=．∴异面直线EF与CD所成的角为．故选：B．取BD中点O，连结EO、FO，则OF∥CD，OE∥AB，且OF=OE=，从而∠EFO 是异面直线EF与CD所成的角，由此能求出异面直线EF与CD所成的角．本题考查异面直线所成的角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.【答案】B【解析】解：圆x2+y2-4x-4y+7=0化为（x-2）2+（y-2）2=1，圆心为C（2，2），半径为1，如图，直线x-y+3=0上的点向圆x2+y2-4x-4y+7=0引切线，要使切线长的最小，则直线上的点与圆心的距离最小，由点到直线的距离公式可得，|PC|=．∴切线长的最小值为．故选：B．由题意画出图形，求出圆心到直线x-y+3=0的距离，再由勾股定理求得切线长的最小值．本题考查圆的切线方程，考查了直线与圆位置关系的应用，是基础题．12.【答案】A【解析】解：总人数为m+n，写出的m+n组数可以看作是m+n个点，满足与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成点的坐标在圆x2+y2=1内，则，即．故选：A．把每一个人所写两数作为一个点的坐标，由题意可得与1不能构成一个锐角三角形是指两个数构成点的坐标在圆x2+y2=1内，进一步得到，则答案可求．本题考查几何概型，正确理解题意是关键，是中档题．13.【答案】-3 -32【解析】解：当l1∥l2时m（m+2）-3×1=0，解得m=-3或m=1，当m=1时，两直线重合，故l1∥l2，则实数m=-3，当l1⊥l2，则m+3（2+m）=0，解得m=-，故答案为：．根据直线平行与直线垂直的性质即可求出本题考查直线方程中参数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行与直线垂直的性质的合理运用．14.【答案】4√5【解析】解：由圆（x-3）2+（y-1）2=25，得到圆心坐标为（3，1），半径r=5，∴圆心到直线x+2y=0的距离d==，则直线被圆截得的弦长为2=4．故答案为：4由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线x+2y=0的距离d，利用垂径定理及勾股定理即可求出直线被圆截得的弦长．此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦心距，圆的半径及弦长的一半构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．15.【答案】0或6【解析】解：圆的方程化为（x-1）2+y2=1，圆心C（1，0），半径为1，直线方程化为k（x-2）=y-x，过定点（2，2），设∠ACB=θ，则S△ABC=sinθ=sinθ，当θ=90°时，△ABC的面积最大，此时圆心到直线的距离为，d==，解得k=0或k=6，故答案为：0或6当∠ACB=90°时，三角形面积最大．由此求得圆心到直线的距离．再根据点到直线的距离公式列式解得．本题考查了直线与圆相交的性质．属中档题．16.【答案】2√76√7【解析】解：该几何体是以正视图为底面的四棱锥（如图），几何体的侧视图是直角三角形，直角边长为4，，其面积为：由已知中的三视图可知：该几何体是以正视图为底面的四棱锥，其高为h=．S ABCD=此几何体的体积为V==故答案为：由已知中的三视图可知：该几何体是以正视图为底面的四棱锥，计算出几何体的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．属于中档题．17.【答案】解：（1）由甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高数据， 作出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图如下： 甲 株高 乙 92 1 0 00 0 1 2 8 4 3 2 0 1-----------------（4分）（2）x 甲=16（9+10+10+11+12+20）=12，x 乙=16（8+10+12+13+14+21）=13， S 甲2=16[（9-12）2+（10-12）2+（10-12）2+（11-12）2+（12-12）2+（20-12）2]=413， S 乙2=16[（8-13）2+（10-13）2+（12-13）2+（13-13）2+（14-13）2+（21-13）2]=503． ∵x 甲＜x 乙，S 甲2＜S 乙2，--------------（8分）乙麦苗普遍长得偏高，但是高低差异明显．----------------（10分）【解析】（1）由甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高数据，能作出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图．（2）分别求出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差，由此能判断甲、乙两种麦苗的长势情况．本题考查茎叶图的作法，考查平均数、方差的求法，考查茎叶图、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.【答案】解：过A 作直线l 的对称点A ′，连A ′B 交l 于P ，∵|AP ′|+|P ′B |=|A ′P ′|+|BP ′|＞|A ′B |，∴P 点即为所求．设A ′（a ，b ），则{a+12+2⋅b+22−10=0b−2a−1⋅(−12)=−1， 即{b =2a a+2b=15，解得a =3，b =6，即A ′（3，6），∴直线A ′B 的方程为y−06−0=x−43−4，即6x +y -24=0，由{x +2y −10=06x+y−24=0，解得x =3811，y =3611，即P （3811，3611），故供水站P 应建在P （3811，3611），才能使管道最省．【解析】根据两点间的距离公式以及点的对称性，建立方程组关系进行求解即可． 本题主要考查直线对称性的应用，以及直线交点坐标的求解，利用数形结合是解决本题的关键，是中档题．19.【答案】解：（1）∵|PQ |=|PA |，∴|PQ |2=|PA |2，又∵|PQ |2=|PO |2-1，∴a 2+b 2-1=（a -2）2+（b -1）2 ，∴整理得实数a ，b 间满足的等量关系为2a +b -3=0，（2）由（1）可知∵|PQ |2=|PO |2-1=a 2+b 2-1且2a +b -3=0，∴|PQ|2=5a 2−12a +8=5(a −65)2+45≥45，∴(|PQ|)min =2√55． 【解析】（1）∵|PQ|=|PA|，∴|PQ|2=|PA|2又∵|PQ|2=|PO|2-1，再用两点间的距离公式，化简即得；（2）用两点间的距离公式变成二次函数求最小值．本题考查了圆的切线方程，属中档题．20.【答案】解：把3只黄色乒乓球标记为A 、B 、C ，3只白色的乒乓球标记为1、2、3．从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC 、AB 1、AB 2、AB 3、AC 1、AC 2、AC 3、A 12、A 13、A 23、BC 1、BC 2、BC 3、B 12、B 13、B 23、C 12、C 13、C 23、123，共20个 （1）事件E ={摸出的3个球为白球}，事件E 包含的基本事件有1个，即摸出123： P （E ）=120=0.05（2）事件F ={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F 包含的基本事件有9个， P （F ）=920=0.45（3）事件G ={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}， P （G ）=220（4）=0.1，假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G 发生有10次，不发生90次．则一天可赚90×1-10×5=40，每月可赚1200元【解析】（1）先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为白球只有一种结果，根据概率公式得到要求的概率，本题应用列举来解，是一个好方法．（2）先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为2个黄球1个白球从前面可以看出共有9种结果种结果，根据概率公式得到要求的概率．（3）先列举出所有的事件共有20种结果，根据摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱，算一下摸出的球是同一色球的概率，估计出结果．本题是一个通过列举来解决的概率问题，是一个实际问题，这种情景生活中经常见到，同学们一定比较感兴趣，从这个题目上体会列举法的优越性和局限性．