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高考数学《函数的单调性与导数》专题复习课件 新人教版

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函数的单调性与导数课件人教新课标

函数的单调性与导数课件人教新课标

练习2:确定下面函数的单调区间:
f(x)=x/2+sinx;
解: (1)函数的定义域是R,
f ( x) 1 cos x.
2
令 1 cos x 0 ,解得 2kp 2p x 2kp 2p (k Z).
2
3
3
令 1 cos x 0
2
,解得 2kp 2p x 2kp 4p (k Z).
小 结:
函数的单调性与其导函数正负的关系
求函数的单调区间的1x0)000即x2(x1x21(1xx1)11x0)
,
0
,
解得x>1.
故f(x)的递增区间是(1,+∞);
由
f
x
(x) 0 1 0
解得-1<x<1,
故f(x)的递减区间是(-1,1).
求函数的单调区间的一般步骤:
(1) 求出函数 f(x)的定义域A；
(2) 求出函f(x)数的导数
在x∈(-∞,0)内
图象是单调降落的.
y
1 x2
0
在x∈( 0,+∞)内
图象是单调降落的.
y
1 x2
0
函数的单调性与其导函数正负的关系: 当函数y=f (x)在某个区间内可导时，
如果 f (x) 0 , 则f (x)为增函数；
如果 f (x) 0 , 则f (x)为减函数。
f (x)
例1、 f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
解： f (x)=3x2+3=3(x2+1)>0
从而函数f(x)=x3+3x 在x∈R上单调递增， 见右图。
o
x
f (x) x3 3x
(2) f(x)=x2-2x-3 ;

函数的单调性与导数课件新人教A版选修

函数的单调性与导数课件新人教A版选修

4．已知函数f(x)＝2ax－x3，x∈(0,1]，a＞0，若f(x)在(0,1] 上是增函数，求a的取值范围．
◎已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，求f(x)的单调区间．
【错因】 错解的原因是忽视了函数的定义域．本题中含 有对数函数，首先应确定函数的定义域，再求导数f′(x)，进而 判断单调区间．
常数函数
利用导数求函数单调区间的基本步骤
1．确定函数f(x)的__•_定__义__域___． 2．求导数f′(x)． 3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时 ，f(x)在相应的区间上是__________；•增当函f′(数x)<0时，f(x)在相应 的区间上是__________．•减函数 4．结合定义域写出单调区间．
1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示， 则导函数y＝f′(x)可能为( )
解析： 由函数f(x)的图象知f(x)在(－∞，0)上单调递增， ∴f′(x)>0，故排除A、C.又f(x)在(0，＋∞)上有三个单调区 间，故排除B，故选D. 答案： D
求函数的单调区间
求下列函数的单调区间：
如果函数y＝f(x)的图象如图所示 ，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
[思路点拨] 由函数y＝f(x)的图象可得到函数的单调情况 ，进而确定导数的正负，再“按图索骥”．
解析： 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依 次是正→负→正→负，只有选项A满足．
答案： A
1.利用导数符号判断单调性的方 法：
(1)函数的定义域为R. y′＝2x2－4x＝2x(x－2)．令y′＞0，则2x(x－2)＞0， 解得x＜0或x＞2. 所以函数的单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)． 令y′＜0，则2x(x－2)＜0，解得0＜x＜2. 所以函数的单调递减区间为(0,2)．

课件人教高中数学选修函数的单调性与导数PPT课件_优秀版

课件人教高中数学选修函数的单调性与导数PPT课件_优秀版

如f(x)=x3,x∈(-1,1)
画出函数
图象的大致形状
函数单调性与导数正负的关系
已知 ，函数
在区间
如果在某个区间内恒有
,则 为?
如果函数具有相同单调性的单调区间不止一个，如何表示单调区间？
画出函数
图象的大致形状
yx3 3x?
定义法
你是如何去判断函数 y x 2 的单调性？ 图象法
如图：
函数在 ( , 0)上为_减___函数，
2
o1
x o 12
x
(C)
(D)
类型二 利用导数求函数的单调区间
2
求函数 y3x2 3x 的单调区间.
解： y'6x3
令 y'0 得 x1, 令 y'0 得 x1
2
2
y3x23x的单调递增区间为 ( 1 , )
2
单调递减区间为 ( , 1 )
2
变1：求函数 y3x33x2 的单调区间.
解： y' 9 x 2 6 x 3 x (3 x 2 )
y
y x2
在 (0, 上) 为__增__函数.
o
x
函数及图象
单调性
导数的正负
y
f (x) x 在(,)上
o
x
递增
y
f (x)x 在(,)上
o
x
递减
f '(x) 10 f '(x)10
y
f (x) x2
在 (,0)上 递 减f '(x)2x0
o
x
在 (0,)上 递 增f '(x)2x0
在 某 个 区 间 (a,b)内 ,
(1)→B (2)→A (3)→D (4)→C

