异面直线习题课

两条异面直线所成的角练习课教学目标1．记忆并理解余弦定理；2．应用余弦定理来求异面直线所成的角．教学重点和难点这节课的重点是以异面直线所成的角的概念为指导作出相应的角，然后用余弦定理解这个角所在的三角形求出这个角的余弦．这节课的难点是使学生初步理解当cosθ＞0时，0°＜θ＜90°，当cosθ=0时，θ=90°，当cosθ＜0时，90°＜θ＜180°．教学设计过程一、余弦定理师：余弦定理有哪两种表述的形式？它们各有什么用途？生：余弦定理有两种表述的形式，即：a2=b2＋c2-2bccos Ab2=c2+a2-2cacos Bc2=a2＋b2-2abcos C第一种形式是已知两边夹角用来求第三边，第二种形式是已知三边用来求角．师：在立体几何中我们主要用余弦定理的第二种形式，即已知三角形的三边来求角．在余弦定理的第二个形式中，我们知道b2＋c2可以等于a2；也可以小于a2；也可以大于a2．那么，我们想当b2+c2=a2时，∠A等于多少度？为什么？生：当b2＋c2=a2时，由勾股定理的逆定理可知∠A=90°．师：当b2＋c2＞a2时，∠A应该是什么样的角呢？生：因为cosA＞0，所以∠A应该是锐角．师：当b2＋c2＜a2时，∠A应该是什么样的角呢？生：因为这时cosA＜0，所以∠A应该是钝角．师：对，关于这个问题，我们只要求同学们有初步的理解即可．初步理解后应该记住、会用．现在明确提出当cosθ=0时，θ=90°，θ是直角；当cosθ＞0时，0°＜θ＜90°，θ是锐角当cosθ＜0时，90°＜θ＜180°，θ是钝角．下面请同学们回答下列问题：生：θ等于60°，等于120°．师：这时θ和是什么关系？生：θ和是互为补角．师：再回答下列问题：生：θ1等于45°，1等于135°，θ1+ 1=180°；θ2等于30°，2=150°，θ2+ 2=180°．师：一般说来，当cosθ=-cos时，角θ与角是什么关系？生：角θ与角是互补的两个角．即一个为锐角，一个为钝角，且θ＋=180°．（关于钝角的三角函数还没有定义，所以这里采用从特殊到一般的方法使学生有所理解即可）二、余弦定理的应用例1 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．求异面直线A1B和AD1所成的角的余弦．（如图1）师：首先我们要以概念为指导作出这个角，A1B和AD1所成的角是哪一个角？生：因为CD1∥A1B，所以∠AD1C即为A1B与AD1所成的角．师：∠AD1C在△AD1C中，求出△AD1C的三边，然后再用余弦定理求出∠AD1C 的余弦．师：我们要再一次明确求异面直线所成的角的三个步骤：第一是以概念为指导作出所成的角；第二是找出这个角所在的三角形；第三是解这个三角形．现在我们再来看例2．例2 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∠C1BC=45°，∠B1AB=60°．求AB1与BC1所成角的余弦．（如图2）师：在这例中，我们除了首先要以概念为指导作出异面直线所成的角以外，还要注意把所给的特殊角的条件转化为长方体各棱之间的关系，以便于我们用余弦定理．生：因为BC1∥AD1，所以AB1与BC1所成的角即为∠D1AB1．根师：现在我们来看例3．例3 已知正方体的棱长为a，M为AB的中点，N为B1B的中点．求A1M与C1N所成的角的余弦．（如图3）（1992年高考题）师：我们要求A1M与C1N所成的角，关键还是以概念为指导作出这个角，当一次平移不行时，可用两次平移的方法．在直观图中，根据条件我们如何把A1M 用两次平移的方法作出与C1N所成的角？生：取A1B1的中点E，连BE，由平面几何可知BE∥A1M1，再取EB1的中点F，连FN由平面几何可知FN∥BE，所以NF∥A1M．所以∠C1NF即为A1M与C1N所成的角．师：还可以用什么方法作出A1M与C1N所成的角？生：当BE∥A1M后，可取C1C中点G，连BG，则BG∥C1N，师：这两种解法都要用两次平移来作出异面直线所成的角，现在我们来看例4．例4 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦．（如图4）师：根据异面直线所成的角的概念，再根据长方体的基本性质，如何作出AC1与BD所成的角。

2014~2015学年度第一学期综合训练(二)异面直线一、选择题——对异面直线的理解1.没有公共点的两条直线的位置关系是( )(A)平行 (B)异面 (C)平行或异面 (D)不能确定 2.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是( )(A)异面 (B)平行 (C)平行或异面 (D)平行或异面或相交 3.两条异面直线指的是( ) (A)(B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线(C)(D)4.a 、b 是异面直线，b 、c 也是异面直线，那么a 、c 的位置是( )(A)异面 (B)异面或平行 (C)异面或相交 (D)相交、平行或异面 5.说出正方体中各对线段的位置关系：(1) AB 和CC 1； (2)A 1C 和BD 1； (3)A 1A 和CB 1；(4)A 1C 1和CB 1； (5)A 1B 1和DC ； (6)BD 1和DC.6.