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计算方法第五讲2

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六年级第五讲 分数乘除法和简便计算

六年级第五讲 分数乘除法和简便计算

六年级第五讲 分数乘除法和简便计算一、知识方法在进行分数计算时，不仅要熟练的掌握四则运算的法则和运算定律，而且还常常要根据算式中数的特点和算式结构，运用一些运算技巧，灵活选择计算方法，使一些较复杂的分数计算化难为易、化繁为简。

分数乘整数----用分数的分子和整数相乘的积做分子，分母不变。

能约分的先约分，再计算。

（找整数和分母的最大公因数约分）分数乘分数----用分子相乘的积作分子，分母相乘的积做分母（找分子和分母的最大公因数约分）分数除法的计算方法-----一个数除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。

分数混合运算的顺序和整数的运算顺序相同，整数乘法的交换律，结合律和分配率，对于分数乘法也适用。

1、直接写出得数：2、下面各题怎样简便怎样算：524 ×12 = 6×524 = 49 ×2710 = 23 ＋34 = 225 ×56 = 72÷89 = 617 －1351 = 56 ÷12= 1320 ÷91100 = 78 ÷47 = 14 ×15 ×10= 34 －（17 －14 ）= 130 ÷15 ÷15 = ＝2156 47 ×1522 ×712 12×（ 1112 － 348 ） 910 ×1317 ＋910 ×417 1113 －1113 ×1333 36×937 926 ÷ 813 ×827 1639 ÷914 ＋1639 ×49 （ 94 － 32 ）× 83 （ 38 －0.125）×41347 ÷32 +47 ÷3 (1-21-41)÷81 12÷（1+31-65）二、例题探究【例1】 （1）173332⨯ （2）271328⨯【例2】1999199819981998÷【例3】120001999199820001999-⨯⨯+【例4】651541431321211⨯+⨯+⨯+⨯+⨯三、同步练习【练1】 1.192423⨯ 2. 351136⨯3. 25148⨯4. 126253⨯【练2】1. 239238238238÷ 2. 2000199919991999÷ 【练3】1. 186548362361548362-⨯⨯+ 2. 119891988198719891988-⨯⨯+【练4】1. 100991431321211⨯++⨯+⨯+⨯2. 3012011216121++++3. 90172156142130120112161211+++++++++四、测测你自己计算下面各题1．261727⨯ 2．384544⨯ 3．175254÷4．）（2003200220022002+÷ 5．）（）（759411311671098++÷++6．199619941995119961995⨯+-⨯7．769999997599999749999739997299719+++++8．14131131************⨯+⨯+⨯+⨯9．19991199919981199819971199719961+⨯+⨯+⨯10．901721561421301++++课后练习一直接写出得数。

第五讲：有理数加减混合运算(第二课时)

第五讲：有理数加减混合运算(第二课时)

第五讲：有理数加减混合运算（第二课时）一、加减法统一成加法：(1)有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减法转化为加法，统一成只有加法运算的和式。

如：(－12)－(＋8)＋(－6)－(－5)＝(－12)＋(－8)＋(－6)＋(＋5)。

(2)在和式里，通常把各个加数的括号省略不写，写成省略加号的和的形式。

如：(－12)＋(－8)＋(－6)＋(＋5)＝－12－8－6＋5。

(3)和式的读法：①按这个式子表示的意义，读作“负12，负8，负6，正5的和”； ②按运算意义读作“负12减8减6加5”。

注意：“＋”号和“－”号的双重含义 ①可以理解为性质符号，读作“正”，“负”；②可以理解为运算符号，读作“加”，“减”。

例题：1.把⎝⎛⎭⎪⎫－478－⎝ ⎛⎭⎪⎫－512＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－414－⎝ ⎛⎭⎪⎫＋318写成省略加号的和的形式，并把它读出来。

二、有理数加减混合运算的方法和步骤第一步：运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化成为加法； 第二步： 再运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行运算。

例题： 1.计算：（1）543210-+-+- （2）2.104.87.52.4+-+-（3）13513462-+-+ （4）111()()6312+-+--（5）（-0.5）-（-341）+3.75-（+821）（6）)61(41)31()412(213+---+--（7）2111943+-+-- （8）)]18()21(26[13-+---（9）2111)43(412--+--- （10） (＋3.74)－[(－5.91)－(－2.74)＋(－2.78)]三、利用加减法解决实际问题 例题：1.-7，-12，+2的代数和比他们的绝对值的和小。

