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资料的统计分析——双变量及多变量分析双变量及多变量分析是指在统计分析中，同时考察两个或多个变量之间的关系。
通过对多个变量进行综合分析，可以更全面地了解变量之间的相互作用和影响。
双变量分析是指考察两个变量之间的关系，常用的方法包括相关分析和回归分析。
相关分析是用来评价两个变量之间的线性关系的强度和方向。
常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于两个变量都为连续型变量的情况，而斯皮尔曼相关系数适用于至少一个变量为有序分类变量或者两个变量都为有序分类变量的情况。
回归分析是用来探究一个变量（因变量）与一个或多个变量（自变量）之间的关系的强度和方向。
常用的回归分析方法有简单线性回归分析和多元线性回归分析。
简单线性回归分析是用来研究一个自变量与一个因变量之间的线性关系的情况，而多元线性回归分析则可以同时研究多个自变量与一个因变量之间的关系。
在进行双变量分析之前，需要先进行数据的描述性分析。
描述性分析是对数据的基本特征进行总结和描述，包括样本数量、均值、方差、最小值、最大值等。
多变量分析是指同时考虑多个变量之间的关系。
常用的方法包括多元方差分析、聚类分析和因子分析。
多元方差分析是用来比较多个因素对于一个或多个因变量的影响的强度和方向。
聚类分析是用来将样本按照其中一种相似度划分为不同的群组，从而研究变量之间的内部关系。
因子分析是用来探究多个变量之间的潜在结构，从而找出变量之间的共性和差异。
除了以上方法，还可以采用交叉表分析、卡方检验和回归分析等方法来研究多个变量之间的关系。
在进行双变量及多变量分析时，需要注意以下几个问题：首先，需要选择合适的统计方法，根据变量的类型和变量之间的关系特点来选择合适的分析方法。
其次，需要注意变量之间的相关性，避免多重共线性的问题。
此外，还需要注意样本的选择和样本量的大小，以及结果的解释和推断的注意事项。
总之，双变量及多变量分析是一种重要的统计方法，可以帮助我们更全面地了解变量之间的相互作用和影响。
双变量问题处理技巧双变量问题处理技巧双变量问题是指涉及两个变量之间的关系或相互影响的问题。
在许多领域中，如统计学、经济学和社会科学等，研究人员经常遇到需要处理双变量问题的情况。
下面将介绍一些处理双变量问题的技巧。
1. 散点图分析：散点图是一种常用的数据可视化方法，可以用来展示两个变量之间的关系。
通过绘制散点图，可以观察到变量之间的相关性，包括线性关系、非线性关系或者无关系。
根据散点图的形状和趋势，可以判断变量之间的关系类型，并进一步分析相关性的强度。
2. 相关性分析：相关性分析用于度量两个变量之间的相关性程度。
常用的相关性系数包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于线性关系的变量，而斯皮尔曼相关系数适用于非线性关系的变量。
相关性分析可以帮助我们了解两个变量之间的关系强度和方向。
3. 线性回归分析：线性回归分析是一种用于建立两个变量之间线性关系的模型。
通过拟合数据点到一条直线或曲线上，可以建立一个数学模型来预测或解释一个变量对另一个变量的影响。
线性回归分析可以帮助我们确定两个变量之间的因果关系，并进行预测和解释。
4. 多元回归分析：多元回归分析是一种用于处理多个自变量和一个因变量之间关系的方法。
当我们需要控制其他变量的影响，以及确定多个自变量对因变量的独立贡献时，可以使用多元回归分析。
通过多元回归分析，我们可以建立一个多变量的模型，更全面地理解变量之间的关系。
5. 因果推断：在处理双变量问题时，我们常常需要确定两个变量之间的因果关系。
因果推断是一种从相关性到因果关系的推断方法，可以帮助我们确定一个变量对另一个变量的影响。
在进行因果推断时，需要注意排除混淆变量的干扰，并使用实验证据或因果分析方法来支持因果关系的存在。
总之，处理双变量问题需要运用适当的技巧和方法来分析和解释两个变量之间的关系。
通过散点图分析、相关性分析、线性回归分析、多元回归分析和因果推断等方法，我们可以更好地理解和解释双变量问题，并得出有意义的结论。
双变量回归模型分析案例及模型形式的探讨首先，我们来讨论一个实际案例，即研究收入和教育水平之间的关系。
假设我们收集了一组数据，包括每位受访者的收入和教育水平。
我们想要探究这两个变量之间的关系，即教育水平对收入的影响。
这时候，我们可以使用双变量回归模型进行分析。
在进行回归分析之前，我们首先需要确定要使用的模型形式。
