初三数学正多边形与圆练习

圆知识点一、圆的概念集合形式的概念: 1.圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2.圆的外部: 可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3.圆的内部: 可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1.圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心, 定长为半径的圆；（补充）2.垂直平分线: 到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3.角的平分线: 到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是: 平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是: 平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1.点在圆内点在圆内；2.点在圆上点在圆上；3.点在圆外点在圆外；三、直线与圆的位置关系1.直线与圆相离无交点；2.直线与圆相切有一个交点；3.直线与圆相交有两个交点；四、垂径定理垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1: （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径, 垂直平分弦, 并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理, 简称2推3定理：此定理中共5个结论中, 只要知道其中2个即可推出其它3个结论, 即：①AB是直径②AB CD⊥③CE DE=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2: 圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙中, ∵∥∴弧AC=弧BD五、圆心角定理圆心角定理: 同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的弦相等, 所对的弧相等,弦心距相等。

此定理也称1推3定理, 即上述四个结论中,只要知道其中的1个相等, 则可以推出其它的3个结论,即: ①；②；③OC OF=；④弧BA=弧BD六、圆周角定理1.圆周角定理: 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

正多边形与圆1.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形__________的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形__________的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．2.三角形的内切圆、外接圆三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫三角形的外心三角形的外心到三角形______________相等三角形的外心是三角形三边中垂线的交点三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆三角形内切圆的圆心叫三角形的内心三角形的内心到_________的距离相等三角形的内心是三角形三角平分线的交点3.圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角________，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形______________．4.正多边形与圆在正多边形的有关计算中，如果分别以αn、a n、r n、R n、P n和S n表示正n(n≥3,n为整数)边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有：①αn=；②a n=2R n·sin；③r n=R n·cos；④+；⑤P n=na n；⑥S n=P n r n；⑦S n=n sin.（因为一个三角形的面积为：h·OB）注意两点：1.构造直角三角形（弦心距、边长的一半、半径组成的）求线段之间的关系等；2.准确记忆相关公式。

正多边形与圆1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )A.3∶2∶1B.4∶3∶2C.4∶2∶1D.6∶4∶33.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( ) A.26 B.43 C.36 D.34 4.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是( )A.S 3>S 4>S 6B.S 6>S 4>S 3C.S 6>S 3>S 4D.S 4>S 6>S 35.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( )A.63B.43C.332D.33 6.已知正多边形的边心距与边长的比为21，则此正多边形为( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（ ）A. 33B. 233C. 23D. 223已知正六边形边长为a ，求它的内切圆的面积_________。

7.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.8.中心角是45°的正多边形的边数是__________.9.已知△ABC 的周长为20,△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4,那么BC=__________.10.若正n 边形的一个外角是一个内角的32时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 11.已知正六边形的半径为3 cm ，则这个正六边形的周长为__________ cm.12.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度.如图，在正八边形ABCDEFGH 中，四边形BCFG 的面积为20 cm ²，则正八边形ABCDEFGH 的面积为 cm ²．F EA G DB C如图，在正八边形ABCDEFGH 中，等腰梯形CDEF 的面积是12，则这个八边形的面积为___________ 如图,有一圆内接正八边形ABCDEFGH,若△ADE 的面积为10,则正八边形ABCDEFGH 的面积为 ___________如图,点M 、N 、P 、Q 、G 、H 都在同一直线L 上,四边形ABCD 都是正方形,其边长分别为a 、b 、c 、d,若密封图形总面积是m,其中阴影部分的面积为n,则a ²+b ²+c ²+d ²的值为___________ 直角三角行abc 的两直角边ac 多种等于8cm,bc 等于6cm,以ac,bc 边向三角形外分作正方形acd 与bcfg,再以ab 为边上作正方形abmn,其中n 点落在de 上,bm 交cf 于点t.问：图中阴影部分如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为4，则阴影部分的面积等于 ． 为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a ，则阴影部分的面积为______．如图，将边长为a 的正六边形A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6在直线l 上由图1的位置按顺时针方向向 作无滑动滚动，当A 1第一次滚动到图2位置时，顶点A 1所经过的路径的长为（ ）．A ．4+233πa B ．8+433πa C ．4+33πa D ．4+236πa如图24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、…、24-3-6(n)，M 、N分别是⊙O 的内接正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCDE…的边AB 、BC 上的点，且BM=CN ，连结OM 、ON.图24-3-6。

《正多边形和圆》课时练习(附答案）一、本节学习指导本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质,在命题中正多边形经常和三角形、圆联合命题，部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。

二、知识要点1、正多边形（1）、正多边形的定义各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.如:正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。

(2）、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

（3）、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

(4)、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

（5）、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

（6)、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

2、正多边形的对称性（1)、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。

一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

(2）、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

(3）、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形.一、课前预习 (5分钟训练)1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍 D 。

没有变化2。

正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为（ ）A.3∶2∶1 B 。

4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶33。

正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.4.中心角是45°的正多边形的边数是__________.5。

已知△ABC 的周长为20，△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D ，AD=4，那么BC=__________.二、课中强化(10分钟训练)1.若正n 边形的一个外角是一个内角的32时,此时该正n 边形有_________条对称轴。

1、（2011•湖州）如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠AOC=60°，OC=2．（1）求OE 和CD 的长；（2）求图中阴影部队的面积．2、（2011•衡阳）如图，△ABC 内接于⊙O ，CA=CB ，CD ∥AB 且与OA 的延长线交于点D ．（1）判断CD 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）若∠ACB=120°，OA=2．求CD 的长．3、（2011•杭州）在平面上，七个边长为1的等边三角形，分别用①至⑦表示（如图）．从④⑤⑥⑦组成的图形中，取出一个三角形，使剩下的图形经过一次平移，与①②③组成的图形拼成一个正六边形（1）你取出的是哪个三角形？写出平移的方向和平移的距离；（2）将取出的三角形任意放置在拼成的正六边形所在平面，问：正六边形没有被三角形盖住的面积能否等于52？请说明理由．4、（2011•杭州）在△ABC 中，AB=√3，AC=√2，BC=1． （1）求证：∠A≠30°；（2）将△ABC 绕BC 所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积．5、（2011•贵阳）在▱ABCD 中，AB=10，∠ABC=60°，以AB 为直径作⊙O ，边CD 切⊙O 于点E ．（1）圆心O 到CD 的距离是 _________ ．（2）求由弧AE 、线段AD 、DE 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π和根号）6、（2011•抚顺）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 垂直平分OB 于点E ，点F 在AB 延长线上，∠AFC=30°．（1）求证：CF 为⊙O 的切线．（2）若半径ON ⊥AD 于点M ，CE=√3，求图中阴影部分的面积．7、（2011•北京）如图，在△ABC ，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且∠CBF=12∠CAB ．（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；（2）若AB=5，sin ∠CBF=√55，求BC 和BF 的长．8、（2010•义乌市）如图，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是AE ̂的中点，OM 交AC 于点D ，∠BOE=60°，cosC=12，BC=2√3．（1）求∠A 的度数；（2）求证：BC 是⊙O 的切线 （3）求MD 的长度．9、（2010•沈阳）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在BA 的延长线上，直线CD 与⊙O 相切与点D ，弦DF ⊥AB 于点E ，线段CD=10，连接BD ．（1）求证：∠CDE=2∠B ；（2）若BD ：AB=√3：2，求⊙O 的半径及DF 的长．10、（2010•绍兴）如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，D 是AB ̂的中点，过点D 作直线BC的垂线，分别交CB 、CA 的延长线E 、F ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若EF=8，EC=6，求⊙O 的半径．11、（2010•丽水）如图，直线l 与⊙O 相交于A ，B 两点，且与半径OC 垂直，垂足为H ，已知AB=16cm ，．（1）求⊙O 的半径；（2）如果要将直线l 向下平移到与⊙O 相切的位置，平移的距离应是多少？请说明理由．1、（2011•湖州）如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠AOC=60°，OC=2．（1）求OE 和CD 的长；（2）求图中阴影部队的面积．考点：扇形面积的计算；垂径定理。

正多边形与圆的相关计算课前测试【题目】课前测试如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．【答案】∠AED=45°；DE =。

【解析】（1）如图1中，连接OA、OD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，∴∠AED=∠AOD=45°．（2）如图2中，连接CF、CE、CA，作DH⊥AE于H．∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠ABF=∠CDE，∵∠CFA=∠AEC=90°，∴∠DEC=∠AFB=135°，∵CD=AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF=CE=1，∴AC==，∴AD=AC=，∵∠DHE=90°，∴∠HDE=∠HED=45°，∴DH=HE，设DH=EH=x，在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，∴=（4﹣x）2+x2，解得x=或（舍弃），∴DE=DH=总结：本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型。

【难度】4【题目】课前测试如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2cm，∠AOB=120°．（1）求tan∠OAB的值；（2）计算S△AOB；（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动，当S△POA=S△AOB时，求P点所经过的弧长．（不考虑点P与点B重合的情形）【答案】tan∠OAB=；S△AOB=（cm2）；的长度==（cm）．【解析】（1）作OC⊥AB．∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°．∴OC=1，AC=．∴tan∠OAB=．（2）AC=，∴AB=2．∴S△AOB=2×1÷2=（cm2）．（3）如图，延长BO交⊙O于点P1，∵点O是直径BP1的中点，S△AP1O=AD×P1O，S△AOB=AD×BO，∵P1O=BO，∴S△P1OA=S△AOB，∠AOP1=60°．∴的长度为（cm）．作点A关于直径BP1的对称点P2，连接AP2，OP2，AP3，易得S△P2OA=S△AOB，∠AOP2=120°．∴的长度为（cm）．过点B作BP3∥OA交⊙O于点P3，则P2P3直径，易得S△P3OA=S△AOB，∴的长度==（cm）．总结：本题综合考查了解直角三角形，及三角形的面积公式及弧长公式．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：正多边形与圆的相关计算是九年级下册第三章的内容，主要讲解了正多边形的相关概念、圆内接正多边形与外切正多边形定义与相关计算、弧长和扇形面积的计算公式。

一、圆与圆位置关系的性质【例1】 如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心．EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为 ．【巩固】如图，ABC ∆是正三角形，点C 在矩形ABDE 的边DE 上，ABC ∆的内切圆半径是1．则矩形ABDE的外接圆直径是 ．图 3BADCE【例2】 在直线的同侧画三个圆：切于直线的一圆半径为4，另两圆相等，且各切于直线及其它两圆，则两等圆的半径为__________．【巩固】设1O ⊙和2O ⊙是同一平面上两个相切的半径为1的圆，在这个平面上同时与1O ⊙和2O ⊙相切的半径为3的圆的个数是_____________．例题精讲中考要求圆与圆的位置关系（2）【例3】 如图，3PQ =，以PQ 为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P ，正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD 切于点Q ．则AB = ．P【巩固】如图，10PQ =，以PQ 为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点P ，正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD 切于Q ，若A B m =+其中，m ，n 是正数，求m n+的值．P【例4】 如图，已知圆心为A B C 、、的三个圆彼此相切，且均与直线l 相切．若A B C 、、⊙⊙⊙的半径分别为()0a b c c a b <<<、、，则a b c 、、一定满足的关系式为 ( ) A ．2b a c =+BC ．111c a b =+D=【巩固】如图，P 为半圆弧上任意一点，圆⊙1O 、⊙2O 都与ABP ∆的一边和半圆相切的最大圆，⊙3O 是ABP ∆的内切圆，其中⊙1O 、⊙2O 、⊙3O 和半圆的半径分别1r 、2r 、3r 、R ，12r =，21r =，则3r 为 ．BA【例5】 某人用如下方法测一钢管的内径：将一小段钢管竖直放在平台上，向内放入两个半径为5cm 的钢球，测得上面一个钢球顶部高16cm DC =（钢管的轴截面如图所示），则钢管的内直径AD 的长为________cm ．【巩固】如图，矩形内放置8个半径为1的圆，其中相邻两个圆都相切，并且左上角和右下角的两个圆和矩形的一边相切，则该矩形的面积为 ．【例6】 如图，11PQ PO O Q 、、分别是以123O O O 、、为圆心的半圆123C C C 、、的直径，圆4C 内切于半圆1C 及外切于半圆23C C 、．若24PQ =，求圆4C 的面积．123【巩固】如图，大圆O ⊙的直径cm AB a =，分别以OA OB 、为直径作1O ⊙和2O ⊙，并在O ⊙与1O ⊙和2O ⊙的空隙间作两个等圆3O ⊙和4O ⊙，这些圆互相内切或外切，则四边形1423O O O O 的面积为___________2cm ．【例7】 已知A 为O ⊙上一点，B 为A ⊙与OA 的交点，A ⊙与O ⊙的半径分别为r R 、，且r R <．（1）如图1，过点B 作A ⊙的切线与O ⊙交于M N 、两点．求证：2AM AN Rr ⋅=；（2）如图2，若A ⊙与O ⊙的交点为E F 、，C 是EBF 上任意一点，过点C 作A ⊙的切线与O ⊙交于P Q 、两点，试问2AP AQ Rr ⋅=是否成立？并证明你的结论．【巩固】如图，90CAB ABD AB AC BD ∠=∠=︒=+，，AD 交BC 于P ，作P ⊙使其与AB 相切．试判断以AB 为直径的O ⊙与P ⊙的位置关系，并加以证明．B【例8】 两个圆相交于点A 和B ，由点A 作两个圆的切线，分别与两个圆相交于点M 和N ．直线BM 和BN 分别与两个圆交于另外两点P 和Q （P 在BM 上，Q 在BN 上）．求证：MP NQ =． QMPB A【巩固】如图，1O ，2O 交于A B ，两点，直线MN 垂直于AB 于点A ，分别与12O O ，交于点N M ，，P 为MN 中点，1122AO Q AO Q ∠=∠，求证：12PQ PQ =．Q 2Q 1O 2O 1P N MB A【例9】 半径为R 的两圆之一过平行四边形ABCD 的顶点A 和B ，而另一圆过顶点D 和C ，点M 是两圆除B 外的另一个交点，求证：AMD ∆的外接圆半径长也为R ．D【巩固】如图，已知ABC ∆的高AD BE 、交于H ，ABC ABH ∆∆、的外接圆分别为O ⊙和O ⊙′．求证：O⊙与O ⊙′的半径相等．【例10】 如图，ABC △的三边满足关系1()2BC AB AC =+，O 、I 分别为ABC ∆的外心、内心，BAC ∠的外角平分线交⊙O 于E ，AI 的延长线交⊙O 于D ，DE 交BC 于H ；求证：（1）ED 是⊙O 的直径；（2）AI BD =；（3）12OI AE =．D【巩固】在ABC ∆中，AB AC =，圆1O 与ABC ∆的外接圆内切于D ，与AB 、AC 分别相切于P 、Q ．求证：PQ 的中点O 是ABC ∆的内切圆圆心．【例11】 已知圆1O 、2O 外切于P ，过圆1O 上一点A 作圆2O 的切线AC ，交圆1O 于B ，C 为切点．求证：PA ACPB BC=．【巩固】两圆交于A B，，过A任作直线PAQ，求证：BPBQ为定值．【例12】A是O上一点，O的半径为R，以A为圆心，r 为半径()r R<作圆，设O的弦PQ与A切于点M，求证：不论PQ的位置如何，PA QA⋅为定值．【巩固】过定圆的圆心O作A，设A与O的一个交点为B，过B 作A的直径BC，BC与O交于点D，求证BD BC⋅为定值．【例13】如图，圆O与圆D相交于A B，两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB BC=．（1）证明：点O在圆D的圆周上．（2）设ABC∆的面积为S，求圆D的半径r的最小值．ODCBA【巩固】如图1，1O ⊙和2O ⊙都是半径为4的等圆，1214O O =，A B ，为1O ⊙上两点，且190AO B ∠=︒，过2O 分别作平行于11O A O B ，的半径22O D O C ，，连接AD BC ，，当A B ，在1O ⊙上运动时，C D ，也随之运动，问：四边形ABCD 的周长是否是定值，如果是定值，请求出这个定值，如果不是定值则是否存在最大值或最小值，如果有求出这个最值．图1【例14】 如图所示，过O ⊙上的一点C 作直径AB 的垂线，垂足为D ，'O ⊙切AB 于点E ，切CD 于点F ，内切半圆O 于点G ，证明：AC AE =．O'O G FED C BA【例15】 如图，已知1O ⊙和2O ⊙外切于点O ，以直线12O O 为x 轴，点O 为坐标原点建立直角坐标系，直线AB 切1O ⊙于点B ，切2O ⊙于点A ，交y 轴于点C (0,2)，交x 轴于M ，BO 的延长线交2O ⊙于点D ，且13OB OD =∶∶． （1）求2O ⊙的半径长； （2）求直线AB 的解析式；（3）在直线AB 上是否存在点P ，使2MO P ∆与MBO ∆相似？求出点P 坐标；若不能说明理由．1.如图，已知半圆O 的直径为AB ，半径长为254，点D 在AB 上，74OD =，CD AB ⊥，CD 交半圆'O 于D ．那么与半圆相切，且与BC ，CD 相切的'O ⊙的半径长为． 课后作业2.小强师傅要在长为25cm ，宽为18cm 的薄铁板上裁出一个最大的圆和两个尽可能大的小圆．他先画出草图（如图），但他在求小圆半径时遇到了困难，请你帮助小强师傅计算出这两个小圆的半径．3.把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于________．4.已知多边形ABDEC 是由边长为2的等边三角形ABC 和正方形BDEC 组成，一圆过A 、D 、E 三点，求该圆半径的长．A5.如图（1），两半径为r 的等圆1O ⊙和2O ⊙相交于M N ，两点，且2O ⊙过点1O ．过M 点作直线AB 垂直于MN ，分别交1O ⊙和2O ⊙于A B ，两点，连结NA NB ，． （1）猜想点2O 与1O 有什么位置关系，并给出证明；（2）猜想NAB 的形状，并给出证明； （3）如图（2），若过M 的点所在的直线AB 不垂直于MN ，且点A B ，在点M 的两侧，那么⑵中的结论是否成立，若成立请给出证明．图1图26.设圆O、圆P外切于A，外公切线BC分别切两圆于B、C，BC与OP的交点为Q，过Q引MN BC⊥交BA、AC于S、R，求证：QS QR=．NM SR QP A CB O。

