最新2014-2015学年华师大版九年级数学下27.4正多边形和圆同步跟踪训练(考点+分析+点评)

27.4 正多边形和圆1．下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( )(1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(1)(3)D ．(1)(4)2．以下说法正确的是A ．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．B ．正n 边形的对称轴不一定有n 条．C ．正n 边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．D ．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．3.若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )A． BC ．1:2:3D ． 3:2:14.如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则ABB A 11的值为（ ） A ．21 B ．22 C ．41 D ．42 5． 已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O 的半径为______________________．第5题图 第6题图6．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在AD 上，则∠BEC= ．7．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是 度．D A8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ． 9．如图五边形ABCDE 内接于⊙O,∠A =∠B=∠C=∠D=∠E ．求证：五边形ABCDE 是正五边形10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n 分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正四边形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCD …，点M 、N 分别从点B 、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动。

27.4 正多边形和圆 同步习题一、选择题1．如图，AB 是⊙O 的直径，O 为圆心，C 是⊙O 上的点，D 是AC 上的点，若∠D ＝120°，则∠BOC 的大小为（ ）A ．60°B ．55°C ．58°D ．40°2．如图，五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD 的度数是（ ）A ．60°B ．36°C ．76°D ．72°3．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积1S 来近似估计⊙O 的面积S ，设⊙O 的半径为1，则1S S -的值为（ ）（ 3.14π≈）A．0B．0.14C．0.5D．14．如图，将正五边形绕中心O顺时针旋转a角度，与原正五边形构成新的图形，若要使该图形既是轴对称又是中心对称图形，则a的最小角度为（）A．30B．36C．72D．905．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是CD上的任意一点，则∠APB的大小是（）A．15°B．30°C．45°D．60°6．正六边形ABCDEF内接于O，正六边形的周长是12，则AB的长是（）A．12πB．23πC．43πD．2π7．如图，AB，AC分别为⊙O的内接正三角形和内接正四边形的一边，若BC恰好是同圆的一个内接正n 边形的一边，则n 的值为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．158．如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于⊙O ，则∠DAF 的度数是（ ）A ．45°B ．30°C ．15°D ．10°9．如图，一个半径为r （r ＜1）的圆形纸片在边长为6的正六边形内任意运动，则在该六边形内，这个圆形纸片不能接触到的部分的面积是（ ）A ．πr 2B ．24rC ．22r π-D ．2213r π- 10．我们把“各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形”，“顶点在圆上两边都与圆相交的角叫圆周角”，可利用“同圆中，相等的圆周角所对的弧相等”解决下列问题：若各内角都相等的圆内接n 边形是正n 边形，则n 的值一定可以是（ ）．A．3，4B．4，5C．6，8D．7，9二、填空题11．正六边形的边长、半径、边心距之比为_________________．12．如图，五边形ABCDE为O的内接正五边形，则CAD∠=________．13．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边,OA OE分别交于点,F G，点M在FG上，则圆周角FMG∠的大小为_______度．14．如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而902=45是360°（多边形外角和）的18，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．图2中的图案外轮廓周长是_____，在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_____，15．如图，有一个圆O 和两个正六边形1T ，2T ．2T 的6个顶点都在圆周上，1T 的6条边都和圆O 相切（我们称1T ，2T 分别为圆O 的外切正六边形和内接正六边形），若设1T ，2T 的周长分别为a ，b ，圆O 的半径为r ，则:r a =___；:r b =____；正六边形1T ，2T 的面积比12:S S 的值是____．三、解答题16．如图，O 是正方形ABCD 的外接圆，点P 在O 上，求APB ∠的度数.17．如图，⊙O 为等边△ABC 的外接圆，其半径为1，P 为弧AB 上的动点(P 点不与A 、B 重合)，连接AP ，BP ，CP.(1)求证：PA+PB＝PC，(2)求四边形APBC面积的最大值.18．如图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动．(1)求图1中∠APN的度数；(2)图2中，∠APN的度数是_______，图3中∠APN的度数是________．(3)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）学参考答案1．A 2．D 3．B 4．B 5．B6．B 7．C 8．C 9．C 10．D11．2:2:12．36°13．12014．14 2115164:3学16．45APB∠=︒.17．(1)证明略；18．（1）60°；（2）90°，108°；（3）()2180 nn-︒.。

27.4正多边形和圆同步练习-华东师大版数学九年级下册学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题2．如图，O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为CAD上除C，D外的任意13．如图，四边形ABCD内接于O，延长DC至点E，连接BE．若四边形ABED 是菱形，80∠的度数为是( )∠=︒，则EBCDABA．20︒B．25︒C．30︒D．35︒4．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠=︒，则这个正多边形的边数为（）18ADBA．8 B．9 C．10 D．115．如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点. 如果∠AOB=140°，那么∠ACB的度数为（）A．70°B．110°C．140°D．70°或110°6．如图，正五边形ABCDE内接于O，点F是DE上的动点，则AFC∠的度数为（）A．60°B．72°C．144°D．随着点F的变化而变化7．在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，有一个半径为1的硬币与边AB、AD相切，硬币从如图所示的位置开始，在矩形内沿着边AB、BC、CD、DA滚动到开始的位置为止，硬币自身滚动的圈数大约是A．1圈B．2圈C．3圈D．4圈8．由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形（如9．如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则AB的长度为（）910．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°二、填空题11．如图，ABC中，90,3,4,ACB AC BC CD∠=︒==是边E上的高，,E F分别是,ACD BCD的内切圆，则E与F的面积比为．12．正六边形的边长为2，则其外接圆的半径为，正六边形的面积为．13．半径为1的圆的内接正三角形的边长为．14．如图，多边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠ACD等于°．内接于O，取次对剩余五段弧取中点可得一个圆内接正十二边形，，正六边形的面积为218．如图，正六边形ABCDEF内接于O，正六边形的周长是24，则O的半径是．19．若正六边形的周长为6，则它的面积为．20．如图，A、B、C、P是⊙O上的四个点，∠ACB=60°，且PC平分∠APB，则△ABC的形状是．参考答案：。

第27章 圆7.4 多边形和圆1．如果一个正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是( ) A ．10 B ．8 C ．6 D ．52．如图所示，在⊙O 中，OA ＝AB ＝OB ，OC ⊥AB ，则下列结论错误的是( )A ．弦AB 的长等于圆的内接正六边形的边长 B ．弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长 C.AC ︵＝BC ︵D ．∠BAC ＝30°3．[2018·德阳]已知圆内接正三角形的面积为3，则该圆的内接正六边形的边心距是( )A ．2B ．1 C. 3 D.324．半径为2的圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边心距之比为_______________________．5．有一个亭子，它的地基是边心距为2 m 的正六边形，求地基的周长和面积(结果保留根号)．一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设圆O 的半径为1，若用圆O 的外切正六边形的面积来近似估计圆O 的面积，S ＝ ______．(结果保留根号)7．如图所示，边长为a 的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则阴影部分的面积是空白面积的多少倍？8．小刚现有一边长为a m 的正方形花布，准备做一个形状为正八边形的风筝，参加全校组织的风筝比赛，那么在这样的花布上怎样裁剪，才能得到一个面积最大的风筝？参考答案【分层作业】1．A 2．D 3．B 4．1∶2∶ 35．解：如答图所示，∵六边形ABCDEF 是正六边形，答图∴∠BOC ＝16×360°＝60°.又∵OB ＝OC ，OP ⊥BC ，∴△OBC 是等边三角形，∠BOP ＝∠COP ＝30°，∴BC ＝OB ，cos 30°＝OP OB.而OP ＝23，∴BC ＝OB ＝4，∴该地基的周长＝4×6＝24(m)， 面积＝6×12×4×23＝243(m 2)．6．23 【解析】如答图．答图根据题意可知OH ＝1，∠BOC ＝60°，∴△OBC 为等边三角形，∴BHOH＝tan ∠BOH ，∴BH ＝33，∴S ＝12×33×1×12＝2 3.7．答图解：如答图，∵三角形的斜边长为a ， ∴两条直线边长分别为12a ，32a ，∴S 空白＝12a ·32a ＝34a 2.∵AB ＝a ，∴OC ＝32a ， ∴S 正六边形＝6×12a ·32a ＝332a 2，∴S 阴影＝S 正六边形－S 空白＝332a 2－34a 2＝534a 2，∴S 阴影S 空白＝5. 8． 解：如答图所示，在正方形ABCD 中，△DEF ，△CGH ，△BOP ，△AMN 为全等的等腰直角三角形，八边形EMNOPHGF 为正八边形．答图设直角边DE ＝DF ＝CG ＝CH ＝x .在Rt △DEF 中，EF ＝2x .∵EF ＝FG ，且DC ＝DF ＋FG ＋CG ，∴x ＋x ＋2x ＝a ，解得x ＝2－22a ≈0.3a ，因此，从四个角上各剪去一个直角边长约为0.3am 的等腰直角三角形，即可得到一个面积最大的正八边形风筝．。