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是()32((()()55A B C D二、求异面直线所成角例 S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．练习、 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．B M AN CS B 1(第5题)A 1ABC 1D 1C D B 1(第6题)A 1AB C 1 D 1 CD M N ANMA 1 C 1B 1课后巩固： 一、选择题1.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与AC(A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直 2.设a 、b 、c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①如果a ⊥b 、b ⊥c ，则a ∥c ；②如果a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交；③如果a 、b 是异面直线，c 、b 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ④如果a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面 在上述四个命题中，真命题的个数是()(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)0 3.如果直线l 和n 是异面直线，那么和直线l 、n 都垂直的直线(A)不一定存在 (B)总共只有一条(C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)有无穷多条 4.如图，四面体S-ABC 的各棱长都相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°5.如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°， 点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是()105(()2A B二．如图，四面体ABCD 中，AC ⊥BD,且AC ＝4，BD ＝3，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，求MN 和BD所成角的正切值三.如图，四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝6，BD ＝8，E 是AD 中点，求BE 与CD 所成角的余弦值四.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，M 、N 分别是BC 和A 1C 1MN 与CC 1所成角的余弦值。

异面直线的判定1. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．2. 若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()A．a∥c B．a、c是异面直线C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面3. 若a，b，c是空间3条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是()A．异面B．相交C．平行D．异面或相交4. 若直线a、b、c满足a∥b，a、c异面，则b与c()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线5. 如下图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的4条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS是异面直线的一个图是________．6. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱AA1垂直且异面的棱有________.7. 如下图所示是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直8. 若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则()A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面9. 如右图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由．(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．参考答案1. 【自主解答】根据题目条件知道直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．