2.│x+5│+│y-1│=0则x+y=3.│x │=5, │y │=3,则│x-y │=4.银行储蓄所办理了7笔储蓄业务：取出950元，存进500元，取出800元，存进2500元，取出1025元，取出200元，存进1200元。

第五讲 行程问题2

第五讲 行程问题2

行程问题（二）1.已知甲乙两人在一个圆形跑道的同一地点，同时背向而行，甲每分钟跑100米，乙每分钟跑150米，此圆形跑道的周长为500米，求他们第一次相遇所需的时间。

2.已知甲乙两人在同一圆形跑道的同一地点同时同向而行，甲每分钟跑100米，乙每分钟跑150米，此圆形跑道的周长为500米，求他们第一次相遇所需的时间。

3.小明与杨华分别以不同的速度，在周长为500米的跑道上跑步，杨华的速度是180米/分。

（1）小明与杨华从同一地点出发，反向跑步，75秒两人第一次相遇，求小明的速度；（2）若小明与杨华以上述的速度同时从同一地点出发，同一方向跑步，小明要跑多少圈才能第一次追上杨华？4.A、B是圆直径的两端，甲乙分别从A、B两点同时沿着顺时针方向出发。

已知甲走一圈要12分钟，乙走一圈要15分钟，那么出发后多少分钟甲追上乙。

练习：1.有一条长80米的圆形走廊，兄弟两人同时从同一处，同一方向沿着走廊出发，弟弟以每秒1米的速度步行，哥哥以每秒5米的速度奔跑，哥哥在第二次追上弟弟时，所用的时间是多少秒？2.甲乙两人同时从A点背向出发，沿400米环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，这两人至少用多少分钟再在A点相遇？3.小明在360米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么小明后一半路程用了多少秒？4.小张步行从甲村到乙村，小李骑车从乙村到甲村去，它们同时出发1小时后在途中相遇，它们分别继续前进，小李到达甲村后立即返回，在第一次相遇后40分钟，小李追上了小张，它们又分别继续前进，当小李到达乙村后又马上折回，问追上后多少分钟他们再次相遇。

5.在400米的环形跑道上，A、B两点相距100米，甲乙两人分别从A、B两点同时出发，按顺时针方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人跑100米，都要停10秒，那么甲追上乙需要多少时间？6.在一圆形跑道上，小明从A点，小强从B点同时出发反向行走，6 分钟后小明与小强相遇，再过4分钟，小明到达B点，又再过8分钟，又与小强再次相遇。

人教版春季五年级 第五讲 长方体与正方体(二) 提升版-教培星球

人教版春季五年级 第五讲 长方体与正方体(二) 提升版-教培星球

第5讲长方体和正方体（二）知识点一：长方体和正方体的表面积1、长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。

2、长方体公式：棱长和＝（长＋宽＋高）×4 底面积（占地面积）＝长×宽侧面积（左面、右面）＝宽×高前（后）面积＝长×高表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2没盖的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×23、正方体公式：棱长和＝棱长×12 棱长＝棱长和÷12表面积＝棱长×棱长×6 （任意一个面积×6）没盖的表面积＝棱长×棱长×5知识点二：长方体和正方体的体积1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。

2、容器所能容纳物体的体积通常叫做它们的容积。

10、长方体的体积（容积）＝长×宽×高＝底面积×高字母公式：v=abh v=sh3、正方体的体积（容积）＝棱长×棱长×棱长＝底面积×棱长4、读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a× a× a）。

5、计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米，立方分米和立方米，可以写成3m。

dm，3cm，36、计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。

7、高级单位化成低级单位乘进率；低级单位化成高级单位除以进率。

8、、体积和容积单位之间的进率：1立方米＝1000立方分米1立方分米＝1000立方厘米1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米1立方分米＝1升 1立方厘米＝1毫升 1升＝1000毫升字母表示：13dmdm 1L=1000ml 1L=13dm =10003cm 13m =100031ml=1 3cm9、长方体或正方体容积的计算方法，跟体积计算方法相同。