圆与圆的位置关系圆与正多边形考点解读模块考点水平层级图形与几何相关定义Ⅱ两圆位置关系及圆与正多边形的位置关系备注理解性理解水平（记为Ⅱ）探究性理解水平(记为Ⅲ)知识梳理一、相关定义：1．外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离．2．外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．3．相交：两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交．4．内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切，这个唯一的公共点叫做切点．5．内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含.当两个圆的圆心重合时，称它们为同心圆．6．圆心距：两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距．7．各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．n ）就称作正n边形．8．有n条边的正多边形（n是正整数，且39．正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心．10．正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径．11．正多边形的内切圆的半径长叫做正多边形的边心距．12．正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．【注意】1．正n边形，若n是奇数，则正n边形是轴对称图形；若n是偶数，则正n边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．2．正n边形的条对称轴交于一点，其外接圆和内切圆的圆心都是这个正n边形的对称轴的交点．这个交点到正n边形的各顶点的距离相等，到正n边形各边的距离也相等．二、两圆位置关系：1．半径不等的两圆的位置关系：半径不等的两圆的半径分别为1R 和2R ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用1R 、2R 和d 之间的 数量关系表达，具体表达如下： ①两圆外离12d R R ⇔>+； ②两圆外切12d R R ⇔=+；③两圆相交1212R R d R R ⇔-<<+； ④两圆内切12d R R ⇔=-； ⑤两圆内含120d R R ⇔≤<-．2．半径相等的两圆的位置关系有：外离、外切、相交、重合．【总结】1．半径不等两圆的位置关系用数轴表示：2．从两圆公共点个数考虑：交点个数 半径不等 半径相等两圆无交点 两圆外离两圆内含（同心圆）两圆外离 两圆有一个交点 两圆外切两圆内切两圆外切 两圆有两个交点 两圆相交 两圆相交 两圆有无数个交点 ——两圆重合三、相关定理：1．相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦． 2．相切两圆的连心线经过切点．典型例题1. 下列判断错误的是（ C ）A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 2. 已知1O 与2O 外离，1O 半径是5，圆心距127O O =，那么2O 半径可以是（ D ）A. 4B. 3C. 2D. 13.已知⊙1O 的半径16r =，⊙2O 的半径为2r ，圆心距123O O =，如果⊙1O 与⊙2O 有交点，那么2r 的 取值范围是（ D ）A. 23r ≥B. 29r ≤C. 239r <<D. 239r ≤≤4. 圆O 是正n 边形12n A A A ⋅⋅⋅的外接圆，半径长为18，若12A A 长为π，那么边数n 为（ C ） A. 5 B. 10 C. 36 D. 725.若⊙1O 与⊙2O 相交于两点，且圆心距125O O cm =，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的 半径？（ D ）A. 1cm ，2cmB. 2cm ，3cmC. 10cm ，15cmD. 2cm ，5cm 6.如图，A 、B 的半径分别为1cm 、2cm ，圆心距AB 为5cm .将A 由图示位置沿直线AB 向右平移，当该圆与B 内切时，A 平移的距离是 4或6 .（黄浦2015二模5） 如果两圆的半径长分别为6与2，圆心距为4，那么这两个圆的位置关系是（A ）内含； （B ）内切； （C ）外切； （D ）相交. 【答案】B（奉贤2015二模5）相交两圆的圆心距是5，如果其中一个圆的半径是3，那么另外一个圆的半径可以是（ ）A ．2；B ．5；C ．8；D ．10． 【参考答案】B（虹口2015二模5）下列多边形中，中心角等于内角的是（ ）A ．正三角形；B ．正四边形；C ．正六边形；D ．正八边形． 【参考答案】B（奉贤2015二模14）如果正n 边形的中心角是40°，那么n = ； 【参考答案】9（黄浦2015二模17）当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一圆的圆内时，我们称此两圆的 位置关系为“内相交”．如果⊙1O 、⊙2O 半径分别为3和1，且两圆“内相交”，那么两圆的圆心距d 的 取值范围是 ．【参考答案】23d <<．（黄浦2016二模5）如果两圆的半径长分别为1和3，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外切 D. 相交【参考答案】D（奉贤2016二模6）已知1O 与2O 外离，1O 半径是5，圆心距127O O =，那么2O 半径可以是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【参考答案】D（松江2016二模6）已知⊙1O 的半径16r =，⊙2O 的半径为2r ，圆心距123O O =，如果⊙1O 与⊙2O 有交点，那么2r 的取值范围是（ ）A. 23r ≥B. 29r ≤C. 239r <<D. 239r ≤≤【参考答案】D（闸北2016二模6）若⊙1O 与⊙2O 相交于两点，且圆心距125O O cm =，则下列哪一选项中的长度可能为此两圆的半径？（ ）A. 1cm ，2cmB. 2cm ，3cmC. 10cm ，15cmD.2cm ，5cm【参考答案】D（嘉定、宝山2016二模15）已知A 的半径长为1、B 的半径长为2、C 的半径长为3，如果这三个圆两两外切，那么cos B 的值是______________.【参考答案】35（虹口2016二模16）若两圆的半径分别为1cm 和5cm ，圆心距为4cm ，则这两圆的位置关系是________.【参考答案】内切（静安、青浦2016二模17）已知⊙1O 、⊙2O 的半径分别为3、2，且⊙1O 上的点都在⊙2O 的外部，那么圆心距d 的取值范围是________________.【参考答案】5d >或01d ≤<变式训练1.如图，已知AB 是⊙O 的直径，16AB =，点P 是AB 所在直线上一点，10OP =，点C 是⊙O 上 一点，PC 交⊙O 于点D ，3sin 5BPC ∠=，求CD 的长；【答案】 CD =；22. 如图①，三个直径为a 的等圆⊙P 、⊙Q 、⊙O 两两外切，切点分别是A 、B 、C ； （1）那么OA 的长是 （用含a 的代数式表示）；（2）探索：现有若干个直径为a 的圆圈分别按如图②所示的方案一和如图③所示的方案二的方式排放，那么这两种方案中n 层圆圈的高度n h = ，n h '= （用含n 、a 的代数式表示）；（3）应用：现有一种长方体集装箱，箱内长为6米，宽为2.5米，高为2.5米，用这种集装箱装运长 为6米，底面直径（横截面的外圆直径）为0.1米的圆柱形铜管，你认为采用第（2）题中的哪种方案 在这种集装箱中装运铜管数多？通过计算说明理由；1.41≈ 1.73≈】【答案】22.（1；（2）na (1a +-；（3）方案②；（闸北2016二模17）在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，点P 是与圆心C 不重合的点，给出如下定义：若点P '为射线CP 上一点，满足2CP CP r '⋅=，则称点P '为点P 关于⊙C 的反演点，如图为点P 及其关于⊙C 的反演点P '的示意图，写出点1(,0)2M 关于以原点O 为圆心，1为半径的⊙O 反演点M '的坐标_____________.【参考答案】(2,0)课后训练（崇明2016二模5）如图，正六边形ABCDEF 内接于圆O ，半径为4，那么这个正六边形的边心距OM 和弧BC 的长分别为（ ）A. 2、3πB. πC. 、23πD. 43π【参考答案】D（普陀2016二模6）如果圆形纸片的直径是8cm ，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（ ）A. 2cmB.C. 4cmD.【参考答案】C（杨浦2016二模6）圆O 是正n 边形12n A A A ⋅⋅⋅的外接圆，半径长为18，若12A A 长为π，那么边数n 为（ ）A. 5B. 10C. 36D. 72【参考答案】C（黄浦2016二模15）中心角为60°的正多边形有 条对称轴.【参考答案】6（长宁、金山2016二模17）已知AB 、AC 分别是同一个圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么BAC ∠的度数是 度【参考答案】15或105（虹口2016二模17）设正n 边形的半径为R ，边心距为r ，如果我们将Rr的值称为正n 边形的“接近度”， 那么正六边形的“接近度”是 （结果保留根号）【参考答案】3（崇明2016二模5）如图，正六边形ABCDEF 内接于圆O ，半径为4，那么这个正六边形的边心距OM 和弧BC 的长分别为（ ）A. 2、3πB. πC. 、23πD. 43π【参考答案】D（普陀2016二模6）如果圆形纸片的直径是8cm ，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（ ）A. 2cmB.C. 4cmD.【参考答案】C（杨浦2016二模6）圆O 是正n 边形12n A A A ⋅⋅⋅的外接圆，半径长为18，若12A A 长为π，那么边数n 为（ ）A. 5B. 10C. 36D. 72【参考答案】C（黄浦2016二模15）中心角为60°的正多边形有 条对称轴.【参考答案】6（长宁、金山2016二模17）已知AB 、AC 分别是同一个圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么BAC ∠的度数是 度【参考答案】15或105（虹口2016二模17）设正n边形的半径为R，边心距为r，如果我们将Rr的值称为正n边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是（结果保留根号）【参考答案】3。

初中数学正多边形和圆解答题专题训练含答案姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、解答题（共15题）1、如图，PM 、PN 是⊙ O 的切线，切点分别是A 、B ，过点O 的直线CE∥PN ，交⊙ O 于点C 、D ，交PM 于点E ，AD 的延长线交PN 于点F ，若BC∥PM ．（ 1 ）求证：∠P ＝45° ；（ 2 ）若CD ＝ 6 ，求PF 的长．2、如图，是的直径，为上一点（不与点，重合）连接，，过点作，垂足为点．将沿翻折，点落在点处得，交于点．（ 1 ）求证：是的切线；（ 2 ）若，，求阴影部分面积．3、已知：三角形ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图，AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，只需保证∠CAE=∠_____，并证明之;(2)如图，AB为⊙O非直径的弦，(1)中你所添出的条件仍成立的话，EF还是⊙O的切线吗？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由并与同学交流.4、如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD 和AC交于点N．求证：OB⊥DF .5、如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（）cm ，正六边形的边长为（）cm.求这两段铁丝的长。

