2019年中考数学复习第4单元图形的初步认识与三角形第21课时图形的相似检测湘教版(含答案)133

第四章图形相似与相似三角形知识点解读知识点1.．相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。

（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到．（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同．（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关．例1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？例2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________(填序号)．知识点2．比例线段对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a cb d =（或a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．解读：（1）四条线段a,b,c,d成比例，记作a cb d=（或a:b=c:d），不能写成其他形式，即比例线段有顺序性．（2）在比例式a cb d=（或a:b=c:d）中，比例的项为a,b,c,d，其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，d是第四比例项．（3）如果比例内项是相同的线段，即a bb c=或a:b=b:c，那么线段b叫做线段和的比例中项。

(4)通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等．例3．已知线段a=2cm, b=6mm, 求ab．例4．已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=32dm，求c的长度．知识点3．相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系．（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性．例5．若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是多少？知识点4．相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．解读：（1）相似三角形是相似多边形中的一种；（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；（4）相似用“∽”表示，读作“相似于”；（5）相似三角形的对应边之比叫做相似比．注意：①相似比是有顺序的，比如△ABC∽△A1B1C1，相似比为k,若△A1B1C1∽△ABC，则相似比为1k。

课时训练(二十一)图形的相似|夯 实 基 础|一、选择题1．[2017·兰州]已知2x ＝3y(y≠0)，则下面结论成立的是( ) A.x y ＝32 B.x 3＝2y C.x y ＝23 D.x 2＝y 32．[2017·杭州]如图K21－1，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD ＝2AD ，则( ) A.AD AB ＝12 B.AE EC ＝12 C.AD EC ＝12 D.DE BC ＝12K21－1K21－23．[2017·成都]如图K21－2，四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′是以点O 为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′的面积比为( )A ．4∶9B ．2∶5C ．2∶3 D.2∶ 34．[2017·永州]如图K21－3，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD ＝1，AC ＝2，△ADC 的面积为1，则△BCD 的面积为( )图K21－3A ．1B ．2C ．3D ．45．宽与长的比是5－12(约0.618)的矩形叫作黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感，我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画圆弧，交BC 的延长线于点H.则图②中的矩形是黄金矩形的是( )图K21－4A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFHGD ．矩形DCHG6．[2017·枣庄]如图K21－5，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )图K21－5图K21－6二、填空题7．[2017·湘潭]如图K21－7，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，则△ADE 与△A BC 的面积比S △ADE ∶S △ABC＝________．图K21－78．[2017·长沙]如图K21－8，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到△A ′B ′O ，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是________．图K21－8三、解答题9．[2017·凉山]州如图K21－9，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC 三个顶点分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)．(1)画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)以原点O 为位似中心，在x 轴的上方画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2，并求出△A 2B 2C 2的面积．图K21－910．[2017·宿迁]如图K21－10，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在边BC 上移动(点E 不与点B ，C 重合)，满足∠DEF ＝∠B，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC.图K21－1011．[2017·凉山]州如图K21－11，若要在宽AD 为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC 长2米，且与灯柱AB 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO 与灯臂BC 垂直，当灯罩的轴线CO 通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB 高应该设计为多少米(结果保留根号)?图K21－11|拓 展 提 升|12．[2017·随州]在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝________时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．13．[2017·大连]如图K21－12①，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OB ＝OD ，OC ＝OA ＋AB ，AD ＝m ，BC ＝n ，∠ABD ＋∠ADB＝∠ACB.