初三数学《正多边形和圆》课时练习(附答案)

人教版九年级数学上册《24.3 正多边形和圆》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点 正多边形与圆1.定义：正多边形的 圆的圆心叫做这个正多边形的中心 圆的半径叫做正多边形的半径 正多边形每一边所对的 角叫做正多边形的中心角 到正多边形的一边的距离 叫做正多边形的边心距。

2.公式：正多边形的有关概念：边长（a ） 中心（O ） 中心角（∠AOB ） 半径（R ）） 边心距（r ） 如图所示①．边心距222a r R ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中心角360n ︒=关键点:三角形的内切圆与外接圆 关系定义圆心 实质半径图示外接圆经过三角形各顶点的圆外心三角形各边垂直平分线的交点交点到三角形三个顶点的距离相等内切圆与三角形各边都相切的圆内心三角形各内角平分线的交点交点到三角形各边的距离相等名校提高练习:一选择题：本题共10小题每小题3分共30分。

在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的。

1.(2024·四川省泸州市·月考试卷)已知圆内接正三角形的面积为√ 3则该圆的内接正六边形的边心距是( )A. 2B. 1C. √ 3D. √ 322.同一个圆的内接正三角形正方形正六边形的边心距分别为r3r4r6则r3：r4：r6等于( )A. 1:√2:√3B. √3:√2:1C. 1：2：3D. 3：2：13.如图若干个全等的正五边形排成环状图中所示的是前3个正五边形要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A. 10B. 9C. 8D. 74.(2024·贵州省黔东南苗族侗族自治州·月考试卷)正六边形ABCDEF内接于⊙O正六边形的周长是12则⊙O的半径是( )A. √ 3B. 2C. 2√ 2D. 2√ 35.(2024·山东省·单元测试)《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法其步骤是：①在⊙O上任取一点A连接AO并延长交⊙O于点B②以点B为圆心BO为半径作圆弧分别交⊙O于C D两点③连接CO DO并延长分别交⊙O于点E F④顺次连接BC CF FA AE ED DB得到六边形AFCBDE.再连接AD EF AD EF交于点G.则下列结论不正确的是( )A. GF=GDB. ∠FGA=60°C. EFAE=√ 2 D. AF⊥AD6.(2024·江苏省·同步练习)以半径为2的圆的内接正三角形正方形正六边形的边心距为三边作三角形则该三角形的面积是( )A. √ 22B. √ 32C. √ 2D. √ 37.(2024·江苏省·同步练习)如图正十二边形A1A2…A12连接A3A7A7A10则∠A3A7A10的度数为( )A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°8.(2024·江苏省·同步练习)如图若干个全等的正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A. 6B. 7C. 8D. 99.(2024·北京市市辖区·期末考试)如图正方形ABCD的边长为6且顶点A B C D都在⊙O上则⊙O 的半径为()．A. 3B. 6C. 3√ 2D. 6√ 210.(2024·广东省广州市·月考试卷)如图已知⊙O的周长等于4πcm则圆内接正六边形的边长为()cm．A. √ 3B. 2C. 2√ 3D. 4二填空题：本题共6小题每小题3分共18分。

5.7 正多边形与圆1．正八边形的每个内角为_______．2．半径为4的圆的内接正四边形的面积为_______．3．已知正六边形的六个顶点确定的圆是正六边形的外接圆，与正六边形各边都相切的圆是正六边形的内切圆，若正六边形的边长为2，则此正六边形的外接圆半径为_______，内切圆半径为_______．4．比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点与不同点．例如，它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形，请你再写出它们的两个相同点和不同点．相同点：(1)____________________________；(2)____________________________．不同点：(1)____________________________；(2)____________________________．5．(1)用量角器画一个正九边形（写出作法）；(2)你能不能不借助圆画出一个正九边形？如果能，请画出一个边长为2 cm的正九边形；如果不能请说明理由．6．如图所示是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图①）和梅花图案（图②）（图中的折扇无重叠）．请根据图形信息，求梅花图案中的五角星的五个锐角的度数．7．某学习小组在探索“各个内角都相等的圆的内接多边形是否为正多边形”时，进行了如下讨论：甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆的内接矩形；乙同学：我发现边数是6，它也不一定是正多边形．如图①，△ABC是正三角形，AD＝BE＝CF，可以证明六边形ADBECF的各角相等，但它未必是正六边形．丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形，我想，边数是7时，它可能也是正多边形……(1)请你说明：乙同学构造的六边形各角相等；(2)请你说明：各角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图②)是正七边形（不必写已知、求证）；(3)根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）．8．如图，M、N分别是⊙O的内接正△ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE……正n 边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON．(1)求图①中∠MON的度数；(2)图②中∠MON的度数是_______，图③中∠MON的度数是_______．(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．9．探究：某班在探讨正多边形问题时，得到以下命题：(i)如图①，正△ABN中，点P、Q分别从点B、A出发，在边BN、NA的延长线上运动，若BP＝AQ，则M是PQ的中点．(ii)如图③，正五边形ABCDN中，点P、Q分别从点B、A出发，在边BC、NA的延长线运动，若BP＝AQ，则M是PQ的中点．归纳：对于正多边形ABC…N，点P、Q分别从点B、A出发，在边BC、NA的延长线上运动，若BP＝AQ，则M为PQ的中点．(1)请你从两个命题中任选一个进行证明；(2)请在图②中根据上面归纳画出图形，并比较AM和BM的大小：AM_______BM；(3)如图④，在正六边形ABCDEF中，点P在边AF上，PB交DC的延长线于点Q，求证：BP＝BQ．参考答案1．135°2．32 3．24．（答案不唯一）相同点：(1)每个内角都相等（或每个外角都相等或对角线都相等）；(2)都是轴对称图形（或都有外接圆）；不同点：(1)正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°；(2)正五边形的对称轴是5条，正六边形的对称轴是6条．5．(1)画图略，作法如下：先画一个圆，然后借助量角器将这个圆九等分（即每份所对圆心角为40°），依次连接各等分点所得的多边形就是正九边形．(2)不借助圆能画出正九边形．6．48°7．略8．(1)120°(2)90°72°(3)360 n9．(1)略(2)＝(3)略。

人教版九年级数学上册24.3正多边形与圆同步课后练习一、选择题⌢上一点，连接AC、BC．若∠AOB=128°，1、如图，OA、OB是⊙O的半径，C是AB则∠ACB的大小为（）A．126°B．116°C．108°D．106°2、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE⏜上的一点(点P不与点D重合)，则∠CPD 的度数为（）A. 30°B. 36°C. 60°D. 72°3、已知正六边形的边长为4，则这个正六边形的半径为（）A．4 B．23C．2 D．434、已知⊙O的半径是2，一个正方形内接于⊙O，则这个正方形的边长是（）A．2√2B．2 C．√2D．45、如图，以点O为圆心的两个同心圆把以OA为半径的大圆O的面积三等分，这两个圆的半径分别为OB，OC．则::OA OB OC的值是（）A．3:2:1B．9:4:1C32D．626、有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB=15°，算出这个正多边形的边数是( )A.9B.10C.11D.127、如图,工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽,现测得扳手的开口宽度b=3 cm,则螺帽边长a等于( )A.√3 cmB.2√3 cmC.2 cmD.√2 cm8、如图,点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点,S△AFO =8,S△CDO=2,S正六边形ABCDEF的值是( )A.20B.30C.40D.随点O位置而变化9、如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG⏜的中点.若FM=2√2，则⊙O的半径为( )A. 2B. √6C. 2√2D. 2√6二、填空题10、已知正六边形的边长为6cm，那么它的边心距等于__________cm．11、线段AB是圆内接正十二边形的一条边，则AB边所对的圆周角是°．12、一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合，则n 的值为______13、如图,正八边形的边长为2,对角线AB,CD 相交于点E,则线段 BE 的长为.14、如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．15、如图为一个半径为5m的圆形广场，其中放有六个宽为√3m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为 m ．三、解答题16、如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径4,OC OG BC =⊥，垂足为G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．17、如图，已知正三角形ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 的内接正十二边形的一条边长，连接CD ，若CD =6√2cm ，求⊙O 的半径．18、如图，正方形ABCD 的外接圆为⊙O ，点P 在劣弧CD 上(不与点C 重合)．(1)求∠BPC的度数;(2)若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．。