【答案】①平行②异面③相交④异面2. D 若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面．3. 答案：D4. C 若a∥b，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知a∥c.5. 答案：③6.【解析】如图，与棱AA1垂直且异面的棱有DC，BC，D1C1，B1C1.【答案】DC，BC，D1C1，B1C17. 答案：D8. 答案：B9. 解：(1)不是异面直线．理由：∵M，N分别是A1B1，B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又A1A D1D，而D1D C1C，∴A1A C1C.∴四边形A1ACC1为平行四边形．∴A1C1∥AC，得到MN∥AC.∴A，M，N，C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，∴BC⊂平面CC1D1.而BC⊥平面CC1D1，BC⊄平面CC1D1，∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．。

说课稿:《异面直线所成角习题课》各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢说课稿:《异面直线所成角习题课》《异面直线所成角》是高中数学《立体几何》一章中的第二节《空间两直线》中的重要内容.《立体几何》是高中数学教学中相对独立的一章,而本节内容恰是把平面内的直线扩展为空间任两条直线的位置关系问题,是培养学生建立空间想象力的关键,下面就从以下四个方面说课.*第一方面:教学设计意图:高中《数学教学大纲》要求学生具有良好的空间想象力和一定的作图识图能力,本节教学也要求培养学生对空间两直线所成角这一立体概念的理解,在此基础上,再依据对学生进行素质教育的目标制定了以下教学目标:.认知目标:理解空间两异面直线所成角的概念,并会作出,求出两异面直线所成角.2.能力目标:培养学生的识图,作图能力,在习题讲解中,培养学生的空间想象力和发散思维.3.德育目标:在对学生进行创造性思维培养的同时,激发学生对科学文化知识的探求热情和逻辑清晰的辩证主义观点.本节课的重,难点:教学重点:对异面直线所成角的概念的理解和应用.教学难点:如何在实际问题中求出异面直线所成角.*第二方面:教法的选定本节内容作为《立体几何》中两大重要概念之一––––”角”的初次接触,就要求学生能牢固的落实两异面直线所成角的概念及作法,并能对具体问题求出所成角,这样才能真正提高其空间想象力,根据上述目标要求和学生思维模式缺乏”立体性”这一特点,我采用了”练习教学法”,从习题入手,辅以计算机软件,将平面图形”立”起来,为学生创设较好的思维空间,增强了教学的直观性,再利用”问题中心式”教法,提出问题,对学生进行启发,让学生自己动脑,动口,动手,这样既可以发挥教师的主导作用,又突出了学生的主体地位.第三方面:学法的指导要从两个方面教会学生落实本节内容..根据计算机软件所设计的空间几何图形,带领学生去识图,读图,作图,并能依据图形的特点去分析,作出或找出所要求的所成角,从而加强学生的图形空间想象力.2.找到所求角后,还需指导学生利用逻辑的分析和学过的平面几何知识最终解决问题.第四方面:教学过程和板书设计第一步:采用”温故式导入”,提问学生”两异面直线所成角”的定义,加深学生对概念的掌握,在同学回答的同时,由计算机打出概念,并在重点字”锐角或直角”处闪动,突出重点.再利用计算机演示空间两异面直线所成角的作法,重点体现选取不同点平移均可.第二步:进入例题讲解:”如何对具体问题求异面直线所成角呢”首先,由计算机给出本节第一道例题,及图.教师带领学生一起审题,该题为求证”两直线平行”的简单证明题,其目的在于加强学生对异面直线所成角概念的理解,突出选取”空间任一点平移直线均可”这一原则,为此,特由计算机设计出选取不同点平移的图及证法,再一次强调概念.然后,进入第二道例题,同样由计算机给出题目和图,该题为”在已知正方体内求两组异面直线所成角问题”,不同于前题教法处在于,在教师进行了启发性提问后,由计算机给出3个不同选点,教师让同学自己分析并到前面操作电脑,选取解法,用计算机进行演示,并由学生自己讲解.最后由教师对学生的解法进行归纳总结,从而得出”对特殊几何体中异面直线所成角问题应以几何体为依托,寻找特殊位置进行平移,并利用三角函数及平面几何知识进行求解”这一结论.例3的讲解思路及方法同例2相同.这样,在计算机创设的空间图形效果下,充分调动学生的积极性,发挥学生的主体作用,使学生自己总结并掌握求异面直线所成角的方法和规律,从而达到落实知识的目的.接下来,由同学们独立完成一道练习,进一步巩固本节内容.第三步:总结总结采取让学生自己总结的方法,对本节内容所涉及如何求异面直线所成角的方法进行小结,全面突出学生的主动性学习.第四步:布置作业让学生在回顾本课内容的基础上,进一步加强练习.综观本节习题课,作异面直线所成角并求值这一难点的突破,几乎完全采取由学生自己完成的方法,让学生在自己动手,动脑分析解决问题的过程中,充分体会本节内容的重点,再配以教师适当的点拔,讲解,达到学生真正扎实的落实本课内容,这样,全面的发挥学生的主体作用,辅以教师的主导作用,可以最大限度的活跃课堂,提高学生的学习兴趣和学习效率,达到较好的教学效果.本节课板书设计.两条异面直线所成角,习题课:例1:证明,如果一条直线和两条平行线中的一条垂直,则和另一条也垂直.例2:已知:在正方体ABcD-A1B1c1D1中,E为DD1中点,棱长为a.求:1,cE与AA1所成角的正切值.2,D1B与Ac所成的角.例3:在已知正四面体S-ABc中,各边长均相等,均为1,E为Sc中点,F为AB中点.求:1,EF与SA所成角.2,EA与cF所成角余弦.练习:已知:在长方体ABcD-A1B1c1D1中,AA1B=60,DAD1=45求:AD1与A1B所成的角的余弦值.各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。