但要从容器里面量长、宽、高。

【精品奥数】六年级上册数学思维训练讲义-第五讲 转换单位“1”(二) 人教版(含答案)

【精品奥数】六年级上册数学思维训练讲义-第五讲 转换单位“1”(二) 人教版(含答案)

第五讲 转化单位“1”（二）第一部分：趣味数学牛奶与水李林喝了一杯牛奶的16 ，然后加满水，又喝了一杯的13 ，再倒满水后又喝了半杯，又加满了水，最后把一杯都喝了，那么李林喝的牛奶多，还是水多？【答案】 一样多第二部分：习题精讲【例题1】甲数是乙数的23 ，乙数是丙数的34 ，甲、乙、丙的和是216，甲、乙、丙各是多少？解法一：把丙数看所单位“1”那么甲数就是丙数的34 ×23 ＝12 ，丙：216÷（1+34 +34 ×23 ）＝96乙：96×34 ＝72甲：72×23＝48解法二：可将“乙数是丙数的34 ”转化成“丙数是乙数的43 ”，把乙数看作单位“1”。

乙：216÷（23 +1+43 ）＝72甲：72×23 ＝48丙：72÷34＝96解法三：将条件“甲数是乙数的23”转化为“乙数是甲数的32”，再将条件“乙数是丙数的34”转化为“丙数是乙数的43”，以甲数为单位“1”。

甲：216÷（1+32+32×43）＝48乙：48×32＝72丙：72×43＝96答：甲数是48，乙数是72，丙数是96。

练习一：下面各题怎样计算简便就怎样计算：1.甲数是乙数的56，乙数是丙数的34，甲、乙、丙三个数的和是152，甲、乙、丙三个数各是多少？2.梨树的棵数是苹果树的23，桃树的棵数是梨树的12，桃树和苹果共有220棵，梨树有多少棵？3.某中学的初中部三个年级中，初一的学生数是初二学生数的910，初二的学生数是初三学生数的114倍，这个学校里初三的学生数占初中部学生数的几分之几？【例题2】红、黄、蓝气球共有62只，其中红气球的35等于黄气球的23，蓝气球有24只，红气球和黄气球各有多少只？解法一：将条件“红气球的35等于黄气球的23”转化为“黄气球的只数是红气球的（35÷2 3＝）910”。

四年级奥数第五讲-等差数列(二)-教师版

四年级奥数第五讲-等差数列(二)-教师版

第五讲等差数列（二）解题方法某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。

在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

例题1小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。

这本书共有多少页？提示根据条件“以后每天比前一天多看2页”可以知道他每天看的页数都是按照一定规律排列的数，即20、22、24、…、76、78。

要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。

解：由题意可知，这列数是一个等差数列，首项=20，末项=78，项数=30，所以这本书共有（20+78）×30÷2=1470（页）答：这本书共有1470页。

引申1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。

文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？解：文丽每天学会的单词个数是一个等差数列，即3、4、5、6、…、21。

首项=3，末项=21，项数=（21-3）÷2+1=10。

所以，文丽在这些天中共学会了（3+21）×10÷2=120(个)答：文丽在这些天中共学会了120个英语单词。

2、李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。

这批零件共有多少个？答:（25+63）×20÷2=880（个）3、小李读一本短篇小说，她第一天读了20页这个等差数列共有多少项?答：这个等差数列共有29项。

例题2 建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。

提示：根据图可以知道，这是一个以3为首项，以1为公差的等差数列，求钢管一共有多少根其实是求这列数的和。

解：求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+…+9+10的和。

项数=(10-3)÷1+1=8,根据公式求和为:3+4+5+…+9+10=(3+10)×8÷2=13×8÷ 2=52(根)。

六年级上册数学素材-【六暑】尖端班讲义第五讲 直线型计算综合(二)无答案 全国通用

第5讲 直线型计算综合（二）知识点回顾燕尾模型在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么 S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶ECS △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FCS △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型①AD AE DE AF AB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△： 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．本讲重点1. 燕尾模型2.沙漏模型3. 金字塔模型热身小练习GF E ABCD AB CDEF G1.如图，三角形BDE的面积是8，三角形CDE的面积是6，三角形ABE的面积是12，求三角形AEC 的面积。

