江苏省南通基地2020年高考数学密卷1理2

南通市、泰州市2020届高三上学期期末联考数学试卷2020.1.14一、填空题1.已知集合 A ＝ {-1，0，2}， B ＝ {-1，1，2}， 则 A ∩B =________.2.已知复数 z 满足(1+ i ) z ＝ 2i ， 其中i 是虚数单位，则 z 的模为_______.3.某校高三数学组有 5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为 35，35，41，38，51，则这5 名党员教师学习积分的平均值为_______.4.根据如图所示的伪代码，输出的 a 的值为_______.5.已知等差数列{a n } 的公差 d 不为 0 ，且 a 1，a 2，a 4 成等比数列，则1a d的值为_____. 6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2 次正面向上的概率为______.7.在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中， AA 1＝AB ＝2 ，则三枝锥 A 1 - BB 1C 1 的体积为______.8.已如函数.若当 x ＝6π时，函数 f (x ) 取得最大值，则ω 的最小值为______.9. 已 知 函 数 f (x ) ＝ (m - 2)x 2 + (m - 8)x (m ∈R ) 是 奇 函 数 . 若 对 于 任 意 的 x ∈ R ， 关 于 x 的 不 等 式f ( x 2 +1) < f (a ) 恒成立，则实数 a 的取值范围是______.10.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点 A ，B 分别在双曲线C : x 2 - y 2 ＝1 的两条渐近线上， 且双曲线C 经过线段 AB 的中点.若点 A 的横坐标为 2 ，则点 B 的横坐标为______.11.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 E (单位:焦耳)与地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE ＝ 4.8 +1.5M . 2008 年 5 月汶川发生里氏8.0 级地震，它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的______倍.12. 已知△ABC 的面积为 3 ，且 AB ＝ AC .若2CD DA =，则 BD 的最小值为______.13.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 + y 2 ＝ 8 与圆C 2 : x 2 + y 2 + 2x + y -a ＝ 0 相交于 A ，B 两点.若圆C 1 上存在点 P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数 a 的值组成的集合为______. 14.已知函数若关于 x 的方程 f 2 ( x ) + 2af (x )+1- a 2 ＝ 0 有五个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是______.二、解答题15. (本小题满分14 分)如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，PC ⊥AB ，D，E 分别为BC，AC 的中点。

甲 乙 8 9 79 01398 210 （第5题）江苏省南通基地2020年高考数学密卷（2）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合A ={1，4}，B ={|13x x ≤≤}，则A ∩B = ▲ ． 2． 设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ． 3．函数的y =定义域为 ▲ ．4． 阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为 ▲ ．5． 如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 ▲ ．6． 将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，将函数cos 2y x =的图象向右平移6π个单位得到()g x 的图象，则()2g π的值为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2214y x -=的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 ▲ ． 9． 若()πtan 34x +=-，则sin 2cos 3sin 4cos x x x x++的值为 ▲ ． 10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的 x ∈R 都有f (x +4)= f (x )+ f (2)，f (1)= 4，则f (3)+ f (10)的值为 ▲ ．11．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有s ←0t ←1For I From 1 To 3 s ←s +I t ←t ⨯I End For r ←s ⨯t Print r（第4题）可能值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:3450l x y -+=与圆22:100C x y x +-=交于A ，B 两点，P 为x 轴上一动点，则△ABP 周长的最小值为 ▲ ．13．已知函数22()3x x a x a f x x x a x a ⎧-+-⎪=⎨++<-⎪⎩≥，，，．记{|()0}A x f x ==，若(2)A -∞≠∅I ，，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14．若△ABC 中，ABBC =8，B ∠=45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足()()4AB AD AC AD ⋅⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，则AD 长度的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=． （1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．16．（本小题满分14分）在正四棱锥V ABCD -中，E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABCD ； （2）求证：平面VBD ⊥平面BEF ．17．(本小题满分14分)如图所示的某种容器的体积为90πcm 3，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥ACBD（第16题）VE FCADB（第15题）h 1rh 2（第17题）45° 的底面半径都为r cm ．圆锥的高为h 1 cm ，母线与底面所成的角为o45；圆柱的高为h 2 cm ．已知圆柱底面的造价为2a 元/cm 2，圆柱侧面造价为a 元/cm 2，a元/cm 2．（1）将圆柱的高h 2表示为底面半径r 的函数，并求出定义域； （2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r 为多少？18．（本小题满分16分）已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)y x ab a b+=>>，其短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，AD DP λ=u u u r u u u r，AE EQ μ=u u u r u u u r （λμ，为非零实数），求22λμ+的值．19．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +-=（*n ∈N ）． （1）求证：数列{}n a 为等比数列； （2）若数列{}n b 满足：11b =，1112nn n b b a ++=+． ① 求数列{}n b 的通项公式；（第18题）② 是否存在正整数n ，使得14ni i b n ==-∑成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数*()ln k f x x x k =∈N ，，()1g x cx c =-∈R ，． （1）当1k =时，①若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求c 的值；②若曲线()y f x =与直线()y g x =有公共点，求c 的取值范围．（2）当2k ≥时，不等式2()()f x ax bx g x +≥≥对于任意正实数x 恒成立，当c 取得最大值时，求a ，b 的值．2020年高考模拟试卷（2）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在．．．．．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，ABCD 为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E ，F ．M ，N 为AB ，CD 上两点，EM ＝EN ，点F 在MN 的延长线上．求证：∠BFM ＝∠AFM ．B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形A B C D ''''，其中 (11)A ，，(11)B -，，(11)C --，，(33)A '，，(11)B '-，，(11)D '-，． （1）求矩阵M ； （2）求向量DC 'u u u u r的坐标．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x >0，y >0，z >0，221x y z ++=，求证：135xy yz zx ++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同 学数学获一等奖的概率为23，物理，化学，生物获一等奖的概率都是12，且四门学科是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）已知函数2()1f x x x =-+，记1()()f x f x =，当12()(())n n n f x f f x -=≥时，． （1）求证：2()f x 在(1)+∞，上为增函数；（2）对于任意*N n ∈，判断()n f x 在(1)+∞，上的单调性，并证明．2020年高考模拟试卷（2）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． {1}【解析】依题意，A ∩B ={1}2． 34i -【解析】由于2(2i)34i z =+=+，所以z 的共轭复数为34i -． 3． (]0,8【解析】由23log 0x -≥，解得08x <≤．4． 36【解析】1236s =++=，1236t =⨯⨯=，输出的结果6636r =⨯=． 5． 2【解析】由茎叶图可知，8889909192905x ++++==，所以甲的方差为52211()25i i s x x ==-=∑；同理乙的方差为4，所以比较稳定的是甲．6． 49【解析】所有等可能的基本事件总数为339⨯=种，“黑白两球均不在1号盒子”有224⨯=种，所以概率为49．7． 12-【解析】()()cos 23g x x π=-，所以()1()cos 232g ππ=π-=-．8． 45【解析】一条渐近线2y x =与右准线5x =的交点为525(,)，其到另一条渐近线2y x =-的距离为45．9． 25【解析】由()ππ31tan tan 2441(3)x x --⎡⎤=+-==⎢⎥+-⎣⎦，得sin 2cos tan 223sin 4cos 3tan 45x x x x x x ++==++．10． 4【解析】令f (x +4)= f (x )+ f (2)中x =2，得f (2)= f (2)+ f (2)，所以f (2)=0，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2)=0，所以f (x +4)= f (x )，所以f (x )是周期为4的周期函数，所以f (3)+ f (10)= f (1) + f (2)= f (1)+0= 4．11． 34-，【解析】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n n a a a ++-=-，所以222211a a a -=-，223321a a a -=-，…，221313121a a a -=-，将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-， 又21313S a =，所以211120a a --=，获解．Cxy O BA （第12题）P B 'Q12． 14【解析】设直线l 与圆C 的一个交点B （5，5）关于x 轴的对称点为B '，易知B B '恰为圆C 的直径，记A B '与x 轴 交于点Q ，则PA PB PA PB AB ''+=+≥，所以△ABP 的周长的最小值为AB AB '+，易求得结果为14. 13． (14⎤-∞⎦，在(2)-∞，所以方程2|x x =所以函数()g x =注意到函数(h x 14．2设()D x y ，，所以(11)AB =--，(71)AC =-，()AD x =， 所以()()()(7)4AB AD AC AD x y x y ⋅⋅⋅=---=u u u r u u u r u u u r u u u r ，即()(7)4x y y x +-=，令7x y m y x n +=⎧⎨-=⎩，则1()81(7)8x m n y m n ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，所以mn =4，所以22222211()(7)5021288AD x y m n m n m n mn =+-++++ 222225*********m n mn +++≥． 