5.平行六面体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求证：CD 所在的直线与 BC i 所在的直线是异面直线.异面直线的判定 1•已知空间四边形 ABCD , E 、H 分别是AB 、AD 的中点, 三等分点(如图)，求证：(1) 对角线AC 、BD 是异面直线；(2) 直线EF 和HG 必交于一点，且交点在 AC 上.F 、G 分别是边BC 、DC 的 2.A 是厶BCD 平面外的一点，E 、F 分别是BC 、AD 的中点,(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；3.已知：平面 af 平面3 =a b? a, b A a=A c? B 且c // a ,求证: b 、c 是异面直线.4.已知不共面的三条直线 与BC 是异面直线.a 、b 、c 相交于点 P , A € a , B € a , C € b , D € c ,求证:ADD C小结：常用方法是反证法(1)利用反证法证明对角线AC、BD是共面直线，推出矛盾，从而证明是异面直(2)说明直线EF和HG必交于一点，然后证明这点在平面ADC内.又在平面ABC内，必在它们的交线AC 上.:⑴假设对角线AC、BD在同一平面a内，则A、B、C、D都在平面a内，这与ABCD是空间四边形矛盾，:.AC、BD是异面直线.(2)T E、H分别是AB、AD的中点所以EH平行且等于1/2BD,又F、G分另堤BC、DC的三等分点，EG平行等于2/3BD，. •: EH// FG，且EH v FG.：FE与GH 相交设交点为0,又0在GH 上, GH在平面ADC内，•：O在平面ADC内.同理，0在平面ABC内.从而0在平面ADC与平面ABC的交线AC 上.2. (1)假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，得到A、B、C、D在同一平面内，矛盾.(1)证明：用反证法•设EF与BD不是异面直线，_则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是厶BCD平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.3证明b、c是异面直线，比较困难，考虑使用反证法，即若b与c不是异面直线，则b// c或b与C相交，证明b// c或b与c相交都是不可能的, 从而证明b、c是异面直线证明：用反证法：若b与c不是异面直线，则b// c或b与c相交(1)若b// c. ：a//c，•: a//b 这与a H b=A矛盾；(2)若b，c相交于B，则B E B,又a H b=A:.A E AB? 3 即b? B这与b np =AF盾:-b，c是异面直线.4证明：法一：(反证法)假设AD和BC共面，所确定的平面为a那么点P、A、B、C、D都在平面a内，•：直线a b、c都在平面a内，与已知条件a b、c不共面矛盾，假设不成立，：AD和BC是异面直线.法二：(直接证法)：a n c=P •:它们确定一个平面，设为a由已知C?平面a, B E平面a，AD?平面a, B?AD，:・AD和BC是异面直线.5证明：用反证法，假设CD1所在的直线与BC1所在的直线不是异面直线.设直线CD1与BC1共面aV C, D1E CD1, B, C1E BC1, •: C, D1, B, C1E a •/ CC1 / BB1,:.CC1, BB1 确定平面BB1C1C, :. C, B, C1 E 平面BB1C1C.T不共线的三点C, B, C1只有一个平面，•：平面a与平面BB1C1C重合••：D1E平面BB1C1C,矛盾.因此，假设错误，即CD1所在的直线与BC1所在的直线是异面直线。