6、如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需要个五边形．7、如图，是等边三角形．（1）作的外接⊙（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若，求⊙的半径．8、图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．9、如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）当∠E=∠F时，则∠AD C=__________°；（2）当∠A=55°，∠E=30°时，求∠F的度数；（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．10、如图，是的内接正五边形．求证：.11、如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半径．12、如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是弧AB的中点，求EG•ED的值．13、如图，A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP=15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．14、一个边长为4的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，（1）求等边三角形的高；（2）求CE的长度；（3）若将等边三角形ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），求α为多少时，等边三角形的边所在的直线与圆相切．15、如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点重合），连接，，．（1）求证：是的平分线；（2）四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值．============参考答案============一、解答题1、（ 1 ）见解析；（ 2 ） 3 ．【分析】（ 1 ）连接OB ，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质解得，结合切线的性质及等腰三角形的性质，解得，据此解题；（ 2 ）连接AC ，证明，可得，结合（ 1 ）中，解得，再结合切线的性质及等腰三角形的性质解得，最后根据全等三角形对应边相等解题即可．【详解】解：（ 1 ）连接OB ，如图，，四边形是平行四边形，PN 是⊙ O 的切线，；（ 2 ）连接AC ，如图，PM 、PN 是⊙ O 的切线，四边形是平行四边形，在与中，PM 是⊙ O 的切线，．【点睛】本题考查圆的切线性质、切线长定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．2、（ 1 ）见解析；（ 2 ）【解析】【分析】（ 1 ）连接OC ，先证明∠ CDA =90° ，根据折叠的性质和圆的半径相等证明OC AE ，从而求出∠ ECO =90° ，问题得证；（ 2 ）连接，过点作于点，证明四边形OCEG 为矩形，求出，，，进而求出，∠ COF =30° ，分别求出矩形OCEG 、△ OGF 、扇形COF 面积，即可求出阴影部分面积．【详解】解：（ 1 ）如图，连接OC ，∵ ，∴∠ CDA =90° ，∵ 翻折得到，∴∠ EAC =∠ DAC ，∠ E =∠ CDA =90° ，∴∠ EAD =2∠ DAC ，∵ OA = OC ,∴∠ OAC =∠ OCA∴∠ COD =2∠ OAC ，∴∠ COD =∠ EAD ，∴ OC AE ，∴∠ ECO =180°-∠ E =90° ，∴ OC ⊥ EC ，∴ 是的切线；（ 2 ）如图，连接，过点作于点，∵∠ E =∠ ECO =90° ，∴ 四边形OCEG 为矩形．∵ ，，∴ ，∴ ，∴ ，∵ 于点，OA = OF =2 ，∴ ，∠ FAO =∠ AFO =30° ，∵ OC AE ，∴∠ COF =∠ AFO =30° ，∴ 矩形OCEG 面积为，△ OGF 面积为，扇形COF 面积为∴ 阴影部分面积= 矩形OCEG 面积 -△ OGF 面积 - 扇形COF 面积 = ．【点睛】本题为圆的综合题，考查了切线的判定，垂径定理，扇形的面积等知识，综合性较强，熟练掌握相关定理并根据题意添加辅助线是解题的关键．3、(1)ABC 证明：∵AB为⊙O直径, ∴∠ACB=90°.∴∠BAC+∠ABC=90°. 若∠CAE=∠ABC. ∴∠BAC+∠CAE=90°,即∠BAE=90°，OA⊥AE. ∴EF为⊙O的切线.(2)证明：连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD, ∴∠ADC=∠ABC.∵AD为⊙O的直径, ∴∠DAC+∠ADC=90°.∵∠CAE=∠ABC=∠ADC, ∴∠DAC+∠CAE=90°. ∴∠DAE=90°,即OA⊥EF，EF为⊙O的切线.4、证明：∵A、C、D、F四点共圆∴∠BDF＝∠BAC又∠OBC＝(180°－∠BOC)＝90°－∠BAC∴OB⊥DF．5、解: 由已知得，正五边形周长为5（）cm，正六边形周长为6（）cm.因为正五边形和正六边形的周长相等，所以.…………2分整理得, 配方得，解得(舍去).、故正五边形的周长为(cm). ………………6分又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm.答：这两段铁丝的总长为420cm. …………7分6、 7；7、（1）作图略．作图正确给3分，若没有写出“⊙就是所求作的”扣1分；（2）连结，作于点，则，，， 5分在中，设，则，解得，∴⊙的半径为．6分8、【考点】正多边形和圆；圆锥的计算；作图—复杂作图．【分析】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O 于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=3=135°得到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．【解答】（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOD=3=135°，∵OA=5，∴的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，∴2πR=，∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为．故答案为：．9、【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】（1）由∠E=∠F，易得∠ADC=∠ABC，又由圆的内接四边形的性质，即可求得答案；（2）由∠A=55°，∠E=30°，首先可求得∠ABC的度数，继而利用圆的内接四边形的性质，求得∠ADC的度数，则可求得答案；（3）由三角形的内角和定理与圆的内接四边形的性质，即可求得180°﹣∠A﹣∠F+180°﹣∠A﹣∠E=180°，继而求得答案．【解答】解：（1）∵∠E=∠F，∠DCE=∠BCF，∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠BCF+∠F，∴∠ADC=∠ABC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ADC=90°．故答案为：90°；（2）∵在△ABE中，∠A=55°，∠E=30°，∴∠ABE=180°﹣∠A﹣∠E=95°，∴∠ADF=180°﹣∠ABE=85°，∴在△ADF中，∠F=180°﹣∠ADF﹣∠A=40°；（3）∵∠ADC=180°﹣∠A﹣∠F，∠ABC=180°﹣∠A﹣∠E，∵∠ADC+∠ABC=180°，∴180°﹣∠A﹣∠F+180°﹣∠A﹣∠E=180°，∴2∠A+∠E+∠F=180°，∴∠A==．【点评】此题考查了圆的内接四边形的性质以及圆的内接四边形的性质．注意圆内接四边形的对角互补．10、证明见解析【分析】根据正五边形的性质求出，根据三角形的内角和定理，可得∠CBD的度数，进而可得出∠ABD的度数，然后根据同旁内角互补，两直线平行可证得结论．【详解】证明：∵是正五边形，∴.又∵，∴，∴，∴，∴.【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正五边形的性质是解答此题的关键．11、 2cm【解析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可．【详解】过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，∵正三角形ABC内接于⊙O，∴点O即是三角形内心也是外心，∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=，∴cos30°===，解得：BO=2，即⊙O的半径为2cm．【点睛】考查了正多边形和圆，利用正多边形内外心的特殊关系得出∠OBD=30°，BD=CD是解题关键．12、（1）见解析；（2）∠BDF=110°；（3）18【分析】（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，劲儿利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；（3）根据cosB=，得出AB的长，再求出AE的长，进而得出△AEG∽△DEA，求出答案即可．【详解】解：（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C；（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD=180°﹣∠E，又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，∴∠CFD=∠E=55°，又∵∠E=∠C=55°，∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；（3）解：连接OE，∵∠CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4，在Rt△ABD中，cosB=，BD=4，∴AB=6，∵E是的中点，AB是⊙O的直径，∵∠AOE=90°，且AO=OE=3，∴AE=，∵E是的中点，∴∠ADE=∠EAB，∴△AEG∽△D EA，∴，即EG•ED==18．【点睛】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出AE，AB的长是解题关键．13、（1）C (0,3)；（2）t的值为4+或4+3；（3）t的值为1或4或5.6.【解析】试题分析：（1）由∠CBO=45°，∠BOC为直角，得到△BOC为等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰直角三角形AOB的性质知OC=OB=3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标；（2）需要对点P的位置进行分类讨论：①当点P在点B右侧时，如图2所示，由∠BCO=45°，用∠BCO-∠BCP求出∠PCO为30°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；②当点P在点B左侧时，如图3所示，用∠BCO+∠BCP求出∠PCO为60°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；（3）当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，分三种情况考虑：①当⊙P与BC边相切时，利用切线的性质得到BC垂直于CP，可得出∠BCP=90°，由∠BCO=45°，得到∠OCP=45°，即此时△COP为等腰直角三角形，可得出OP=OC，由OC=3，得到OP=3，用OQ-OP求出P运动的路程，即可得出此时的时间t；②当⊙P与CD相切于点C时，P与O重合，可得出P运动的路程为OQ的长，求出此时的时间t；③当⊙P与AD相切时，利用切线的性质得到∠DAO=90°，得到此时A为切点，由PC=PA，且PA=9-t，PO=t-4，在Rt△OCP中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到此时的时间t．综上，得到所有满足题意的时间t的值．试题解析：：（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，∴OC=OB=3，又∵点C在y轴的正半轴上，∴点C的坐标为（0，3）；（2）分两种情况考虑：①当点P在点B右侧时，如图2，若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，故PO=CO•tan30°=，此时t=4+；②当点P在点B左侧时，如图3，由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，故OP=COt an60°=3，此时，t=4+3，∴t的值为4+或4+3；（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1；②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4；③当⊙P与AD相切时，由题意，得∠DAO=90°，∴点A为切点，如图4，PC2=PA2=（9-t）2，PO2=（t-4）2，于是（9-t）2=（t-4）2+32，即81-18t+t2=t2-8t+16+9，解得：t=5.6，∴t的值为1或4或5.6．14、（1）2；（2）3；（3）α＝60°或120°或180°或300°.【分析】（1）作AM⊥MC于M,在直角三角形ACM中,利用勾股定理即可解题,（2）连接EF,在直角三角形CEF中, 利用勾股定理即可解题,（3）画出图形即可解题.【详解】解：（1）如图，作AM⊥MC于M．∵△ABC是等边三角形，∴∠MAC＝∠MAB＝30°，∴CM＝AC＝2，∴AM＝＝＝2（2）∵CF是⊙O直径，∴CF＝CM＝2，连接EF，则∠CEF＝90°，∵∠ECF＝90°﹣∠ACB＝30°，∴EF＝CF＝，∴CE＝＝＝3．（3）由图象可知，α＝60°或120°或180°或300°时，等边三角形的边所在的直线与圆相切．【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系,属于简单题,作辅助线和利用勾股定理求边长是解题关键.15、 (1)详见解析；(2)是，；(3)【分析】(1)根据等弧对等角的性质证明即可；(2)延长DA到E,让AE=DB,证明△EAC≌△DBC,即可表示出S的面积；(3)作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2，当D1、M、N、D共线时△DMN取最小值，可得t=D1D2，有对称性推出在等腰△D1CD2中,t=，D与O、C共线时t取最大值即可算出．【详解】(1)∵△ABC为等边三角形,BC=AC，∴,都为圆，∴∠AOC=∠BOC=120°，∴∠ADC=∠BDC=60°，∴DC是∠ADB的角平分线．(2)是．如图，延长DA至点E，使得AE=DB．连接EC，则∠EAC=180°－∠DAC＝∠DBC．∵AE＝DB，∠EAC＝∠DBC,AC＝BC，∴△EAC≌△DBC(SAS)，∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°，故△EDC是等边三角形，∵DC=x，∴根据等边三角形的特殊性可知DC边上的高为∴．(3)依次作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2,根据对称性C△DMN =DM+MN+ND=D1M+MN+ND2．∴D1、M、N、D共线时△DMN取最小值t,此时t=D1D2,由对称有D1C=DC=D2C=x，∠D1CB=∠DCB，∠D2CA=∠DCA,∴∠D1CD2=∠D1CB+∠BCA+∠D2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°．∴∠CD1D2=∠CD2D1=60°，在等腰△D1CD2中,作CH⊥D1D2，则在Rt△D1CH中，根据30°特殊直角三角形的比例可得D1H=，同理D2H=∴t=D1D2=．∴x取最大值时,t取最大值．即D与O、C共线时t取最大值,x=4．所有t值中的最大值为．【点睛】本题考查圆与正多边形的综合以及动点问题，关键在于结合题意作出合理的辅助线转移已知量．。