(1)填空：∠BAD 与∠ACB 的数量关系为________；(2)求mn的值；(3)将△ACD 沿CD 翻折，得到△A′CD(如图K21－12②)，连接BA′，与CD 相交于点P.若CD ＝5＋12，求PC 的长．图K21－12参考答案1．A [解析] 根据等式的性质2，等式的两边同时乘以或者除以一个不为0的数或字母，等式依然成立．故在等式左右两边同时除以2y ，可得x y ＝32，故选A.2．B [解析] ∵点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，∴AD BD ＝AE EC ，∵BD ＝2AD ，故AD BD ＝AE EC ＝12.故选B.3．A [解析] 由位似的性质得，四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′的位似比为2∶3，所以四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′的面积比为4∶9.4．C [解析] ∵∠ACD＝∠B，∠A ＝∠A，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AB ＝AD AC ，∴2AB ＝12，∴AB ＝4，∴S △ACD S △ABC ＝(AC AB )2，∴1S △ABC ＝(24)2，∴S △ABC ＝4，∴S △BCD ＝S △ABC －S △ACD ＝4－1＝3. 5．D [解析] 设正方形ABCD 的边长为2a ，由E ，F 分别为正方形ABCD 的边AD ，BC 的中点可知AE ＝DE ＝BF ＝CF ＝12AB ＝12GH ＝a ，在Rt △DCF 中，依据勾股定理可知DF ＝CF 2＋DC 2＝a 2＋（2a ）2＝5a ，即FH ＝5a.因为四边形CHGD 是矩形，所以CH ＝FH －FC ＝(5－1)a.分别计算选项A ，B ，C ，D 中四个矩形的宽与长的比，根据黄金矩形的概念即可判断．6．C [解析] A ．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；B.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；C.两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；D.两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故选C.7.14[解析] ∵D、E 分别是边AB 、AC 的中点， ∴DE 是三角形ABC 的中位线，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE ∶S △ABC ＝(AD AB )2＝(12)2＝14.8．(1，2) [解析] 根据位似变换的性质及位似比，可知A′的坐标为(1，2)． 9．解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1就是所求三角形； (2)如图所示，△A 2B 2C 2就是所求三角形．如图，分别过点A 2，C 2作y E ，F ，∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A 2B 22 ∴A 2(－2，4)，B 2(4，2)，C 2(8，10)．∴A 2E ＝2，C 2F ＝8，EF ＝10，B 2E ＝6，B 2F ＝4，∴S △A 2B 2C 2＝12×(2＋8)×10－12×2×6－12×4×8＝28.10．证明：(1)∵AB＝AC ，∴∠B ＝∠C，∵∠DEF ＋∠CEF＝∠B＋∠BDE，∠DEF ＝∠B ，∴∠CEF ＝∠BDE，∴△BDE ∽△CEF ；(2)由(1)得：BE CF ＝DEEF，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ， ∴CE CF ＝DE EF ，即CE DE ＝CF EF， ∵∠C ＝∠DEF，∴△EDF ∽△CEF ， ∴∠CFE ＝∠EFD，即FE 平分∠DFC.11．解：如图，延长OC ，AB 交于点P.∵∠ABC ＝120°，∴∠PBC ＝60°. ∵∠OCB ＝∠A＝90°，∴∠P ＝30°. ∵AD ＝20米，∴OA ＝12AD ＝10米．∵BC ＝2米，∴在Rt △CPB 中，PC ＝BC·tan60°＝2 3米，PB ＝2BC ＝4米． ∵∠P ＝∠P，∠PCB ＝∠A， ∴△PCB ∽△PAO ， ∴PC PA ＝BC OA ， ∴PA ＝PC·OA BC ＝2 3×102＝10 3(米)，∴AB ＝PA －PB ＝(10 3－4)米．答：路灯的灯柱AB 高应该设计为(10 3－4)米． 12.53或125 [解析] ∠A＝∠A，分两种情况：①当AD AE ＝AB AC 时，△ADE ∽△ABC ，即2AE ＝65，∴AE ＝53；②当AD AE ＝AC AB时，△ADE ∽△ACB ，即2AE ＝56，∴AE ＝125.综上所述，当AE ＝53或125时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．13．解：(1)B ＝180°，故答案为：∠BAD ＋∠ACB＝180°；(2)作DE∥AB，交AC 于点E又∵OB＝OD ，∴△OAB ≌△OED(AAS)， ∴AB ＝DE ，OA ＝OE ，设AB ＝DE ＝CE ＝x ，OA ＝OE ＝y ，∵∠EDA ＋∠DAB＝180°，∴∠EDA ＝∠ACB. ∵∠DEA ＝∠EAB，∴△EAD ∽△ABC ， ∴ED AC ＝AE AB ＝DA CB ＝m n ，即x x ＋2y ＝2y x ，4y 2＋2xy －x 2＝0， ∴(2y x )2＋2y x －1＝0，解得2y x ＝－1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫2y x ＝－1－52舍去，∴m n ＝5－12；∴∠EDC ＝∠ECD，∴∠EDA ＋∠EDC＝∠ACB＋∠ECD， ∴∠ADC ＝∠BCD.∵∠ADC ＝∠A′DC，∴∠A ′DC ＝∠BCD， ∴A ′D ∥BC ，∴△PA ′D ∽△PBC ， ∴PD PC ＝DA′BC ，∴CD －PC PC ＝m n ＝5－12. 又CD ＝5＋12，∴PC ＝1.。

一、选择题1．已知△ABC 如图，则下列4个三角形中，与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．如图，在正方形ABCD 中，BPC △是等边三角形，BP ，CP 的延长线分别交AD 于点E ，F ，连接BD ，DP ，BD 与CF 相交于点H ．有下列结论：①2BE AE =；②DFP BPH ∽△△；③PFD PDB ∽△△；④2DP PH PC =⋅．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．下列说法中，正确的说法有（ ）①对角线互相平分且相等的四边形是菱形；②一元二次方程2340x x --=的根是14x =，21x =-；③两个相似三角形的周长的比为23，则它们的面积的比为49； ④对角线互相垂直的平行四边形为正方形；⑤对角线垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．如图，菱形ABCD ∽菱形AEFG ，菱形AEFG 的顶点G 在菱形ABCD 的BC 边上运动，GF 与AB 相交于点H ，∠E ＝60°，若CG ＝3，AH ＝7，则菱形ABCD 的边长为（ ）A ．8B ．9C ．83D ．93 5．若2x ＝5y ，则x y的值是（ ） A ．25 B ．52 C ．45 D ．546．已知30MAN ∠=︒，点B 在射线AM 上，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于P ，Q 两点； ②作直线PQ ，交射线AN 于点C ，连接BC ；③以B 为圆心，BA 长为半径画弧，交射线AN 于点D ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）A ．