三视图与异面直线专题练习1．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 21=，则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为( )A ．51B ．52C ．53D ．542．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1D C 所成的角为 （ ） A B C DA 1B 1C 1D 1A ．30B ．45C ．60D ．903．如图，用一平面去截球所得截面的面积为π2，已知球心到该截面的距离为1 ，则该球的体积是（ ）A.π34 π32.B π3.C π334.D 4．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则正视图中a的值为（ ）A.8B.6C.4D.25．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A.54B.27C.18D.96．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为( )A. 1B.C.D.7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）Ａ．3 Ｂ．3 Ｃ．68．在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成角的余弦值为________．9．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,1ACB AA AC BC ∠====，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是____________．10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,AD AA 的中点．则直线1AB 和EF 所成的角为__________．11．已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M 是母线PA 的中点，AB 是底面圆的直径，底面半径OC 与母线PB 所成的角的大小等于θ．A B（1）当60θ=︒时，求异面直线MC 与PO 所成角的余弦值；（2）当三棱锥M ACO -的体积最大时，求θ的值．12．如图,在直三棱柱111ABC A B C -中, 3AC =, 4BC =,5AB =,点D 是AB 的中点.四面体BCD B -1的体积是2，求异面直线1DB 与1CC 所成角的正切值.13BCD A -中，BD 长为E 为棱BC 的中点，求（1）异面直线AE 与CD 所成角的余弦值大小；（2）正三棱锥BCD A -的表面积．参考答案1．D【解析】试题分析：如图，连接111,BC C A ,在正四棱柱中,1AD ∥1BC ，所以11BC A ∠为异面直线B A AD 11,所成角.设1=AB ,则21=AA ,所以在11BC A ∆中，2,51111===C A BC B A ,根据余弦定理有54cos 11=∠BC A .考点：异面直线成角,余弦定理.2．C【解析】试题分析：如图，连接1A B 、DB ，异面直线1A D 与1D C 所成的角即为1BA D ∠，由正方体可知11A B DB A D ==，所以0160BA D ∠=.考点：异面直线所成的角.3．A【解析】试题分析：由于截面圆的面积为π2，可得r=2,又球心到该截面的距离为1，所以球的半径R=3，所以球的体积V=334R π=π34.考点：球的体积4．B B DA C C 1B 1 D 1A 1【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是以底面是矩形的四棱锥，且底面积为3S a =,，三棱锥的高为4，因此四棱锥的体积为1143442433V S a a =⋅=⨯⨯==，解得6a =，故选B. 考点：1.三视图；2.空间几何体的体积5．C【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是底面为矩形的三棱锥，矩形的长为6，高为3，底面积为6318S =⨯=，此三棱锥的高为3h =，因此该几何体的体积为111831833V Sh ==⨯⨯=，故选C. 考点：1.三视图；2.空间几何体的体积6．B【解析】由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图，其中正视图为，是边长为2的正三角形，，且，底面为等腰直角三角形，，所以体积为，故选B.7．A【解析】试题分析：该几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥，所以体积为22122-21=4343⨯⨯⨯. 考点：空间几何体的体积.8．12【解析】延长CA 至点M ，使AM ＝CA ，则A 1M ∥C 1A ，∠MA 1B 或其补角为异面直线BA 1与AC 1所成的角，连接BM ，易知△BMA 1为等边三角形，因此，异面直线BA 1与AC 1所成的角为60°，cos 60°＝12.9．6【解析】试题分析：由于AC ∥11A C ，所以11BA C ∠（或其补角）就是所求异面直线所成的角，在11BA C ∆中，1A B 111AC =，1BC =，11cos BAC ∠==． 考点：异面直线所成的角．10． 60【解析】试题分析：,E F 分别是1,AD AA 的中点，所以 D A EF 1//,C B D A 11//,即直线1AB 和EF 所成的角为1AB 与C B 1所成的角，连接AC ,C AB 1∆为等边三角形，所以夹角为060.考点：异面直线所成的角11．（1）arccos13或arccos 37，（2）90θ=︒.【解析】试题分析：（1）求异面直线所成角，关键在平移，即将空间角转化为平面角.利用中位线实现线线之间平移. 