江苏省海门市包场高级中学高一数学必修五学案第09课时数列2苏教版

数列（第2课时）【学习导航】知识网络学习要求1．进一步理解数列概念，了解数列的分类；2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；3．了解递推数列的概念。

【自学评价】1．数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项。

2．数列的分类：按n a 的增减分类：（i ）递增数列：n N *∈任意，总有1n n a a +>；（ii ）递减数列：n N *∈任意，总有1n n a a +<；(iii) 摆动数列：l N *∈任意k,，有1k k a a +>，也有1l l a a +<，例如1,2,4,6,8,---；（iv ）常数列：n N *∈任意，1n n a a +=；（v ）有界数列：存在正整数M 使||n a M ≤；（vi ）无界数列：对任意正整数M 总存在n a 使||n a M >。

3．递推数列：如果已知数列{}n a 的前一项（或前几项），且任意一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个数列叫递推数列，这个公式叫这个数列的递推公式。

递推公式是给出数列的一种重要方式。

【精典范例】【例1】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）222221314151,,,2345----； （2）12341,2,3,42345； （3）9，99，999，9999。

【解】（1）这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是：2(1)11n n a n +-=+； （2）这个数列的前4项每一项都可以分为整数部分n 与分数部分1n n +的和，所以它的一个通项公式是：1n n a n n =++； （3）这个数列的前4项每一项加1后变成10,100,1000,10000，所以它的一个通项公式是：101n n a =-。

本章复习与小结（1）【三维目标】：1.系统掌握数列的有关概念和公式。

2.了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系。

3.能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a 。

【授课类型】：复习课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、本章知识结构二、知识纲要(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．(2)等差、等比数列的定义．(3)等差、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．三、方法总结1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．2．等差、等比数列中，1a 、n a 、n 、)(q d 、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．四、知识内容：1.数列数列的通项公式：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n nn 数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321 2.等差数列等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