华师大新版九年级下学期《27.4 正多边形和圆》同步练习卷一．选择题（共2小题）1．如图，⊙O与正八边形OABCDEFG的边OA，OG分别相交于点M、N，则弧MN所对的圆周角∠MPN的大小为（）A．30°B．45°C．67.5°D．75°2．如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC和AD 相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG=18°；②FG=3﹣；③（S ）2=9+2；④DF2﹣DG2=7﹣2．其中结论正确的个数是（）四边形CDEFA．1B．2C．3D．4二．填空题（共48小题）3．小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为cm．4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为（结果保留根号和π）．5．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM=BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是度．6．如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4，点O1，O2分别是△ABF，△CDE 的内心，则O1O2=．7．同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为．8．如图，Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=2，∠B=30°，正六边形DEFGHI完全落在Rt△ABC内，且DE在BC边上，F在AC边上，H在AB边上，则正六边形DEFGHI 的边长为，过I作A1C1∥AC，然后在△A1C1B内用同样的方法作第二个正六边形，按照上面的步骤继续下去，则第n个正六边形的边长为．9．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM=．10．如图，正方形ABCD中，AB=3，以B为圆心，AB长为半径画圆B，点P 在圆B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至Q，连接BQ，在点P移动过程中，BQ长度的最小值为．11．如图，正方形ABCD内接于半径为4的⊙O，则图中阴影部分的面积为．12．如图，点A1，B1，C1，D1，E1，F1分别是正六边形ABCDEF六条边的中点，连接AB1，BC1，CD1，DE1，EF1，FA1后得到六边形GHIJKL，则S六边形GHIJKI ：S六边形ABCDEF的值为．13．如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若AB=4，则CN=．14．如图，正八边形ABCDEFGH的边长为a，I、J、K、L分别是各自所在边的中点，且四边形IJKL是正方形，则正方形IJKL的边长为（用含a的代数式表示）．15．如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上，若AB=1，则CN=．16．如图，已知P、Q分别是⊙O的内接正六边形ABCDEF的边AB、BC上的点，AP=BQ，则∠POQ的度数为．17．如图，点F、G在正五边形ABCDE的边上，BF、CG交于点H，若CF=DG，则∠BHG=．18．如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n=2018时，顶点A的坐标为．19．如图1，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为5；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图2中阴影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2F2，如图3中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4F4的面积为．20．如图，分别以正六边形ABCDEF的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画弧BF，弧CE，若AB=1，则阴影部分的面积为．21．在平面上将边长相等的正方形、正五边形和正六边形按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为．22．如图，正六边形ABCDEF 的顶点B、C 分别在正方形AGHI 的边AG、GH 上，如果AB=4，那么CH的长为．23．如图，分别以正六边形相间隔的3个顶点为圆心，以这个正六边形的边长为半径作扇形得到“三叶草”图案，若正六边形的边长为3，则“三叶草”图案中阴影部分的面积为（结果保留π）24．如图，AB，AC分别为⊙O的内接正六边形，内接正方形的一边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于．25．如图，正三角形的边长为3cm，剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内部任意一点到六边的距离之和为cm．26．如图，多边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠ACD等于．27．“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术注》中提到的“如何求圆的周长和面积”的方法，即“割圆术”．“割圆术”的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图，AB是圆内接正六边形的一条边，半径OB=1，OC⊥AB于点D，则圆内接正十二边形的边BC的长是（结果不取近似值）．28．有一个亭子的地基如图所示，它是一个半径为4m的正六边形，它的面积是（保留根号）．29．如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切于A、C两点，则∠AOC的度数为．30．如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=3，EF=4，FC=5，则正方形ABCD的外接圆的半径是．31．如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为．32．如图，正三角形的边长为12cm，剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为cm．33．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如图所示．通过计算（结果保留根号与π），我们能轻松计算出图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为cm；图②图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径都为10；其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，求出此时圆形硬纸板的直径为cm．34．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（2，0），，正六边形ABCDEF沿轴正方向无滑动滚动，滚动1次，点C的坐标变为，滚动4次，点C的坐标变为，保持上述运动过程，经过的正六边形的顶点是．35．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为2，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…这样连续2017次旋转的过程中，点B，M间的距离范围是．36．如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点C、F在x轴上，顶点A的坐标为（1，），则顶点D的坐标为．37．T1、T2分别为⊙O的内接正六边形和外切正六边形．设T1的半径r，T1、T2的边长分别为a、b，T1、T2的面积分别为S1、S2．下列结论：①r：a=1：1；②r：b=；③a：b=1：；④S1：S2=3：4．其中正确的有．（填序号）38．如图，以边长为5的正五边形的五个顶点作5个半径为2的扇形，那么图中阴影部分面积的和是．39．如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是上的一动点（不与点A、B重合），点F是上的一点，连接OE，OF，分别与交AB，BC于点G，H，且∠EOF=90°，连接GH，有下列结论：①=；②△OGH是等腰直角三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为4+2．其中正确的是．（把你认为正确结论的序号都填上）40．如图，圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB 的度数是，若⊙O的半径为5，则弧BD的长度为（结果保留π）41．边长为4的正方形ABCD的两条对角线交于点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意转动，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当正六边形EFGHIJ的边长最大，且EJ∥AD时，tan∠DAE=．42．如图，∠MON=60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第4次作图后，点B4到ON的距离是．43．如图，⊙O的半径为R，以圆内接正方形ABCD的顶点B为圆心，AB为半径．画弧AC，则阴影部分的面积是．44．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为．45．如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB=1，则阴影部分图形的周长为（结果保留π）．46．如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是．47．如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，点E是上一点（不与A、B 重合），点F是上一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF=90°．有下列结论：①=；②△OGH是等腰三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④若BG=1﹣，则BG，GE，围成的面积是+．其中正确的是（把所有正确结论的序号都填上）48．如图，已知M（3，3），⊙M的半径为2，四边形ABCD是⊙M的内接正方形，E为AB中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，△OME的面积最大值为．49．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值，设半径为r 的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n=6时，π≈= =3，那么当n=12时，π≈=．（结果精确到0.01，参考数据：sin15°=cos75°≈0.259）50．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．华师大新版九年级下学期《27.4 正多边形和圆》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，⊙O与正八边形OABCDEFG的边OA，OG分别相交于点M、N，则弧MN所对的圆周角∠MPN的大小为（）A．30°B．45°C．67.5°D．75°【分析】首先求得正八边形OABCDEFG的内角的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．【解答】解：∵八边形OABCDEFG是正六边形，∴∠AOG=，即∠MON=135°，∴∠MPN=∠MON=67.5°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理与正六边形的性质．此题比较简单，注意掌握正六边形内角的求法与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意数形结合思想的应用．2．如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC和AD 相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG=18°；②FG=3﹣；③（S ）2=9+2；④DF2﹣DG2=7﹣2．其中结论正确的个数是（）四边形CDEFA．1B．2C．3D．4【分析】①先根据正五方形ABCDE的性质得：∠ABC=180°﹣=108°，由等边对等角可得：∠BAC=∠ACB=36°，再利用角相等求BC=CF=CD，得∠CDF=∠CFD==54°，可得∠FDG=18°；②证明△ABF∽△ACB，得，代入可得FG的长；③如图1，先证明四边形CDEF是平行四边形，根据平行四边形的面积公式可得：（S）2=EF2•DM2=4×=10+2；四边形CDEF=FD•EC=2④如图2，▱CDEF是菱形，先计算EC=BE=4﹣FG=1+，由S四边形CDEF ×，可得FD2=10﹣2，计算可得结论．【解答】解：①∵五方形ABCDE是正五边形，∴AB=BC，∠ABC=180°﹣=108°，∴∠BAC=∠ACB=36°，∴∠ACD=108°﹣36°=72°，同理得：∠ADE=36°，∵∠BAE=108°，AB=AE，∴∠ABE=36°，∴∠CBF=108°﹣36°=72°，∴BC=FC，∵BC=CD，∴CD=CF，∴∠CDF=∠CFD==54°，∴∠FDG=∠CDE﹣∠CDF﹣∠ADE=108°﹣54°﹣36°=18°；所以①正确；②∵∠ABE=∠ACB=36°，∠BAC=∠BAF，∴△ABF∽△ACB，∴，∵BC=ED，BF=EG，∴，∴AB•ED=AC•EG，∵AB=ED=2，AC=BE=BG+EF﹣FG=2AB﹣FG=4﹣FG，EG=BG﹣FG=2﹣FG，∴22=（2﹣FG）（4﹣FG），∴FG=3+＞2（舍），FG=3﹣；所以②正确；③如图1，∵∠EBC=72°，∠BCD=108°，∴∠EBC+∠BCD=180°，∴EF∥CD，∵EF=CD=2，∴四边形CDEF是平行四边形，过D作DM⊥EG于M，∵DG=DE，∴EM=MG=EG=（EF﹣FG）=（2﹣3+）=，由勾股定理得：DM===，）2=EF2•DM2=4×=10+2；∴（S四边形CDEF所以③不正确；④如图2，连接EC，∵EF=ED，∴▱CDEF是菱形，∴FD⊥EC，∵EC=BE=4﹣FG=4﹣（3﹣）=1+，∴S=FD•EC=2×，四边形CDEF×FD×（1+）=，FD2=10﹣2，∴DF2﹣DG2=10﹣2﹣4=6﹣2，所以④不正确；本题正确的有两个，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正五边形的性质、平行四边形和菱形的判定和性质，有难度，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键．二．填空题（共48小题）3．小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为8cm．【分析】设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过O作OG⊥PM，OH⊥AB，由正六边形的性质及邻补角性质得到三角形PMN为等边三角形，由小正六边形的面积求出边长，确定出PM的长，进而求出三角形PMN的面积，利用垂径定理求出PG的长，在直角三角形OPG中，利用勾股定理求出OP的长，设OB=xcm，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过O作OG⊥PM，OH ⊥AB，由题意得：∠MNP=∠NMP=∠MPN=60°，∵小正六边形的面积为cm2，∴小正六边形的边长为cm，即PM=7cm，=cm2，∴S△MPN∵OG⊥PM，且O为正六边形的中心，∴PG=PM=cm，OG=PM=，在Rt△OPG中，根据勾股定理得：OP==7cm，设OB=xcm，∵OH⊥AB，且O为正六边形的中心，∴BH=x，OH=x，∴PH=（5﹣x）cm，在Rt△PHO中，根据勾股定理得：OP2=（x）2+（5﹣x）2=49，解得：x=8（负值舍去），则该圆的半径为8cm．