24.3正多边形和圆知识点1正多边形与圆的关系1．如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四边形一定是()A ．矩形B．菱形C．正方形 D ．不能确定2．如图 24－ 3－ 1 所示，已知△ ABC 是⊙ O 的内接等腰三角形，顶角∠ BAC＝36°，弦BD ，CE 分别平分∠ ABC ，∠ACB.求证：五边形 AEBCD 是正五边形．图24－ 3－ 1知识点2与正多边形有关的计算3．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是()A ． 4 B． 5 C． 6D． 74．若正方形的边长为 6，则其内切圆半径的大小为 ()A ． 3 2B ．3 C． 6D． 625． 2016 ·南平若正六边形的半径为4，则它的边长等于 ()A ． 4 B． 2 C． 2 3D． 436．如图 24－ 3－ 2 所示，正六边形ABCDEF 内接于⊙ O，则∠ ADB 的度数是 ()图24－ 3－ 2A ． 60°B． 45°C．30°D． 22.5°7．正八边形的中心角等于________度．8．将一个边长为 1 的正八边形补成如图24－ 3－3 所示的正方形，这个正方形的边长等于________． (结果保留根号 )图24－ 3－ 39．2017 ·资阳边长相等的正五边形和正六边形如图24－ 3－ 4 所示拼接在一起，则∠ ABC ＝________° .图24－ 3－ 410．如图 24－ 3－ 5，已知正五边形ABCDE ， M 是 CD 的中点，连接 AC， BE， AM .求证： (1)AC＝ BE；(2)AM ⊥ CD.图24－ 3－ 5知识点3与正多边形有关的作图11．已知⊙ O 和⊙ O 上的一点 A，作⊙ O 的内接正方形和内接正六边形 (点 A 为正方形和正六边形的顶点 )．12．如图 24－ 3－ 6 所示，⊙ O 的内接多边形的周长为3，⊙ O 的外切多边形的周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是()图24－ 3－ 6A. 6B. 8C. 10D. 1713．若 AB 是⊙ O 内接正五边形的一边，AC是⊙ O内接正六边形的一边，则∠ BAC等于()A ． 120°B． 6°C．114°D． 114°或 6°14．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为()A. 2 B ． 2 2－ 2C．2－ 2 D. 2－115． 2017 ·达州以半径为2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()2 3A. 2B. 2C. 2D. 316．2017 ·云南如图 24－ 3－ 7，边长为 4 的正方形 ABCD 外切于⊙ O，切点分别为 E，F ，G， H.则图中阴影部分的面积为 ________．24－ 3－ 717．如 24－ 3－ 8，正六形ABCDEF 内接于⊙ O，若⊙ O 的内接正三角形 ACE 的面 48 3，求正六形的周．24－ 3－ 818．如 24－ 3－9①②③④， M， N 分是⊙ O 的内接正三角形ABC，正方形 ABCD ，正五形 ABCDE ，⋯，正 n 形 ABCDEFG ⋯的 AB，BC 上的点，且 BM＝ CN，接 OM ， ON.图 24－ 3－ 9(1)求图①中∠ MON 的度数；(2)图②中，∠MON 的度数是 ________，图③中∠ MON 的度数是 ________；(3)试探究∠ MON 的度数与正n 边形的边数n 的关系 (直接写出答案)．教师详解详析1．C [解析 ] 只有正多边形的外接圆与内切圆才是同心圆，故这个四边形是正方形．故选C.2．证明：∵△ ABC 是等腰三角形，且∠ BAC＝36° ，∴∠ ABC ＝∠ ACB ＝ 72° .又∵ BD 平分∠ ABC ， CE 平分∠ ACB ，∴∠ ABD ＝∠ CBD ＝∠ BCE ＝∠ ACE ＝ 36°，即∠ BAC ＝∠ ABD ＝∠ CBD ＝∠ BCE ＝∠ ACE ，︵︵︵︵︵∴BC＝ AD ＝ CD ＝ BE＝ AE ，∴A ， E， B， C， D 是⊙ O 的五等分点，∴五边形 AEBCD 是正五边形．3． B [ 解析 ] 设这个正多边形为正n 边形，由题意可知72n＝ 360，解得 n＝5.故选 B.4． B5． A [ 解析 ] 正六边形的中心角为360°÷ 6＝ 60°，那么外接圆的半径和正六边形的边组成一个等边三角形．因为正六边形的外接圆半径等于4，所以正六边形的边长等于 4.6． C[ 解析 ] 连接 OB ，则∠ AOB ＝ 60°，∴∠ ADB ＝12∠ AOB ＝30° .7． 458． 1＋2[解析 ] 如图，∵△ BDE 是等腰直角三角形，BE＝1，∴BD ＝22，∴正方形的边长等于AB ＋2BD ＝ 1＋ 2.9．24 [ 解析 ] 正六边形的一个内角＝1× (6－ 2)× 180°＝ 120°，正五边形的一个内角6＝1×(5 － 2)× 180°＝ 108°，∴∠ BAC ＝ 360°－ (120 °＋ 108° )＝132° .∵两个正多边形 5的边长相等，即 AB ＝AC ，∴∠ ABC ＝12× (180°－ 132°)＝24° .10．证明：(1)由五边形ABCDE 是正五边形，得 AB ＝AE ，∠ ABC ＝∠ BAE ，AB ＝ BC ，∴△ ABC ≌△ EAB ，∴AC ＝ BE.(2)连接 AD ，由五边形ABCDE 是正五边形，得 AB ＝AE ，∠ ABC ＝∠ AED ，BC ＝ ED ，∴△ ABC ≌△ AED ，∴AC ＝AD.又∵ M 是 CD 的中点，∴AM ⊥ CD.11．解：如图所示．作法：①作直径AC ；②作直径 BD ⊥ AC ，依次连接 AB ， BC， CD， DA ，则四边形 ABCD 是⊙ O 的内接正方形；③分别以点 A， C 为圆心，OA 的长为半径画弧，交⊙ O 于点 E，H 和 F，G，顺次连接 AE ，EF，FC ，CG， GH， HA ，则六边形 AEFCGH 为⊙ O 的内接正六边形．12． C [解析 ] 根据两点之间，线段最短可得圆的周长大于 3 而小于 3.4，选项中只有C满足要求．13． D [解析 ] 分两种情况考虑：(1)如图①所示，∵ AB 是⊙ O 内接正五边形的一边，∴∠ AOB ＝360°＝ 72° .∵ AC 是5⊙O 内接正六边形的一边，∴∠ AOC ＝360°＝60°，∴∠ BOC＝ 72°－60°＝ 12°，∴∠61BAC ＝2∠BOC ＝ 6°.(2)如图②所示，∠ AOB ＝ 72°，∠AOC ＝ 60°，∴∠ OAB ＝ 54°，∠ OAC ＝ 60°，∴∠BAC ＝ 60°＋ 54°＝ 114° .综上所述，可知选 D.14．B [解析 ] ∵等腰直角三角形的外接圆半径为2，∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边的长均为 2 2.如图，根据三角形内切圆的性质可得CD＝ CE＝ r， AD ＝ BE ＝ AO＝BO ＝ 2 2－ r，∴ AB ＝ AO ＋ BO ＝4 2－ 2r＝ 4，解得 r＝ 2 2－ 2.故选 B.15． A[解析 ] 如图① ，∵ OC＝2，∴ OD＝ 1；如图② ，∵ OB ＝2，∴ OE＝2；如图③ ，∵ OA ＝2，∴ OD ＝3，则该三角形的三边长分别为1，2， 3.∵ 12＋ ( 2)2＝ (3)2，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是1× 1× 2＝2 2 2.故选 A.16．2π＋ 4[ 解析 ] 如图，连接 HO，并延长交 BC 于点 P，连接 EO，并延长交 CD 于点 M.∵正方形 ABCD 外切于⊙ O，∴∠ A ＝∠ B＝∠ AHP ＝ 90°，∴四边形 AHPB 为矩形，∴∠ OPB＝ 90° .又∵∠ OFB ＝ 90°，∴点 P 与点 F 重合，∴ HF 为⊙ O 的直径，同理： EG 为⊙ O 的直径．由∠ D＝∠ OGD ＝∠ OHD ＝ 90°且 OH ＝ OG 知，四边形 DGOH 为正方形．同理：四边形OGCF 、四边形OFBE 、四边形OEAH 均为正方形，∴DH ＝ DG＝ GC＝ CF＝2，∠ HGO ＝∠ FGO＝ 45°，∴∠ HGF＝ 90°， GH＝ GF＝ GC2＋ CF2＝ 22，1则阴影部分面积＝2S⊙O＋S△HGF121× 2 2× 2 2＝·π · 2＋22＝2π＋ 4.故答案为 2π＋4.17．解：如图，连接 OA ，作 OH ⊥AC 于点 H，则∠ OAH ＝ 30° .在 Rt△ OAH中，设OA ＝ R，则 OH ＝1AH ＝22＝R ，由勾股定理可得OA － OH2R2－（1R）2＝13R.22而△ ACE 的面积是△ OAH 面积的 6 倍，即 6×1×1 2 2即正六边形的边长为8，所以正六边形的周长为48. 18．解： (1) 方法一：如图①，连接OB，OC.图①∵正三角形ABC 内接于⊙ O，∴∠ OBM ＝∠ OCN ＝ 30°，∠ BOC＝ 120° .又∵ BM ＝ CN， OB＝ OC，∴△ OBM ≌△ OCN ，∴∠ BOM ＝∠ CON ，∴∠ MON ＝∠ BOC＝ 120°.方法二：如图②，连接OA，OB.13R×2R＝ 483，解得 R＝8，图②∵正三角形ABC 内接于⊙ O，∴AB ＝BC ，∠ OAM ＝∠ OBN ＝30°，∠AOB ＝120° .∵BM ＝ CN，∴ AM ＝ BN.又∵ OA ＝ OB，∴△ AOM ≌△ BON ，∴∠ AOM ＝∠ BON ，∴∠ MON ＝∠ AOB ＝ 120°.(2)90° 72° (3)∠ MON ＝360°. n。