常见的双变量回归模型包括线性回归模型、非线性回归模型和多项式回归模型等。
在这个案例中，我们可以使用线性回归模型来建立收入和教育水平之间的关系。
假设教育水平为自变量X，收入为因变量Y，那么线性回归模型可以写为：Y=β0+β1*X+ε其中，Y表示因变量（收入），X表示自变量（教育水平），β0表示截距项，β1表示自变量的系数，ε表示误差项。
在进行实际分析时，我们需要采集一定数量的数据，并使用统计软件进行回归分析。
通过拟合数据，我们可以得到回归方程的系数估计值，并根据显著性检验来判断自变量的影响是否具有统计学意义。
在本案例中，我们可以通过拟合数据得到回归方程的系数估计值，比如β0=3000，β1=1000。
这个结果可以被解释为，每增加一个教育水平单位，平均收入会增加1000元。
同时，我们还可以通过t检验或F检验来评估系数的显著性。
除了线性回归模型外，我们还可以使用非线性回归模型或多项式回归模型来分析双变量关系。
非线性回归模型可以用于探究非线性关系，例如指数关系或对数关系。
多项式回归模型可以用于探究曲线关系，例如二次曲线关系或三次曲线关系。
总之，双变量回归模型是一种常见的统计分析方法，在实际研究中具有广泛应用。
通过建立适当的模型形式，我们可以研究两个变量之间的关系，并通过回归分析得到相关参数的估计值。
这些参数可以帮助我们了解变量之间的关系，并为实际问题的解决提供参考依据。
线性回归分析——双变量模型在进行线性回归分析之前，我们首先需要明确我们要解决的问题，确定自变量和因变量。
比如，我们可以研究体重和身高之间的关系，其中体重是因变量，身高是自变量。
收集到数据后，我们可以进行描述性统计分析来对数据进行初步的了解。
我们可以计算出体重和身高的平均值、方差、最大值和最小值等统计指标。
此外，我们还可以绘制散点图来观察变量之间的关系。
在进行线性回归分析之前，我们需要满足一些假设条件。
首先，我们假设自变量和因变量之间存在线性关系。
其次，我们假设观测误差服从正态分布。
最后，我们假设观测误差的方差是常数。
接下来，我们可以通过最小二乘法来估计线性回归模型的参数。
最小二乘法的目标是最小化观测值与预测值之间的残差的平方和。
我们可以使用统计软件或者编程语言来进行计算。
线性回归模型可以表示为：Y=β0+β1X+ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0表示截距，β1表示斜率，ε表示观测误差。
在进行参数估计后，我们可以对模型进行拟合优度的评估。
拟合优度指标可以帮助我们判断模型的拟合程度。
常见的拟合优度指标有R方值、调整R方值和残差分析。
R方值表示因变量的变异程度可以由自变量解释的比例。
R方值的取值范围是0到1，越接近1表示模型的拟合效果越好。
调整R方值是在R方值的基础上考虑模型中自变量的个数进行修正。
残差分析可以用来评估模型中未解释的部分。
在进行结果解释时，我们需要注意解释截距和斜率的意义。
截距表示当自变量为0时，因变量的值。
斜率表示自变量的单位变化对因变量的影响。
最后，我们还可以对模型的统计显著性进行检验。
常见的方法有t检验和F检验。
t检验可以用来判断截距和斜率的显著性，F检验可以用来判断模型整体的显著性。
总结：线性回归分析是一种常用的数据分析方法，可以用于研究两个变量之间的线性关系。
通过收集数据，建立模型，估计参数和进行拟合优度评估，我们可以获得对变量之间关系的深入认识。
同时，我们还可以通过检验模型的显著性来判断模型的可靠性。
[计量经济学] 第二章：双变量线性回归分析§1 经典正态线性回归模型（CNLRM）一、一些基本概念1、一个例子条件分布：以X取定值为条件的Y的条件分布条件概率：给定X的Y的概率，记为P(Y|X)。
例如，P(Y=55|X=80)=1/5；P（Y=150|X=260）=1/7。
条件期望（conditional Expectation）：给定X的Y的期望值，记为E(Y|X)。
例如，E(Y|X=80)=55×1/5＋60×1/5＋65×1/5＋70×1/5＋75×1/5＝65总体回归曲线（Popular Regression Curve）（总体回归曲线的几何意义）：当解释变量给定值时因变量的条件期望值的轨迹。
2、总体回归函数（PRF）E(Y|X i)=f(X i)当PRF的函数形式为线性函数，则有，E(Y|X i)=β1+β2X i其中β1和β2为未知而固定的参数，称为回归系数。
β1和β2也分别称为截距和斜率系数。
上述方程也称为线性总体回归函数。