故答案为：8【点评】此题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质是解本题的关键．4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为﹣（结果保留根号和π）．【分析】正六边形的中心为点O，连接OD、OE，作OH⊥DE于H，根据正多边形的中心角公式求出∠DOE，求出OH，得到正六边形ABCDEF的面积，求出∠A，利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积，结合图形计算即可．【解答】解：正六边形的中心为点O，连接OD、OE，作OH⊥DE于H，∠DOE==60°，∴OD=OE=DE=1，∴OH=，∴正六边形ABCDEF的面积=×1××6=，∠A==120°，∴扇形ABF的面积==，∴图中阴影部分的面积=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握正多边形的中心角、内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．5．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM=BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是72度．【分析】连接OA、OB、OC，根据正多边形的中心角的计算公式求出∠AOB，证明△AOM≌△BON，根据全等三角形的性质得到∠BON=∠AOM，得到答案．【解答】解：连接OA、OB、OC，∠AOB==72°，∵∠AOB=∠BOC，OA=OB，OB=OC，∴∠OAB=∠OBC，在△AOM和△BON中，∴△AOM≌△BON，∴∠BON=∠AOM，∴∠MON=∠AOB=72°，故答案为：72．【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形与圆的关系、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．6．如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4，点O1，O2分别是△ABF，△CDE 的内心，则O1O2=12+4．【分析】设△AFB的内切圆的半径为r，过A作AM⊥BF于M，连接O1F、O1A、O1B，解直角三角形求出AM、FM、BM，根据三角形的面积求出r，即可求出答案．【解答】解：过A作AM⊥BF于M，连接O1F、O1A、O1B，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠A==120°，AF=AB，∴∠AFB=∠ABF=（180°﹣120°）=30°，∴△AFB边BF上的高AM=AF=（6+4）=3+2，FM=BM=AM=3+6，∴BF=3+6+3+6=12+6，设△AFB的内切圆的半径为r，=S+S+S，∵S△AFB∴×（12+6）×（3+2）=×r+×r+×（12+6）×r，解得：r=3，即O1M=r=3，∴O1O2=2×3+6+4=12+4，故答案为：12+4．【点评】本题考查了正多边形和圆，解直角三角形，三角形面积公式，三角形的内接圆和内心等知识点，能求出△ABF的内切圆的半径是解此题的关键．7．同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为：1．【分析】先画出同一个圆的内接正方形和内接正三角形，设⊙O的半径为R，求出正方形的边心距和正三角形的边心距，再求出比值即可．【解答】解：设⊙O的半径为R，⊙O的内接正方形ABCD，如图，过O作OQ⊥BC于Q，连接OB、OC，即OQ为正方形ABCD的边心距，∵四边形BACD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴O为正方形ABCD的中心，∴∠BOC=90°，∵OQ⊥BC，OB=CO，∴QC=BQ，∠COQ=∠BOQ=45°，∴OQ=OC×cos45°=R；设⊙O的内接正△EFG，如图，过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH为正△EFG的边心距，∵正△EFG是⊙O的外接圆，∴∠OGF=∠EGF=30°，∴OH=OG×sin30°=R，∴OQ：OH=（R）：（R）=：1，故答案为：：1．【点评】本题考查了正多边形与圆、解直角三角形，等边三角形的性质、正方形的性质解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．8．如图，Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=2，∠B=30°，正六边形DEFGHI完全落在Rt△ABC内，且DE在BC边上，F在AC边上，H在AB边上，则正六边形DEFGHI 的边长为，过I作A1C1∥AC，然后在△A1C1B内用同样的方法作第二个正六边形，按照上面的步骤继续下去，则第n个正六边形的边长为（）n﹣1×（）n．【分析】如图，连接AG，延长HG交AC于J．则易知AJ=JF=CF，设EF=a，则EC= a，CF=a．构建方程求出a，探究规律利用规律即可解决问题；【解答】解：如图，连接AG，延长HG交AC于J．则易知AJ=JF=CF，设EF=a，则EC=a，CF=a．∴3CF=AC，∴a=AC，在Rt△ABC中，∵AB=2，∠B=30°，∴AC=AB=1，∴a=，易知A1C1=a，∴第二个正六边形边长为：××=（）1×（）2，同法可得第三个正六边形的边长为：=（）2×（）3，∴第n个正六边形的边长为：（）n﹣1×（）n，故答案为：，（）n﹣1×（）n；【点评】本题考查正多边形和圆、规律型问题、平行线的性质等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．9．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM= 48°．【分析】连接OA，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，结合图形计算即可．【解答】解：连接OA，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB==72°，∵△AMN是正三角形，∴∠AOM==120°，∴∠BOM=∠AOM﹣∠AOB=48°，故答案为：48°．【点评】本题考查的是正多边形与圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．10．如图，正方形ABCD中，AB=3，以B为圆心，AB长为半径画圆B，点P 在圆B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至Q，连接BQ，在点P移动过程中，BQ长度的最小值为（3﹣1）．【分析】通过画图发现，点Q的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆，可知：当Q在对角线BD上时，BQ最小，先证明△PAB≌△QAD，则QD=PB=1，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出BQ的长．【解答】解：如图，当Q在对角线BD上时，BQ最小，连接BP，由旋转得：AP=AQ，∠PAQ90°，∴∠PAB+∠BAQ=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠BAQ+∠DAQ=90°，∴∠PAB=∠DAQ，∴△PAB≌△QAD，∴QD=PB=1，在Rt△ABD中，∵AB=AD=3，由勾股定理得：BD=，∴BQ=BD﹣QD=3﹣1，即BQ长度的最小值为（3﹣1）．故答案为：（3﹣1）．【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值问题，寻找点Q的运动轨迹是本题的关键，通过证明两三角形全等求出BQ长度的最小值最小值．11．如图，正方形ABCD内接于半径为4的⊙O，则图中阴影部分的面积为4π﹣4．【分析】直接利用正方形的性质结合后扇形面积求法得出答案．【解答】解：连接AO，DO，∵正方形ABCD内接于半径为4的⊙O，∴∠AOD=90°，则阴影部分的面积为：﹣×4×4=4π﹣4．故答案为：4π﹣4．【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，正确得出∠AOD=90°是解题关键．12．如图，点A1，B1，C1，D1，E1，F1分别是正六边形ABCDEF六条边的中点，连接AB1，BC1，CD1，DE1，EF1，FA1后得到六边形GHIJKL，则S六边形GHIJKI ：S六边形ABCDEF的值为．【分析】设正六边形ABCDEF的边长为4a，则AA1=AF1=FF1=2a．承办方求出正六边形的边长，根据S六边形GHIJKI ：S六边形ABCDEF=（）2，计算即可；【解答】解：设正六边形ABCDEF的边长为4a，则AA1=AF1=FF1=2a．作A1M⊥FA交FA的延长线于M．在Rt△AMA1中，∵∠MAA1=60°，∴∠MA1A=30°，∴AM=AA1=a，MA1=a，FM=5a，在Rt△A1FM中，FA1==2a，∵∠F1FL=∠AFA1，∠F1LF=∠A1AF=120°，∴△F1FL∽△A1FA，∴==，∴==，∴FL=a，F1L=a，根据对称性可知：GA1=F1L=a，∴GL=2a﹣a=a，∴S六边形GHIJKI ：S六边形ABCDEF=（）2=，故答案为．【点评】本题考查正六边形与圆，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．13．如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上．若AB=4，则CN=．【分析】在Rt△BCM中，根据条件AB=BC=4，∠CBM=60°，∠M=90°，解直角三角形即可解决问题；【解答】解：在Rt△BCM中，∵AB=BC=4，∠CBM=60°，∠M=90°，∴∠BCM=30°，∴BM=BC=2，CM=BM=2，∴AM=4+2=6，∵四边形AMNP是正方形，∴MN=MA=6，∴CN=MN﹣CM=6﹣2，故答案为6﹣2．【点评】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，正方形的性质，正六边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．如图，正八边形ABCDEFGH的边长为a，I、J、K、L分别是各自所在边的中点，且四边形IJKL是正方形，则正方形IJKL的边长为a（用含a的代数式表示）．【分析】连接AD，过B作BM⊥AD于M，过C作CN⊥AD于N，求出AD的长，利用梯形的中位线定理即可解决问题；【解答】解：连接AD，过B作BM⊥AD于M，过C作CN⊥AD于N，∵正八边形ABCDEFGH的边长为a，∴∠BAH=135°，∵∠DAH=90°，∴∠BAM=45°，∴AM=BM=DN=a，∴AD=a+a，∵BI=IA，CJ=JD，∴IJ==a，故答案为a．【点评】本题考查正多边形与圆，等腰直角三角形的判定和性质，梯形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，特殊四边形解决问题．15．如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上，若AB=1，则CN=．【分析】求出正六边形的内角的度数，根据直角三角形的性质求出BM、CM，根据正多边形的性质计算．【解答】解：正六边形的内角的度数==120°，则∠CBM=180°﹣120°=60°，∴∠BCM=30°，∴BM=BC=，CM=BC=，∴AM=AB+BM=1，∵四边形AMNP是正方形，∴MN=AM=1，∴CN=MN﹣CM=，故答案为：．【点评】本题考查的是正多边形的有关计算，掌握正多边形的性质、内角的计算公式是解题的关键．16．如图，已知P、Q分别是⊙O的内接正六边形ABCDEF的边AB、BC上的点，AP=BQ，则∠POQ的度数为60°．【分析】连接OA、OB、OC，证明△OBP≌△OCQ，根据全等三角形的性质得到∠BOP=∠COQ，结合图形计算即可．【解答】解：连接OA、OB、OC，∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴∠AOB=∠BOC=60°，∵OA=OB，OB=OC，∴∠OBA=∠OCB=60°，∵AP=BQ，AB=BC，∴BP=CQ，在△OBP和△OCQ中，，∴△OBP≌△OCQ，∴∠BOP=∠COQ，∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，∴∠BOP=∠QOC，∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，∴∠POQ=∠BOC=60°．故答案为：60°．【点评】本题考查的是正多边形和圆、全等三角形的判定和性质，掌握正多边形的中心角的求法、全等三角形的判定定理是解题的关键．17．如图，点F、G在正五边形ABCDE的边上，BF、CG交于点H，若CF=DG，则∠BHG=108°．【分析】利用正五边形的性质得出BC=CD，∠BCF=∠D，再利用全等三角形的判定得出△BCF≌△CDG；利用全等三角形的性质得出∠CBF+∠BCH=∠BHG，进而得出∠DCG+∠BCH=∠BHG=∠BCD即可得出答案．【解答】解：∵正五边形ABCDE，∴BC=CD，∠BCF=∠D，∴在△BCF和△CDG中，∴△BCF≌△DCG（SAS）；∴∠BCF=∠DCG，∵∠CBF+∠BCH=∠BHG，∴∠DCG+∠BCH=∠BHG=∠BCD==108°．∴∠BHG=108°．故答案为：108°【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正五边形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．18．如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n=2018时，顶点A的坐标为（4，0）．