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8第八章-边界层理论基础和绕流运动

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流体力学第八章(20160228)

流体力学第八章(20160228)
2
8.3 边界层的动量积分方程
利用动量定理，建立了边界层的动量 代入并整理边界层的动量积分方程— 积分方程。 PCD PAB PAC Fx —卡门动量积分方程 d d 2 dp 单位宽度，则单位时间通过AB、CD、 dy dy 0 u u u dx 0 x dx 0 x dx AC 各个面上的动量分别为 边界层的动量积分方程的求解 P u dy
0



AB
边界层的动量积分方程有5个未知量， 流场速度：由势流方程求解；压强： 作用在ABCD上的外力。忽略质量力， 由伯努利方程求解；边界层厚度：动 只有表面力， 量方程求解；边界层内流速：边界层 内流速分布关系式；边界层内切应力： p 1 p dxd 0dx 边界层内切应力分布关系式。 F x dx
P AB dx u xdy P CD P AB 0 x x u xdy dx P AC u 0 0 x


0
x


u dy dx

0 2 x
d u0 dx


0
d u xdy dx


0
u 2 xdy
第八章 边界层理论基础和绕流运动
王浩 1251934
本章概论
8.1 边界层的基本概念
8.2 边界层微分方程普朗特边界层方程 8.3 边界层的动量积分方程
8.4 平板上的层流边界层
8.5 平板上的湍流边界层
8.6 边界层的分离现象和卡门涡街
8.7 绕流运动
8.1 边界层的基本概念
8.1.1边界层的提出

dp 0 dx

流体力学教案第8章边界层理论

流体力学教案第8章边界层理论

第八章 边界层理论§8—1 边界层的基本概念实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性。

对层流而言，单位面积摩擦力的大小yud d μτ=，可以看出，对于确定的流体的等温流场,摩擦力的大小与速度梯度有关，其比例函数即动力粘度。

速度梯度yud d 大,粘性力也大,此时的流场称为粘性流场。

若速度梯度yud d 很小，则粘性力可以忽略，称为非粘性流场。

对于非粘性流场，则可按理想流体来处理。

则N-S 方程可由欧拉方程代替,从而使问题大为简化。

Vlv l lV v A y u V l tVl t u mρρμρρ======2223d d d d 粘性力惯性力当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大。

由vVl==粘性力惯性力Re ，则在这些流动中，惯性力〉〉粘性力，所以可略去粘性力。

但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为同一数量级。

所以，在这一薄层中，两者均不能略去。

这一薄层就叫边界层，或叫速度边界层，由普朗特在1904年发现.a ．流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度,这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。

b ．整个流场分为两部分 层外,0=∂∂yu,粘性忽略，无旋流动。

层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流动.c ．由边界层外边界上∞=V u %99，来定义δ，δ为边界层厚度。

d ．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层。

由于在边界层内，流体在物体表面法线方向（即yu∂∂)速度梯度很大,所以，边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小。

所以，即使对于粘度很大的流体,粘性力也很小,故可忽略不计，所以可认为，边图8-2空气沿平板边界层速度分布外部区域边界层界层外的流动是无旋的势流.边界层的基本特征有: (1)1<<Lδ⇒薄层性质,其中L 为物体的长度；沿流方向↑↑→δx 。

(2） 层内yu∂∂很大， 边界层内存在层流和紊流两种流态。

第8章 边界层理论基础及绕流运动

第8章 边界层理论基础及绕流运动

ux
∂ux ∂x
+ uy
∂ux ∂y
=
−
1 ρ
∂p ∂x
+
ν
∂ 2u x ∂y 2
∂ux ∂x
+
∂uy ∂y
=
0
边界条件： y =∞（或y = δ），ux = U0 y = 0，ux = 0， uy = 0
其中 U0 = U0(x) =边界层外界限上外部流动的流速 且 p = p(x) = 边界层外界限上外部流动的压强
=
1 2
δ
∫ ∫ δ2 =
δ 0
ux u0
⎜⎜⎝⎛1 −
ux u0
⎟⎟⎠⎞dy
=
δ
1η(1− η)dη = 1 δ
0
6
∫ ∫ ( ) δ3 =
δ 0
ux u0
⎜⎜⎝⎛1 −
ux 2 u0 2
⎟⎟⎠⎞dy
=
δ
1η 1− η2
0
dη = 1 δ 4
10
8.2 边界层微分方程
——利用边界层的性质对粘性流体基本方程（纳维－斯托克斯方 程）的简化。
⎟⎠⎞
=
−δ
dp dx
− τ0
其中: dp/dx和u0应由外部流动求出 → 三个未知量：τ0、δ、ux
应用动量积分方程求解边界层问题的步骤： (1) 补充 ux (x, y)、τ0(δ)关系式，积分方程转变为δ的常微分方程
（2）求解方程 → δ(x) →τ0(x) → 总阻力→ 计算位移厚度等其他 参数。
∫ ∫∫ ∑ 积分形式的动量方程
∂ ∂t
ρurdV
cv
+
cs
ρurundA

