2010-2011概率论与随机过程考试试题B

2010年概率论考研真题与答案1. （2010年数学一、三）设随机变量X 的分布函数001()01211x x F x x ex -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩，且{}1P X ==_________. 【C 】A ．0 B.12 C. 112e -- D. 11e -- 解：根据分布函数的性质，有{}{}{}1111111(1)(10)1.22P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=- 2. （2010年数学一、三）设1()f x 为标准正态分布的概率密度，2()f x 为[1,3]-上的均匀分布的概率密度。

若12()0()(0,0)()0af x x f x a b bf x x ≤⎧=>>⎨>⎩为概率密度，则,a b 应满足__________. 【A 】A. 234a b +=B. 324a b +=C. 1a b +=D. 2a b +=解：根据题意，有221()()x f x x ϕ-==，2113()4x f x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 由概率密度的性质，有01201()()()f x dx af x dx bf x dx +∞+∞-∞-∞==+⎰⎰⎰0313()424a a x dxb dx b ϕ-∞=+=+⎰⎰234a b ∴+=3. （2010年数学一）设随机变量X 的分布律为{},0,1,2,,!CP X k k k ===L 则2()E X =___________. 【2】解：根据分布律的性质，0011,!!k k C C Ce k k +∞+∞====⋅=∑∑ 即1C e -=.于是， {}11,0,1,2,,!!k C P X k e k k k -===⋅=L 即X 为服从参数为1的泊松分布，于是22()()()112E X D X E X =+=+=4. （2010年数学三）设12,,,n X X X 是来自总体2(,)(0)N μσσ>的简单随机样本，记统计量2=11n i i T X n =∑，则(T )=E __________. 【22σμ+】解： 2222()()()i i i E X D X E X σμ=+=+222222=1=1111()()()()n n i i i i E T E X E X n n n nσμσμ∴===⋅+=+∑∑5. （2010年数学一、三）设(,)X Y 的概率密度为22-2+2(,)=,(,)x xy y f x y Ae x R y R -∈∈，求常数A 及条件概率密度()Y X f y x .解：【方法一】根据概率密度的性质，有22-2+21(,)=x xy y f x y dxdy A edxdy +∞+∞+∞+∞--∞-∞-∞-∞=⎰⎰⎰⎰22()=()x y x A e dx e d y x A A π+∞+∞----∞-∞-==⎰⎰1A π∴=即： 22-2+21(,)=,,xxy y f x y e x R y R π-∈∈关于X 的边缘概率密度函数为22-2+21()(,)x xy y X f x f x y dy edy π+∞+∞--∞-∞==⎰⎰()222()1x y x x eed y x π+∞-----∞=-⎰22-+2(,)()()x xy y Y X X f x y f y x f x -∴==，,x R y R ∈∈ 【评注】充分利用积分2x e dx +∞--∞=⎰.【方法二】概率密度函数可以变形为：2222-2+2--()(,)=xxy y x y x f x y Ae Ae e --=⋅2222()112211=11x y x A e eπ---⋅⋅⋅⋅利用概率密度函数的性质2222()1122111(,)=11x y x f x y dxdy A edx edy π---⋅⋅+∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞=⋅⋅⋅⎰⎰⎰⎰A π=(利用2()21x dx μσ--+∞-∞=⎰，同时，把第二个积分中的x 看做常数即可)1Aπ∴=2222()112211(,)=11x y xf x y e e---⋅⋅∴⋅2222()12--1()(,)y xx xXf x f x y dy e dy--⋅+∞+∞-∞-∞∴==⋅=⎰⎰22-+2(,)()()x xy yY XXf x yf y xf x-∴==，(,)x R y R∈∈【评注】充分利用22()21xdxμσ--+∞-∞=⎰。

《概率论与随机过程》第1章习题(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《概率论与随机过程》第一章习题1. 写出下列随机试验的样本空间。

（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。

（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。

（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。

（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。

（5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。

（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。

（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。

（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

（9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。

（10）测量一汽车通过给定点的速度。

（11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。

2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。

（1） A 发生，B 与C 不发生。

（2） A 与B 都发生，而C 不发生。

（3） A ，B ，C 都发生。

（4） A ，B ，C 中至少有一个发生。

（5） A ，B ，C 都不发生。

（6） A ，B ，C 中至多于一个发生。

（7） A ，B ，C 中至多于二个发生。

（8） A ，B ，C 中至少有二个发生。

3. 设{}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。

（2）B A ⋃。

（3）B A 。

北邮研究生概率论与随机过程-试题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：23北京邮电大学2012——2013学年第1学期《概率论与随机过程》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。