60BCD ∠=︒B ．2AB AD AC = C ．4ABD CBA ∠=∠ D ．23AD AB =7．如图，点D 、E 、F 分别是ABC 的边AB 、AC 、BC 上的点，若//DE BC ，//EF AB ，则下列比例式一定成立的是（ ）A ．EF FC AD BF =B ．AD DE DB BC = C ．BF EF BC AD = D ．EF DE AB BC = 8．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以其三边为边向外作正方形，过点C 作CR FG ⊥于点R ，再过点C 作PQ CR ⊥分别交边DE ，BH 于点P ，Q ．若2QH PE =，9PQ =，则CR 的长为（ ）A ．14B ．9C ．425D ．3659．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABO 的两个顶点分别为A （﹣8，4），B （﹣2，﹣2），以原点O 为位似中心画△A B O ''，使它与△ABO 位似，且相似比为12，则点A 的对应点A '的坐标为（ ）A ．（4，2）B ．（1，1）C ．（﹣4，2）D ．（4，﹣2） 10．如图，直线123////l l l ，直线a 、b 与1l 、2l 、3l 分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若:1:2AB BC =，6DF =，则EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511．如图所示，大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点(),a b 对应大鱼上的点（ ）A ．()2,2a b --B ．(),2a b --C ．()2,2b a --D ．()2,a b -- 12．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，M 为AD 中点，连接CM ，交BD 于点N ，则:CNO CND S S ∆∆=（ ）A ．1:2B ．2:3C ．1:3D ．3:4二、填空题13．如图是一张矩形纸片，E 是AB 的中点，把BCE ∆沿直线CE 对折，使点B 落在BD 上的点F 处，2AB =，则CB =__________．14．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为CD 中点，点F 为BC 边上一点，且CF=1，连接AF ，EG ⊥AF 交BC 于点G ，则BG=________．15．如图，已知在Rt ABC 中，C 90∠=︒，AC 3=，BC 4=，分别将Rt ABC 的三边向外平移2个单位并适当延长，得到111A B C △，则111A B C △的面积为______．16．如图，一组平行线L 1、L 2、L 3截两相交直线L 4、L 5，则AO ED=____．17．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在BC 边上，且:2:1CE BE =，AC 与DE 相交于点F ；若9AFD S =，则CFE S =___________．18．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得AB ＝1.8米，BD ＝1米，BE ＝0.2米，那么井深AC 为____米．19．已知ABC ∽DEF ，且面积比为1:9，若ABC 的周长为8cm ，则DEF 的周长是______cm ．20．在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若ADE面积为14，则四边形DBCE的面积为_____．三、解答题21．如图，上体育课时，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米．甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是多少米？22．如图，在ABC中，AD=15，AC=12，DC=9，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB=20．（1）求线段BC的长；（2）求ABD△的面积．23．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为（不需证明）：（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，Rt ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，P 为ABC 内部一点，且135APB BPC ∠=∠=︒．（1）求证：PAB PBC △∽△；（2）若2PA =，求PB ；（3）若点P 到三角形的边AB ，BC ，CA 的距离分别为123,,h h h ，请直接写出123,,h h h 之间满足关系．25．如图，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100︒得到AEF ．（1）当点E 恰好落在BC 延长线上时，求FEB ∠的度数．（2）在（1）的条件下连结CF 交AE 于点D ．求证：2AC AD AE =⋅．26．在如图的方格纸中，OAB 的顶点坐标分别为(00)(21)(13)----,,,,,O A B ，111O A B △与OAB 是关于点P 为位似中心的位似图形．（1）在图中标出位似中心P 的位置，并写出点P 及点B 的对应点1B 的坐标； （2）以原点O 为位似中心，在位似中心的同侧画出OAB 的一个位似22OA B △，使它与OAB 的位似比为2∶1，并写出点B 的对应点2B 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】△ABC 是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，看各个选项是否符合相似的条件．【详解】解：∵由图可知，AB ＝AC ＝6，∠B ＝75°，∴∠C ＝75°，∠A ＝30°，A 、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，不符合题意；B 、三角形各角的度数都是60°，不符合题意；C 、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，符合题意；D 、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，不符合题意；∴只有C 选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，故选：C ．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定．2．C解析：C【分析】利用直角三角形30度角的性质即可解决①；证明∠FDP=∠PBD ，根据∠DFP=∠BPC ，∠FDP=∠PBD 即可判断②；通过计算证明∠PFD≠∠PDB ，即可判断③；证明△DPH∽△CPD即可判断④．【详解】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30°，∴BE=2AE；故①正确；∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH；故②正确；∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，∴∠PFD≠∠PDB，∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴DP PH PC DP，∴DP2=PH•PC，故④正确；故选：C．