高考数学导数与函数的单调性复习课件

高考数学导数与函数的单调性复习课件

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第四章 导数及其应用
17
2．已知函数 f(x)＝ln x＋a(1－x)，讨论 f(x)的单调性．
解：函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.
若 a≤0，则 f′(x)>0 恒成立，
所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若 a>0，则当 x∈0，1a时，f′(x)>0；当 x∈1a，＋∞时，
()
A．在区间(－2，1)上 f(x)是增函数
√B．在区间(2，3)上 f(x)是减函数 √C．在区间(4，5)上 f(x)是增函数
D．在区间(3，5)上 f(x)是增函数
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第四章 导数及其应用
9
解析：在(4，5)上 f′(x)>0 恒成立，所以 f(x)是增函数．在(2，3)上 f′(x)<0 恒成 立，所以 f(x)是减函数．
7
2．函数 f(x)＝cos x－x 在(0，π)上的单调性是( )
A．先增后减
B．先减后增
C．增函数
√D．减函数
解析：因为 f′(x)＝－sin x－1<0.
所以 f(x)在(0，π)上是减函数，故选 D.
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第四章 导数及其应用
8
3．(多选)如图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是
f′(x)<0，所以 f(x)在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．
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第四章 导数及其应用
18
求函数的单调区间 (2021·东北三校第一次联考)已知函数 f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－12ax2－ x(a∈R)．设 f′(x)为函数 f(x)的导函数，求函数 f′(x)的单调区间．

函数的单调性与导数题型分类讲解课件

函数的单调性与导数题型分类讲解课件

总结词
导数在求解切线问题中起到关键作用， 通过求导可以找到切线的斜率和截距。
VS
详细描述
切线问题通常涉及到函数在某一点的导数 值，即该点的斜率。通过求导，可以找到 切线的斜率，再利用点斜式方程求出切线 的方程。此外，还可以利用导数研究曲线 的切线变化趋势，进一步分析函数的性质。
曲线的凹凸性
总结词
导数可以用于判断曲线的凹凸性，通过求二 阶导数并分析其符号确定曲线的凹凸性。
单调增函数的性质
如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上单调递增，那么对于任意$x_1, x_2 in [a, b]$， 且$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) leq f(x_2)$。
单调减函数
单调减函数的定义
对于函数$f(x)$的定义域内的任意两 个数$x_1$和$x_2$，如果$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) geq f(x_2)$，则 称函数$f(x)$为减函数。
这类题目通常会以实际问题的背景给出，如经济、物理等， 要求通过建立数学模型，利用导数解决实际问题。解决这 类题目需要理解实际问题的背景和数学模型的关系，掌握 利用导数解决实际问题的技巧和方法。
THANKS
详细描述
导数的计算方法有多种，包括基本初等函数的导数公式、链式法则、乘积法则和 商的导数公式等。这些方法可以帮助我们快速准确地求出函数的导数，进而分析 函数的单调性和极值等性质。
03 利用导数研究函数的单调 性
单调增函数的导数特征
总结词
单调增函数的导数大于等于0
详细描述
单调增函数的导数在定义域 内大于等于0，即对于任意x 属于定义域，有f'(x)>=0。
详细描述
曲线的凹凸性是函数的一种重要性质，通过 求函数的二阶导数并分析其符号可以确定曲 线的凹凸性。如果二阶导数大于零，则曲线 为凹函数；如果二阶导数小于零，则曲线为 凸函数。利用这一性质，可以进一步研究函 数的极值问题和其他相关问题。