流体力学教案第8章边界层理论

流体力学教案第8章边界层理论

第八章 边界层理论§8-1 边界层的基本概念实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性。

对层流而言，单位面积摩擦力的大小yud d μτ=，可以看出，对于确定的流体的等温流场，摩擦力的大小与速度梯度有关，其比例函数即动力粘度。

速度梯度yud d 大，粘性力也大，此时的流场称为粘性流场。

若速度梯度yud d 很小，则粘性力可以忽略，称为非粘性流场。

对于非粘性流场，则可按理想流体来处理。

则N-S 方程可由欧拉方程代替，从而使问题大为简化。

Vlv l lV v A y u V l tVl t u mρρμρρ======2223d d d d 粘性力惯性力当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大。

由vVl==粘性力惯性力Re ，则在这些流动中，惯性力>>粘性力，所以可略去粘性力。

但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为同一数量级。

所以，在这一薄层中，两者均不能略去。

这一薄层就叫边界层，或叫速度边界层，由普朗特在1904年发现。

a ．流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度，这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。

b ．整个流场分为两部分 层外，0=∂∂yu，粘性忽略，无旋流动。

层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流动。

c ．由边界层外边界上∞=V u %99，来定义δ，δ为边界层厚度。

d ．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层。

由于在边界层内，流体在物体表面法线方向(即yu∂∂)速度梯度很大，所以，边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小。

所以，即使对于粘度很大的流体，粘性力也很小，故可忽略不计，所以可认为，图8-2空气沿平板边界层速度分布外部区域边界层边界层外的流动是无旋的势流。

边界层的基本特征有： (1)1<<Lδ⇒薄层性质，其中L 为物体的长度；沿流方向↑↑→δx 。

(2) 层内yu∂∂很大， 边界层内存在层流和紊流两种流态。

第八章 绕流运动

第八章 绕流运动

2、形状阻力：
流体绕经物体时，物体受到流体所给予的阻力主要包括两部分 即摩擦阻力和形状阻力(或称压差阻力，尾涡阻力)，这两部分之和称 绕流阻力。其中的形状阻力大小取决于漩涡区的大小，即分离点的 位置。
分离点后移，漩涡区减小，则形状阻力减少，摩擦阻力增大；在高 Re时形状阻力比摩擦阻力大许多。因此，工程上减少了形状阻力便 减少了绕流阻力。
c 取不同值，得不同的势函数等值线，称为等势线 c 同理
c 取不同值，得不同的流函数等值线，即流线
对比二函数与流速的关系
ux x y
二式交叉相乘
uy y x
等势线与流线正交
0 x x y y


0
2 ux dy dx

微元体三个面上的平均压强
固体壁面对流体的切力
p pCD p dx x 1 p pAC p dx 2 x
TBD 0dx
pAB p
各表面力在 x 方向的合力
p 1 p p dx d + p dx ds sin 0dx Fsx p x 2 x
汇流流动与源流相反，势函数与流函数则均取负值 Q 称为源（汇）流强度
□ 8.3.3 环流（势涡） 速度环量
y
r θ
2 ru
分速度
ur 0 u 2 r
势函数
x
ur dr u rd 2
流函数
ur rd udr ln r 2
z
将速度势函数带入不可压缩流体的连续性方程：
ux u y uz 0 x y z
2 2 2 2 2 0 2 x y z

第8章 边界层理论_1

第8章 边界层理论_1
u v 0 x y u u 2u u v n 2 x y y y 0, u v 0 y , u U
dp e 0 dx
：
u y F F ( ) U d
f ( ) F ( )d
2. 边界层厚度估计 (Standard Boundary Layer Thickness)
名义厚度定义：u=0.99Ue 处的y 值d (x) 。
边界层内惯性力与粘性力之比属同量级:
u 2 2 2 U L U L d d x ~ 0 0 Re L ~ 1 2 2 n L u n U 0 d L n 2 y y u
2v 2v v v 1 p u v n 2 2 x y y x y
pe 1 U e2 const 2
dpe dU e U e dx dx
u v 0 x y dU e u u 2u u v Ue n 2 x y dx y
第8章 边界层理论
(Boundary Layer Theory)
—— Flow Over Immersed Bodies Background: 粘性绕流的流动特征与粘性阻力， 阻力产生与减阻。
L. Prandtl: a German (1904)， ———近代流体力学的奠基人。
ห้องสมุดไป่ตู้
边界层与阻力
—— Flow Over Immersed Bodies
（3）边界层内压力沿壁面法向不变，等于外部势流压力：
p 0 y
p pe
y d
u （4）边界层内速度分布具有渐进性：
u 0.99U e , y
0