【点睛】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．3．C解析：C【分析】根据矩形的判定定理、一元二次方程的解法、【详解】解：①对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故①错误；②一元二次方程x2-3x-4=0（x-4）（x+1）=0x-4=0或x=1=0x1=4，x2=-1，故②正确；③两个相似三角形的周长的比为23，则它们的面积的比为22()349=，故③正确； ④对角线相等且互相垂直的平行四边形为正方形，故④错误；⑤对角线垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形，说法正确．故选：C【点睛】 本题考查的是命题的真假判断，掌握矩形的判定定理、一元二次方程的解法、中点四边形的性质、矩形、菱形和正方形的判断是解题的关键．4．B解析：B【分析】连接AC ，首先证明△ABC 是等边三角形，再证明△BGH ∽△CAG ，推出BG BH AC CG=，由此构建方程即可解决问题．【详解】解：连接AC ．∵菱形ABCD ∽菱形AEFG ，∴∠B ＝∠E ＝∠AGF ＝60°，AB ＝BC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°，设AB ＝BC ＝AC ＝a ，则BH ＝a ﹣7，BG ＝a ﹣3，∵∠AGB ＝∠AGH +∠BGH ＝∠ACG +∠CAG ，∠AGH ＝∠ACG ＝60°，∴∠BGH ＝∠CAG ，∵∠B ＝∠ACG ，∴△BGH ∽△CAG ，∴BG BH AC CG =， ∴373a a a --=， ∴a 2﹣10a +9＝0，∴a ＝9或1（舍去），∴AB ＝9，故选：B ．【点睛】此题考查等边三角形的判定及性质，菱形的性质，相似三角形的判定及性质，连接AC 证明△ABC 是等边三角形是解题的关键．5．B解析：B【分析】利用内项之积等于外项之积进行判断．【详解】解：∵2x ＝5y ， ∴52x y =． 故选：B ．【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积，合比性质，分比性质，合分比性质，等比性质）．6．D解析：D【分析】根据垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及判定，相似三角形的判定一一判断即可．【详解】由作图可知，PQ 垂直平分AB ，AB=BD∵PQ 垂直平分AB ，∴AC ＝BC ，∴∠MAN ＝∠CBA ，∵∠MAN ＝30，∴∠DCB ＝∠MAN ＋∠CBA ＝60︒，故选项 A 正确；AB BD =MAN ADB ∴∠=∠∠MAN ＝∠CBA ，ADB CBA ∴∠=∠ACB ABD ∴△∽△2AC AB AB ADAB AC AD ∴=∴=⋅ 故选项B 正确；ABD 为等腰三角形，且两底角均为301803030120ABD ∴∠=︒-︒-︒=︒30MAN CBA ∠=∠=︒4ABD CBA ∴∠=∠故选项C 正确；如图：过点B 作BF AD ⊥在ABF 中，30A ∠=︒3AB AF ∴=223AD AFAB AF =∴= 33AB AD AD ∴=∴= 故选项D 错误；故选：D ．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及判定、相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．7．A解析：A【分析】 根据平行可得EC FC AE BF =，EC BD AE DA =，再根据平行四边形的性质得EF=BD 即可． 【详解】解：∵//EF AB ， ∴EC FC AE BF= ∵//DE BC ， ∴EC BD AE DA=， ∴FC BD BF DA =∵//DE BC ，//EF AB ，∴四边形BFED 是平行四边形，∴EF=BD, ∴EF FC AD BF=, 故选：A ．【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是根据平行线列出恰当的比例式，再结合平行四边形性质进行推理．8．C解析：C【分析】连接EC ，CH ，设AB 交CR 于点J ，先证得△ECP ∽△HCQ ，可得12PC CE EP CQ CH HQ ===，进而可求得CQ ＝6，AC :BC ＝1:2，由此可设AC ＝a ，则BC ＝2a ，利用AC ∥BQ ，CQ ∥AB ，可证得四边形ABQC 为平行四边形，由此可得AB ＝CQ ＝6，再根据勾股定理求得AC =，BC =125CJ =，进而可求得CR 的长． 【详解】解：如图，连接EC ，CH ，设AB 交CR 于点J ，∵四边形ACDE ，四边形BCIH 都是正方形，∴∠ACE ＝∠BCH ＝45°，∵∠ACB ＝90°，∠BCI ＝90°，∴∠ACE ＋∠ACB ＋∠BCH ＝180°，∠ACB ＋∠BCI ＝180°，∴点E 、C 、H 在同一直线上，点A 、C 、I 在同一直线上，∵DE ∥AI ∥BH ，∴∠CEP ＝∠CHQ ，∵∠ECP ＝∠QCH ，∴△ECP ∽△HCQ ， ∴12PC CE EP CQ CH HQ ===， ∵PQ ＝9，∴PC ＝3，CQ ＝6，∵EC :CH ＝1:2，∴AC :BC ＝1:2，设AC ＝a ，则BC ＝2a ，∵PQ ⊥CR ，CR ⊥AB ，∴CQ ∥AB ，∵AC ∥BQ ，CQ ∥AB ，∴四边形ABQC 为平行四边形，∴AB ＝CQ ＝6，∵222AC BC AB +=，∴2536a =， ∴65a =（舍负） ∴65AC =，1255BC =， ∵1122AC BC AB CJ ⋅⋅=⋅⋅， ∴65125125565CJ ⨯==， ∵JR ＝AF ＝AB ＝6，∴CR ＝CJ ＋JR ＝425， 故选择：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、勾股定理的应用，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键． 9．D解析：D【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ，即可求得答案．【详解】解：∵△ABO 与A B O ''△的相似比为12，且A '在第四象限，∴点A 的对应点A '的坐标为118,422⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即(4，-2)， 故选：D ．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 10．C解析：C【分析】连接AF 交2l 于点G ，根据平行线分线段成比例，得出12AB AG BC GF ==和21FG FE GA ED ==，则23EF DF =，即可求出结果． 【详解】 解：如图，连接AF 交2l 于点G ，∵23//l l ，∴12AB AG BC GF ==， ∵12l l //，∴21FG FE GA ED ==， ∵6DF =， ∴243EF DF ==． 故选：C ．【点睛】 本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例的性质． 11．A解析：A【分析】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，位似变换是以原点为位似中心，相似比为1：2．【详解】解：∵大鱼与小鱼是位似图形，由图形知一组对应点的坐标分别为（2，0），（-1，0）∴位似比等于2：1∴小鱼上的点（a ，b ）对应大鱼上的点是（-2a ，-2b ）．故选：A ．【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比；在直角坐标系中，对应点的坐标也满足相似比．12．