3、PRF的随机设定将个别的Y I围绕其期望值的离差(Deviation)表述如下：u i=Y i-E(Y|X i)或Y i=E(Y|X i)+u i其中u i是一个不可观测的可正可负的随机变量，称为随机扰动项或随机误差项。
4、“线性”的含义“线性”可作两种解释：对变量为线性，对参数为线性。
本课“线性”回归一词总是指对参数β为线性的一种回归（即参数只以它的1次方出现）。
模型对参数为线性？模型对变量为线性？是不是是LRM LRM不是NLRM NLRM注：LRM＝线性回归模型；NLRM＝非线性回归模型。
5、随机干扰项的意义随机扰动项是从模型中省略下来的而又集体地影响着Y 的全部变量的替代物。
显然的问题是：为什么不把这些变量明显地引进到模型中来？换句话说，为什么不构造一个含有尽可能多个变量的复回归模型呢？理由是多方面的： （1）理论的含糊性 （2）数据的欠缺（3）核心变量与周边变量 （4）内在随机性 （5）替代变量 （6）省略原则（7）错误的函数形式6、样本回归函数（SRF ） （1）样本回归函数iY ˆ=1ˆβ+2ˆβi X 其中Y ˆ＝E(Y|X i )的估计量；1ˆβ＝1β的估计量；2ˆβ＝2β的估计量。
估计量（Estimator ）：一个估计量又称统计量，是指一个规则、公式或方法，是用已知的样本所提供的信息去估计总体参数。
在应用中，由估计量算出的数值称为估计值。
样本回归函数的随机形式为：其中i u ˆ表示（样本）残差项（residual ）。
（2）样本回归线的几何意义二、经典线性回归模型（CLRM ）的基本假定： 假定1：干扰项的均值为零。
即，E(u i |X i )=0假定2：同方差性或u i 的方差相等。
即，Var(u i |X i )=σ2假定3：各个干扰项无自相关。
即，Cov(u i ,u j |X i ,X j )=0 假定4：u i 和X i 的协方差为零。
即，Cov(u i ,X i )=E(u i X i )=0 假定5：在重复抽样中X 的值是固定的（非随机）§2 估计问题（β和σ2） 一、普通最小二乘法 1、问题：PRF ：Y i =β1+β2X i +u iSRF ：i Y =1ˆβ+2ˆβi X ＋i u ˆ=i Y ˆ+i u ˆ i u ˆ=i Y -iY ˆ=i Y -(1ˆβ+2ˆβi X ) minf(1ˆβ,2ˆβ)=min ∑i u ˆ2=min ∑[i Y -(1ˆβ+2ˆβiX )]22、正规方程（Normal equation ） 由1ˆβ∂∂f=0，以及2ˆβ∂∂f =0得到的方程组称为正规方程。
即，二、β的估计 1、公式：解上述正规方程组得到1ˆβ和2ˆβ估计值：其中X 和Y 是X 和Y 的样本均值。
定义离差：i x =i X -X ，i y =i Y -Y 。
用小写字母表示对均值的离差。
2、对OLS 估计量的说明(1）OLS 估计量可由观测值计算； (2) OLS 估计量是点估计量；(3)一旦从样本数据得到OLS 估计值，就可画出样本回归线。
3、样本回归线的性质：（1）通过Y 和X 的样本均值：Y ＝1ˆβ＋2ˆβX ； （2）估计的Y 的均值等于实际的Y 的均值：Y ˆ=Y ； （3）残差i uˆ的均值为零：E(i u ˆ)=0； （4）残差i u ˆ与iY ˆ不相关：∑i u ˆi y ˆ=0；（5）残差i uˆ与i X 不相关：∑i u ˆi x =0。
三、σ2的估计五、OLS 的性质（高斯－马尔可夫定理）OLS 估计量1ˆβ和2ˆβ是BLUE （Best Linear Unbiased Estimator ）的。
(1)线性：它是一个随机变量，如因变量Y 的线性函数。
(2)无偏：它的均值等于真值，E(2ˆβ)=β2 (3)最小方差：在所有线性无偏估计量中OLS 下的估计量有最小方差。
注：有最小方差的无偏估计量叫有效估计量。
§3 拟合优度检验拟合优度检验是指样本回归线与样本观测值之间拟合程度的检验。
度量拟合程度的指标是判定系数R 2。
一、平方和公式总平方和（TSS ）：∑-=∑22)(Y Y y i i =实测的Y 值围绕其均值的总变异；解释平方和（ESS ）：∑-=∑22)ˆˆ(ˆY Y y ii =估计的Y 值围绕其均值的总变异；残差平方和（RSS ）：∑-=∑22)ˆ(ˆii i Y Y u =未被解释的围绕回归线的Y 值的变异。
二、R 2公式性质：102≤≤R ；三、R 2与相关系数r 不同在回归分析中，R 2是一个比r 更有意义的度量，因为前者告诉我们在因变量的变异中由解释变量解释的部分占怎样一个比例，因而对一个变量的变异在多大程度上决定另一个变量的变异，提供了一个总的度量。