【分析】连接OA、OC、OD、OF，作FH⊥OE于H，根据正六边形的性质得到∠AOF=∠FOE=∠EOD=∠DOC=∠COB=∠BOA=60°，根据旋转变换的性质、寻找规律即可解决问题；【解答】解：连接OA、OC、OD、OF，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOF=∠FOE=∠EOD=∠DOC=∠COB=∠BOA=60°，∵将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转，每次旋转60°，∴点A旋转6次回到点A，2018÷6=336…2，∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2018次，与点E重合，∴顶点A的坐标为（4，0），故答案为（4，0）．【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正六边形的性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键．19．如图1，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为5；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图2中阴影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2F2，如图3中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4F4的面积为．【分析】先分别求出第一个正六角星形AFBDCE与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答．【解答】解：∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1且相似比为2：1，∵正六角星形AFBDCE的面积为5，∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为，同理可得，第二个六角形的面积为：，第三个六角形的面积为：=，第4个六角形的面积为：=．故答案为：．【点评】本题考查的是相似多边形的性质及三角形中位线定理，解答此题的关键是熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方．20．如图，分别以正六边形ABCDEF的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画弧BF，弧CE，若AB=1，则阴影部分的面积为﹣π．【分析】连接OB、OC，根据正六边形的性质、扇形面积公式计算．【解答】解：连接OB、OC，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠A=∠D==120°，∠BOC=60°，∴△OBC为等边三角形，∴OB=BC=AB=1，∴阴影部分的面积=×1××6﹣×2=﹣π，故答案为：﹣π．【点评】本题考查了正多边形和圆、扇形面积公式，解决此题的关键是熟练运用扇形面积公式S=．21．在平面上将边长相等的正方形、正五边形和正六边形按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为42°．【分析】分别求出正方形、正五边形和正六边形的每个内角的度数，计算即可．【解答】解：正方形的一个内角的度数==90°，正五边形的一个内角的度数==108°，正六边形的一个内角的度数==120°，则∠1的度数=360°﹣90°﹣108°﹣120°=42°，故答案为：42°．【点评】本题考查的是正多边形与圆，掌握正多边形的内角的计算公式是解题的关键．22．如图，正六边形ABCDEF 的顶点B、C 分别在正方形AGHI 的边AG、GH 上，如果AB=4，那么CH的长为．【分析】求出正六边形的内角的度数，根据直角三角形的性质求出BG、CG，根据正多边形的性质计算．【解答】解：正六边形的内角的度数==120°，则∠CBG=180°﹣120°=60°，∴∠BCG=30°，∴BG=BC=2，CG=BC=2，∴AG=AB+BG=6，∵四边形AGHI是正方形，∴GH=AG=6，∴CH=HG﹣CG=6﹣2，故答案为：6﹣2．【点评】本题考查的是正多边形的有关计算，掌握正多边形的性质、内角的计算公式是解题的关键．23．如图，分别以正六边形相间隔的3个顶点为圆心，以这个正六边形的边长为半径作扇形得到“三叶草”图案，若正六边形的边长为3，则“三叶草”图案中阴影部分的面积为18π（结果保留π）【分析】根据“三叶草”图案中阴影部分的面积为三个扇形面积的和，利用扇形面积公式解答即可．【解答】解：∵正六边形的内角为，∴扇形的圆心角为360°﹣120°=240°，。

华东师大版九年级数学下册第27章圆(27.3～27.4)同步测试题(时间：100分钟 满分：100分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.在半径为1的圆中，圆心角为120°所对的弧长是(A)A.2π3B.4π3C.π6D.5π6 2.面积为6π，圆心角为60°的扇形的半径为(C)A.2B.3C.6D.9 3.若一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的中心角为(B) A.20° B.45° C.60° D.90°4.一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是(A) A.48π B.45π C.36π D.32π5.如图，已知⊙O 的内接正六边形ABCDEF 的边长为6，则的长为(A)A.2πB.3πC.4πD.π6.如图，在⊙O 中，＝，∠ACB ＝75°，BC ＝2，则阴影部分的面积是(A)A.2＋23πB.2＋3＋23πC.4＋23π D.2＋43π7.已知圆锥的侧面积是8π cm2，若圆锥底面半径为R(cm)，母线长为l(cm)，则R 关于l的函数图象大致是(A)8.如图，将边长为 2 cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动(不滑动)，当正方形连续翻动8次后，正方形的中心O经过的路线长是(D)A.8 2 cmB.8 cmC.3π cmD.4π cm二、填空题(每小题4分，共20分)9.若一个圆锥的底面圆的周长是5π cm，母线长是 6 cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是150°.10.一个扇形的弧长为4π，扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积为12π.11.如图，⊙O经过正五边形OABCD的顶点A，D，点E在优弧上，则∠E等于54度.12.如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，O 是BC 上一点，经过C ，D 两点的⊙O 分别交AC ，BC 于点E ，F ，AD ＝3，∠ADC ＝60°，则劣弧的长为43π.13.已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝1.将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转15°后，得到Rt △AB ′C ′，其中点B 运动的路径为，那么图中阴影部分的面积是π6－2三、解答题(共40分)14.(8分)如图，圆锥的侧面展开图是一个半径为18，圆心角为240°的扇形，求圆锥的底面积和高.解：扇形的弧长为：240×π×18180＝24π，∴圆锥的底面半径为24π÷2π＝12. ∴圆锥的底面积为π×122＝144π， 圆锥的高为182－122＝6 5.15.(10分)如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B，C两点，已知B(23，0)，C(0，2)，求⊙A的半径和的长.解：连结BC，OA.∵∠COB＝90°，且点O，C，B三点都在⊙A上，∴BC是⊙A的直径，△OBC是直角三角形.∵B(23，0)，C(0，2)，∴BC＝（23）2＋22＝4.∴⊙A的半径为2.∴∠ACO＝60°.∴∠OAB＝120°.∴的长为120×π×2180＝43π.16.(10分)如图，点A，B，C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D.连结BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)求图中阴影部分的面积.解：(1)证明：连结OB，交AC于点E，∵∠BCA＝30°，∴∠AOB＝60°.在△AOE中，∠OAC＝30°，∴∠OEA＝90°.∴OB⊥AC.∵BD∥AC，∴OB⊥BD.又∵点B在⊙O上，∴BD为⊙O的切线.(2)由(1)知∠AOB＝60°，∠OBD＝90°，∴在Rt△OBD中，∠D＝30°.∴DO＝2BO＝16.∴BD＝DO2－BO2＝8 3.∴S△OBD ＝12×8×83＝323，S扇形OAB ＝16×π×82＝32π3.∴S阴影＝323－32π3.17.(12分)如图，⊙O半径为4 cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连结PB，QE，PE，BQ.设运动时间为t(s).(1)求证：四边形PEQB为平行四边形；(2)填空：①当t＝2s时，四边形PBQE为菱形；②当t＝0或4s时，四边形PBQE为矩形.证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F.∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP ＝DQ ＝t ，PF ＝QC ＝4－t. 在△ABP 和△DEQ 中，⎩⎨⎧AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AP ＝DQ ，∴△ABP ≌△DEQ(SAS). ∴BP ＝EQ. 同理可证PE ＝QB ，∴四边形PEQB 是平行四边形.。

一．选择题1．若正多边形的中心角为72°，则该正多边形的边数为（）A．8B．7C．6D．52．如图，六边形ABCDEF是正六边形，点P是边AF的中点，PC，PD分别与BE交于点M，N，则S△PBM：S四边形MCDN的值为（）A．B．C．D．3．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是（）A．18°B．30°C．36°D．40°4．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（）A．18°B．36°C．54°D．72°5．如图，矩形HGML四个顶点在正六边形ABCDEF的边上，且GM∥EF．若图中4块阴影的面积相等，则该矩形的长与宽之比（）A．3：5B．2：C．4：3D．5：46．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连结AC，AE，则的值是（）A．B．C．D．7．如图，在面积为135cm2的正六边形ABCDEF中有两个等边三角形组成的菱形AMDN．则剪掉这个菱形后剩余部分的面积为（）A．75cm2B．70cm2C．65cm2D．60cm28．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15厘米，则线段GH的长为（）A．厘米B．5厘米C．3厘米D．10厘米9．如图，在由边长相同的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．再选择一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，符合点C条件的格点个数是（）A．1B．2C．3D．410．如图，正五边形ABCDE与正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，若连接BM，则∠MBC的度数是（）A．12°B．15°C．30°D．48°二．填空题11．如图，将边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形ABGHK的AB边重合叠放在一起，则∠GBC的度数是．12．如图，五边形ABCDE为⊙O的内接正五边形，则∠CAD＝．13．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝．14．如图，点O为正五边形的中心，⊙O与正五边形的每条边都相交，则∠1＝．15．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，OG⊥CD于G，H为OG的中点，连结HA，HB，HC，则S△HCB：S△HBA等于．三．解答题16．如图，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N．（1）求证：AE＝FB；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出所有与△ABM全等的三角形．17．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？18．如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB＝2，求四边形PQMN的面积．参考答案一．选择题1．解：由题意，＝72°，∴n＝5，故选：D．2．解：设正六边形的边长为a．则S△PCD＝2×a2＝a2，S四边形BCDE＝3×a2＝a2，由题意MN是△PCD的中位线，∴S△PMN＝S△PCD＝a2，∴S四边形MNDC＝a2﹣a2＝a2，∴S△BMC＝S△DNE＝（a2﹣a2）＝a2，∵PM＝CM，∴S△PBM＝S△BMC＝a2，∴S△PBM：S四边形MCDN＝a2：a2＝1：2，故选：A．3．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AED＝∠EAB＝∠ABC＝108°，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，∴∠EAC＝72°，∴∠AED+∠EAC＝180°，∴DE∥AF，∵AE＝AF＝DE，∴四边形AEDF是菱形，∴∠EDF＝∠EAF＝72°，∵∠EDC＝108°，∴∠FDC＝36°，故选：C．4．解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴，，∠BAE＝108°，∴，∴∠BAF＝∠BAE＝54°，∴∠BDF＝∠BAF＝54°，故选：C．5．解：连接BF，AD交于Q，BF交GM于P，则BF⊥AD，∵正六边形ABCDEF中，∠BAF＝120°，AB＝AF，∴∠AGH＝∠AFQ＝30°，设正六边形ABCDEF的边长为2a，FP＝x，∴PG＝x，AQ＝a，∴GM＝2a+，HG＝2a﹣2x，∵若图中4块阴影的面积相等，∴×（2a﹣2x）×（a﹣x）＝（2a++2a）x，解得：x＝a，GH＝2a﹣a＝a，GM＝2a+a＝a，∴该矩形的长与宽之比为＝3：5，故选：A．