导数与函数的单调性高三数学一轮复习课件

导数与函数的单调性高三数学一轮复习课件
答案： g'(x)=3x^26x+2，g'(x)在 [1,2]上单调递减， 所以g(x)在[1,2]
上单调递减
答案：g'(x)=3x^2-6x+2，g'(x)在[1,2]上单调递减，所以g(x)在[1,2]上单调递减
题目：求函数 h(x)=x^33x^2+2x+1在区 间[-2,2]上的极值
答案： h'(x)=3x^26x+2，h'(x)^26x+2，g'(x)在 区间[1,2]上单调 递减，所以g(x) 在区间[1,2]上单 调递减
综合练习题三及答案
题目：求函数f(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的单 调性
题目：求函数g(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的极 值
添加标题
上单调递增
综合练习题二及答案
题目：求函数 f(x)=x^33x^2+2x+1在 区间[-1,1]上的 单调性
答案： f'(x)=3x^26x+2，f'(x)在 区间[-1,1]上单 调递增，所以f(x) 在区间[-1,1]上 单调递增
题目：求函数 g(x)=x^33x^2+2x+1在 区间[1,2]上的单 调性
等
导数的应用举例
判断函数的单调性：通过导 数判断函数的增减性
求函数的极值：通过导数求 解函数的最大值和最小值
求函数的切线：通过导数求 解函数的切线方程
求函数的凹凸性：通过导数 判断函数的凹凸性
03
函数的单调性
单调性的定义与判断方法
判断方法：利用导数判断，如果 导数大于0，则函数在该区间内 单调递增；如果导数小于0，则 函数在该区间内单调递减

第4章+第2讲+导数与函数的单调性2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)

所以若f(x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围是(－∞，3]∪92，＋∞.
解析
23a≠0， (2)若f(x)在(2,3)上不单调，则有2<23a<3， 可得3<a<92.
解析
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 利用导数研究函数(不含参)的单调性
例1 (1)函数y＝4x2＋1x的单调递增区间为(
解 因为f(x)＝x(1－ln x)，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ ln x＋x·－1x＝－ln x.
当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0. 所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
解
(3)(2021·上饶二模)已知函数f(x)＝2exsinx(e是自然对数的底数)，求f(x) 的单调区间．
解
(ⅱ)当a<
1 3
时，令f′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝
1－
1－3a
3
，
1＋ 1－3a
x2＝
3
，
令f′(x)>0，则x<x1或x>x2；
令f′(x)<0，则x1<x<x2.
所以f(x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)
上单调递增．
综上，当a≥13时，f(x)在R上单调递增；
方法二：
当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出 实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从小到大 的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的 符号，从而确定单调区间．

《函数的单调性与导数》人教版高中数学选修PPT精品课件


;
③解不等式 f ( x) 解不等式f ( x)
>0得f(x)的单调递增区间; <0得f(x)的单调递减区间.
人教版高中数学选修2-2
讲解人： 时间：
感谢你的聆听
第1章 导数及其应用
h(t) = -4.9t2 + 6.5t + 10
的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最
高点到入水这两段时间内，随着时间的变化，运动员离水面的高度发生什么变化？
h
M
h f (t)
o
m
t
新知探究
通过观察图像，我们可以发现： （1）运动员从起跳到最高点，离水面高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增函数.相应的，
）
A.a 1 3
B.a 1
C.a 0
D.a 0
课堂练习
D 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f’(x)的图象可能是（
(A)
(B)
(C)
(D)
课堂练习
已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0)，若f(x)的单调减区间为(0,4)，1则k=____.
新知探究
例4 如图1.3-6，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器 中，试分别找出与各容器对应的高度h与时间t的函数关系图像.
1 h
2 h
3 h
o A t
o B t
o C t
图1.3 6
4 h
o D t
新知探究
解 1 → B, 2 → A, 3 → D, 4 → C.
课前导入
单调函数的图象特征
G=(a,

专题16导数与函数的单调性(PPT)-2025年新高考数学一轮考点题型精准复习(新高考专用)