21.【答案】解：（I）函数f（x）=sin2x+√3sin x cosx=1−cos2x2+√32sin2x=sin（2x-π6）+12，f（x）的最小正周期为T=2π2=π；（Ⅱ）若f（x）在区间[-π3，m]上的最大值为32，可得2x-π6∈[-5π6，2m-π6]，即有2m-π6≥π2，解得m≥π3，则m的最小值为π3．【解析】（I）运用二倍角公式的降幂公式和两角差的正弦公式和周期公式，即可得到所求值；（Ⅱ）求得2x-的范围，结合正弦函数的图象可得2m-≥，即可得到所求最小值．本题考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和三角函数的周期公式、最值，考查运算能力，属于中档题．22.【答案】（1）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG=12AC；∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（2）∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=√3，∴V E−ABC=13S△ABC⋅AA1=13×12×√3×1×2=√33．【解析】（1）取AB中点G，连接EG，FG，证明FG∥EC1，推出C1F∥EG，然后利用直线与平面平行的判定定理证明C1F∥平面ABE；（2）说明AB⊥BC，求出AB，然后求解几何体的体积即可．本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．。

一、选择题1．(0分)[ID ：12727]设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A ．5B ．7C ．9D ．112．(0分)[ID ：12723]已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -的最小值为（ ） A ．43 B ．10C ．10D ．83．(0分)[ID ：12721]已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．1 B ．4C ．1或4D ．2或44．(0分)[ID ：12717]设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，//m β，则//αβC ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥5．(0分)[ID ：12708]某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．73B ．8π3- C ．83D ．7π3- 6．(0分)[ID ：12705]已知()()()sin cos ,02f x x x πωϕωϕωϕ=+++＞，＜，()f x 是奇函数，直线2y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（ ） A ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 7．(0分)[ID ：12686]我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为A ．21+B ．31+C ．2232+ D ．332+ 8．(0分)[ID ：12679]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A ．12尺 B ．815尺 C ．1629尺 D ．1631尺 9．(0分)[ID ：12631]设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 10．(0分)[ID ：12668]已知1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．58-B ．58 C ．78-D ．7811．(0分)[ID ：12667]若函数()sin cos f x x x ωω=-(0)>ω在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值不可能为（ ）A ．14B ．15C ．12D ．3412．(0分)[ID ：12666]已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-13．(0分)[ID ：12656]某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生14．(0分)[ID ：12650]下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④15．(0分)[ID ：12697]已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x -4）=f （x ），且在区间[0，2]上f （x ）=x ，若关于x 的方程f （x ）=log a |x |有六个不同的根，则a 的范围为（ ） A ．()6,10B ．()6,22C ．()2,22D ．（2，4）二、填空题16．(0分)[ID ：12818]在ABC ∆中，若3B π=，3AC =，则2AB BC +的最大值为__________．17．(0分)[ID ：12816]在区间[]0,1上随机选取两个数x 和y ，则满足20-<x y 的概率为________．18．(0分)[ID ：12811]已知函数32()21f x x x ax =+-+在区间上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围是____________ 19．(0分)[ID ：12794]若21cos 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 20．(0分)[ID ：12761]在四面体ABCD 中，=2,60,90AB AD BAD BCD =∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒，则四面体ABCD 外接球的半径为__________． 21．(0分)[ID ：12757]在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°，则塔高为22．(0分)[ID ：12740]从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______23．(0分)[ID ：12729]若()1,x ∈+∞，则131y x x =+-的最小值是_____． 24．(0分)[ID ：12750]如图，某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为________．25．(0分)[ID ：12749]若两个向量a 与b 的夹角为θ，则称向量“a b ⨯”为向量的“外积”，其长度为sin a b a b θ⨯=.若已知1a =，5b =，4a b ⋅=-，则a b ⨯= . 三、解答题26．(0分)[ID ：12908]从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如下： 甲 8 9 7 9 7 6 10 10 8 6 乙10986879788(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差； (2)比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛． 27．(0分)[ID ：12886]已知函数21()3cos cos 2f x x x x ωωω=-+(0)>ω，1x ，2x 是函数()f x 的零点，且21x x -的最小值为2π. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）设,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若13235f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，15521213f πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求cos()αβ-的值.28．(0分)[ID ：12881]已知平面向量()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥.（1）求b 和c ；（2）若2m a b =-，n a c =+，求向量m 与向量n 的夹角的大小. 