6．解：连接AG、GE、EC，如图所示：在正八边形ABCDEFGH中，AB＝BC＝AH＝HG，∠B＝∠H＝135°，∴△ABC≌△AHG（SAS），∴AC＝AG，同法可得AC＝CE＝EG，∴AC＝CE＝EG＝AG，∴四边形ACEG是菱形，∵∠BAC＝∠GAH°，∠BAH＝135°，∴∠CAG＝135°﹣°﹣°＝90°，∴四边形ACEG为正方形，∴∠CAE＝45°，∴＝sin45°＝，故选：A．7．解：连接AD，设AD＝2h，则正六边形ABCDEF是有六个边长为h的等边三角形组成，∴边长为h的正△BOC的面积为h2，∴S正六边形＝6×h2＝135，∴h2＝30，设菱形的边长AM＝a，则h＝a，∴a2＝h2，∴菱形AMDN的面积＝2×a2＝×h2＝××30＝60（cm2），∴剪掉这个菱形后剩余部分的面积为135﹣60＝75（cm2）．故选：A．8．解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，∴AG＝BG，BH＝CH，∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，连接OA，OB交AC于N，则OB⊥AC，∠AOB＝60°，∵OA＝15cm，∴AN＝OA＝（cm），∴AC＝2AN＝15（cm），∴GH＝AC＝5（cm），故选：B．9．解：AB的长等于六边形的边长+最长对角线的长，据此可以确定共有2个点C，位置如图，故选：B．10．解：连接OA、OC．∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝＝72°，∴∠AOC＝72°×2＝144°，∵△AMN是正三角形，∴∠AOM＝＝120°，∴∠＝∠AOC﹣∠AOM＝144°﹣120°＝24°，∴∠MBC＝∠＝×24°＝12°．故选：A．二．填空题11．解：∵在正六边形ABCDEF和正五边形ABGHK中，∠ABG＝＝108°，∠ABC＝＝120°，∴∠GBC＝∠ABC﹣∠ABG＝120°﹣108°＝12°，故答案为：12°．12．解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴AB＝BC，∠B＝∠BAE＝＝108°，∴∠ACB＝∠BAC＝36°，同理∠EAD＝36°，∴∠CAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°，故答案为：36°．13．解：∵六边形ABCDEF，∴∠A＝∠B＝∠BCD＝，∵五边形GHCDL是正五边形，∴∠CDL＝∠L＝，∵∠A+∠B+∠BCD+∠CDL+∠L+∠APG＝（6﹣2）×180°＝720°，∴∠APG＝720°﹣120°×3﹣108°×2＝144°，故答案为：144°．14．解：设AB与CD交于点P，连接OA、OB、OC、OD、OE、BC，如图所示：∵正五边形的中心与⊙O的圆心重合，∴图形是轴对称图形，∴∠AOC＝∠COB＝∠BOE＝∠EOD＝∠AOD＝＝72°，∵∠ABC＝∠AOC＝×72°＝36°，∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝72°+72°＝144°，∠BCD＝∠BOD＝×144°＝72°，∴∠APC＝∠PBC+∠BCP＝36°+72°＝108°，即∠1＝108°，故答案为：108°．15．解：如图，连接CF、HD、HE，过H作直线PQ⊥AB，由于正六边形的对角线必过圆心，所以C、O、F共线，由于AB∥DE∥CF，则PQ⊥DE，PQ⊥CF，P、K、Q都是垂足，∵点O是正六边形ABCDEF的中心，OG⊥CD，∴点C和点D，点E和点B关于直线OG对称，∴DH＝CH，BH＝EH，∵DE＝BC，∴△BCH≌△EDH（SSS），∴PK＝KQ＝OG＝2OH，又因为∠HOK＝∠COG＝30°，KH＝OH，令KH＝1，∴OH＝2，OG＝4，∴PK＝4，∴PH＝PK+KH＝5，HQ＝KQ﹣KH＝3，∴S△HCB：S△HBA＝PH：HQ＝3：5．故答案为：3：5．三．解答题16．证明：（1）∵正六边形ABCDEF，∴AF＝EF＝AB，∠AFE＝∠FAB，在△AFE与△BAF中，，∴△AFE≌△BAF（SAS），∴AE＝FB；（2）与△ABM全等的三角形有△DEN，△FEM，△CBN；∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝DE，∠BAF＝120°，∴∠ABM＝30°，∴∠BAM＝90°，同理∠DEN＝30°，∠EDN＝90°，∴∠ABM＝∠DEN，∠BAM＝∠EDN，在△ABM和△DEN中，，∴△ABM≌△DEN（ASA）．同理利用ASA证明△FEM≌△ABM，△CBN≌△ABM．17．解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G∵六边形ABCDEF是正六边形∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，且P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长，∵BC＝CD，∠BCD＝∠ABC＝∠CDE＝120°，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∴BD∥HK，且BD＝HK，∵CG⊥BD，∴BD＝2BG＝2×BC×cos∠CBD＝2×2×＝6，∴点P到各边距离之和＝3BD＝3×6＝18．18．解：（1）连接BF，则有BF∥AG．理由如下：∵ABCDEFGH是正八边形，∴它的内角都为135°．又∵HA＝HG，∴∠°，从而∠2＝135°﹣∠°．由于正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，∴即∠2+∠3＝180°，故BF∥AG．（2）根据题设可知∠PHA＝∠PAH＝45°，∴∠P＝90°，同理可得∠Q＝∠M＝90°，∴四边形PQMN是矩形．又∵∠PHA＝∠PAH＝∠QBC＝∠QCB＝∠MDE＝∠MED＝45°，AH＝BC＝DE，∴△PAH≌△QCB≌△MDE，∴PA＝QB＝QC＝MD．即PQ＝QM，故四边形PQMN是正方形．在Rt△PAB中，∵∠PAH＝45°，AB＝2，∴，∴．故．。

华师大新版九年级下学期《27.4 正多边形和圆》2019年同步练习卷一．选择题（共16小题）1．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为6，则△ADE的周长是（）A．9+3B．12+6C．18+3D．18+62．若一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的中心角为（）A．20°B．45°C．60°D．90°3．已知圆内接正三角形的面积为3，则边心距是（）A．2B．1C．D．4．如图边长为2的正六边形放入平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（1，0），则点B 的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）5．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，现将它沿AB方向平移1个单位，得到正六边形A′B′C′D′E′F′，则阴影部分A′BCDE′F′的面积是（）A．3B．4C．D．26．如图，P，Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝（）A．75°B．54°C．72°D．60°7．若正多边形的一个中心角是30°，则该正多边形的边数是（）A．6B．12C．16D．188．如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A（0，a）、B（﹣3，2）、C （c，m）、D（d，m），则点E的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（3，﹣2）D．（3，2）9．如图，正五边形ABCDE中，BE∥CD，过顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为（）A．30°B．36°C．38°D．45°10．如图，用一张圆形纸片完全覆盖边长为2的正方形ABCD，则该圆形纸片的面积最少为（）A．πB．C．2πD．4π11．如图，在正八边形ABCDEFGH中，若四边形ADEH的面积等于20，则阴影部分的面积等于（）A．10B．20C．18D．2012．如图，在正六边形ABCDEF中，若△ACD的面积为12，则该正六边形的面积为（）A．30B．36C．48D．6013．一个正多边形的边长为2，每个外角为30°，则这个多边形的半径是（）A．sin15°B．tan15°C．D．14．如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB＝a，则图中阴影部分的面积是（）A．B．（）a2C．2D．（）a2 15．如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（）A．18+36πB．24+18πC．18+18πD．12+18π16．一个圆的内接正六边形的边长为2，则该圆的内接正方形的边长为（）A．B．2C．2D．4二．填空题（共14小题）17．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，若正六边形的面积等于，则⊙O 的面积等于．18．⊙O的内接正三角形和外切正方形的边长之比是．19．如果一个正六边形的半径为2，那么这个正六边形的周长为．20．有一个边长为2cm的正六边形，如果要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，那么这张圆形纸片的最小半径为cm．21．边长为2的正六边形的内切圆的半径为．22．如图，正方形的边长为4cm，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的边长为cm．23．正六边形的边长为2，则其外接圆的半径为，正六边形的面积为．24．一个正n边形内接于⊙O，若它的一边长等于半径，则n＝．25．半径为2的圆内接正六边形的周长为，面积为．26．已知正六边形的周长为30，那么正六边形的半径为．27．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为．28．第五套人民币一元硬币的直径约为25mm，则用它能完全覆盖住的正方形的边长最大不能超过mm．29．一个半径为5cm的圆内接正六边形的面积等于．30．如图，在正六边形ABCDEF中，连接BF，过点A作直线l∥BF，则∠1的大小是度．三．解答题（共14小题）31．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB＝cm，求⊙O的半径．32．求半径为6的⊙O外切正三角形ABC和内接正方形DEFG的面积比．33．如图，在半径为10cm的圆中作一个正六边形ABCDEF，试求此正六边形的面积．34．用一批共长120m的篱笆围出一块草地来．分别计算所围草地是正三角形、正方形、正六边形、圆的面积（精确到0.1m2），并比较它们的大小．35．如图，某圆形场地内有一个内接于⊙O的正方形中心场地，若⊙O的半径为10米，求图中所画的一块草地的面积．（计算结果保留π）36．如图，正方形边长为a，那么图中阴影部分的面积是．37．如果圆的半径为a，它的内接正方形边长为b，该正方形的内切圆的内接正方形的边长为c，则a，b，c间满足的关系式为．38．一个圆内接正三角形面积为16cm2，求（1）这个圆的半径；（2）这个圆的外切正三角形面积？39．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧BC上（不与B、C点重合）．（1）求∠BPC的度数；（2）若正方形ABCD的边长为2cm，求⊙O的半径及阴影部分的面积．40．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE．（1）求∠AED的度数；（2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．41．如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE＝3，EF＝4，FC＝5，求正方形ABCD的外接圆的半径．42．已知圆内接正三角形的边心距为2cm，求它的边长．43．如图，在正五边形ABCDE中，连接对角线AC，AD和CE，AD交CE于F．（1）请列出图中两对全等三角形，．（不另外添加辅助线）（2）请选择所列举的一对全等三角形加以证明．44．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，求阴影部分面积．华师大新版九年级下学期《27.4 正多边形和圆》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为6，则△ADE的周长是（）A．9+3B．12+6C．18+3D．18+6【分析】首先确定三角形的三个角的度数，从而判断该三角形是特殊的直角三角形，然后根据半径求得斜边的长，从而求得另外两条直角边的长，进而求得周长．【解答】解：连接OE，∵多边形ABCDEF是正多边形，∴∠DOE＝＝60°，∴∠DAE＝∠DOE＝×60°＝30°，∠AED＝90°，∵⊙O的半径为6，∴AD＝2OD＝12，∴DE＝AD＝×12＝6，AE＝DE＝6，∴△ADE的周长为6+12+6＝18+6，故选：D．【点评】考查了正多边形和圆的知识，解答的关键是确定三角形的三个角的度数，然后确定其三边的长，难度不大．2．若一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的中心角为（）A．20°B．45°C．60°D．90°【分析】根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数，进而得出答案．【解答】解：∵正多边形的一个内角是135°，∴该正多边形的一个外角为45°，∵多边形的外角之和为360°，∴边数n＝＝8，∴该正多边形为正八边形，故这个正多边形的中心角为：＝45°．故选：B．【点评】本题主要考查了正多边形和圆，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为360°．3．已知圆内接正三角形的面积为3，则边心距是（）A．2B．1C．D．【分析】根据题意可以求得半径，进而解答即可．【解答】解：设正三角形的边心距为x，则其半径为2x，边长为2x，因为圆内接正三角形的面积为3，所以×2x（x+2x）＝3，解得：x＝1所以该圆的内接正六边形的边心距为1，故选：B．【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距．4．