§4 置信区间本节要解决的问题： OLS 估计值2ˆβ是一个点估计值，它离真实值2β有多近？ 一、区间估计的一些基本概念为了回答上述问题，我们试求两个正数δ和α，α位于0与1之间，使得随机区间（2ˆβ-δ,2ˆβ+δ）包含2β的概率为1-α。
用符号表示，Pr(2ˆβ-δ≤2β≤2ˆβ+δ)=1-α 这样的一个区间如果存在的话，就称为置信区间（Confidence interval ）；1-α称为置信系数（Confidence coefficient ）；α（0<α<1）称为显著(性)水平（Level of significance ）； 置信区间的端点称为置信限（Confidence limits ）；2ˆβ-δ为置信下限（Lower Confidence limit ）；2ˆβ+δ为置信上限（Upper Confidence limit ）。
二、回归系数β1和β2的置信区间在u i 的正态性假定下，OLS 估计量1ˆβ和2ˆβ本身就是正态分布的， ),0(~2σN u i ⇒),(ˆ2222∑i x N σββ～⇒)1,0(~/ˆ2222N x Z i∑-=σββ 但是2σ很少能知道，在实践中用无偏估计量2ˆσ来代替，则统计量t 服从自由度为n-2的t 分布：)2(~/ˆˆ)ˆ(ˆ2222222-∑-=-=n t x se t i σβββββ其中∑=222/ˆ)ˆ(i x se σβ表示估计量2ˆβ的标准差（∑22/ix σ）的估计值。
由ααα-=≤≤-1)Pr(22t t t 得：同样，β1显著水平为α的置信区间为：)](),([121121ββββααse t se t +- 三、σ2的置信区间在正态性的假设下，变量222ˆ)2(σσχ-=n服从自由度为n-2的2χ分布。
故可以用其来建立σ2的置信区间。
由αχχχαα-=≤≤-1)Pr(22/222/1得，§5假设检验（t ）问题：某一给定的观测或发现是否与某一声称的假设（stated hypothesis ）相符？此处用“相符”一词表示观测的值与假设的值“足够相近”，因而我们不拒绝所声称的假设。
虚拟假设（Null hypothesis ）：一种信以为真的、意在维护的或理论上的假设，并用H 0表示。
与之对立的假设称为对立假设（alternative hypothesis ），记为H 1。
对立假设可以是简单的或复合的。
例如，H 1：β2=1是一个简单假设，但是H 1：β2≠1则是一个复合假设。
方法：有显著性检验和置信区间两种方法。
一、显著性检验1、t 检验（检验系数）方法： H 0：*22ββ=；H 1：*22ββ≠如果H 0为真，则因为)2(~/ˆˆ)ˆ(ˆ2222222-∑-=-=n t x se t i σβββββ 所以有，ασββαα-=≤∑-≤-1)/ˆˆPr(222*222t x t i从而，)]ˆ(),ˆ([ˆ22*222*22βββββααse t se t +-∈ 检验2ˆβ的估计值是否在此区间，如果在则接受H 0假设，否则拒绝H 0假设。
2、置信区间方法H 0：*22ββ=；H 1：*22ββ≠构造一个β2的显著水平为α的置信区间为：)]ˆ(ˆ),ˆ(ˆ[222222ββββααse t se t +-。
若β2在假设H 0：*22ββ=之下落入此区间，就不要拒绝H 0假设，但落在区间之外，就拒绝H 0假设。
3、t 检验方法的直接计算： H 0：*22ββ=；H 1：*22ββ≠。
计算 ∑-=-=2222222/ˆˆ)ˆ(ˆi x se t σβββββ比较|t |与2αt ：|t |>2αt （t 值大）⇔“统计量的值落入临界域上⇔统计量是统计上显著的 ⇔拒绝H 0假设⇔Pr(t)<α（P 值小）。
二、σ2检验的显著性（χ2检验） H 0：22*σσ=；H 1：22*σσ≠。
构造σ2显著水平为α的置信区间：]ˆ)2(,ˆ)2[(22/1222/2ααχσχσ---n n检验σ2的检验值2*σ是否在此区间内，在则接受，不在就拒绝。
三、假设检验中的两类错误 第一类错误：拒绝真实； 第二类错误：接受错误。
两类错误之间存在一种替代关系(Trade-off)。
§6 F 检验（总显著水平）)2,1(~ˆˆ2/ˆˆ)(/)(/ 222222-∑=∑-∑===n F x n u x RSS df RSS ESS df ESS RSS of MSS ESS of MSS F ii i σββ 算出F 的估计值，与F 分布表在选定显著水平上读出的F 临界值相比较；或查找F 统计量的估计值的P 值。
§7 预测样本回归函数的一个用途是“预测”或“预报”对应于给定X 的未来的Y 值。