29．(0分)[ID ：12866]已知平面向量a ，b 满足1a b ==. （1）1a b -=，求a 与b 的夹角；（2）若对一切实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，求a 与b 的夹角θ. 30．(0分)[ID ：12837]已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为()4,2A --，()4,2B ，()13C ，．（1）求边AB 上的高所在直线的一般式方程； （2）求边AB 上的中线所在直线的一般式方程.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A 7．C 8．C 9．D 10．C 11．D12．C13．C14．C15．A二、填空题16．【解析】【分析】【详解】设最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理三角形内角和将边长用一内角表示转化为三角函数求最值只需将三角函数化简为的形式17．【解析】概率为几何概型如图满足的概率为18．【解析】【分析】【详解】由题意则解得-1＜a＜7经检验当a=-1时的两个根分别为所以符合题目要求时在区间无实根所以19．【解析】【分析】根据诱导公式将三角函数式化简可得再由诱导公式及余弦的二倍角公式化简即可得解【详解】因为化简可得即由诱导公式化简得而由余弦的二倍角公式可知故答案为:【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数20．【解析】画出图象如下图所示其中为等边三角形边的中点为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方也在点的正上方依题意知在中所以外接圆半径21．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设塔高为x则可知a表示的为塔与山之间的距离可以解得塔高为考点：解三角形的运用点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用属于中档题22．【解析】【分析】【详解】解：从1234这四个数中一次随机取两个数有（12）（13）（14）（23）（24）（34）共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种即（12）（24）；则其概率为；故答23．【解析】【分析】由已知可知然后利用基本不等式即可求解【详解】解：（当且仅当取等号）故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键是配凑积为定值属于基础试题24．【解析】【分析】由三视图知几何体是半个圆锥圆锥的底面半径是1母线长是2得到圆锥的高利用圆锥体积公式得到结果【详解】由三视图知该几何体是半个圆锥圆锥的底面半径是1母线长是2∴圆锥的高是∴几何体的体积是25．3【解析】【分析】【详解】故答案为3【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义利用向量的数量积转化是解决本题的关键三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=⨯==，选A. 2．D解析：D 【解析】 【分析】b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-可知||cos ,2b a b <>=-，可求出||2b ≥，求22a b -的最小值即可得出结果.【详解】因为b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-， 所以||cos ,2b a b <>=-，即2||cos ,b a b =-<>，而1cos ,0a b -≤<><，所以||2b ≥，因为2222222(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=-<>+22=1644(2)4||484||b b -⨯⨯-+=+所以22484464a b -≥+⨯=，即28a b -≥，故选D. 【点睛】本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.3．C解析：C 【解析】设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则121282l r S lr +===，， ∴解得28r l ==， 或44r l ==，41lrα==或， 故选C ．4．C解析：C 【解析】 【分析】根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断． 【详解】对于A 选项，若//m α，//n α，则m 与n 平行、相交、异面都可以，位置关系不确定；对于B 选项，若l αβ=，且//m l ，m α⊄，m β⊄，根据直线与平面平行的判定定理知，//m α，//m β，但α与β不平行；对于C 选项，若//m n ，n α⊥，在平面α内可找到两条相交直线a 、b 使得n a ⊥，n b ⊥，于是可得出m a ⊥，m b ⊥，根据直线与平面垂直的判定定理可得m α⊥； 对于D 选项，若αβ⊥，在平面α内可找到一条直线a 与两平面的交线垂直，根据平面与平面垂直的性质定理得知a β⊥，只有当//m a 时，m 才与平面β垂直． 故选C ． 【点睛】本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题．5．B解析：B 【解析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为21118222123233ππ-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=.故选B. 【点睛】本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.6．A解析：A 【解析】 【分析】首先整理函数的解析式为()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数为奇函数可得4πϕ=-，由最小正周期公式可得4ω=，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可. 【详解】由函数的解析式可得：()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 函数为奇函数，则当0x =时：()4k k Z πϕπ+=∈.令0k =可得4πϕ=-.因为直线y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π结合最小正周期公式可得：22ππω=，解得：4ω=.故函数的解析式为：()4f x x =. 当3,88x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，34,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数在所给区间内单调递减； 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()40,x π∈，函数在所给区间内不具有单调性； 据此可知，只有选项A 的说法正确. 故选A . 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=⋅⋅=⋅222111()444AC BC AB ≤+==，当且仅当22AC BC ==时，取等号． ∴122222(1)122222S =⨯⨯⨯+++⨯3222+=． 故选C ．点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．8．C解析：C 【解析】试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，，解得：尺，故选C.考点：等差数列9．D解析：D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.10．C解析：C由题意可得：1sin sin cos 32664ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则217cos 2cos 22cos 121366168πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.本题选择C 选项.11．