2.如图所示在沙漏模型中，AB=8厘米，CD=4厘米（1）当AO=10厘米时，求OD的长度（2）当CO=7厘米时，求OB的长度。

3.如图所示在金字塔模型中，AD:DB=2：3，三角形ADE的面积是12，求四边形BCED的面积。

典型例题例1：如图，三角形ABC的面积是1平方厘米，E是AC的中点，点D在BC上且BD：DC=1:2，AD与BE交于点F，则四边形DFEC的面积是多少？cm，E在AC上，点D是BC的中点，AE：EC=2：3，练习1：如图，三角形ABC的面积是702AD 与BE 交于点F 。

第五讲：2-3冲量 动量守恒定律

动量定理的微分形式.
d ( p1 p2 pn ) F1 F2 Fn dt
d ( p1 p2 pn ) F1 F2 Fn dt
t P ( F1 F2 Fn )dt dP t0 P0
P52例2-9 一根长为l，质量均匀分布的链条平直放 在光滑桌面上，开始时链条静止地搭在桌边，其中 一端下垂，下垂部分长度为a，释放后链条开始下 落，求链条下落到任意位置处的速度.
解:
设链条线密度为λ，质量为M，有
λ＝M/l
若t时刻下落长度为x，则下落部分质量为m＝λx， 其所受重力为
F mg gx
I x Fx dt mv x mv x0
t0
t
t
分量表示式
I y Fy dt mv y mv y0
t0
I z Fz dt mv z mv z0
t0
t
平均冲力： 定义：在相同时间内，若有一恒力的冲量与一变力 的冲量相等。则这一个恒力称为这一变力的平均冲 力。即当恒力与变力满足：
桌上部分为l－x，这部分受的重力和支承力相互抵 消，因此，整个链条在下落部分所受重力的作用下 运动，按动量定理
Fdt dp d ( Mv)
gxdt Mdv
两边同乘以dx，有
gx Mdv / dt
dx gxdx Mdv Mvdv dt
t＝0时，x0＝a，v0＝0，落下x长度时速度为v，所以 有 x v gxdx Mvdv
注意1）使用时要注意定理的条件：
Fi外 0
0
0 0
惯性系
2）常用分量式：
F

二次根式


6.(2012·杭州中考)已知 a (a 3)＜0 ，若b=2-a，则b的取值范
围是__________． 【解析】∵ a (a 3)＜0 ， ∴ a＞0，a 3＜0 ，解得a＞0且 a＜ 3，
0＜a＜ 3， 3＜ a＜0， 2 3＜2 a＜2，
即 2 3＜b＜2． 答案：2 3＜b＜2
选D.
【对点训练】 4.(2011·大庆中考)对任意实数a，则下列等式一定成立的 是(
(A)
)
a 2 a(B) a 2 a
(C) a 2 a(D) a 2 | a |
a
答案：6
【名师点评】通过对该类型题目的分析与总结，我们可以得到 以下创新点拨和解题启示. 1.正数和零统称为非负数,初中非负数常见的三种表示 形式： (1)绝对值形式：a为任意实数，则|a|≥0; (2)算术平方根形式：a≥0，则 a 0； (3)偶次幂形式：任意实数a，偶数n，则an≥0. 2.非负数的四个性质: (1)非负数a≥0，则a的最小值为0； (2)有限个非负数的和与积仍是非负数； (3)有限个非负数的和为0等价于每个非负数都等于0； (4)有限个非负数的积为0，则其中至少有一个非负数为0.
【例1】(2011·黄冈中考)要使式子 a 2 有意义，则a的取值
范围为__________．
a
【思路点拨】从形式上看首先是一个分式，分式的分母不能等 于0，由于分子是一个二次根式，还要满足被开方数是非负数 .
a20 【自主解答】由题意得 , a 0
解得: a≥-2且a≠0.
15 15 (D) 2 2
(A) 15(B)15(C)
【解析】选A.根据二次根式被开方数为非负数求出x，y的值，