边界层理论基础

边界层理论基础

第二节
数量级分析：
y ~ , x ~ l
边界层的微分方程式
u x U 0 2u x U 0 u x U 0 2u x U 0 ~ , 2 ~ 2 , ~ , 2 ~ 2 y y x l x l u y u x u y u x 与 具有同一个数量级 x y x y
第十三章
边界层理论基础
第一节 边界层的概念 第二节 边界层的微分方程
第三节 边界层厚度、排挤厚度、动量损失厚 度 及能量损失厚度
第四节 边界层的动量方程式 第五节 平板上层流边界层的计算 第六节 平板上紊流边界层的计算 第七节 边界层分离现象及绕流阻力
第二节
边界层的微分方程式
讨论恒定二元流情况,在无限空间中水平放置的平板, 不考虑质量力的作用。这样,对不可压缩液体的纳维-斯托 克斯微分方程式及连续性方程式可写作。
第二章
边界层理论基础
第一节
边界层的概念
第二节 边界层的微分方程
第三节 边界层厚度、排挤厚度、动量损失厚 及能量损失厚度 第四节 边界层的动量方程式
第五节 平板上层流边界层的计算 第六节 平板上紊流边界层的计算 第七节 边界层分离现象及绕流阻力
前 言
纳维-斯托克斯方程的讨论
纳维-斯托克斯方程式只有在边界条件极简 单的情况下才能求解,有些复杂的问题只能采 用近似解法求解。近似解法一般是根据具体 情况略去纳维-斯托克斯方程式中的一些次要 项来进行求解。
第三节 边界层厚度、排挤厚度、动量损失厚 度及能量损失厚度 3.2 流量损失厚度（排挤厚度）
实际液体流经固体壁面时,由于固体边界对水流的阻滞作 用,使边界层内通过的流量比理想液体情况下在同一范围内所 通过的流量要小。 由于实际液体受固体边界的影响将使在δ 范围的流量与理想液体时相比减小了U0 δ1, δ1叫做流量损失厚 度,也常叫排挤厚度。

杭州电子科技大学2023年《882工程流体力学》考研专业课考试大纲

杭州电子科技大学2023年《882工程流体力学》考研专业课考试大纲

杭州电子科技大学全国硕士研究生招生考试业务课考试大纲考试科目名称：工程流体力学科目代码：882第一章绪论1-1 工程流体力学的学科任务1-2 连续介质假设，流体的主要物理性质1-3 作用在流体上的力1-4 工程流体力学的研究方法第二章流体静力学2-1 流体静压强特性2-2 流体的平衡微分方程及积分式、等压面方程2-3 流体静力学基本方程及物理意义和几何意义，压强的计算单位和表示方法，静压强的分布图、测压计原理2-4 液体的相对平衡2-5 作用在平面上的液体总压力表示方法2-6 作用在曲面上的液体总压力计算，虚、实压力体区别2-7 阿基米德原理，浮力和潜体及浮体的稳定性第三章流体运动学3-1 描述流体运动的两种方法及其特点，迹线、流线、脉线的表示3-2 描述流体运动的一些基本概念3-3 流体运动的类型3-4 流体运动的连续性方程的表示3-5 流体微元运动的基本形式及与速度变化的关系3-6 无涡流和有涡流，速度势和速度环量第四章理想流体动力学和平面势流4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动微分方程，伯努利方程及其条件4-2 理想流体元流的伯努利方程及其物理、几何意义，皮托管原理4-3 恒定平面势流，速度势和流函数的性质及其两者的关系第五章实际流体动力学基础5-l实际流体的运动微分方程——纳维一斯托克斯方程，流体质点的应力状态及压应力的特性5-2 实际流体元流的伯努利方程及其物理、几何意义5-3 实际流体总流的伯努利方程及应用条件，文丘里管工作原理，有能量输入和输出的伯努利方程5-5 总流的动量方程及其应用条件和方法第六章量纲分析和相似原理6-l 量纲分析，量纲和单位，量纲和谐原理种类和区别6-2 流动相似原理6-3 相似准则6-5 模型试验第七章流动阻力和能量损失7-1 流体的两种流动形态——层流和湍流，流态的判别准则7-2 恒定均匀流基本方程，沿程损失的普遍表示式7-3 层流沿程损失的分析和计算，圆管层流的沿程损失系数7-4 湍流理论基础，湍流的脉动和时均法，湍流附面层分区的判别标准7-5 湍流沿程损失的分析和计算7-6 局部损失的分析和计算第八章边界层理论基础和绕流运动8-1 边界层的基本概念8-3 边界层的动量积分方程8-4 平板上的边界层8-5 边界层的分离现象和卡门涡街8-6 绕流运动参考书目：工程流体力学（水力学）（第2版）（上册）,闻德荪，高等学校教材，第三版，2010年。

8 第八章 边界层与绕流阻力解析

8 第八章 边界层与绕流阻力解析

流 体 力 学 与 流 体 机 械
第一节 边界层概念 1 绕物体的流动图画 ① 理想流体中的圆柱绕流 达朗贝尔疑难：
D E F
D E : A , u , p E: Amin , umax , pmin
D p F E
E F : A , u , p u D u F , pD pF
Fluid Mechanics and Machinery
流 体 力 学 与 流 体 机 械
第三节 曲壁边界层的分离 曲面边界层（理想）
1 1 p U 2 ps us2 2 2
us
AB
U umax
ps
p pmin
pmin p
p
ps s
0
顺压梯度,压能变动能 逆压梯度,动能变压能
BC umax U
0
us
B A C
A
Fluid Mechanics and Machinery
B
C
A
B
C
流 体 力 学 与 流 体 机 械
第三节 曲壁边界层的分离 曲面边界层（粘性） 固体壁面上速度为零， 存在边界层。 壁面上存在切应力。 沿边界层外边界速度和压强与理想流 体绕流时有同样的变化趋势，存在逆
流 体 力 学 与 流 体 机 械
第一节 边界层概念 2 边界层的形成与发展
U
层流边界层
过渡区
紊流边界层
Rex=Ux/
层流底层
x
边界层的发展
流体流过光滑平板时，边界层由层流转变为湍流发生在 Rek=21053106
Fluid Mechanics and Machinery
流 体 力 学 与 流 体 机 械