当 0 x 2时， f x 0 ，函数 f x 单调递减；
C．
D．
当 x 2 时， f x 0 ，函数 f x 单调递增.
只有 C 选项的图象符合.
例 3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知函数 y xf x 的图象如图所示（其中 f x 是函数 f x 的 导函数），下面四个图象中可能是 y f x 图象的是（ ）
所以函数 y xx 2ex 在 , 2 和 2, 上单调递增，在 2, 2 上单调递减，故函数 y xx 2ex
在 x 2 处取得极大值，在 x 2 处取得极小值，故 D 错. 故选：B．
考点四 已知函数在区间上单调求参数
例 16．（2023 春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）若函数 f (x) x3 3kx 1的单调递减区 间为 (1,1) ，则实数 k 的值为（ ） A．1 B． 1 C．3 D． 3 解：由 f (x) 3x2 3k ，由已知递减区间，则 3x2 3k 0 得： 1 x 1，
C．
D．
解：由 y xf x 的图象可知当 0 x 1时 xf x 0 ，则 f x 0 ， 当 x 1时 xf x 0 ，则 f x 0 ， 当 1 x 0时 xf x 0 ，则 f x 0 ， 当 x 1时 xf x 0 ，则 f x 0 ， 所以 f x 在 , 1上单调递增，在 1,0 上单调递减，在0,1 上单调递减，在1, 上单调递增，
x 1
f x 在 1, 上单调递减，又 f 0 0 所以当 1 x 0时， f x 0, f x 单调递增， 当 x 0 时， f x 0 ， f x 单调递减， 所以 f x 的递增区间是1,0 ，递减区间是 0, .
例 13．（2023 春·浙江台州·高三台州市书生中学校联考期中）函数 y 1 x2 4ln x 的单调递减区间为 2