九年级数学上册《正多边形和圆》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：________________一、填空题1．已知正方形ABCD，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为_______，面积为_______．2．正十二边形的中心角是_____度．二、解答题3．（1）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部点A'的位置时，①A、①1、①2之间有怎样的数量关系？并说明理由．（2）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED外部点A'的位置时，①A、①1、①2之间有怎样的数量关系？并说明理由．（3）如图①，把四边形ABCD沿EF折叠，当点A、D分别落在四边形BCFE内部点A'、D的位置时，你能求出①A'、①D、①1与①2之间的数量关系吗？并说明理由．4．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为 ．（2）如图2，正五边形ABCDE 内接于①O ，AB ＝2，求对角线BD 的长．5．如图，正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，边CD 在x 轴上，点B 在y 轴上，已知CD ＝4．(1)点A 是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；(2)若反比例函数的图象与DE 交于点Q ，求点Q 的横坐标．6．如图所示，正五边形的对角线AC 和BE 相交于点M ．（1）求证：AC ①ED ；（2）求证：ME ＝AE ．7．如图1，正五边形ABCDE 内接于①O ，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径AF ；①以F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与①O 交于点M ，N ；①连接,,AM MN NA ．(1)求ABC∠的度数．(2)AMN是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始，以DN长为半径，在①O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．8．如图，ABC是等边三角形，点D、E、G分别在边AB、AC、BC上，且AD CE BG==，BE、CD、AG分别相交于点F、P、Q．求证：①PQF是等边三角形．9．如图，在圆内接正三角形ABC中,若①DOE保持120°角度不变，求证：当①DOE绕着O点旋转时，由两条半径和①ABC的两条边围成的图形，图中阴影部分的面积始终是①ABC的面积的13．10．已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A．(1)如图1，当点G 在AD 上，F 在AB(2)将正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒，如图2，求：CE DG 的值为多少；(3)AB =AG AD =，将正方形AFEG 绕A 逆时针方向旋转(0360)αα︒<<︒，当C ，G ，E 三点共线时，请直接写出DG 的长度．三、单选题11．如图，已知①O 的半径为1，AB 是直径，分别以点A 、B 为圆心，以AB 的长为半径画弧．两弧相交于C 、D 两点，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．52π-B ．56πC ．53πD ．83π-12．对于等边三角形的性质，下列说法不正确的是（ ）A ．等边三角形的三条边都相等，三个内角也都相等；B ．等边三角形的边都等于60，角都等于60°；C ．等边三角形中线、高、角平分线都相等，而且都交于一点；D ．等边三角形具有等腰三角形的所有性质；132，则这个多边形的内角和为（ ）A ．720︒B ．360︒C ．240︒D ．180︒14．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接正四边形，△AEF 为⊙O 的内接正三角形，若DF 恰好是同圆的一个内接正n 边形的一边，则n 的值为（ ）A．6B．8C．10D．1215．连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法不正确的是（）A．四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等B．连接HD，则HD平分①CHEC．整个图形不是中心对称图形D．CEH△是等边三角形参考答案及解析：1．1)a22)a【分析】设正八边形的边长为x，表示出剪掉的等腰直角三角形的直角边，再根据正方形的边长列出方程求解即可；利用正八边形的面积等于正方形的面积减去剪掉的四个等腰直角三角形的面积列式计算即可得解．【详解】解：正方形ABCD外接圆的直径就是它的对角线，∴正方形边长为a，如图所示，设正八边形的边长为x，在Rt AEL 中，LE x =,AE AL x ==，2x x a ∴+=，解得：1)x a =，即正八边形的边长为1)a ．2222241)]2)AEL S S S a x a a a =-=-=-=正方形正八边形．故答案是：1)a ，22)a ．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是读懂题目信息，根据正方形的边长列出方程．2．30 【分析】根据正多边形的中心角公式：360n计算即可 【详解】正十二边形的中心角是：360°÷12＝30°．故答案为30．【点睛】本题的关键是掌握正多边形中心角的计算公式3．（1）2①A ＝①1+①2；见解析；（2）2①A ＝①1﹣①2；见解析；（3）2（①A +①D ）＝①1+①2+360°，见解析【分析】（1）根据翻折的性质表示出①3、①4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出①3、①4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（3）先根据翻折的性质表示出①3、①4，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．【详解】解：（1）如图，根据翻折的性质，①3=EDA '∠=12（180-①1），①4=DEA '∠=12（180-①2），①①A +①3+①4=180°，①①A +12（180-①1）+12（180-①2）=180°，整理得，2①A =①1+①2；（2）如图，同理，根据翻折的性质，①3=12（180-①1），①4=12（180+①2），①①A+①3+①4=180°，①①A+12（180-①1）+12（180+①2）=180°，整理得，2①A=①1-①2；（3）如图，同理，根据翻折的性质，①3=12（180-①1），①4=12（180-①2），①①A+①D+①3+①4=360°，①①A+①D+12（180-①1）+12（180-①2）=360°，整理得，2（①A+①D）=①1+①2+360°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，多边形的内角与外角，翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键．4．（1）AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅；（2）1【分析】（1）由托勒密定理可直接求解；（2）连接,AD AC ，根据圆周角与弦的关系可得AD AC BD ==，设BD x =，在四边形ABCD 中，根据托勒密定理有，AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅，建立方程即可求得BD 的长【详解】（1）由托勒密定理可得：AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅故答案为：AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅（2）如图，连接,AD AC ，五边形ABCDE 是正五边形，则E ABC BCD ∠=∠=∠,2AB BC CD ===AD AC BD ∴==设BD x =，AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅即2222x x =⨯+解得1211x x ==1BD ∴=+【点睛】本题考查了托勒密定理，圆周角与弦的关系，解一元二次方程，理解题意添加辅助线是解题的关键．5．(1)点A在该反比例函数的图象上，理由见解析(2)3+【分析】（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，可得BP＝4，G是CD的中点，所以P（4，；（2）易求D（6，0），E（8，，待定系数法求出DE的解析式为y﹣次函数即可求点Q．（1）解：点A在该反比例函数的图象上，理由如下：过点P作x轴垂线PG，连接BP，①P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝4，①BP＝4，G是CD的中点，①sin604PG BO BC==⋅︒==①P（4，，①P在反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0）的图象上，①k＝①反比例函数解析式为y由正六边形的性质可知，A（2，，①点A在反比例函数图象上；（2）解：由（1）得D （6，0），E （8，，设DE 的解析式为y ＝mx +b ，①608m b m b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①m b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩①y﹣由方程y y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得x＝3，①Q点横坐标为3+．．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标结合是解题的关键．6．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作出正五边形的外接①O ，则AB 的度数为1360725⨯︒=︒，由①EAC 的度数等于EDC 的度数的一半，得到①EAC ＝1144722⨯︒=︒，同理，①AED ＝12×72°×3＝108°，则 ①EAC +①AED ＝180°，即可证明ED∥AC ；（2）由①AEB 的度数等于AB 的度数的一半，得到①AEB =36°，则①EMA ＝180°－①AEB －①EAC ＝72°，可推出①EAM ＝①EMA ＝72°，即可证明 EA ＝EM ．【详解】解：①正多边形必有外接圆，①作出正五边形的外接①O ，则AB 的度数为1360725⨯︒=︒， ① ①EAC 的度数等于EDC 的度数的一半，① ①EAC ＝1144722⨯︒=︒， 同理，①AED ＝12×72°×3＝108°，① ①EAC +①AED ＝180°，① ED∥AC ；（2）①①AEB 的度数等于AB 的度数的一半，①①AEB =36°，①①EMA ＝180°－①AEB －①EAC ＝72°，① ①EAM ＝①EMA ＝72°，① EA ＝EM ．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，平行线的判定，等腰三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握圆的相关知识．7．(1)108︒(2)是正三角形，理由见解析(3)15n =【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得BC CD DE AE AB ====，则AOC ∠(优弧所对圆心角)372216︒︒=⨯=，然后根据圆周角定理即可得出结论；（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出14412024NOD ∠=︒-︒=︒，即可得出结论．（1）解：①正五边形ABCDE ．①BC CD DE AE AB ====， ①360725AOB BOC COD DOE EOA ︒∠=∠=∠=∠=∠==︒， ①3AEC AE =，①AOC ∠(优弧所对圆心角)372216︒︒=⨯=， ①1121610822AOC ABC ∠=⨯︒=∠=︒； （2）解：AMN 是正三角形，理由如下：连接,ON FN ，由作图知：FN FO =,①ON OF =，①ON OF FN ==，①OFN △是正三角形，①60OFN ∠=︒，①60AMN OFN ∠=∠=︒，同理60ANM ∠=︒，①60MAN ∠=︒，即AMN ANM MAN ∠=∠=∠，①AMN 是正三角形；（3）①AMN 是正三角形，①2120A N A N M O =∠=︒∠．①2AD AE =，①272144AOD ∠=⨯︒=︒，①DN AD AN =-，①14412024NOD∠=︒-︒=︒，①3601524n==．【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键．8．见解析【分析】先根据“SAS”证明△ACD①△CBE，得到①ACD=①CBE，结合三角形外角的性质可证①BFD=①60°，进而可证△PQF是等边三角形．【详解】证明：①△ABC是等边三角形，①①A=①BCE=60°，AC=CB，又①AD=CE，①△ACD①△CBE（SAS）；①①ACD=①CBE，①①ACB=①ACD+①BCF=60°，①①BFD=①CBE+①BCF=①ACD+①BCF =60°，同理可得，①APE=60°，①△PQF是等边三角形．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形外角的性质，综合运用各知识点是解答本题的关键．9．见解析【分析】连接OA、OB、OC，由正多边形和圆的性质可得：①OAB①①OBC①①OCA．则①1＝①2，再证明①OAG①①OCF，即可求解．【详解】如图：连接OA、OB、OC，由正多边形和圆的性质可得①OAB①①OBC①①OCA．①①1＝①2．设OD 交BC 于F ，OE 交AC 于G ，则①AOC ＝①3+①4＝120°，①DOE ＝①5+①4＝120°，① ①3＝①5．∴在①OAG 和①OCF 中2135OA OC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，① ①OAG ①①OCF ．① ΔAOC ΔABC 13OFCG S S S ==四边形． 【点睛】本题考查了正多形和圆的性质，全等三角形的判定和性质，将阴影部分的面积转化为固定的三角形面积是解题关键．10．(1)2(3)-【分析】（1）根据题意可得GE DC ∥，根据平行线分线段成比例即可求解；（2）根据（1）的结论，可得AG AD AE AC ==根据旋转的性质可得DAG CAE ∠=∠，进而证明GAD EAC ∽，根据相似三角形的性质即可求解；（3）分两种情况画出图形，证明①ADG ①①ACE ，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案．（1） 解：正方形AFEG 与正方形ABCD 有公共点A ，点G 在AD 上，F 在AB 上，GE DC ∴∥AG AE DG EC ∴= EC AE DG AG∴= 四边形AFEG 是正方形 ∴AE =∴2DG AGE === （2）解：如图，连接AE ，正方形AFEG 绕A 点逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒，DAG CAE ∴∠=∠AG AD AE AC ==GAD EAC ∴∽∴AC CE DG AD= （3） 解：①如图，AB =AG AD =，AD AB ∴==8AG ==,16AC ==， ,,G E C 三点共线，Rt AGC △中，GC ==8CE GC GE ∴=-=，由（2）可知GAD EAC ∽，∴CE AC DG DA==()816DA CE DG AC ⋅∴==4==． ①如图：由（2）知△ADG ①①ACE ，①DG AD CE AC ==，①DG ， ①四边形ABCD 是正方形，①AD =BC ，AC 16，①AG ，①AG =8， ①四边形AFEG 是正方形，①①AGE =90°，GE =AG =8，①C ，G ，E 三点共线．①①AGC =90°①CG①CE =CG +EG，①DG =综上，当C ，G ，E 三点共线时，DG 的长度为-【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．11．A【分析】连接AC 、BC ，如图，先判断△ACB 为等边三角形，则①BAC ＝60°，由于S 弓形BC ＝S 扇形BAC ﹣S △ABC ，所以图中阴影部分的面积＝4S 弓形BC +2S △ABC ﹣S ⊙O ，然后利用扇形的面积公式、等边三角形的面积公式和圆的面积公式计算．【详解】解：连接BC ，如图，由作法可知AC ＝BC ＝AB ＝2，①①ACB 为等边三角形，①①BAC ＝60°，①S 弓形BC ＝S 扇形BAC ﹣S △ABC ，①S 阴＝4S 弓形BC +2S △ABC ﹣S ⊙O＝4（S 扇形BAC ﹣S △ABC ）+2S △ABC ﹣S ⊙O＝4S 扇形BAC ﹣2S △ABC ﹣S ⊙O＝42602360π⨯⨯-222﹣π×12 53=π﹣ 故选：A ．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了扇形的面积公式．12．B【分析】根据等边三角形的性质逐项分析判断即可求解．【详解】解：A ． 等边三角形的三条边都相等，三个内角也都相等，故该选项正确，不符合题意；B ． 等边三角形的三个角都等于60°，三条边都相等，不一定等于60，故该选项不正确，符合题意；C ． 等边三角形中线、高、角平分线都相等，而且都交于一点，故该选项正确，不符合题意；D ． 等边三角形具有等腰三角形的所有性质，故该选项正确，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．13．A【分析】设AB 是正多边形的一边，OC①AB ，在直角①AOC 中，利用三角函数求得①AOC 的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，求出边数，根据内角和公式即可求出多边形的内角和.【详解】如图：①2，①2，设AB 是正多边形的一边，OC①AB ， 2OC OA OB k ===，，在直角①AOC 中，OC cos AOC AO ∠== ①①AOC=30°，①①AOB=60°， 则正多边形边数是：360660︒︒=， ①多边形的内角和为：()62180720-⨯︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，正多边形的计算一般是转化成半径，边心距、以及边长的一半这三条线段构成的直角三角形的计算．14．D【分析】连接,,AC OD OF ，先根据圆内接正多边形的性质可得点O 在AC 上，且AC 是BAD ∠和EAF ∠的角平分线，从而可得1145,3022CAD BAD CAF EAF ∠=∠=︒∠=∠=︒，再根据角的和差可得15DAF ∠=︒，然后根据圆周角定理可得230DOF DAF ∠=∠=︒，最后根据正多边形的性质即可得．【详解】解：如图，连接,,AC OD OF ，四边形ABCD 为O 的内接正四边形，AEF 为O 的内接正三角形，∴点O 在AC 上，且AC 是BAD ∠和EAF ∠的角平分线，90,60BAD EAF ∠=︒∠=︒，1145,3022CAD BAD CAF EAF ∴∠=∠=︒∠=∠=︒， 15DAF CAD CAF ∴∠=∠-∠=︒，230DOF DAF ∴∠=∠=︒， DF 恰好是圆O 的一个内接正n 边形的一边，3603601230n DOF ︒︒∴===∠︒， 故选：D ．【点睛】本题考查了圆内接正多边形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键．15．D【分析】根据正八边形和圆的性质进行解答即可．【详解】解：A ．① 根据正八边形的性质， 四边形ABCH 与四边形EFGH 能够完全重合，即四边形ABCH 与四边形EFGH 全等①四边形ABCH 与四边形EFGH 的周长相等，故选项正确，不符合题意；B ．连接DH ，如图1，① 正八边形是轴对称图形，直线HD 是对称轴，① HD 平分①CHE故选项正确，不符合题意；C．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项正确，不符合题意；D．①八边形ABCDEFGH是正八边形，① B＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，CH＝EH，设正八边形的中心是O，连接EO、DH，如图2，①DOE＝360=45 8︒︒①OE＝OH①①OEH＝①OHE＝12①DOE＝22.5°①①CHE＝2①OHE＝45°①①HCE＝①HEC＝12（180°－①CHE）＝67.5°①CEH△不是等边三角形，故选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟记正八边形与等腰三角形的性质是解题的关键．。