A解析：A【分析】由四边形ABCD 为平行四边形，得到对边平行，即可证得：△BCN ∽△DMN ；可求相似比为2:1，继而求出ON:DN ，从而可求:CNO CND S S ∆∆．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，M 为AD 中点，∴AD ∥BC ，BC=AD=2 DM ，OB=OD ，∴∠BCN=∠DMN ，∠NBC=∠MDN ，∴△BCN ∽△DMN ；∴BN:DN=BC:DM=2:1，设DN=x ，则BN =2x ，∴BD=3x ，∴OD=32x ， ∴ON=12x ， ∴ON:DN=12x: x =1:2， ∴:CNO CND S S ∆∆= ON:DN =1:2．故选：A ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．要掌握等高三角形面积的比等于其对应底边的比．二、填空题13．【分析】由折叠的性质得EF=BE=AE=1CE ⊥BD 设EG=x 可得CG=2x 再根据∆BEG~∆CBG∆BEG~∆CE B 即可求解【详解】解：∵E 为AB 中点∴AE=EB=1∵把沿直线CE对折使点B落在B解析：2【分析】由折叠的性质得EF=BE=AE=1，CE⊥BD，设EG=x，可得CG=2x，再根据∆BEG~∆CBG，∆BEG~∆CEB，即可求解．【详解】解：∵E为AB中点，2AB=，∴AE=EB=1，∵把BCE∆沿直线CE对折，使点B落在BD上的点F处，∴EF=BE=AE=1，CE⊥BD，设CE与BD交于点G，EG=x，∵CD∥AB，∴CG：EG=CD：EB，∴CG=2x，∵BG⊥EC，EB⊥BC，∴∆BEG~∆CBG，∴BG2=CG∙EG∴BG=2x，同理：∆BEG~∆CEB，∴BG：CB=EG：EB，∴BC=AD=2．故答案是：2．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握“母子相似三角形”模型，是解题的关键．14．【分析】证明△ECG△FBA利用相似三角形的性质求解即可【详解】设EG 交AF于点Q∵EG⊥AF∴∠FQG=90∴∠QFG+∠QGF=90在正方形ABCD中∠B=∠C=90∴∠QAB+∠AFB=90∴解析：4 3【分析】证明△ECG~△FBA，利用相似三角形的性质求解即可．设EG 交AF 于点Q ，∵EG ⊥AF ，∴∠FQG=90︒，∴∠QFG+∠QGF =90︒，在正方形ABCD 中，∠B=∠C =90︒，∴∠QAB+∠AFB =90︒，∴∠QGF =∠FAB ，在△ECG 和△FBA 中，∠B=∠C =90︒，∠QGF =∠FAB ，∴△ECG ~△FBA(两组对应角相等的三角形是相似三角形)， ∴EC CG BF AB =， ∴EC CF FG BF AB+=， ∵E 是CD 的中点， ∴122CE CD ==， ∵CF=1，∴BF=3， ∴2134FG +=， 解得：FG=53， ∴43BG BF FG =-=， 故答案为：43． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题．15．54【分析】作于点D 作于点E 作于点F 分别证明△和△求出和再根据三角形面积公式求解即可【详解】解：作于点D 作于点E 作于点F ∵三边向外平移个单位∴∵∴∠且∠∴△∴又∵∠且∠∴△∴∴∴又∵△∴∴∴【点睛】【分析】作11CD B C ⊥于点D ，作11BE B C ⊥于点E ，作11BF A B ⊥于点F ，分别证明△ACB BFG ∆∽和△1GHB ACB ∆∽，求出11A C 和11B C ，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：作11CD B C ⊥于点D ，作11BE B C ⊥于点E ，作11BF A B ⊥于点F ，∵Rt ABC ∆三边向外平移个单位，∴1=22,2,C D CD BE GH BF ====，∵11//AB A B∴∠ABC AGC =∠且∠90ACB BFG =∠=︒∴△ACB BFG ∆∽ ∴103BG = 又∵∠11B A GC ABC =∠=∠，且∠190GHB ACB =∠=︒∴△1GHB ACB ∆∽ ∴1AC GH BC B H= ∴183B H = ∴1111C B CD DE EH HB =+++ 1082433=+++ 12=又∵△111ABC A B C ∆∽ ∴1111AC B C AC BC=∴119A C = ∴111111112A B C S AC B C ∆=⨯⨯ 11292=⨯⨯ 54=【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，能正确作出辅助线证明三角形是解答此题的关键．16．【分析】根据L1//L2//L3证明△AOF ∽△EOB ∽△DOC 根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】解：∵L1//L2//L3∴∠AFO=∠OCD ∠AOF=∠COD ∴△AOF ∽△DOC 同理△BO 解析：AF CD BE- 【分析】根据L 1//L 2//L 3，证明△AOF ∽△EOB ∽△DOC ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵L 1//L 2//L 3，∴∠AFO=∠OCD ，∠AOF=∠COD∴△AOF ∽△DOC ，同理，△BOE ∽△COD ，△AOF ∽△EOB ， ∴AO AF OE BE =，即AO BE AF OE = ∴OE BE OD CD =， ∴OE BE OE ED CD=+ ∴OE CD BE OE BE ED ⋅=⋅+⋅ ∴()AO AF OE OE CD BE OE AF OE BE ED BE BE BE OE AF C CD BE B D E-=÷=⋅=-- 故答案为：AF CD BE - 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． 17．4【分析】由于四边形ABCD 是平行四边形所以得到BC//ADBC=AD 而CE ：BE=2：1由此即可得到△AFD ∽△CFE 它们的相似比为3：2最后利用相似三角形的性质即可求解【详解】解：∵四边形ABC解析：4【分析】由于四边形ABCD 是平行四边形，所以得到BC//AD 、BC=AD ，而CE ：BE=2：1，由此即可得到△AFD ∽△CFE ，它们的相似比为3：2，最后利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC//AD 、BC=AD ，∴△AFD ∽△CFE ，∵CE ：BE=2：1，∴CE ：BC=2：3，∴AD ：CE =3：2，∴S △AFD ：S △EFC =(32)2=94， ∵S △AFD =9，∴S △EFC =4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题是证明△AFD ∽△CFE ，然后利用其性质即可求解． 18．8【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论【详解】解：∵BD ⊥ABAC ⊥AB ∴BD ∥AC ∴△ACE ∽△BDE ∴∴∴AC=8（米）故答案为：8【点睛】本题考查了相似三角形的应用正确的识别图形解析：8【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：∵BD ⊥AB ，AC ⊥AB ，∴BD ∥AC ，∴△ACE ∽△BDE ， ∴AC AE BD BE =， ∴ 1.80.210.2AC -=， ∴AC=8（米），故答案为：8．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．19．