等差数列的判定方法:（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。

（2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。

等差数列的通项公式：如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。

说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。

数 列教学目标1．理解数列概念，了解数列的分类，理解数列是一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列；2．理解数列的通项公式的概念，能根据数列的前几项写出数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3．对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式；4．数列的前n 项的和的公式及其应用． 5．提高观察、抽象的能力． 教学重点1．理解数列概念； 2．通项公式的应用． 教学难点根据一些数列的前几项写出数列的一个通项公式．克服难点的关键是由各项的特点，分析、寻找各项的构成未规律． 教学方法发现式教学法教学过程 设置情境考察下列问题：某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位（如图），那么各排的座位数依次为20，22，24，26，28，…． ①人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，2072，…． ②某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…． ③“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为１份，那么每日剩下的部分依次为1，21，41，81，161，…． ④ 某种树木第1年长出幼枝，第２年幼枝长成粗干，第３年粗干可生出幼枝（如图），那么按照这个规律，各年树木的枝干数依次为1，1，2，3，5，8，…． ⑤从1984年到2004年，我国共参加了6次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为15，5，16，16，28，32． ⑥问题1 这些问题有什么共同的特点？ 把数按照一定的次序排成一列．意义建构、数学理论 数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number ），数列的一般形式可以写成1a ，2a ，3a ，…，n a ，…，简记为｛n a ｝．其中1a 称为数列｛n a ｝的第１项（或称为首项），2a 称为第２项，…，n a 称为第n 项．…．思考：能不能把数列的定义改成“按照一定规律排列的一列数称为数列”？数列中数的有序性，如果我们将数列1，2，4，8，16，…中2，4位置交换得：1，4，2，8，16，…这个数列就是与原数列不同的数列了．项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项．在数列｛n a ｝中，1a 称为数列｛n a ｝的第１项（或称为首项），2a 称为第２项，…，n a 称为第n 项．…．数列的分类：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．在上面我们考察的数列中那些是有穷数列，那些是无穷数列？学生活动问题2 上面这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 20， 22， 24， 26， 28，…． ①↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5这个数列的某一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 218+=来表示其对应关系，即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项． 进一步考察上面这些数列，依次可以写出第n 项与n 的关系如下：数列②：n a =1740+(n-1)83(n ∈N *)，数列③：12-=n n a （n ≥1，n ∈N ）， 数列④：121-=n n a （n ≥1，n ∈N ）．必须注意，不是所有的数列都可以写出上面这样的关系的，如数列⑥．通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．问题3 数列的通项公式与函数有何联系？为了解决这个问题我们先回顾函数的有关概念．在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义:如果A 、B 都是非空数集，那么A 到B 的某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从从A 到B 的一个函数，记作：)(x f y =，其中A x ∈．从函数的观点来观察数列的通项公式，数列实际上就是特殊的函数，数列可以看作是一个定义域为正自然数集N +（或它的有限子集{}n ,,2,1 的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式．我们知道函数通常可以用列表法、图象法和解析式法来表示，因此数列也可以用列表法、图象法及解析式来表示．数列的通项公式实际上就是数列的解析式．下面我们结合例题来看看如何用列表法及图象法表示数列．数学应用例1 已知数列｛n a ｝的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：（1）n a ＝1+n n ； （2）n a ＝nn2)1(-． 解特点：它们都是一群弧立的点．从函数的观点看数列，它就是一种特殊函数的一列函数值．因为，数列中的每一个数都对应着一个序号；反之，每个序号也都对应着数列中一个数，如数列1，21，31，41，51中第3项（序号3）就对应着数31，第5项对应着数51．因此，可以认为这个数列是定义在集合{1，2，3，4，5}上的函数f (n )依次得到的函数值，而f (n )＝n1就是这个函数的解析式．为什么要用函数的观点看数列呢？因为这样才能从本质上去理解数列的通项公式、求和公式、递增与递减等等有关问题，并用所学过的函数知识去指导我们解有关数列的问题．一方面不是所有的数列都很方便地能写出它的通项公式（如同有的函数关系不能用解析式表达一样）；另一方面，有的数列的通项公式在形式上可能不唯一，如―1，1，―1，1，―1，1,…，它的通项公式可以是a n ＝(－1)n，也可以是a n ＝cos n π，还可以是⎪⎩⎪⎨⎧-=.1,1为奇数时为奇数时n n a n例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；（2）2122-，3132-，4142-，5152-；（3）211⨯，321⨯-，431⨯，541⨯-．［分析］（1）项1=2×1-1， 3=2×2-1， 5=2×3-1， 7=2×4-1， ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 ∴12-=n a n ；（2）序号：1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1↓ ↓ ↓ ↓ 项分子： 22-1 32-1 42-1 52-1∴11)1(2+-+=n n a n ；‖ ‖ ‖ ‖ )11(11)1(1+⨯- )12(21)1(2+⨯- )13(31)1(3+⨯- )12(21)1(2+⨯-∴)1(1)1(+-=n n a nn ．例3 写出以下各数列的一个通项公式：（1）－1，58，－715，924，－1135，…；（2）2－1，4＋21，8－31，16＋41，…；（3） 0.9，0.99，0.999，0.9999，…；帮助学生分析为什么题中要说明是写出一个通项公式．解 （1）要求出此数列的通项公式应分别寻找符号、分子、分母的变化规律．符号：－1，1，－1，1，…规律为(－1)n；分母：3，5，7，9，11…(第一项应化成－33)，规律为2n ＋1；分子：3，8，15，24，35，…，可看作22－1，32－1，42－1，52－1，62－1，…规律为（n +1）2－1，故a n ＝(－1)n121)1(2+-+n n ．（2）数列的每一项分别由两部分组成，前一部分2，4，8，16，…，规律为2n；后一部分－1, 21，－31，41，…，规律为nn 1)1(⋅-， ∴ a n ＝2n＋n n )1(-．（3）数列可看成1－0.1，1－0.01，1－0.001，1－0.0001，…， ∴n n a --=101． [说明] 仅仅根据数列的前几项写出数列的通项公式应该说是不科学的，因为后面未写出的项是否满足此规律不得而知，因此这类题仅作“寻找数列各项变化规律”的练习用，以培养观察、分析能力．例4 已知数列a 1＝2，a n ＋1＝2＋nna a -12，写出它的前4项．解： a 1＝2，a 2＝2＋1112a a -＝－2，a 3＝2＋2212a a -＝2＋32)2(1)2(2=---⨯， a 4＝2＋3312a a -＝6． [说明] 通过递推关系给出数列也是构成数列的一种重要方法，数学中有不少重要的数列都是由递推公式构成的，如由a 1＝a 2＝1，且a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)就得出有名的斐波拉契数列：211 1 ⨯↓ 321 3 ⨯-↓ 431 3 ⨯-↓ 541 4 ⨯-↓（3）序号1，1，2，3，5，8，13，…．数列的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，S n 与a n 之间的关系为：⎪⎩⎪⎨⎧∈≥-==-),,2(),1(*11N n n S S n S a n nn 这个关系式今后常常要用．例5 数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋1，求a 1、a 5的值．解： 根据⎪⎩⎪⎨⎧∈≥-==-),,2(),1(*11N n n S S n S a n nn 可得311==S a ， 183351455=-=-=S S a ．课堂练习（1）若数列的通项公式是a n ＝n (n ＋1)，则a n ＋1－a n 为（ ）．[C]Ａ．2n Ｂ．2n ＋1 Ｃ．2n ＋2 Ｄ．2n ＋3（2）数列{a n }为1，0，1，0，…，则下列各式中不能作为它的通项公式的是（ ）．[C]Ａ．2)1(11+-+n Ｂ．si n 22πn Ｃ．3)4)(2(--n n Ｄ．2cos 1πn -（3） 已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第 项．[21]（4） 写出下列数列的一个通项公式：① －1，3，－5，7，－9，…； ② －267,175103,51-，…； ③ 1618,816,414,212，…； ④ 189,167,145,123+-+-,…．[①2n －3；② (－1)n 1)1(122++-n n ； ③ 2n ＋(21)n ；④ n n 212+＋(－1)n] （5）已知{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，写出它的前6项，并推测它的通项公式．[ 3，7，15，31，63，127；推测a n ＝2n ＋1－1．]课堂小结这李课我们学习了数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式．课后作业 书P32习题2.1 1，2，3，5．。