当且仅当5m =n =5±AD 2 二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）（1）证明：因为12BD AD c -=，所以1cos cos 2a Bb Ac -=， …… 3分由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以sin 2sin()C A B =-． …… 6分（2）解：由（1）得，sin()2sin()A B A B +=-， …… 8分Cx yA B D（第14题）CADB（第15题）所以sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B +=-，化简，得3cos sin sin cos A B A B =． …… 10分又3cos 5A =，所以4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =， …… 12分所以44tan tan 4839tan tan()1tan tan 4411139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． …… 14分16．（本小题满分14分）（1）因为E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点，所以EF ∥AC ， …… 3分 又因为EF ABCD ⊄平面，AC ABCD ⊂平面，所以EF ∥平面ABCD ． …… 6分（2）连结AC ，BD 交于点O ，连结VO ．因为V ABCD -为正四棱锥，所以VO ABCD ⊥平面．又AC ABCD ⊂平面，所以VO AC ⊥．…… 8分又因为BD AC ⊥，EF ∥AC ，所以EF ⊥VO ，EF ⊥BD ． …… 10分 又VO BD VBD ⊂，平面，=VO BD O ∩，所以EF VBD ⊥平面， …… 12分又EF BEF ⊂平面，所以平面VBD ⊥平面BEF ．…… 14分17．（本小题满分14分）（1）解：因为圆锥的母线与底面所成的角为o 45，所以1h r =，圆锥的体积为231111ππ33V r h r ==，圆柱的体积为222πV r h =． …… 2分因为1290πV V +=，所以23221π90ππ3V r h r ==-，所以32222709033r r h r r-==-． …… 4分 因为311π90π3V r =<，所以r <0r <<．所以32222709033r r h r r -==-，定义域为{|0r r <<． …… 6分 ACBD（第16题）VE FO（2）圆锥的侧面积21πS r r ==，圆柱的侧面积222πS rh =，底面积23πS r =． …… 8分容器总造价为1232y aS aS =++2222π2π2πr a rh a r a =++2222π()a r rh r =++()22902π23r a r r r⎡⎤=+-⎣⎦ ()210π543a r r=+． …… 10分令254()f r r r =+，则254()2f r r r '=-．令()0f r '=，得3r =． 当03r <<时，()0f r '<，()f r 在(0 3)，上为单调减函数；当3r <<时，()0f r '>，()f r在(3上为单调增函数． 因此，当且仅当3r =时，()f r 有最小值，y 有最小值90πa 元．…… 13分 所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm ． …… 14分18．（本小题满分16分）（1）解：因为短轴长2b =2，所以b =1，…… 2分又离心率c a =a =， …… 4分 所以222222()a c ab ==-，所以22a =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．…… 6分 （2）由（1），点A (0)，设1100()()P x y D x y ，，，，则111020y k x y k x ==，，因为AD DP λ=u u u r u u u r，所以010010()()x x x y y y λλ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩L L L L ①②， …… 8分由①得，011+x x λλ=- 由②得，101+y y λλ=，所以1120211+(k x k x k x λλ==， …… 11分两边同时乘以k 1得，21112111((2k x k k x x ==-，所以11x =1121(12)y k λ=+，代入椭圆的方程得，221112k λ=+， …… 14分 同理可得，()22122221121112121122k k k k μ===+++-， 所以221λμ+=． …… 16分19．（本小题满分16分）（1）解：由121n n S S +-=，得121n n S S --=（2n ≥）， 两式相减，得120n n a a +-=，即12n na a +=（2n ≥）． …… 2分 因为11a =，由121()21a a a +-=，得22a =，所以212a a =， 所以12n na a +=对任意*n ∈N 都成立， 所以数列{}n a 为等比数列，首项为1，公比为2． ……4分 （2）① 由（1）知，12n n a -=， 由1112n n nb b a ++=+，得1122n n nbb +=+， …… 6分 即11221n n n n b b -+=+，即11221n n n n b b -+-=， 因为11b =，所以数列{}12n n b -是首项为1，公差为1的等差数列． …… 8分 所以121(1)1n n b n n -=+-⨯=，所以12n n n b -=． …… 10分 ② 设1nn i i T b ==∑，则012111111()2()3()()2222n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯L ，所以123111111()2()3()()22222n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯L ，两式相减，得0121111111()()()()()222222n n n T n -=++++-⨯L 11()12()1212nn n -=-⨯-12(2)()2n n =-+⨯， 所以14(24)()2n n T n =-+⨯． …… 12分由14ni i b n ==-∑，得14(24)()42n n n -+⨯=-，即122n n n -+=．显然当2n =时，上式成立，设12()2n n f n n-+=-（*n ∈N ），即(2)0f =．因为11322(1)()(2)(2)201(1)n n n n n f n f n n n n n --⎡⎤+++-=---=-+<⎢⎥++⎣⎦，所以数列{}()f n 单调递减， 所以()0f n =只有唯一解2n =，所以存在唯一正整数2n =，使得14ni i b n ==-∑成立． …… 16分20．（本小题满分16分）（1）解：当1k =时，()ln f x x x =，所以()1ln f x x '=+．①设切点为00()P x y ，，则0000001ln ln 1x c y x x y cx +=⎧⎪=⎨⎪=-⎩①②③…… 2分由②③得，0001ln cx x x -=④由①得0ln 1x c =-代入④得，001(1)cx x c -=-所以011x c ==，． …… 4分 ②由题意，得方程ln 1x x cx =-有正实数根，即方程1ln 0x c x+-=有正实数根，记1()ln h x x c x =+-，令22111()x h x x x x-'=-=， 当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>； 所以()h x 在(01)，上为减函数，在(1)∞，+上为增函数；所以min ()(1)1h x h c ==-． …… 6分 若1c <，则()(1)10h x h c =->≥，不合； 若1c =，由①知适合；若1c >，则(1)10h c =-<，又11(e )0e e c c ch c c =+-=>， 所以(1)(e )0c h h ⋅<，由零点存在性定理知()h x 在(1e )(0)c ⊆+∞，，上必有零点． 综上，c 的取值范围为[1)∞，+． …… 9分（2）由题意得，当2k ≥时，ln 1k x x cx -≥对于任意正实数x 恒成立， 所以当2k ≥时，11ln k c x x x -+≤对于任意正实数x 恒成立，由（1）知，1ln 1x x+≥，两边同时乘以x 得，ln 1x x x +≥①， 两边同时加上1x得，11ln 12x x x x x +++≥≥②，所以1ln 1x x x +≥（*），当且仅当1x =时取等号．对（*）式重复以上步骤①②可得，21ln 1x x x +≥，进而可得，31ln 1x x x +≥，41ln 1x x x+≥，……，所以当2k ≥，*N k ∈时，11ln 1k x x x -+≥，当且仅当1x =时取等号．所以1c ≤． …… 12分 当c 取最大值1时，2ln 1k x x ax bx x +-≥≥对于任意正实数x 恒成立， 令上式中1x =得， 00a b +≥≥，所以0a b +=， 所以21ax ax x --≥对于任意正实数x 恒成立， 即2(1)10ax a x -++≥对于任意正实数x 恒成立， 所以0a >，所以函数2(1)1y ax a x =-++的对称轴102a x a+=>， 所以2(1)40a a ∆=+-≤，即2(1)0a -≤，所以1a =，1b =-． …… 14分 又由21ln 1k x x x-+≥，两边同乘以x 2得，2ln k x x x x +≥，所以当1a =，1b =-时，2ln k x x ax bx +≥也恒成立，综上，得1a =，1b =-． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内 作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证明：因为EM ＝EN ，所以∠EMN ＝∠ENM ， …… 3分 因为ABCD 为圆内接四边形，所以∠FCN ＝∠A ，…… 6分又因为∠EMN ＝∠AFM ＋∠A ，∠ENM ＝∠BFM ＋∠FCN ，所以∠AFM ＝∠BFM ． …… 10分B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） （1）解：设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则有13111311a b a b c d c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，， …… 2分 故3311a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩ 解得2112a b c d ====，，，，所以2112M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．…… 5分 （2）由21131213--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，知(33)C '--，， 易求12133=1233M -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， …… 7分 由211133121133⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，得(11)D -，， 所以=(42)DC '--u u u u r ，． …… 10分C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3 (t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －3，…… 2分圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． …… 5分 圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －3＝0的距离为d ＝12＝． …… 7分又圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝14． …… 10分D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）证明：因为222151(22)5(3)()(2)044x y z xy yz zx x y x y z ++-++=-++-≥，…… 5分所以2(22)5(3)x y z xy yz zx ++++≥， 又因为221x y z ++=，所以135xy yz zx ++≤． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）（1）解：记“该同学获得i 个一等奖”为事件i A ，01i =，， 则()021111(1)(1)(1)(1)322224P A =-⨯-⨯-⨯-=，()31213212115(1)(1)(1)3232224P A C =⨯-+-⨯⨯⨯-=，所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为()()0115124244P A P A +=+=． …… 4分（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，()()01024P X P A ===，()()15124P X P A ===，()12223321121132(1)(1)()(1)3223228P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯-=，()2233332112173()(1)(1)()3223224P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯=，()32114()3212P X ==⨯=， 所以X 的概率分布为故()15972130123424242424246E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …… 10分23．（本小题满分10分）（1）证明：因为22()(())(1)f x f f x f x x ==-+，所以22()(21)(1)f x x f x x ''=--+， 因为1x >，所以210x ->，211x x -+>，所以22(1)2(1)10f x x x x '-+=-+->，所以2()0f x '>，所以2()f x 在(1)+∞，上为增函数． …… 4分（2）结论：对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数．证明：①当n =1时，结论显然成立；②假设当n =k 时结论也成立，即()k f x 在(1)+∞，上为增函数， 所以当1x >时，()0k f x '>在(1)+∞，上恒成立． 当n =k +1时，21()(())(1)k k k f x f f x f x x +==-+， 所以21()(21)(1)k k f x x f x x +''=--+ 又当1x >时，210x ->，211x x -+>，所以2(1)0k f x x '-+>在(1)+∞，上恒成立，所以21()(21)(1)0k k f x x f x x +''=--+>在(1)+∞，上恒成立， 所以1()k f x +在(1)+∞，上为增函数．由①②得证，对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数．…… 10分。