流体力学教案第8章边界层理 论

流体力学教案第8章边界层理 论
§8-3 边界层动量积分方程
一、边界层动量积分方程 由卡门在1921年提出。 推导前提：二元定常，忽略质量力，且u>>υ(由边界层微分方程的数
量级比较可看出)，所以只考虑x方向的动量变化，不引入y方向的流速 υ。
w d p
dx x
A C B D
x y y dy 图 8-6 边界层微元控制体
取控制体如图所示，沿边界层取一块面积ABDC，AB、CD为两通直 线，且垂直壁面的两者相距dx，BD为壁面，并且也为x轴。AC为边界层 的外边界线(并非流线)。垂直纸面(黑板面)方向的尺寸为1，则单位时间 内：
再把上面的五个系数代入(2)式，得第一个补充关系式，即层流边界层 中的速度分布规律为：
再对上式求导，并利用牛顿内摩擦定律，得： (3)
再将上式代入(1)式求积分，则得到： (4) (5)
将(3)，(4)，(5)代入(1)式，得：
，积分得：
确定积分常数C，x=0，=0，C=0，于是得： ， 它的精确解为，并且的表达式为的三次方时，得出的解比四次方精 确。其系数为4.64。因此，不能认为选择速度分布时，多项式数越多越 好。 由上式可看出：x—>；V—>。 将表达式，代入(c)式，得切向应力： 从上式可以看出：沿平板长度方向(x方向)，越来越小，这是因随x， 速度边界层越来越厚，边界层内速度变化渐趋缓和之故。 总摩擦阻力为：
边界条件中，y=0，u=υ=0；y=δ，u=u(x)，对沿平壁面而 言y=δ，u=1。 上式即为层流边界层微分方程，又称为普朗特边界层方程，由普朗特在 1904年提出。
从(3)还可以得到一个重要结论，在边界层内，即边界层横截面上应 点压力相等，即p=f(x)，而边界层外界上及边界层以外，由势流伯努利 方程： 求导，则：

绕流运动详解

绕流运动详解

来流速度v∞平行于平板。由于平板极薄，边界层外部 的流动不受平板的影响，因此边界层外边界上流速处
处边界相上等压，强等p于也来处流处速相度等v，∞。ddpx 由0 于。流对速于不不变可，压边缩界流层体，外 平板绕流边界层动量方程可写成：
vd dx0vxd yd dx0vx2dy 0
（1）
该方程适用于层流和紊流边界层。
图7－3
一 平板层流边界层的计算
设定平板上为层流边界层，首先补充边界层流速分布
关系式，假定层流边界层内的流速分布与管流中的层流
速度分布相同，即
r2 v vmax(1 r02 )
应用于层流边界层，流速分布为
vx
y2
v[1 2 ]
或
vx
2v
(yy2)
2
（2）
补充第二个关系式，由牛顿内摩擦定律，求平板上的切
应力
0 d dx|v y y 0 d d[2 y v (y 2 y 2)|y ] 0 2 v
上式中负号表示切应力和x轴的方向相反，用其绝对值
0
2v
（3）
把（2）、（3）代入（1）
v d d0 x 2 v (y 2 y 2)d y d d0 x [2 v (y 2 y 2)2 d ] y 2v
设平板固定不动，来流的速度为 V ，方向与板面方向一 致。当流体流过平板时，根据固壁无滑移条件，板面上流体 质点的速度为零，在与板面垂直的方向上存在很大的速度梯 度，因此存在很大的摩擦应力，它将阻滞邻近的流体质点的 运动。在边界层区域以外，速度基本均匀，保持和来流速度 基本相同的大小和方向。绕流边界层在平板的前缘开始形成， 随着流动向下游发展，受摩擦应力的影响，越来越多的流体 质点受到阻滞，边界层的厚度也随之增加。在平板的前部边 界层呈层流状态，随着流程的增加，边界层的厚度也在增加， 层流变为不稳定状态，流体的质点运动变得不规则，最终发 展为紊流，这一变化发生在一段很短的长度范围，称之为转 类区，转类区的开始点称为转类点。转类区下游边界层内的 流动为紊流状态。如图所示，由于紊流边界层内的流体质点 更容易和外部主流区的流动进行动量交换，因此紊流区域边 界层厚度的增加比层流增加的更快。在转类区和紊流区的壁 面附近，由于流体的质点的随机脉动受到平板壁面的限制， 因此在靠近壁面的更薄的区域内，流动仍保持为层流状态， 称为粘性底层。