九年级数学上册《正多边形和圆》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：________________一、填空题1．已知正方形ABCD，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为_______，面积为_______．2．正十二边形的中心角是_____度．二、解答题3．（1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部点A'的位置时，①A、①1、①2之间有怎样的数量关系？并说明理由．（2）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED外部点A'的位置时，①A、①1、①2之间有怎样的数量关系？并说明理由．（3）如图①，把四边形ABCD沿EF折叠，当点A、D分别落在四边形BCFE内部点A'、D的位置时，你能求出①A'、①D、①1与①2之间的数量关系吗？并说明理由．4．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ．（2）如图2，正五边形ABCDE 内接于①O ，AB ＝2，求对角线BD 的长．5．如图，正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，边CD 在x 轴上，点B 在y 轴上，已知CD ＝4．(1)点A 是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；(2)若反比例函数的图象与DE 交于点Q ，求点Q 的横坐标．6．如图所示，正五边形的对角线AC 和BE 相交于点M ．（1）求证：AC ①ED ；（2）求证：ME ＝AE ．7．如图1，正五边形ABCDE 内接于①O ，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径AF ；①以F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与①O 交于点M ，N ；①连接,,AM MN NA ．(1)求ABC∠的度数．(2)AMN是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始，以DN长为半径，在①O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．8．如图，ABC是等边三角形，点D、E、G分别在边AB、AC、BC上，且AD CE BG==，BE、CD、AG分别相交于点F、P、Q．求证：①PQF是等边三角形．9．如图，在圆内接正三角形ABC中,若①DOE保持120°角度不变，求证：当①DOE绕着O点旋转时，由两条半径和①ABC的两条边围成的图形，图中阴影部分的面积始终是①ABC的面积的13．10．已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．(1)如图1，当点G 在AD 上，F 在AB(2)将正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒，如图2，求：CE DG 的值为多少；(3)AB =AG AD =，将正方形AFEG 绕A 逆时针方向旋转(0360)αα︒<<︒，当C ，G ，E 三点共线时，请直接写出DG 的长度．三、单选题11．如图，已知①O 的半径为1，AB 是直径，分别以点A 、B 为圆心，以AB 的长为半径画弧．两弧相交于C 、D 两点，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．52π-B ．56πC ．53πD ．83π-12．对于等边三角形的性质，下列说法不正确的是（ ）A ．等边三角形的三条边都相等，三个内角也都相等；B ．等边三角形的边都等于60，角都等于60°；C ．等边三角形中线、高、角平分线都相等，而且都交于一点；D ．等边三角形具有等腰三角形的所有性质；132，则这个多边形的内角和为（ ）A ．720︒B ．360︒C ．240︒D ．180︒14．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接正四边形，△AEF 为⊙O 的内接正三角形，若DF 恰好是同圆的一个内接正n 边形的一边，则n 的值为（ ）A．6B．8C．10D．1215．连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法不正确的是（）A．四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等B．连接HD，则HD平分①CHEC．整个图形不是中心对称图形D．CEH△是等边三角形参考答案及解析：1．1)a22)a【分析】设正八边形的边长为x，表示出剪掉的等腰直角三角形的直角边，再根据正方形的边长列出方程求解即可；利用正八边形的面积等于正方形的面积减去剪掉的四个等腰直角三角形的面积列式计算即可得解．【详解】解：正方形ABCD外接圆的直径就是它的对角线，∴正方形边长为a，如图所示，设正八边形的边长为x，在Rt AEL 中，LE x =,AE AL x ==，2x x a ∴+=，解得：1)x a =，即正八边形的边长为1)a ．2222241)]2)AEL S S S a x a a a =-=-=-=正方形正八边形．故答案是：1)a ，22)a ．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是读懂题目信息，根据正方形的边长列出方程．2．30 【分析】根据正多边形的中心角公式：360n计算即可 【详解】正十二边形的中心角是：360°÷12＝30°．故答案为30．【点睛】本题的关键是掌握正多边形中心角的计算公式3．（1）2①A ＝①1+①2；见解析；（2）2①A ＝①1﹣①2；见解析；（3）2（①A +①D ）＝①1+①2+360°，见解析【分析】（1）根据翻折的性质表示出①3、①4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出①3、①4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（3）先根据翻折的性质表示出①3、①4，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．【详解】解：（1）如图，根据翻折的性质，①3=EDA '∠=12（180-①1），①4=DEA '∠=12（180-①2），①①A +①3+①4=180°，①①A +12（180-①1）+12（180-①2）=180°，整理得，2①A =①1+①2；（2）如图，同理，根据翻折的性质，①3=12（180-①1），①4=12（180+①2），①①A+①3+①4=180°，①①A+12（180-①1）+12（180+①2）=180°，整理得，2①A=①1-①2；（3）如图，同理，根据翻折的性质，①3=12（180-①1），①4=12（180-①2），①①A+①D+①3+①4=360°，①①A+①D+12（180-①1）+12（180-①2）=360°，整理得，2（①A+①D）=①1+①2+360°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，多边形的内角与外角，翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键．4．（1）AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅；（2）1【分析】（1）由托勒密定理可直接求解；（2）连接,AD AC ，根据圆周角与弦的关系可得AD AC BD ==，设BD x =，在四边形ABCD 中，根据托勒密定理有，AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅，建立方程即可求得BD 的长【详解】（1）由托勒密定理可得：AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅故答案为：AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅（2）如图，连接,AD AC ，五边形ABCDE 是正五边形，则E ABC BCD ∠=∠=∠,2AB BC CD ===AD AC BD ∴==设BD x =，AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅即2222x x =⨯+解得1211x x ==1BD ∴=+【点睛】本题考查了托勒密定理，圆周角与弦的关系，解一元二次方程，理解题意添加辅助线是解题的关键．5．(1)点A在该反比例函数的图象上，理由见解析(2)3+【分析】（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，可得BP＝4，G是CD的中点，所以P（4，；（2）易求D（6，0），E（8，，待定系数法求出DE的解析式为y﹣次函数即可求点Q．（1）解：点A在该反比例函数的图象上，理由如下：过点P作x轴垂线PG，连接BP，①P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝4，①BP＝4，G是CD的中点，①sin604PG BO BC==⋅︒==①P（4，，①P在反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0）的图象上，①k＝①反比例函数解析式为y由正六边形的性质可知，A（2，，①点A在反比例函数图象上；（2）解：由（1）得D （6，0），E （8，，设DE 的解析式为y ＝mx +b ，①608m b m b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①m b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩①y﹣由方程y y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得x＝3，①Q点横坐标为3+．．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标结合是解题的关键．6．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作出正五边形的外接①O ，则AB 的度数为1360725⨯︒=︒，由①EAC 的度数等于EDC 的度数的一半，得到①EAC ＝1144722⨯︒=︒，同理，①AED ＝12×72°×3＝108°，则 ①EAC +①AED ＝180°，即可证明ED∥AC ；（2）由①AEB 的度数等于AB 的度数的一半，得到①AEB =36°，则①EMA ＝180°－①AEB －①EAC ＝72°，可推出①EAM ＝①EMA ＝72°，即可证明 EA ＝EM ．【详解】解：①正多边形必有外接圆，①作出正五边形的外接①O ，则AB 的度数为1360725⨯︒=︒， ① ①EAC 的度数等于EDC 的度数的一半，① ①EAC ＝1144722⨯︒=︒， 同理，①AED ＝12×72°×3＝108°，① ①EAC +①AED ＝180°，① ED∥AC ；（2）①①AEB 的度数等于AB 的度数的一半，①①AEB =36°，①①EMA ＝180°－①AEB －①EAC ＝72°，① ①EAM ＝①EMA ＝72°，① EA ＝EM ．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，平行线的判定，等腰三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．7．(1)108︒(2)是正三角形，理由见解析(3)15n =【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得BC CD DE AE AB ====，则AOC ∠(优弧所对圆心角)372216︒︒=⨯=，然后根据圆周角定理即可得出结论；（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出14412024NOD ∠=︒-︒=︒，即可得出结论．（1）解：①正五边形ABCDE ．①BC CD DE AE AB ====， ①360725AOB BOC COD DOE EOA ︒∠=∠=∠=∠=∠==︒， ①3AEC AE =，①AOC ∠(优弧所对圆心角)372216︒︒=⨯=， ①1121610822AOC ABC ∠=⨯︒=∠=︒； （2）解：AMN 是正三角形，理由如下：连接,ON FN ，由作图知：FN FO =,①ON OF =，①ON OF FN ==，①OFN △是正三角形，①60OFN ∠=︒，①60AMN OFN ∠=∠=︒，同理60ANM ∠=︒，①60MAN ∠=︒，即AMN ANM MAN ∠=∠=∠，①AMN 是正三角形；（3）①AMN 是正三角形，①2120A N A N M O =∠=︒∠．①2AD AE =，①272144AOD ∠=⨯︒=︒，①DN AD AN =-，①14412024NOD∠=︒-︒=︒，①3601524n==．【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键．8．见解析【分析】先根据“SAS”证明△ACD①△CBE，得到①ACD=①CBE，结合三角形外角的性质可证①BFD=①60°，进而可证△PQF是等边三角形．【详解】证明：①△ABC是等边三角形，①①A=①BCE=60°，AC=CB，又①AD=CE，①△ACD①△CBE（SAS）；①①ACD=①CBE，①①ACB=①ACD+①BCF=60°，①①BFD=①CBE+①BCF=①ACD+①BCF =60°，同理可得，①APE=60°，①△PQF是等边三角形．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形外角的性质，综合运用各知识点是解答本题的关键．9．见解析【分析】连接OA、OB、OC，由正多边形和圆的性质可得：①OAB①①OBC①①OCA．则①1＝①2，再证明①OAG①①OCF，即可求解．【详解】如图：连接OA、OB、OC，由正多边形和圆的性质可得①OAB①①OBC①①OCA．①①1＝①2．设OD 交BC 于F ，OE 交AC 于G ，则①AOC ＝①3+①4＝120°，①DOE ＝①5+①4＝120°，① ①3＝①5．∴在①OAG 和①OCF 中2135OA OC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，① ①OAG ①①OCF ．① ΔAOC ΔABC 13OFCG S S S ==四边形． 【点睛】本题考查了正多形和圆的性质，全等三角形的判定和性质，将阴影部分的面积转化为固定的三角形面积是解题关键．10．(1)2(3)-【分析】（1）根据题意可得GE DC ∥，根据平行线分线段成比例即可求解；（2）根据（1）的结论，可得AG AD AE AC ==根据旋转的性质可得DAG CAE ∠=∠，进而证明GAD EAC ∽，根据相似三角形的性质即可求解；（3）分两种情况画出图形，证明①ADG ①①ACE ，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案．（1） 解：正方形AFEG 与正方形ABCD 有公共点A ，点G 在AD 上，F 在AB 上，GE DC ∴∥AG AE DG EC ∴= EC AE DG AG∴= 四边形AFEG 是正方形 ∴AE =∴2DG AGE === （2）解：如图，连接AE ，正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒，DAG CAE ∴∠=∠AG AD AE AC ==GAD EAC ∴∽∴AC CE DG AD= （3） 解：①如图，AB =AG AD =，AD AB ∴==8AG ==,16AC ==， ,,G E C 三点共线，Rt AGC △中，GC ==8CE GC GE ∴=-=，由（2）可知GAD EAC ∽，∴CE AC DG DA==()816DA CE DG AC ⋅∴==4==． ①如图：由（2）知△ADG ①①ACE ，①DG AD CE AC ==，①DG ， ①四边形ABCD 是正方形，①AD =BC ，AC 16，①AG ，①AG =8， ①四边形AFEG 是正方形，①①AGE =90°，GE =AG =8，①C ，G ，E 三点共线．①①AGC =90°①CG①CE =CG +EG，①DG =综上，当C ，G ，E 三点共线时，DG 的长度为-【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．11．A【分析】连接AC 、BC ，如图，先判断△ACB 为等边三角形，则①BAC ＝60°，由于S 弓形BC ＝S 扇形BAC ﹣S △ABC ，所以图中阴影部分的面积＝4S 弓形BC +2S △ABC ﹣S ⊙O ，然后利用扇形的面积公式、等边三角形的面积公式和圆的面积公式计算．【详解】解：连接BC ，如图，由作法可知AC ＝BC ＝AB ＝2，①①ACB 为等边三角形，①①BAC ＝60°，①S 弓形BC ＝S 扇形BAC ﹣S △ABC ，①S 阴＝4S 弓形BC +2S △ABC ﹣S ⊙O＝4（S 扇形BAC ﹣S △ABC ）+2S △ABC ﹣S ⊙O＝4S 扇形BAC ﹣2S △ABC ﹣S ⊙O＝42602360π⨯⨯-222﹣π×12 53=π﹣ 故选：A ．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了扇形的面积公式．12．B【分析】根据等边三角形的性质逐项分析判断即可求解．【详解】解：A ． 等边三角形的三条边都相等，三个内角也都相等，故该选项正确，不符合题意；B ． 等边三角形的三个角都等于60°，三条边都相等，不一定等于60，故该选项不正确，符合题意；C ． 等边三角形中线、高、角平分线都相等，而且都交于一点，故该选项正确，不符合题意；D ． 等边三角形具有等腰三角形的所有性质，故该选项正确，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．13．A【分析】设AB 是正多边形的一边，OC①AB ，在直角①AOC 中，利用三角函数求得①AOC 的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，求出边数，根据内角和公式即可求出多边形的内角和.【详解】如图：①2，①2，设AB 是正多边形的一边，OC①AB ， 2OC OA OB k ===，，在直角①AOC 中，OC cos AOC AO ∠== ①①AOC=30°，①①AOB=60°， 则正多边形边数是：360660︒︒=， ①多边形的内角和为：()62180720-⨯︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，正多边形的计算一般是转化成半径，边心距、以及边长的一半这三条线段构成的直角三角形的计算．14．D【分析】连接,,AC OD OF ，先根据圆内接正多边形的性质可得点O 在AC 上，且AC 是BAD ∠和EAF ∠的角平分线，从而可得1145,3022CAD BAD CAF EAF ∠=∠=︒∠=∠=︒，再根据角的和差可得15DAF ∠=︒，然后根据圆周角定理可得230DOF DAF ∠=∠=︒，最后根据正多边形的性质即可得．【详解】解：如图，连接,,AC OD OF ，四边形ABCD 为O 的内接正四边形，AEF 为O 的内接正三角形，∴点O 在AC 上，且AC 是BAD ∠和EAF ∠的角平分线，90,60BAD EAF ∠=︒∠=︒，1145,3022CAD BAD CAF EAF ∴∠=∠=︒∠=∠=︒， 15DAF CAD CAF ∴∠=∠-∠=︒，230DOF DAF ∴∠=∠=︒， DF 恰好是圆O 的一个内接正n 边形的一边，3603601230n DOF ︒︒∴===∠︒， 故选：D ．【点睛】本题考查了圆内接正多边形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键．15．D【分析】根据正八边形和圆的性质进行解答即可．【详解】解：A ．① 根据正八边形的性质， 四边形ABCH 与四边形EFGH 能够完全重合，即四边形ABCH 与四边形EFGH 全等①四边形ABCH 与四边形EFGH 的周长相等，故选项正确，不符合题意；B ．连接DH ，如图1，① 正八边形是轴对称图形，直线HD 是对称轴，① HD 平分①CHE故选项正确，不符合题意；C．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项正确，不符合题意；D．①八边形ABCDEFGH是正八边形，① B＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，CH＝EH，设正八边形的中心是O，连接EO、DH，如图2，①DOE＝360=45 8︒︒①OE＝OH①①OEH＝①OHE＝12①DOE＝22.5°①①CHE＝2①OHE＝45°①①HCE＝①HEC＝12（180°－①CHE）＝67.5°①CEH△不是等边三角形，故选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟记正八边形与等腰三角形的性质是解题的关键．。

与圆有关的计算辅导教案1．会计算圆的弧长和扇形的面积．2．会计算圆锥的侧面积和全面积．3．了解正多边形与圆的关系.课前热身1．用一个圆心角为120°，半径为18cm 的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径应等于（）A.9cmB.6cmC.4cmD.3cm 2．圆内接正方形半径为2，则面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16 3．如图，⊙O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是（）A．15πB．25πC．35πD．45π4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=23，则阴影部分的面积为( )A．2 πB．πC．23πD．3π5．一圆锥的侧面展开后是扇形，该扇形的圆心角为120°，半径为6cm，则此圆锥的表面积为cm2．6．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD= ．7．在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则r与R之间的关系是r = ．遗漏分析知识精讲【基础知识重温】1. 圆的周长为，1°的圆心角所对的弧长为，n°的圆心角所对的弧长为，弧长公式为.2.圆的面积为，1°的圆心角所在的扇形面积为，n°的圆心角所在的扇形面积为S= ×πr2 = = .r lπ.（其中为的半径，为的长）；3. 圆锥的侧面积公式：S=rl圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.四、例题分析题型一弧长、扇形的面积例1.(2016·贵州安顺）如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则阴影部分面积是（结果保留π）．例2.(2016·浙江台州）如图，△ABC的外接圆O的半径为2，∠C=40°，则AB 的长是．【趁热打铁】1.圆心角为120，弧长为12π的扇形半径为（）A．6B．9C．18D．362.半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为cm2．题型二圆锥的侧面积和全面积例.（2016·四川自贡）圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（）+cm2 A．12πcm2B．26πcm2C．41πcm2D．(44116)π【趁热打铁】1.如图，圆锥的侧面展开图使半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为（）A．34πB．32πC．34D．322.若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是（）A. 15πB. 20πC.24πD.30π3.一圆锥体形状的水晶饰品，母线长是10cm，底面圆的直径是5cm，点A为圆锥底面圆周上一点，从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点，则彩带最少用多少厘米（接口处重合部分忽略不计）（）A．10πcm B．10cm C．5πcm D．5cm题型三阴影部分的面积例.（2016·四川广安）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=43，则S阴影=（）A．2π B．83π C．43π D．38π【趁热打铁】1如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠．若和都经过圆心O，则阴影部分的面积是（结果保留π）2.如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（）A．2332π-B．233π-C．32π-D．3π-题型四正多边形和圆例.（2016·四川广安）．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．38B．34C．24D．28【趁热打铁】1若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（）A．4 B．2 C．23D．43 2. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG 的边长为．牛刀小试1、小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（）A．23cm B．43cm C．63cm D．83cm2、如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（）A ．3B ．6C ．3πD ．6π 3、在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=23，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点D ，若点D 为AB 的中点，则阴影部分的面积是（ ）A ．2233π-B ．2433π-C ．4233π-D ．23π 4、如图，在扇形AOB 中∠AOB=90°，正方形CDEF 的顶点C 是弧AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDE F 的边长为22时，则阴影部分的面积为（ ）A ．42-πB ．84-πC ．82-πD ．44-π5、如图，圆O 的半径为2，点A 、C 在圆O 上，线段BC 经过圆心O ，∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD=，图中阴影部分面积为 .6、如图，CD 为⊙O 的弦，直径AB 为4，AB ⊥CD 于E ，∠A=30°，则的长为 （结果保留π）．3CDAB OBC巩固练习1．如图，点A 在以BC 为直径的⊙O 内，且AB=AC ，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，得到扇形ABC ，剪下扇形ABC 围成一个圆锥（AB 和AC 重合），若∠BAC=120°，BC=2，则这个圆锥底面圆的半径是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为S 1，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为S 2，则=（ ）A ．B ．C ．D ．13．已知圆锥的母线长是12，它的侧面展开图的圆心角是120°，则它的底面圆的直径为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 4．一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm 2，那么这个扇形的半径是（ ） A ．1cm B ．3cm C ．6cm D ．9cm13232312S S 3435235．半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是（ ）A ．3πB ．6πC ．9πD ．12π 6．如图，在等腰Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝，点P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点．当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长是（ ）A ．B ．πC ．D ．2 7．如图，在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得Rt △FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、E D 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是（ ）A ．πB ．1.25πC ．3+πD ．8﹣π 8．如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm ，则这块扇形铁皮的半径是（ ）A.40cmB.50cmC.60cmD.80cm 9．如图，用一个半径为5cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）22π222A ．πcmB ．2πcmC ．3πcmD ．5πcm 10．如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AC 经过点O ，与⊙O 分别相交于点D ，C ．若∠ACB=30°，AB=，则阴影部分的面积是（ ）A ．B ．C ．D ． 课堂小结强化提升1． 如图，正六边形ABCDEF 内接于半径为4的圆，则B 、E 两点间的距离为 ．2．如图，正六边形ABCDEF 内接于半径为3的圆O ，则劣弧AB 的长度为 ．3326π326π-336π-3．如图，△ABC是等边三角形，AB=2，分别以A，B，C为圆心，以2为半径作弧，则图中阴影部分的面积是．4．小杨用一个半径为36cm、面积为324πcm2的扇形纸板制作一个圆锥形的玩具帽（接缝的重合部分忽略不计），则帽子的底面半径为cm．5．如图，AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO=45cm，CO=5cm，当AC 绕点O顺时针旋转90°时，则雨刷器AC扫过的面积为cm2（结果保留π）．6．已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是．7．如图，在半径AC为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积是．8．一个扇形的圆心角为120°，面积为12πcm2，则此扇形的半径为cm．9．如图，在△ACB中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，现将△ACB绕点A逆时针旋转50°得到△AC1B1，则阴影部分的面积为．10．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝6cm，则图中阴影部分的面积是．课后作业1．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G．（1）求证：DF是⊙O的切线；3（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积．2．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=2，AB=，以点A 为圆心，AD 为半径的圆与BC 相切于点E ，交AB 于点F ．（1）求∠ABE 的大小及的长度；（2）在BE 的延长线上取一点G ，使得上的一个动点P 到点G 的最短距离为，求BG 的长．22DEF DE 2223．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，AB=8．（1）利用尺规，作∠CAB 的平分线，交⊙O 于点D ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，连接CD ，OD ，若AC=CD ，求∠B 的度数；（3）在（2）的条件下，OD 交BC 于点E ．求出由线段ED ，BE ，所围成区域的面积．（其中表示劣弧，结果保留π和根号）BD BD4．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．。