2.1 数 列班级_________姓名___________【学习目标】了解数列的概念及表示方法，理解数列通项公式的有关概念，给出数列的通项公式，会写出数列的前几项，给出简单数列的前几项，会写出它的通项公式【课前预习】1. 你能否举出一些数列的例子？2. 根据数列{}n a 的通项公式写出它的第6项和第10项（1）n n a n +=2 （2）=n a n 31-【问题情境】情境1：剧场各排的座位数为：20，22，24，26，28，…情境2：彗星出现的年份依次为：1740，1823，1906，1989，2072，…情境3：一个细胞一分钟分裂的个数依次为：1，2，4，8，16，…情境4：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果将“一尺之棰”视为一份，那么每日剩下的部分依次为，，，，，321161814121…情境5：我国参加六次奥运会获得的金牌数依次为：15，5，16，16，28，32 以上各情境中都有一系列的数，这些数有什么共同特征？【数学建构】像这样_______________________________________________称为数列.数列中的每个数叫做这个数列的______,___________________________________叫做有穷数列，_______________________________叫做无穷数列。

数列的一般形式可以写成_________________________________________简记为___________,其中________称为数列{}n a 的第一项（或称为首相），2a 称为第二项，…,n a 称为第n 项。

一般的，如果____________________________________________________________,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

【数学运用】例1.已知数列的第n 项n a 为2n-1,写出这个数列的首项，第2项和第3项。

第 2 课时：§ 2.1 数列（2）【三维目标】：一、知识与技能1. 要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列的递推公式的意义，明确递推公式与通项公式的异同；了解数列的递推公式是确定数列的一种方法；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3.理解数列的前n 项和与n a 的关系；掌握根据数列的前n 项和确定数列的通项公式．4.提高学生的推理能力，培养学生的应用意识.二、过程与方法经历数列知识的感受及理解运用的过程。