江苏省南通基地2020年高考数学密卷（6）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x >，则U A ð= ▲ ．2．已知复数z ＝21－i－i 3，其中i 虚数单位，则z 的模为 ▲ ．3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180，1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力，若高二抽到118名学生测视力，则全校共抽到测视力的人数为 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的 焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为4π3，则该三棱柱的体积是 ▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ▲．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:810C x y x m ++-+=与直线10x ++=相交于A ，B 两点．若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数．则|AB →＋t AC →|的最小值为 ▲ ． 11．若函数()1()log 1a x f x a x =+-（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 ▲ ．12．数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝15，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1对任何正整数n 成立，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 10的值为 ▲ ．13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin 0A B A B λ++=，且2a b c +=，则实数λ的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b ．（1）若3m =，1n =-，且()λ⊥+a a b ，求实数λ的值； （2）若5+=a b ，求⋅a b 的最大值．16．(本小题满分14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB AC =，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点M 、F 分别是线段1AA 、BC 的中点． （1）求证：AF ⊥DD 1； （2）求证：AD //平面1MBC ．17．(本小题满分16分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点BA（第16题）B 1A 1C 1MCF DD 1P 在x 轴的上方，且PF ⊥x 轴，线段PF ＝32．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的方程．18．（本小题满分16分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A 沿AB ，AC 方向修建两条小路， 休息亭P与入口的距离为米（其中a 为正常数），过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于E 、F 处，已知045BAP ∠=，12tan 5CAB ∠=． （1）设AE x =米，AF y =米，求y 关于x 的函数关系式及定义域； （2）试确定E ，F 的位置，使三条路围成的三角形AEF 地皮购价最低．A OB OC OP O（17题图）F E19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，公比为q (q ≠1)．令A ＝{k |a k ＝b k ，k ∈N*}． (1)若A ＝{1，2}，①当a n ＝n ，求数列{b n }的通项公式；②设a 1＞0，q ＞0，试比较a n 与b n (n ≥3)的大小？并证明你的结论． (2)问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论．2020年高考模拟试卷（6）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 内接四边形ABCD ，直线PA 与圆O 相切于点A ，与CD 的延长线交于点P ，AD ·BC ＝DP ·AB ，求证：AD ＝BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）二阶矩阵M 对应的变换将△ABC 变换成△A 1B 1C 1，其中△ABC 三个顶点坐标分别为A (1，－1)、B (－2，1)，C (2，2)，△A 1B 1C 1中与A 、B 对应的两个坐标分别为 A 1(－1，－1)、B 1(0，－2)．求C 1点的坐标．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）若两条曲线的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π3)＝1与ρ＝2sin(θ＋π3)，它们相交于A 、B两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求证：对任意x ，y ∈R,不等式x 2＋xy ＋y 2≥3(x ＋y －1)总成立．（第21题（A ）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）如图，在三棱锥A BCD -中，已知,ABD BCD ∆∆都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BF BAλ=．（1）当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值；（2）当CF 与平面ACD时，求λ的值．23．（本小题满分10分）设函数f n (x )＝1+x +12!x 2＋…＋1n !x n，n ∈N*．(1)求证：当x ∈(0，＋∞)时，e x＞f n (x )；(2)若x ＞0，且e x＝f n (x )+1(n +1)!x n +1e y ，求证：0＜y ＜x ．BC2020年高考模拟试卷（6）参考答案数学Ⅰ一、填空题： 1．(]02，2． 5 解：z ＝21－i－i 3＝1＋i ＋i ＝1＋2i ，所以| z |＝ 5．3．348 解：因为高二学生总数1180人，抽到118人，故抽了10%，所以高三学生抽到的人数为120，高一抽到的人数为110，共348人． 4．6 解：由题意抛物线定义可知，142p+=，所以6p =，即焦点到准线的距离为6． 5．4860 解：由题设可知，S ＝100+99+98+…+20＝4860．6．6 3 解：由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为2 3．V ＝ 34(2 3)2×2＝6 3．7． 12 解：将()f x 的图象向左平移π3个单位得到()ππsin 36y x ωω=+-，因为图象关于直线πx =对称，所以()4ππsin 136ω-=±，所以4ππππ362k ω-=+，即3142k ω=+，k ∈Z ，所以ω的最小值为12．8．23144 解：设两人到达A 地的时间分别是7点边m 分和7点过n 分(0≤m 、n ≤60)． 用数对(m ，n )表示两人分别到达A 地的时间．则在直角坐标系中， 点(m ，n )的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600． 两人能够在当天一同去A 地等价于|m －n |≤5．此时，相应点的存在 域是正方形中位于两直线m －n ＝±5之间的部分区域(如图)， 其面积为3600－552＝575．故所求概率为5753600＝23144．9．11- 解：圆C 的半径15r m =+，因为△ABC 为等边三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离32d r =．所以|41|31523m -+=⨯+，解得11m =-．10．32解：令a ＝AB →，b ＝AC →．则|a |＝|b |＝1，a 、b 的夹角为60°．于是，|AB →＋t AC →|2＝|a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2 t a ·b ＝t 2＋t +1＝(t ＋12)2＋34≥34．所以|AB →＋t AC →|≥32．11．01a <<或4a ≥ 解：令11x t a x =+-，则log a y t =．若01a <<，因为t 没有最大值，所以符合；若1a >，因为11121x t a x a =+--≥，要使原函数没有最小值，必须1210a -≤，解得4a ≥．12．85 解法一：由a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3及a 1＝14，a 2＝15，得a 3＝16，再由a 1a 2+a 2a 3+ a 3a 4＝3a 1a 4，a 4＝17．进一步得a 5＝18，a 6＝19， a 7＝110，a 8＝111，a 9＝112，a 10＝113，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝85．解法二：由a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1 ①，a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+ a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2 ②，②－①得，a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2－na 1 a n +11a 1＝n +1a n +1－n a n +2＝n a n －n －1a n +12a n +1＝1a n ＋1a n +2，(n ≥2)，则a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 32a 2＝1a 1＋1a 3，所以数列{1a n}成等差数列，公差为1，即1a n ＝n +3，a n ＝1n +3．代入可得1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝85．13． 2(,)4e -∞- 解：由对称性，只需当0x >时，2x e mx =-有两解即可.即2x e m x =-在0x >时有两解.设2()xe g x x =，由3(2)()0x e x g x x -'=>得()g x 在（0,2）上递减，在(2,)+∞上递增. 由图可知24e m ->，所以24e m <-． 14．43λ≤ 解：由条件，sin sin sin sin A B A B λ+=-．因为2a b c +=，所以sin sin 2sin A B C +=， 所以sin sin 12sin A B C +=，所以22()sin sin sin sin 2sin sin 2sin 2sin sin a b A B A B c A B C ab C ab C λ+++=-⨯=-=-． 而2222()2323cos 1222a b ab c c ab c C ab ab ab+---===-，所以22(1cos )3c C ab =+．由2a b c +=，得1cos 2C ≥，即π03C <≤，所以41cos 3sin 43C C λ=-+⋅≤．二、解答题：15．解：（1）当3m =，1n =-时，(1,3)=a ，又(2,1)=-b ，所以(1,3)(2,1)(12,3)λλλλ+=+-=+-a b ， 若(λ⊥+)a a b ，则(0λ⋅+)=a a b ，即(12)3(3)0λλ++-=，解得10λ=． …… 7分（2）因为(1,)m =a ，(2,)n =b ，所以(3,)m n ++a b =， 因为5+=a b ，所以2223()5m n ++=，则2()16m n +=， 所以211122()216644mn m n ⋅⨯+++=+⨯=≤a b =，故当2m n ==或2m n ==-时，⋅a b 的最大值为6． …… 14分16．