水力学 第八章 边界层理论基础与绕流运动

水力学 第八章 边界层理论基础与绕流运动
3
2、边界层的厚度（Boundary Layer Thickness）
（1）边界层名义厚度
自固体边界表面沿其外法线到纵向流速 ux 达到主流速U0的99%处的距离。 边界层的厚度顺流增大，所以δ 是 x 的函数，即：δ （x）。
8-1 边界层的基本概念
4
（2）边界层位移厚度d（流量亏损厚度、排挤厚度）
第八章
§8 — 1 §8 — 2 §8 — 3 §8 — 4 §8 — 5 §8 — 6 §8 — 7
第八章
边界层理论基础和绕流运动
边界层的基本概念 边界层微分方程•普朗特边界层方程 边界层的动量积分方程 平板上的层流边界层 平板上的湍流边界层 边界层的分离现象和卡门涡街 绕流运动
1
边界层理论基础和绕流运动
3 10 Re xcr
5
教材中取： （2）边界层厚度
Re xcr 5.0 10
U 0xcr 3 106 v
5
1）层流边界层： 5 x Re 1x/ 2
8-1 边界层的基本概念
10
0.381x 2）紊流边界层： /5 Re1 x
2、管流或明渠流的边界层
进口处没有特别干扰的光 滑圆管流，进口段或起始段 长度为
8-1 边界层的基本概念
7
3、层流边界层与紊流边界层
当边界层厚度较小时，流速梯度很大，粘滞应力也很大，边界层内 的流动属于层流，这种边界层称为层流边界层（Laminar Boundary Layer）。 当雷诺数达到一定数值时，边界层内的流动经过一过渡段后转变为湍 流，成为湍流边界层（Turbulence Boundary Layer） 。
如图所示，可知： ρU δ δd 也可表示为：

流体力学第八章绕流运动

流体力学第八章绕流运动

流体⼒学第⼋章绕流运动第⼋章绕流运动⼀、应⽤背景1、问题的⼴泛存在性：在⾃然界和⼯程实际中，存在着⼤量的流体绕物体的流动问题（绕流问题），如：飞机在空⽓中的飞⾏、河⽔流过桥墩、⼤型建筑物周围的空⽓流动、植物护岸（消浪，船⾏波），粉尘颗粒在空⽓中的飞扬和沉降，⽔处理中固体颗粒污染物在⽔中的运动。

（⼀种：流体运动；另外⼀种：物体运动），我们研究，将坐标系固结于物体上，将物体看成静⽌的，讨论流体相对于物体的运动。

2、问题的复杂性上⼀章的内容中可以看出，流体⼒学的问题可以归结为求解在⼀定边界条件和初始条件下偏微分⽅程组的求解。

但描述液体运动的⽅程式⾮常复杂的：⼀⽅⾯，是⽅程的⾮线性性质，造成⽅程求解的困难；另⼀⽅⾯，复杂的边界条件和初始条件都给求解流体⼒学造成了很多⿇烦。

迄今为⽌，只有很少数的问题得到了解决。

平⾯泊萧叶流动，圆管coutte流动等等。

⽽我们所要解决的绕流问题正是有着⾮常复杂的边界条件。

3、问题的简化及其合理性流体⼒学对此的简化则是，简化原⽅程，建⽴研究理想液体的势流理论。

实际液体满⾜势流运动的条件：粘性不占主导地位，或者粘性还没有开始起作⽤。

正例：远离边界层的流体绕流运动、地下⽔运动、波浪运动、物体落⼊静⽌⽔体中，⽔的运动规律研究。

反例：研究阻⼒规律、能量损失、内能转换等等。

圆柱绕流（经典之⼀）半⽆限长平板绕流（经典之⼆）分成两个区域：⼀个区域是远离边界的地⽅，此区域剪切作⽤不明显，⽽且流体惯性⼒的影响远远⼤于粘性⼒的影响（理想液体）（引导n-s⽅程）；另⼀个是靠近边界的地⽅（附⾯层，粘性底层），此区域有很强烈的剪切作⽤，粘性⼒的影响超强，据现代流体⼒学的研究表明，此区域是产⽣湍流的重要区域，有强烈的剪切涡结构，但此区域只有⾮常薄的厚度。

此区域对绕流物体的阻⼒、能量耗损、扩散、传热传质都产⽣重要影响。

4、本章的主要研究内容（1）外部：理想液体，（简化⽅法，求解⽅式）、（2）内部：附⾯层理论，（简化⽅法，求解⽅式，求解内容，现象描述）（3）两者的衔接。

8第八章-边界层理论基础和绕流运动

8第八章-边界层理论基础和绕流运动

8第⼋章-边界层理论基础和绕流运动第⼋章边界层理论基础和绕流运动8—1 设有⼀静⽌光滑平板宽b ＝1m ，长L ＝1m ，顺流放置在均匀流u ＝1m/s 的⽔流中，如图所⽰，平板长边与⽔流⽅向⼀致，⽔温t ＝20℃。