三、情感、态度与价值观通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

【教学重点与难点】：重点：数列的递推公式的理解与应用；难点：理解递推公式；理解递推公式与通项公式的关系【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.复习数列是一种特殊的函数，故其表示方法有列表法、图象法、通项公式法.2.提问：已知数列{}n a 满足11211(2)n n a a n a -=⎧⎪⎨=+≥⎪⎩，能写出这个数列的前5项吗？ 思考：已知在数列{}n a 中12n n a a +=+，那么这个数列中的任意一项是否都可以写出来？二、研探新知1．递推公式（1）递推公式的概念：知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：1↔4＝1+3第2层钢管数为5；即：2↔5＝2+3第3层钢管数为6；即：3↔6＝3+3第4层钢管数为7；即：4↔7＝4+3第5层钢管数为8；即：5↔8＝5+3第6层钢管数为9；即：6↔9＝6+3第7层钢管数为10；即：7↔10＝7+3若用n a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=n a n ≤n ≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。

总 课 题 数列总课时 第17课时 分 课 题数列复习专题（一）分课时 第 1 课时教学目标 系统掌握数列有关概念和公式并会运用解决问题. 重点难点 等差、等比数列的概念和公式． 引入新课1．数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． 2．等差、等比数列的定义． 3．等差、等比数列的通项公式． 4．等差中项、等比中项．5．等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．例题剖析（1）已知等差数列的第p n k ，，项构成等比数列的连续3项，如果这个等差数列不是常数列，则等比数列的公比为 ．（2）182 ，，，，z y x 成等比数列，则=x ．（3）三个数成等比数列，它们的积为512，如果中间一个数加上2，则成等差数列，这三个数是 ．（4）一个数列的前n 项和为n S n n 1)1(4321+-++-+-=Λ，则=++503317S S S ．（5）一个数列}{n a ，当n 为奇数时，15+=n a n ，当n 为偶数时，22n n a =，则这个数列前m 2项的和为 ．例1（6）已知正项等比数列}{n a 共有m 2项，且)(94342a a a a +=⋅，++++Λ321a a a)(426422m m a a a a a ++++=Λ，则=1a ，公比=q ．（7）设}{n a ，}{n b 都是等差数列，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，已知1235-+=n n T S n n ，则=n n b a ；=55b a ．（8）已知方程022=++m x x 和022=+-n x x 一共四个根组成一个首项为3的等差数列，则=-n m ．（9）一个直角三角形三边长组成等差数列，则它的三边长从小到大的比值为 ．例2 某三个互不相等的数组成等差数列，如果适当排列此三数，也可成等比数列，已知这三个数的和等于6，求这三个数．课堂小结等差、等比数列的概念和公式．课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．若直角三角形的三边的长组成公差为3的等差数列，则三边长分别为（ ） A ．5，8，11 B ．9，12，15 C ．10，13，16 D ．15，18，21 2．设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：（1）{}2n a 是等比数列；（2）{}1+n na a 是等比数列；（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等比数列；（4）{}||lg n a 是等比数列； 其中正确命题的序号为 ．3．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）16795431，，，； （2）978756534312⨯⨯ ⨯ ⨯，，，； （3）11，101，1001，10001；（4）818929432- - ，，，；二 提高题 4．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．5．等差数列{}n a 中，前m 项（m 为奇数）和为77，其中偶数项之和为33， 且181=-m a a ，求通项公式．6．在等差数列{}n a 中，已知)(q p p S q S q p ≠= =，，求q p S +．三 能力题7．如图是第七届国际数学教育大会)7(-ICME 的会徽图案轮廓，它是由一串直角三角形组成的，其中18732211=====A A A A A A OA Λ，记821OA OA OA ，，，Λ的长度所组成的数列为{}n a )81(≤≤ ∈+n N n ，,写出数列{}n a 的通项公式． 2A4A3A5A6A8．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉，再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉，如此继续下去……（1）第三次分割时共挖掉了多少个正方形？（2）设原正方形边长为a，第n次分割时共挖掉了多少个正方形？这些正方形的面积和为多少？。

等差数列、等比数列-----期末复习一、基础知识性质：1．已知,,,m n p q N *∈，且m n p q +=+，①若{}n a 是等差数列，则m n p q a a a a +=+；②若{}n a 是等比数列，则m n p q a a a a ⋅=⋅． 2．设n S 是等差（比）数列的前n 项和，则()2321,,,,m m m m m pm p m S S S S S S S ----()1,3,,m p m p N *>≥∈仍成等差（比）数列．**方法提炼**1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．如等差数列{}n a 的通项n a kn b =+，等比数列{}n a 的通项是nn a k q =⋅等．2．等差（比）数列中，1,,(),,n n a n d q a S “知三求二”，体现了方程（组）的思想、整体思想．等差（比）数列的性质能够起到简化运算的作用．3．求等比数列的前n 项和n S 时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 二、基础训练1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=1，a 3=3，则S 4= 。