证明：（1）∵AB =AC ，点F 是线段BC 的中点，∴AF ⊥BC ．…………………………………………2分 又∵平面11BB C C ⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC ， 平面11BB C C ⋂底面ABC BC =，∴AF ⊥平面11BB C C ． ……………………………………………………………………5分 又CC 1⊂平面11BB C C ，∴AF ⊥CC 1，又CC 1∥DD 1，∴AF ⊥DD 1．………………………………………………………………7分 （2）连结B 1C 与BC 1交于点E ，连结EM ，FE ．在斜三棱柱111ABC A B C -中，四边形BCC 1B 1是平行四边形， ∴点E 为B 1C 的中点． ∵点F 是BC 的中点， ∴FE //B 1B ，FE 12=B 1B ．…………………………10分 又∵点M 是平行四边形BCC 1B 1边AA 1的中点， ∴AM //B 1B ，AM 12=B 1B ． ∴AM // FE ，AM =FE ．∴四边形AFEM 是平行四边形．∴EM // AF ．…………………………………………12分 又EM ⊂平面MBC 1，AF ⊄平面MBC 1，BAE （第15（2）题图）B 1A 1C 1M C FDD 1∴AF //平面MBC 1．……………………………………………………………………14分 17．解：（1）设右焦点)0,(c F ，由x PF ⊥轴，设),(t c P 代入椭圆方程，即得),(2ab c P ，所以232==a b PF ，联立2222321e 2b a c a b c a ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩， …………………3分解得1,3,2===c b a ，所以椭圆方程为13422=+y x ，右准线l 的方程为42==ca x . (6)分（2）设)1)(,(000≠x y x A ，则直线AB 的方程为)1(100--=x x y y ，即100-=x y k ， 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=134)1(12200y x x x y y ， 消去y ， 即得0)1(1248]4)1(3[20202022020=--+-+-x y x y x y x (※)， ………………… 9分 又0x 为方程(※)的一根，所以另一根为()02020204138x y x y x B -+-=，又点)1)(,(000≠x y x A 在椭圆上，所以满足134220=+y x ，代入另一根即得528500--=x x x B ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---523,52850000x y x x B .由（1）知，点⎪⎭⎫⎝⎛231，P 则直线PA 的斜率()1232001--=x y k ，直线PB 的斜率)1(25220002-+-=x x y k ， (12)分①当APB ∠的平分线为PF 时，PA ，PB 的斜率1k ，2k 满足021=+k k ， 所以0)1(2522)1(2320000021=-+-+--=+x x y x y k k ，即1200-=x y ，所以21=k ，故直线AB 的方程为 x －2y －1＝0． …………… 14分18．（方法一）（1）由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠且sin sin()sin(45)FAP CAB PAE CAB ∠=∠-∠=∠-︒=由题可知AEF AEP AFP S S S =+V V V 所以111sin sin sin 222AE AF CAB AE AP PAE AP AF FAP ∠=∠+∠g g g g g g得1121121322xy x y ⋅=⋅+⋅⋅ 即1232113213xy ax ay =+ 所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 (2) 设三条路围成地皮购价为y 元，地皮购价为k 元/平方米，则AEF y k S =⋅V (k 为常数)， 所以要使y 最小，只要使AEF S V 最小 由题可知2111266136sin 221313134747AEF ax ax S AE AF CAB xy xy x x a x a=⋅⋅∠=⋅==⋅=--V 定义域为7(,)4a+∞ 令470t x a =-> 则2222763144934941488AEFt a a a t at a a a S t a t t t +⎛⎫ ⎪⎛⎫++⎝⎭==⋅=++ ⎪⎝⎭V 23211482a a a ⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当7t a =即72ax =时取等号 所以，当72ax =时，AEF S V 最小，所以y 最小 答：当点E 距离点A72a米远时，三条路围成地皮购价最低……………14分 （方法二）(1) 由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠sin sin()sin(45)FAP FAE PAE FAE ∠=∠-∠=∠-︒=设FPA θ∠=APF V 中，由正弦定理sin sin sin AF PF APAPF FAP AFE==∠∠∠所以26,sin sin yPF AFE θ=∠=同理可得122,sin xy xPE FE θ==由PF PE FE +=即12262sin sin y xy x θθ+整理得1347axy x a=-，由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 （方法三）（1）以AB 所在直线为x 轴，点A 为坐标原点，建立如图直角坐标系，则(),0E x ，()3,3P a a ，由12tan 5CAB ∠=，得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠所以512,1313F y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为PE u u u r 与PF u u u r共线所以()()51233331313y a a y a x a ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 19．解：)0(22)(2>+-=-+='x xax x a x x x f(1)当3=a 时,xx x x x x x f )1)(2(23)(2--=+-=', 令100)(<<⇒>'x x f 或2>x ,令210)(<<⇒<'x x f , 所以)(x f 的递增区间为)1,0(和),2(+∞,递减区间为)2,1(. (2)由于)(x f 有两个极值点21,x x ,则022=+-ax x 在),0(+∞∈x 上有两个不等的实根21,x x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>⇒≤<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>==+>-=∆∴1221121212222)10(02208x x x x a a x a x x a x x a )21ln 2()21ln 2()()(2222121121ax x x ax x x x f x f -+--+=- ))((2121)ln (ln 22121222121x x x x x x x x -+--+-= 21211121)2(21)2ln (ln 2x x x x -+-= )10(2ln 222ln 4121211≤<--+=x x x x设)10(2ln 222ln 4)(22≤<--+=x x xx x F ，所以0)2(4444)(3223423<--=--=--='xx x x x x x x x F 所以)(x F 在]1,0(上递减，所以2ln 223)1()(-=≥F x F即2ln 223)()(21-≥-x f x f . (3)由题意知：只需2)2()(max -->a k x g 成立即可.因为a ax x x x g ln 21ln )(2--+=, 所以a xx x g -+='1)(，因为]2,1[∈x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+25,21x x ，而)2,0(∈a ，所以0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,1[∈x 递增， 当2=x 时，a a g x g ln 222ln )2()(max +-+==. 所以2)2(ln 222ln -->--+a k a a 在上)2,0(∈a 恒成立，令42ln )2(2ln )(++----=a k a a a h ，则0)(>a h 在上)2,0(∈a 恒成立，aa k k a a h 1)2(21)(---=---='，又0)2(=h 当02≤--k 时，0)(<'a h ,)(a h 在)2,0(∈a 递减,当0→a 时，+∞→)(a h , 所以0)2()(=>h a h ，所以2-≥k ； 当02>--k 即2-<k 时，ka a h --=⇒='210)( ①2210<--<k即25-<k 时，)(a h 在)2,21(k --上递增，存在ka --=21，使得0)2()(=<h a h ，不合； ②221≥--k 即225-<≤-k 时，0)(<'a h ，)(a h 在)2,0(∈a 递减, 当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以225-<≤-k 综上, 实数k 的取值范围为),25[+∞-.20．解：(1) 由A ＝{1,2}，得a 1＝b 1，a 2＝b 2．设数列{a n }公差为d ，数列{b n }公比为我q ，由a 2＝b 2 a 1+ d ＝a 1q ，故d ＝a 1(q －1) ①因为a n ＝n ，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝2，所以数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，所以，b n ＝2n -1．……2分② 答：a n ＜b n (n ＝1，2，…)．证明如下： 因为a 1＞0，q ＞0，q ≠1，所以b n －a n ＝a 1q n -1－［(a 1＋(n －1) a 1(q －1)］＝a 1( q n -1－1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)(q n -2+q n -1+…+1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)［q n -2+q n -3+…+1－(n －1)］ ＝a 1(q －1)［(q n -2－1)+( q n -3－1)＋…＋(q －1)］＝a 1(q －1)2［(q n -3＋q n -4＋…+1)＋(q n -4＋q n -5＋…＋1)＋…＋(q ＋1)＋1］＞0．所以a n ＜b n (n ＝1，2，…)． ……………………………… 6分(2)不妨设a n ＝a +bn (b ≠0)，b n ＝pq n，由a n ＝b n a +bn ＝pq na p ＋b pn ＝q n． 令s ＝a p ，t ＝b p，(t ≠0)，原问题转化为关于n 的方程q n－tn －s ＝0 ① ……………………………… 8分 最多有多少个解．下面我们证明：当q ＞0时，方程①最多有2个解；q ＜0时，方程②最多有3个解． 当q ＞0时，考虑函数f (x )＝q x－tx －s ，则f ′(x )＝q xln q －t 如果t ln q ＜0，则f (x )为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果t ln q ＞0，且不妨设由f ′(x )＝0得f ′(x )有唯一零点x 0＝log q tln q，于是当x ＞x 0时，f ′(x )恒大于0或恒小于0，当x ＜x 0时，f ′(x )恒小于0或恒大于0，这样f (x )在区间(0，x 0)与(x 0，＋∞)上是单调函数，故方程①最多有2个解． …………………… 10分 当q ＜0时，如果t ＞0． 如果n 为奇数，则方程①变为 |q |n+tn +s ＝0，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①． 如果n 为偶数，则方程①变为|q |n －tn －s ＝0．由q ＞0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个． 这样，最多有3个正数满足方程①．对于t ＜0，同理可以证明，方程①最多有3个解．综上所述，集合A 中的元素个数最多有3个． ……………………………… 12分 再由当a n ＝6n －8，，b n ＝(－2)n，则a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 4＝b 4．A ＝{1，2，4}． 由此，可知集合A 中的元素个数最多有3个． ………………… 16分数学Ⅱ（附加题）21A ．证明：连AC ，在△ABC 与△ADP 中， 因为A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠ADP ＝∠ABC ， 又因为AD ·BC ＝DP ·AB ，即 AD DP ＝ABBC， 所以 △ABC ∽△ADP ， 所以 ∠BAC ＝∠DAP ．因为 直线PA 与圆O 相切，所以 ∠DAP ＝∠ACD ， 所以 ∠BAC ＝∠ACD ，所以，A B ∥CD ，所以圆内接四边形ABCD 为等腰梯形，所以AD ＝BC ．21B ．解：设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则有a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=02⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 所以11a b c d -=-⎧⎨-=-⎩，，且2022a b c d -+=⎧⎨-+=-⎩，．解得1234a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，所以M =12 34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤614，即C 点坐标为(6,14)．21C ．解：由ρsin(θ＋π3)＝1得， 3x ＋y －2＝0，由ρ＝2sin(θ＋π3) 得，x 2+y 2－ 3x－y ＝0，直线3x ＋y －2＝0过圆x 2+y 2－3x －y ＝0的圆心(32，12)， 所以线段AB 的长为圆ρ＝2sin(θ＋π3)的直径长，即AB ＝2．21D ．法一：左－右=x 2＋（y －3) x ＋y 2－3y ＋3∵Δ=（y －3)2－4（y 2－3y ＋3）=－3 y 2＋6 y －3 ≤ 0 ∴左－右≥0 得证。