四年级奥数第五讲-等差数列(二)-教师版

第五讲等差数列（二）解题方法某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。

在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

例题1小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。

这本书共有多少页？提示根据条件“以后每天比前一天多看2页”可以知道他每天看的页数都是按照一定规律排列的数，即20、22、24、…、76、78。

要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。

解：由题意可知，这列数是一个等差数列，首项=20，末项=78，项数=30，所以这本书共有（20+78）×30÷2=1470（页）答：这本书共有1470页。

引申1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。

文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？解：文丽每天学会的单词个数是一个等差数列，即3、4、5、6、…、21。

首项=3，末项=21，项数=（21-3）÷2+1=10。

所以，文丽在这些天中共学会了（3+21）×10÷2=120(个)答：文丽在这些天中共学会了120个英语单词。

2、李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。

这批零件共有多少个？答: （25+63）×20÷2=880（个）3、小李读一本短篇小说，她第一天读了20页这个等差数列共有多少项?答：这个等差数列共有29项。

例题2 建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。

提示：根据图可以知道，这是一个以3为首项，以1为公差的等差数列，求钢管一共有多少根其实是求这列数的和。

解：求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+…+9+10的和。

项数=(10-3)÷1+1=8,根据公式求和为:3+4+5+…+9+10=(3+10)×8÷2=13×8÷2=52(根)。

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(1) 首先把整个积分区间分成若干个子区间（通常采用等分) ； (2) 然后在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes公式;
(3) 最后将每个小区间上的积分的近似值相加。
将定积分 b f (x)dx的积分区间[a,b]分割为n等份 a
各节点为 xk a kh , k 0,1, , n
h ba n
945 4
h3 12
f (k )
h5 2880
f
(4) (k )
8 945
h 4
7
f (6) (k )
复化梯形公式的截断误差
1. 设函数f (x)在[a,b]连续,则
I
Tn
n1
[
h3
k 0 12
f (k )]
h3 12
n1 k 0
f
(k
)
由于
min { f (x)} n1 f (k ) max f (x)
x 导数，并估计其最大值M。 为此将函数变为如下形式：
f (x)= sin x
1
cos txdt
x
0
L f (x) 1t2 cos txdt 0
1
f (x) 0 tsintxdt
f (k) (x)
1t k cos
0
tx
k 2
dt
于是有
f (k) (x)
1 tk cos
0
在子区间[xk , xk1](k 0,1,L , n 1)上使用Newton-Cotes公式
二、复化求积公式
复化梯形公式
b
I f (x)dx
n1
xk1 f ( x)dx
a
k 0 xk
n1 xk1 xk
k 0
2
f (xk ) f (xk1)
n1 h k0 2
f (xk ) f (xk1)
Tn
4 3
T2n
1 3
Tn
此式可视作用误差对 T2n 作一种补偿，可以提高精度。
对上式进行计算
Tn
h[ 2
f
n1
(a) 2
k 1
f
(xk )
f
(b)],
T2n
h[ f 4
n1
(a) 2
k 1
f
n1
(xk ) 2
k 0
f
(
xk
1 2
)
f
(b)],
1
h n1
2 Tn
2
k 0
f
(
xk
1 2
b f (x)dx,而且
a
收敛速度一个比一个快。
例1 要用复化梯形公式计算
2
3ln xdx
的值，要求误差
1
不超过102，则要将区间分成多少份？
解: f x 3ln x f 'x 3 1
x
f
''
x
3
1 x2
M2
max
1x2
f '' x
=3
R
Tn
(b a) 12
h2
f
(
)
RTn
),
4
3
T2n
1 3
Tn
2 3
Tn
2 h n1 3 k0
f
1
(
x k
1 2
)
3
Tn