如图边长为2的正六边形放入平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（1，0），则点B 的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）【分析】连接BC，作DE⊥BC于E，根据正多边形的性质得到DC＝DB＝2，∠CDB＝120°，根据正弦的概念求出CE，根据点的坐标特征解答．【解答】解：连接BC，作DE⊥BC于E，∵六边形是正六边形，∴DC＝DB＝2，∠CDB＝120°，OA＝OC＝1，∴∠CDE＝60°，CE＝BE，在Rt△CED中，CE＝CD•sin∠CDE＝，∴CB＝2，则点B的坐标是（﹣1，2），故选：C．【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的性质，锐角三角函数的定义是解题的关键．5．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，现将它沿AB方向平移1个单位，得到正六边形A′B′C′D′E′F′，则阴影部分A′BCDE′F′的面积是（）A．3B．4C．D．2【分析】连接A′E′，BD，过F′作F′H⊥A′E′于H，得到四边形A′E′DB是矩形，解直角三角形得到F′H＝1，A′H＝，求得A′E′＝2，根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接A′E′，BD，过F′作F′H⊥A′E′于H，则四边形A′E′DB是矩形，∵正六边形ABCDEF的边长为2，∠A′F′E′＝120°，∴∠F′A′E′＝30°，∴F′H＝1，A′H＝，∴A′E′＝2，∵将它沿AB方向平移1个单位，∴A′B＝1，∴阴影部分A′BCDE′F′的面积＝S△A′F′E′+S矩形A′E′DB+S△BCD＝2××2×1+1×2＝4，故选：B．【点评】本题考查了正多边形与圆，矩形的判定和性质，平移的性质，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．6．如图，P，Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝（）A．75°B．54°C．72°D．60°【分析】连接OA、OB、OC，证明△OBP≌△OCQ，根据全等三角形的性质得到∠BOP＝∠COQ，结合图形计算即可．【解答】解：连接OA、OB、OC，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠AOB＝∠BOC＝72°，∵OA＝OB，OB＝OC，∴∠OBA＝∠OCB＝54°，在△OBP和△OCQ中，，∴△OBP≌△OCQ，（SAS），∴∠BOP＝∠COQ，∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP，∠BOC＝∠BOQ+∠QOC，∴∠BOP＝∠QOC，∵∠POQ＝∠BOP+∠BOQ，∠BOC＝∠BOQ+∠QOC，∴∠POQ＝∠BOC＝72°．故选：C．【点评】本题考查的是正多边形和圆、全等三角形的判定和性质，掌握正多边形的中心角的求法、全等三角形的判定定理是解题的关键．7．若正多边形的一个中心角是30°，则该正多边形的边数是（）A．6B．12C．16D．18【分析】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案．【解答】解：360°÷30°＝12．故这个正多边形的边数为12．故选：B．【点评】本题考查的是正多边形内角、外角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．8．如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A（0，a）、B（﹣3，2）、C （c，m）、D（d，m），则点E的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（3，﹣2）D．（3，2）【分析】根据点A的坐标得到点A在y轴上，根据C，D的坐标特征得到C，D点关于y轴对称，根据正五边形的轴对称图形解答．【解答】解：∵点A的坐标为（0，a），∴点A在y轴上，∵C，D的坐标分别是（b，m），（c，m），∴C，D点关于y轴对称，∵五边形ABCDE的正五边形，∴B，E点关于y轴对称，∵B的坐标是：（﹣3，2），∴点E的坐标是：（3，2），故选：D．【点评】本题考查的是正多边形的性质，坐标与图形性质，掌握正多边形是轴对称图形，正确建立平面直角坐标是解题的关键．9．如图，正五边形ABCDE中，BE∥CD，过顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为（）A．30°B．36°C．38°D．45°【分析】根据多边形的内角和定理、正多边形的概念求出正五边形的一个内角的度数，根据等腰三角形的性质、平行线的性质解答．【解答】解：正五边形的一个内角的度数为：＝108°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝36°，∵直线l∥BE，∴∠1＝∠AEB＝36°，故选：B．【点评】本题考查的是正多边形的有关计算、平行线的性质，掌握正多边形的多边形概念、多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3，且n为整数）是解题的关键．10．如图，用一张圆形纸片完全覆盖边长为2的正方形ABCD，则该圆形纸片的面积最少为（）A．πB．C．2πD．4π【分析】正方形的对角线的长就是正方形的外接圆圆的直径，求出正方形的对角线的长即可；【解答】解：∵正方形的边长为2，∴正方形的对角线的长为2，∴正方形的外接圆的直径为2，∴正方形的外接圆的面积＝2π，故选：C．【点评】本题考查正多边形与圆、正方形的性质、圆的性质等知识，解题的关键是理解正方形的对角线的长正方形的外接圆圆的直径．11．如图，在正八边形ABCDEFGH中，若四边形ADEH的面积等于20，则阴影部分的面积等于（）A．10B．20C．18D．20【分析】设直角△AMB中，AM＝x，则BM＝x，AB＝x，正八边形的边长是x．根据空白部分的面积是20即可列方程求得x的值，然后利用矩形和三角形的面积求解．【解答】解：作出正方形MNQR，如图所示：△AMB中，AM＝x，则BM＝x，AB＝x，正八边形的边长是x．则正方形的边长是（2+）x．根据题意得：x（2+）x＝20，解得：x2＝10（﹣1）．则阴影部分的面积是：2[x（2+）x﹣2×x2]＝2（+1）x2＝2（+1）×10（﹣1）＝20．故选：B．【点评】本题考查了正多边形的计算，作出正方形，根据空白部分的面积，正确求得直角△AMB的直角边AM的长是关键．12．如图，在正六边形ABCDEF中，若△ACD的面积为12，则该正六边形的面积为（）A．30B．36C．48D．60【分析】直接利用正六边形的性质得出S△OCD＝S△ACD＝6，即可得出答案．【解答】解：设O是正六边形的中心，连接CO，则S△OCD＝S△ACD＝6，故该正六边形的面积为：6S△OCD＝36．故选：B．【点评】此题主要考查了正六边形的性质，正确得出S△OCD＝S△ACD＝6是解题关键．13．一个正多边形的边长为2，每个外角为30°，则这个多边形的半径是（）A．sin15°B．tan15°C．D．【分析】先求出多边形的边数，再求出∠AOB的度数，即可求出答案．【解答】解：，∵一个正多边形的边长为2，每个外角为30°，∴此正多边形的边数为＝12，即多边形为12边形，如图，连接OA、OB，过O作ON⊥AB，边AB对的圆心角AOB的度数为＝30°，∵OA＝OB，ON⊥AB，∴∠NOB＝∠AOB＝15°，AN＝BN＝AB＝＝1，∴OB＝＝，即这个多边形的半径是，故选：C．【点评】本题考查了正多边形与圆和解直角三角形，能求出多边形的边数是解此题的关键．14．如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB＝a，则图中阴影部分的面积是（）A．B．（）a2C．2D．（）a2【分析】利用圆的面积公式和三角形的面积公式求得圆的面积和正六边形的面积，阴影面积＝（圆的面积﹣正六边形的面积）×，即可得出结果．【解答】解：∵正六边形的边长为a，∴⊙O的半径为a，∴⊙O的面积为π×a2＝πa2，∵空白正六边形为六个边长为a的正三角形，∴每个三角形面积为×a×a×sin60°＝a2，∴正六边形面积为a2，∴阴影面积为（πa2﹣a2）×＝（﹣）a2，故选：B．【点评】本题主要考查了正多边形和圆的面积公式，注意到阴影面积＝（圆的面积﹣正六边形的面积）×是解答此题的关键．15．如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（）A．18+36πB．24+18πC．18+18πD．12+18π【分析】作FH⊥BC于H，连接FH，如图，根据正方形的性质和切线的性质得BE＝CE＝CH＝FH＝6，则利用勾股定理可计算出AE＝6，通过Rt△ABE≌△EHF得∠AEF＝90°，然后利用图中阴影部分的面积＝S正方形ABCD+S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF进行计算．【解答】解：作FH⊥BC于H，连接FH，如图，∵点E为BC的中点，点F为半圆的中点，∴BE＝CE＝CH＝FH＝6，AE＝＝6，易得Rt△ABE≌△EHF，∴∠AEB＝∠EFH，而∠EFH+∠FEH＝90°，∴∠AEB+∠FEH＝90°，∴∠AEF＝90°，∴图中阴影部分的面积＝S正方形ABCD+S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF＝12×12+•π•62﹣×12×6﹣•6×6＝18+18π．故选：C．【点评】本题考查了正多边形和圆：利用面积的和差计算不规则图形的面积．16．一个圆的内接正六边形的边长为2，则该圆的内接正方形的边长为（）A．B．2C．2D．4【分析】圆内接正六边形的边长是2，即圆的半径是2，则圆的内接正方形的对角线长是4，进而就可求解．【解答】解：∵圆内接正六边形的边长是2，∴圆的半径为2．那么直径为4．圆的内接正方形的对角线长为圆的直径，等于4．∴圆的内接正方形的边长是2．故选：B．【点评】本题考查正多边形与圆，关键是利用知识点：圆内接正六边形的边长和圆的半径相等；圆的内接正方形的对角线长为圆的直径解答．二．填空题（共14小题）17．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，若正六边形的面积等于，则⊙O 的面积等于2π．【分析】连接OE、OD，由正六边形的特点求出判断出△ODE的形状，作OH⊥ED，由特殊角的三角函数值求出OH的长，利用三角形的面积公式即可表示出△ODE的面积，进而根据正六边形ABCDEF的面积求得圆的半径，从而求得圆的面积．【解答】解：连接OE、OD，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠DEF＝120°，∴∠OED＝60°，∵OE＝OD，∴△ODE是等边三角形，∴DE＝OE，设OE＝DE＝r，作OH⊥ED交ED于点H，则sin∠OED＝，∴OH＝，∵正六边形的面积等于，∴正六边形的面积＝וr×6＝3，解得：r＝，∴⊙O的面积等于2π，故答案为：2π．【点评】本题考查了正多边形的性质，掌握正六边形的边长等于半径的特点是解题的关键．18．⊙O的内接正三角形和外切正方形的边长之比是：2．【分析】首先根据圆内接正三角形的性质以及正方形的性质得出EC的长，进而得出圆的内接正三角形的边长．【解答】解：如图所示：连接CO，过点O，作OE⊥CD于点E，四边形AMNB是正方形，⊙O切AB于点C，△CFD是⊙O的内接正三角形，设圆的外切正方形的边长为a，则CO＝BC＝，∠OCE＝30°，∴CE＝cos30°＝，∴这个圆的内接正三角形的边长为：2EC＝，∴：a＝：2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，熟练应用正三角形的性质得出是解题关键．19．如果一个正六边形的半径为2，那么这个正六边形的周长为12．【分析】根据正六边形的半径等于边长进行解答即可．【解答】解：∵l正六边形的半径等于边长，∴正六边形的边长a＝2，正六边形的周长＝6a＝12，故答案为：12．【点评】本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．20．有一个边长为2cm的正六边形，如果要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，那么这张圆形纸片的最小半径为2cm．【分析】要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形，这个圆形纸片的边缘即为其外接圆，根据正六边形的边长与外接圆半径的关系即可求出．【解答】解：∵正六边形的边长是2cm，∴正六边形的半径是2cm，∴这个圆形纸片的最小半径是2cm．故答案为：2．【点评】此题考查了正多边形与圆的知识．注意正六边形的外接圆半径与边长相等，这是一个需要熟记的内容．21．边长为2的正六边形的内切圆的半径为．【分析】解答本题主要分析出正多边形的内切圆的半径，即为每个边长为2的正三角形的高，从而构造直角三角形即可解．【解答】解：由题意得，∠AOB＝＝60°，∴∠AOC＝30°，∴OC＝2•＝，故答案为：．【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算．22．如图，正方形的边长为4cm，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的边长为4﹣4cm．【分析】设正八边形的边长为x，表示出剪掉的等腰直角三角形的直角边，再根据正方形的边长列出方程求解即可．【解答】解：设正八边形的边长为x，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为x，∵正方形的边长为4cm，∴x+x+x＝4，解得x＝＝4﹣4，∴正八边形的边长为4﹣4，故答案为：4﹣4．【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，读懂题目信息，根据正方形的边长列出方程是解题的关键．23．正六边形的边长为2，则其外接圆的半径为2，正六边形的面积为6．【分析】首先根据题意作出图形，然后可得△OBC是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OH的长，继而求得正六边形的面积．【解答】解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝×360°＝60°，∵OB＝0C，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC＝2，∴它的半径为2，边长为2；∵在Rt△OBH中，OH＝OB•sin60°＝2×，∴边心距是：；∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6××2×＝6．