2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷一数学Ⅰ参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．锥体的体积13V Sh =，其中S 是椎体的底面积，h 是椎体的高．一．填空题：本题共14小题．请把答案填写在答题卡相应位置上 1．已知集合{}2{|13},|9A x x B x Z x =-≤<=∈<，则A∩B=________． 2．已知复数z 满足43iz i =+（i 为虚数单位），则z=________． 3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为________．4．下图是青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数为________．5．直线x+y+a=0是圆x 2+y 2-4y=0的一条对称轴，则a=________． 6．函数()f x =________．7．已知存在2,,sin 3sin 022x x x a ππ⎡⎤∈--++>⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是________．8．在区间[0,2]上随机取两个数x ，y ，则事件“x 2+y 2≤4”发生的概率为________．9．等差数列{}n a 的前n 项和S n ，若S 2=4，S 6=10，则S 10=________．10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F，直线:l y =与C 交于A ，B 两点，AF ，BF 的中点分别为M ，N ，若以线段MN 为直径的圆经过原点，则双曲线C 的离心率为________．11．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数'()f x 既是R 上增函数，又是奇函数，则满足不等式(1)(3)f m f m -≥的实数m 的取值范围为________．12．已知球O 与棱长为8的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的所有棱都相切，点P 是球O 上一点，点Q 是△A 1C 1B 的外接圆上的一点，则线段PQ 的取值范围是________．13．已知正数ab 满足a+b=1，则1411a b+--的最小值为________． 14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2222020a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B ⋅=⋅+________．二．解答题：本大题共6小题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知sin ),sin 0,2πααβββ⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求cos2β；（Ⅱ）求tan()αβ+的值．16．如图，已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ，BC=CD=PD=2AD ，AD ⊥CD ，PD ⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点．（Ⅰ）求证：AE平面PDC ；（Ⅱ）求证：AE ⊥BC ．17．如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为弧EF 的中点，其所在圆O 的半径为8dm （圆心O 在弓形EMF 内），23EOF π∠=．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD （不计损耗），ADBC ，且点A ，D 在EF 上，设2AOD α∠=．（Ⅰ）求矩形铁片ABCD 的面积S 关于α的函数关系式（Ⅱ）当裁出的矩形铁片ABCD 面积最大时，求cos α的值．18．已知点52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，12,A A 分别为E 的左、右顶点，直线A 1M 与A 2M 的斜率之积为59-，F 为椭圆的右焦点，直线9:2l x =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）直线m 过点F 且与椭圆E 交于B ，C 两点，直线BA 2，CA 2分别与直线l 交于P ，Q两点，以PQ 为直径的圆过定点3,12⎛⎫⎪⎝⎭，求直线m 的方程．19．已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当x>1时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围． 20．在数列{}n a 中，若*n a N ∈，且1, (1,2,3,)23,nn n n n a a a n a a +⎧⎪==⎨⎪+⎩是偶数是奇数，则称{}n a 为“J 数列”．设{}n a 为“J 数列”，记{}n a 的前n 项和为S n ． （Ⅰ）若a 1=10，求S 3n 的值； （Ⅱ）若S 3=17，求a 1的值；（Ⅲ）证明：{}n a 中总有一项为1或3．数学Ⅱ（附加题）21【选做题】：本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵与变换] 给定矩阵3113A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭．（Ⅰ）求矩阵A 的特征值；（Ⅱ）证明：111e ⎛⎫= ⎪⎝⎭和211e ⎛⎫= ⎪-⎝⎭是矩阵A 的特征向量．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线l 的方程1sin 62πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线C 的方程为4cos 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直线l与曲线C 相交于A ，B 两点，求||AB 的值．C ．[选修4-5：不等式选讲]若m ，n 都是正数，且存在实数x 使得11|14||12|x x m n ⎛⎫--+≤-+ ⎪⎝⎭成立，求m+n 的最小值．【必做题】第22题、第23题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．设1002100012100(2)a a x a x a x =++++，求下列各式的值：（Ⅰ）求a 的值（用指数表示）； （Ⅱ）求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．23．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至2月29日，该省已累计确诊1349例患者（无境外输入病例）．（Ⅰ）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取100名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表：由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄Z 服从正态分布()2,15.2N μ，其中μ近似为这100名患者年龄的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．请估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上（≥70）的患者比例；（Ⅱ）截至2月29日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10%，以这些密切接触者确诊的频率代替1名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立．现有密切接触者20人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20名密切接触者随机地按n （1<n<20且n 是20的约数）个人一组平均分组，并将同组的n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记n 个人中患者的人数为n X ，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得20人的化验总次数最少的n 的值．参考数据：若()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=， (22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9973P Y μσμσ-<<+=， 40.90.66≈，50.90.59≈，100.90.35≈．2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷一数学Ⅰ答案二．解答题15解：（Ⅰ）由224cos 212sin 125ββ=-=-⨯=⎝⎭． （Ⅱ）由in 0,2s πββ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，得：cos β=． 由sin )ααβ+得 sin[()])αββαβ+-=+ sin()cos())αβαβαβ⇒+-+=+ ))αβαβ+=+ tan()2αβ⇒+=-．16．解：（Ⅰ）取PC 的中点F ，连接EF ，FD ∵E 是PB 的中点 ∴1,2EF BC EF BC =又1,2ADBC AD BC =∴EF AD ，EF=AD ．即四边形ADFE 为平行四边形． 又∵AE DF ，DF ⊂平面 PCD ，AE ⊄平面PCD ∴AE 平面PCD（Ⅱ）∵PD=DC ，显然DF ⊥PC ． 又∵ PD ABCDPD BC BC ABCD ⊥⎧⇒⊥⎨⊂⎩平面平面， 又∵CD ⊥BC ，CD∩PD=D ∴BC ⊥平面PCD 又∵DF ⊂平面PCD ∴BC ⊥DF 又∵BC∩PC=C ∴DF ⊥平面PBC 又∵AE//DF ∴AE ⊥平面PBC 又∵BC ⊂平面PBC ∴AE ⊥BC ． 17．解：（Ⅰ）设矩形ABCD 的面积为S ，AOM α∠=． 当03πα<<时（图1），8cos 8cos8cos 4,28sin 16sin 3AB AD παααα=+=+=⨯=此时，16sin (8cos 4)64(sin 2sin cos )S AB AD ααααα=⋅=⨯+=+.当233ππα≤<时（图2），28cos 16cos ,28sin 16sin AB AD αααα=⨯==⨯=此时，16sin 16cos 128sin2S AB AD ααα=⋅=⨯=．故矩形ABCD 的面积为64(sin 2sin cos ),032128sin 2,33S πααααππαα⎧+<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩（Ⅱ）当03πα<<时，()()222'64cos 2cos 2sin 644cos cos 2S ααααα=+-=+-．令'0S =，得cos α=0α． 当()00,αα∈，0S '>，此时S 单调递增；当0,3παα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0S '<，此时S 单调递减；故当0αα=时，S 取极大值． 当233ππα≤<时，128sin2S α=是单调递减． 故当0αα=时，即cos α=18．解：（Ⅰ）由题意知，224251955533229a b a a⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪+-⎩，得：2295a b ⎧=⎨=⎩． 所求椭圆方程22195a y +=．（Ⅱ）设()()11222,,,,(3,0)B x y C x y A BC 直线方程：x=ky+2，与抛物线方程联立 222195x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()225920250k y ky ++-= 由韦达定理，12212220592559k y y k y y k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩由条件，BA 2直线方程：1(3)y k x =-， 令92x =，得：132P k y =，139,22k P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由条件，CA 2直线方程：2(3)y k x =-， 令92x =，得：232Q k y =，239,22k Q ⎛⎫⎪⎝⎭．∴以PQ 为直径的圆的方程2123330222k k x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即：()2212123390224x y k k y k k ⎛⎫-+-++= ⎪⎝⎭（*）12121212123311y y y y k k x x ky ky +=+=+---- ()()2212122212122225202210595925201315959k k ky y y y k k k k k y y k y y k k k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭===-⋅-++⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⋅⎝⎭. 12121212123311y y y y k k x x ky ky =⋅=⋅----()2122212122225255925201915959y y k k k y y k y y k k k k ⋅+===-⋅-++⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.将12k k +，12k k 带入式（*），得： 223255024x y ky ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭． 将3,12⎛⎫⎪⎝⎭代入，得2120k =，∴21220x y =+．即所求直线m 方程20x-21y-40=0． 19.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 22212(22)1'()(1)(1)a x a x f x x x x x +-+=-=++． 令2(22)10x a x +-+=，则2(22)44(2)a a a ∆=--=-． （1）当02a ≤≤时，'()0f x ≥，此时，()f x 的单调递增区间(0,)+∞，无单调递减区间． （2）当a<0时，'()0f x ≥，此时，()f x 的单调递增区间(0,)+∞，无单调递减区间． （3）当a>2时，'()0f x =，得1,21x a =-此时，()f x的单调递增区间(0,1a --，()1a -++∞；单调递减区间(11a a --+；综上所述，a≤2时，()f x 的单调递增区间(0,)+∞，无单调递减区间； a>2时，()f x的单调递增区间(0,1a --，()1a -++∞；单调递减区间(11a a --+； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，（1）a≤2时，()f x 在(0,)+∞单调递增． ∵x≥1时，∴()(1)0f x f >=，符合题意．（2）a>2时，111a a -<-()f x 在(1,1a -+单调递减，(1)a -+∞单调递增．∴()(1(1)0f x f a f =-<=最小值，不符合题意．（15分） ∴实数a 的取值范围(,2]-∞．20．解：（Ⅰ）当a 1=10时，{a n }中的各项依次为10，5，8，4，2，1，4，2，1，…， 所以S 3n =7n+16．（Ⅱ）（1）若a 1是奇数，则a 2=a 1+3是偶数，213322a a a +==， 由S 3=17，得()11133172a a a ++++=，解得a 1=5，适合题意． （2）若a 1是偶数，不妨设()*12a k k =∈N ，则122a a k ==． 若k 是偶数，则2322a k a ==， 由S 3=17，得2172kk k ++=，此方程无整数解； 若k 是奇数，则a 3=k+3，由S 3=17，得2k+k+k+3=17，此方程无整数解． 综上，15a =．（Ⅲ）首先证明：一定存在某个i a ，使得6i a ≤成立． 否则，对每一个*i ∈N ，都有6i a >， 则在i a 为奇数时，必有232i i i a a a ++=<； 在i a 为偶数时，有232i i i a a a +=+<，或24i i i aa a +=<． 因此，若对每一个*i ∈N ，都有6i a >，则135,,,a a a 单调递减，注意到*n a ∈N ，显然这一过程不可能无限进行下去， 所以必定存在某个i a ，使得6i a ≤成立．经检验，当2i a =，或4i a =，或5i a =时，{}n a 中出现1；当6i a =时，{}n a 中出现3， 综上，{}n a 中总有一项为1或3． 21【选做题】A ．[选修4-2：矩阵与变换] 解：（Ⅰ）A 的特征多项式为 231||(3)1(4)(2)13λλλλλλ---==--=----A E所以A 的特征值为12λ=，24λ=．（Ⅱ）证明：111e ⎛⎫= ⎪⎝⎭在矩阵A 的作用下，其像与其保持共线，即31121213121-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．211e ⎛⎫= ⎪-⎝⎭在矩阵A 的作用下，其像与其保持共线，即31141413141-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．所以111e ⎛⎫= ⎪⎝⎭和211e ⎛⎫= ⎪-⎝⎭是矩阵A 的特征向量．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]解：由题意知，直线l 过点(1,0)P ，且倾斜角6π， 直线l的参数方程：112x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）；由24cos 4cos cos 4sin sin 333πππρθρρθρθ⎛⎫=+⇒=- ⎪⎝⎭222220(1)(4x y x x y ⇒+-+=⇒-++=将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，得22142t ⎫⎛++=⎪ ⎪⎝⎝⎭，整理，得210t -=，由韦达定理得：12121t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=-⎪⎩∴12||||||AB PA PB t t =+=-==．C ．[选修4-5：不等式选讲]解：设122,411()|41||21|6,24122,2x x f x x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=--+=--<<⎨⎪⎪-+≤-⎪⎩当14x =，min 3()2f x =-．由题意，min 11()f x m n ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，即1132m n ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，1132m n +≤．11()2224n m m n m n m n ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭．48113m n m n ∴+≥≥+. 当且仅当m=n 时，m+n 的最小值83．【必做题】22．解：（Ⅰ）10002a =．（Ⅱ）令x=1，得1000123100(2a a a a a -=+++++；令x=-1，得1000123100(2a a a a a +=-+-++；∴()()22024********a a a a a a a a ++++-++++()()01231000123100a a a a a a a a a a =+++++-+-++100100(2(2=⋅+1=．23．解： （Ⅰ）2156251235184522552265127548529554.8100μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==；(54.815.254.815.2)(39.670)0.6826P Z P Z ∴-<<+=<<=．故1(39.670)10.6826(70)0.158715.87%22P Z P Z -<<-≥====．（Ⅱ）由题意，每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为110，n 的可能取值为2，4，5，10．当{2,4,5,10}n ∈时，1~,10n X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭对于某组n 个人，化验次数Y 的可能值为：1，n+19(1)10n P Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，9(1)110nP Y n ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭ 999()1(1)11101010n n n E Y n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅++⋅-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 则20人的化验总次数为20919()12011010n n f n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 经计算(2)13.8,(4)11.8,(5)12.2,(10)15f f f f ≈≈≈≈当n=4时符合题意，按4人一组检测，可使化验总次数最少．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷一数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差()2211n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑ 柱体的体积V Sh =,其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积13V Sh =，其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高．一．填空题：本题共14小题．请把答案填写在答题卡相应位置上1．已知集合{}2{|13},|9A x x B x Z x =-≤<=∈<，则A∩B=________．2．已知复数z 满足43iz i =+（i 为虚数单位），则z=________．3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为________．4．下图是青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数为________．5．直线x+y+a=0是圆x 2+y 2—4y=0的一条对称轴，则a=________．6．函数()f x =________．7．已知存在2,,sin 3sin 022x x x a ππ⎡⎤∈--++>⎢⎥⎣⎦恒成立,则实数a 的取值范围是________． 8．在区间[0,2]上随机取两个数x ，y ，则事件“x 2+y 2≤4”发生的概率为________．9．等差数列{}n a 的前n 项和S n ,若S 2=4，S 6=10，则S 10=________．10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线:l y 与C 交于A ，B 两点，AF,BF 的中点分别为M ，N ，若以线段MN 为直径的圆经过原点,则双曲线C 的离心率为________．11．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数'()f x 既是R 上增函数，又是奇函数，则满足不等式(1)(3)f m f m -≥的实数m 的取值范围为________．12．已知球O 与棱长为8的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的所有棱都相切,点P 是球O 上一点，点Q 是△A 1C 1B 的外接圆上的一点，则线段PQ 的取值范围是________．13．已知正数ab 满足a+b=1,则1411a b+--的最小值为________． 14．在△ABC 中,a,b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2222020a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A B C A B ⋅=⋅+________． 二．解答题：本大题共6小题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知sin ),sin 0,2πααβββ⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭． （Ⅰ)求cos 2β；（Ⅱ)求tan()αβ+的值．16．如图,已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ，BC=CD=PD=2AD ，AD⊥CD ,PD⊥平面ABCD ，E 为PB 的中点．。

2020届高三基地学校第一次大联考数学I参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 为柱体的底面积，h 为高．球体的体积公式34π3V R =球体，其中R 为球体的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．．1．已知集合{}11A x x =-<<，{}101B =-，，，则A B = ▲．2．已知复数z 满足10i z z =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为▲.3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为▲．4．若样本数据3，4，5，x ，y 的平均数为4，且12xy =，则此样本的方差为▲．5．从1，2，3，4，5中随机取出两个不同的数，则两数之积大于10的概率为▲．6．现有一个半径为3cm 的实心铁球，将其高温融化后铸成一个底面圆半径为3cm 的圆柱状实心铁器（不计损耗），则该圆柱铁器的高为▲cm ．7．已知函数π()2sin(0)3f x x ωω=+>的图象关于点π(0)2，对称，则ω的最小值为▲．8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a ≠，323a a =，则105S S 的值为▲．9．在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线C ：22(0)x py p =>在点1x =处的切线为注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。

3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效。

如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。

江苏省南通市 2020 届高三基地学校第一次大联考数 学 I一．填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分. 请将答案填写在答题卡的指定位置，在其他位置作一律无效.1．已知集合 A ＝{x |−1 < x < 1}，B ＝{−1,0,1} 则 A ∩B = ． 2．已知复数z 满足10z z i -=( i 为庭数单位），则z 的虚部为 ．3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ．4．若样本数据 3,4,5,x ,y 的平均数为4，且xy ＝12, 则此样本的方差为 ．5．从 1,2,3,4,5中随机取出两个不同的数，则两数之积大于10的概率为 ．6．现有一个半径为 3 cm 的实心铁球，将其高温融化后转成一个底面圆半径为 3 cm 的圆柱状实心铁器（不计损耗），则该圆柱铁器的高为 cm ． 7．己知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭( ω > 0) 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值为 8．设等差数列{}n a 的前 n 项和为n S ，若1310,3a a a ≠=，则105S S 的值为 ． 9．在平面直角坐标系 xOy 中，设抛物线 C :22x py =(p > 0) 在点x ＝1 处的切线为l . 若l 与该抛物线的准线的交点横坐标为732，则p 的值为 ． 10．已知函数y ＝f (x ) 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+. 则满足不等式()2240f a a-+>的实数a 的取值范围是 ．11．已知x ,y 为正实数，则292y x x x y++的最小值为 ． 12．在△ABC 中，已知, 3.3A AB π==若D 为 BC 中点，且AD ＝2π，则AC AD ⋅= ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知 AB 是圆22:4O x y +=的直径. 若与圆 O 外离的圆()()2221:68O x y r -+-=(r > 0) 上存在点M ，连接 AM 与圆O 交于点N ，满足BM//ON, 则半径 r 的取值范围是 ．14．己知函数()()211f x x m x =-+-与 g(x) = lnx −2x −2m 的零点分别为12,x x和34,x x ，若x 1< x 3 <x 2 < x 4 ，则实数m 的取值范围是 ．二．解答题：本大题共 6 小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分 14 分) 如图，在三棱锥 A−BCD 中，AB = AD,BC ⊥BD.E 为 CD 的中点，O 为BD 上一点，且 AO ⊥平面BCD ．求证： (1) BC//平面AOE ；(2) 平面ABD ⊥平面AOE ．16．(本小题满分 14 分)在 △ABC 中，角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c. 已知 asinB = bsin 2B C+． (1) 求角 A 的值； (2) 若1cos 64B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求 cosC 的值．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()F ，点12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆 C 上．(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 已知圆222:O x y a +=, 连接 FA 并延长交圆 O 于点 B,H 为椭圆长轴上一点（异于左、右焦点），过点 H 作椭圆长轴的垂线分别交椭圆 C 和圆 O 于点 P,Q (P,Q 均在 x 轴上方）。

江苏省南通市2020学年度第一学期高三考试理科数学试题本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第I 卷1—2页，第II 卷3—8页，满分160分，考试时间120分钟。

第I 卷 (选择题，共50分)注意事项： 1、答第I 卷前，考生务必在答题卡姓名栏内写上自己的姓名、考试科目、准考证号，并用2B 铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3、考试结束，将答题卡和第II 卷一并交回。

一．选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1．设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ）A （1.25,1.5）B （1,1.25）C （1.5,2）D 不能确定（ ）2．如图，阴影部分所表示的集合是（ ）A. B A C I IB. B C A I IC. B A C I YD. B C A I Y3．下列四个函数中，在区间（0，1）上为减函数的是（ ）A ．x y 2log =B ．y=cosxC ．xy )21(-= D ．31x y =4．若32232,,log 3xa b x c x⎛⎫=== ⎪⎝⎭，当1x >时，,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<5．对函数f (x )=ax 2+bx +c (0a ≠，b 、c ∈R)作x =h (t )的代换，使得代换前后函数的值域总不改变的代换是 （ ）A . h (t )=10tB . h (t )=t 2C . h (t )=sin tD . h (t )=log 2t6．若函数1()()(2,)2ax f x a x +=-∞+n 为常数在内为增函数，则实数a 的取值范围（ ）A ．),21(+∞B ．),21[+∞C ．)21,(-∞ D ．]21,(-∞ 7．设偶函数bx x f a -=log )(在()0,∞-上递增，则)2()1(++b f a f 与的大小关系是（ ）A.)2()1(+=+b f a fB.)2()1(+>+b f a fC.)2()1(+<+b f a fD.不能确定 8．若)1()2)(1(:*,,-+++=∈∈n x x x x H N n R x nx K K 规定，例如： 7333)(,6)1()2()3(--⋅=-=-⋅-⋅-=x H x x f H 则函数（ ）A ．是奇函数不是偶函数B ．即是奇函数又是偶函数C ．是偶函数不是奇函数D ．即不是奇函数又不是偶函数9．图中阴影部分的面积S 是h 的函数)0(H h ≤≤，则该函数的大致图象是（ ）10. 现代社会对破译密码的难度要求越来越高。

2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷(一)(2月份)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设集合A={1,2，3}，B={2,4，6}，则A∩B=________．2.已知复数z满足z⋅i=3−4i(i为虚数单位)，则∣z∣=________________．3.某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，则应从高三年级抽取______名志愿者．4.执行如图所示的程序框图，则输出的y等于______．5.若f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x−x2，则f(−2)=____．6.等比数列{a n}中，a1+a2=1，a5+a6=16，则a9+a10=______．7.已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若该球的表面积为48π，则圆柱的侧面积为_____．8.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是________．9.设a>0，b>0，lg√2是lg4a与lg2b的等差中项，则2a +1b的最小值为_______．10.若命题“∀x∈(0,+∞)，x+1x≥m”是假命题，则实数m的取值范围是____．11.已知圆O：x2+y2=1，直线l：x+y+m=0，若直线l上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=90°，则m的取值范围是______ ．12. 已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角为2π3，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 13. 设f(x)为定义在(−3,3)上的奇函数，当−3<x <0时，f(x)=log 2(3+x)，f(1)= ______ ．14. 已知函数f (x )=axlnx −e x (其中e 为自然对数的底数)存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围是________．二、解答题（本大题共10小题，共130.0分）15. 已知函数． (Ⅰ)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(Ⅱ)求f(x)在[π4,π2]上的最值．16. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 为侧棱PA 的中点．(1)求证：PC//平面BDE ；(2)若PC ⊥PA ，PD =AD ，求证：PA ⊥平面BDE ．17.如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区，已知∠A=120∘，AB、AC的长度均大于200米，设AP=x，AQ=y，且AP、AQ总长度为200米.(1)当x、y为何值时，游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积？(2)当x、y为何值时，线段PQ最小，并求最小值？18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，短轴的一个端点到右焦点的距离是√3(1)求椭圆C的方程；(2)直线y=x+1交椭圆于A、B两点，P为椭圆上的一点，求△PAB面积的最大值．19.已知f(x)=xlnx−12ax2−x+a2+1(a∈R)．(1)若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x+y+b=0，求实数a，b的值；(2)若函数f(x)恰有两个极值点，求a的取值范围．20.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，求S6的取值范围．21.A.直线l:2x−y+3=0经矩阵M=(a01d)变换后还是直线l，求矩阵M的特征值．22. (I)求以极坐标系中的点(2,π6)为圆心，2为半径的圆的极坐标方程．(Ⅱ)极坐标系中，求点P(2 , −π6)到直线：l:ρsin(θ−π6)=1的距离．23. 如图，从甲地到丙地要经过两个十字路口(十字路口1与十字路口2)，从乙地到丙地也要经过两个十字路口(十字路口3与十字路口4)，设各路口信号灯工作相互独立，且在1，2，3，4路口遇到红灯的概率分别为12，12，13，12．(1)求一辆车从乙地到丙地至少遇到一个红灯的概率；(2)若小方驾驶一辆车从甲地出发，小张驾驶一辆车从乙地出发，他们相约在丙地见面，记X 表示这两人见面之前车辆行驶路上遇到的红灯的总个数，求X 的分布列及数学期望．24.已知整数n≥4，集合M={1,2，3，…，n}的所有3个元素的子集记为A1，A2，…，A C3.当n=5n 时，求集合A1，A2，…，A C3中所有元素的和．5【答案与解析】1.答案：{2}解析：本题考查集合的交集运算，直接由交集的定义可得结论．解：因为集合A={1,2，3}，B={2,4，6}，所以A∩B={1,2，3}∩{2，4，6}={2}．2.答案：5解析：本题考查了复数的四则运算，属于容易题．解：已知复数z满足z⋅i=3−4i，z=3−4ii =(3−4i)(−i)i·(−i)=−4−3i，|z|=5．故答案为5．3.答案：15解析：本题考查分层抽样，先求出高三学生在总体中所占的比例，再用样本容量乘以此比例，即得应从高三年级抽取的学生人数．解：高三学生在总体中所占的比例为34+3+3=310，故应从高三年级抽取的学生人数为50×310=15，故答案为15．4.答案：4解析：解：执行程序框图，可得x=1，y=1满足条件x≤4，x=2，y=2满足条件x≤4，x=4，y=3满足条件x≤4，x=8，y=4不满足条件x≤4，输出y的值为4．故答案为：4．执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=8时，不满足条件x≤4，输出y的值为4．本题主要考查了程序框图和算法，准确执行循环得到y的值是解题的关键，属于基础题．5.答案：2解析：本题考查利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题．根据奇函数得f(−2)=−f(2)，代入已知函数解析式求值即可．解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x−x2，所以f(−2)=−f(2)=−(2−4)=2，故答案为：2．6.答案：256解析：本题考查等比数列的通项公式，属于基础题．解：设等比数列{a n}的公比为q，因为a1+a2=1，a5+a6=16，所以a5+a6=q4(a1+a2)，因此q4=16，所以a9+a10=q8(a1+a2)=256．故答案为256．7.答案：48π解析：本题考查圆柱的侧面积及球的表面积公式的应用，考查计算能力，是基础题．先由球的表面积为48π求出球的半径，然后由圆柱的侧面积公式算出即可．解：因为球的表面积S=4πR2=48π，所以球的半径R=2√3，所以圆柱的底面直径与高都为4√3，所以圆柱的侧面积：π×4√3×4√3=48π故答案为：48π．8.答案：√5−12解析：本题考查两直线垂直斜率之间的关系，椭圆的几何性质．写出B2，F，B1，A的坐标，根据B2F⊥AB1，得到斜率之间的关系，从而得到a，b，c之间的关系，结合离心率的公式可求解．解：由题知，B2(0,b)，F(c,0)，B1(0,−b)，A(a,0)，由B2F⊥AB1得k B2F ⋅k B1A=b−00−c⋅0−(−b)a−0=−b2ac=−1，则b2=ac，即a2−c2=ac，即e2+e−1=0，又因为椭圆离心率e∈(0,1).解得e=√5−12．9.答案：9解析：本题主要考查基本不等式的应用，利用等差中项的定义建立a，b的关系是解决本题的关键，属于中档题．根据等差中项的定义建立a，b的关系，然后利用基本不等式进行求解即可．解：是lg4a与lg2b的等差中项，∴2lg√2=lg4a+lg2b，即lg2=lg(4a·2b)，∴4a·2b=22a+b=2，即2a+b=1，∵2a+1b=(2a+1b)×1=(2a+1b)(2a+b)=4+1+2ba +2ab，又∵a>0，b>0，∴2a +1b≥5+2√2ba⋅2ab=9，当且仅当2ba =2ab，即a=b=13时取等号，∴2a +1b的最小值为9．故答案为9．10.答案：(2,+∞)解析：本题考查全称命题的否定及其真假判断，不等式恒成立问题和利用基本不等式求最值，属基础题，“∀x∈(0,+∞)，x+1x ⩾m”是假命题，∴∃x>0，使得x+1x<m，然后利用基本不等式求得x+1x的最小值为2，即得m的取值范围．解：∵x>0，∴x+1x ≥2√x·1x=2，当x=1时取等号，∴x+1x的最小值为2，又∵“∀x∈(0,+∞)，x+1x⩾m”是假命题，∴∃x>0，使得x+1x<m，∴m>2，即m的取值范围(2,+∞)．故答案为(2,+∞)．11.答案：[−2,2]解析：解：如图，∠APB=90°，OA=OB=1，PA=PB，PO=PO，∴△PAO≌△PBO，故∠APO=∠BPO=45°，又∵OA=1，∴OP=√2，故直线x+y+m=0上存在点P到圆心O的距离为√2，由√2≤√2，解得−2≤m ≤2．∴m 的取值范围是[−2,2]． 故答案为：[−2,2]．由题意画出图形，把问题转化为线l 上存在点P ，满足P 到原点的距离为√2，再由点到直线的距离公式列式求解．本题考查直线与圆的位置关系，考查化归与转化、数形结合的思想，考查运算求解能力，是中档题．12.答案：−10解析：解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4×3×cos π3−42=6−16=−10．故答案为−10．由题意根据向量数量积运算即可求得结论．本题主要考查向量的运算法则及数量积运算，属于基础题．13.答案：−1解析：解：∵当−3<x <0时，f(x)=log 2(3+x)， ∴f(−1)=log 2(3−1)=1． ∵f(x)为定义在(−3,3)上的奇函数， ∴f(1)=−f(−1)=−1． 故答案为：−1．利用奇函数的性质即可得出．本题考查了奇函数的性质，属于基础题．14.答案：解析：本题考查了利用导数求函数的极值问题，求出函数的导数，由已知条件结合零点存在定理进行判断即可．解：f′(x)=a lnx +a −e x =a(lnx +1)−e x ， 令f′(x)=0，即a(lnx +1)−e x =0， 解得x =0，∴f(x)在x=0处存在极值为，f(0)=−e0=−1<0，又∵函数存在唯一的极值点，∴只需要f′(x)=a(lnx+1)−e x<0即可，∵e x在R上恒大于0，则只需a<0即可，∴a的取值范围为，故答案为．15.答案：解：(Ⅰ)f(x)的最小正周期T=2π2=π，由−π2+2kπ⩽2x−π3⩽π2+2kπ，k∈Z，解得−π12+kπ⩽x⩽5π12+kπ，k∈Z.∴f(x)的单调递增区间为[−π12+kπ, 5π12+kπ]，k∈Z;(Ⅱ)∵x∈[π4, π2]，∴2x−π3∈[π6, 2π3]，则，∴f(x)∈[2,3]，即f(x)的最小值为2，最大值为3．解析：本题考查三角函数的图像与性质以及三角函数的最值，需用二倍角公式进行变化，属于中档题．(Ⅰ)对函数进行恒等变换得，从而可得出最小正周期与单调递增区间;(Ⅱ)根据x的取值范围，得2x−π3的取值范围，即可得到f(x)在[π4,π2]上的最值．16.答案：证明：(1)连结AC，交BD于O，连结OE．因为ABCD 是平行四边形，所以OA =OC ． 因为E 为侧棱PA 的中点，所以OE// PC ． 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， 所以PC //平面BDE ；(2)因为E 为PA 中点，PD =AD ，所以PA ⊥DE ． 因为PC ⊥PA ，OE // PC ，所以PA ⊥OE ．因为OE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，OE ∩DE =E ， 所以PA ⊥平面BDE ．解析：本题主要考查线面平行的判定和线面垂直的判定，属中档题．(1)连结AC ，交BD 于O ，连结OE ，E 为PA 的中点，利用三角形中位线的性质，可知OE // PC ，利用线面平行的判定定理，即可得出结论;(2)先证明PA ⊥DE ，再证明PA ⊥OE ，利用线面垂直的判定定理，即可得PA ⊥平面BDE ．17.答案：解：1)由题意可知，x +y =200，且x >0，y >0．的面积为=12xy ×√32=√34xy ． 由基本不等式得=√34×1002=2500√3(m 2)，当且仅当{x +y =200x =y时，即当x =y =100时，等号成立，因此，当x =y =100时，游客体验活动区APQ 的面积取得最大值2500√3m 2； (2)由余弦定理得=√x 2+y 2−2xy ⋅(−12)=√x 2+y 2+xy=√(x +y)2−xy =√40000−xy ，由基本不等式得PQ =√40000−xy ⩾√40000−(x+y 2)2=√40000−1002=100√3 (m)．当且仅当{x +y =200x =y 时，即当x =y =100时，等号成立，因此，当x =y =100时，PQ 取得最小值100√3m ．解析：本题主要考查了三角形面积公式，基本不等式，余弦定理，二次函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题． (1)由已知利用三角形面积公式，基本不等式可得，即可得解；(2)利用已知及余弦定理可得PQ =√AP 2+AQ 2−2AP ⋅AP ⋅cos∠A =√x 2+y 2−2xy ⋅(−12)=√40000−xy ，由基本不等式得PQ =√40000−xy ≥√40000−(x+y 2)2=√40000−1002=100√3 (m )，即可解得线段|PQ|最小值．18.答案：解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√63， 短轴的一个端点到右焦点的距离是√3， ∴{a =√3e=c a =√63，解得a =√3，c =√2，∴b =√3−2=1，∴椭圆C 的方程为x 23+y 2=1．(2)联立{y =x +1x 23+y 2=1，得{x =0y =1或{y =−12x=−32， ∴A(0,1)，B(−32,−12)，∴|AB|=√(−32−0)2+(−12−1)2=32√2，∵P 为椭圆上的一点，∴P(√3cosθ,sinθ)， 点P 到直线y =x +1的距离d =√3cosθ−sinθ+1|√2=√2，∴当θ=−30°时，点P 到直线y =x +1的距离d 取最大值3√22，∴△PAB 面积的最大值S =12×32√2×3√22=94．解析：(1)由椭圆的离心率为√63，短轴的一个端点到右焦点的距离是√3，列出方程组，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程． (2)联立{y =x +1x 23+y 2=1，得|AB|=32√2，由P(√3cosθ,sinθ)，求出点P 到直线y =x +1的距离的最大值，由此能求出△PAB 面积的最大值．本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、点到直线的距离公式的合理运用．19.答案：解：(1)定义域为(0,+∞)，由题知f′(x)=lnx −ax ，∴f(1)=0，f′(1)=−a ， 由题知，−a =−2，解得a =2， ∵(1,0)在切线上，∴2+b =0，解得b =−2， ∴实数a ，b 的值分别为2，−2． (2)定义域为(0,+∞)， 由题知f′(x)=lnx −ax ， 设ℎ(x)=lnx −ax ， ∴ℎ′(x )=1−ax x，当a ≤0时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)即f′(x)在区间(0,+∞)上是增函数， ∴ℎ(x)最多一个零点，即f(x)最多一个极值点， 当a >0时，当0<x <1a 时，ℎ′(x)>0， 当x >1a 时，ℎ′(x)<0， 所以以ℎ(x)即f′(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数；∴当x =1a 时，ℎ(x)取极大值ℎ(1a )=ln 1a −1=−lna −1，∵当a >0时，当x 趋向0时，ℎ(x)为负值，当x 趋近于无穷大时，ℎ(x)为负值，故要使f(x)有两个极值点，即ℎ(x)有两个零点，则ℎ(1a )=ln 1a −1=−lna −1>0，解得0<a <1e ， ∴实数a 的取值范围为．解析：本题考查利用导数研究曲线在某点的切线方程，以及研究函数的性质． (1)利用导数研究曲线在某点的切线方程；(2)分类讨论函数的单调性，利用函数与方程的关系，结合函数图像可得答案．20.答案：解：∵a 5=a 1+4d ，a 6=a 1+5d ，∴1≤a 1+4d ≤4，2≤a 1+5d ≤3， S 6=3(a 1+a 6)=6a 1+15d ．可得，6a 1+15d =15(a 1+4d)−9(a 1+5d)， 故−12≤S 6≤42． 故答案为[−12,42]．解析：本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的求和．利用等差数列的通项公式将已知条件中的不等式化成首项公式与公差满足的不等关系，利用不等式的性质及前n 项和公式求出前6项的和的范围．21.答案：解：设直线l 上一点(x,y)，经矩阵M 变换后得到点(x ′,y ′)，所以[a 01d][xy ]=[x′y′]，即{x ′=axy ′=x +dy，因变换后的直线还是直线l ，将点(x ′,y ′)代入直线l 的方程，于是2ax −(x +dy)+3=0， 即(2a −1)x −dy +3=0，所以{2a −1=2−d =−1，解得{a =32d =1,所以矩阵M 的特征多项式，解得λ=a 或λ=d ，所以矩阵的M 的特征值为32与1．解析：本题主要考查了矩阵的特征向量，属于中档题．先设直线l 上一点(x,y)，经矩阵M 变换后得到点(x ′,y ′)，将点(x ′,y ′)代入直线l 的方程，于是2ax −(x +dy)+3=0，求出a ，d ，再用矩阵M 的特征多项式，即可求出矩阵的M 的特征值为32与1．22.答案：解：(I)由题意可得圆心的直角坐标为(√3,1)，半径为2，故圆的直角坐标方程为(x −√3)2+(y −1)2=4， 即x 2+y 2=2√3x +2y ， ∴ρ2=2√3ρcosθ+2ρsinθ， 即ρ=4cos (θ−π6)．(Ⅱ)点P 的直角坐标为(√3,−1)， 直线的直角坐标方程为x −√3y +2=0， ∴点P 到直线的距离为√3+√3+2|√3+1=√3+1．解析：本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，简单曲线的极坐标方程，根据直角坐标系与极坐标系之间的关系进行求解即可．23.答案：解：(1)∵一辆车从乙地到丙地没有遇到一个红灯的概率为(1−13)×(1−12)=13，∴一辆车从乙地到丙地至少遇到一个红灯的概率为1−13=23．(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，P(X =0)=(1−12)3×(1−13)=112，P(X =1)=12×(1−12)2×(1−13)×3+(1−12)3×13=724，P(X =2)=C 32(12)2×(1−12)×(1−13)+C 31×12×13×(1−12)2=38，P(X =3)=(12)3×(1−13)+C 31×12×13×(1−12)2=524，P(X =4)=(12)3×13=124， ∴X 的分布列为 X 01234P11272438524124∴E(X)=0×112+1×724+2×38+3×524+4×124=116．解析：(1)利用概率的乘法求解一辆车从乙地到丙地没有遇到一个红灯的概率，利用对立事件的概率求解一辆车从乙地到丙地至少遇到一个红灯的概率．(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，求出概率，得到X的分布列然后求解期望．本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查计算能力．24.答案：解：当n=5时，含元素1的子集中，必有除1以外的两个数字，两个数字的选法有C42=6个，所以含有数字1的子集有6个．同理含2，3，4，5的子集也各有6个，于是所求元素之和为(1+2+3+4+5)×C42=6×15=90．解析：由题意可知集合A中的元素，组成集合A的子集的元素，出现的概率相等，求出每个元素出现的次数，即可求出所有元素的和．本题考查了子集的概念，排列组合的问题，关键是组成集合A的子集的元素，出现的概率相等，属于基础题．。