2.6正多边形与圆知识点1正多边形的相关概念1.[2020·株洲]一个蜘蛛网如所示,若多边形ABCDEFGHI为正九边形,其中心点为O,点M,N 分别在射线OA,OC上,则∠MON=°.2.[教材练习第2题变式]如所示,正六边形ABCDEF内接于半径为5的☉O,则DF=.知识点2画正多边形3.画正六边形.⏜上,且BC是☉O的内接正十边4.[2019·扬州]如,AC是☉O的内接正六边形的一边,点B在AC形的一边.若AB是☉O的内接正n边形的一边,则n=.5.[2020·通辽]如,中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6 cm,点P,Q同时分别从点A,D出发,以1 cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,PE,QB,QE,设运动时间为t s.(1)求证:四边形PBQE为平行四边形;(2)当四边形PBQE是矩形时,求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比.教师详解详析1.80[解析] 根据正多边形的性质,得中心角为∠AOB=360°÷9=40°,∴∠MON=2∠AOB=80°.2.5√3[解析] ∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠AOF=360°÷6=60°.又∵OA=OF,∴△AOF 为等边三角形.∴AF=AO=OD=5,∠OF A=60°.∵OD=OF,∴∠ADF=∠OFD=30°.∴∠AFD=90°.在Rt△AFD中,DF=√AD2-AF2=5√3.3.[解析] 画正六边形的途径有两种,一种是用量角器将圆六等分;另一种是用圆规和直尺将圆六等分.解: (方法一)用量角器将圆六等分(略).(方法二)用直尺和圆规将圆六等分.作法:1.在☉O中任意作一条直径AD;2.分别以点A,D为圆心,☉O的半径为半径画弧,与☉O相交于点B,F和点C,E;3.依次连接AB,BC,CD,DE,EF,F A,六边形ABCDEF就是所求作的正六边形.4.15[解析] 连接BO.∵AC是☉O的内接正六边形的一边,∴∠AOC=360°÷6=60°.∵BC是☉O的内接正十边形的一边,∴∠BOC=360°÷10=36°,∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=60°-36°=24°,∴n=360°÷24°=15.5.解:(1)证明:∵六边形ABCDEF是正六边形,∴AB=BC=CD=DE=EF=F A,∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F.∵点P,Q同时分别从点A,D出发,以1 cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,∴AP=DQ=t ,PF=QC=6-t.在△ABP 和△DEQ 中,{AB =DE ,∠A =∠D ,AP =DQ ,∴△ABP ≌△DEQ (SAS),∴BP=EQ.同理可证PE=QB ,∴四边形PBQE 为平行四边形.(2)如图①,连接BE ,OA ,则∠AOB=360°6=60°.∵OA=OB ,∴△AOB 是等边三角形,∴AB=OA=6,BE=2OB=12.当t=0时,点P 与点A 重合,点Q 与点D 重合,四边形PBQE 即为四边形ABDE.由题易知∠EAF=∠AEF=30°,∴∠BAE=120°-30°=90°,∴此时四边形ABDE 是矩形,即四边形PBQE 是矩形.当t=6时,点P 与点F 重合,点Q 与点C 重合,四边形PBQE 即为四边形FBCE ,如图②所示. 同法可知∠BFE=90°,此时四边形PBQE 是矩形.综上所述,当t=0或t=6时,四边形PBQE 是矩形.由题易知AE=√122-62=6√3,∴矩形PBQE 的面积=矩形ABDE 的面积=AB×AE=6×6√3=36√3.∵正六边形ABCDEF 的面积=6×△AOB 的面积=6×14×矩形ABDE 的面积=6×14×36√3=54√3,∴矩形PBQE 的面积与正六边形ABCDEF 的面积之比为23.。

第12课时正多边形与圆1．若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是( )A．10 B．9 C．8 D．62．正六边形的边心距与边长之比为( )A．3：3 B．3：2 C．1：2 D．2：23．如图，要拧开一个边长为a＝6 cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口6至少为( )A．62cm B．12 cmC．63cm D．43cm4．下列命题中正确的是( )①矩形是正多边形；②边数相等的正多边形一定是形状相同；③正五边形的对角线都相等；④正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．A．①③④B．②④C．②③D．①②③④5．如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为(0，6)，BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为( )A．3 B．4－3C．4 D．6－236．等边三角形的边长为a cm，则它的高为_______cm，面积为_______cm2，它的外接圆的半径为_______cm，面积为_______cm2，它的内切圆半径为_______cm，面积为_______．7．半径为2 cm的圆内接正方形的对角线长为_______cm，面积为_______cm2．8．在线段、正三角形、正方形、正五边形、正六边形这些图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有_______．9．如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20 cm2，则正八边形的面积为_______cm2．10．小亮从A点出发前进10 m，向右转15°，再前进10 m，又向右转15°……这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了_______m．11．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD＝52cm，求⊙O的半径R．12．如图⊙O中，直径AB、CD互相垂直，试画出⊙O的一个内接正方形和外切正方形，并求出这两个正方形的面积比．13．如图，已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、D、E三点，求该圆的半径长．14．如图，⊙O与⊙O'交于A、B两点，AB既是⊙O的内接正六边形的一边，又是⊙O'的内接正方形的一边，且AB＝12，求圆心距⊙O'．15．如图，O是边长为a的正多边形的中心，将一块半径足够长，圆心角为a的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转．(1)若正多边形为正三角形，扇形的圆心角α＝120°，请你通过观察或测量，填空：①如图①，正三角形ABC的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为_______；②如图②，正三角形ABC的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为_______；(2)若正多边形为正方形，扇形的圆心角α＝90°时，①如图③，正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为_______；②如图④，正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明；(3)若正多边形为正五边形，如图⑤，当扇形纸板的圆心角α为_______时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值a．(4)一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为_______时，正n边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为定值a．参考答案1—5 BBCCB6．2 4a3 23a π 6a 2212a cm π 7.4 88．线段、正方形、正六边形9.4010.24011.5 cm12．1：213．2．14．6＋15．解：(1)①a ；②a ；(2)①a ；②正方形ABCD 的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为a ．(3)108°．(4)()2180n n-•︒。

课时提高作业正多边形和圆(30 分钟 50 分)一、选择题 ( 每题 4 分, 共 12 分)1. 如图 , 在☉ O中,OA=AB,OC⊥AB,则以下结论错误的选项是 ()A. 弦 AB的长等于圆内接正六边形的边长B. 弦 AC的长等于圆内接正十二边形的边长C.=D.∠BAC=30°= , ∠【分析】选 D.∵OA=AB=OB,∴△ OAB是等边三角形 , ∴∠ AOB=60°. 又∵ OC⊥AB,∴ AOC=∠ BOC=30° , ∴∠ BAC=15°, 因此选项 A,B,C 都正确 ,D 错误 .2.(滨州中考 ) 若正方形的边长为6, 则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为()A. 6,3B.3, 3C.6,3D.6,3【分析】选 B. 作图以下 , 由正方形的性质、垂径定理可得OE=AE=3,OA=3 .【变式训练】正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为()A.2∶B.∶2C.2∶1D.∶1【分析】选 A. 设正六边形的半径是r, 则外接圆的半径为r, 内切圆的半径是正六边形的边心距, 因此是r, 因此正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2∶.3.( 绵阳中考 ) 如图 , 要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽 , 扳手张开的张口 b 起码为()A.6mmB.12mmC.6mmD.4 mm【分析】选 C.连结 AC,过 B 作 BD⊥ AC于 D;∵AB=BC,∴△ ABC是等腰三角形 ,∴AD=CD∵.此多边形为正六边形 ,∴∠ ABC=120°, ∴∠ ABD=60° ,∴ ∠ BAD=30° , ∴ BD=3,AD==3,∴b=2AD=6 (mm).二、填空题 ( 每题 4 分, 共 12 分)4.一元钱的硬币的直径约为 24mm,则它完整覆遮住的正三角形的边长最大不可以超出mm(结果保存根号 ).【分析】如图 , 已知此圆半径为 12mm,则 OB=12mm在.直角△ OBD中 , ∠BOD=60°, ∴∠ OBD=30°, ∴OD=6mm,BD==6 mm.∴BC=12 mm.答案: 125.( 南京中考 ) △ OAB是以正多边形相邻的两个极点A,B 与它的中心O 为极点的三角形 , 若△OAB的一个内角为 70° , 则该正多边形的边数为.【分析】依据已知 , △OAB为等腰三角形 , 且△ OAB的一个内角为 70°, 则这个角可能是底角 , 也可能是顶角 . 若 70°角为顶角 , 则边数为 = , 不切合题意 , 舍去 ; 若 70°角为底角 , 则顶角为 40°, 则边数为=9, 切合题意 , 故边数为 9.答案: 96.将一个边长为 1 的正八边形补成以下图的正方形 , 这个正方形的边长等于 ( 结果保存根号 ).【分析】∵△ BDE是等腰直角三角形 ,BE=1, ∴ BD= ,∴正方形的边长等于AB+2BD=1+.答案: 1+三、解答题 ( 共 26 分)7.(8分)已知:五边形ABCDE中,∠A=∠B=∠C=∠D=∠ E,边AB,BC,CD,DE,EA与☉ O分别相切于点 A′,B ′,C′,D′,E′.求证 : 五边形 ABCDE是正五边形 .【 明】 作☉O 的半径 OA ′ ,OB ′ ,OC ′,OA ′⊥ AB,OB ′⊥ BC,OC ′⊥ CD.∴∠ OA ′B=∠OB ′B=∠ OB ′ C=∠ OC ′C=90°,由 OA ′=OB ′， OB=OB ，可得△ OA ′ B ≌△ OB ′ B(HL),∴A ′B=B ′B ，∠ OBA ′=∠OBB ′，同理可得∠ OCB ′=∠OCC ′又∵∠ ABC=∠BCD,∴∠ OBB ′=∠OCB ′， ∴BB ′ = 1BC, 2同理 A ′ B=1AB, ∴AB=BC,2同理得 AB=BC=CD=DE=EA,又∵∠ EAB=∠ABC=∠BCD=∠ CDE=∠DEA,∴五 形 ABCDE 是正五 形 .8.(8 分)( 安徽中考 ) 我 把正六 形的 点及其 称中心称作如 (1) 所示基本 的特点点 , 然 的 基本 共有 7 个特点点 . 将此基本 不停复制并平移 , 使得相 两个基本 的一 重合 , 获得 (2) 、 (3) ⋯(1) 察以上 形并达成下表 :形名称基本 的个数特点点的个数(1) 1 7 (2) 2 12 (3) 3 17(4)4⋯⋯⋯猜想 : 在 (n)中 , 特点点的个数( 用含n 式子表示 )(2) 如 , 将 (n)放在直角坐系中, 此中第一个基本的称中心O1的坐(x 1,2), x1 =;(2013) 的称中心的横坐.【分析】 (1)22 5n+2.(2) 正六形的是2, 因此心距,x1=;(2)的称中心在正六形的一上, 横坐2;(3)的称中心是正中的正六形的中心, 横坐3, ⋯ , 以此推 ,(2013)的称中心的横坐2013.【知拓展】正多形的性(1)各相等 ; 各角相等 .(2)正多形都是称形 , 一个正 n 形有 n 条称 , 每一条称都通正 n 形的中心.① 数是偶数的正多形既是称形, 又是中心称形 ;② 数是奇数的正多形是称形.【培】9.(10 分 ) 如 (1),(2),(3), ⋯,(n),M,N 分是☉ O的内接正三角形 ABC、正方形 ABCD、正五形ABCDE、⋯、正 n 形 ABCDE⋯的 AB,BC上的点 , 且 BM=CN,接 OM、ON.(1)求 (1) 中∠ MON的度数 .(2) (2) 中∠ MON的度数是, (3) 中∠ MON的度数是.(3)尝试究∠ MON的度数与正 n 边形边数 n 的关系 ( 直接写出答案 ). 【分析】 (1) 连结 OB,OC.∵正△ ABC内接于☉O,∴∠ OBM=∠OCN=30°,∠BOC=120°.又∵ BM=CN,OB=OC,∴△ OBM≌△ OCN∴∠. BOM=∠CON.∴∠ MON=∠BOC=120°.(2)90 °72°(3) ∠MON=.。