故答案为：2；6【点评】本题考查了圆的内接正六边形的性质、正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．24．一个正n边形内接于⊙O，若它的一边长等于半径，则n＝6．【分析】因为⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，推出这个多边形的中心角＝60°，构建方程即可解决问题；【解答】解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，∴这个多边形的中心角＝60°，∴＝60°，∴n＝6，故答案为：6；【点评】本题考查正多边形与圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．半径为2的圆内接正六边形的周长为12，面积为6．【分析】连接OA，OB，作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC，根据三角形的面积公式，正六边形的性质计算．【解答】解：连接OA，OB，作OC⊥AB于C，则AC＝AB＝1，由勾股定理得，OC＝＝，∴正六边形的面积＝6×S△AOB＝×2××6＝6，正六边形的周长＝2×6＝12，故答案为：12；6．【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的性质和计算公式是解题的关键．26．已知正六边形的周长为30，那么正六边形的半径为5．【分析】由于正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径，由此即可求解．【解答】解：∵正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径，又∵正六边形的周长为30，∴正六边形边长为5，∴正六边形的半径等于5．故答案为5．【点评】此题主要考查正多边形和圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．27．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为．【分析】根据题意画出图形，再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可．【解答】解：如图所示，连接OA、OE，∵AB是小圆的切线，∴OE⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝OE，∴△AOE是等腰直角三角形，∴OE＝OA＝．故答案为：．【点评】本题考查的是正方形和圆、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意画出图形，利用勾股定理是解答此题的关键，属于中考常考题型．28．第五套人民币一元硬币的直径约为25mm，则用它能完全覆盖住的正方形的边长最大不能超过mm．【分析】根据正方形性质得到△AOD为等腰直角三角形，根据正方形和圆的关系得到AC 的长度，根据等腰直角三角形的性质求出AD的长度．【解答】解：如图所示，∵AC＝BD＝25mm，∴AO＝OD＝mm．∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∴△AOD为等腰直角三角形，∴AD＝AO＝mm．故答案为：．【点评】本题考查了正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，根据题意画出图形，掌握正多边形和圆的关系，得到△AOD为等腰直角三角形是解题的关键．29．一个半径为5cm的圆内接正六边形的面积等于cm2．【分析】解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．【解答】解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是5，因而面积是×5×＝cm2，因而正六边形的面积cm2．故答案为cm2．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，这是需要熟记的内容．30．如图，在正六边形ABCDEF中，连接BF，过点A作直线l∥BF，则∠1的大小是30度．【分析】根据正多边形的性质得出AB＝AF，求出∠BAF度数，根据等腰三角形和三角形内角和定理求出∠AFB，根据平行线的性质得出即可．【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝AF，∠BAF＝＝120°，∴∠AFB＝∠ABF＝（180°﹣∠BAF）＝30°，∵直线l∥BF，∴∠1＝∠AFB＝30°，故答案为：30．【点评】本题考查了正多边形与圆、平行线的性质、多边形的内角与外角等知识点，能根据正多边形的性质得出AB＝AF和求出∠BAF的度数是解此题的关键．三．解答题（共14小题）31．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB＝cm，求⊙O的半径．【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD＝30°，BD＝CD，再利用锐角函数关系得出BO即可．【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，∵正三角形ABC内接于⊙O，∴点O即是三角形内心也是外心，∴∠OBD＝30°，BD＝CD＝BC＝AB＝，∴cos30°＝＝＝，解得：BO＝2，即⊙O的半径为2cm．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，利用正多边形内外心的特殊关系得出∠OBD＝30°，BD＝CD是解题关键．32．求半径为6的⊙O外切正三角形ABC和内接正方形DEFG的面积比．【分析】设⊙O与BC相切于点M，连接OM、OB、OD、OE，如图所示，在Rt△OBM中，求出BM、BC，在Rt△DOE中，求出DE即可解决问题．【解答】解：设⊙O与BC相切于点M，连接OM、OB、OD、OE，如图所示：则∠OMB＝90°，∠OBM＝30°，∴BO＝2OM＝12，BM＝6，BC＝2BM＝12，∴S△ABC＝（12）2＝108，∵四边形DEFG是正方形，∴∠DOE＝90°，∴△DOE是等腰直角三角形，∴DE＝OD＝6，∴S正方形DEFG＝72，∴S△ABC：S正方形DEFG＝108：72＝3：2．【点评】本题考查了正方形的性质、正三角形的性质、正多边形与圆的关系；熟练掌握正三角形和正方形的性质，由题意求出正三角形内切圆的半径是解决问题的关键．33．如图，在半径为10cm的圆中作一个正六边形ABCDEF，试求此正六边形的面积．【分析】连接OA，OB，且过点O作OH⊥AB，易求△OAB的面积，所以正六边形ABCDEF 的面积是6倍的△OAB的面积，问题得解．【解答】解：连接OA，OB，且过点O作OH⊥AB，由正六边形ABCDEF可得△OAB是等边三角形，∴AB＝OA＝10，∴OH＝OA sin60°＝10×＝5，∴S△OAB＝×AB×OH＝×10×5＝25，∴S正六边形ABCDEF＝6×25＝150cm2．【点评】本题考查了正多边形和圆，关键是掌握圆的内接正六边形的边长等于圆的半径．34．用一批共长120m的篱笆围出一块草地来．分别计算所围草地是正三角形、正方形、正六边形、圆的面积（精确到0.1m2），并比较它们的大小．【分析】要比较周长相等的正三角形、正方形、正六边形、圆中，面积最大的是什么图形，需分别计算出它们的面积；而正三角形、正方形、正六边形的面积都可以用其边长的代数式表示，圆的面积可以用半径的代数式表示，所以可设周长为L；用含L的代数式分别表示正三角形、正方形、正六边形的边长、圆的半径，从而可表示出正三角形、正方形、正六边形、圆的面积．【解答】解：由题意可得出：正三角形的边长为40m，S正三角形＝×40×20＝400≈692.8（m2），正方形的边长为30m，S正方形＝30×30＝900（m2），正六边形的边长为20m，S正六边形＝6××20×10＝600≈1039.2（m2），圆的半径为r＝＝（m），S圆＝πr2＝π×＝≈1146.5（m2），因此，在周长都是120m时，S正三角形＜S正方形＜S正六边形＜S圆．【点评】此题主要考查了正多边形和圆的性质有关计算，解答此题的关键是根据正三角形、正方形、正六边形、圆的周长都相等设出其边长，求出其边长之间的关系，最后再分别求出其面积进行比较即可．35．如图，某圆形场地内有一个内接于⊙O的正方形中心场地，若⊙O的半径为10米，求图中所画的一块草地的面积．（计算结果保留π）【分析】连接AC，可得AC为直径，根据勾股定理可求出AB的长，而阴影部分的面积为圆面积减去正方形面积的四分之一．【解答】解：连AC，则AC为直径，即AC＝20，∵正方形ABCD中，AB＝BC，∠B＝90°，∴在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，2AB2＝202，∴AB2＝200，＝＝（25π﹣50）米2．【点评】本题考查了正多边形和圆，注：90°的圆周角所对的弦是直径．36．如图，正方形边长为a，那么图中阴影部分的面积是（π﹣2）a2．【分析】图中阴影部分的面积等于以a为直径的半圆的面积减去以a为斜边的等腰直。

27．4 正多边形和圆1．下列说法：①各边相等的圆内接多边形是正多边形；②各角相等的圆内接多边形是正多边形；③既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形．正确的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．如图所示，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则∠ADB 的度数是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．22.5°3．如图所示，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，BC ∥QR ，则∠AOQ ＝( )A ．60°B ．65°C ．72°D ．75°4．如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH ，若△ADE 的面积为10，则正八边形ABCDEFGH 的面积为( )A ．40B ．50C ．60D ．805．已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为( )A ．3 3B ．3 6 C. 32 3 D. 326 6．正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )A ．3∶2∶1B ．4∶3∶2C ．4∶2∶1D ．6∶4∶37．有一边长为4的正n 边形，它的一个内角为120°，则其外接圆的半径为( )A ．3B ．4C ．33D ．4 28．圆内接正五边形ABCDE 中，对角线AC 和BD 相交于点P ，则∠APB 的度数是( )A ．36°B ．72°C ．54°D ．60°9．如图，正三角形ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 的内接正十二边形的一边，连结CD ，若CD ＝12，则⊙O 的半径为__．10．如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF 变形为以点A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形AFB(阴影部分)的面积为____．11．如图，正六边形ABCDEF 的边长为6 cm .(1)求作该正六边形的外接圆；(要求不写作法，保留作图痕迹)(2)求这个正六边形的半径R、边心距、面积．12. 如图，圆O的半径为R，T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形．(1)求T1与T2的周长比；(2)求图中阴影部分的面积．(用含R的式子表示)13．已知⊙O和⊙O上的一点A(如图所示)．(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；(2)在(1)题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O的内接正十二边形的一边．14．如图①有一个宝塔，它的地基边缘是周长为26 m的正五边形ABCDE(如图②)，点O为中心．(下列各题结果精确到0.1 m)(1)求地基的中心到边缘的距离；(2)已知塔的墙体宽为1 m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6 m的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？15．如图，(1)、(2)、(3)……，点M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连结OM，ON.(1)求图(1)中∠MON 的度数；(2)图(2)中∠MON 的度数为______，图(3)中∠MON 的度数为______；(3)试探索∠MON 的度数与正n 边形数n 的关系(直接写出答案)．答案：1---8 BCDAC ABB 9. 6 210. 1811. 解：(1) 略 (2) 6 cm ，3 3 cm ，54 3 cm 212. 解：(1) 3∶2 (2) 32R 2 13. 解：(1)作法：①作直径AC ；②作直径BD ⊥AC ；③依次连结A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 即为⊙O 的内接正方形；④分别以A ，C 为圆心，OA 长为半径作弧，交⊙O 于E ，H ，F ，G ；⑤顺次连结A ，E ，F ，C ，G ，H 各点．六边形AEFCGH 即为⊙O 的内接正六边形．作图略 (2)连结OE ，DE ，∵∠AOD ＝360°4＝90°，∠AOE ＝360°6＝60°，∴∠DOE ＝∠AOD －∠AOE ＝30°，∴DE 为⊙O 的内接正十二边形的一边 14. 解：(1)作OM ⊥AB 于点M ，连结OA ，OB ，则OM 为边心距，∠AOB 是中心角，由正五边形性质得：∠AOB ＝360°÷5＝72°，又AB ＝15×26＝5.2，∴AM ＝2.6，∠AOM ＝36°，在Rt △AMO 中，边心距OM ＝AM tan36°＝ 2.6tan36°≈3.6(m) (2)3.6－1－1.6＝1(m)，答：地基的中心到边缘的距离约为3.6 m ，塑像底座的半径最大约为1 m15. 解：(1)120° (2)90° 72° (3)∠MON ＝360°n。