D解析：D 【解析】∵()sin cos (0)4f x x x x πωωωω⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭∴令22,242k x k k Z ππππωπ-+≤-≤+∈，即232,44k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈ ∵()sin cos (0)f x x x ωωω=->在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 ∴42ππω-≤-且342ππω≥ ∴102ω<≤故选D. 12．C 解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a af x x f x x x=++'=-在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．13．C解析：C 【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.14．C解析：C 【解析】 【分析】用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性. 【详解】对于①，连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP .对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以在平面ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.对于③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以AB 与平面MNP 相交.对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④. 故选：C 【点睛】本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.15．A解析：A 【解析】由()4f x f x -=（）得：4T =，当010]x ∈（，时，函数的图象如图：()()()26102f f f ===，再由关于x 的方程()log a f x x =有六个不同的根，则关于x 的方程()log a f x x =有三个不同的根，可得log 62 log 102a a<⎧⎨>⎩，解得610a ∈（，），故选A.点睛：本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等基本性质，函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出()f x 的周期是4，画出函数的图象，将方程根的个数转化为函数图象交点的个数，得到关于a 的不等式，解得即可.二、填空题16．【解析】【分析】【详解】设最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理三角形内角和将边长用一内角表示转化为三角函数求最值只需将三角函数化简为的形式解析：27【解析】 【分析】 【详解】 设322sin 3sin 32AB BC A θθπθ====⎛⎫- ⎪⎝⎭22sin ,3AB πθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭2sin BC θ=()222sin 4sin 27sin 3AB BC πθθθϕ⎛⎫∴+=-+=+ ⎪⎝⎭，最大值为27考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角函数化简为()22sin cos sin a b a b θθθϕ+=++的形式17．【解析】概率为几何概型如图满足的概率为 解析：14【解析】概率为几何概型，如图，满足20x y -<的概率为2111122=14OABS S ∆⨯⨯=正方形18．【解析】【分析】【详解】由题意则解得-1＜a＜7经检验当a=-1时的两个根分别为所以符合题目要求时在区间无实根所以 解析：17a -≤<【解析】 【分析】 【详解】由题意，2()34f x x x a '=+-，则(1)(1)0f f ''-<，解得-1＜a ＜7，经检验当a=-1时，2()3410f x x x '=++=的两个根分别为121,13x x ，所以符合题目要求，7a =时，2()3410f x x x '=++=,在区间无实根，所以17a -≤<．19．【解析】【分析】根据诱导公式将三角函数式化简可得再由诱导公式及余弦的二倍角公式化简即可得解【详解】因为化简可得即由诱导公式化简得而由余弦的二倍角公式可知故答案为:【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数 解析：78【解析】 【分析】根据诱导公式,将三角函数式21cos 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭化简可得1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,再由诱导公式及余弦的二倍角公式,化简sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可得解. 【详解】 因为21cos 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 化简可得1cos 624ππα⎛⎫--= ⎪⎝⎭,即1cos 264ππα⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦由诱导公式化简得1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭而sin 26πα⎛⎫+⎪⎝⎭cos 226ππα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 26πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭由余弦的二倍角公式可知cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭ 212sin 6πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭2171248⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭故答案为: 78【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数化简中的应用,余弦二倍角公式的简单应用,属于中档题.20．【解析】画出图象如下图所示其中为等边三角形边的中点为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方也在点的正上方依题意知在中所以外接圆半径 解析：213【解析】画出图象如下图所示,其中E 为等边三角形BD 边的中点,1O 为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心O 在E 点的正上方,也在1O 点的正上方.依题意知11132360,,33OEO O E O A ∠===,在1Rt OO E ∆中11tan 601OO O E ==,所以外接圆半径2211421133r OA OO O A ==+=+=. 21．【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意设塔高为x 则可知a 表示的为塔与山之间的距离可以解得塔高为考点：解三角形的运用点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用属于中档题 解析：【解析】 【分析】【详解】试题分析：根据题意，设塔高为x ，则可知00tan 60=,t 2an 30=00200a ax-，a 表示的为塔与山之间的距离，可以解得塔高为．考点：解三角形的运用点评：主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用，属于中档题．22．【解析】【分析】【详解】解：从1234这四个数中一次随机取两个数有（12）（13）（14）（23）（24）（34）共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种即（12）（24）；则其概率为；故答解析：13【解析】 【分析】 【详解】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况； 其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）； 则其概率为2163=； 故答案为13． 