连MO ，过M 作MD AO ⊥，则//MD PO ∴DMC ∠等于异面直线MC 与PO 所成的角或其补角.又//MO PB ，所以MOC ∠为异面直线OC 与PB 所成的角或其补角.明确角之后，只需在相应三角形中求解即可.（2）因为三棱锥M ACO -的高确定，所以要使得三棱锥M ACO -的体积最大只要底面积OCA ∆的面积最大．而OCA ∆的两边确定为半径，因此要使得OCA ∆的面积最大，只需两半径夹角的正弦值最大，也即为直角. 试题解析：解：（1） 连MO ，过M 作MD AO ⊥交AO 于点D ，连DC ．DO C B A MP又PO ==MD ∴=43OC OM ==，．//MD PO ，∴DMC ∠等于异面直线MC 与PO 所成的角或其补角．//MO PB ，∴60MOC ∠=︒或120︒． 5分当60MOC ∠=︒时，∴MC =∴cos 13MD DMC MC ∠==，∴arccos 13DMC ∠=当120MOC ∠=︒时，∴MC =．∴cos 37MD DMC MC ∠==，∴DMC ∠=综上异面直线MC 与PO所成的角等于或． 8分 （2）三棱锥M ACO -的高为MD，要使得三棱锥M ACO -的体积最大只要底面积OCA ∆的面积最大．而当OC OA ⊥时，OCA ∆的面积最大． 10分 又OC OP ⊥，此时OC PAB ⊥平面，∴OC PB ⊥，90θ=︒ 12分考点：异面直线所成角12．5arctan 4【解析】试题分析：因为3AC =, 4BC =,5AB =，所以三角形ABC 是直角三角形.又由直三棱柱111ABC A B C -，四面体BCD B -1的体积是2.所以可解得12B B =.又异面直线1DB 与1CC 所成的角即1DB 与1B B 所成的角.即可解得.试题解析：直三棱柱111ABC A B C -中11//CC BB所以1DB B ∠为异面直线1DB 与1CC 所成的角（或其补角） 3分 直三棱柱111ABC A B C -中1111113423322B BCD BCD V S B B B B -∆=⋅=⨯⨯⨯=得12B B = 7分由点D 是AB 的中点得52DB = 直三棱柱111ABC A B C -中1B B BD ⊥1Rt B BD ∆中11552tan 24BD DB B B B ∠=== 所以15arctan4DB B ∠=（或1DB B ∠=） 所以异面直线1DB 与1BC 所成的角为5arctan 4（或 12分 考点：1.异面直线所成的角.2.三棱锥的体积.3.解三角形知识.13．（1）（2） 【解析】试题分析：（1）本题求异面直线所成的角，根据定义要把这个角作出来，一般平移其中一条，到与另一条相交为此，题中由于有BC 的中点E ，因此我们以BD 中点F ，就有//EF CD ，那么AEF ∠就是所求的角（或其补角）；（2）要求正三棱锥的表面积，必须求得斜高，由已知体积，可以先求得棱锥的高，取BCD ∆的中心O ，那么AO 就是棱锥的高，下面只要根据正棱锥的性质（正棱锥中的直角三角形）应该能求得侧棱长或斜高，有了斜高，就能求得棱锥的侧面积了，再加上底面积，就得到表面积了．试题解析：（1）过点A 作AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，则O 为BCD △的中心，由212334AO ⋅⋅⋅⋅1AO =（理1分文2分） 又在正三角形BCD 中得=1OE ，所以AE =（理2分文4分）取BD 中点F ，连结AF 、EF ，故EF ∥CD ，所以AEF ∠就是异面直线AE 与CD 所成的角．（理4分文6分）在△AEF 中，AE AF ==EF = （理5分文8分）所以222cos 2AE EF AF AEF AE EF +-∠==⋅⋅． （理6分文10分）所以，异面直线AE 与CD 所成的角的大小为 （理7分文12分）（2）由AE =BCD A -的侧面积为13322S BC AE =⋅⋅⋅=⋅= （理10分） 所以正三棱锥BCD A -的表面积为24S BC =⋅= （理12分） 考点：（1）异面直线所成的角；（2）棱锥的体积与表面积．。

练习一1．选择题（1）“a，b是异面直线”是指①a∩b=Φ且a不平行于b；②a⊂平面α，b⊂平面β且a∩b=Φ③a⊂平面α，b⊄平面α④不存在平面α，能使a⊂α且b⊂α成立上述结论中，正确的是（）（A）①②（B）①③（C）①④（D）③④（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（）（A）2对（B）3对（C）6对（D）12对（3）两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b的位置关系是（）（A）一定是异面直线（B）一定是相交直线（C）可能是平行直线（D）可能是异面直线，也可能是相交直线（4）一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）（A）平行（B）相交（C）异面（D）相交或异面2．画图表示两条异面直线（至少要画两种不同的图形）3．命题“平面内一点和平面外一点的连线和平面内不过该点的直线是异面直线”（1）改写为符号叙述（2）试证明该命题.4．用以上结论证明空间四边形对边是异面直线.