27.4 正多边形和圆一、单选题1．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上的一点．若∠CBE=40°，则∠AOC等于( )A．20°B．40°C．80°D．100°2．圆的内接四边形ABCD的四个内角之比∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是( ).A．1：2：3：4B．4：2：3：1C．4：3：1：2D．4：1：3：2 3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=80°，则∠ADC的度数是（ ）A．60°B．80°C．90°D．100°4．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点5．若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3，r4，r6，则r3：r4：r6等于( )A．B．C．D．6．正五边形的中心角等于（ ）A．18°B．36°C．54°D．72°7．正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等分点而得，这种画法的理论依据应（）A．把圆等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正边形B．把圆等分，依次过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形C．各边相等，并且各角也相等的多边形是正多边形D．用量角器等分圆是一种简单而常用的方法二、填空题8．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上，则∠BEC=________．9．如图，⊙O的半径为1 cm，正六边形内接于⊙O，则图中阴影部分面积为_____．10．如图所示，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接六边形的面积为_____11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB 的延长线于点P，若∠P＝40°，则∠ADC＝____°．三、解答题12．在圆内接四边形中，，，的度数比是，求四边各内角的度数.13．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD，BC相交于点M，延长AB，DC 相交于点N，∠M=40°，∠N=20°，求∠A的度数.14．如图，⊙O与四边形ABCD的各边依次切于M，N，G，H．（1）猜想AB+CD与AD+BC有何数量关系，并证明你的猜想；（2）若四边形ABCD增加条件AD∥BC而成为梯形，梯形的中位线长为m，其他条件不变，试用m表示梯形的周长．15．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的位置如图所示（顶点是网格线的交点）（1）请画出△ABC向右平移2单位再向下平移3个单位的格点△A1B1C1（2）画出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2并求出旋转过程中点B到B2所经过的路径长．参考答案1．C解析：因为四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠CBE=40°，所以∠D=40°，所以∠AOC=80°. 2．C解析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°.∴圆内接四边形ABCD的四个内角之比可能是：4:3:1:2.故选C.3．D解析：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC=180°-∠B=180°-80°=100°.故选D.4．B解析：解：内心到三角形三边距离相等，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，故选：B．5．A解析：解：设圆的半径为R，则正三角形的边心距为R×cos60°．四边形的边心距为R×cos45°，正六边形的边心距为R×cos30°．∴等于．故选A．6．D解析：解：正五边形的中心角为．故选D7．A解析：正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等分点而得，这种画法的理论依据是把圆等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正边形．故选A．8．.解析：解：连接OB.OC，则∠E＝∠BOC，∵O是正方形外接圆的圆心，∴∠BOC＝90°，∴∠BEC＝∠BOC＝45°．9．解析：解：如图，连接BO，CO，OA．由题意得，△OBC，△AOB都是等边三角形，∴∠AOB＝∠OBC＝60°，∴OA∥BC，∴△OBC的面积＝△ABC的面积，∴图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积＝．故答案为10．解析：试题解析：连接AO，BO，过点O作OE⊥AB于点E，∵∠C=30°，∴∠AOB=60°，∵AO=BO，∴△AOB是等边三角形，∴AO=BO=AB=1，∴EO=sin60°×1=，，∴⊙O的内接六边形的面积为：6×=．故答案为：.11．115°解析：解：连接OC，如右图所示，由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，∴∠COB=50°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=65°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠D+∠ABC=180°，∴∠D=115°，故答案为：115°．12．四边形各内角的度数分别是，，，.解析：依题意，设，，，∴，∴.∴，，.∴.∴四边形各内角的度数分别是，，，. 13．∠A=60°.解析：∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠1=∠2=∠A.∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC=∠M+∠2，∠ABC=∠1+∠N，∴∠M+∠1+∠2+∠N=180°∵∠M=40°，∠N=20°，∠1=∠2=∠A∴∠A=60°.14．（1）AB+CD=AD+BC，证明详见解析；（2）4 m.解析：(1)AB+CD=AD+BC证明：由切线长定理，得：AM=AH，BN=BM，CN=CG，DG=DH，所以AB+CD=AM+BM+CG+DG=AH+BN+CN+DH=AD+BC，即AB+CD=AD+BC(2)AD∥BC，在梯形ABCD中，由梯形的中位线定理得，AD+BC=2m，梯形的周长=AB+CD+AD+BC=2(AD+BC)=2×2 m=4 m15．（1）如图所示；见解析；（2）=π．解析：（1）如图；（2）如图；旋转过程中，点B到B2所经过的路径长为以OB为半径，90°为圆心角的弧长，2π×3π．。

第1页共6页（人教版）九年级上第二十四章 24.3 正多边形和圆课时练学校： 姓名： 班级： 考号：一、选择题( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2.已知圆的半径是2 3,则该圆的内接正六边形的面积是 ( )A. 3B. 9C. 18D. 363. 如图,正六边形ABCDEF 内接于☉O ,若直线PA 与☉O 相切于点A ,则∠PAB= ( )A. 30°B. 35°C. 45°D. 60°4. 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为( )A. 1∶ 3B. 3∶2C. 2∶ 3D. 3∶15.一元钱硬币的直径为24 mm,则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过( ) A. 12mm B. 12 3mm C. 6mm D. 6 3mm6.圆内接四边形ABCD 中,已知∠A=70°,则∠C= ( )A. 20°B. 30°C. 70°D. 110°7. 若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( )A. 6,3 2B. 3 2,3 C. 6,3 D. 3 28. 如图，AB 是半圆的直径，点D 是AC 的中点，∠ABC ＝50°，则∠DAB 等于( )A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°9. 如图,⊙O的半径为1,△ABC是⊙O的内接等边三角形,点D,E在圆上,四边形BCDE为矩形,这个矩形的面积是( )A. 2B.C. 32D. 3210. 如图所示,要拧开一个边长是2的正六边形螺母,扳手张开的开口a的取值范围为()A. 2a<4B. a<4C. ≤a<2D. a≥2二、填空题ABC内接于☉O,AD是☉O的内接正十二边形的一边,连接CD,若CD=12,则☉O的半径为.12. 如图,由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格,正六边形的顶点为格点.已知每个正六边形的边长为1,△ABC的顶点都在格点上,则△ABC的面积是.13. 如图所示,已知正六边形ABCDEF内接于☉O,图中阴影部分的面积为123,则☉O的半径为.14. 若一个正六边形的周长为24,则该正六边形的面积为_______.第3页共6页15. 如图,一束平行太阳光线照射到正五边形上,则∠1＝________°.三、解答题60 cm 的正三角形木板上锯一块正六边形木板,那么这块正六边形木板的边长为多少?17. (10分)如图,AB 是半圆O 的直径,CD ⊥AB 于点C ,交半圆于点E ,DF 切半圆于点F.已知∠AEF=135°.(1)求证:DF ∥AB ;(2)若OC=CE ,BF=2 求DE 的长.四、作图题小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A ，B ，C ，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹).(2)若△ABC 中AB ＝8米，AC ＝6米，∠BAC ＝90°，试求小明家圆形花坛的面积.参考答案1. 【答案】C【解析】有6个中心角平分360度,所以正六边形的中心角为360°=60°.62. 【答案】C【解析】本题考查正多边形和圆,难度中等偏上.正六边形被圆的半径分成六个全等的等边三角形,等边三角形的边长是23,高为3,因而等边三角形的面积是33,∴正六边形的面积=18.答案是C.3. 【答案】A【解析】本题考查正多边形和圆、切线的性质,难度中等.连接OA,根据直线PA 为切线可得∠OAP=90°,根据正六边形的性质可得∠OAB=60°,则∠PAB=∠OAP-∠OAB=90°-60°=30°.答案是A.4. 【答案】C【解析】设正六边形的外接圆的半径为r,根据内切圆的半径是正六边形的边心r.则正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2∶3.故选C.距,得内切圆的半径为325. 【答案】A【解析】本题考查圆内接多边形问题,难度中等.根据圆内接正六边形的性质得出其边长等于圆的半径即可,故选A.6. 【答案】D【解析】本题考查圆内接四边形的性质,难度中等偏下.因为四边形ABCD是圆内接四边形,所以∠A+∠C=180°.因为∠A=70°,所以∠C=180°-70°=110°.答案是D.7. 【答案】B【解析】如图, OA, OE分别为正方形的外接圆半径和内接圆半径, 若正方形的边长为6,则对角线长为62, ∴OA=32.由垂径定理得OE=AE=3.故选B.8. 【答案】C【解析】由题意可知，AD弧的度数＝50°，所以BCD弧的度数＝180°－50°＝130°，而∠DAB＝BCD弧的度数的一半＝65°，故选C.9. 【答案】B【解析】连接BD,OC,∵四边形BCDE为矩形,∴∠BCD＝90°,∴BD为⊙O的直径,∴BD＝2.∵△ABC为等边三角形,∴∠A＝60°,∴∠BOC＝2∠A＝120°.而OB＝OC,∴∠CBD＝30°.在Rt△BCD中,CD＝12BD＝1,BC＝3CD＝3,∴矩形BCDE的面积＝BC·CD＝.故选B.10. 【答案】A【解析】如图, 连接AD,BD, 正六边形ABCDEF的边长为2.根据正六边形的性质,得AD=4,∠ABD=90°,由勾股定理得BD=23.要拧开正六边形螺母,扳手张开的开口a大于等于BD,且小于AD,即23≤a<4.故选A.11. 【答案】612. 【答案】213.【答案】414. 【答案】24315. 【答案】3016.17. 【答案】由题意知,RF=FG=GH.明显EF平行于BC,角A等于60度,则三角形AFE是正三角形.EF=AF,同理BG=GH=FG.所以G,F是AB边的三等分点.所以正六边形的边长为20cm.18.(1) 【答案】连接OF,∵DF切半圆O于点F,∴DF⊥OF.∵∠AEF=135°,四边形ABFE为圆内接四边形,∴∠B=45°.∴∠FOB=90°,∴AB⊥OF,又CD⊥AB,DF切半圆O于点F,∴四边形DFOC为矩形,∴DF∥AB.(2) 【答案】连接OE,∵BF=22,∠FOB=90°,第5页共6页∴OB=OF=2.∵OC=CE,CE⊥AB,OE=OF=2,∴CE=.∵DC∥OF,DF∥AB,∴DC=OF=2.∴DE=DC-CE=2-2.19.(1) 【答案】用尺规作出两边的垂直平分线(2分)作出圆(3分)⊙O即为所求作的花园的位置(2) 【答案】∵∠BAC＝90°，AB＝8米，AC＝6米，∴BC＝10米∴△ABC外接圆的半径为5米(5分)∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米.(6分)。