解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题．23．【解析】【分析】由已知可知然后利用基本不等式即可求解【详解】解：（当且仅当取等号）故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键是配凑积为定值属于基础试题 解析：33+【解析】 【分析】由已知可知()11y 3x 3x 13x 1x 1=+=-++--，然后利用基本不等式即可求解． 【详解】 解：x 1>，()11y 3x 3x 13x 1x 1∴=+=-++-- ()13x 13233x 1≥-⋅=-，（当且仅当313x =+取等号） 故答案为33． 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．24．【解析】【分析】由三视图知几何体是半个圆锥圆锥的底面半径是1母线长是2得到圆锥的高利用圆锥体积公式得到结果【详解】由三视图知该几何体是半个圆锥圆锥的底面半径是1母线长是2∴圆锥的高是∴几何体的体积是【解析】 【分析】由三视图知几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径是1，母线长是2，得到圆锥的高，利用圆锥体积公式得到结果． 【详解】由三视图知该几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径是1，母线长是2，=∴几何体的体积是2111326π⨯⨯⨯=，【点睛】本题考查由三视图还原几何图形，考查圆锥的体积公式，属于基础题.25．3【解析】【分析】【详解】故答案为3【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义利用向量的数量积转化是解决本题的关键解析：3 【解析】 【分析】 【详解】44155a b a b a b cos cos a b θθ⋅-⋅∴-⨯＝＝＝＝33[0sin 15355sin a b a b θπθθ∈∴⨯=⨯⨯，），＝，＝＝故答案为3. 【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义，利用向量的数量积转化是解决本题的关键，三、解答题 26．（1）的平均数为8,标准差为2,乙的平均数为8,标准差为305；（2）乙 【解析】 【分析】 【详解】(1)根据题中所给数据,则甲的平均数为,乙的平均数为,甲的标准差为,乙的标准差为,故甲的平均数为8,标准差为2,乙的平均数为8,标准差为305; (2),且,乙的成绩较为稳定, 故选择乙参加射箭比赛. 考点：平均数与方差27．(Ⅰ) 1ω= (Ⅱ) ()56cos 65αβ-= 【解析】 【分析】(Ⅰ)利用二倍角公式和辅助角公式整理出()sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据周期求得ω；(Ⅱ)根据()f x 解析式可求解出cos α，sin β；再利用同角三角函数关系求出sin α，cos β；代入两角和差余弦公式求得结果.【详解】(Ⅰ)()2131cos 213cos cos 2222x f x x x x x ωωωωω+=-+=-+ 312cos 2sin 226x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 21x x -的最小值为2π 22T π∴=,即22T ππω== 1ω∴=(Ⅱ)由(Ⅰ)知：()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭123sin sin cos 233625f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1555sin sin sin 2126613f πππβββπβ⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5sin 13β∴= 又,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4sin 5α∴=，12cos 13β= ()3124556cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ∴-=+=⨯+⨯=【点睛】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型.28．（1）()9,12b =，()4,3c =-；（2）34π. 【解析】 【分析】（1）利用共线向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件//a b ，a c ⊥，列方程求出x 、y 的值，可得出向量b 和c 的坐标；（2）求出m 、n 的坐标，利用向量数量积的坐标运算计算出向量m 与向量n 夹角的余弦值，由夹角的取值范围可求出这两个向量夹角的值. 【详解】 （1）()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥，3493440x y =⨯⎧∴⎨⨯+=⎩， 解得123x y =⎧⎨=-⎩，因此，()9,12b =，()4,3c =-；（2）()()()223,49,123,4m a b =-=⨯-=--，()()()3,44,37,1n a c =+=+-=，则374125m n ⋅=-⨯-⨯=-，()(35m ∴=-+-=，271n =+=设m 与n 的夹角为θ，25cos ,255m n m n m n⋅-∴===-⨯⋅，0θπ≤≤，则34πθ=.因此，向量m 与向量n 的夹角为34π. 【点睛】 本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量、向量垂直以及利用坐标计算向量的夹角，解题的关键就是将问题转化为向量的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.29．（1）3π（2）θπ= 【解析】【分析】（1）根据向量数量积的定义及性质即可求解（2）利用平方化简不等式可得22cos 12cos 0x x θθ+⋅--≥恒成立，利用判别式求解即可.【详解】（1）∵1a b ==，21211a b a b ∴-=-⋅+=， 即12a b ⋅=， ∴1cos 2a b θ=， ∴3πθ=.（2）不等式a xb a b +≥+两边平方可得:22cos 12cos 0x x θθ+⋅--≥恒成立， ∴0∆≤，即()24cos412cos 0θθ++≤， 故()2cos 10θ+≤，只能cos 1θ=-，而0θπ≤≤，所以θπ=.【点睛】 本题主要考查了向量的数量积定义，性质，不等式恒成立，属于中档题.30．(1)250x y +-=；(2)30x y -=.【解析】试题分析:(1)根据垂直关系得到12AB k =，过点()13C ，，得到直线方程为：250x y +-=；（2）由中点坐标公式得到()00D ，又因为过点()13C ，故得到中线方程. 解析：（1）∵()4,2A --，()4,2B ，∴12AB k =， ∴边AB 上的高所在直线的一般式方程为，即250x y +-= （2）AB 的中点为D ，∵()4,2A --，()4,2B ∴()00D ，∴边AB 的中线CD 的斜率为3k =， ∴边AB 上的中线CD 的一般式方程为30x y -=。

本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟深圳市2022-2023学年高一下学期期末数学试题.注意事项：1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，留存试卷，交回答题卡.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1,2}A =-，{}03B x x =<<，则A B = （ ） A.{1,1}-B.{1,2}C.{1,0,1}-D.{0,1,2}2.设复数z 满足i 1i z =+（i 是虚数单位），则||z =（ ）A.12 B.23.已知tan 2α=，则cos 2α=（ ） A.35-B.35C.45-D.454．某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t ）如下：月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 用水量9.09.614.95.94.07.7小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（ ） A.平均数B.中位数C.极差D.标准差5.已知m ，n 是空间两条不重合的直线，αβ，是两个不重合的平面，则下列命题错误．．的是（ ） A.//m α，m β⊂，n αβ= ，则//m n B.