试按层流边界层求边界层厚度的最⼤值δmax 和平板两侧所受的总摩擦阻⼒F f 。

解：20℃⽔的运动粘度ν＝1.003?10-6 m 2/s 密度3998.2/kg m ρ=6119970091.00310ν-?===?L uLRe 因为 56310997009310?<=按层流边界层计算。

max 1/25.4470.0055m Re L L δ===3f 1/21.46 1.4610-===?L C Re 223998.2122 1.461011N 1.46N 22f ff u F C A ρ-?=== 8—2 设有极薄的静⽌正⽅形光滑平板，边长为a ，顺流按⽔平和铅垂⽅向分别置放于⼆维恒定均速u 的⽔流中，试问：按层流边界层计算，平板两种置放分别所受的总摩擦阻⼒是否相等，为什么？解：因为两种置放情况的物理模型和数学模型及其分析、推导所得计算公式是相同的，所以两种情况平板所受的总摩擦阻⼒相等。

8—3 设有⼀静⽌光滑平板,如图所⽰,边长1m,上宽0.88m,下宽0.38m,顺流铅垂放置在均匀流速u =0.6m/s 的⽔流中，⽔温t=15℃。

试求作⽤在平板两侧的总摩擦阻⼒F f 。

注：若为层流边界层，C f 按式（8—24）计算。

解：由表1—1查得，15℃时⽔的密度ρ=999.13/kg m ，运动粘度ν=1.139×10-6m 2/s 。

⾸先判别流态，计算平板上宽雷诺数560.60.884635655101.13910-?===Re ，按层流边界层计算。

设z 轴铅垂向上,平板宽度x 为0.38+0.5z ，阻⼒系数C f 按式（8-24）计算,即12f 60.6(0.380.5)1.328 1.13910--?+??==z C1521.328 5.2677810(0.380.5)z -轾=创?犏臌总摩擦阻⼒F f 按式(8—20)计算，f f12012(0.380.5)d 2F C u z z r =?ò11522 1.328 5.2677810(0.380.5)z -轾=创创+犏臌ò题8-1图21999.10.6(0.380.5)d 2z z 创创+ 110.658(0.380.5)d z z =ò。

第八章 边界层理论

第八章 边界层理论
The last chapter introduces Navier-Stokes equation and Reynolds equation, the differential continuity and these two equations form basic differential equation which find the solution of viscosity fluid dynamics.
U0 x Re x v
（8—1）
Usually we take Reynolds number at transition point is
Rec 5 105
（8—2）
15
随着边界层厚度的增加，粘性对边界层内流体的约束作 用减小，而惯性作用增大。当粘性作用控制不住水质点的运 动时，就和流体在圆管中流动一样，由层流转变成紊流，此 现象称为边界层转捩，并且在过渡区和紊流区下面存在一层 流底层 0 。 假设主流中流速为 U 0 ，到平板前端的距离为 x ，这时 的雷诺数为
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第八章 §8–1 引言
边界层理论
§8–2 边界层的基本概念 §8–3 边界层的运动微分方程式 §8–4 边界层中的各种厚度
§8–5 边界层的动量方程式和摩擦切应力
§8–6 光滑平板上的层流边界层 第八章 习题
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Chapter 8 Boundary Layer Theory
§8-1 Introduction
因为随着平板长度的增加，摩擦损失亦增加，流体内部的能 量减少，流速亦减少，为了满足连续条件，边界层的厚度增大。
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3、laminar flow section, transition section and turbulent flow section also exists in the boundary layer, under the transition section and turbulent flow section, there also exists a bottom layer 0 of laminar flow. As shown in Fig.8-1. y

边界层及绕流

边界层及绕流

边界层及绕流由于流体粘滞性的存在，紧靠平板的一层流体质点将附着于平板表面上，与平板表面无U，相对运动，流速为0，而在距平板法线方向一定距离处流速仍为未受扰动的原有流速因此从平板表面到未扰动的流体之间存在着一个流速分布不均匀的区域，这个区域就是水流受平板影响的范围叫边界层。

边界层厚度常用符号δ表示。

边界层的厚度是沿平板而变化的。

因为粘滞流体流经平板时有内摩擦阻力发生，克服阻力必耗损一部分能量，以致平板附近部分水流的流速变缓，流经平板距离越长，耗损能量越多，水流受平板影响范围也越大，所以边界层的厚度总是沿板端的距离x而增加的。

边界层内的流体形态可能是层流，也可能是紊流。

在板端附近边界层极薄，流速自0U，因此流速剃度极大，以致产生很大的内摩擦阻力，所以板端附近边界层内的迅速增至流体往往是层流。

沿板端距离越远，边界层厚度越厚。

流速剃度随边界层厚度增加而变小，内摩擦阻力也相应减小，边界层内的流体可自层流逐渐过渡到紊流。

但在紊流边界层中靠近固体表面仍有一层极薄的粘性存在，如图所示若雷诺数用下列形式表示：0Re x U xγ=则距板端距离越远，雷诺数也越大。

当雷诺数达到某一临界值时，流体即自层流转变为紊流。

据实验结果临界雷诺数约在5*510～610之间，如流体非常平静，最高的临界雷诺数也可超过610。

根据边界层的概念，可把粘滞流体分成两个区域：在边界层外，流速剃度为0，无内摩擦力发生，因而也可视为理想流体的流动，符合势流的运动规律；在边界层以内，流速自0增至0U ，流速剃度很大，内摩擦力十分显著。