在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号!一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分）1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈⊂A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈⋯A,,,,则1n n A ∞=∈U A ;（D ）若12n A n =∈⋯A,,,,且123A A A ⊃⊃⊃L ,则1n n A ∞=∈I A .2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c（A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-；（B ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且123A A A ⊃⊃⊃L ，则1li ()()m n n n n P A A P ∞→∞==I ；（C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++U U ； （D ）若12n A n =∈⋯F,,,,,且,i j A i j A =∅∀=/，11()()n n n n P P A A ∞∞===∑U .3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为1000()k A k f kI ω==∑，其中100,,i j n n i j A A A ==∅∀=Ω/=U ，则fdP Ω=⎰ ；4若已知100100!1!(100)()!2k k k P A -=，则2f dP Ω=⎰ . 0210(),25502525kk kP A =+=∑4. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度2,01,0,(,)0,x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其他， 则[[|]]E E X Y = .2/35. 设随机过程,}{()cos X t X t t ω-∞<<+∞=，其中随机变量X 服从参数为1的指数分布，(0,/2)ωπ∈为常数，则（1）(1)X 的概率密度(;1)f x = ；（2）20(())E X t dt π=⎰ .,0,(;1)01,xcos x e cos f x ωω-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他，20(1())E X t dt πω=⎰ 6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2()0σσ>的维纳过程，令1()()X t W t=，则相关函数2(1,2)2X R σ=.7. 设齐次马氏链的状态空间为{1,2,3}E =,一步转移概率为0.50.500.50.500.20.30.5P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则（1）()11lim n n p→∞= ；（2）()33n n p ∞==∑ . 1/2,2 二. 概率题（共30分）51.(10分) 设(,)X Y 的概率密度为22122221(,)2x x f x y e σπσ+-=,令22,U X Y V Y =+=, （1）求(,)U V 的概率密度(,)g u v ；（2）求U 的边缘概率密度()U g u .解解.（1） 解方程22,,u x y v y ⎧=+⎨=⎩得22,||,,v u x u v y v ⎧⎪=±⎨⎪⎩≤=- 所以雅可比行列式22222222201u uJ u v u v u vv±==±---m, 故222221,||,(,)(,)||20,u u e v u g u v f x y J u v σπσ-⎧≤⎪==⎨-⎪⎩其他. ……5分（2）对0u >，222221(,))2(u u U uu g u e g u v d d u vv v σπσ-∞-∞-=-=⎰⎰22222222212u uu ue dv e u v u u σσπσσ---==-⎰,故222,0,()20,.uU eu u g u σσ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他……10分2.（10分）设(,)U V 的概率密度6,0,0,(,)0,u e u v v g u v -⎧->>=⎨⎩其他，（1）求{1}|1()0V U E I >=，其中{1}{1,(}),10V V I ωω>∈>⎧=⎨⎩，其他，（2）(|)D V U .解 U 的边缘概率密度为00,0,,0,()(,)0,,0,,uu u uU e dv u e u u u v d u g v g --⎧⎧>>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他其他 所以条件概率密度|1,0,(,)(|)()0,V U U v u g u v v u ug g u ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他. ……4分（1）101{1}|1111()(1|10).102|10(|10)V V U E I P V U U v u g dv dv >===>====⎰⎰……7分（2）因为21(|)2D V U u u ==，所以2(|)12D U U V =。

随机过程复习题一、填空题：1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有______}|{|lim =<-∞>-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。

2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则1592}6)5(,4)3(,2)1({-⨯⨯====e X X X P ,618}4)3(|6)5({-===e X X P1532623292!23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({}6)5(,4)3(,2)1({----⨯⨯=⨯⨯⨯==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P66218!26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(412141，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43410313131043411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4831481348436133616367164167165)1()2(2P P 167)2(12=P161314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{}2,2,1{12010102010210=⨯⨯=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ，)]()([)(πϖδπϖδπω-++=X S6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。

概率论期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 随机变量X服从标准正态分布，则P(-1 < X < 1)的值是（）。

A. 0.6827B. 0.9545C. 0.9772D. 0.5000答案：B2. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么E(X)等于（）。

A. λB. λ^2C. 1/λD. 1答案：A3. 两个相互独立的随机事件A和B，P(A)=0.3，P(B)=0.5，则P(A∪B)等于（）。

A. 0.2B. 0.5C. 0.8D. 0.6答案：D4. 设随机变量X服从二项分布B(n,p)，则X的方差Var(X)等于（）。

A. npB. np(1-p)C. n(1-p)D. p(1-p)答案：B5. 随机变量X服从均匀分布U(a,b)，则其概率密度函数f(x)为（）。

A. 1/(b-a), a≤x≤bB. 1/(b-a), x≤a 或x≥bC. 1/(b-a), x<a 或 x>bD. 1/(b-a), x<b答案：A6. 设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，则X的期望E(X)等于（）。

A. σB. μC. 0D. 1答案：B7. 设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，则X的均值μ和方差σ^2的关系是（）。

A. μ = σ^2B. μ^2 = σ^2C. μ = 0D. μ ≠ σ^2答案：D8. 随机变量X服从二项分布B(n,p)，当n趋于无穷大时，X的分布趋近于（）。

A. 泊松分布B. 正态分布C. 均匀分布D. 指数分布答案：B9. 设随机变量X服从指数分布，其概率密度函数为f(x) = λe^(-λx) (x≥0)，则其均值E(X)等于（）。

A. λB. 1/λC. 0D. 1答案：B10. 随机变量X和Y相互独立，且X和Y都服从标准正态分布N(0,1)，则Z=X+Y服从（）。

A. N(0,2)B. N(0,1)C. N(2,1)D. N(1,2)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 设随机变量X服从二项分布B(10,0.5)，则P(X=5) = _______。

第二章 随机过程分析1.1 学习指导 1.1.1 要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。

1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。

可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。

2. 随机过程的分布函数和概率密度函数如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。

ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1)如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为1111111(,)(, ) (2 - 2)∂=∂F x t f x t x对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率{}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。

如果2212122121212(,;,)(,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ∂=∂⋅∂存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。

对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把{}n 12n 12n 1122n n ()(),(),,() (2 - 5)=≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。

如果n n 12n 12n n 12n 12n 12n(x )() (2 - 6)∂=∂∂∂F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，，存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。