//m n ，//m α，n α⊂/，则//n α C.αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ D.αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥6.在梯形ABCD 中，若2AB DC = ，且AC x AB y AD =+，则x y +=（ ）A.32B.2C.52D.37.已知正实数m ，n 满足2m n +=，则下列不等式恒成立的为（ ） A.ln ln 0m n +… B.222m n +…C.112m n+…+8.已知函数()e e lg xxf x x -=++，则不等式(1)(21)f x f x +>-的解集为（ ）A.(0,2)B.110,,222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.(0,3)D.110,,322⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（ ） A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C.()f x 的图象关于512x π=对称 D.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 10.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A =“第一次出现奇数点”，事件B =“两次点数之积为偶数”，事件C =“两次点数之和为5”，则（ ） A.事件A B 是必然事件 B.事件A 与事件B 是互斥事件 C.事件B 包含事件CD.事件A 与事件C 是相互独立事件11.用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如，[ 1.2]2-=-，[1.5]1=.已知()[]f x x x =+，则（ ） A.11()22f =B.()f x 为奇函数C.12x x ∃>，使得()()12f x f x <D.方程()31f x x =-所有根的和为3212.在直三棱柱111ABC A B C -中，A.11AB A M ⊥B.三棱锥11C AMB -的体积不变C.11A M C M +的最小值为3+D.当M 是BC 的中点时，过1,,A 三、填空题：本题共4小题，每小13.0lg 2lg 5π+-=_____________. 14.母线长为3的圆锥，其侧面展开图是15.高中数学兴趣小组计划测量某大厦的15BCD ∠=︒，120BDC ︒∠=，AB =_____________米（精确到1米1.414≈1.732≈16.四边形ABCD 中，点E F ，分别是0PA PB ⋅= ，则PC PD ⋅的最大值为90ABC ∠=︒，且12AB BC CC ===，M 为线段1M C 三点的平面截三棱柱111ABC A B C -外接球所得，每小题5分，共20分.开图是圆心角为23π的扇形，则该圆锥的体积为_____大厦的高度，选取与底部B 在同一水平面内的两个基100CD =米，在点C 测得大厦顶A 的仰角∠米）. .732.别是AB CD ，的中点，2AB =，CD =EF 值为_____________. 线段BC 上的动点，则（ ） 球所得的截面面积为269π _____________. 两个基测点C 与D .现测得60ACB =︒，则该大厦高度1=，点P 满足四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()sin(2)f x x θ=+，其中0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且16f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）求θ； （2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域.18.在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且22cos b c a B =-. （1）求A ；（2）若a =，2c b =，求ABC △的面积S .19.已知函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）在[]18，上的最大值为3. （1）求a 的值；（2）当[]18x ∈，时，()2()0f x f x t --+…，求实数t 的取值范围.20.（12分）某工厂引进了一条生产线，技术参数，得到如图所示的频率分布直（1）由频率分布直方图，估计样本技术（2）现从技术参数位于区间[40从这6件产品中任选3件产品，记事件事件B =“这3件产品中技术参数位于产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽分布直方图.本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；50)，，[5060)，，[6070，)的三组中，采用分层抽样的方记事件A =“这3件产品中技术参数位于区间[4050)，数位于区间[5060)，内的产品至少1件”，求事件A B随机抽取100件产品，测量其样的方法抽取6件产品，再0内的产品至多1件”， 的概率.21.如图，三棱锥P ABC -的三个顶点BC =，平面PAC ⊥平面（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC（2）点F 是圆O 上的一点，且点E BF A --的平面角，并求出它的正切顶点A B C ，，在圆O 上，AB 为圆O 的直径，且AB PCB ，点E 是PB 的中点.BC ； F 与点C 位于直径AB 的两侧.当//EF 平面PAC 的正切值. 6=，PA PC ==，AC 时，作出二面角22.已知函数21()4f x x x =-，()g x kx =，()f x 与g()x 的图象恰有三个交点. （1）求实数k 的取值范围；（2）用max{,}αβ表示,αβ中的最大值，设函数{}()max (),()x f x g x ϕ=(16)x 剟，用M ，m 分别表示()x ϕ的最大值与最小值，求M ，m ，并求出M m -的取值范围.。

2022－2023深圳市宝安区高一数学期末考试参考答案一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合. BDADA ACC6.【解析】过滤第一次污染物的含量减少20%，则为1.2(10.2)-； 过滤第两次污染物的含量减少20%，则为21.2(10.2)-； 过滤第三次污染物的含量减少20%，则为31.2(10.2)-；过滤第n 次污染物的含量减少20%，则为1.2(10.2)-n ；要求废气中该污染物的含量不能超过30.2mg /cm ，则1.2(10.2)0.2-≤n ，即5()64≥n，两边取以10为底的对数可得5lg()lg 64≥n，即52lg()lg 2lg38⨯≥+n ， 所以lg 2lg 313lg 2n +≥-，因为lg 20.3,lg30.477≈≈， 所以lg 2lg30.30.4777.7713lg 2130.3++≈=--⨯，所以7.77n ≥，又*n ∈N ，所以min 8n =， 故排放前需要过滤的次数至少为8次． 故选：A ．7.【详解】由题意可得，sin 1cos12π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故246111111cos1112!4!6!224720=-+-+=-+-+10.50.0410.0010.54≈-+-+=.故选：C ． 8.【答案】C【详解】解：根据函数()()Acos f x x ωφ=+（0ω>，22ππφ<<）的部分图象以及圆C 的对称性，可得，M N 、两点关于圆心C 对称，故20323c ππ+==，则1222362T ππππω⎛⎫=⋅=--= ⎪⎝⎭， 解得：2ω=，函数的周期为T π=，故A 错误；∵函数关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称， ∵函数的对称中心为,032k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭， 则当2k =时，对称中心为4,03π⎛⎫⎪⎝⎭，故B 不正确； 函数的一条对称轴为36212x πππ-==， 在x 轴负方向内，接近于y 轴的一条对称轴为512212x πππ=-=-， 由图像可知，函数的单调增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ， 当0k =时，函数的单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故C 正确；()f x 的一条对称轴为512x π=-， ∵函数()f x 的图象向左平移3π个单位后， 此时，所得图象关于直线512312x πππ=-+=-对称，故D 错误. 