2017秋季初三正多边形与圆（15题）一．选择题（共9小题）1．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形2．正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）A．B．2 C．2 D．23．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．4．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（）A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.55．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A．cm B．cm C．cm D．1cm6．如图，△ABC和△DEF分别是⊙O的外切正三角形和内接正三角形，则它们的面积比为（）A．4 B．2 C．D．7．如图，我们把先作正方形ABCD的内切圆，再作这个内切圆的内接正方形A1B1C1D1．称为第一次数学操作，解下列，作正方形A1B1C1D1的内切圆，再作这个内切圆的内接正方形A2B2C2D2，称为第二次数学操作，按此规律如此下去，…，当完成第n次数学操作后，得到正方形A n B n C n D n，则的值为（）A．（）n B．（）n C．（）n D．（）n8．若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系成立的是（）A．S1=S2=S3 B．S1＞S2＞S3C．S1＜S2＜S3D．S2＞S3＞S19．如图，在边长为a的正六边形内有两个小三角形，相关数据如图所示．若图中阴影部分的面积为S1，两个空白三角形的面积为S2．则=（）A．3 B．4 C．5 D．6二．填空题（共4小题）10．正六边形的边长为8cm，则它的面积为cm2．11．如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB=1，则阴影部分图形的周长为（结果保留π）．12．如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ=．13．如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7=°．三．解答题（共2小题）14．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度数．15．教材的《课题学习》要求同学们用一张正三角形纸片折叠成正六边形，小明同学按照如下步骤折叠：请你根据小明同学的折叠方法，回答以下问题：（1）如果设正三角形ABC的边长为a，那么CO=（用含a的式子表示）；（2）根据折叠性质可以知道△CDE的形状为三角形；（3）请同学们利用（1）、（2）的结论，证明六边形KHGFED是一个六边形．2017秋季初三正多边形与圆（15题）参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2017•株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【分析】根据正多边形的中心角的度数即可得到结论．【解答】解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°，正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°，正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°，正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°，∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，故选A．【点评】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的中心角的定义是解题的关键．2．（2017•沈阳）正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O 的半径是（）A．B．2 C．2 D．2【分析】连接OA，OB，根据等边三角形的性质可得⊙O的半径，进而可得出结论．【解答】解：连接OB，OC，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵正六边形的周长是12，∴BC=2，∴⊙O的半径是2，故选B．【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．3．（2017•达州）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．【解答】解：如图1，∵OC=2，∴OD=2×sin30°=1；如图2，∵OB=2，∴OE=2×sin45°=；如图3，∵OA=2，∴OD=2×cos30°=，则该三角形的三边分别为：1，，，∵（1）2+（）2=（）2，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是：×1×=．故选：A．【点评】本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．4．（2017•河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（）A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，由此即可判断．【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，故选C．【点评】本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．5．（2017•安次区二模）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a 的值应是（）A．cm B．cm C．cm D．1cm【分析】连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长．【解答】解：连接AC，过B作BD⊥AC于D；∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD=CD；∵此多边形为正六边形，∴∠ABC==120°，∴∠ABD==60°，∴∠BAD=30°，AD=AB•cos30°=2×=，∴a=2cm．故选A．【点评】此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解．6．（2017•和平区三模）如图，△ABC和△DEF分别是⊙O的外切正三角形和内接正三角形，则它们的面积比为（）A．4 B．2 C．D．【分析】过点O作ON⊥BC垂足为N，交DE于点M，连接OB，则O，D，B三点一定共线，设OM=1，则OD=ON=2，再求得DE，BC的长，根据三角形的面积公式即可得出△DEF和△ABC的面积．【解答】解：过点O作ON⊥BC垂足为N，交DE于点M，连接OB，则O，D，B三点一定共线，设OM=1，则OD=ON=2，∵∠ODM=∠OBN=30°，∴OB=4，DM=，DE=2，BN=2，BC=4，∴S=×4×6=12，△ABC∴S=×2×3=3，△DEF∴==4．故选A．【点评】本题考查了正多边形和圆，以及勾股定理、垂径定理，直角三角形的性质，明确边心距半径边长的一半正好组成直角三角形是解题的关键．7．（2017•江西模拟）如图，我们把先作正方形ABCD的内切圆，再作这个内切圆的内接正方形A1B1C1D1．称为第一次数学操作，解下列，作正方形A1B1C1D1的内切圆，再作这个内切圆的内接正方形A2B2C2D2，称为第二次数学操作，按此规律如此下去，…，当完成第n次数学操作后，得到正方形A n B n C n D n，则的值为（）A．（）n B．（）n C．（）n D．（）n【分析】根据正多边形的特点，构建直角三角形来解决．【解答】解：图形中正方形A1B1C1D1和正方形ABCD一定相似，OF，OC1分别是两个正方形的边心距，△OC1F是等腰直角三角形，因而OF：OC1=，则的值为，当完成第n次数学操作后，得到正方形A n B n C n D n，则的值为（）n．故选A．【点评】此题考查了正多边形和圆的知识，边数相同的正多边形一定相似，边心距的比，半径的比都等于相似比．8．（2016•太谷县校级模拟）若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系成立的是（）A．S1=S2=S3 B．S1＞S2＞S3C．S1＜S2＜S3D．S2＞S3＞S1【分析】根据三角形、正方形、正六边形的周长相等可设出三角形的边长，再求出S1，S2，S3，的值进行比较即可．【解答】解：设正三角形的边长为a，则正方形的边长为，正六边形的边长为；∵正三角形的边长为a，∴其高为，∴S1=a×=；S2=（）2=；∵正六边形的边长为，∴把正六边形分成六个三角形，其高为，∴S3=6×××=．∵S1==，S3==，＜＜，∴S1＜S2＜S3．故选C．【点评】此题考查的是正三角形、正方形、正六边形面积的求法，属中等难度题目．9．（2016•盘锦一模）如图，在边长为a的正六边形内有两个小三角形，相关数据如图所示．若图中阴影部分的面积为S1，两个空白三角形的面积为S2．则=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】先求得两个三角形的面积，再求出正六边形的面积，求比值即可．【解答】解：如图，∵三角形的斜边长为a，∴两条直角边长为a，a，∴S2=a•a=a2，∵AB=a，∴OC=a，∴S=6×a•a=a2，正六边形∴S1=S正六边形﹣S空白=a2﹣a2=a2，∴==5．故选C．【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形的边长等于半径，面积可以分成六个等边三角形的面积来计算．二．填空题（共4小题）10．（2017•毕节市）正六边形的边长为8cm，则它的面积为96cm2．【分析】先根据题意画出图形，作出辅助线，根据∠COD的度数判断出其形状，求出小三角形的面积即可解答．【解答】解：如图所示，正六边形ABCD中，连接OC、OD，过O作OE⊥CD；∵此多边形是正六边形，∴∠COD==60°；∵OC=OD，∴△COD是等边三角形，∴OE=CE•tan60°=×=4cm，∴S△OCD=CD•OE=×8×4=16cm2．∴S正六边形=6S△OCD=6×16=96cm2．【点评】此题比较简单，解答此题的关键是根据题意画出图形，把正六边形的面积化为求三角形的面积解答．11．（2017•吉林）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB=1，则阴影部分图形的周长为π+1（结果保留π）．【分析】由五边形ABCDE可得出，AB=BC=CD=DE=EA=1、∠A=∠D=108°，利用弧长公式可求出、的长度，再根据周长的定义，即可求出阴影部分图形的周长．【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，AB=1，∴AB=BC=CD=DE=EA=1，∠A=∠D=108°，∴==•πAB=π，∴C阴影=++BC=π+1．故答案为：π+1．【点评】本题考查了正多边形和圆、弧长公式以及周长的定义，利用弧长公式求出、的长度是解题的关键．12．（2017•凉山州）如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ=72°．【分析】连接OA、OB、OC，证明△OBP≌△OCQ，根据全等三角形的性质得到∠BOP=∠COQ，结合图形计算即可．【解答】解：连接OA、OB、OC，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠AOB=∠BOC=72°，∵OA=OB，OB=OC，∴∠OBA=∠OCB=54°，在△OBP和△OCQ中，，∴△OBP≌△OCQ，∴∠BOP=∠COQ，∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，∴∠BOP=∠QOC，∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，∴∠POQ=∠BOC=72°．故答案为：72°．【点评】本题考查的是正多边形和圆、全等三角形的判定和性质，掌握正多边形的中心角的求法、全等三角形的判定定理是解题的关键．13．（2017•张店区一模）如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7=54°．【分析】找出正十边形的圆心O，连接A7O，A4O，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：如图，连接A7O，A4O，∵正十边形的各边都相等，∴∠A7OA4=×360°=108°，∴∠A4A1A7=×108°=54°．故答案为：54．【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．三．解答题（共2小题）14．（2015•铁西区一模）如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD 上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度数．【分析】（1）根据正六边形的性质得到AB=BC，∠ABC=∠C=120°，由三角形全等的判定定理SAS即可证出△ABG≌△BCH；（2）由△ABG≌△BCH，得到∠BAG=∠HBC，然后根据三角形的内角和和对顶角的性质即可得到结果．【解答】（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，AB=BC，∠ABC=∠C=120°，在△ABG与△BCH中，∴△ABG≌△BCH；（2）解：由（1）知：△ABG≌△BCH，∴∠BAG=∠HBC，∴∠BPG=∠ABG=120°，∴∠APH=∠BPG=120°．【点评】本题考查了正多边形的计算及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地利用正六边形中相等的元素．15．（2015秋•镇海区期末）教材的《课题学习》要求同学们用一张正三角形纸片折叠成正六边形，小明同学按照如下步骤折叠：请你根据小明同学的折叠方法，回答以下问题：（1）如果设正三角形ABC的边长为a，那么CO=a（用含a的式子表示）；（2）根据折叠性质可以知道△CDE的形状为等边三角形；（3）请同学们利用（1）、（2）的结论，证明六边形KHGFED是一个六边形．【分析】（1）根据折叠的性质即可得到结论；（2）根据折叠的性质即可得到结论；（3）由（2）知△CDE为等边三角形，根据等边三角形的性质得到CD=CE=DE=CO÷cos30°=a，求得∠ADE=∠BED=120°，同理可得，AH=AK=KH=a，BG=BF=GF=a，∠CKH=∠BHK=120°，由于AB=BC=AC=a，于是得到结论．【解答】解：（1）∵正三角形ABC的边长为a，由折叠的性质可知，点O是三角形的重心，∴CO=a；故答案为：a；（2）△CDE为等边三角形；故答案为：等边；（3）由（2）知△CDE为等边三角形，∴CD=CE=DE=CO÷cos30°=a，∠ADE=∠BED=120°，同理可得，AH=AK=KH=a，BG=BF=GF=a，∠CKH=∠BHK=120°，∵AB=BC=AC=a，∴DE=DK=KH=HG=GF=FE=a，∠ADE=∠BED=∠CKH=∠BHK=∠CFG=∠AGF=120°，∴六边形KHGFED是一个正六边形．【点评】本题考查了正多形与圆，折叠的性质，三角形的重心的性质，等边三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．。

24.3正多边形和圆(11.6)一．相关概念1.正n边形从一个顶点出发可以引_______条对角线，它们将正n边形分成了________个三角形；正n边形内角和=____________, 正n边形每个内角=____________,正n边形外角和=____________, 正n边形每个外角=___________,正n边形中心角=_____________. 正n边形的中心角是圆的_________角.2.正多边形边长为a，半径为R，边心距为r，则它们的关系为____________________.正n边形的边心距是圆的________距；同时也是正n边形____________的半径.二．应用正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长面积3 2√33 23 3124 14 26 46 336 6总结：正n边形相关计算步骤：第一步：求n边形________角；第二步：画________三角形，并标注字母；第三步：作___________的高（即____________）2.正八边形的中心角是___________°.3.如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是___________.4.如果一个正多边形的一个内角为135°，则这个正多边形为_________形.5.正三角形的边心距为1，那么这个正三角形的边长为____________.6.外接圆半径为3的等边三角形的面积是____________.3，则圆的半径为______________.7.已知圆的内接三角形的面积是32，则正六边形的边长为______________.8.已知正六边形的边心距是69.正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为________________.24，则边心距= __________，边长=__________.10.正六边形的面积为311.等边三角形的边心距，半径及高之比为_______________.12.已知正三角形的边长为a，其边心距为r，外接圆的半径为R, 则a：r：R =_____________.13.利用量角器,直尺和圆规在⊙O中，作出正方形ABCD和正六边形ABCDEF.保留作图痕迹，不写作法，写出结论14.利用直尺和圆规在⊙O中，作出正方形ABCD和正六边形ABCDEF.保留作图痕迹，不写作法，写出结论。