24【分析】根据相似三角形的性质求出相似比即可得解；【详解】∵∽且面积比为∴相似比为∵的周长为设的周长为x ∴∴；故答案是24【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质准确计算是解题的关键解析：24【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，即可得解；【详解】∵ABC ∽DEF ，且面积比为1:9，∴相似比为1:3，∵ABC 的周长为8cm ，设DEF 的周长为x ，∴1∶38∶x =，∴24x =；故答案是24．【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质，准确计算是解题的关键．20．【分析】先根据三角形的中位线定理可得再根据相似三角形的判定与性质可得由此即可得出答案【详解】在中DE 分别是ABAC 的中点即面积为面积为则四边形DBCE 的面积为故答案为：【点睛】本题考查了三角形的中位 解析：34【分析】 先根据三角形的中位线定理可得1,//2DE BC DE BC =，再根据相似三角形的判定与性质可得14ADE ABC SS =，由此即可得出答案． 【详解】在ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，1,//2DE BC DE BC ∴=， ADE ABC ∴， 214ADE ABC S DE S BC ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，即4ABC ADE S S =△△， ADE 面积为14， ABC ∴面积为1414⨯=， 则四边形DBCE 的面积为13144ABC ADE S S -=-=，故答案为：34．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．三、解答题21．6米【分析】先根据DE∥BC得出△ADE∽△ACB，再根据相似三角形的对应边成比例求出AD的值，由AC＝AD+CD得出结论．【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴DEBC ＝ADAC，设AD＝x，则有1.51.8＝1xx+，解得x＝5．甲的影长AC＝1+5＝6米．答：甲的影长是6米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意判断出△ADE∽△ACB是解题的关键．22．（1）16；（2）42【分析】根据勾股定理的逆定理求出∠C＝90°，根据勾股定理求出BC，求出BD，再根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：∵AD＝15，AC＝12，DC＝9，∴222222AC DC12915AD+=+==∴AC2+CD2＝AD2，∴∠C＝90°，∵AB＝20，AC＝12，∴由勾股定理得：BC16，∴BD＝BC﹣DC＝16﹣9＝7，∴△ABD的面积是12BD AC⨯⨯＝17122⨯⨯＝42．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理和勾股定理，掌握利用勾股定理的逆定理判定直角三角形和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．23．（1）3，ABC ∽ACD ，ABC ∽CBD ，ACD ∽CBD ；（2）125；（3）存在，(2740，32)，(98，910) 【分析】 （1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC ∽△ACD ，△ABC ∽△CBD ，△ACD ∽△CBD ．（2）先在△ABC 中由勾股定理求出BC 的长，再根据△ABC 的面积不变得到12AB•CD ＝12AC•BC ，即可求出CD 的长． （3）由于∠B 公共，所以以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB ∽△ACB ；②△QPB ∽△ACB ．【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC ∽△ACD ，△ABC ∽△CBD ，△ACD ∽△CBD ．证明：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A ，∴△ADC ∽△ACB同理可证：△ABC ∽△CBD ，△ACD ∽△CBD ．故答案为：3；△ABC ∽△ACD ，△ABC ∽△CBD ，△ACD ∽△CBD ．（2）如图2中，在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，∴BC3．∵△ABC 的面积＝12AB•CD ＝12AC•BC ， ∴CD ＝AC BC AB⋅＝125． （3）存在点P ，使以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，理由如下： 在△BOC 中，∵∠COB ＝90°，BC ＝3，OC ＝125， ∴OB ＝95． 分两种情况：①当∠BQP ＝90°时，如图2①，此时△PQB ∽△ACB ，∴BP AB ＝BQ BC ， ∴353t t -=， 解得t ＝98，即98BQ CP ==， ∴915388BP BC CP =-=-=． 在△BPQ 中，由勾股定理，得22221593()()882PQ BP BQ =-=-=， ∴点P 的坐标为273(,)402； ②当∠BPQ ＝90°时，如图2②，此时△QPB ∽△ACB ，∴BP BQ BC AB =， ∴335t t -=， 解得t ＝158，即15159,3888BQ cP BP BC CP ===-=-=， 过点P 作PE ⊥x 轴于点E ．∵△QPB ∽△ACB ，∴PE BQ CO AB⋅=，即1581255PE =， ∴PE ＝910． 在△BPE中，2740BE ===， ∴92795408OE OB BE =-=-=， ∴点P 的坐标为99(,)810， 综上可得，点P 的坐标为(2740，32)；(98，910)． 【点睛】 本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．24．（1）见解析；（23）2123h h h =⋅【分析】（1）根据45PBA PBC PAB PBA ∠+∠=∠+∠=︒，利用两角分别相等的两个三角形相似即可证得结果；（2）由题意可得AB BC =1）的结论可得，AB PA BC PB=，从而即可求得PB ； （3）根据两角分别相等的两个三角形相似，可证得Rt AEP Rt CDP △△∽，求得322h h =，由PAB PBC △∽△可得32h ，从而得出结论．【详解】（1）∵90ACB ∠=︒，AC BC =，∴45ABC PBA PBC ∠=︒=∠+∠，又∵135APB ∠=︒，∴45PAB PBA ∠+∠=︒，∴PBC PAB ∠=∠，又∵135APB BPC ∠=∠=︒，∴PAB PBC △∽△；（2）由题可知，△ABC 为等腰直角三角形，∴AB BC=由（1）可知，AB PA BC PB =， ∴222BC PB PA AB ==⨯=； （3）如图，过点P 作PD BC ⊥，PE AC ⊥，PF BA ⊥，∴1PF h =，2PD h =，3PE h =，∵135135270CPB APB ∠+∠=︒+︒=︒，∴90APC ∠=︒，∴90EAP ACP ∠+∠=︒，又∵90ACB ACP PCD ∠=∠+∠=︒，∴EAP PCD ∠=∠，∴Rt Rt AEP CDP △∽△，由（1）可进一步得出，2PA PB =，2PB PC =， ∴2PA PC =，∴2PE AP DP PC==，即322h h =， ∴322h h =，∵PAB PBC △∽△，∴122h AB h BC== ∴122h h =，∴2212222322h h h h h h ==⋅=，即：2123h h h =⋅．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．25．（1）80°；（2）见解析【分析】（1）根据旋转的性质和等腰三角形的性质分别得到∠AEF 和∠AEB ，从而得到结果； （2）证明△ADF ∽△ACB ，得到AD AF AC AB =，结合AB=AE ，AF=AC ，得到AD AC AC AE=，从而计算出结果．