故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得．．．．．．2．分．，有选错的得0分． 9.AC 10.BCD 11.AB 12.ABC11.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+， 令0x y ==，得(0)2(0)f f =，即 (0)0f =，A 正确，令y x =-，得(0)()()0f f x f x =+-=，即()()f x f x -=-，函数为奇函数，B 正确， 设12x x ∀<，则120x x -<，12)(0f x x ->，由题，1122()()()f x f x x f x =-+，即1212()()()0f x f x f x x -=->， 所以12()()f x f x >，函数()f x 在R 上单调递减，所以C 错误，不等式(1)0f x ->可化为(1)(0)f x f ->，由()f x 在R 上单调递减，所以10x -<，即1x <，不等式解集为(),1-∞，D 错误. 故选：AB.12.【详解】由题意可知：001110202S S V t t -==-，0022200S S V t t -==-，0003212122()S S S V t t t t -==--，有图像可知12t t ＜且122t t ＞，因此0112S V t =022SV t =＜，而221122()20t t t t t --=-＞，所以2212()t t t -＞，因此022S V t =03212()S V t t =-＜，此时123V V V <<，所以A 选项正确； 由01232121112()222()V S V V t t t t -=+-+-，可化为222212121121212211221()4()()202()2()2()t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ----==---＞，故1322V VV +>成立，选项B 正确；选项C ，有图像可知，直线与曲线的交点为012S t ⎛⎫⎪⎝⎭，，故存在()20,i m t ∈，使得()i i V m V =，即当1i m t =时，()11V V V =，故C 选项正确；选项D ，t 时刻的瞬时速度为()V t ，判断平均速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，有图像可知，当1=t t 时，切线方程的斜率最大，故而在此时，平均速度最快，因此，选项D 不正确； 故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 1(0,)214. (0,1) 15. 答案不唯一，指数函数均可 16. (),4-∞16.【详解】因为2y x ax =-+是开口方向向下，对称轴为直线2ax =的一元二次函数， 由()2,125,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩可知，∵当12a<，即2a <时，由二次函数对称性知：必存在12x x ≠，使得()()12f x f x =； ∵当12a≥，即2a ≥时，若存在12x x ≠，使得()()12f x f x =， 则函数图象需满足下图所示：即125a a -+>-，解得：4a <，所以24a ≤<； 综上所述：4a <，从而实数a 的取值范围为(,4)-∞. 故答案为：(,4)-∞.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 【详解】（1）解：因为命题:,p x B x A ∀∈∈是真命题，所以B A ⊆， --------1分 当B =∅时，121m m +>-，解得2m <， --------2分当B ≠∅时，则12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m ≤≤， --------4分综上m 的取值范围为(],3-∞； --------5分（2）解：因为“命题q ：x A ∃∈，x B ∈”是假命题，所以A B ⋂=∅， --------6分 当B =∅时，121m m +>-，解得2m <， --------7分当B ≠∅时，则12115m m m +≤-⎧⎨+>⎩或121212m m m +≤-⎧⎨-<-⎩，解得4m >， --------9分综上m 的取值范围为()(),24,-∞⋃+∞. --------10分18. 【详解】由题意，ysin y cos x tan xααα===,,， （1）因为2y x =，所以2tan α=， --------2分所以222222221351x xy sin cos tan x xy x y sin cos tan ααααααα++++====+++cos . --------4分（2）因为04πα∈(,)，所以01α<<tan ，又11ααααααααα---+=+=++++y x y sin cos sin tan tan x x y cos cos sin tan 211αα=+-+tan tan2121αα=++-+tan tan --------7分令112α=+<<()m tan m ，则22-+=+-+y x y m x x y m， --------8分 令2212=+-<<()()f m m m m， 则()f m在11-()单调递减，在12-,)单调递增，又12=()()f f，所以12=-=-())min f m f ，10<=()()f m f ，所以21-≤<()f m ， --------11分所以-++y x y x x y的取值范围是21-[,). --------12分19.【详解】（1）sin()6x π+的最大值为1，()211f x a ∴=⨯+=，解得：1a =-． --------1分（2）由（1）可知()2sin()16f x x π=+-．根据三角函数的性质可得：[262x k πππ+∈+，32]()2k k Z ππ+∈． --------3分 即322262k x k πππππ+++，()k ∈Z 解得：42233k x k ππππ++，()k ∈Z ， --------6分 ()f x ∴的单调递减区间为42,2,33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ； --------7分 （3）由题意：()0f x ，即2sin()106x π+-，可得：1sin()62x π+． --------8分522666k x k πππππ∴+++，()k ∈Z ． 解得：2223k x k πππ+．()k ∈Z --------11分 ()0f x ∴成立的x 的取值范围是2|22,3x k xk k πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z ． --------12分 20.【详解】（1）因为22()()(0)f x f x x x x+-=+≠∵，所以22()()(0)f x f x x x x-+=--≠∵，联立∵∵解得2()(0)f x x x x =+≠. --------3分当[3,x ∈-时()f x 为增函数，[1]x ∈-时()f x 为减函数， 因为()(()113,133f f f -=-=--=- 所以11(),3f x ⎡∈--⎢⎣ --------6分（2）对1x ∀，2(2,4)x ∈，12x x ≠，都有()()212121()f x f x kk R x x x x ->∈-⋅，不妨设2142x x >>>，则由()()()()()21212121212112f x f x k x x k k k f x f x x x x x x x x x -->⇒->=--⋅⋅()()2121k k f x f x x x ⇒+>+恒成立，也即可得函数2()()k k g x f x x x x+=+=+在区间（2，4）递增； --------8分当20k +=，即2k =-时，满足题意； --------9分 当20k +<，即2k <-时，()()2k k g x f x x x x --⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭为两个在(0,)+∞上单调递增函数的和，则可得()g x 在(0,)+∞单调递增，从而满足()g x 在（2，4）递增，符合题意； --------10分当20k +>，即2k >-时，2()k g x x x+=+，其在递减，在)+∞递增，若使()g x 在（2，4222k ⇒-<≤； 综上可得：(,2]k ∈-∞ --------12分21.