因此，分析边界层内的运动规律时，必须以粘滞流体所服从的定律（纳为－斯托克斯方程式）为依据。

边界层的分离现象及绕流阻力流体压强在驻点N 处最大，在较高压强作用下，流体由此分道向圆柱体两侧流动。

由于圆柱面的阻滞作用便形成了边界层。

边界层内的特点是流体流动时有能量损失，从N 点起向下游达到A 或B 以前，由于圆柱表面的弯曲，使流体挤压，流速沿程增加，故沿边界层的外边界上0U x ∂∂＝正值，p x∂∂＝负值，即在外边界上压强是沿程下降的，由此可知在NA 或NB 一段边界层内的流体是处于加速减压状态的，也就是说，在该段边界层内用压强下降来补偿能量损失外，尚有一部分压能转变为动能。

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第八章 边界层理论基础和绕流运动8—1 设有一静止光滑平板宽b ＝1m ，长L ＝1m ，顺流放置在均匀流u ＝1m/s 的水流中，如图所示，平板长边与水流方向一致，水温t ＝20℃。

试按层流边界层求边界层厚度的最大值δmax 和平板两侧所受的总摩擦阻力F f 。

解：20℃水的运动粘度ν＝1.003⨯10-6 m 2/s 密度3998.2/kg m ρ=6119970091.00310ν-⨯===⨯L uLRe 因为 56310997009310⨯<=<⨯L Re按层流边界层计算。

max 1/25.4470.0055m Re L L δ===3f 1/21.46 1.4610-===⨯L C Re 223998.2122 1.461011N 1.46N 22f ff u F C A ρ-⨯==⨯⨯⨯⨯⨯= 8—2 设有极薄的静止正方形光滑平板，边长为a ，顺流按水平和铅垂方向分别置放于二维恒定均速u 的水流中，试问：按层流边界层计算，平板两种置放分别所受的总摩擦阻力是否相等，为什么？解：因为两种置放情况的物理模型和数学模型及其分析、推导所得计算公式是相同的，所以两种情况平板所受的总摩擦阻力相等。

8—3 设有一静止光滑平板,如图所示,边长1m,上宽0.88m,下宽0.38m,顺流铅垂放置在均匀流速u =0.6m/s 的水流中，水温t =15℃。

试求作用在平板两侧的总摩擦阻力F f 。

注：若为层流边界层，C f 按式（8—24）计算。

解：由表1—1查得，15℃时水的密度ρ=999.13/kg m ，运动粘度ν=1.139×10-6m 2/s 。

首先判别流态，计算平板上宽雷诺数560.60.884635655101.13910ν-⨯===<⨯⨯L uLRe ，按层流边界层计算。

设z 轴铅垂向上,平板宽度x 为0.38+0.5z ，阻力系数C f 按式（8-24）计算,即12f 60.6(0.380.5)1.328 1.13910--⨯+⎡⎤==⨯⎢⎥⨯⎣⎦z C1521.328 5.2677810(0.380.5)z -轾=创?犏臌总摩擦阻力F f 按式(8—20)计算，f f12012(0.380.5)d 2F C u z z r =?ò11522 1.328 5.2677810(0.380.5)z -轾=创创+犏臌ò题8-1图21999.10.6(0.380.5)d 2z z 创创+ 1120.658(0.380.5)d z z =?ò。

因0.380.5x z =+，所以d 0.5d x z = ，或d 2d =z x 。

代入上式得0.88130.8822f 0.380.3820.6582 1.3163=⨯⨯=⨯⎰F x dx x0.88(0.830.23)N 0.528N =?=8—4 油的动力粘度μ=50×10-3Pa ·s ，密度r =990kg/m 3，流速u =0.3m/s ，流过一水平放置的静止光滑平板。

试求距离平板始端150mm 处的边界层厚度δ以及边界层厚度为50mm 处距离平板始端的距离L 。

解：（1）30.39900.158915010x u x Re r m -创===´，为层流边界层。

5.4770.028m d ==?（2）0.05m d =时，假设仍为层流边界层0.05===0.495m L =30.39900.49529405010L Re -创==´，为层流边界层。

0.05m d ==8—5 试按光滑平板上的湍流边界层计算习题8—1中平板上边界层厚度的最大值maxd 和平板两侧所受的总摩擦阻力F f 。

解：max 150.3810.024m Re L Ld ===3f 150.074= 4.6710LC Re -==? ()2f f f =22u F C A r 两侧23998.212 4.671011N4.66N 2-´=创创?max d 、F f 值均大于习题8—1按层流边界层计算所得的值。