【详解】解：（1）由题意可得：∠BAE=∠CAF=100°，∠B=∠AEF ，AB=AE ，AC=AF ，又∵E 在BC 的延长线上，∴∠AEB=∠B=40°，∴∠AEF=40°，∴∠FEB=∠FEA+∠AEB=80°；（2）如图，∵∠BAC=∠DAF ，又∵AF=AC ，∠CAF=100°，∴∠AFC=∠ACF=40°，即∠AFD=∠ABC=40°，又∵∠DAF+∠ADF+∠AFD=180°，∠B+∠BAC+∠ACB=180°，∴∠ACB=∠ADF ，∴△ADF ∽△ACB ， ∴AD AF AC AB=， 又∵AB=AE ，AF=AC ，∴AD AC AC AE=， ∴2AC AD AE =⋅．【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用旋转的性质得到相似三角形的条件．26．（1）画图见解析，1(5,1),(3,5)---P B（2）画图见解析，226)(--，B 【分析】（1）连接1O O 并延长与1A A 的延长线相交，交点即为位似中心P ，再根据平面直角坐标系写出点P 和1B 的坐标；（2）延长OA 到2A ，使2=AA OA ，延长OB 到2B ，使2=BB OB ，连接22A B ，再根据平面直角坐标系写出点2B 的坐标；【详解】解：（1）位似中心P 如图所示，1(5,1),(3,5)---P B ；（2）22OA B △如图所示，226)(--，B ；【点睛】本题考查了利用位似变换作图，熟练掌握位似变换的性质准确找出对应点的位置是解题的关键．。

第四单元 三角形 第21课时 图形的相似(建议答题时间：60分钟)基础过关1．(2017某某A 卷)若△ABC ∽△DEF ，相似比为3∶2，则对应高的比为( ) A. 3∶2 B. 3∶5 C. 9∶4 D. 4∶92．(2017某某)如图，已知△ABC ∽△DEF ，AB ∶DE ＝1∶2，则下列等式一定成立的是( )A. BC DF ＝12B. ∠A 的度数∠D的度数＝12C. △ABC 的面积△DEF的面积＝12D. △ABC 的周长△DEF的周长＝12第2题图3．(2017某某)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的中点，如果△ADE 的周长是6，则△ABC 的周长是( )第3题图A. 6B. 12C. 18D. 244．将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的( )A. 9倍B. 3倍C. 81倍D. 18倍5．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，下列条件中不能判断△ABP ∽△ACB 的是( )第5题图A. ∠ABP ＝∠CB. ∠APB ＝∠ABCC. AP AB ＝AB ACD. AB BP ＝AC CB6．(2017枣庄)如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是( )7．(2017某某州)如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为( )A. 6B. 8C. 10D. 12第7题图8．(2017某某模拟)如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD平分∠BAC.若∠ABE＝∠C，AD∶ED＝3∶1，则△BDE与△ADC的面积比为( )第8题图A. 16∶45B. 2∶9C. 1∶9D. 1∶39．如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，∠DEF＝∠A，EF 与BD 相交于点M ，以下结论：①△BDE 是等腰三角形；②四边形AFED 是菱形；③BE ＝AF ；④若AF ∶BF ＝3∶4，则S △DEM ∶S △BAD ＝9∶49，以上结论正确的是( )A. ①②③④B. ①③④C. ①③D. ③④第9题图10．(2017某某)如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，点F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是( )第10题图A. AD AB ＝AE ECB. AG GF ＝AE BDC. BD AD ＝CE AED. AG AF ＝AC EC11．(2017潍坊)如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D 、E 分别为AB 、AC 上的点．AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，点F 为BC 边上一点，添加一个条件：__________，可以使得△FDB 与△ADE 相似．(只需写出一个)第11题图12．(2017某某)如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，BE 交CD 于点O ，连接DE ，有下列结论：第12题图①DE ＝12BC ; ②△BOD ∽△COE ； ③BO ＝2EO ; ④AO 的延长线经过BC 的中点．其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)13．(2017某某)如图，正方形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在AB ，BC ，CD 上，且∠EFG ＝90°.求证：△EBF∽△FCG.第13题图14．如图，B、C、D在同一直线上，△ABC和△DCE都是等边三角形，且在直线BD的同侧，BE交AD于点F，BE交AC于点M，AD交CE于点N.(1)求证：AD＝BE；(2)求证：△ABF∽△ADB.第14题图满分冲关1．(2017某某模拟)如图，一X等腰三角形纸片，底边长为15 cm，底边上的高长22.5 cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度为3 cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一X是正方形，则这X正方形的纸条是( )第1题图A. 第四XB. 第五XC. 第六XD. 第七X2．(2017某某)经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为________．第2题图3．(2017某某)如图，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD ＝2，DB ＝4.现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E 、F 分别在边AC 和BC 上，则CFCE＝________．第3题图4．如图，在锐角△ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 中点，F 为AC 上一点，且∠AFE ＝∠A ，DM∥EF交AC于点M.(1)点G在BE上，且∠BDG＝∠C，求证：DG·CF＝DM·EG；(2)在图中，取CE上一点H，使∠CFH＝∠B，若BG＝1，求EH的长．第4题图答案基础过关1．A 【解析】根据相似三角形对应高之比等于相似比即可判定，∵相似比为3∶2，∴对应高的比为3∶2.2．D 【解析】根据“相似三角形周长的比等于相似比”可以得出D成立．3．B 【解析】∵D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，∴DE∥BC，△ADE∽△ABC，且相似比为1∶2，∵△ADE的周长为6，则△ABC的周长为12.4．B 【解析】∵两个相似三角形的面积比为1∶9，∴这两个相似三角形的相似比为1∶3，∴这两个相似三角形的周长比为1∶3，∴周长扩大为原来的3倍．