正多边形与圆（3种题型）1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；3.会进行正多边形的有关计算.正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．（2）正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．题型一：求正多边形的中心角一、单选题1．（2022·江苏·九年级假期作业）中心角为45°的正n边形的边数n等于（）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】C【分析】根据正多边形的中心角360n︒=，计算即可．【详解】由题意得，360n ︒=45°，解得n ＝8，故选：C ．【点睛】本题考查正多边形中心角，解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将正多边形的中心角与内角混淆而造成错误计算． 2．（2023春·江苏苏州·九年级专题练习）如图，五边形ABCDE 是O 的内接正五边形，则正五边形中心角COD ∠的度数是（ ）A ．60︒B ．36︒C ．76︒D ．72︒【答案】D 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：360n ︒计算即可．【详解】解：∵五边形ABCDE 是O 的内接正五边形，∴五边形ABCDE 的中心角COD ∠的度数为360725︒=︒，故选D ．【点睛】本题考查圆内接正多边形的中心角．熟练掌握正多边形的中心角的计算公式：360n ︒，是解题的关键．3．（2023春·江苏苏州·九年级专题练习）若一个圆内接正多边形的中心角是40︒，则这个多边形是（ ） A ．正九边形B ．正八边形C ．正七边形D ．正六边形【答案】A【分析】根据正多边形的中心角的计算公式计算即可．【详解】解：设这个多边形的边数是n ， 由题意得36040n ︒=︒，解得，9n =，故选：A【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．A ．183B ．213 【答案】C 【分析】计算出1个正六边形的面积，利用矩形的面积减去图中未涂色部分的面积即可． 【详解】解：如图所示，∵正六边形的中心角为60°，∴每个边长为1的正六边形由六个全等的等边三角形组成，∴1AO OB AB ===，12AD =，OD ==，因此每个正六边形的面积为：1166122AB OD ⨯⋅=⨯⨯=，图中未涂色部分面积等于16个正六边形的面积：16=整个图形是一个矩形，长为12，宽为矩形的面积为：12⨯=因此图中阴影部分的面积是：=故选C ．【点睛】本题考查等边三角形相关计算，利用等边三角形计算出每个正六边形的面积是解题的关键．二、填空题5．（2022秋·九年级课时练习）五角星绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个旋转角至少为_______度．【答案】72【分析】把五角星看成正五边形，求出正五边形的中心角即可解决问题；【详解】解：∵把五角星看成正五边形，正五边形的中心角=3605︒=72°，∴绕它的中心旋转72°角度后能够与自身重合，故选：72．【点睛】本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．（2022秋·江苏·九年级期中）线段AB是圆内接正十边形的一条边，则AB所对的圆周角的度数是__度．【答案】18或162/162或18【分析】作出图形，求出一条边所对的圆心角的度数，再根据圆周角和圆心角的关系解答．【详解】解：如下图，圆内接正十边形的边AB所对的圆心角1=36010=36∠︒÷︒，则2=36036=324∠︒−︒︒，根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，AB所对的圆周角的度数是136=182︒⨯︒或1324=1622︒⨯︒．故答案为：18或162．【点睛】本题主要考查了正多边形的中心角、圆周角定理等知识，解题关键是熟练掌握圆周角和圆心角的关系，并要注意分两种情况讨论．三、解答题7．（江苏泰州·九年级统考阶段练习）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E 在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE．（1）求∠AED 的度数；（2）当∠DOE ＝90°时，AE 恰好为⊙O 的内接正n 边形的一边，求n 的值．【答案】（1）∠AED=120°；（2）12.【分析】（1）如图，连接BD ，由已知条件证△ABD 是等边三角形，得到∠ABD=60°，从而由圆内接四边形的性质可得∠AED=120°；（2）如图，连接OA ，由∠ABD=60°，可得∠AOD=120°，结合∠DOE=90°，可得∠AOE=30°，从而可得360=1230n =；【详解】解：（1）如图，连接BD ，∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠BAD+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠BAD=60°，∵AB=AD ，∴△ABD 是等边三角形，∴∠ABD=60°，∵四边形ABDE 是⊙O 的内接四边形，∴∠AED+∠ABD=180°，∴∠AED=120°；（2）连接OA ，∵∠ABD=60°，∴∠AOD=2∠ABD=120°，∵∠DOE=90°，∴∠AOE=∠AOD ﹣∠DOE=30°，∴360=1230n =．题型二：已知正多边形的中心角求边数一、单选题1．（2022秋·江苏·九年级专题练习）有一个正n边形的中心角是36°，则n为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】根据正多边形的中心角和为360°计算即可．【详解】解：360==1036n︒︒，故选：D．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角的和是360°是解题的关键．【答案】C【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，可得∠AOC=15°，然后根据边数n=360°÷中心角即可求得答案．【详解】解：连接OC，∵AB 是⊙O 内接正六边形的一边，∴∠AOB ＝360°÷6＝60°，∵BC 是⊙O 内接正八边形的一边，∴∠BOC ＝360°÷8＝45°，∴∠AOC ＝∠AOB －∠BOC ＝60°－45°＝15°∴n ＝360°÷15°＝24．故选：C ．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键． 3．（2023·江苏·九年级专题练习）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72︒，则该正多边形的边数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C【分析】根据正多边形的中心角=360n ︒计算即可． 【详解】解：设正多边形的边数为n ．由题意360n ︒=72°，∴n=5，故选：C ．【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角=360n ︒． 4．（2022秋·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考阶段练习）如图，点A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，点O 为正多边形的中心，若18ADB ∠=︒，则这个正多边形的边数为（ ）A ．5B ．10C ．12D ．20【答案】B【分析】作正多边形的外接圆，连接 AO ，BO ，根据圆周角定理得到36AOB ∠=︒，根据中心角的定义即可求解．【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO ，BO ，∴236AOB ADB ∠=∠=︒，∴这个正多边形的边数为360°36°=10．故选：B ．【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．二、填空题 5．（2022秋·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考阶段练习）一个正多边形的中心角是30°，则这个多边形是正____边形．【答案】十二【分析】根据正多边形的边数=周角÷中心角，计算即可得．【详解】解：∵一个正多边形的中心角是30°，∴这个多边形是：360°÷30°＝12，即正十二边形，故答案为：十二．【点睛】本题考查了正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形的中心角与边数的关系．6．（2022秋·江苏·九年级专题练习）正n 边形的中心角为72°，则n =______．【答案】5【分析】根据正多边形的中心角之和为360°计算即可．【详解】根据题意有：360572n ==oo ，故答案为：5．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角之和为360°是解答本题的关键．7．（2022秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）一个正n 边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合，则n 的值为______．【答案】10【分析】直接利用旋转图形的性质结合正多边形中心角相等进而得到答案【详解】∵一个正n 边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合∴ n 的值为：3601036=故答案为：10【点睛】本题主要考查了旋转对称图形，正确把握正多边形的性质是解题关键．8．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）一个正n 边形的中心角为36︒，则n 为___________．【答案】10【分析】根据正多边形的中心角和为360︒计算即可．【详解】解：3601036n ︒==︒，故答案为：10．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角和为360︒是解答此题的关键． 南通田家炳中学校考模拟预测）如图，ABC 内接于O ，C ∠【答案】5【分析】如图所示，连接OA OB ，，由圆周角定理得到72AOB ∠=︒，则该多边形的中心角为72︒，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OA OB ，，∵36C ∠=︒，∴272AOB ACB ∠=∠=︒， ∴360572︒=︒，∴该正多边形是正五边形，故答案为：5．【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是构造同弧所对的圆心角，难度不大．三、解答题 为等边ABC 的中心角，将AC 分别交于点设等边ABC ，通过证明可得OBM OCN ≌，则1S 3OMC OCN OMC OBM OBC S S S S S S +=+==．【答案】【类比探究】四边形OMCN 的面积= S 4．【拓展应用】【分析】类比探究：通过证明可得OBM OCN ≌，则1S 4OMC OCN OMC OBM OBC ABCD OMCN S S S S S S =+=+==正方形四边形．拓展应用：通过证明可得OBM OCN ≌，则1S 6OMC OCN OMC OBM OBC OMCN ABCDEF S S S S S S =+=+==四边形六边形．【详解】解：类比探究：如图2，∵BOC ∠为正方形ABCD 的中心角，∴OB=OC ，∠OBM=∠OCN=45°，∵BOC ∠绕点O 逆时针旋转一个角度9(0)0αα︒<<︒，BOC ∠的两边与正方形的边,BC CD 分别交于点,M N ∴∠BOM=∠CON ，∴△BOM ≌△CON ， ∴1S 4OMC OCN OMC OBM OBC ABCD OMCN S S S S S S =+=+==正方形四边形．拓展应用：如图3，∵BOC ∠为正六边形ABCD EF 的中心角，∴OB=OC ，∠OBM=∠OCN=60°，∵BOC ∠绕点O 逆时针旋转一个角度9(0)0αα︒<<︒，BOC ∠的两边与正方形的边,BC CD 分别交于点,M N∴∠BOM=∠CON ，∴△BOM ≌△CON ，∴1S 6OMC OCN OMC OBM OBC OMCN ABCDEF S S S S S S =+=+==四边形六边形．∵四边形OMCN∴正六边形ABCDEF 的面积为．【点睛】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键．题型三：正多边形和圆一、单选题 1．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，正五边形ABCDE 内接于O ，点F 在弧AE 上．若95CDF ∠=︒，则FCD ∠的大小为（ ）A ．38︒B ．42︒C ．49︒D ．58︒【答案】C 【分析】连接OE ，OD ，CE ，根据五边形ABCDE 是正五边形，可求出CDE ∠的度数，由95CDF ∠=︒，可得FDE ∠的度数，再根据圆周角定理进一步求解即可．【详解】如图，连接OE ，OD ，CE ，∵五边形ABCDE 是正五边形，∴()521805108CDE ∠=−⨯︒÷=︒，∵95CDF ∠=︒，∴1089513FDE CDE CDF ∠=∠−∠=︒−︒=︒，∴13FCE ∠=︒，∵正五边形ABCDE 内接于O ，∴360572EOD ∠=︒÷=︒，∴1362ECD EOD ∠=∠=︒，∴361349FCD FCE ECD ∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、正多边形的内角和，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．2．（2023春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，P 是正六边形ABCDEF 的边EF 上一点，则APC ∠的度数不可能是（ ）A ．59︒B ．60︒C ．61︒D ．62︒【答案】A 【分析】作正六边形的外接圆O ，延长AP 交O 于点G ，连接CG ，根据圆周角定理求得AGC ∠，再由三角形的外角性质即可得出结论．【详解】解：如图，作正六边形的外接圆O ，延长AP 交O 于点G ，连接CG ，ABCDEF 是正六边形，∴120AOC ∠=︒，1602AGC AOC ∠=∠︒，APC AGC PCG ∠=∠+∠，60APC ∴∠≥︒，∴A 、B 、C 、D 四个选项中，只有A 选项符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形外接圆，圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 3．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，面积为6的正六边形ABCDEF 中，点M ，N 分别为边BC ，EF 上的动点，则阴影部分面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】如图，连接AD ，BE ，CF ，交点为O ，设EF 与AD 的距离为h ，根据正六边形的性质以及平行线间距离相等可得则()3222ADEFADN EF AD h S AD h S+⋅==⋅四边形，进而可求ADN S ，同理可求ADM S △的值，根据ADM ADN ABCDEF S S S S =−−阴影正六边形计算求解即可．【详解】解：如图，连接AD ，BE ，CF ，交点为O ，由正六边形ABCDEF 可得，EF AO DO ==即12EF AD =，AD BC ∥E F ∥，设EF 与AD 的距离为h ， 则()3222ADEFADN EF AD h S AD h S+⋅==⋅四边形， ∵132ADEF ABCDEF S S =⨯=四边形正六边形，∴2ADN S =， 同理可得2ADM S =， ∴2ADM ADN ABCDEF S S S S =−−=阴影正六边形，故选：A ．【点睛】本题考查了正六边形的性质，平行线间的距离相等．解题的关键在于确定阴影部分面积为正六边形的面积与空白部分面积的差．二、填空题 4．（2023春·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考阶段练习）正方形ABCD 内接于O ，E 是AD 的中点，连接BE CE 、，则ABE ∠=________°．【答案】22.5【分析】连接OA OD OE 、、，根据圆内接正方形的性质得到90AOD ∠=︒，得到45AOE ∠=︒，再利用圆周角定理求出ABE ∠的度数．【详解】解：连接OA OD OE 、、，如图所示．∵四边形ABCD 是圆内接正方形，∴90AOD ∠=︒．∵E 是AD 的中点，∴45AOE ∠=︒， ∴14522.52ABE ∠=⨯︒=︒． 故答案为：22.5．【点睛】此题考查了正多边形和圆，圆周角定理，正确理解圆内接正方形的性质是解题的关键． 5．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，正五边形ABCDE 内接于O ，AF 是O 的直径，P 是O 上的一点（不与点B ，F 重合），则BPF ∠的度数为______°．【答案】54或126/126或54【分析】根据正五边形的性质和圆周角定理，分当点P 在劣弧BF 上时和当点P 在优弧BF 上时，结合图形求解即可．【详解】①如图所示：当点P 在劣弧BF 上时，连接OB 、BP 、PF ，∵ABCDE 是正五边形，AF 是O 的直径，∵ABCDE 是正五边形，∴108BAE ABC ∠=∠=︒，∵AF 是O 的直径，∴54BAF ∠=︒，∵OB OA =，∴54ABO BAF ∠=∠=︒，∴72AOB ∠=︒，∴108FOB ∠=︒，∴360108252BOF ∠=︒−︒=︒（BOF ∠为优弧BF 所对的圆心角） ∴11262BPF BOF ∠=∠=︒；②如图所示：当点P 在优弧BF 上时，连接OB 、BP 、PF ，∵ABCDE 是正五边形，∴108BAE ABC ∠=∠=︒，∵AF 是O 的直径，∴54BAF ∠=︒，∵OB OA =，∴54ABO BAF ∠=∠=︒，∴72AOB ∠=︒，∴108FOB ∠=︒， ∴1542BPF BOF ∠=∠=︒；故答案为：54或126 ．【点睛】本题主要考查正五边形的性质、圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 与O 相切于点 【答案】120【分析】根据正多边形内角和公式可求出E ∠、D ∠，根据切线的性质可求出OCD ∠、OFE ∠，从而可求出COF ∠的度数．【详解】解：六边形ABCDEF 是正六边形，3601801206E D ︒∴∠=∠=︒−=︒．EF 、CD 与O 相切，90OCD OFE ∴∠=∠=︒，(52)1809012012090120COF ∴∠=−⨯︒−︒−︒−︒−︒=︒，故答案为：120．【点睛】本题主要考查了切线的性质、正六边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．7．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设O 的半径为2，若用O 的内接正六边形的面积来近似估计O 的面积，则O 的面积约为________．【答案】【分析】连接OA 、OB ，根据正多边形和圆的关系可判断出OAB 为等边三角形，过点O 作OM AB ⊥于点M ，再利用勾股定理即可求出OM 长，进而可求出AOB 的面积，最后利用O 的面积约为6AOB S即可计算出结果．【详解】解：如图，连接OA 、OB由题意可得：360660AOB ∠=÷=︒∵2OA OB ==∴OAB 为等边三角形，∴2AB =过点O 作OM AB ⊥于点M ，则1AM BM ==在Rt AOM △中，OM∴122AOB S ⨯==∴O 的面积约为6AOB S=故答案为： 【点睛】本题主要考查正多边形与圆、勾股定理等，正确应用正六边形的性质是解题关键．8．（2023·江苏南京·统考一模）如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，以AB 为边在正六边形ABCDEF 的内部作正方形ABMN ，连接,OD ON ，则DON ∠＝______°．【答案】105【分析】连接OA OB ，，OE ，根据正六边形的性质可得，AOB DOE ，是等边三角形，再证明四边形OBCD 是菱形，以及AON 是等腰三角形，分别求出120,BOD ∠=︒60,AOB ∠=︒75AON ∠=°，从而可得出结论．【详解】解：∵六边形ABCDE 是正六边形，∴,120,AB BC CD DE EF FA FAB ABC BCD =====∠=∠=∠=︒∵四边形ABMN 是正方形，∴,90,AB BM MN NA NAB ABM ===∠=∠=︒连接OA OB ，，OE ，如图，则AOB DOE ，是等边三角形，∴60,,,OAB ABO AOB OA OB AB OD ED ∠=∠=∠=︒===∴,OA AN OB CD BC CD =====1206060,OBC ∠=︒−︒=︒906030,OAN ∠=︒−︒=︒∴四边形OBCD 是菱形，()118030752AON ∠=︒−︒=︒，∴180********,BOD OBC ∠=︒−∠=︒−︒=︒∴3603601206075105DON BOD AOB AON ∠=︒−∠−∠−∠=︒−︒−︒−︒=︒，故答案为：105．【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，正方形的性质，菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．三、解答题 9．（2022·江苏·九年级假期作业）如图，已知⊙O 内接正六边形ABCDEF 的边长为6cm ，求这个正六边形的边心距r 6、面积S 6．【答案】【分析】连接OB ，OG ⊥CB 于G ，证明△COB 是等边三角形，继而可得正六边形的外接圆半径R ，然后由勾股定理求得边心距，又由S 正六边形＝6S △OBC 求得答案．【详解】解：如下图所示，连接OB ，设OG ⊥CB 于G ，∵六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，∴∠COB ＝60°，OC ＝OB ，∴△COB 是等边三角形，∴OC ＝OB ＝6cm ， 即⊙O 的半径R ＝6cm ，∵OC ＝OB ＝6，OG ⊥CB ，∴116322CG BG CB cm ===⨯=，在Rt △COG 中，6r OG ===cm ），∴616662OBC S S ==⨯⨯⨯=（cm2）．【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是掌握正六边形的相关知识．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）如图，连接AE ，AD ，AC ，根据正六边形的性质得到EF ＝ED ＝CD ＝BC ，求得 EF ED CD BC ===，于是得到∠FAE ＝∠EAD ＝∠DAC ＝∠CAB ，即可得到结论；（2）如图，过O 作OG ⊥DE 于G ，连接OE ，设⊙O 的半径为r ，推出△ODE 是等边三角形，得到DE ＝OD＝r ，∠OED ＝60°，根据勾股定理得到OG=r ，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论．【详解】（1）证明：如图，连接AE ，AD ，AC ， ∵六边形ABCDEF 是⊙O ∴EF ＝ED ＝CD ＝BC ， ∴EF ED CD BC ===，∴∠FAE ＝∠EAD ＝∠DAC ＝∠CAB ， ∴过顶点A 的三条对角线四等分∠BAF ；（2）解：如图，过O 作OG ⊥DE 于G ，连接OE ， 设⊙O 的半径为r ，∵∠DOE 3606︒==60°，OD ＝OE ＝r ，∴△ODE 是等边三角形， ∴DE ＝OD ＝r ，∠OED ＝60°， ∴∠EOG ＝30°， ∴EG12=r ，∴OG==r ，∴正六边形ABCDEF 的面积＝612⨯⨯rr=r2， ∵⊙O 的面积＝πr2，∴212S S =．【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．(1)求∠CPD 的度数；(2)当点P 为BC 的中点时，【答案】(1)45DPC ∠=︒ (2)8n =【分析】（1）连接OD ，OC ，根据正方形ABCD 内接于⊙O ，结合圆周角定理可得∠CPD ； （2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP 的度数，进而得出答案．【详解】（1）解：连接OD ，OC ，∵正方形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠DOC ＝90°， ∴1452DPC DOC ∠=∠=︒．（2）解：连接PO ，OB ，如图所示：∵正方形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠COB ＝90°， ∵点P 为BC 的中点， ∴CP BP =，∴1452COP COB ∠=∠︒＝，∴n ＝360÷45＝8．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．12．（2023·江苏·九年级专题练习）[阅读与思考]如图①，在正三角形ABC 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN = ，则AN CM =，NOC ∠＝ ；如图②，在正方形ABCD 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN =，则AN DM =，NOD ∠= ； 如图③，在正五边形ABCDE 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN =，则AN EM =，NOE ∠= ； [理解与运用]在正六边形ABCDEF 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN =，则AN FM =，NOF ∠= ；在正十边形ABCDEFGHIJ 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN =，则AN JM =，NOJ ∠= ； [归纳与总结]根据以上规律，在正n 边形n A A A A A ⋯1234 中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M ，N 是12A A ，23A A 上的点，且A M A N 12＝，1A N 与n A M 相交于O ；也会有类似的结论，你的结论是 ．【答案】60︒ ；90︒ ；108︒ ；120︒ ；144︒；以上所求的角恰好等于正n 边形的内角(2)180n n −︒【分析】根据等边三角形的性质得出B CAM ∠=∠，AB AC =，进而利用全等三角形的判定与性质得出，OAC BCM NOC ∠+∠=∠=︒60；根据正方形的性质以及全等三角形的判定与性质得出：DON DAN ADM ∠=∠+∠=︒90； 根据正五边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出：EON AEM EAN ∠=∠+∠=︒108 ； 根据以上所求结论即可得正六边形ABCDEF 中，NOF ∠=︒120； 根据以上所求结论即可得正十边形ABCDEFGHIJ 中，NOJ ∠=︒144； 根据以上所求得出在正n 边形中，类似的结论． 【详解】解：阅读与思考:∵在正三角形ABC 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN =，B CAM AB AC ∴∠=∠=∵在ABN 和CAM V 中AB ACB CAM BN AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ABN CAM ∴≌AN CM BAN MCA ∴∠∠＝＝ ，NOC OAC MCA OAC BAN BAC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒60故答案为：60︒ ；∵在正方形ABCD 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AN DM =AD AB ∴=在ABN 和DAM △中AD AB DAM ABN AM BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ABN DAM ∴≌AMD ANB ADM BAN ∴∠=∠∠=∠ ， DON DAN ADM ∴∠=∠+∠=︒90答案为：90︒；∵在正五边形ABCDE 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN = ，则AN EM =AB AE EAM ABN ∴∠∠＝＝ ，∵在AEM △和BAN 中，AB AE B EAM BN AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ABN EAM ∴≌AN EM AEM BAN ∴=∠=∠ ， EON AEM EAO ∴∠=∠+∠=︒108故答案为：108︒； 理解与运用：∵正三角形的内角度数为：60︒；正方形的内角度数为：90︒；正五边形的内角度数为：108︒； ∴同理可得：在正六边形ABCDEF 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN = ，则AN FM =，NOF ∠=︒120 ； 故答案为：120︒ ；同理可得：在正十边形ABCDEFGHIJ 中，点M ，N 是AB ，BC 上的点，且AM BN =，则AN JM = ，NOJ ∠=︒144； 故答案为：144︒； 归纳与总结：根据以上所求的角恰好等于正n 边形的内角， 所以所求的角恰好等于正n 边形的内角(2)180n n −︒故答案为：以上所求的角恰好等于正n 边形的内角(2)180n n −︒【点睛】此题主要考查了正多边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练利用三角形的外角性质是解题关键．中画O 的一个内接正四边形中画O 的一个内接正六边形【答案】(1)图见解析，32 (2)图见解析，【分析】（1）只需要作直径AC 、BC ，并使得AC BD ⊥即可；（2）如图所示，取格点B ，C ，D ，E ，F ，然后顺次连接A 、B 、C 、D 、E 、F 得到正六边形，再求出求面积．【详解】（1）解：如图所示，正四边形ABCD 即为所求；11883222ABCD S AC BD =⋅=⨯⨯=正四边形，故答案为32；（2）解：如图所示，正六边形ABCDEF 即为所求； 过点O 作OH BC ⊥于H ， ∵正六边形ABCDEF ， ∴360606BOC ︒∠==︒，又∵OB OC =，∴OBC △是等边三角形， ∴24OB BH ==，∴OH ==∴16642OBC ABCDEF S S ==⨯⨯⨯=△正六边形．故答案为：【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，熟知正多边形和圆的相关知识是解题的关键．题型四：尺规作图一、解答题1．（2022秋·九年级课时练习）如图1，等边ABC内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D．（1）可以证明CD垂直平分AB，写出AD与DB的数量关系：___．（2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图：①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．=；（2）①见解析，②见解析【答案】（1）AD DB【分析】（1）结合外心的定义和等边三角形的性质推断出CD垂直平分AB，从而利用垂径定理得出结论即可；（2）①结合（1AO，BO，分别延长与圆相交，再顺次连接各交点即可；②如图，延长AF，EC，交于一点，此时可构成等边三角形，从而连接交点与圆心的直线即为所求的对称轴．=，【详解】（1）AD DB∵O为三角形的外心，∴O为三角形三边中垂线的交点，又∵三角形为等边三角形，∴可得CD垂直平分AB，=；根据垂径定理可得：AD DB（2）①如图所示，在（1）的基础之上，连接AO，并延长至E，连接BO，并延长至F，顺次连接圆周上各点即可；②如图所示：（方法不唯一）【点睛】本题主要考查复杂作图，以及正多边形与圆之间的关系，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．为O的直径．请用尺规作图法，作出O的内接正方形【答案】见解析【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形．【详解】解：如图，正方形ABCD为所作．∵BD垂直平分AC，AC为O的直径，∴BD为O的直径，∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC，∴四边形ABCD是O的内接正方形．【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定．3．（2022·江苏·九年级专题练习）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.（1）如图1，A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：①如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F;②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析.【分析】(1)作直径AC，分别以A、C为圆心，以大于AC的一半长为半径画弧，在AC的两侧分别交于点M、N，作直线MN交圆于点B，D，四边形ABCD即为所求；(2)①连接AC、BD交于点O，则O为BD的中点，连接BE交CO于点G，连接DG并延长交BC于点F，则F即为所求；②如图，利用网格特点连接BM，则可得直线BM⊥AC，连接CN，则可得直线CN⊥AB，两线交于点E，连接AE并延长交BC于点H，则AH即为所求.【详解】(1)如图所示，四边形ABCD即为所求；(2)①如图所示，点F即为所求；②如图所示，AH即为所求.【点睛】本题考查了尺规作图，无刻度直尺作图，熟练掌握尺规作图的方法以及无刻度直尺作图的方法是解题的关键.4．（2021秋·江苏·九年级专题练习）已知正五边形ABCDE，请仅用无刻度直尺作图．（1）在图1中作点P，使得BDP△是等腰三角形：（2）在图2中作点O，使点O称为正五边形ABCDE的中心．【答案】（1）画图见解析；（2【分析】（1）直接利用正多边形的性质得出顶点P的位置；（2）利用正五边形的性质，得出对角线交点，进而得出其中心P点位置．【详解】解：（1）如图所示：点P为所求；（2）如图所示：点O为所求；【点睛】此题主要考查了复杂作图以及等腰三角形的性质和正多边形的性质，正确应用正五边形的性质是解题关键．5．（2021·江苏无锡·九年级专题练习）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．（1）在图①中，以AB为边作等边三角形；（2）在图②中，作一个含30°的直角三角形．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）连接AD，BE交于点O，即可得到所求三角形；（2）连接AC，CF，即可得到所求三角形；【详解】（1）如图①所示：∆AOB即为所求三角形；（2）如图②所示：∆ACF即为所求三角形．【点睛】本题主要考查正六边形的性质，熟练掌握正六边形的每条边都相等，每个内角都等于120°，是解题的关键．6．（2022秋·江苏·九年级专题练习）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：⊙O，点A在圆上．求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD．【答案】见解析【分析】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B，D，连接AB，BC，CD，AD即可．【详解】如图，四边形ABCD即为所求作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．二、填空题【答案】10−【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH=1=，由勾股定理得AH=可求OG1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+1）2＝10﹣【详解】解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点，∴OH=1121 22OF=⨯=，在Rt△OAH中，由勾股定理∴AH。