高中数学 函数的单调性与导数课件 新人教版

2 1x 2(1x)
由 f(x)0即 2(x11x)0,得x<-1或x>1. 注意到函数的定义域是(-1,+∞),故f(x)的递增区间是 (1,+∞);
由 f(x)0解得-1<x<1,故f(x)的递减区间是(-1,1).
说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故
求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义 域, 在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与
3.3.1 函数的单调性
与导数
第一页，编辑于星期五：十点 四十五分。
一复习回忆：1.根本初等函数的导数公式
〔1〕.常函数：(C)/ 0, (c为常数)；
〔2〕.幂函数 ： (xn)/ nxn 1
〔3〕.三角函数 ：
（ 1） (sixn )coxs（ 2） (cxo) ssixn
〔4〕.对数函数的导数:
(1) (lnx) 1. x
(2) (loagx)xl1na.
〔5〕.指数函数的导数:
(1) (ex)ex.
(2 )(a x ) a x la n (a 0 ,a 1 ).
第二页，编辑于星期五：十点 四十五分。
2.导数的运算法那么
〔1〕函数的和或差的导数 (u±v)/＝u/±v/.
〔2〕．函数的积的导数
(uv)/＝u/v+v/u.
〔3〕．函数的商的导数
〔 u 〕/= u 'v v 'u
v
于星期五：十点 四十五分。
二、复习引入:
函数单调性判定
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时 1〕都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 那么 f ( x ) 在G 上是增函数； 2〕都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 那么 f ( x ) 在G 上是减函数；
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y x f(x) x f(x) x0左侧 x0 x0右侧 f(x) f(x) >0 f(x) =0 f(x) <0
o a
y
如果在某个区间内恒有 f ( x ) 0 , 则 f ( x ) 为常数.
二.例题：
1.设f ´(x)是函数f(x)的导函数，y=f ´(x) 的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有 y 可能是( D )
y y
o o 1 2
x o y 1 2 x
1
2
x
A
y 2 o1 x
B
o1 2
x
C
D
2.判断下列函数的单调性，并 求出单调区间。
有导数，那么
/
[f(x) g(x)] f (x) g (x)
[C f(x)] Cf (x) 6、 求导的方法——
/ /
定义法 公式法
引例、 已知函数y=2x3-6x2+7, 求证：这个函数在区间(0,2)上是单调递增的.
用定义法判断函数单调性的步骤：
（1）任取x1<x2
( 2 ) 作差f（x1）-f（x2）并变形
3：设函数f(x)=ax- (a+1)ln(x+1)， 其中a≥-1，求f(x)的单调区间。 变式1：已知函数f(x)=ln(2-x)+ax在区 间(0,1)上是增函数，求实数a的取值 范围。
变式2：已知x>1，求证：x>ln(x+1).
小结：根据导数确定函数的单调性 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数.
（3）判断符号
（4）下结论
引入： 函数单调性体现出了函数值y随自变 量x的变化而变化的情况, 而导数也正是研究自变量的增加量 与函数值的增加量之间的关系 于是我们设想一下能否利用导数来 研究单调性呢？
分析：从图形看 若函数在区间(a,b)内单调递增，我们 发现在（a，b）上切线的斜率为正，即 在（a，b）内的每一点处的导数值为正
(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的 极大值未必大于极小值;
(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端 点不能成为极值点。
【问题探究】 函数y=f(x)在极值点的导数值为多少? 在极值点附近的导数符号有什么规律?
y
f ( x3 )
f ( x4 )
f ( x1 )
f ( x2 )
O
a
x1
【函数极值的定义】
设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义， (1)如果在x=处的函数值比它附近所有各点的 函数值都大，即f(x)<f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极大值.记作:y极大值=f(x0)
(2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的 函数值都小，即f(x)>f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极小值.记作:y极小值=f(x0)
极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.
y
f ( x3 )
f ( x4 )
f ( x1 )
f ( x2 )
O
a
x1
x2
x3
x4
b
x
观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值, 并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.
【关于极值概念的几点说明】
(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附 近的大小情况; (2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;
(1) f ( x ) sin x x, x (0, ) ( 2) f ( x ) 2 x 6 x 7
3 2
(3) f ( x ) 2 x x
2
利用导数判断函数单调性的基本步骤：
(1)确定定义域； (2)求f ´(x);
(3)在f(x)的定义域内解不等式f ´(x)>0 和f ´(x)<0; (4)确定函数f(x)的单调区间。 注、单调区间不 以“并集”出现。
用导数法确定函数的单调性时的步骤是：
(1) 求函数的定义域
（2）求出函数的导函数
（3）求解不等式f `(x)>0，求得其解集，
再根据解集写出单调递增区间
求解不等式f``(x)<0，求得其解集，
再根据解集写出单调递减区间 注、单调区间不 以“并集”出现。
函数的极值与导数
【思考】
已知函数 f(x)=2x3-6x2+7 (1)求f(x)的单调区间,并画出其图象; (2)函数f(x)在x=0和 x=2处的函数值与这 两点附近的函数值 有什么关系?
3.解不等式f ′ (x)>0,得函数单增区间; 解不等式f ′ (x)<0,得函数单减区间.
设函数y=f(x)在某个区间内有导数， 如果在这个区间内y`>0，那么y=f(x)为这 个区间内的增函数；如果在这个区间内 y`<0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.
y`>0
y`<0
增函数 减函数
判断函数单调性的常用方法： （1）定义法 （2）导数法
若函数在区间(a,b)内单调递减，发 现在（a，b）上切线的斜率为负，即 在(a,b)内的每一点处的导数值为负，
定理
一般地，函数 y＝f(x)在某个区间(a,b)内
1) 如果恒有f ′ (x)>0，那么y＝f(x)在这 个区间(a,b)内单调递增；
2) 如果恒有f ′ (x)<0，那么y＝f(x)在这 个区间(a,b)内单调递减。
函数单调性与导数
复习
1 、 某点处导数的定义——
f(x0 Δx) f(x0 ) f (x0 ) lim Δ x0 Δx
这一点处的导数即为这一点处切线的斜率
2 、 某点处导数的几何意义——
3 、 导函数的定义——
f(x Δx) f(x) f (x) lim Δ x0 Δx
4、由定义求导数的步骤（三步法）
(1)求增量 Δy f(x Δx) f(x)
Δy f(x Δx) f(x) (2)算比值 Δx Δx
Δy (3)求极限 y lim Δ x0 Δx
5、
求导的公式与法则——
(C ) 0
/
( x ) nx (n N )
n / *
n1
如果函数 f(x)、g(x)
/ /
x2
x3
x4
b
x
【函数的极值与导数的关系】 (1)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x)>0
右侧f /(x)<0, 那么f(x0)是极大值
(2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x)<0
右侧f /(x)>0, 那么f(x0)是极小值
如何判断f (x0)是极大值或是极小值？