2.设n s 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432,s a =-2332s a =-,则公比q = 。

3.设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，若24,363==S S ,则3a = .4.在等比数列{a n }中，4S =1，8S =3，则20191817a a a a +++的值是 .5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 。

若111a =-，466a a +=-，则当n S 取最小值时，n= 。

6．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若5331164S a ==，，则5432111111a a a a a ++++= ．三、典例欣赏：例1. （1）}{n a 是等比数列，21551-=-a a ，54-=s ，求4a （2）在等差数列}{n a 中，105,4,a d ==-则______n S =； （3）在等差数列}{n a 中，41,2,440,n n a d S ===则1______a =； （4）}{n a 是等比数列，,661=+n a a ,126,12812==∙-n n s a a 求n 和公比q.例2．已知正数组成的两个数列}{},{n n b a ，若1,+n n a a 是关于x 的方程02122=+-+n n n n b b a x b x 的两根 （1）求证：}{n b 为等差数列；（2）已知,6,221==a a 分别求数列}{},{n n b a 的通项公式； （3）求数n nns n b 项和的前}2{。

等比数列（3）【三维目标】：一、知识与技能1掌握“错位相减”的方法推导等比数列前n 项和公式；2.掌握等比数列的前n 项和的公式，并能运用公式解决简单的实际问题； 二、过程与方法1.通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．2.从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力3.经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。

三、情感、态度与价值观通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美． 【教学重点与难点】：重点：等比数列的前n 项和公式的推导及其简单应用． 难点：等比数列的前n 项和公式的推导． 突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导. 【学法与教学用具】：1. 学法：由等比数列的结构特点推导出前n 项和公式，从而利用公式解决实际问题2. 教学方法：采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式.3. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题首先回忆一下前两节课所学主要内容：1．等比数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（0≠q ），即：1-n na a q =（0≠q ） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ，)0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n 3．}{n a 成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）“n a ≠0”是数列}{n a 成等比数列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：若b G a ,,成等比数列，则G ab G ,2=叫做a 与b 的等差中项. 6．性质：若m n p q +=+(,,,)m n q p N +∈，则q p n m a a a a ⋅=⋅ 7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 8．等比数列的增减性 二、研探新知1．等比数列前n 项和公式的推导： 方法一：错位相减法一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a L L 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++L ，由12311n n n n S a a a a a a q -=++++⎧⎨=⎩L 得2211111123111111n n n n nn S a a q a q a q a qqS a q a q a q a q a q---⎧=+++++⎪⎨=+++++⎪⎩L L ∴11(1)n n q S a a q -=-,当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 或11n n a a qS q-=- 当1=q 时，1na S n =这种求和方法称为“错位相减法”， “错位相减法”是研究数列求和的一个重要方 注意：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是nq ，通项公式中是1-n q不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况． 方法二：运用等比定理 有等比数列的定义，q a a a a a a n n ====-12312Λ 根据等比的性质，有q a S a S a a a a a a nn n n n =--=++++++-112132ΛΛ即q a S a S nn n =--1⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 方法三：运用方程思想(提取公比q )=n S n a a a a Λ+++321＝)(13211-++++n a a a a q a Λ＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决一般地，设等比数列ΛΛn a a a a ,,321+它的前n 项和是 方法四：由等次幂差公式直接推得（详略） 三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.解：由2 2,121===q a a 得，1521)21(144=--⨯=∴S ， 102321)21(11010=--⨯=S ，从第5项到第10项的和为10S -4S =1008例2 一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项2,11==q a 的等比数列，则：一天内获知此信息的人数为：12212124244-=--=∴S例3 （教材51P 例1）求等比数列{}n a 中，（1）已知；14a =-，12q =，求10S ；（2）已知；11a =，243k a =，3q =，求k S ．解：（1）101011014[1()](1)102321112812a q S q ---===---；（2）112433364113n k a a q S q --⨯===--．例4在b a ,之间插入10个数，使它们同这个数成等比数列，求这10个数的和例5（教材51P 例2）求等比数列{}n a 中，372S =，6632S =，求n a ；解：若1q =，则632S S =，与已知372S =，6632S =矛盾，∴1q ≠，从而313(1)712a q S q -==-①，616(1)6312a q S q -==- ②． ②：①得： 319q +=，∴2q =，由此可得112a =，∴121222n n n a --=⨯=．例6（教材51P 例3）求数列11111,2,3,,,2482n n ++++L L 的前n 项和． 解：1111(1)(2)(3)()2482n n S n =++++++++L 1111(123)()2482n n =++++++++L L11(1)(1)(1)1221122212n nn n n n -++=+=+--． 说明：数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，求解时要采用分组求和．例7等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项中，数值最大的一项是54，若该数列的前n 项之和为n S ，且6560,802==n a S S ，求：（1）通项公式n a ；（2）前100项之和100S例8设数列{}n a 65,1=a ，若以n a a a ,,,21Λ为系数的二次方程：*-∈=+-N n x a x a n n (0121且2≥n ）都有根α、β且满足133=+-βαβα，（1）求证：}21{-n a 为等比数列；（2）求n a ；（3）求{}n a 的前n 项和n S 。