人教版九年级数学上册24.3 正多边形和圆课时训练一、选择题1. 正八边形的中心角是()A．45°B．135°C．360°D．1080°2. 下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是()A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形3. (2019•贵阳)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是A．30°B．45°C．60°D．90°4. 2019·安徽月考如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A作⊙O的切线交对角线DB的延长线于点F，则下列结论不成立的是()A．AE∥BF B．AF∥CDC．DF＝3AF D．AB＝BF5. 若正方形的外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为()A. 2 B．2 2 C.22D．16. 已知正六边形的半径为r ，则它的边长、边心距、面积分别为( ) A.233r ，r ，3r 2 B ．r ，r2，23r 2 C.33r ，r ，3r 2D ．r ，3r 2，332r 27. 以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边长作三角形，则该三角形的面积是 ( ) A.38B.34C.24D.288. 如图，将两张完全相同的正六边形纸片(边长为2a )重合在一起，下面一张纸片保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a 个单位长度，则空白部分与阴影部分的面积之比是( )A ．5∶2B ．3∶2C ．3∶1D ．2∶19. 如图0，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接正三角形ABC ，甲、乙两人的作法分别如下：A ．甲对，乙不对B ．甲不对，乙对C．两人都对D．两人都不对10. 如图是由7个全等的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，设定AB边如图所示，则使△ABC是直角三角形的格点有()A．10个B．8个C．6个D．4个二、填空题11. 一个圆内接正六边形的边长为2，那么这个正六边形的边心距为________．12. 如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为________cm.13. 如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM ＝________°.14. 如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形，则原来的纸带宽为________．15. (2019•扬州)如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且B C是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=_ _________．16. 如图，AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，而BC恰好是⊙O内接正n边形的一边，则n等于________．17. 如图为一个半径为4 m的圆形场地，其中放有六个宽为1 m的长方形临时摊位，这些摊位均有两个顶点在场地边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为__________m.三、解答题18. 如图，在正六边形ABCDEF中，点O是中心，AB＝10，求这个正六边形的半径、边心距、周长、面积．19. 如图2，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.(1) 求图①中∠MON的度数；(2) 图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．20. 如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五等分点，连接AC，CE，EB，BD，DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH.(1)计算∠CAD的度数；(2)连接AE，求证：AE＝ME.人教版九年级数学上册24.3 正多边形和圆课时训练-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】A[解析] ∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3＝120°，正方形一条边所对的圆心角是360°÷4＝90°，正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5＝72°，正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6＝60°，∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形．故选A.3. 【答案】 A【解析】∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD=(62)1806-⨯︒=120°，BC=CD，∴∠CBD=12(180°-120°)=30°，故选A．4. 【答案】C5. 【答案】A[解析] 如图所示，连接OA，OE.∵AB是小圆的切线，∴OE⊥AB.∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝OE.在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2＝AE2＋OE2，∴22＝AE2＋OE2，∴OE＝ 2.故选A.6. 【答案】D7. 【答案】D[解析] 如图①，∵OC＝1，∴OD＝1 2；如图②，∵OB ＝1，∴OE ＝22；如图③，∵OA ＝1，∴OD ＝32，则该三角形的三边长分别为12，22，32. ∵(12)2＋(22)2＝(32)2，∴该三角形是以12，22为直角边长，32为斜边长的直角三角形，∴该三角形的面积是12×12×22＝28. 故选D.8. 【答案】C[解析] 正六边形的面积＝6×34×(2a )2＝6 3a 2，阴影部分的面积＝a ·2 3a ＝2 3a 2，∴空白部分与阴影部分的面积之比是＝6 3a 2∶2 3a 2＝3∶1.9. 【答案】C[解析] 由甲的作法可知连接OB ，BD ，OC ，CD 后，OB ＝BD ＝OD＝OC ＝CD ，所以△BOD 和△COD 都是等边三角形，四边形OBDC 是菱形，所以∠BOC ＝120°，则∠BAC ＝60°.因为四边形OBDC 是菱形，所以AD ⊥BC ，AD 平分BC ，所以AB ＝AC ，所以△ABC 是等边三角形，所以他的作法是正确的．由乙的作法可知∠BOC ＝120°，所以∠BAC ＝60°.又因为AD ⊥BC ，所以AD 平分BC ，所以AB ＝AC ，所以△ABC 是等边三角形，所以他的作法是正确的．故选C.10. 【答案】A[解析] 如图，当AB 是直角边时，点C 共有6个位置，即有6个直角三角形；当AB 是斜边时，点C 共有4个位置，即有4个直角三角形． 综上所述，使△ABC 是直角三角形的格点有6＋4＝10(个)．故选A.二、填空题11. 【答案】 312. 【答案】25【解析】如解图，取圆心为O，连接OA、OC，OC交AB于点D，则OC⊥AB.设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝r，又∵CD＝10，∴OD＝r－10，∵AB＝40，OC⊥A B，∴AD＝20.在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝202＋(r－10)2，解得r＝25，即脸盆的半径为25 cm.13. 【答案】48[解析] 连接AO，则有∠AOM＝13×360°＝120°，∠AOB＝15×360°＝72°，∴∠BOM＝∠AOM－∠AOB＝120°－72°＝48°.14. 【答案】3[解析] 边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，所以原来的纸带宽度为 3.15. 【答案】15【解析】如图，连接OB，∵AC是⊙O的内接正六边形的一边，∴∠AOC=360°÷6=60°，∵BC 是⊙O 的内接正十边形的一边，∴∠BOC=360°÷10=36°， ∴∠AOB=60°–36°=24°，即360°÷n=24°，∴n=15，故答案为：15．16. 【答案】12[解析] 连接OA ，OB ，OC ，如图．∵AB ，AC 分别为⊙O 的内接正四边形与内接正三角形的一边， ∴∠AOB ＝90°，∠AOC ＝120°， ∴∠BOC ＝∠AOC －∠AOB ＝30°，∴n ＝360°30°＝12，即BC 恰好是⊙O 内接正十二边形的一边．17. 【答案】－3＋3 72[解析] 设圆心是O ，连接OA ，OB ，过点O 作OC ⊥BC 于点C ，交AD 于点D .设长方形摊位的长是2x m ．在Rt △OAD 中，∠AOD ＝30°，AD ＝x m ，则OD ＝3x m.在Rt △OBC 中，由勾股定理，得OC ＝16－x 2 m.∵OC －OD ＝CD ＝1 m ， ∴16－x 2＝3x ＋1，解得x ＝－3＋3 74(负值已舍去)，则2x ＝－3＋3 72， ∴长方形摊位的长为－3＋3 72m.三、解答题18. 【答案】解：连接OB ，OC ，过点O 作OH ⊥BC 于点H.∵正六边形的中心角为360°6＝60°，OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴半径R ＝OB ＝BC ＝AB ＝10.∵OH ⊥BC ，∴∠BOH ＝30°，∴BH ＝12OB ＝5. 在Rt △OBH 中，边心距r ＝OH ＝102－52＝5 3，周长l ＝6AB ＝6×10＝60. ∵S △OBC ＝12BC·OH ＝12×10×5 3＝25 3， ∴正六边形的面积S ＝6S △OBC ＝6×25 3＝150 3.19. 【答案】解：(1)方法一：连接OB ，OC . ∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴∠OBM ＝∠OCN ＝30°，∠BOC ＝120°. 又∵BM ＝CN ，OB ＝OC ，∴△OBM ≌△OCN ，∴∠BOM ＝∠CON ， ∴∠MON ＝∠BOC ＝120°. 方法二：连接OA ，OB . ∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴AB ＝BC ，∠OAM ＝∠OBN ＝30°，∠AOB ＝120°. ∵BM ＝CN ，∴AM ＝BN .又∵OA ＝OB ，∴△AOM ≌△BON ，∴∠AOM ＝∠BON ，∴∠MON ＝∠AOB ＝120°. (2)90° 72° (3)∠MON ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360n °.20. 【答案】解：(1)∵A ，B ，C ，D ，E 是⊙O 上的五等分点， ∴∠COD ＝360°5＝72°，11 / 11 ∴∠CAD ＝12∠COD ＝36°.(2)证明：∵A ，B ，C ，D ，E 是⊙O 上的五等分点，∴CD ︵＝DE ︵＝AE ︵＝AB ︵＝BC ︵，∴∠DAE ＝∠AEB ＝∠CAD ＝36°，∴∠MAE ＝72°，∴∠AME ＝180°－∠MAE －∠AEB ＝72°＝∠MAE ，∴AE ＝ME.。

人教版数学九年级上册同步课时训练第二十四章 圆 24.3 正多边形和圆一、选择题1. 如果一个正多边形的一个内角为135°，则这个正多边形为( )A. 正八边形B. 正九边形C. 正七边形D. 正十边形 2. 正多边形的一边所对的中心角与该多边形的一个内角的关系为( )A. 两角互余B. 两角互补C. 两角互余或互补D. 不能确定 3. 下列命题中，是假命题的是( ) A. 各边相等的圆内接多边形是正多边形 B. 各角相等的圆内接多边形是正多边形 C. 圆内接正五边形的五个顶点把圆五等分D. 一个外角大于一个内角的正多边形一定是正三角形4. 在正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，既是轴对称又是中心对称的图形有( )A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种 5. 若正六边形的半径长为4，则它的边长等于( )A. 4B. 2C. 2 3D. 4 3 6. 已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为( )A. 2 3B. 33C. 4 3D. 6 3 7. 一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是( ) A. 2 B. 3 C. 1 D. 128. 将一个边长为a 的正方形硬纸板剪去四个角，使其成为一个正八边形，则正八边形的面积为( )A. (22－2)a 2B. 79a 2C. 22a 2 D. (3－22)a 29. 如图所示，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内切圆，则A 1B 1AB的值为( )A. 12B. 22C. 14D. 2410. 若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和等于 . 11. 一个正多边形的每一个内角都是144°，则正多边形的中心角是 ，它是正 边形. 12. 如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，点F 在CD ︵上，则∠BFE 的度数为 .第12题 第13题13. 如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点为格点.已知每个正六边形的边长为1，△ABC 的顶点都在格点上，则△ABC 的面积是 .14. 如图，半径为R 的圆绕边长为2πR 的正六边形的外边作无滑动滚动，绕完正六边形后，圆一共转了 圈.第14题 第15题15. 如图，边长为 a 的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则S 阴影S 空白＝ .16. 蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上.设定AB 边如图所示，则△ABC 是直角三角形的个数有 .17. 在如图所示的圆中，画出你喜欢的两个不同的圆内接正多边形.(画图工具不限，但要保留画图痕迹)18. 如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为123，求⊙O的半径.19. 如图所示，要把边长为6的正三角形的大理石砖锯去三个角，得到一个正六边形，求这个正六边形的边长和这个正六边形的内切圆的半径.20. 已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形.21. 如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙O，四边形EFGH是正方形，连接OF，OG.(1)求正方形EFGH的面积；(2)求∠OGF的度数.22. 如图所示，图①，②，③，…，○n，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.(1)求图①中∠MON的度数；(2)图②中∠MON的度数是，图③中∠MON的度数是；(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系.(直接写出答案)1. A2. B3. B4. C5. A6. B7. B8. A9. B10. 1800°11. 36° 十 12. 72° 13. 2 3 14. 6 15. 5 16. 10个 17. 略18. 解：连接OB ，OD ，作OG ⊥BD ，垂足为G ，∴∠OGD ＝90°.设OB ＝OD ＝R (R ＞0)，∵∠BFD ＝60°，∴∠BOD ＝2∠BFD ＝120°.∴∠DOG ＝60°.∴∠ODG ＝30°.在Rt △ODG 中，∠OGD ＝90°，OD ＝R ，∠ODG ＝30°，∴OG ＝12OD ＝12R .由勾股定理，得GD ＝OD 2－OG 2＝R 2－（12R ）2＝32R .∴BD＝2GD ＝3R ，∴S △BDF ＝3S △BDO ＝3×(12BD ×OG )＝3×(12×3R ×12R )＝343R 2.又∵S △BDF ＝123，∴343R 2＝12 3.∴R ＝4.∴⊙O 的半径为4.19. 解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝AC ，∵六边形DEFGHL 是正六边形，∴∠EDL ＝120°，∴∠ADL ＝60°.∴△ADL 是等边三角形，同理△BEF ，△CGH 均为等边三角形，∴AD ＝DE ＝BE ，∴正六边形的边长为2.设正六边形的对角线的交点是O ，连接OD ，OL ，则∠DOL ＝60°，△ODL 是等边三角形，过O 作OM ⊥DL ，垂足为M ，OM 为正六边形内切圆的半径，∴OM ＝OD 2－DM 2＝22－1＝3，∴正六边形的内切圆的半径为 3.20. 解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB ＝120°，∠BOC ＝120°；(2)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形.方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC ＝120°；(2)在⊙O 上用圆规截取AC ＝AB ；(3)连接AC ，BC ，AB ，则△ABC 为圆内接正三角形.方法三：(1)作直径AD ；(2)以D 为圆心，OD 长为半径画弧，交⊙O 于B ，C ；(3)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形.方法四：(1)作直径AE ；(2)分别以A ，E 为圆心，OA 长为半径画弧与⊙O 分别交于点D ，F ，B ，C ；(3)连接AB ，BC ，CA (或连接EF ，ED ，DF )，则△ABC (或△EFD )为圆内接正三角形.21. 解：(1)连接OE ，易知∠EOF ＝60°，△EOF 为等边三角形，∴EF ＝OE ＝5，∴正方形EFGH 的面积是25.(2)由△EOF 为等边三角形，得∠OFE ＝60°，OF ＝EF ，∵四边形EFGH 是正方形，∴EF ＝GF ，∠GFE ＝90°，∴∠GFO ＝150°.又OF ＝GF ，∴∠OGF ＝∠FOG ＝15°.22. 解：(1)连接OB ，OC ，则OB ＝OC ，∠MBO ＝∠NCO .又∵BM ＝CN ，∴△OMB ≌△ONC ，∴∠OMB ＝∠ONC .∴∠OMB ＋∠ONB ＝180°，由四边形的内角和是360°，得∠B ＋∠MON ＝180°，又∵∠B ＝60°，∴∠MON ＝120°. (2)90° 72°(3)∠MON ＝360°n . 提示：由以上探究可知，四边形OMBN 中，∠B ＋∠MON ＝180°.∵正n 边形内角和为(n －2)·180°，∴正n 边形的每个内角＝（n －2）180°n ，∴∠MON ＝180°－（n －2）180°n ＝360°n.。