27.4正多边形和圆一．选择题1．如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（）A．B．2cm C．2cm D．4cm2．如图，⊙O的周长等于4πcm，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（）A．B．C．D．3．如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为（）A．（2，2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，2）D．（﹣1，）4．如图，将边长为6的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S1）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S2），则S1与S2的关系为（）A．S1＝S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．S1＞S25．如图，AB，AC分别为⊙O的内接正三角形和内接正四边形的一边，若BC恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．8 B．10 C．12 D．156．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA，OE分别交于点F，G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝4．则点O到FM的距离是（）A．4 B．C．D．7．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．108°B．118°C．144°D．120°8．下列圆的内接正多边形中，中心角最大的图形是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形9．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A作⊙O的切线交对角线DB的延长线于点F，则下列结论不成立的是（）A．AE∥BF B．AF∥CD C．DF＝AF D．AB＝BF10．如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．有下列3个结论：①AO⊥BE，②∠CGD＝∠COD+∠CAD，③BM＝MN＝NE．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二．填空题11．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是．12．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图所示，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S﹣S1＝．（π取3.14，结果精确到0.01）13．如图，点O为正五边形的中心，⊙O与正五边形的每条边都相交，则∠1＝．14．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，OG⊥CD于G，H为OG的中点，连结HA，HB，HC，则S△HCB：S△HBA等于．15．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠BOQ＝．三．解答题16．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PB+PC；（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PC+PB．17．如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB＝2，求四边形PQMN的面积．18．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，连接BD、DF、FB，（1）设△BDF的面积为S1，正六边形ABCDEF的面积为S2，则S1与S2的数量关系是；（2）△ABF通过旋转可与△CBD重合，请指出旋转中心和最小旋转角的度数．参考答案一．选择题1．解：如图所示，连接OB、OC，过点O作OG⊥BC于点G，正六边形的边长为2cm，OG ⊥BC，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝360°÷6＝60°，∵OB＝OC，OG⊥BC，∴∠BOG＝∠BOC＝×60°＝30°，∵OG⊥BC，OB＝OC，BC＝2cm，∴BG＝BC＝×2＝1cm，∴OB＝＝2cm，∴OG＝＝＝，∴圆形纸片的半径为cm，故选：A．2．解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，∵⊙O的周长等于4πcm，∴⊙O的半径为：＝2，∵ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴OA＝OB＝AB＝2，∵OG⊥AB，∴AG＝BG＝AB＝1，∴OG＝，∴S△AOB＝AB•OG＝2×＝．∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB＝6（cm2）．故选：C．3．解：连接OF．∵∠AOF＝＝60°，OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴OA＝OF＝4．设EF交y轴于G，则∠GOF＝30°．在Rt△GOF中，∵∠GOF＝30°，OF＝4，∴GF＝2，OG＝2．∴F（﹣2，2）．故选：C．4．解：由题意：的长度＝24，∴S2＝×24×6＝72＝18×4＝18，∵S1＝×6×3×6＝54＝18×3＝18，∴S1＞S2，故选：D．5．解：连接OA、OB、OC，如图，∵AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，∴∠AOC＝＝90°，∠AOB＝＝120°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝30°，∴n＝＝12，即BC恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．故选：C．6．解：连接ON，过O作OH⊥FM于H，∵正六边形OABCDE，∴∠FOG＝120°，∵点M为劣弧FG的中点，∴∠FOM＝60°，∵OH⊥FM，OF＝OM，∴∠OFH＝60°，∠OHF＝90°，FH＝FM＝2，∴OH＝FH＝2，故选：C．7．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝180°﹣＝108°．∵AB、DE与⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，故选：C．8．解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3＝120°，正方形一条边所对的圆心角是360°÷4＝90°，正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5＝72°，正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6＝60°，∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，故选：A．9．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝∠ABC＝∠C＝∠EDC＝∠E＝＝108°，BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝×（180°﹣∠C）＝36°，∴∠ABD＝108°﹣36°＝72°，∴∠EAB+∠ABD＝180°，∴AE∥BF，故本选项不符合题意；B、∵∠F＝∠CDB＝36°，∴AF∥CD，故本选项不符合题意；C、连接AD，过A作AH⊥DF于H，则∠AHF＝∠AHD＝90°，∵∠EDC＝108°，∠CDB＝∠EDA＝36°，∴∠ADF＝108°﹣36°﹣36°＝36°＝∠F，∴AD＝AF，∴FH＝DH，当∠F＝30°时，AF＝2AH，FH＝DH＝AH，此时DF＝AF，∴此时∠F＝36°时，DF≠AF，故本选项符合题意；D、连接OA、OB，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝＝72°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣72°）＝54°，∵FA切⊙O于A，∴∠OAF＝90°，∴∠FAB＝90°﹣54°＝36°，∵∠ABD＝72°，∴∠F＝72°﹣36°＝36°＝∠FAB，∴AB＝BF，故本选项不符合题意；故选：C．10．解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴＝，∴AO⊥BE，故①正确；∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴的度数＝＝72°∴∠COD＝72°∵∠COD＝2∠CAD∴∠CAD＝36°；连接CD∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴＝＝＝，∴∠BDC＝∠DCE＝∠CAD＝36°，∴∠CGD＝108°，∴∠CGD＝∠COD+∠CAD，故②正确；连接AB，AE，则∠BAM＝∠ABM＝∠EAN＝∠AEN＝36°，∵AB＝AE，∴△ABM≌△AEN（ASA），∴BM＝EN＝AM＝AN，∵∠MAN＝36°，∴AM≠MN，③错误．故选：A．二．填空题11．解：如图1，∵OC＝2，∴OD＝OC＝1；如图2，∵OB＝2，∴OE＝BE，∴OE2+BE2＝2OE2＝OB2＝4，∴OE＝；如图3，∵OA＝2，∴AD＝OA＝1，∴OD＝＝，则该三角形的三边分别为：1，，，∵（1）2+（）2＝（）2，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是：×1×＝，故答案为：A．12．解：∵⊙O的半径为1，∴⊙O的面积S＝π，∴圆的内接正十二边形的中心角为＝30°，∴过A作AC⊥OB，∴AC＝OA＝，∴圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×＝3，∴则S﹣S1＝π﹣3≈0.14，故答案为：0.14．13．解：设AB与CD交于点P，连接OA、OB、OC、OD、OE、BC，如图所示：∵正五边形的中心与⊙O的圆心重合，∴图形是轴对称图形，∴∠AOC＝∠COB＝∠BOE＝∠EOD＝∠AOD＝＝72°，∵∠ABC＝∠AOC＝×72°＝36°，∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝72°+72°＝144°，∠BCD＝∠BOD＝×144°＝72°，∴∠APC＝∠PBC+∠BCP＝36°+72°＝108°，即∠1＝108°，故答案为：108°．14．解：如图，连接CF、HD、HE，过H作直线PQ⊥AB，由于正六边形的对角线必过圆心，所以C、O、F共线，由于AB∥DE∥CF，则PQ⊥DE，PQ⊥CF，P、K、Q都是垂足，∵点O是正六边形ABCDEF的中心，OG⊥CD，∴点C和点D，点E和点B关于直线OG对称，∴DH＝CH，BH＝EH，∵DE＝BC，∴△BCH≌△EDH（SSS），∴PK＝KQ＝OG＝2OH，又因为∠HOK＝∠COG＝30°，KH＝OH，令KH＝1，∴OH＝2，OG＝4，∴PK＝4，∴PH＝PK+KH＝5，HQ＝KQ﹣KH＝3，∴S△HCB：S△HBA＝PH：HQ＝3：5．故答案为：3：5．15．解：连结OA，OD，∵△PQR是⊙O的内接正三角形，∴PQ＝PR＝QR，∴∠POQ＝×360°＝120°，∵BC∥QR，OP⊥QR，∵BC∥QR，∴OP⊥BC，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴OP⊥AD，∠AOD＝90°，∴＝，∴∠AOP＝∠DOP，∴∠AOP＝×90°＝45°，∴∠AOQ＝∠POQ﹣∠AOP＝75°．∵∠AOB＝90°，∴∠QOB＝15°，故答案为：15°．三．解答题16．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，如图1，∵A、B、P、C四点共圆，∴∠BAC+∠BPC＝180°，∵∠BPC+∠EPC＝180°，∴∠BAC＝∠CPE＝60°，∵PE＝PC，∴△PCE是等边三角形，∴CE＝PC，∠E＝60°；又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，∴∠BCE＝∠ACP，∵△ABC、△ECP为等边三角形，∴CE＝PC，AC＝BC，在△BEC和△APC中，，∴△BEC≌△APC（SAS），∴PA＝BE＝PB+PC；（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，连接OA，OB．如图2，∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°∴∠1＝∠3，∵∠APB＝∠AOB＝45°，∴BP＝BE，∴PE＝PB，在△ABE和△CBP中，，∴△ABE≌△CBP（SAS），∴PC＝AE，∴PA＝AE+PE＝PC+PB；17．解：（1）连接BF，则有BF∥AG．理由如下：∵ABCDEFGH是正八边形，∴它的内角都为135°．又∵HA＝HG，∴∠1＝22.5°，从而∠2＝135°﹣∠1＝112.5°．由于正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，∴即∠2+∠3＝180°，故BF∥AG．（2）根据题设可知∠PHA＝∠PAH＝45°，∴∠P＝90°，同理可得∠Q＝∠M＝90°，∴四边形PQMN是矩形．又∵∠PHA＝∠PAH＝∠QBC＝∠QCB＝∠MDE＝∠MED＝45°，AH＝BC＝DE，∴△PAH≌△QCB≌△MDE，∴PA＝QB＝QC＝MD．即PQ＝QM，故四边形PQMN是正方形．在Rt△PAB中，∵∠PAH＝45°，AB＝2，∴，∴．故．18．解：（1）S2＝2S1，如右图所示，连接OD、OF、OB，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴△BDF是正三角形，∴△ABF、△BDC、△DEF、△DOF、△BOF、△BOD都是全等的，∴S2＝2S1；（2）旋转中心是O，最小旋转角是120°，由于正n边形关于对称中心O旋转与自身重合，而通过观察可知△ABF必须逆时针旋转才可以与△CBD重合，故旋转的角度＝＝120°．九年级数学下册第27章圆 27.4 正多边形和圆同步练习1（含解析）（新版）华东师大版21 / 21。