第一课时：§2. 1数列的概念与简单表不法教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式；了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项.过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力.情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式教学过程一. 情境引入：问题1：一牧羊人赶着一群羊通过36个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只，过完这些关口后，牧羊人只乘2只羊，则原来牧羊人赶了多少只羊？本题蕴含什么数学知识，你能解决这个问题吗？问题2：考察下列的数据，看看有什么共同特点？(1)20, 22, 24, 26, 28,…。

________________________(2)1740, 1823, 1906, 1989, 2072, ________________(3)1,2, 4, &16, ________________(4)1, -1, 1, -1, 1, -1, ••• o _________________________(5)1, 1, 2, 3, 5, 8,…o _________________________(6)从1984年到2004年，我国共参加了6次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为15,5, 16, 16, 28, 32…二. 讲授新课知识点1•数列的定义：(了解)(1) ______________________________ 叫做数列.注意：①数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；②定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现(2)数列的项：_______________________________________________________(3). (了解) 数列的般形式：下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？知识点2.(重点) 数列的通项公式：写出问题2中数列的通项公式注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.知识点3. ( 了解)数列与函数的关系: __________________________________________________________知识点4. (了解)数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列，无穷数列；2)根据数列项的大小分：递增数列；递减数列；常数数列；摆动数列。

等比数列（2）【三维目标】：一、知识与技能1.进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；2.深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；3.提高学生的数学素质，增强学生的应用意识. 二、过程与方法通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。

三、情感、态度与价值观充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

【教学重点与难点】：重点：等比中项的理解与应用难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题首先回忆一下上一节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（0≠q ），即：1-n na a q =（0≠q ） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ， )0(≠⋅⋅=-q a q a a m m n m n 3．}{n a 成等比数列⇔nn a a 1+q =（+∈N n ,q ≠0）“n a ≠0”是数列}{n a 成等比数列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 二、研探新知1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）推导：若在a 与b 中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，则ab G ab G Gba G ±=⇒=⇒=2， 反之，若G 2=ab ,则Gba G =，即b G a ,,成等比数列∴b G a ,,成等比数列⇔G 2=ab （0≠ab ） 探究：已知数列}{n a 是等比数列，（1）2537a a a =是否成立？2519a a a =成立吗？为什么？（2）211(1)n n n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？2(0)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？结论：若}{n a 为等比数列，m n p q +=+(,,,)m n q p N +∈，则q p n m a a a a ⋅=⋅．由等比数列通项公式得：11n 11 --==n m m q a a q a a ，111q 1 ,p q p a a q a a q --==⋅，故221m n m n a a a q+-⋅=且221p q p q a a a q+-⋅=，∵m n p q +=+，∴q p n m a a a a ⋅=⋅．2．等比数列的性质：（1）与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。