《正多边形和圆》课时练习（附答案）一、本节学习指导本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质，在命题中正多边形经常和三角形、圆联合命题，部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。

二、知识要点1、正多边形（1）、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。

（2）、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

（3）、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

（4）、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

（5）、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

（6）、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

2、正多边形的对称性（1）、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。

一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

（2）、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

（3）、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

一、课前预习 (5分钟训练)1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )A.3∶2∶1B.4∶3∶2C.4∶2∶1D.6∶4∶33.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.4.中心角是45°的正多边形的边数是__________.5.已知△ABC 的周长为20,△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4,那么BC=__________.二、课中强化(10分钟训练)1.若正n 边形的一个外角是一个内角的32时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 2.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( ) A.26 B.43 C.36 D.34 3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是( )A.S 3>S 4>S 6B.S 6>S 4>S 3C.S 6>S 3>S 4D.S 4>S 6>S 34.已知⊙O 和⊙O 上的一点A(如图2.6-1).(1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)在(1)题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边.图2.6-1三、当堂巩固(30分钟训练) 1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( ) A.63 B.43 C.332 D.33 2.已知正多边形的边心距与边长的比为21，则此正多边形为( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形3.已知正六边形的半径为3 cm ，则这个正六边形的周长为__________ cm.4.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度.5.如图2.6-2，两相交圆的公共弦AB为23，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.图2.6-26.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.7.如图2.6-3，在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？图2.6-38.如图2.6-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).图2.6-49.用等分圆周的方法画出下列图案：图2.6-510.如图2.6-6(1)、2.6-6(2)、2.6-6(3)、…、2.6-6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.图2.6-6(1)求图2.6-6(1)中∠MON的度数；(2)图2.6-6(2)中∠MON的度数是_________，图2.6-6(3)中∠MON的度数是_________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化 思路解析：由题意知圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正n 边形的边长也扩大一倍，所以相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比没有变化.。