5．D 【解析】A.∵∠A ＝∠A ，∠ABP ＝∠C，∴△ABP ∽△ACB ，故本选项错误；B.∵∠A ＝∠A ，∠APB ＝∠ABC ，∴△ABP ∽△ACB ，故本选项错误；C.∵∠A ＝∠A ，AP AB ＝AB AC ，∴△ABP ∽△ACB ，故本选项错误；D.正确，不能判定△ABP ∽△ACB .6．C 【解析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故A 选项错误；阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故B 选项错误；两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故C 选项正确；两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故D 选项错误．7．C 【解析】∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∵∠ADE ＝∠EFC ，∴∠B ＝∠EFC ，∴EF ∥AB ，∴四边形DEFB 为平行四边形，∴DB ＝EF ，DE ＝BF ，又∵AD DB ＝53，∴EF AB ＝38，又∵EF ∥AB ，∴CF BC ＝EF AB ，即66＋BF ＝38，∴BF ＝10，∴DE ＝BF ＝10. 8．D 【解析】∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵∠ABE ＝∠C ，∴△ABE ∽△ACD ，∴AB AC ＝AE AD，∵AE ∶ED ＝3∶1，∴AE ∶AD ＝2∶3，∴AB ∶AC ＝2∶3，∵AD 平分∠BAC ，∴点D 到AB 的距离与点D 到AC 的距离相等，∴S △ABD ∶S △ADC ＝AB ∶AC ＝2∶3，∵S △BDE ∶S △ABE ＝DE ∶AE＝1∶2，∴S △BDE ∶S △ADC ＝1∶3.9．B 【解析】∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∵DE∥AB，∴∠BDE ＝∠ABD ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∴EB ＝ED ，∴△BDE 是等腰三角形，①正确；由题设无法得到AF ＝AD ，故四边形AFED 不是菱形，②错误；∵DE ∥AB ，∴∠CED ＝∠CBA ，∵∠DEF ＝∠A ，∴∠FEB ＝∠C，∴EF ∥AC ，∴四边形AFED 是平行四边形，∴DE ＝AF ，∵DE ＝BE ，∴BE ＝AF ，③正确；∵EF ∥AC ，∴∠DME ＝∠BDA ，又∵∠DEM ＝∠A ，∴△DEM ∽△BAD ，∴S △DEM S △BAD ＝(DE AB )2＝(AF AB)2，∵AF ∶BF ＝3∶4，∴AF ∶AB ＝3∶7，∴S △DEM ∶S △ABD ＝9∶49，④正确．10．C 【解析】∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ，∴A 错误；同理，B 也错误；∵DE ∥BC ，∴BD AD＝CE AE，∴C 正确；同理，D 也错误． 11．DF∥AC 【解析】∵AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，∴AD AC ＝AE AB，∵∠A 为公共角，∴△ADE ∽△ACB ，原问题转换为，使△FDB 相似△ACB ，则DF ∥AC 即可．12．①③④ 【解析】∵D 、E 是AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE ＝12BC ，故①正确；∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE ∶BC ＝AE ∶AC ＝1∶2，∵DE ∥BC ，∴△DOE ∽△COB ，∴BO ∶EO ＝BC ∶ED ＝2∶1，故③正确，因为三角形三条中线交于一点，BE 、CD 是中线，故AO 是三角形中线，故④正确；△DOE ∽△COB ，DO ∶CO ＝EO ∶BO ＝1∶2，对△BOD 和△COE 来说不存在两组对边成比例，故△BOD 和△COE 不一定相似，故②错误．13．证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝∠C ＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB ＝90°，∵∠EFG ＝90°，∴∠EFB ＋∠CFG ＝180°－90°＝90°，∴∠BEF ＝∠CFG ，∴△EBF ∽△FCG .14．证明：(1)∵△ABC 与△DCE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCE ＝∠ACD ，在△BCE 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ∠BCE＝∠ACD CE ＝CD，∴△BCE ≌△ACD (SAS)，∴AD＝BE；(2)由(1)知△BCE≌△ACD，∴∠CBE＝∠CAD，又∵∠BMC＝∠AMF，∴∠AFB＝∠ACB＝60°＝∠ABC，又∵∠BAF＝∠BAD，∴△ABF∽△ADB.满分冲关1．C 【解析】如解图，设第n个纸条是正方形，此时EF＝3 cm，过点A作AG⊥EF于G，交BC于H，易得△AEF与原来的大三角形相似，∴315＝AG22.5，解得AG＝4.5，∴AH＝AG＋GH，∴减去的高为22.5－7.5＝15，∵每个纸条的高为3，∴共减去15÷3＝5(个)．则这个正方形是第6X纸条．第1题解图2．113°或92° 【解析】∵△BCD ∽△BAC ，∴∠BCD ＝∠A ＝46°，∵△ACD 是等腰三角形，∠ADC ＞∠BCD ，∴∠ADC ＞∠A ，即AC ≠CD ，①当AC ＝AD 时，∠ACD ＝∠ADC ＝12(180°－46°)＝67°，∴∠ACB ＝67°＋46°＝113°，②当DA ＝DC 时，∠ACD ＝∠A ＝46°，∴∠ACB ＝46°＋46°＝92°.3.54【解析】由题易知∠A ＝∠B ＝∠EDF ＝60°，∴∠AED ＝∠FDB ，∴△AED ∽△BDF ，∴ED DF ＝AE BD ＝AD BF ，∴ED DF ＝AE ＋ED ＋AD DF ＋BF ＋DB ，由翻折易知EC ＝ED ，FC ＝FD ，∴CE CF ＝AE ＋EC ＋AD FC ＋BF ＋BD ，即CE CF ＝AC ＋AD BC ＋BD ，∵AD ＝2，BD ＝4，∴AB ＝BC ＝AC ＝6，∴CE CF ＝6＋26＋4＝45，即CF CE ＝54. 4．(1)证明：∵D 、E 分别为AB 、BC 中点，∴DE ∥AC ，∵DM ∥EF ，∴四边形DEFM 是平行四边形，∴DM ＝EF ，∵D 、E 分别是AB 、BC 的中点，∴DE ∥AC ，∴∠BDE ＝∠A ，∠DEG ＝∠C ，∵∠AFE ＝∠A ，∴∠BDE ＝∠AFE ，∴∠BDG ＋∠GDE ＝∠C ＋∠FEC ，∵∠BDG ＝∠C ，∴∠GDE ＝∠FEC ，∴△DEG ∽△ECF ，∴DG EF ＝EG CF ，∴DG DM ＝EG CF ，∴DG ·CF ＝DM ·EG ；(2)解：如解图所示，连接FH ，∵∠BDG ＝∠C ＝∠DEB ，∠B ＝∠B ，∴△BDG ∽△BED ，∴BD BE ＝BG BD ，∴BD2＝BG·BE，∵∠AFE＝∠A，∠CFH＝∠B，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－∠AFE－∠CFH＝∠EFH，又∵∠FEH＝∠CEF，∴△EFH∽△ECF，∴EHEF＝EFEC，∴EF2＝EH·EC，由(1)得四边形DEFM是平行四边形，∴EF＝DM＝DA＝BD，∵BD2＝BG·BE，EF2＝EH·EC，∴BG·BE＝EH·EC，∵BE＝EC，∴EH＝BG＝1.第4题解图。