九年级圆测试题一、选择题每题3分,共30分1．如图,直角三角形ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝2,AB ＝4,分别以AC 、BC 为直径作半圆,则图中阴影的面积为A 2π－3B 4π－43C 5π－4D 2π－232．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为A 1∶2∶3B 1∶2∶3C 3∶2∶1D 3∶2∶13．在直角坐标系中,以O0,0为圆心,以5为半径画圆,则点A 3-,4的位置在A ⊙O 内B ⊙O 上C ⊙O 外D 不能确定4．如图,两个等圆⊙O 和⊙O ′外切,过O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB,A 、B 是切点,则∠AOB 等于A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5．在∠A ＝90°,如果把此直角三角形绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥,S 1；把此直角三角形绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥,其表面积为S 2,那么S 1∶S 2等于 A2∶3 B 3∶4 C 4∶9 D 5∶126．若圆 3,母线长为5,则它的侧面展开图的圆心角等于A ． 108° B ． 144° C ． 180° D ． 216°7．已知两圆的圆心距d = 3 cm,两圆的半径分别为方程0352=+-x x 的两根,则两圆的位置关系是A 相交B 相离C 相切D 内含8．四边形中,有内切圆的是A 平行四边形B 菱形C 矩形D 以上答案都不对9．如图,以等腰三角形的腰为直径作圆,交底边于D,连结AD,那么 A ∠BAD +∠CAD= 90° B ∠BAD >∠CADC ∠BAD =∠CAD D ∠BAD <∠CAD.10．下面命题中,是真命题的有 ①平分弦的直径垂直于弦；②如果两个三角形的周长之比为3∶2,则其面积之比为3∶4；③圆的半径垂直于这个圆的切线；④在同一圆中,等弧所对的圆心角相等；⑤过三点有且只有一个圆;A 1个B 2个C 3个D 4个二、填空题每题3分,共24分11．一个正多边形的内角和是720°,则这个多边形是正 边形； 12．现用总长为m 80的建筑材料,围成一个扇形花坛,当扇形半径为_______时,可使花坛的面积最大；13．如图是一个徽章,圆圈中间是一个矩形,矩形中间是一个菱形, 菱形的边长是 1 cm ,那么徽章的直径是 ；14．如图,弦AB 的长等于⊙O 的半径,如果C 是AmC 上任意一点,则sinC = ； 15．一条弦分圆成2∶3两部分,过这条弦的一个端点引远的切线,则所成的两弦切角为 ； 16．如图,⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 相互外离, 1.顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE,则图中五个阴影部分的面积之和是 ；17．如图：这是某机械传动部分的示意图,已知两轮的外沿直径分别为2分米和8分米,轴心距为6分米,那么两轮上的外公切线长为 分米; 18．如图,ABC 是圆内接三角形,BC 是圆的直径,∠B=35°,MN 是过A 点的切线,那么∠C=________；∠CAM=________； ∠BAM=________；三、解答题19．求证：菱形的各边的中点在同一个圆上．已知：如图所示,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：E 、F 、G 、H 在同一个圆上．20.已知：如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,AD 和⊙O 在点C 的切线相垂直,垂足为D,延长AD 和BC 的延长线交于点E,求证：AB=AE ．21.如图,⊙O 以等腰三角形ABC 一腰AB 为直径,它交另一腰 AC 于 E,交 BC 于D ．求证：BC=2DE22．如图,过圆心O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B,PC 切⊙O 于C,弦CD ⊥AB 于点H,点H 分AB 所成的两条线段AH 、HB 的长分别为2和8． 求PA 的长．23．已知：⊙O 1、⊙O 2的半径分别为2cm 和7cm,圆心O 1O 2=13cm,AB 是⊙O 1、⊙O 2的外公切线,切点分别是A 、B.求：公切线的长AB.圆测试题题答案★ •第50题图 20题图 O ·mB A一、选择题1． D.提示：设两个半圆交点为D.连接CD,CD⊥AB. 阴影的面积为两个半圆的面积减去直角三角形的面积3.则CD=3,AD=1,BD=3.2．C．提示：设圆的半径为R,则三角形边长为3R, 正方形边长为2R, 正六边形的边长为R.3． B.提示：用勾股定理可以求出点A到圆心的距离为5.4． C. 提示：连接O’A,O’B. O’’A⊥OA, O’B⊥OB.则OO’=2R,sin2A B∠=2RR,∠AOB=60°.5．A.提示：绕直线AC旋转一周时,底面边长6,高为8.表面积S1=πr2+r l=96π.绕直线AB旋转一周时,底面边长8,高为6.表面积S1=πr2+r l=144π.6．D.提示：2πr=2360lπα︒.侧面展开图的圆心角等于216°.7．D.提示：设两圆的半径r1,r2. r1+r2=22ba=ba=5.r1-r2=1-r2. 两圆内含.8．B.提示：从圆的圆心引两条相交直径,再过直径端点作切线,可以得到菱形;9．C．提示：AB是直径,所以AD垂直是等腰三角形;AB=AC, ∠BAD =∠CAD. .10．A.提示：④正确;①错在两条直径平分但不互相垂直;②面积之比为3∶2;③直径垂直于过直径端点的切线;⑤这三点可能在同一直线上;二、填空题11． 6．提示：根据多边形的内角和公式,180°n-2=720°,n=6.12． 20.提示：设半径为r,则弧长为80-2r,S=1(802)2r r-=r40-r=-r2+40r=-r-202+400,r=20时,S取得最大值;13． 2.设矩形长为a,宽为b,则有22a b+=4r2,解得a2+b2=r2.菱形的边长22()()22a b+=1;r=1.14．12;提示：连接OA,OB,则△OAB是正三角形．∠AOB=60°.AB=60°, ∠C=30°.15． 72°;提示：如图;劣弧AB=144°,∠AOB=144°, ∠OBA=18°, ∠ABC=72°,16．32π,五边形ABCDE的内角和为540°,五个阴影部分的扇形的圆心角为540°, 540°的扇形相当于32个圆;图中五个阴影部分的面积之和是32π;17．提示：将两圆圆心与切点连接起来,并将两圆的圆心联结起来,两圆的半径差是3,可抽象出如下的图形;过O作OC⊥O’B,OO’=6, O’18． 55°, 35°,125°.提示：∠C与∠B互余,∠C=55°,∠CAM是弦切角,∠CAM=∠B. ∠BAM=90°+35°=125°.三、解答题19．证明：连结OE、OF、OG、OH．∵AC、BD是菱形的对角线,∴AC⊥BD于O．∴△AOB、△BOC、△COD、△DOA都是直角三角形．又OE、OF、OG、OH都是各直角三角形斜边上的中线,∴OE=12AB,OF=12BC,OG=12CD, OH=12AD∵AB＝BC＝CD＝DA,∴OE＝OF＝OG＝OH．∴E、F、G、H都在以O为圆心,OE为半径的圆上．应当指出的是：由于我们是在平面几何中研究的平面图形,所以在圆的定义中略去了“平面内”一词．更准确而严格的定义应是,圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．证明四点共圆的另一种方法是证明这四个点所构成的四边形对角互补;20. 提示：AB与AC位于同一个三角形中,所以只需证明∠B=∠E.圆中有直径的,通常要将圆上的一点与直径的端点连接起来,构造直角三角形;我们发现∠ACD是弦切角,∠ACD =∠B;∠ACD与∠CAD互余;在△ACE中,∠CAD与∠E互余,所以∠B=∠E.证明：连结AC．∵CD是⊙O的切线,∴∠ACD=∠B．又∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ACE=90°,∴∠CAB+∠B=90°,∠CAE+∠E=90°．又∵CD⊥AE于D,∴∠ADC=90°．∴∠ACD+∠CAE=90°,∴∠ACD=∠E,∴∠B=∠E,∴AB=AE．21. 提示：由等腰三角形的性质可得∠B=∠C,由圆内接四边形性质可得∠B=∠DEC,所以∠C=∠DEC,所以DE=CD,连结AD,可得AD⊥BC,利用等腰三角形“三线合一”性质得BC=2CD,即BC=2DE．证明：连结AD∵AB 是⊙O 直径∴AD ⊥BC∵AB=AC∴BC=2CD,∠B=∠C∵⊙O 内接四边形ABDE∴∠B=∠DEC 四点共圆的一个内角等于对角的外角∴∠C ＝∠DEC∴DE=DC∴BC=2DE22．提示：圆中既有切线也有割线,考虑使用切割线定理;PC 2=PA •PB=PAPA+PB=PA 2+10PA.又有相交弦,故也考虑用相交弦定理,AH •BH=CH 2解：∵ PC 为O 的切线, ∴PC 2=PA •PB=PAPA+AB=PA 2+10PA又∵AB ⊥CD,∴CH 2=AH •BH=16PC 2=CH 2+PH 2=16+PA+22=PA 2+4PA+20∴PA 2+10PA=PA 2+4PA+20∴PA=103 23．提示：因为切线垂直于过切点的半径,为求公切线的长AB,首先应连结O 1A 、O 2B,得直角梯形O 1ABO 2.这样,问题就转化为在直角梯形中,已知上、下底和一腰,求另一腰的问题了. 解：连结O 1A 、O 2B,则O 1A ⊥AB,O 2B ⊥AB.过O 1作O 1C ⊥O 2B,垂足为C,则四边形O 1ABC 为矩形,于是有 O 1C ⊥CO 2,O 1C=AB,O 1A=CB.在Rt △O 1CO 2中,O 1O 2=13,O 2C=O 2B-O 1A=5,∴O 1C=1251322=-cm.∴AB=12cm.由圆的对称性可知,图中有两条外公切线,并且这两条外公切线的长相等.。