练习二1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）平行于同一直线的两条直线平行 （ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行 （ ） （3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 （ ） （4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条 （ ） （5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ）（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等 （ ） 2．填空题（1）三条直线a ，b ，c 中，a //b ，b 与c 相交，那么a 与c 的位置关系是 . （2）空间四边形ABCD 各边中点分别为M 、N 、P 、Q ，则四边形MNPQ 是 四边形 3．如图AB //CD ，AB ∩α=E ，CD ∩α= F ，画出AD 与平面α的交点，写出画法，并说明理由.4．将一张长方形的纸片ABCD 对折一次，EF 为折痕，再打开竖直在桌面上，如图所示连结AD 、BC ，求证：⊿ADE ≌⊿BCF5．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1、CC 1的中点， （1）判断四边形DMB 1N 的形状 （2）求四边形DMB 1N 的面积练习三1．选择题（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）A 、B 、C 、D 、E 、F 、CBFEADB 1A 1 C 1D 1N MABCD（A ）异面 （B ）平行 （C ）相交 （D ）以上都有可能（2）异面直线a ，b 满足a ⊂α，b ⊂β，α∩β=l ，则l 与a ，b 的位置关系一定是（ ） （A ）l 与a ，b 都相交（B ）l 至少与a ，b 中的一条相交 （C ）l 至多与a ，b 中的一条相交（D ）l 至少与a ，b 中的一条平行（3）两异面直线所成的角的范围是（ ）（A ）（0°，90°）（B ）[0°，90°) （C ）（0°，90°] （D ）[0°，90°] 2．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行 （ ） （2）和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线 （ ） （3）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变 （ ） （4）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形 （ ） 3．如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是边长为a 的正方体，计算下列问题： （1）A 1D 1与B 1B 所成角的大小； （2）A 1D 1与AC 所成角的大小； （3）AD 1与B 1C 所成角的大小； （4）A 1C 与AB 所成角的正切值； （5）A 1D 1与B 1B 的距离； （6）A 1C 1与BD 的距离； （7）A 1D 1与AB 1的距离；（8）若E 、F 、G 、H 为对应棱的中点，求EF 、EH 所成的角.4．E 、F 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、CD 的中点，且EF =5，BC =6，AD =8，求异面直线AD 与EF 所成角的正弦值.练习四1．判断题（对的打“√”，错的打“×”） （1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条（ ）（2）两线段AB 、CD 不在同一平面内，如果AC =BD ，AD =BC ，则AB ⊥CD （ ） （3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60º（ ） ABC DGEFHA 1B 1 D 1C 1BCFEAD（4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直 （ ）2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中 ① BM 与ED 平行； ② CN 与BE 是异面直线； ③ CN 与BM 成60º角； ④ DM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）（A ）①②③（B ）②④（C ）③④（D ）②③④3．在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点 （1）若AC ⊥BD 时，求证：EFGH 为矩形；（2）若BD =2，AC =6，求EG 2+HF 2；（3）若AC 、BD 成30º角，AC =6，BD =4，求四边形EF GH 的面积；（4）若AB =BC =CD =DA =AC =BD =2，求AC 与BD 间的距离.EA FB C MN DBACDEFGHABCD。