Sn
h
n1
2 n1
[ 6
f
(a) 2
k 1
f
(xk )
f
(b)]
3
k 0
f
(
xk
1 2
)
h
n1
n1
[ 6
f
(a) 2
k 1
f
(xk ) 4
k 0
f
(
xk
1 2
)
f
(b)]
为了便于记忆，将上式写成
4
I
S2n
1 42
1
(S2
n
Sn )
C2n作为I的近似值的截断误差约 为
I
C2n
1 43
1
(C2n
Cn )
例3 使用复化梯形公式和步长逐次减半法计算
I 1 sin x dx，要求误差不超过 1 106。
0x
2
解: 计算结果见下表
2n T2n
|T2n-Tn|
1 0.9207355
2n T2n
从而确定n. 下面以复化梯形公式为例来介绍这种步长逐次减半求积法
将区间[a,b]
n等分，步长
h
ba n
，复化梯形公式为
h
n1
Tn
[ 2
f
(a)
2
k 1
f
(xk )
f
(b)],
再将步长减半，增加新分点
xk
1 2
1 2
xk
xk1 ，
公式变为
h
n1
n1
T2n
[ 4
f
(a) 2
k 1
f
(xk ) 2
1
Sn 4 1T2n 4 1Tn
类似地可以推得
42
1
Cn 42 1 S2n 42 1 Sn
Rn
43 43 1 C2n
1 43 1 Cn
梯形加速公式 抛物线加速公式 龙贝格求积公式
说明
（1）根据上述公式，可以由序列 {T2k }求得序列{S2k } ， {C2k } ， {R2k } 。
（2）上述将变步长的梯形法得到的积分值加工成精度 较高的积分值的求积方法称为龙贝格求积算法。
§5.3 复化求积公式
一、问题 当积分区间[a, b]的长度较大时，
(1) 如果使用低阶的Newton-Cotes公式，误差将会较大； (2) 如果使用高阶的Newton-Cotes公式，则系数复杂，
且公式的稳定性和收敛性也不能保证。
为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用复化求积法.
所谓复化求积法，就是
16 0.9459850 0.0002941 512 0.9460830 0.0000003
§4.3 龙贝格 （Romberg）算法
一、问题 复化梯形公式简单，但计算精度较差 有没有办法改善复化梯形公式的精度呢?
由上节关于复化梯形公式的误差公式
I
T2n
1 3
(T2
n
Tn )
可得
I
T2n
1 3
T2n
（1）计算f (a)，f (b)，按梯形公式计算T1。
（2）将区间[a,
b]对半分，计算f
(
ab 2
)和T2，进而
计算S1。
（3）将区间再对半分，计算T4，进而计算S2，C1。
（4）将区间再对半分，计算T8，进而计算S4，C2，R1。 （5）将区间再对半分，重复第4步过程，计算T16，
进而计算S8，C4，R2。反复进行此过程，直到 满足精度 R2k1 R2k 10m为止。此时，取R2k1 为积分近似值，精度达到10m.
32 0.9460586
|T2n-Tn|
0.0000736
2 0.9397933 0.0190578 64 0.9460769 0.0000183
4 0.9445135 0.0047202 128 0.9460815 0.0000046
8 0.9456909 0.0011774 256 0.9460827 0.0000012
比较三种复化公式的的余项
R(Tn
)
I
Tn
(b a) 12
h2
f
( )
o(h2 )
R(Sn ) I Sn b a h4 f (4) ()
2880
o(h4 )
R(Cn )
I
Cn
2(b a) 945
h 4
6
f
( 6 ) ( )
o(h6 )
分别是h的2，4，6阶无穷小量
即当n 时，Tn , Sn ,Cn都收敛于I
I Sn
n1 k 0
h5 2880
f
(4) (k
)
ba 2880
h4
f
(4) ()
R(Sn )
复化cotes公式的截断误差
若函数f (6) (x)在[a,b]上连续，则
I
Cn
n1 k 0
8 945
h 4
7
f
(6)
(k
)
2(b a) 945
h 4
6
f (6)()
R(Cn )
1 0.9397933 0.9460869 0.9460831 0.9460830
2 0.9445135 0.9460834 0.9460830
3 0.9456909 0.9460830
4 0.9459850
这里只用了T1，T2，T4，T8，T16 就得到了精度较高 的 R2 ，效果显著。
二、龙贝格求积公式的计算步骤
1 12
1 n
2
3 102
n2 25
n取5，即将区间分成5份即可。
例2 使用各种复化求积公式计算定积分 I 1 sin x dx， 0x 要求按复化辛普森公式计算时误差不超过 1 106。 2
解: 首先，由于lim sin x 1，所以该积分不是广义积分。
x0 x 其次，为了满足精度要求，需要求函数f (x)= sin x 的4阶
4I 4T2n I Tn
I
T2n
1 3
(T2
n
Tn )IFra bibliotek T2n1 3
(T2n
Tn )
T2n