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正多边形和圆练习题1、如图,点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角,借助点O(使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（)A． 4 B． 5 C． 6 D． 72、下面给出五个命题（1）正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形(3)各角相等的圆内接多边形是正多边形（4）正多边形既是轴对�。

图形又是中心对称图形（5）正n边形的中心角，且与每一个外角相等其中真命题有（)A．2个B．3个C．4个D．5个3、正五边形ABCDE中，已知△ABC面积为1，则这正五边形面积是（）A．B．C．D．4、如果一个正三角形与一个正六边形的面积相等，那么它们的周长之比是( ）A．1:2B．:2C．:2D．：35、正n边形的一个外角为60°，外接圆半径为4，则它的边长为( ）A．4B．2C．4D．26、如图,在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论正确的是( ）①弦AB的长等于圆内接正六边形的边长;②弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长；③弧AC=弧BC；④∠BAC=30°．A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③7、以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长为三边作三角形，则( ）A．这个三角形是等腰三角形B．这个三角形是直角三角形C．这个三角形是锐角三角形D．不能构成三角形8、如图，一正方形同时外切和内接于两个同心圆，当小圆的半径为r时，大圆的半径为( ）A．rB．1.5rC．rD．2r9、下列命题中的真命题是（）A．三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为2:1B．正六边形的边长等于其外接圆的半径C．圆外切正方形的边长等于其边A心距的倍D．各边相等的圆外切多边形是正方形10、圆的内接正四边形的边长与半径的比为（）A．2：1B．:lC．：lD．3：111、如图,⊙O的内接多边形周长为3，⊙O的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）A．B．C．D．12、一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周。

24.3正多边形和圆知识点1正多边形与圆的关系1．如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四边形一定是()A．矩形B．菱形C．正方形D．不能确定2．如图24－3－1所示，已知△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形．图24－3－1知识点2与正多边形有关的计算3．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是()A．4 B．5 C．6 D．74．若正方形的边长为6，则其内切圆半径的大小为()A．3 2 B．3 C．6 D．6 25．2016·南平若正六边形的半径为4，则它的边长等于()A．4 B．2 C．2 3 D．4 36．如图24－3－2所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是()图24－3－2A．60°B．45°C．30°D．22.5°7．正八边形的中心角等于________度．8．将一个边长为1的正八边形补成如图24－3－3所示的正方形，这个正方形的边长等于________．(结果保留根号)图24－3－39．2017·资阳边长相等的正五边形和正六边形如图24－3－4所示拼接在一起，则∠ABC ＝________°.图24－3－410．如图24－3－5，已知正五边形ABCDE，M是CD的中点，连接AC，BE，AM.求证：(1)AC＝BE；(2)AM⊥CD.图24－3－5知识点3与正多边形有关的作图11．已知⊙O和⊙O上的一点A，作⊙O的内接正方形和内接正六边形(点A为正方形和正六边形的顶点)．12．如图24－3－6所示，⊙O的内接多边形的周长为3，⊙O的外切多边形的周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是()图24－3－6A. 6B.8C.10D.1713．若AB是⊙O内接正五边形的一边，AC是⊙O内接正六边形的一边，则∠BAC等于()A．120°B．6°C．114°D．114°或6°14．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为()A. 2 B．2 2－2C．2－ 2 D.2－115．2017·达州以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()A.22 B.32 C. 2 D. 316．2017·云南如图24－3－7，边长为4的正方形ABCD外切于⊙O，切点分别为E，F，G，H.则图中阴影部分的面积为________．图24－3－717．如图24－3－8，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48 3，试求正六边形的周长．图24－3－818．如图24－3－9①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.图24－3－9(1)求图①中∠MON的度数；(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．教师详解详析1．C [解析] 只有正多边形的外接圆与内切圆才是同心圆，故这个四边形是正方形．故选C .2．证明：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝36°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.又∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠ACE ＝36°， 即∠BAC ＝∠ABD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠ACE ， ∴BC ︵＝AD ︵＝CD ︵＝BE ︵＝AE ︵，∴A ，E ，B ，C ，D 是⊙O 的五等分点， ∴五边形AEBCD 是正五边形．3．B [解析] 设这个正多边形为正n 边形，由题意可知72n ＝360，解得n ＝5.故选B . 4．B5．A [解析] 正六边形的中心角为360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边形的边组成一个等边三角形．因为正六边形的外接圆半径等于4，所以正六边形的边长等于4.6．C [解析] 连接OB ，则∠AOB ＝60°， ∴∠ADB ＝12∠AOB ＝30°.7．45 8．1＋ 2[解析] 如图，∵△BDE 是等腰直角三角形，BE ＝1，∴BD ＝22， ∴正方形的边长等于AB ＋2BD ＝1＋ 2.9．24 [解析] 正六边形的一个内角＝16×(6－2)×180°＝120°，正五边形的一个内角＝15×(5－2)×180°＝108°，∴∠BAC ＝360°－(120°＋108°)＝132°.∵两个正多边形的边长相等，即AB ＝AC ，∴∠ABC ＝12×(180°－132°)＝24°.10．证明：(1)由五边形ABCDE 是正五边形，得AB ＝AE ，∠ABC ＝∠BAE ，AB ＝BC ， ∴△ABC ≌△EAB ，∴AC ＝BE.(2)连接AD ，由五边形ABCDE 是正五边形，得AB ＝AE ，∠ABC ＝∠AED ，BC ＝ED ， ∴△ABC ≌△AED ， ∴AC ＝AD.又∵M 是CD 的中点， ∴AM ⊥CD. 11．解：如图所示．作法：①作直径AC ；②作直径BD ⊥AC ，依次连接AB ，BC ，CD ，DA ，则四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形；③分别以点A ，C 为圆心，OA 的长为半径画弧，交⊙O 于点E ，H 和F ，G ，顺次连接AE ，EF ，FC ，CG ，GH ，HA ，则六边形AEFCGH 为⊙O 的内接正六边形．12．C [解析] 根据两点之间，线段最短可得圆的周长大于3而小于3.4，选项中只有C 满足要求．13．D [解析] 分两种情况考虑：(1)如图①所示，∵AB 是⊙O 内接正五边形的一边，∴∠AOB ＝360°5＝72°.∵AC 是⊙O 内接正六边形的一边，∴∠AOC ＝360°6＝60°，∴∠BOC ＝72°－60°＝12°，∴∠BAC ＝12∠BOC ＝6°.(2)如图②所示，∠AOB ＝72°，∠AOC ＝60°，∴∠OAB ＝54°，∠OAC ＝60°，∴∠BAC ＝60°＋54°＝114°.综上所述，可知选D .14．B [解析] ∵等腰直角三角形的外接圆半径为2，∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边的长均为2 2.如图，根据三角形内切圆的性质可得CD ＝CE ＝r ，AD ＝BE ＝AO ＝BO ＝2 2－r ，∴AB ＝AO ＋BO ＝4 2－2r ＝4，解得r ＝2 2－2.故选B .15．A [解析] 如图①，∵OC ＝2，∴OD ＝1；如图②，∵OB ＝2，∴OE ＝2； 如图③，∵OA ＝2，∴OD ＝3， 则该三角形的三边长分别为1，2， 3. ∵12＋(2)2＝(3)2， ∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是12×1×2＝22.故选A .16．2π＋4 [解析] 如图，连接HO ，并延长交BC 于点P ，连接EO ，并延长交CD 于点M.∵正方形ABCD 外切于⊙O ， ∴∠A ＝∠B ＝∠AHP ＝90°，∴四边形AHPB 为矩形，∴∠OPB ＝90°. 又∵∠OFB ＝90°，∴点P 与点F 重合， ∴HF 为⊙O 的直径， 同理：EG 为⊙O 的直径．由∠D ＝∠OGD ＝∠OHD ＝90°且OH ＝OG 知，四边形DGOH 为正方形． 同理：四边形OGCF 、四边形OFBE 、四边形OEAH 均为正方形， ∴DH ＝DG ＝GC ＝CF ＝2，∠HGO ＝∠FGO ＝45°， ∴∠HGF ＝90°，GH ＝GF ＝GC 2＋CF 2＝2 2， 则阴影部分面积＝12S ⊙O ＋S △HGF＝12·π·22＋12×2 2×2 2 ＝2π＋4. 故答案为2π＋4.17．解：如图，连接OA ，作OH ⊥AC 于点H ，则∠OAH ＝30°.在Rt △OAH 中，设OA ＝R ，则OH ＝12R ，由勾股定理可得AH ＝OA 2－OH 2＝R 2－（12R ）2＝123R. 而△ACE 的面积是△OAH 面积的6倍，即6×12×12 3R ×12R ＝48 3，解得R ＝8， 即正六边形的边长为8，所以正六边形的周长为48.18．解：(1)方法一：如图①，连接OB ，OC.图①∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴∠OBM ＝∠OCN ＝30°，∠BOC ＝120°.又∵BM ＝CN ，OB ＝OC ，∴△OBM ≌△OCN ，∴∠BOM ＝∠CON ，∴∠MON ＝∠BOC ＝120°.方法二：如图②，连接OA ，OB.图②∵正三角形ABC内接于⊙O，∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°. ∵BM＝CN，∴AM＝BN.又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，∴∠AOM＝∠BON，∴∠MON＝∠AOB＝120°.(2)90°72°(3)∠MON＝360°n.。