【详解】(1)依题意，()2f x ≥-有实数解，即不等式2(1)0ax a x a +-+≥有实数解， 当0a =时，0x ≥有实数解，则0a =， --------1分当0a >时，取0x =，则2(1)0ax a x a a +-+=>成立，即2(1)0ax a x a +-+≥有实数解，于是得0a >， --------2分当a<0时，二次函数2(1)y ax a x a =+-+的图象开口向下，要0y ≥有解，当且仅当221(1)4013a a a ∆=--≥⇔-≤≤，从而得10a -≤<， --------3分综上，1a ≥-，所以实数a 的取值范围是1a ≥-； --------4分(2)不等式()2f x ≥-对于实数[]1,1a ∈-时恒成立，即2[1,1],(1)0a x x a x ∀∈--++≥， 显然210x x -+>，函数2()(1)g a x x a x =-++在[]1,1a ∈-上递增，从而得(1)0g -≥，即2210x x -+-≥，解得1x =，所以实数x 的取值范围是{1}； --------6分 (3) 不等式2()1(1)10f x a ax a x <-⇔+--<， 当0a =时，1x <， --------7分当0a >时，不等式可化为1()(1)0x x a +-<，而10a -<，解得11x a -<<， --------8分当a<0时，不等式可化为1()(1)0x x a+->，当11a-=，即1a =-时，,1x R x ∈≠， --------9分 当11a -<，即1a <-时，1x a<-或1x >， --------10分 当11a ->，即10a -<<时，1x <或1x a>-， --------11分 所以，当0a =时，原不等式的解集为(,1)-∞，当0a >时，原不等式的解集为1(,1)a-，当10a -≤<时，原不等式的解集为1(,1)(,)a-∞⋃-+∞，当1a <-时，原不等式的解集为1(,)(1,)a -∞-⋃+∞. --------12分22.【详解】（1）当1n =时，()()()21,11,1x x x f x x x x ⎧--<⎪=⎨-≥⎪⎩，当1x <时，()()22122f x x x x x =--=-+，则()f x 开口向下，对称轴为12x =， 故()f x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则()max 1122f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当1x ≥时，()()21f x x x x x =-=-，则()f x 开口向上，对称轴为112x =<，故()f x 在[)1,+∞上单调递增，令()12f x =，即212x x -=，解得x = -------2分又()00f =，()10f =，所以()f x 的图像如图，因为对任意的121,,2x x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()()21max h f x f x =-，即h 为()f x 在1,2m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值与最小值的差的绝对值，结合图像得，当112m ≤<时，()()()()max min 2112222h m f f m f x f m x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭=-21222m m =-+；当1m ≤时，()()()max min 11110222h f x f x f f ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭；当m ≥()()()()2max min 1h f x f x f m f m m =-=-=-； 综上：()221122,1221,12,m m m h m m m m m ⎧-+≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩. --------6分.（2）法一：当0n =时，()()()21,01,nx x x n f x nx x x n ⎧--<⎪==⎨-≥⎪⎩，故()f x x -=0只有一个根0x =，故0n ≠， 当x n <时，()()()221221f x x nx x x nx n x -=---=-+-，则()f x x -=0可能有两个根0x =或212n x n-=； 当x n ≥时，()()()211f x x nx x x nx n x -=--=-+，则()f x x -=0可能有两个根0x =或1n x n+=； 所以当()f x x -=0有3个不同的根时，这三个根必为0x =、212n x n -=或1n x n+=，而0x =要么是x n <时()f x x -=0的根，要么是x n ≥时()f x x -=0的根，即0x =必是()f x x -=0的根， --------9分所以要使得212n x n -=或1n x n +=为()f x x -=0的根，只需要2121n n n n n n-⎧<⎪⎪⎨+⎪≥⎪⎩，当0n >时，则22221010n n n n ⎧-+>⎨--≤⎩，解得Rx n ∈⎧≤≤，故0n <≤当0n <时，则22221010n n n n ⎧-+<⎨--≥⎩，解得x n ∈∅⎧⎪⎨≤⎪⎩x n ∈∅⎧⎪⎨≥⎪⎩x ∈∅； --------11分又因为102n=<≤时，21=02n n -，不合题意； 所以当()f x x -=0有3个不同的根时，0n <≤12n ≠，即n 的取值范围为110,22⎛⎛⎫⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎦. --------12分 法二：当x n <时，()()21f x nx x =--，则()f x x -=0可化得()210nx x x ---=，即()2210nx n x ⎡⎤--=⎣⎦， (i)当0n =时，0x <，故()f x x -=0，即0-=x 无解； (ii)当0n ≠时，()f x x -=0可能有两个解0x =或211122n x n n-==-； 当0n <时，0x n <<，故0x =不是()f x x -=0的解， 而2111022n x n n-==->，即212n x n -=也不是()f x x -=0的解，故()f x x -=0无解；当0n >时，0x =必然是()f x x -=0的一个解， 又由x n <得212n n n-<，整理得22210n n -+>，由()2Δ24240=--⨯=-<可知22210n n -+>恒成立，故()f x x -=0有两个解0x =或212n x n-=； 所以当0n ≤时，()f x x -=0无解；当0n >时，()f x x -=0有两个解0x =或212n x n-=. --------9分当x n ≥时，()()1f x nx x =-，则()f x x -=0可化得()10nx x x --=，即()10nx n x ⎡⎤-+=⎣⎦， i)当0n =时，0x ≥，故()f x x -=0只有一个解0x =；ii)当0n ≠时，()f x x -=0可能有两个解0x =或1n x n+=， 当0n <时，0x =必然是()f x x -=0的一个解，又由x n ≥得1n n n +≥，整理得210n n --≥，解得n ≤即当n ≤()f x x -=0有两个解0x =或1n x n +=0n <<时，()f x x -=0只有一个解0x =；当0n >时，0x n ≥>，故0x =不是()f x x -=0的解，又由x n ≥得1n n n +≥，整理得210n n --≤，解得0n <≤即当0n <≤()f x x -=0只有一个解1n x n +=；当n >()f x x -=0无解；所以当n ≤()f x x -=0有两个解0x =或1n x n +=0n <≤时，()f x x -=0只有一个解0x =；当0n <≤()f x x -=0只有一个解1n x n +=；当n >()f x x -=0无解. --------11分综合x n <与x n ≥两种情况可得，当n ≤()f x x -=0有两个解0x =或1n x n +=；0n <≤时，()f x x -=0只有一个解0x =；当0n <≤()f x x -=0有三个解0x =、212n x n -=或1n x n +=；当n >()f x x -=0有两个解0x =或212n x n-=.又因为102n=<≤时，21=02n n -，不合题意；所以当()f x x -=0有3个不同的根时，0n <≤12n ≠，即n 的取值范围为110,22⎛⎛⎫⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎦. --------12分。