平行线分线段成比例第四比例项

平行线分线段成比例定理【重点难点解析】重点：平行线分比例线段定理与三角形一边的平行线的性质和判定.难点：平行线分线段成比例定理及推论的应用.【命题趋势分析】利用平行线分线段成比例定理及相关推论，进行证明和计算是考试热点，在中考中常以填空题、选择题、计算题、证明题和作图题出现，解题时要结合比例性质.核心知识【基础知识精讲】本节的主要内容是平行线分线段成比例定理与三角形一边的平行线的性质和判定.1.平行线分线段成比例定理(1)定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例(2)定理的基本图形(5.2-1)若l1∥l2∥l3，则＝，＝，＝2.平行线分线段成比例推论(1)推论：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.(2)推论的基本图形(如图5.2-2)若DE∥BC，则＝3.三角形一边平行线的判定定理：如果一条直线截三角的两边(或两边的延长线)所得的线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.4.相似三角形性质定理的预备定理平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的三边成比例(如图)△ABC中，若DE∥BC，则＝＝上述基础知识①用来证明线段成比例；②证明直线平行；③证明两三角形相似；④已知三条线段，作第四比例项. 典型例题例1 如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE∶ED＝1∶3，BE的延长线交AC于F.求AF∶FC.例2 如图，D为△ABC的AC边上一点，E为CB延长线上一点，且＝，求证：AD＝EB.例3 已知：如图，△ABC中，DE∥BC，AC＝6，AD＝6，CE＝2，则BD的长为多少？例4 如图，已知AD为△ABC中∠BAC的平分线，求证：＝.【课本难题解答】例1 在△ABC(AB＞AC)的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：BP∶CP＝BD∶CE.(如图5.2-11)(P255 A.18)例2 如图5.2-12，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E.求证：AE∶ED＝2AF∶FB例3 为了求出海岛上的山峰AB的高度、在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步(1步等于6尺)，并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在同一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上，求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少?(如图5.2-13)(P256B.17)补充一些小问题1.怎样用三角形面积公式证明平行线分线段成比例定理？2.平行线分线段成比例定理有没有逆定理？3.如图，D为△ABC的AB边上一点，过D点作DE∥BC，DF∥AC，AF交DE于G，BE交DF于H，求证：GH∥AB.4.如图，已知AC∥BD，BD⊥AB，AD、BC相交于E，EF⊥AB于F.求证：- ＝.5.如图，D、F分别是△ABC的边AB、AC上的点，且AD∶DB＝CF∶FA＝2∶3连DF交BC的延长线于E.求EF∶FD.6.已知：如图，在□ABCD 中，E 是AB 的中点，在AD 上截取AF＝FD，EF交AC于G.求证：＝.7.如图，在△ABC(AB＞AC)的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD＝AE，线段DE和BC的延长线交于点P.求证：BP∶CP＝BD∶CE8.如图，已知菱形ABCD的边长为3，延长AB到点E，使BE＝2AB，连结EC并延长交AD的延长线于点F，求AF的长. 【典型例题】例1 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD.（1）求证：AF：AD=AD：AB（2）若AF=4，FB=5，求FD的长.（1）证明：∵EF∥DC，∴AF：AD=AE：AC∵DE∥BC，∴AD：AB=AE：AC∴AF：AD=AD：AB（2）AF=4，FB=5，∴AB=9，由AD2=AF·AB，∴AD=6，FD=2.AB C D EFD例2 如图，M为ABCD一边AD的中点，BM交AC于点P，若AC=6cm，求PC的值.例3 如图，若DE∥AB，FD∥BC，ADAC=23，AB=9cm，BC=6cm，求BEDF的周长.例4 如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC于D。

《图形的相似》全章复习与巩固--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．如图，已知，那么下列结论正确的是( ).A．B． C．D．2. 在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为( ).A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，63．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( ).4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x 轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（）.A．B． C．D．5．（2019•咸宁）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A ．1：2B ．1：4C ．1：5D ．1：6 6. 如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的点，下列条件中不能推出△ABP 与以点E 、C 、P 为顶点的三角形相似的是( ).A ．∠APB=∠EPCB ．∠APE=90°C ．P 是BC 的中点D ．BP ：BC=2：37. 如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，,，S 四边形BCFE =8，则S △ABC =（ ）.A ．9B ．10C ．12D ．138.如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2：1，则下列结论正确的是（ ）.A ．∠E=2∠KB ．BC=2HIC ．六边形ABCDEF 的周长=六边形GHIJKL 的周长D ．S 六边形ABCDEF =2S 六边形GHIJKL二、填空题 9. 在□ABCD 中，在上，若，则___________.10. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 中点，F 是BC 延长线上一点，DF 平分CE 于点G ，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______，•△CFG 与△BFD 的面积之比为________.12AEEB11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为________.13.（2019•金华）如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是．14．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________.15.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。

初中数学知识点总结之平行线分线段关于初中数学知识点总结之平行线分线段初中数学知识点总结之平行线分线段平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例。

接下来为大家整合的是初中数学平行线分线段成比例知识点总结。

平行线分线段成比例1三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例2推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例3定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边知识拓展：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的'正方向。

水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。

注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似形:两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形.3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形,那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：X两个相似的女边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二:比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a、b的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比是8 :b=m：na _ m（或厂T）2、比的前项，比的后项:两条线段的比a： b中。

a叫做比的前项，b叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例,如厂7Λ _ C4、比例外项:在比例厂7 （或a：b=c： d）中a、d叫做比例外项。

« _ C5、比例内项:在比例厂7（或8：b=C： d）中b、C叫做比例内项。

α _ c6、第四比例项：在比例丁万（或a： b二c：d）中，d叫a、b、C的第四比例项。

d _b7、比例中项:如果比例中两个比例内项相等，即比例为厂万（或a：b=b:C时，我们把b叫做a和d的比例中项。

8、比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即-=-（或a： b=c： d）,那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

（注总:在求线段比时，线段单位b d 要统一,单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质：— = — <=> Cld = beb d（两外项的积等于两内项积）a Cb dFd GC （把比的前项、后项交换）2.反比性质:3•更比性质（交换比例的内项或外项）：-=^（交换内项）C a（交换外项）b d b a侗时交换内外项）C a4.合比性质：?=匚=P =仝L（分子加（减）分母，分母不变）b d b d■注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项.后项之间b _ a _ d _ C发生同样和差变化比例仍成立.⅛∣:- = -^ " C .b d a_b _c_d.a + b c + d5•等比性质：（分子分母分别相加，比值不变•）a Ce m Zt f G …a+ c + e + ・・• + 〃】a如果—=—=—= ・・・ =—（b + d + / +・-• + n ≠ 0）,那么---------------------- =—.b Clf n/? + 〃 + /+ ・• + 〃/?注意：⑴此性质的证明运用r “设£法”，这种方法是有关比例汁算,变形中一种常用方法.（2）应用等比性质时.要考虑到分母是否为零・（3）可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立. 知识点三:黄金分割Λ C RCD定义：在线段AB上,点C把线段/1B分成两条线段AC和BC （AC> BC）,如果—=—•即AC⅛A AB AC BxBC,那么称线段AB彼点C黄金分割,点C叫做线段SB的黄金分割点,SC与AB的比叫做黄金√5-1比。

比例线段知识要点比例线段及平行截相似定理：1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==()b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

2. 比例性质：①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n ab===+++⇒++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理：①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。

则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== ②平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

三③平行的判定定理：如果一条直线截角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

4. 平行截相似定理：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。

基本图形有：ABCDEEDC B A“A ”型和“X ”型1、 比例线段：例1如图，一个矩形ABCD 截去一个边长与宽CD 相等的正方形后，所得矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比是（ ） A ．√5+1 B. √5−1 C. √5+12 D. √5−12例2 已知c a+b=b a+c=ab+c=k,且（a +b ）（b +c ）（a +c ）≠0，则k 的值是（ ）A.12B. 2C. -1或12 D. -1或2例3 已知a 、b 、c 满足a 3=b 4=c5≠0 .⑴求2a+b−cc的值； ⑵若a+3b-2c=10，求a 、b 、c 的值。

数学辅导11：比例的基本性质一、知识点：1.成比例线段：线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段. 2.比例的性质：（1dcb a =，那么bc ad =；如果bc ad =(a ，b ，c ，d 都不为0)，那么dc b a =.（2d c b a =，那么c da b =.（3d c b a =，那么d bc a =.（4d c b a =，那么dd c b b a +=+，d d c b b a -=-,d c dc b a b a +-=+-.（5)0(≠+++===n d b n m d c b a ΛΛ，那么ban d b m c a =++++++ΛΛ.二、典型例题： （1）已知71=-a b a ，则ba的值为___________________.已知38=+y y x ，则yx=_______________. 已知32=b a ，则=+b b a _________，bba -=______________. （2）已知)0(53≠+==db dc b a ，则d b ca ++的值为____________.已知572c b a ==，则a c b a -+=______________.已知75==d c b a ，那么db c a 3232--=_____________.（3）在△ABC 与△DEF 中，若43===FD CA EF BC DE AB ，且△ABC 的周长为36cm ，则△DEF 的周长为______.（4）已知543cb a ==，且6=-+c b a ，则a =__________.（5）如果d c b a =（0≠+b a ，0≠+d c ），那么cd ca b a +=+成立吗？请说明理由.（6）已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中cm a 3=，cm b 2=，cm c 6=，则线段d =___________.（7）已知2:4:3::=c b a ，且182=-+c b a ，求c b a 23+-的值. 练习1．下列各组中的四条线段成比例的是()=2，b =3，c =2，d =3=4，b =6，c =5，d =10 =2，b =5，c =23，d =15=2，b =3，c =4，d =12.已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是()∶d =c ∶b ∶b =c ∶∶a =b ∶c ∶c =d ∶b 3.若ac =bd ，则下列各式一定成立的是()A.d c b a =c c bd d a +=+.c dba =22D.d acd ab = 4．如果bc ad =，那么下列比例中错误的是（）A 、d b c a =B 、b a d c =C 、b d c a =D 、c da b =5．若5:6:=y x ，则下列等式中，不正确的是（）A 、511=+y y xB 、51=-y y xC 、6=-y x xD 、5=-x y y6．若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :（） A 、1:2B 、1:4C 、1:6D 、1:87．若3:2:1::=c b a ，则c b a cb a +---的值为（）A 、-2B 、2C 、3D 、-38．已知875c b a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2（） A 、11B 、12C 、314D 、99．若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -的值是（） A 、5B 、-5C 、20D 、-2010.在比例尺为1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64cm ，则这两地间的实际距离是______ 11.若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________12.在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3cm,而两地的实际距离为1500m ，那么这张地图的比例尺为________.13．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。

北师大版九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识点网络】【知识点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多形． 知识点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 知识点诠释：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项） （2）若a :b=b :c ，则 =ac （b 称为a 、c 的比例中项）． 4.平行线分线段成比例：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 知识点二、相似三角形 1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似. 知识点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2b知识点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.知识点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。