8—6 空气的温度t ＝0℃，流速u ＝30m/s ，在一个标准大气压下，流过一水平放置的（静止）光滑平板。

已知距平板始端4m 处的某点流速u x ＝27m/s ，试求该点距平板的垂直距离y 。

解：t ＝0℃时，空气的动力粘度μ=1.71×10-5Pa ·s ，密度31.293kg/m r =。

51.29330490736841.7110x ux Re r m -创===´，在5731010´范围内。

按湍流边界层计算150.3810.3810.062m xx Re d ==?17x y u u d骣÷ç=÷ç÷ç桫 77270.062m 0.03m 30x u y ud 骣骣÷÷çç=??÷÷çç÷÷çç桫桫8—7 有一宽b ＝2.5m ，长L ＝30m 的光滑平板潜没在静水中，以5m/s 的速度等速拖曳，平板长边与运动方向一致，水温为20℃，试求光滑平板的总摩擦阻力F f 。

解：t ＝20℃时，水的运动粘度n =1.003×10-6m 2/s ，密度998.2r =kg/m 3。

65301.00310o L U L Re n -´===´149551346＞107，按湍流边界层计算。

()fm 2.580.4550.002lg L C Re == 220fm f 998.25220.002 2.530N 3743.25N 22U F C A r ´==创创=总8—8 空气的温度t ＝40℃，流速U 0＝60m/s ，流过一长L ＝6m ，宽b ＝2m 的光滑平板, 平板长边与流速方向一致。

设平板边界层由层流转变为湍流的条件为60crcr 10x U x Re n==。

试求平板两侧所受的总摩擦阻力F f （注：按混合边界层计算）。

解：t ＝40℃时，空气的运动粘度521.6810m /s n -=?，密度31.128kg/m r =。

60560621428571101.6810L U L Re n -´===>´，按混合边界层计算。

Re x cr =106，由表8-1可查得A=3300()fm 11550.0740.07433000.002352142857121428571L LA C Re Re =-=-= 220f fm 1.12860220.0023526N 114.5N 22U F C bLr ´=?创创=8—9 空气的温度为293K ，流速u =30m/s,在一个标准大气压下，流过一水平放置的光滑平板。

层流边界层转变为湍流边界层的临界雷诺数cr x Re 5510=?，试求（1）边界层流态转变处离平板始端距离x cr 和该处离平板垂直距离y ＝1mm 处的流速u x ；（2）离平板始端1m 处的边界层厚度和每米宽平板所需的总拖曳力F f 。

（按混合边界层计算）解：（1）t =293K 时，空气的动力粘度51.8110Pa s m -=醋，密度31.205kg/m r =。

cr cr =x Re ux rm55cr cr 510 1.8110m 0.25m 1.20530x Re x u m r -创?===´cr 1/2cr 5.4775.4770.00194m x x Re d ==? 2222300.001()(0.001)m/s 22.96m/s 20.0019420.00194x u y u y d d ´=-=-=´(2) 551.205301199********.8110L uL Re r m -创===>?´为湍流边界层。

1/5=0.3810.3810.0209m L x Re d =?f m 1/50.074170017000.003221997238L L C Re Re =-==22f fm 1.20530220.0032211N 3.49N 22u F C bL r ´==创创=8—10 设有一宽b =2.5m ，长L =30m 的粗糙平板潜没在静水中，以5m/s 的速度等速拖曳，平板宽边b 与运动方向一致，水温为20℃，平板当量粗糙度∆=0.3mm 。

试求粗糙平板的总摩擦阻力F f 。

解：由表1—1查得，水温t =20℃时，水的密度ρ= 998.2 kg/m 3，运动粘度ν=1.003×10-6m 2/s 。

5065 2.5124626125101.00310ν-⨯===>⨯⨯b U bRe ，为湍流边界层。

允许粗糙度∆'650100100 1.00310m 2.00610m 0.02mm 0.3mm /5U ν--⨯⨯≤==⨯≈<∆=＞14×0.02=0.28mm ，粗糙平板，且可认为属于湍流边界层粗糙区。

层流边界层长度 56cr cr 0510 1.00310m 0.1m 5-⨯⨯⨯===x Re v x U与平板宽边b =2.5m 相比，可略去不计。

按湍流边界层粗糙区计算摩阻系数C f ，即2.5 2.5f 2.5(1.62lg1.89)(1.62lg 1.89)0.0003--=+=+∆b C 31013.5-⨯= 2320f f 2 5.1310998.25 2.5302N 22U F C A r -创创创== 9601.44N =8—11 球形尘粒密度s ρ= 2.5×103kg/m 3，在20℃的大气中等速自由沉降。

若空气阻力可按斯托克斯阻力公式计算，试求尘粒最大直径d max 和自由沉降速度u f 。

解：由表1-2查得空气的运动粘度ν=1.5×10-5m 2/s ，密度ρ=1.205 kg/m 3 。

50515.8410m58.4μm d -===?max 58.4μm d =2f 1()18s u d g r r nr=- 2510.000058418 1.510 1.205-=?创? (2.51000 1.205)9.8m/s 创-? f u 0.257m/s = 8—12 球形水滴在20℃的大气中等速自由沉降，若空气阻力可按斯托克斯阻力公式计算，试求水滴最大直径d max 和自由沉降速度u f 。

解：（1）由表1-2查得空气的运动粘度ν=1.5×10-5m 2/s ，密度ρ=1.205 kg/m 3 ，水的密度F ρ= 998.2kg/m 3。