九年级数学上册24-3《正多边形与圆》基础课时练习题（含答案）1、正十边形的中心角等于度．2、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为DE⌢上的一点(点P不与点D重合)，则∠CPD的度数为()A. 30°B. 36°C. 60°D. 72°3、已知一个正六边形的外接圆半径为2，则这个正六边形的周长为．4、若正六边形的边长为2，则它的半径为．5、若正六边形的内切圆半径为3，则其外接圆半径为．6、若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）．A. √2B. 2√2C. √2D. 127、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M是边CD的中点，连接AM，若⊙O的半径为2，则AM=．8、一个正方形的内切圆半径，外接圆半径与这个正方形边长的比为．9、如图，⊙O的外切正八边形ABCDEFGH的边长2，则⊙O的半径为（）．A. 2B. 1+√2C. 3D. 2+√210、从一个半径为10的圆形纸片上裁出一个最大的正六边形，此正六边形的边长是（）．A. 10B. 5√2C. 5√3D. 10√311、圆内接正八边形，一边所对的圆心角为．12、如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是．13、一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的一个外角度数是．14、若正六边形的边长为2，则它的面积为．15、半径为5的圆内接正六边形的边心距为．16、若一个正多边形的一个外角为60°，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是．17、如图，⊙O的半径为6，如果弦AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正十二边形的一边，那么弦BC的长为．18、ABCDE是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为．19、如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48√3，试求正六边形的周长．20、已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径是，扇形AOB的面积．1 、【答案】36;【解析】正十边形的中心角等于：360∘10=36∘．故答案为：36．2 、【答案】 B;【解析】解：如图，连接OC，OD，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠COD=360°5=72°，∴∠CPD=12∠COD=36°．故选：B．3 、【答案】12;【解析】如图所示，连接OB、OC，∵此六边形是正六边形，∴∠BOC=360°6=60°，∵OB=OC=2，∴△BOC是等边三角形，∴OB=OC=BC=2，所以正六边形周长=6×2=12．4 、【答案】2;【解析】如图所示，连接OB、OC，∵此六边形是正六边形，∴∠BOC=360°6=60°，∵OB=OC，∴△BOC是等边三角形，∴OB=OC=BC=2，∴它的半径为2，故答案为2．5 、【答案】2√3;【解析】如图，连接OA，OB，作OG⊥AB于G，则OG=2，∵六边形ABCDEF正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB=60°，∴OA=OGsin⁡60°=√32=2√3，∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为2√3．6 、【答案】 A;【解析】方法一 : 如图所示，连接OA、OE，∵AB是小圆的切线，∴OE⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AE=OE，∴△AOE是等腰直角三角形，OA=√2．∴OE=√22方法二 : 如图 :由“正方形的外接圆半径为2”可得OB=2，∠OBC=45°，由切线性质可得∠OCB=90°，所以△OBC为等腰直角三角形，由勾股定理得OC2+BC2=OB2．OB=√2．所以OC=√227 、【答案】√13;【解析】连接OM，AD，过M 作MN ⊥AD 交AD 于点N ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴∠CDO =60°，∵M 为CD 中点，∴∠OMD =90°，∴∠DOM =30°，DM =CM =1，∴OM =√3，在Rt △OMN 中，MN =√32，ON =32， ∴AN =AO +ON =2+32=72，MN =√32， ∴在Rt △AMN 中，AM =√AN 2+MN 2=√(72)2+(√32)2=√13．8 、【答案】 1:√2:2;【解析】 如图所示，设正方形边长a ，连接OA 、OB ，过O 作OE ⊥AB ，∵∠AOB =360°4=90°，OA =OB ，∴∠AOE=12∠AOB=12×90°=45°，∴AE=OE=a2，OA=AEsin⁡45°=a2√22=√22a，∴内切圆半径、外接圆半径与这个正方形边长的比为：OE:OA:AB=a2:√22a:a=1:√2:2，故答案为：1:√2:2．9 、【答案】 B;【解析】设DE与⊙O相切于点N，连接OD、OE、ON，作DM⊥OE于M，如图所示：则ON⊥DE，DE=2，OD=OE，∠DOE=360°8=45°，∵DM⊥OE，∴△ODM是等腰直角三角形，∴DM=OM，OE=OD=√2DM，设OM=DM=x，则OD=OE=√2x，EM=OE−OM=(√2−1)x，在Rt△DEM中，由勾股定理得：x2+(√2−1)2x2=22，解得：x2=2+√2，∵△ODE的面积=12DE×ON=12OE×DM，∴ON=OE×DMDE =√2x22=√2(2+√2)2=√2+1，即⊙O的半径为：1+√2．故选B．10 、【答案】 A;【解析】∵圆内接正六边形的边长等于圆的半径，∴一个半径为10的圆形纸片上裁出一个最大的正六边形，此正六边形的边长为10．故选A．11 、【答案】45°;=45°．【解析】正八边形，即圆被8等分，圆心角度数为360°812 、【答案】72°;【解析】∵五边形ABCDE为正五边形，(5−2)×180°=108°，∴∠ABC=∠C=15∵CD=DB，(180°−108°)=36°，∴∠CBD=12∴∠ABD=∠ABC−∠CBD=72°．故答案为：72°．13 、【答案】40°;【解析】∵正多边形一个中心角为40°，∴正多边形的边数为：360°÷40°=9，∴正九边形每个外角为：360°÷9=40°．故答案为：40°．14 、【答案】6√3;【解析】如图：O点为正六边形的中心，AB为正六边形其中一个边长，过点O向AB作垂线，垂足为G，∵此多边形为正六边形，=60°，∴∠AOB=360°6∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∴OG=OA⋅cos⁡30°=2×√32=√3，∴S△OAB=12×AB×OG=12×2×√3=√3，∴S六边形=6S△OAB=6×√3=6√3．15 、【答案】5√32;【解析】如图连接对角线可知过O作OH⊥CD，∠OCD=3606=60°，∵OC=OD，∴△OCD为等边三角形，又∵OC=5，OH⊥CD，∴CH=12CD=52，在Rt△CHO中由勾股定理得OH=√OC2−CH2=5√32，∴边心距为5√32．16 、【答案】√3或√3:2;2【解析】设该正多边形为正n边形，则(n−2)⋅180=120n，解得n=6，r，设正六边形外接圆半径为r，则内切圆半径是正六边形的边心距√32．∴两者之比为√3217 、【答案】6√3;【解析】连接OA，OB，OC，过O作OH⊥BC于H，BC，∴∠OHB=90°，CH=BH=12∵AB是⊙O内接正方形的一边，AC是⊙O内接正十二边形的一边，∴∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠COB=∠AOB+∠AOC=120°，∵OC=OB=6，∴∠OCB=∠OBC=30°，在Rt△OBH中，∠OBH=30°，OB=3，∴OH=12∴BH=√OB2−OH2=3√3，∴BC=2BH=6√3．π;18 、【答案】14，【解析】联结切点F与圆心O，则OE2−OF2=EF2=14∴S环=π(OE2−OF2)=14π．19 、【答案】正六边形的周长为48．;【解析】连接OA，作OH⊥AE于点H，则∠OAH=30°，在Rt△OAH中，设OA=R，则OH=12R，由勾股定理可得AH=√OA2−OH2=√R2−(12R)2=√32R，∴3√34R2=48√3，∴R=8．故正六边形的周长为48．20 、【答案】√3;23π;【解析】如图，连接OA、OB，OG，∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=2，∴OG=OA⋅sin⁡60°=2×√32=√3，∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为√3，S扇形OAB=60360π⋅22=23π．。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第24章圆24.3正多边形和圆一、选择题1．一个正八边形中最长的对角线等于a，最短的对角线等b，则这个正八边形的面积为（）A．a2+b2B．a2﹣b2C．a+b D．ab2．O的内接多边形周长为O的外切多边形周长为，则下列各数中与此圆的周长最接近的是()A．p B．2p C．3p D．4p3．下列命题：①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；②在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；③在同圆或等圆中如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；④圆内接四边形的对角互补．其中正确的命题共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=40°，点C是⊙O上不同于A，B的任意一点，则∠ACB的度数为（）A．70°B．40°C．110°D．70°或110°5．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的点，则∠BPC的度数是（）A．65°B．115°C．115°或65°D．130°或65°6．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是()A ．弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长B ．弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长C ．AC ＝BCD ．∠BAC ＝30°7．如图，边长为4的正六边形ABCDEF 的中心与坐标原点O 重合，AF ∥x 轴，将正六边形ABCDEF 绕原点O 顺时针旋转n 次，每次旋转60°，当n ＝2020时，顶点A 的坐标为（）A ．（﹣2，）B ．（﹣2，﹣）C ．（2，﹣）D ．（2，）8．如图，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，则下列结论正确的有（）①弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长；②弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长；③AC ＝BC ；④∠BAC ＝30°．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在O 中，点A ，B ，C 在O 上，且100ACB °Ð=，则a Ð=（）A ．80°B ．100°C ．120°D ．160°10．如图，AB 是半圆O 的直径，20BAC =°∠，则D Ð的度数是（）A ．70°B ．100°C ．110°D ．120°二、填空题11．一条弦所对的圆心角的度数为95°，这条弦所对的圆周角的度数为______．12．若正八边形的边长为2，则此正八边形的面积是______．13．如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，若20ADB Ð=°，则这个正多边形的边数为__．14．如图，在扇形AOB 中，点C 、D 在AB 上，连接AD 、BC 交于点E ，若120AOB Ð=°，CD 的度数为50°，则AEB Ð=_____°．15．如图所示，A 、B 、C 、D 是一个正n 边形的顶点，O 为其中心，若∠ADB =18°，则n =____．三、解答题16．如图，在三角形ABC 中，∠C =90°，I 是内心，直线BI 与AC 交于点D ，过点D 作DE //AI 与BC 交于点E ，直线EI 与AB 交于点F ．证明：DF ⊥AI ．17．如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径4,OC OG BC =^，垂足为G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．18．如图，正六边形ABCDEF 的中心为原点O ，顶点,A D 在x 轴上，半径为2cm ．求其各个顶点的坐标．19．如图，O 的半径为R ，求O 的内接正六边形、O 的外切正六边形的边长比:AB A B ¢¢和面积比:S S 内外．20．已知等腰ABC 中，AB ＝AC ．（1）如图1，若O 为ABC 的外接圆，求证：AO BC ^；（2）如图2，若10AB AC ==，12BC =，I 为ABC 的内心，连接IC ，过点I 作ID BC ∥交AC 于点D ，求ID 的长．21．已知A 、B 、C 、D 四点在同一圆上，请仅用无刻度直尺完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）（1）如图①，AB ＝CD ，在图①中作出该圆的一条直径；（2）如图②，AB 、BC 、CD 是圆内接正五边形的三条边，在图②中作出该圆的圆心．22．如图，六边形ABCDEF 是O 的内接正六边形．（1）求证：在六边形ABCDEF 中，过顶点A 的三条对角线四等分BAF Ð．（2）设O 的面积为1S ，六边形ABCDEF 的面积为2S ，求12S S的值．23．如图M 、N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCDEFG…的边AB 、BC 上的点，且BM ＝CN ，连接OM 、ON（1）求图1中∠MON 的度数（2）图2中∠MON 的度数是，图3中∠MON 的度数是（3）试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系是____参考答案1．D 2．C 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B 8．C 9．D 10．C 11．47.5°或132.5°．12．413．九14．14515．1016．证明：∵AID Ð是ABI △的外角，∴114522AID BAI ABI BAC ABC Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°，∵//DE AI ，∴EDI AID Ð=Ð，而1452ECI ACB EDI Ð=Ð=°=Ð，∴E 、C 、D 、I 四点共圆，∴18090DIE ACB Ð=°-Ð=°，∴90DIF Ð=°，又9045AIF AID FAI DAI Ð=°-°=ÐÐ=Ð，，AI =AI ，∴△ADI ≌△AFI (ASA )，∴AD AF =，即ADF 是等腰三角形，且AI 是顶角的角平分线，∴DF AI ^．17．解：连接OD ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴360606COD °Ð==°．∵OC OD =，∴COD △为等边三角形．∴4CD OC ==，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴4BC =，∵OG BC ^，∴114222CG BC ==´=，在Rt COG 中，由勾股定理得：∴OG ===∴正六边形ABCDEF 的中心角为60°，边长为4，边心距为18．解：过点E 作EG ⊥x 轴，垂足为G ，连接OE ，∵OE=OD ，∠EOD =360606°=°，∴△OED 是正三角形，∠EOG ＝60°，∠OEG ＝30°，∵OE ＝2cm ，∠OGE ＝90°，∴OG ＝12OE ＝1cm ，EG cm ，点E 的坐标为（1），又由题意知点D 的坐标为（2，0），由图形的对称性可知A （－2，0），B （－1），C （1），F （－1）．故这个正六边形ABCDEF 各个顶点的坐标分别为A （－2，0），B （－1，），C （1，），D （2，0），E （1），F （－1）．19．解：连接OC OD OC OD ¢¢、、、，如下图：由正多边形的性质可得：60DOC D OC ¢¢Ð=Ð=°，OD OC =，OC OD ¢¢=∴OCD OC D ¢¢△、△为等边三角形∴OD OC CD R ===，C D OC OD ¢¢¢¢==由题意可得：OD C D ¢¢⊥，∴30C OD ¢Ð=°设'C D x =，则2OC x ¢=，由勾股定理得222(2)x R x +=解得3x R =，3C D OC OD R ¢¢¢¢===::2AB A B CD C D ¢¢¢¢==∵30C OD ¢Ð=°∴1302COC COD C OD COD ¢¢Ð=Ð-Ð=°=Ð，OH 为COD Ð的角平分线∴OH CD^在Rt ODH △中，30DOH Ð=°，OD R =，解得2=OH R2124DOC S CD OH R =´=△，2123D OC S C D OD R ¢¢¢¢=´△22:6:3:4:436DOC D OC S S S R R S ¢¢===△外△内故:2AB A B ¢¢=；:4:3S S =外内20．（1）证明：连接OB 、OC ，∵AB ＝AC ，∴A 在BC 的垂直平分线上又∵OB ＝OC ，∴O 也在BC 的垂直平分线上∴AO BC ^（2）连接AI 并延长交BC 于点F ，过点I 分别作IG AC ^于点G ，IH AB ^于点H∵AB AC =，I 为ABC 的内心，∴AF BC ^，6BF CF ==，∴8AF ==设IH IF IG r ===，由ABC ABI BCI ACIS S S S =++V V V V 可得：()1110101212822r ++×=´´∴3r =设CF CG a ==，则10AH AG a ==-，12BF BH a==-∴101210a a -+-=解得：6a =即6CG =∵ID BC ∥，CI 平分,ACB Ð∴123Ð=Ð=Ð∴设ID DC x ==，6DG x=-在Rt IGD △中，222IG GD ID +=∴()22236x x +-=解得：154x =∴154ID =21．解：（1）如图，EF 即为所求；（2）如图，点O即为所求．22．解：（1）连接AE，AD，AC，∵六边形ABCDEF是O的内接正六边形，∴EF=ED=CD=BC，∴∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，即过顶点A的三条对角线四等分BAFÐ；（2）过点O作OG⊥DE于G，连接OE，设圆O的半径为r，∴EF=BC=ED=r，AD=2r，在正六边形ABCDEF中，∠OED=∠ODE=60°，∴∠EOG=30°，r，∴EG=12r，∴OG=2∴正六边形ABCDEF 的面积=1622r r ´´=22r ，圆O 的面积=2r p ，∴12S S2．23．（1）如图，连接OB 、OC ，则OC OB =，ABC 是O 内接正三角形，\中心角3603120BOC °Ð==°，∵点O 是O 内接正三角形ABC 的内心，∴1130,3022OBM ABC OCN ACB Ð=Ð=°Ð=Ð=°，∴OBM OCN Ð=Ð，在OMB △和ONC 中，BM CN OBM OCN OB OC =ìïÐ=Ðíï=î，∴()OMB ONC SAS @，∴BOM CON Ð=Ð，∴120MON BON BOM BON CON BOC Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，故答案为：120°；（2）如图1，连接OB 、OC ，四边形ABCD 是O 内接正方形，\中心角360904BOC °Ð==°，同（1）的方法可证：90MON BOC Ð=Ð=°；如图2，连接OB 、OC ，五边形ABCDE 是O内接正五边形，\中心角360725BOC °Ð==°，同（1）的方法可证：72MON BOC Ð=Ð=°，故答案为：90°，72°；（3）由上可知，MON Ð的度数与正三角形边数的关系是3603MON °Ð=，MON Ð的度数与正方形边数的关系是3604MON °Ð=，MON Ð的度数与正五边形边数的关系是3605MON °Ð=，归纳类推得：MON Ð的度数与正n 边形边数n 的关系是360MON n°Ð=，故答案为：360MON n °Ð=．。

2018年九年级上24.3正多边形和圆课时练（人教版附答案）（人教版）九年级上第二十四 243 正多边形和圆时练学校姓名班级考号评卷人得分一、选择题1 正六边形的中心角的度数是 ( )A 30°B 45° c 60° D 90°2已知圆的半径是2√3,则该圆的内接正六边形的面积是 ( )A 3√3B 9√3 c 18√3 D 36√33 如图,正六边形ABcDEF内接于☉,若直线PA与☉相切于点A,则∠PAB= ( )A 30°B 35° c 45° D 60°4 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为( )A 1∶√3B √3∶2 c 2∶√3 D √3∶15一元钱硬币的直径为24 ,则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过 ( )A 12B 12√3 c 6 D 6√36圆内接四边形ABcD中,已知∠A=70°,则∠c= ( )A 60°=30°答案是A4 【答案】c【解析】设正六边形的外接圆的半径为r,根据内切圆的半径是正六边形的边心距,得内切圆的半径为√3/2r则正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2∶√3故选c5 【答案】A【解析】本题考查圆内接多边形问题,难度中等根据圆内接正六边形的性质得出其边长等于圆的半径即可,故选A6 【答案】D【解析】本题考查圆内接四边形的性质,难度中等偏下因为四边形ABcD是圆内接四边形,所以∠A+∠c=180°因为∠A=70°,所以∠c=180°-70°=110°答案是D7 【答案】B【解析】如图, A, E分别为正方形的外接圆半径和。